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Esercizi sulla verifica dei limiti 17

Verifica del limite in funzioni

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.

Definizione 1 (limiti di funzioni) 
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 17  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to 9}2\left(\log_3 \sqrt{x}-5\right) = -8. \end{equation*}

 

Svolgimento .
Occorre verificare che vale il caso 1 della tabella 1 per x_0=9 e \ell=-8, dove f \colon (0,+\infty) \to \mathbb{R} è definita da

(3)   \begin{equation*} f(x)= 2\left (\log_3 \sqrt{x}-5 \right ) \qquad \forall x >0. \end{equation*}

Fissiamo dunque \varepsilon>0. Si ha

(4)   \begin{equation*} |f(x)- \ell|< \varepsilon \iff \left | 2\left (\log_3 \sqrt{x}-5 \right ) + 8 \right |< \varepsilon \iff 2-\varepsilon < \log_3 x < 2+\varepsilon \iff 3^{2-\varepsilon} < x < 3^{2+\varepsilon}, \end{equation*}

dove nella seconda equivalenza abbiamo sfruttato la proprietà dei logaritmi per cui \log_a x^\beta=\beta \log_a x se x>0. Poiché per la stretta monotonia della funzione esponenziale vale 3^{2-\varepsilon} < 9 < 3^{2+\varepsilon}, esiste \delta>0 tale che

(5)   \begin{equation*} 3^{2-\varepsilon} < 9-\delta < 9+\delta < 3^{2+\varepsilon}. \end{equation*}

Con tale scelta di \delta, grazie alle equivalenze in (4), si ottiene

(6)   \begin{equation*} x \in (9-\delta,9+\delta) \implies |f(x)- \ell|< \varepsilon, \end{equation*}

ovvero quanto desiderato.

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