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Esercizi misti limiti 19

Esercizi misti sui Limiti

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Testi degli esercizi

Esercizio 19 (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar).
Siano

    \[f_1(x)=\lfloor x^2\rfloor,\,f_2(x)=\lfloor-x^2\rfloor ,\,f_3(x)=\lfloor x^3\rfloor \quad (x\in\mathbb{R}),\]

dove \lfloor \cdot \rfloor è la funzione “parte intera”, che associa ad ogni x\in \mathbb{R} il più grande intero n \le x. Calcolare, se esistono:

    \[\lim_{x\to0}f_1(x),\quad \lim_{x\to0}f_2(x),\quad \lim_{x\to0}f_3(x).\]

Svolgimento.

\bullet Consideriamo f_1(x). Dato che 0\le x^2<1 per -1<x<1, si ha che \lfloor x^2\rfloor =0 per -1<x<1. Di conseguenza

    \[\lim_{x\to0}f_1(x)=0.\]

\bullet Consideriamo f_2(x). Per -1\le x<0, si ha -1\le -x^2<0, per cui \lfloor- x^2\rfloor =-1 in questo intervallo. Lo stesso accade per 0<x\le1. Se x=0, invece, \lfloor- x^2\rfloor=\lfloor0\rfloor=0. Dato che in un intorno di 0 si ha f_2(x)=-1, vale:

    \[\lim_{x\to0 }f_2(x)=-1.\]

\bullet Consideriamo f_3(x). Per -1\le x<0, si ha -1\le x^3<0, per cui \lfloor x^3\rfloor=-1. Invece, per 0\le x<1, si ha 0\le x^3<1, per cui \lfloor x^3\rfloor=0. Quindi:

    \[\lim_{x\to0^-}f_3(x)=-1\neq\lim_{x\to0^+}f_3(x)=0.\]

Si conclude che \lim_{x\to0}f_3(x) non esiste.

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