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Esercizi misti limiti 13

Esercizi misti sui Limiti

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Per i richiami teorici più completi si rimanda alla teoria sulle successioni.

 

 

Testi degli esercizi

Esercizio 13  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar).
Siano k>1 e p\geq 2 due numeri interi e sia (x_n)_{n\in \mathbb{N}) una successione di numeri reali positivi tale che

    \[\lim_{n \to +\infty} \dfrac{x_n}{\sqrt[p]{n}}= L \in (0,+\infty).\]

Si calcoli

    \[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{x_n+x_{n+1}+\dots+x_{kn}}{n x_n}.\]

Svolgimento.

Poiché \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{x_n}{\sqrt[p]{n}}= L, per definizione di limite si ha che, scelto 0< \varepsilon < L, esiste n_0 \in \mathbb{N} tale che per ogni n \geq n_0 vale la seguente disuguaglianza:

    \[(L-\varepsilon) \sqrt[p]{n} < x_n < (L+\varepsilon) \sqrt[p]{n}.\]

Segue dunque che, per ogni n\geq n_0, si ha:

(1)   \begin{equation*} \dfrac{L-\varepsilon}{L+\varepsilon} \cdot \dfrac{ \sqrt[p]{n}+ \sqrt[p]{n+1}+\dots + \sqrt[p]{kn}}{n \sqrt[p]{n}} < \dfrac{x_n+x_{n+1}+\dots+x_{kn}}{n x_n} < \dfrac{L+\varepsilon}{L-\varepsilon} \cdot \dfrac{ \sqrt[p]{n}+ \sqrt[p]{n+1}+\dots + \sqrt[p]{kn}}{n \sqrt[p]{n}}.\end{equation*}

D’altra parte osserviamo che

    \[\dfrac{ \sqrt[p]{n}+ \sqrt[p]{n+1}+\dots + \sqrt[p]{kn}}{n \sqrt[p]{n}}= \dfrac{1}{n} \left(1+ \sqrt[p]{1+\dfrac{1}{n}}+\sqrt[p]{1+\dfrac{2}{n}}+ \dots+\sqrt[p]{1+\dfrac{(k-1)n}{n}} \right).\]

Sia ora f : [0,k-1] \to \mathbb{R} definita da f(x) = \sqrt[p]{1+x}, e consideriamo la partizione

    \[0, \dfrac{1}{n}, \dfrac{2}{n}, \dots, 1, 1+ \dfrac{1}{n}, \dots, k-2, k-2 + \dfrac{1}{n}, \dots, k-2 + \dfrac{n-1}{n} , k-1,\]

e la sequenza di punti intermedi dati da

    \[\dfrac{1}{n}, \dots, k - 2 + \dfrac{n-1}{n}, k-1.\]

Poiché la funzione f è Riemann integrabile si ha che:

(2)   \begin{equation*} \lim_{n\to +\infty} \dfrac{ \sqrt[p]{n}+ \sqrt[p]{n+1}+\dots + \sqrt[p]{kn}}{n \sqrt[p]{n}} = \int_0^{k-1} \sqrt[p]{1+x} dx = \dfrac{p}{p+1}\left(k^{(p+1)/p}-1\right). \end{equation*}

Dunque, passando al limite per n\to +\infty in (1) e utilizzando (2), si ottiene che

    \[\dfrac{L-\varepsilon}{L+\varepsilon} \cdot \dfrac{p}{p+1}\left(k^{(p+1)/p}-1\right)\leq \lim_{n \to +\infty} \dfrac{x_n + x_{n+1}+\dots x_{kn}}{n x_n} \leq \dfrac{L+\varepsilon}{L-\varepsilon} \cdot \dfrac{p}{p+1}\left(k^{(p+1)/p}-1\right).\]

Segue dunque per l’arbitrarietà di \varepsilon che

    \[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{x_n+x_{n+1}+\dots+x_{kn}}{n x_n} = \dfrac{p}{p+1}\left(k^{(p+1)/p}-1\right).\]

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