Espansione di Taylor

Presentiamo la nostra dispensa relativa all’approssimazione di Taylor, uno strumento che consente di approssimare una funzione con un polinomio e a meno di un resto, asintoticamente per . Tale approssimazione è costituita da un polinomio di grado pari all’ordine di derivabilità di in , risultando quindi più precisa per funzioni maggiormente derivabili.

Questa proprietà possiede numerose importanti applicazioni, che spaziano dagli efficaci utilizzi nel calcolo dei limiti alla classificazione di un punto stazionario di una funzione in base al primo ordine di derivata non nullo in tale punto.

In questo articolo esploriamo tale importante strumento trattando le seguenti domande:

• In cosa consiste la formula di Taylor e cosa sono i resti di Peano, Lagrange e Cauchy?
• Cosa sono le funzioni analitiche?
• Come si calcolano gli sviluppi di funzioni elementari come l’esponenziale, logaritmi, funzioni trigonometriche e serie geometriche?
• Quali applicazioni al calcolo dei limiti e alla classificazione dei punti stazionari possiedono le serie di Taylor?

Mostreremo inoltre alcuni esempi particolari di applicazioni, come una dimostrazione dell’irrazionalità del numero di Nepero e il calcolo di valori approssimati di numeri trascendenti.

Ogni argomento è corredato da esempi e intuizioni, oltre che da esercizi svolti. Il testo consente dunque di avere una rapida introduzione al tema degli sviluppi di Taylor, fino a fornire approfondimenti dettagliati e curiosità difficilmente reperibili altrove.

Approfondimenti video sviluppi di Taylor