Esercizi su integrali indefiniti immediati

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In questo articolo sono proposti 75 esercizi svolti sugli integrali indefiniti immediati. I testi degli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà e hanno l’obiettivo di fornire allo studente solide basi nel calcolo degli integrali immediati. Questo permetterà di affrontare, successivamente, il calcolo di integrali più complessi mediante l’applicazione di metodi appropriati.
Per i richiami teorici più completi si rimanda alle dispense di teoria su integrali definiti e indefiniti e la guida alla risoluzione degli integrali indefiniti.

Dopo aver svolto questi esercizi, si consiglia lo svolgimento dei seguenti esercizi per le diverse tecniche di integrazione:

Infine, si suggerisce lo svolgimento degli esercizi misti sugli integrali indefiniti e degli esercizi misti sugli integrali definiti.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi, Donato Ciampa.

Revisori: Sergio Fiorucci, Matteo Talluri.

Richiami di teoria

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Di seguito verranno riportati gli integrali immediati che saranno utilizzati nel corso dello svolgimento degli esercizi.

(1) $\begin{equation*} \int x^\alpha\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + c, \end{equation*}$
(2) $\begin{equation*} \int f(x)^\alpha f'(x)\,dx = \frac{f(x)^{\alpha+1}}{\alpha+1} + c, \end{equation*}$
(3) $\begin{equation*} \int \frac{1}{x}\, dx = \ln \left|x\right| +c, \end{equation*}$
(4) $\begin{equation*} \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln \left|f(x)\right| +c, \end{equation*}$
(5) $\begin{equation*} \int e^{f(x)}\cdot f'(x)\,dx = e^{f(x)} + c, \end{equation*}$
(6) $\begin{equation*} \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + c, \end{equation*}$
(7) $\begin{equation*} \int e^x\,dx = e^x + c, \end{equation*}$
(8) $\begin{equation*} \int \frac{f'(x)}{\cos^2f(x)}\, dx = \tan f(x) + c, \end{equation*}$
(9) $\begin{equation*} \int \frac{f'(x)}{\sin^2f(x)}\, dx = -\cot f(x) + c, \end{equation*}$
(10) $\begin{equation*} \int \sin x\,dx = -\cos x +c, \end{equation*}$
(11) $\begin{equation*} \int \cos(x)\,dx = \sin x +c, \end{equation*}$
(12) $\begin{equation*} \int \frac{f'(x)}{\sqrt{1-f(x)^2}}\,dx = \arcsin f(x) + c, \end{equation*}$
(13) $\begin{equation*} \int \frac{f'(x)}{1+f^2(x)}\,dx = \arctan f(x) + c, \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ e $\alpha \in \mathbb{R}\setminus\{-1\}$ .

Testi degli esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(14) $\begin{equation*} \int (4x^4-2x^2+5)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare lo svolgimento di questo esercizio scrivendo l’integrale iniziale come somma di integrali e portando fuori dal segno di integrale le costanti. In questo modo otteniamo

(15) $\begin{equation*} \int (4x^4-2x^2+5)\,dx = 4\int x^4\,dx- 2\int x^2\,dx + 5\int \,dx. \end{equation*}$

Applicando l’integrale notevole (1), è possibile scrivere

(16) $\begin{equation*} 4\int x^4\,dx- 2\int x^2\,dx + 5\int \,dx = 4\cdot\frac{x^{4+1}}{4+1} -2\cdot\frac{x^{2+1}}{2+1} + 5x +c, \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Semplificando il risultato ottenuto, possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int (4x^4-2x^2+5)\,dx = \frac{4}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + 5x +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(17) $\begin{equation*} \int (2x^3-x+2)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare lo svolgimento di questo esercizio scrivendo l’integrale iniziale come somma di integrali. Otteniamo, così

(18) $\begin{equation*} \int (2x^3-x+2)\,dx = 2\int x^3\,dx -\int x\,dx +2\int \,dx, \end{equation*}$

dove, abbiamo portato fuori dal segno di integrale le costanti. Applicando (1), otteniamo

(19) $\begin{equation*} \int (2x^3-x+2)\,dx = 2\left(\frac{x^4}{4}\right) - \dfrac{x^2}{2} + 2x + c, \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Semplificando il risultato ottenuto, possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int (2x^3-x+2)\,dx = \frac{x^4}{2}-\frac{x^2}{2} + 2x + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(20) $\begin{equation*} \int \frac{x^3+1}{x+1}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare ricordando che, al numeratore della nostra funzione integranda, la quantità $x^3+1$

possiamo fattorizzarla come:

(21) $\begin{equation*} x^3+1= (x+1)(x^2-x+1), \end{equation*}$

questo ci permette di riscrivere l’integrale iniziale come

(22) $\begin{equation*} \begin{aligned} \int \frac{x^3+1}{x+1}\,dx &= \int \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x+1}\,dx =\\[7pt] &=\int (x^2-x+1)\,dx, \end{aligned} \end{equation*}$

dove, nell’ultimo passaggio abbiamo effettuato una semplice semplificazione del termine $x+1$ che si trovava sia al numeratore che al denominatore della nostra funzione integranda.

Ora, possiamo ancora riscrivere l’integrale appena ottenuto come somma di integrali, ottenendo così

(23) $\begin{equation*} \int (x^2-x+1)\,dx = \int x^2\,dx -\int x\,dx +\int \,dx. \end{equation*}$

Applicando (1), possiamo concludere scrivendo che:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{x^3+1}{x+1}\,dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x +c ,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(24) $\begin{equation*} \int (\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare andando a svolgere i prodotti tra i termini nelle parentesi, ottenendo, così

(25) $\begin{equation*} \int (\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)\,dx = \int (x\sqrt{x}+1)\,dx. \end{equation*}$

Possiamo ancora riscrivere questo integrale, ora, come somma di integrali, e, se portiamo nel primo termine della somma la $x$ all’interno della radice, otteniamo

(26) $\begin{equation*} \int (x\sqrt{x}+1)\,dx = \int \sqrt{x^3}\,dx + \int \,dx. \end{equation*}$

Applicando (1), possiamo concludere scrivendo che:

$\boxcolorato{analisi}{\int (\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)\,dx = \frac{2x^2\sqrt{x}}{5} + x +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(27) $\begin{equation*} \int \left(\frac{x^4+x^3-2x-4}{x^3}\right)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo l’integrale iniziale come somma di integrali; effettuando anche qualche semplificazione riusciamo a scrivere

(28) $\begin{equation*} \int \left(\frac{x^4+x^3-2x-4}{x^3}\right)\,dx = \int x\,dx +\int \,dx - \int\frac{2}{x^2}\,dx -\int \frac{4}{x^3}\,dx. \end{equation*}$

Applicando, ora, l’integrale notevole (1) possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \left(\frac{x^4+x^3-2x-4}{x^3}\right)\,dx = \frac{x^2}{2} + x + \frac{2}{x}+\frac{2}{x^2} + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(29) $\begin{equation*} \int \left(\frac{5}{x^4}-\frac{4}{x^3}+\frac{3}{x^2}\right)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo l’integrale iniziale come somma di integrali, otteniamo così

(30) $\begin{equation*} \int \left(\frac{5}{x^4}-\frac{4}{x^3}+\frac{3}{x^2}\right)\,dx = 5\int \frac{1}{x^4}\,dx -4\int \frac{1}{x^3}\,dx + 3\int \frac{1}{x^2}\,dx. \end{equation*}$

Applicando l’integrale notevole (1) possiamo scrivere

(31) $\begin{equation*} \begin{aligned} 5\int \frac{1}{x^4}\,dx -4\int \frac{1}{x^3}\,dx + 3\int \frac{1}{x^2}\,dx&= 5\cdot\frac{x^{-4+1}}{-4+1} -4\cdot\frac{x^{-3+1}}{-3+1} + 3\cdot\frac{x^{-2+1}}{-2+1} +c =\\[7pt] &= -\frac{5}{3x^3}+\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x} +c, \end{aligned} \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \left(\frac{5}{x^4}-\frac{4}{x^3}+\frac{3}{x^2}\right)\,dx =-\frac{5}{3x^3}+\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x} +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(32) $\begin{equation*} \int \left(\frac{x^4 -x^3-x^2-x-1}{3}\right)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo il precedente integrale come somma di integrali, ottenendo così

(33) $\begin{equation*} \int \frac{x^4}{3}\,dx -\int \frac{x^3}{3}\,dx -\int \frac{x^2}{3}\,dx +\int \frac{x}{3}\,dx -\frac{1}{3}\int \,dx. \end{equation*}$

Da qui, è possibile applicare subito (2) che ci permette di scrivere:

$\boxcolorato{analisi}{\int \left(\frac{x^4 -x^3-x^2-x-1}{3}\right)\,dx = \frac{x^5}{15} -\frac{x^4}{12} - \frac{x^3}{9} +\frac{x^2}{6} -\frac{x}{3} +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(34) $\begin{equation*} \int \left(2x^2 -\frac{1}{x}\right)^2\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare andando a svolgere il quadrato della funzione integranda osservando che si tratta di un binomio

(35) $\begin{equation*} \begin{aligned} \int \left(2x^2 -\frac{1}{x}\right)^2\,dx &= \int \left(4x^4 +\frac{1}{x^2}-4x\right)\,dx=\\[7pt] &= 4\int x^4 \,dx +\int \frac{1}{x^2} \,dx - 4\int x \,dx, \end{aligned} \end{equation*}$

dove, nell’ultimo passaggio abbiamo solo scritto l’integrale come somma di integrali e abbiamo portato fuori dal segno di integrale le costanti. Applicando (1) possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \left(2x^2 -\frac{1}{x}\right)^2\,dx = \frac{4}{5}x^5 - \frac{1}{x} -2x^2 + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(36) $\begin{equation*} \int \frac{x^2 - 9}{x+3}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scomponendo il numeratore della funzione integranda osservando che si tratta di una somma per differenza. Otteniamo, così

(37) $\begin{equation*} \int \frac{x^2 - 9}{x+3}\,dx=\int \frac{(x+3)(x-3)}{x+3}\,dx. \end{equation*}$

Effettuando le semplificazioni arriviamo al seguente integrale

(38) $\begin{equation*} \int \frac{(x+3)(x-3)}{x+3}\,dx = \int (x+ 3)\,dx = \int x\,dx + 3\int \,dx. \end{equation*}$

Utilizzando (1) possiamo direttamente concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{x^2 - 9}{x+3}\,dx = \frac{x^2}{2} + 3x +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(39) $\begin{equation*} \int \left(\frac{1}{\sqrt{x^5}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^5}}-\frac{3}{\sqrt[4]{x^7}}\right)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo cominciare scrivendo l’integrale di partenza come somma di integrali. Conviene, all’interno di ciascun termine della somma, scrivere l’integranda come potenza, questo ci aiuterà ad individuare più velocemente la struttura dell’integrale notevole che utilizzeremo per la risoluzione dell’esercizio. In base a queste considerazioni otteniamo

(40) $\begin{equation*} \int \left(\frac{1}{\sqrt{x^5}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^5}}-\frac{3}{\sqrt[4]{x^7}}\right)\,dx = \int x^{-(5/2)}\,dx + \int x^{(-5/3)}\,dx -\int x^{(-7/4)}\,dx. \end{equation*}$

Applicando l’integrale notevole (1) possiamo scrivere

(41) $\begin{equation*} \int x^{-(5/2)}\,dx + \int x^{(-5/3)}\,dx -\int x^{(-7/4)}\,dx= \frac{x^{-\frac{5}{2}+1}}{-\frac{5}{2}+1}+\frac{x^{-\frac{5}{3}+1}}{-\frac{5}{3}+1}-\frac{x^{-\frac{7}{4}+1}}{-\frac{7}{4}+1}. \end{equation*}$

Semplificando, possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \left(\frac{1}{\sqrt{x^5}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^5}}-\frac{3}{\sqrt[4]{x^7}}\right)\,dx = -\frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt{x^3}}-\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} + \frac{4}{\sqrt[4]{x^3}} + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Scarica gli esercizi svolti

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Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(42) $\begin{equation*} \int \frac{(x-1)(x+2)}{x}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare andando a svolgere i prodotti all’interno della funzione integranda ottenendo così

(43) $\begin{equation*} \begin{aligned} \int \frac{(x-1)(x+2)}{x}\,dx &= \int \left(\frac{x^2 +2x-x-2}{x}\right)\,dx =\\[7pt] &=\int \left(\frac{x^2 + x - 2}{x}\right)\,dx =\\[7pt] &=\int x\,dx + \int 1\,dx - \int \frac{2}{x}\,dx, \end{aligned} \end{equation*}$

dove, nell’ultimo passaggio, l’integrale è stato trasformato in una somma di integrali. Utilizzando (4) e (2), possiamo concludere scrivendo che:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{(x-1)(x+2)}{x}\,dx = \frac{x^2}{2} + x - 2\ln \left|x\right| + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(44) $\begin{equation*} \int \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2(x+1)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare svolgendo il quadrato, poi, procedendo con i prodotti tra le parentesi presenti nella funzione integranda, otteniamo così

(45) $\begin{equation*} \int \left(x + \frac{1}{x} -2\right)(x+1)\,dx = \int \left(x^2 -1-x+\frac{1}{x}\right)\,dx. \end{equation*}$

Arrivati a questo punto, possiamo riscrivere l’integrale come somma di integrali ottenendo così

(46) $\begin{equation*} \int x^2\,dx -\int \,dx -\int x\,dx + \int \frac{1}{x}\,dx. \end{equation*}$

Utilizzando (4) e (2) possiamo concludere direttamente scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2(x+1)\,dx = \frac{x^3}{3} - x- \frac{x^2}{2} + \ln \left|x\right| + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(47) $\begin{equation*} \int \frac{(1+\sqrt{x})(1-x)}{2x}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare andando a svolgere i prodotti al numeratore della funzione integranda e, semplificando il risultato in modo da avere un integrale più semplice da calcolare. Così facendo, otteniamo

(48) $\begin{equation*} \begin{aligned} \int \frac{(1+\sqrt{x})(1-x)}{2x}\,dx &= \int \left( \frac{1-x+\sqrt{x}-x\sqrt{x}}{2x}\right)\,dx =\\[7pt] &= \int \frac{1}{2x}\,dx -\int \frac{x}{2x}\,dx + \int \frac{\sqrt{x}}{2x}\,dx - \int \frac{x\sqrt{x}}{2x}\,dx =\\[7pt] &=\frac{1}{2}\int\frac{1}{x}\,dx-\frac{1}{2}\int \,dx + \frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx-\frac{1}{2}\int \sqrt{x}\,dx. \end{aligned} \end{equation*}$

Utilizzando (4) e (1) possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{(1+\sqrt{x})(1-x)}{2x}\,dx = \frac{1}{2}\ln x - \frac{1}{2}x + \sqrt{x} -\frac{x\sqrt{x}}{3} +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 14 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(49) $\begin{equation*} \int (4e^x+5\cdot 3^x)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo l’integrale come somma di integrali così da ottenere

(50) $\begin{equation*} \int (4e^x+5\cdot 3^x)\,dx= 4\int e^x + 5\int 3^x\,dx. \end{equation*}$

Utilizzando gli integrali notevoli (6) e (7) possiamo subito concludere scrivendo che:

$\boxcolorato{analisi}{\int (4e^x+5\cdot 3^x)\,dx = 4e^x + \frac{5}{\ln 3}3^x +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(51) $\begin{equation*} \int 4^{x-1}\cdot 2^{-x+2}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Utilizzando le proprietà delle potenze, possiamo riscrivere il precedente integrale nel modo seguente

(52) $\begin{equation*} \begin{aligned} \int 4^{x-1}\cdot 2^{-x+2}\,dx &= \int 2^{2x-2}\cdot2^{-x+2}\,dx = \\[7pt] &=\int 2^{2x-2-x+2}\,dx =\\[7pt] &=\int 2^x\,dx. \end{aligned} \end{equation*}$

Facendo riferimento all’integrale notevole (6), possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int 4^{x-1}\cdot 2^{-x+2}\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(53) $\begin{equation*} \int (2^x + 2e^x +2\cdot 4^x)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare a riscrivere l’integrale iniziale come somma di integrali, così facendo, si ottiene

(54) $\begin{equation*} \int (2^x + 2e^x +2\cdot 4^x)\,dx = \int 2^x\,dx + \int 2e^x\,dx +\int 2\cdot 4^x\,dx. \end{equation*}$

Questo ci permette di utilizzare subito gli integrali notevoli (6) e (7) così da poter concludere: scrivendo

$\boxcolorato{analisi}{\int (2^x + 2e^x +2\cdot 4^x)\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + 2e^x + 2\frac{4^x}{\ln 2} + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(55) $\begin{equation*} \int \frac{4^{1+2x}}{8^x}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Utilizzando le proprietà delle potenze, possiamo riscrivere l’integrale iniziale come

(56) $\begin{equation*} \begin{aligned} \int \frac{4^{1+2x}}{8^x}\,dx &= \int \frac{(2^{2+4x})}{(2^{3x})}\,dx =\\[7pt] &= \int 2^{2+x}\,dx =\\[7pt] &=\int 2^2\cdot 2^x\,dx. \end{aligned} \end{equation*}$

Possiamo applicare direttamente l’integrale immediato (6) e concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{4^{1+2x}}{8^x}\,dx = 4 \frac{2^x}{\ln 2} + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 18 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(57) $\begin{equation*} \int (\sqrt{3}\sin x -\cos x)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo l’integrale assegnato come somma di integrali, ottenendo così

(58) $\begin{equation*} \int (\sqrt{3}\sin x -\cos x)\,dx = \sqrt{3}\int \sin x\,dx -\int \cos x\,dx, \end{equation*}$

dove abbiamo portato, nel primo termine della somma, il fattore $\sqrt{3}$ fuori dal segno di integrale essendo una costante. Facendo riferimento agli integrali notevoli (10) e (11), possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int (\sqrt{3}\sin x -\cos x)\,dx = -\sqrt{3}\cos x - \sin x +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 19 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(59) $\begin{equation*} \int \frac{\sin x -\sqrt{3}\cos x}{2}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo l’integrale iniziale come somma di integrali cosi da ottenere

(60) $\begin{equation*} \int \frac{\sin x -\sqrt{3}\cos x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int \sin x\,dx -\frac{\sqrt{3}}{2}\int\cos x\,dx, \end{equation*}$

dove abbiamo portato i coefficienti $-(\/2)$ e $-(\sqrt{3}/2)$ fuori al segno di integrale. Facendo riferimento agli integrali notevoli (10) e (11) possiamo subito concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{\sin x -\sqrt{3}\cos x}{2}\,dx = -\frac{1}{2}\cos x -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 20 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(61) $\begin{equation*} \int \frac{-2\sin (2x)}{\cos (x)}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo diversamente il numeratore della funzione integranda. Utilizzando la formula di duplicazione del seno

(62) $\begin{equation*} \sin (2x) = 2\sin x\cos x, \end{equation*}$

possiamo riscrivere il precedente integrale come

(63) $\begin{equation*} \begin{aligned} \int \frac{-2\sin (2x)}{\cos (x)}\,dx &= -\int \frac{2\sin x\cos x}{\cos (x)}\,dx =\\[7pt] &= -2\int \sin x\,dx. \end{aligned} \end{equation*}$

Utilizzando l’integrale notevole (10) possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{-2\sin (2x)}{\cos (x)}\,dx = 4\cos x + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 21 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(64) $\begin{equation*} \int \left(\frac{1}{\cos^2 x}- \frac{2}{\sin^2 x}+ 3\sin x \right)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo l’integrale di partenza come la somma di integrali, questo renderà più semplice individuare gli integrali notevoli. Abbiamo quindi

(65) $\begin{equation*} \int \left(\frac{1}{\cos^2 x}- \frac{2}{\sin^2 x}+ 3\sin x \right)\,dx = \int \frac{1}{\cos^2 (x)} \,dx -2\int \frac{1}{\sin^2 (x)}\,dx +3\int \sin (x)\,dx. \end{equation*}$

Possiamo osservare che, per tutti e tre i termini della somma, facendo riferimento agli integrali notevoli (8), (9) e (10), possiamo scegliere

(66) $\begin{equation*} f(x)= x \quad \text{e} \quad f'(x)= 1. \end{equation*}$

Possiamo, allora, concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \left(\frac{1}{\cos^2 x}- \frac{2}{\sin^2 x}+ 3\sin x \right)\,dx = \tan (x) + 2\cot (x) - 3\cos (x) + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 22 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(67) $\begin{equation*} \int \frac{4\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin^2(2x)}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo la funzione integranda diversamente, se al denominatore utilizziamo la formula di duplicazione del seno

(68) $\begin{equation*} \sin^2(2x)= 4\sin^2(x)\cos^2(x), \end{equation*}$

si ottiene

(69) $\begin{equation*} \int \frac{4\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin^2(2x)}\,dx =\int \frac{4\sin^2(x)}{4\sin^2(x)\cos^2(x)}\,dx + \int \frac{\cos^2(x)}{4\sin^2(x)\cos^2(x)}\,dx. \end{equation*}$

Effettuando qualche semplificazione, possiamo scrivere

(70) $\begin{equation*} \int \frac{4\sin^2(x)}{4\sin^2(x)\cos^2(x)}\,dx + \int \frac{\cos^2(x)}{4\sin^2(x)\cos^2(x)}\,dx = \int \frac{1}{\cos^2(x)}\,dx + \frac{1}{4}\int \frac{1}{\sin^2(x)}\,dx. \end{equation*}$

Applicando gli integrali notevoli (8) e (9), possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{4\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin^2(2x)}\,dx = \tan x -\frac{1}{4}\cot x + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 23 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(71) $\begin{equation*} \int \left(\frac{12}{1+x^2}- \frac{4}{\sqrt{1-x^2}}\right)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo cominciare riscrivendo diversamente le funzioni integrande presenti nell’integrale iniziale ottenendo

(72) $\begin{equation*} \int \left(\frac{12}{1+x^2}- \frac{4}{\sqrt{1-x^2}}\right)\,dx= 12\int \frac{1}{1+x^2}\,dx - 4\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx. \end{equation*}$

Facendo riferimento agli integrali notevoli (12) e (13) in entrambi i casi possiamo porre

(73) $\begin{equation*} \begin{aligned} f(x)= x \quad \text{e} \quad f'(x)= 1. \end{aligned} \end{equation*}$

Possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \left(\frac{12}{1+x^2}- \frac{4}{\sqrt{1-x^2}}\right)\,dx = 12 \arctan (x) - 4\arcsin (x) + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 24 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(74) $\begin{equation*} \int \left(\frac{1}{4+4x^2}+\frac{2}{1+x^2}\right)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare riscrivendo in modo diverso la funzione integranda dell’intgrale iniziale, in particolare, possiamo portare i coefficienti fuori dal segno di integrale, ottenendo così

(75) $\begin{equation*} \int \left(\frac{1}{4+4x^2}+\frac{2}{1+x^2}\right)\,dx = \frac{1}{4}\int \frac{1}{1+x^2}\,dx+2\int \frac{1}{1+x^2}\,dx. \end{equation*}$

Questo ci permette, facendo riferimento all’integrale notevole (13), di osservare che, nel nostro caso abbiamo

(76) $\begin{equation*} f(x)= x \quad \text{e} \quad f'(x)= 1. \end{equation*}$

Da questo, possiamo, allora, scrivere

(77) $\begin{equation*} \frac{1}{4}\int \frac{1}{1+x^2}\,dx+2\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{4}\arctan x + 2\arctan x + c, \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Possiamo, così, concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \left(\frac{1}{4+4x^2}+\frac{2}{1+x^2}\right)\,dx= \frac{9}{4} \arctan x +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 25 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(78) $\begin{equation*} \int \left(\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}+\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}\right)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare riducendo allo stesso denominatore la funzione integranda dell’integrale iniziale, otteniamo così

(79) $\begin{equation*} \begin{aligned} \int \left(\dfrac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}+\dfrac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}\right)\,dx &= \int \dfrac{1+x-1-x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx =\\[7pt] &=\int \dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx. \end{aligned} \end{equation*}$

Facendo riferimento all’integrale notevole (12) possiamo osservare che, nel nostro caso, abbiamo

(80) $\begin{equation*} f(x)= x \quad \text{e} \quad f'(x)= 1. \end{equation*}$

Portando il 2 fuori al segno di integrale, possiamo direttamente concludere scrivendo che:

$\boxcolorato{analisi}{\int \left(\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}+\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}\right)\,dx = 2\arcsin (x) + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 26 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(81) $\begin{equation*} \int\left(2x\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}\right)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo l’integrale iniziale come somma di integrali, otteniamo così

(82) $\begin{equation*} \int \left(2x\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}\right)\,dx = 2\int \sqrt{x^3}\,dx + \int \frac{1}{\sqrt{x-1}}\,dx, \end{equation*}$

dove abbiamo portato, nel primo termine della somma, la $x$ sotto la radice quadrata e, portato fuori dal segno di integrale il 2. Applicando (2), otteniamo

(83) $\begin{equation*} \int \left(2x\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}\right)\,dx = \frac{2x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} + \frac{(x-1)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} +c = \frac{4x^2\sqrt{x}}{5} + 2\sqrt{x-1}+c, \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \left(2x\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}\right)\,dx =\frac{4x^2\sqrt{x}}{5} + 2\sqrt{x-1}+c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 27 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(84) $\begin{equation*} \int \sin(x)\cos(x)\,dx. \end{equation*}$

Primo metodo.

Possiamo risolvere l’integrale osservando direttamente che

(85) $\begin{equation*} \begin{aligned} f(x)= \sin(x) \quad \text{e} \quad f'(x)=\cos(x), \end{aligned} \end{equation*}$

quindi, applicando (2) possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \sin(x)\cos(x)\,dx = \frac{\sin^2(x)}{2} +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Secondo metodo.

Risolviamo l’esercizio iniziando con l’utilizzare la formula di duplicazione del seno.

$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x,$

dove $x \in \mathbb{R}$ Dividendo entrambi i membri per $2$ , otteniamo

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x),$

quindi l’integrale diventa

$\int \sin x \cos x \, dx = \int \frac{1}{2} \sin(2x) \, dx.$

Portiamo fuori la costante $\dfrac{1}{2}$ dall’integrale:

$\int \sin x \cos x \, dx = \frac{1}{2} \int \sin(2x) \, dx.$

Ora, integriamo $\sin(2x)$ :

$\int \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) + c,\quad c \in \mathbb{R}.$

Sostituendo nell’integrale, otteniamo:

(86) $\begin{equation*} \begin{aligned} \frac{1}{2} \int \sin(2x) \, dx &= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \cos(2x) \right) + c =\\[7pt] &= -\frac{1}{4} \cos(2x) + c, \end{aligned} \end{equation*}$

dove $c \in \mathbb{R}$ .

Pertanto, possiamo concludere scrivendo

$\boxcolorato{analisi}{\int \sin x \cos x \, dx = -\frac{1}{4} \cos(2x) + c,}$

dove $c \in \mathbb{R}.$

Anche stavolta, notiamo che, ricordando che

(87) $\begin{equation*} \cos^2(2x)=1-2\sin^2 x \quad \text{con} \quad x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

otteniamo lo stesso risultato del primo procedimento, ridefinendo opportunamente la costante.

Esercizio 28 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(88) $\begin{equation*} \int \sqrt{\cos(x)} \sin(x)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

In questo esercizio non è necessario effettuare alcuna manipolazione algebrica, osservando che

(89) $\begin{equation*} \begin{aligned} f(x)= \cos(x) \quad \text{e} \quad f'(x)=-\sin(x), \end{aligned} \end{equation*}$

quindi, applicando (2) possiamo direttamente concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \sqrt{\cos(x)}\sin(x)\,dx = -\frac{2}{3}\cos(x)\sqrt{\cos(x)} +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 29 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(90) $\begin{equation*} \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare moltiplicando e dividendo per $2$

la nostra funzione integranda, ottenendo così

(91) $\begin{equation*} \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx. \end{equation*}$

Ora, facendo riferimento all’integrale immediato su scritto, possiamo osservare che, nel nostro caso abbiamo

(92) $\begin{equation*} \begin{aligned} f(x)= 1+x^2 \quad \text{e} \quad f'(x)=2x, \end{aligned} \end{equation*}$

quindi, applicando (2) possiamo direttamente concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx = \sqrt{1+x^2} +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 30 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(93) $\begin{equation*} \int \sin (4x)\cos(4x)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Facendo riferimento all’integrale immediato (2) possiamo osservare che, nel nostro caso abbiamo

(94) $\begin{equation*} \begin{aligned} f(x)= \sin(4x) \quad \text{e} \quad f'(x)=4\cos(4x), \end{aligned} \end{equation*}$

quindi, applicando (2) possiamo direttamente concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \sin(4x)\cos(4x)\,dx = \frac{1}{8} \sin^2(4x) +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 31 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(95) $\begin{equation*} \int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}}dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare riscrivendo diversamente la nostra funzione integranda, in particolare, al denominatore, mettendo in evidenza una $t^2$

, otteniamo

(96) $\begin{equation*} \int \dfrac{1}{\sqrt{\left((x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)\right)^3}}\,dx, \end{equation*}$

a questo punto, utilizzando le proprietà delle potenze, è possibile portare fuori dalla radice il $x^6$ ottenendo in questo modo

(97) $\begin{equation*} \int \frac{1}{x^3} \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{-\frac{3}{2}}\,dx. \end{equation*}$

L’espressione che abbiamo appena ottenuto ci permette di osservare che, facendo riferimento all’integrale immediato (2), nel nostro caso abbiamo

$f(x) = 1+ \frac{1}{x^2}$

$f'(x) = -\frac{2}{x^3},$

allora, moltiplicando e dividendo la funzione integranda per $2$ , e svolgendo qualche passaggio algebrico possiamo giungere al seguente risultato:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}}dx = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 32 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(98) $\begin{equation*} \int \frac{x+3}{\sqrt{x+2}}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo il 3 che si trova al numeratore come la somma di 2+1, così facendo, si ottiene

(99) $\begin{equation*} \int \frac{x+3}{\sqrt{x+2}}\,dx = \int \frac{x+2+1}{\sqrt{x+2}}\,dx. \end{equation*}$

Successivamente, possiamo effettuare qualche passaggio algebrico che ci porta a scrivere il precedente integrale come

(100) $\begin{equation*} \int \frac{x+2}{\sqrt{x+2}}\,dx + \int \frac{1}{\sqrt{x+2}}\,dx = \int(x+2)^{1-\frac{1}{2}}\,dx + \int (x+2)^{-\frac{1}{2}}\,dx. \end{equation*}$

Facendo riferimento all’integrale notevole (3) possiamo osservare che, nel nostro caso, per entrambi i termini della precedente somma, abbiamo

(101) $\begin{equation*} f(x) = x+2 \quad \text{e} \quad f'(x)= 1. \end{equation*}$

Questo ci permette di scrivere che

(102) $\begin{equation*} \int(x+2)^{{1-\dfrac{1}{2}}}\,dx + \int (x+2)^{-\dfrac{1}{2}}\,dx = \dfrac{(x+2)^{3/2}}{\dfrac{3}{2}} + \dfrac{(x+2)^{1/2}}{\dfrac{1}{2}}+c, \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Da qui, è possibile mettere in evidenza $\sqrt{x+2}$ , ottenendo

(103) $\begin{equation*} \sqrt{x+2}\left(\frac{2}{3}x + \frac{4}{3}+2\right) + c, \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Svolgendo le operazioni tra frazioni e applicando (2), possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{x+3}{\sqrt{x+2}}\,dx = \frac{2}{3}\sqrt{x+2}(x+5)+c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 33 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(104) $\begin{equation*} \int \frac{4}{x^2-4x+4}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare osservando che, al denominatore della funzione integranda è presente il quadrato di un binomio, possiamo allora riscrivere l’integrale iniziale come

(105) $\begin{equation*} \int \frac{4}{(x-2)^2}\,dx = 4\int \frac{1}{(x-2)^2}\,dx. \end{equation*}$

Facendo riferimento all’integrale (2) possiamo osservare che, nel nostro caso abbiamo

(106) $\begin{equation*} f(x)= x-2 \quad \text{e} \quad f'(x)= 1, \end{equation*}$

questo ci permette di scrivere

(107) $\begin{equation*} 4\int \frac{1}{(x-2)^2}\,dx = -\frac{4}{x-2}+c, \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Possiamo, allora, concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{4}{x^2-4x+4}\,dx = -\frac{4}{x-2}+c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 34 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(108) $\begin{equation*} \int \frac{x^7(x-2)}{(x-1)^5}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Per risolvere il seguente esercizio, conviene iniziare scrivendo diversamente la nostra funzione integranda, in particolare, sfruttando le proprietà delle potenze otteniamo

(109) $\begin{equation*} \begin{aligned} \int \frac{x^7(x-2)}{(x-1)^5}\,dx &= \int \frac{x\cdot x^6\cdot (x-2)}{(x-1)^3(x-1)^2}\,dx =\\[7pt] &= \int \frac{x^6 \cdot (x^2-2x)}{(x-1)^3(x-1)^2}\,dx = \\[7pt] &=\int \left( \frac{x^2}{x-1}\right)^3 \cdot \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}\,dx. \end{aligned} \end{equation*}$

Il modo in cui siamo riusciti a riscrivere la funzione integranda ci permette scegliendo

(110) $\begin{equation*} \begin{aligned} f(x)= \left( \frac{x^2}{x-1}\right) \quad \text{e} \quad f'(x)=\frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}, \end{aligned} \end{equation*}$

di ricondurci all’integrale (2). Possiamo, quindi, immediatamente concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{x^7(x-2)}{(x-1)^5}\,dx = \frac{1}{4}\left(\frac{x^2}{x-1}\right)^4 +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 35 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

(111) $\begin{equation*} \int \frac{\cos^3(\ln(2x))\sin (\ln (2x))}{4x}\,dx \end{equation*}$

Svolgimento.

Facendo riferimento all’integrale immediato (2), possiamo osservare che, nel nostro caso abbiamo

(112) $\begin{equation*} f(x)= \cos(\ln(2x)) \quad \text{e} \quad f'(x)= -\frac {\sin(\ln(2x))}{x}. \end{equation*}$

Portando il fattore (1/4) fuori al segno di integrale e, applicando (2) possiamo immediatamente concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{\cos^3(\ln(2x))\sin (\ln (2x))}{4x}\,dx = -\frac{1}{16}(\cos^4(\ln(2x)))+c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 36 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(113) $\begin{equation*} \int \frac{e^x \tan (e^x)}{\cos ^2 (e^x)}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Dall’integrale (2) possiamo immediatamente osservare che, nel nostro caso abbiamo

(114) $\begin{equation*} f(x)= \tan (e^x) \quad \text{e} \quad f'(x)= e^x \frac{1}{\cos^2(e^x)}. \end{equation*}$

Quindi, senza dover compiere alcun passaggio algebrico, è possibile concludere scrivendo che:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{e^x\tan(e^x)}{\cos ^2(e^x)}\,dx= \frac{\tan^2(e^x)}{2} + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 37 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(115) $\begin{equation*} \int \tan (2x) \ln (\cos (2x))\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Facendo riferimento all’ integrale (2), possiamo osservare che, nel nostro caso abbiamo

(116) $\begin{equation*} f(x)= \ln \cos (2x) \quad \text{e} \quad f'(x)= -2\sin (2x) \frac{1}{\cos (2x)}. \end{equation*}$

Moltiplicando e dividendo per $-2$ la funzione integranda otteniamo

(117) $\begin{equation*} -\frac{1}{2}\int -2\tan (2x) \ln (\cos (2x))\,dx = -\frac{1}{2} \frac{\ln^2(\cos (2x))}{2} + c, \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Applicando (2) Possiamo allora concludere scrivendo che:

$\boxcolorato{analisi}{\int \tan (2x) \ln (\cos (2x))\,dx=-\frac{1}{4} \ln^2(\cos (2x)) + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 38 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(118) $\begin{equation*} \int \frac{\ln x \sqrt[3]{\ln^2(x)-2}}{x}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Facendo riferimento all’integrale (2), possiamo osservare che, nel nostro caso abbiamo possiamo osservare che, nel nostro caso abbiamo

(119) $\begin{equation*} f(x)= \ln^2(x) -2 \quad \text{e} \quad f'(x)= 2\ln (x)\frac{1}{x}. \end{equation*}$

Moltiplicando e dividendo per $2$ la funzione integranda del precedente integrale, possiamo scrivere

(120) $\begin{equation*} \dfrac{1}{2}\int 2\cdot \dfrac{\ln x \sqrt[3]{\ln^2(x)-2}}{x}\,dx. \end{equation*}$

Applicando (2), si ha:

(121) $\begin{equation*} \dfrac{1}{2}\int 2\cdot \dfrac{\ln x \sqrt[3]{\ln^2(x)-2}}{x}\,dx = \dfrac{1}{2} \dfrac{(\ln^2 (x)-2)^{{\frac{1}{3}}+1}}{\dfrac{1}{3}+1} + c, \end{equation*}$

infine

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{\int \frac{\ln x \sqrt[3]{\ln^2(x)-2}}{x}\,dx = \frac{3}{8}\sqrt[3]{\ln^2(x)-2} +c,}}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 39 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(122) $\begin{equation*} \int \sin^2(x)\cos^3(x)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo l’ integrale iniziale nel modo seguente

(123) $\begin{equation*} \begin{aligned} \int \sin^2(x)\cos^3(x)\,dx&= \int \sin^2x (1-\sin^2x)\cos x\,dx = \\[7pt] &=\int (\sin^2x - \sin^4 x)\cos x\,dx=\\[7pt] &= \int \sin^2x \cos x\,dx -\int \sin^4x\cos x\,dx. \end{aligned} \end{equation*}$

Applicando (2) possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\sin^2(x)\cos^3(x)\,dx = \frac{\sin^3(x)}{3} - \frac{\sin^5(x)}{5} + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 40 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(124) $\begin{equation*} \int \frac{4x+2}{x^2 +x}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare andando a raccogliere il 2 al numeratore della funzione integranda dell’integrale (123) ottenendo, così

(125) $\begin{equation*} \int \frac{2(2x+1)}{x^2+x}\,dx. \end{equation*}$

Ora, facendo riferimento all’integrale (3), possiamo osservare che, nel nostro caso abbiamo

(126) $\begin{equation*} f(x)= x^2+x \quad \text{e} \quad f'(x)= 2x+1. \end{equation*}$

Portando il 2 fuori dal segno di integrale, otteniamo

(127) $\begin{equation*} 2 \int \frac{2x+1}{x^2+x}\,dx = 2 \ln \left|x^2+x\right| +c, \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{4x+2}{x^2 +x}\,dx = 2 \ln \left|x^2+x\right| +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 41 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(128) $\begin{equation*} \int \frac{\tan(x)}{\ln(\cos (x))}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Facendo riferimento all’integrale (3), possiamo osservare che, nel nostro caso abbiamo

(129) $\begin{equation*} f(x)= \ln(\cos(x)) \quad \text{e} \quad f'(x)= \frac{1}{\cos(x)}-\sin(x)= -\tan(x). \end{equation*}$

Possiamo, quindi, concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{\tan(x)}{\ln(\cos (x))}\,dx = -\ln \left|\ln(\cos(x))\right| +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 42 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(130) $\begin{equation*} \int \cot(x) \,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo cominciare scrivendo diversamente la nostra funzione integranda, in particolare,ricordando la definizione di $\cot(x)$

(131) $\begin{equation*} \cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}, \end{equation*}$

otteniamo

(132) $\begin{equation*} \int \cot(x) \,dx = \int \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\,dx. \end{equation*}$

Questo, ci permette di osservare che, nel primo integrale, facendo riferimento a (3), abbiamo

(133) $\begin{equation*} \begin{aligned} f(x)= \sin(x) \quad \text{e} \quad f'(x)= \cos(x), \end{aligned} \end{equation*}$

possiamo, così, concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \cot(x) \,dx = \ln \left|\sin(x)\right| + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 43 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(134) $\begin{equation*} \int \frac{\cos(2x)}{\sin(x)\cos(x)} \,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo cominciare scrivendo diversamente la nostra funzione integranda, in particolare, ricordando la formula di duplicazione del coseno

(135) $\begin{equation*} \cos(2x)= \cos^2(x)- \sin^2(x), \end{equation*}$

possiamo riscrivere l’integrale nel seguente modo

(136) $\begin{equation*} \int \frac{\cos(2x)}{\sin(x)\cos(x)} \,dx = \int \frac{\cos^2(x)- \sin^2(x)}{\sin(x)\cos(x)}\,dx. \end{equation*}$

Possiamo scrivere quest’ultimo integrale come somma di integrali così che possano risultarci più semplici da risolvere. Così facendo, otteniamo

(137) $\begin{equation*} \int \frac{\cos^2(x)- \sin^2(x)}{\sin(x)\cos(x)}\,dx = \int \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\,dx - \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx. \end{equation*}$

Ora, facendo riferimento a (3) possiamo osservare che, nel nostro caso abbiamo, per il primo e il secondo integrale rispettivamente

(138) $\begin{equation*} \begin{aligned} f(x)= \sin(x) \quad \text{e} \quad f'(x)= \cos(x), \\ f(x)= \cos(x) \quad \text{e} \quad f'(x)= -\sin(x), \end{aligned} \end{equation*}$

questo ci permette di concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{\cos(2x)}{\sin(x)\cos(x)} \,dx = \ln \left|\sin(x)\right| + \ln \left|\cos(x)\right|+ c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 44 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(139) $\begin{equation*} \int \frac{1}{\sin x \cos x}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Utilizzando la prima relazione fondamentale della trigonometria

(140) $\begin{equation*} 1=\sin^2(x)+\cos^2(x), \end{equation*}$

possiamo riscrivere la funzione integranda dell’integrale iniziale come segue

(141) $\begin{equation*} \int \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\sin(x)\cos(x)}\,dx = \int \frac{\cos^2(x)}{\sin x \cos x}\,dx + \int \frac{\sin^2 (x)}{\sin x \cos x}\,dx, \end{equation*}$

Effettuando qualche semplificazione, si ottiene

(142) $\begin{equation*} \int \frac{\cos^2(x)}{\sin x \cos x}\,dx + \int \frac{\sin^2 (x)}{\sin x \cos x}\,dx = \int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx +\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx. \end{equation*}$

Facendo riferimento all’integrale notevole (3) possiamo osservare che, nel nostro caso si ha, rispettivamente per il primo e secondo integrale

(143) $\begin{equation*} \begin{aligned} f(x)= \sin x \quad \text{e} \quad f'(x)= \cos x \\ f(x)= \cos x \quad \text{e} \quad f'(x)= -\sin x, \end{aligned} \end{equation*}$

possiamo quindi scrivere che

(144) $\begin{equation*} \int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx +\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = \ln \left|\sin x\right|-\ln \left|\cos x\right| + c, \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Utilizzando le proprietà dei logaritmi, si arriva a scrivere la seguente soluzione:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{1}{\sin x \cos x}\,dx = \ln \left|\tan (x)\right| + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 45 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(145) $\begin{equation*} \int \frac{x}{x-10}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo l’integrale iniziale andando a sommare e sottrarre 10 al numeratore, così facendo otteniamo,

(146) $\begin{equation*} \begin{aligned} \int \left(\dfrac{x}{x-10}\right)\,dx &= \int \left(\dfrac{x+10 -10}{x-10}\right)\,dx =\\[7pt] &=\int \,dx + 10\int \left(\dfrac{1}{x-10}\right)\,dx. \end{aligned} \end{equation*}$

Applicando gli integrali notevoli (4) e (1) possiamo subito arrivare al seguente risultato:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{x}{x-10}\,dx = x + 10\ln\left|x-10\right| +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 46 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(147) $\begin{equation*} \int \frac{1}{\sqrt{x}-x}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo in modo diverso la nostra funzione integranda, ottenendo così

(148) $\begin{equation*} \int \frac{1}{\sqrt{x}-x}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})}\,dx. \end{equation*}$

Moltiplichiamo e dividiamo per -2 la nostra funzione integranda così da poter ottenere

(149) $\begin{equation*} \int \frac{1}{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})}\,dx = -2\int \frac{1}{1-\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{1}{-2\sqrt{x}}\right)\,dx. \end{equation*}$

Questo ci permette di osservare ora che, facendo riferimento a (4), nel nostro caso abbiamo

(150) $\begin{equation*} \begin{aligned} f(x)= 1-\sqrt{x} \quad \text{e} \quad f'(x)= -\frac{1}{2\sqrt{x}}. \end{aligned} \end{equation*}$

Possiamo quindi concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{1}{\sqrt{x}-x}\,dx = -2\ln \left|1-\sqrt{x}\right| + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 47 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(151) $\begin{equation*} \int \frac{e^x - 1}{1+ xe^x}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo cominciare scrivendo diversamente la nostra funzione integranda, in particolare, aggiungendo e sottraendo al numeratore la quantità $xe^x$

otteniamo

(152) $\begin{equation*} \begin{aligned} \int \frac{e^x - 1}{1+ xe^x}\,dx &= \int \frac{e^x - 1 + xe^x -xe^x}{1+ xe^x}\,dx =\\[7pt] =&\int \frac{e^x + xe^x}{1+ xe^x}\,dx - \int \,dx. \end{aligned} \end{equation*}$

Questo, ci permette di osservare che, nel primo integrale, facendo riferimento a (3), abbiamo

(153) $\begin{equation*} \begin{aligned} f(x)= 1+xe^x \quad \text{e} \quad f'(x)= e^x +xe^x, \end{aligned} \end{equation*}$

per il secondo integrale, invece, la soluzione è immediata trattandosi dell’integrale di una costante. Possiamo, allora, concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{e^x - 1}{1+ xe^x}\,dx = \ln \left|1+xe^x\right| - x + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 48 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

(154) $\begin{equation*} \int \sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Prima di iniziare con lo svolgimento dell’esercizio, possiamo osservare che la funzione integranda è definita nell’intervallo $[-1,1]$

, all’interno del quale risulta essere continua. Questo ci permette di dedurre che in tale intervallo, la nostra funzione ammette primitiva.

Possiamo iniziare provando a scrivere in modo diverso la nostra funzione integranda, in particolare, ricordando la seguente formula per la semplificazione di radicali doppi

(155) $\begin{equation*} \sqrt{a-\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} - \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}, \end{equation*}$

possiamo riscrivere l’integrale di partenza nel modo seguente

(156) $\begin{equation*} \begin{aligned} \int \sqrt{1-\sqrt{1-x^2}} &= \int \sqrt{\frac{1+\sqrt{1-(1-x^2)}}{2}}\,dx - \int \sqrt{\frac{1-\sqrt{1-(1-x^2)}}{2}}\,dx = \\[10pt] &= \int \sqrt{\frac{1+|x|}{2}}\,dx - \int \sqrt{\frac{1-|x|}{2}}\,dx = \\[10pt] &= \int \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{1+|x|}\,dx-\int \sqrt{1-|x|} \right)\,dx. \end{aligned} \end{equation*}$

Osserviamo che ci troviamo in presenza di $|x|$ , per questo risulta conveniente studiare separatamente i due casi: $x \geqslant 0$ e $x < 0$ .

Cominciamo con l’occuparci del primo: se abbiamo $x \geq 0$ , allora otteniamo $|x| = x$ . Applicando (2) possiamo, scrivere

(157) $\begin{equation*} \begin{aligned} \int \sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}\,dx &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\int(1+x)^{\frac{1}{2}}\,dx - \int (1-x)^{\frac{1}{2}} \right)\,dx = \\[10pt] &=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3}(1-x)^{\frac{3}{2}}\right) + c_1 = \\[10pt] &= \frac{\sqrt{2}}{3} \left( (1+x)^{3/2} + (1-x)^{3/2}\right) + c_1 \quad \text{per} \quad \text{$x \geq 0$} , \end{aligned} \end{equation*}$

dove $c_1$ è una costante reale arbitraria.

Se $x < 0$ , abbiamo invece $|x| =-x$ , e quindi:

(158) $\begin{equation*} \sqrt{1-\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}\right), \end{equation*}$

possiamo osservare che, quella ottenuta è l’espressione opposta a quella ottenuta per $x \geqslant 0$ , quindi, possiamo scrivere:

(159) $\begin{equation*} \int \sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\frac{\sqrt{2}}{3}\left((1+x)^{3/2} + (1-x)^{3/2}\right) + c_2 \quad(\text{per $x < 0$}), \end{equation*}$

dove $c_2$ è un’altra costante reale arbitraria.

A questo punto, ricordando che la funzione primitiva deve essere continua in tutto l’intervallo $[-1,1]$ , e in particolare in $x = 0$ , possiamo scrivere:

$\begin{aligned} &\left.\frac{\sqrt{2}}{3}\left((1+x)^{3/2} + (1-x)^{3/2}\right)\right|_{x=0} + c_1 = \left.-\frac{\sqrt{2}}{3}\left((1+x)^{3/2} + (1-x)^{3/2}\right)\right|_{x=0} + c_2 \quad \Leftrightarrow \\[10pt] &\Leftrightarrow \quad \frac{\sqrt{2}}{3}\cdot 2 + c_1 = -\frac{\sqrt{2}}{3}\cdot 2 + c_2 \quad \Leftrightarrow \\[10pt] &\Leftrightarrow \quad c_1 = c_2 - \frac{4\sqrt{2}}{3}. \end{aligned}$

Mettendo insieme le espressioni ottenute per i due casi su descritti, possiamo concludere l’esercizio scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int\! \sqrt{1-\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x = \begin{cases} \displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{3}\left[(1+x)^{3/2} + (1-x)^{3/2}\right] + c & \text{se $x < 0$}; \\[10pt] \displaystyle +\frac{\sqrt{2}}{3}\left[(1+x)^{3/2} + (1-x)^{3/2}\right] - \frac{4\sqrt{2}}{3} + c & \text{se $x \geqslant 0$}, \end{cases}}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 49 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(160) $\begin{equation*} \int \frac{e^{\frac{1}{x^2}}}{x^3}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Dall’integrale (5) possiamo osservare che, nel nostro caso si ha

(161) $\begin{equation*} f(x)= \frac{1}{x^2} \quad \text{e} \quad f'(x)= -\frac{2}{x^3}. \end{equation*}$

Moltiplicando e dividendo per $-2$ la funzione integranda dell’integrale iniziale otteniamo

(162) $\begin{equation*} -\frac{1}{2}\int 2\frac{e^{\frac{1}{x^2}}}{x^3} = -\frac{1}{2}e^{\frac{1}{x^2}}+c, \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{e^{\frac{1}{x^2}}}{x^3}\,dx = -\frac{1}{2}e^{\frac{1}{x^2}}+c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 50 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

(163) $\begin{equation*} \int \frac{1}{\sin^2(2x)\cos^2(2x)}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare riscrivendo diversamente la nostra funzione integranda, in particolare, ricordando la prima relazione fondamentale della trigonometria

(164) $\begin{equation*} 1= \cos^2(2x) + \sin^2(2x), \end{equation*}$

otteniamo

(165) $\begin{equation*} \begin{aligned} \int \frac{1}{\sin^2(2x)\cos^2(2x)}\,dx &= \int \frac{\cos^2(2x) + \sin^2(2x)}{\sin^2(2x)\cos^2(2x)}\,dx =\\[7pt] &=\int \frac{1}{\sin^2(2x)}\,dx + \int \frac{1}{\cos^2(2x)}\,dx. \end{aligned} \end{equation*}$

Moltiplicando e dividendo per $2$ la funzione integranda in entrambi gli integrali, otteniamo

(166) $\begin{equation*} \frac{1}{2}\int \frac{2}{\sin^2(2x)}\,dx + \frac{1}{2}\int \frac{2}{\cos^2(2x)}\,dx. \end{equation*}$

Questo, ci permette di osservare che, facendo riferimento a (10) e (11), nel nostro caso abbiamo per entrambi gli integrali

(167) $\begin{equation*} \begin{aligned} f(x)= 2x \quad \text{e} \quad f'(x)= 2, \end{aligned} \end{equation*}$

Quindi, applicando gli integrali immediati (8) e (9), possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{1}{\sin^2(2x)\cos^2(2x)}\,dx = \frac{1}{2}(-\cot(2x) + \tan(2x)) + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 51 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(168) $\begin{equation*} \int \frac{1}{1+\sin x}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare andando a moltiplicare e dividere per $(1-\sin(x))$

la funzione integranda dell’integrale iniziale ottenendo, così

(169) $\begin{equation*} \begin{aligned} \int \dfrac{1}{1+\sin (x)}\dfrac{1-\sin (x)}{1-\sin (x)}\,dx &= \int \dfrac{1-\sin (x)}{1-\sin^2(x)}\,dx =\\[7pt] &=\int \dfrac{1-\sin x}{\cos^2(x)}\,dx. \end{aligned} \end{equation*}$

Arrivati qui, è possibile suddividere questo integrale nella somma di due integrali più semplici da risolvere, abbiamo quindi

(170) $\begin{equation*} \int \frac{1-\sin x}{\cos^2(x)}\,dx = \int \frac{1}{\cos^2 (x)}\,dx - \int \frac{\sin (x)}{\cos^2(x)}\,dx. \end{equation*}$

Ora, considerando gli integrali (8) e (2) possiamo osservare che, per il primo e il secondo integrale rispettivamente abbiamo

(171) $\begin{equation*} \begin{aligned} &f(x)= x \quad \text{e} \quad f'(x)= 1 \\ &f(x)= \cos(x) \quad \text{e} \quad f'(x)= -\sin (x). \end{aligned} \end{equation*}$

Questo ci permette di scrivere

(172) $\begin{equation*} \begin{aligned} \int \dfrac{1}{\cos^2 (x)}\,dx - \int \dfrac{\sin (x)}{\cos^2(x)}\,dx &= \tan (x) - \dfrac{1}{\cos (x)}\,dx =\\[7pt] &=\dfrac{\sin (x)-1}{\cos (x)} +c, \end{aligned} \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Possiamo allora concludere scrivendo la seguente soluzione:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{1}{1+\sin x}\,dx = \frac{\sin (x)-1}{\cos (x)} +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 52 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

(173) $\begin{equation*} \int \frac{(2x^3-3x^2)^3(x^2-x)}{\cos^2(2x^3-3x^2)^4}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Dall’ integrale (8) possiamo osservare che, nel nostro caso abbiamo

(174) $\begin{equation*} f(x)= (2x^3-3x^2)^4 \quad \text{e} \quad f'(x)= 24(2x^3-3x^2)^3(x^2-x). \end{equation*}$

Moltiplicando e dividendo per $24$ la funzione integranda dell’integrale iniziale, otteniamo

(175) $\begin{equation*} \frac{1}{24}\int 24\frac{(2x^3-3x)^3(x^2-x)}{\cos^2(2x^3-3x^2)^4}\,dx =\frac{1}{24}\tan (2x^3-3x^2)^4 +c, \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Possiamo allora concludere scrivendo che:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{(2x^3-3x^2)^3(x^2-x)}{\cos^2(2x^3-3x^2)^4}\,dx=\frac{1}{24}\tan (2x^3-3x^2)^4 +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 53 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(176) $\begin{equation*} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare riscrivendo l’integrale (176) nel modo seguente

(177) $\begin{equation*} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-(x^3)^2}}\,dx. \end{equation*}$

Ora, facendo riferimento all’integrale (12), possiamo osservare che, nel nostro caso

(178) $\begin{equation*} f(x)= x^3 \quad \text{e} \quad f'(x)= 3x^2. \end{equation*}$

Moltiplicando e dividendo per $3$ la funzione integranda del precedente integrale, otteniamo

(179) $\begin{equation*} \frac{1}{3} \int \frac{3x^2}{\sqrt{1-(x^3)^2}}\,dx = \frac{1}{3} \arcsin (x^3) + c, \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Possiamo, allora, concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}\,dx = \frac{1}{3} \arcsin (x^3) + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 54 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(180) $\begin{equation*} \int \frac{x^4}{\sqrt{1-x^{10}}}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo cominciare scrivendo la funzione integranda nel modo seguente

(181) $\begin{equation*} \int \frac{x^4}{\sqrt{1-(x^5)^2}}\,dx. \end{equation*}$

Facendo riferimento all’integrale (12) possiamo osservare che, nel nostro caso abbiamo

(182) $\begin{equation*} f(x)= x^5 \quad \text{e} \quad f'(x)= 5x^4. \end{equation*}$

Moltiplicando e dividendo per $5$ la funzione integranda dell’integrale iniziale otteniamo

(183) $\begin{equation*} \frac{1}{5} \int \frac{5x^4}{\sqrt{1-(x^5)^2}} = \frac{1}{5} \arcsin x^5 + c, \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Possiamo allora concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{x^4}{\sqrt{1-x^{10}}}\,dx = \frac{1}{5} \arcsin x^5 + c,}$

Esercizio 55 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(184) $\begin{equation*} \int \frac{\sin x}{4+\cos ^2(x)}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare raccogliendo $4$

al denominatore, così

(185) $\begin{equation*} \int \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{\sin x}{\left(1+\left(\dfrac{\cos x}{2}\right)^2\right)}\,dx. \end{equation*}$

Ora, facendo riferimento all’integrale (13), possiamo osservare che, nel nostro caso abbiamo

(186) $\begin{equation*} f(x)= \frac{\cos x}{2} \quad \text{e} \quad f'(x)= -\frac{1}{2} \sin x. \end{equation*}$

Moltiplicando e dividendo per $-\dfrac{1}{2}$ la funzione integranda del precedente integrale, otteniamo

(187) $\begin{equation*} \int \dfrac{(-1/2)\sin x}{4 (-1/2)\left(1+\left(\dfrac{\cos x}{2}\right)^2\right)}\,dx = -\dfrac{1}{2} \arctan \left(\frac{\cos x}{2}\right) + c, \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Possiamo allora concludere scrivendo che:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{\sin x}{4+\cos ^2(x)}\,dx = -\frac{1}{2} \arctan \left(\frac{\cos x}{2}\right) + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 56 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(188) $\begin{equation*} \int \frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare andando a mettere in evidenza, nella funzione integranda, il fattore $\sqrt{x}$

ottenendo così

(189) $\begin{equation*} \int \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\,dx. \end{equation*}$

Se osserviamo che il termine $x$ può anche essere scritto come $(\sqrt{x})^2$ allora il precedente integrale può essere scritto come

(190) $\begin{equation*} \int \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{x}(1+(\sqrt{x})^2)}\,dx. \end{equation*}$

A questo punto, considerando l’integrale notevole (13) possiamo osservare che, nel nostro caso abbiamo

(191) $\begin{equation*} f(x)= \sqrt{x} \quad \text{e} \quad f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x}}. \end{equation*}$

Moltiplicando e dividendo per $2$ il precedente integrale, si ottiene

(192) $\begin{equation*} 2\int \frac{1}{2\sqrt{x}(1+(\sqrt{x})^2}\,dx = 2\arctan \sqrt{x}+c, \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Possiamo allora concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}\,dx = 2\arctan \sqrt{x}+c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 57 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(193) $\begin{equation*} \int \frac{1}{\cosh (x)}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare ricordando la definizione di $\cosh (x)$

ottenendo

(194) $\begin{equation*} \frac{1}{\cosh(x)}=\frac{2}{e^x + e^{-x}} = \frac{2e^x}{e^{2x}+1}. \end{equation*}$

Sostituendo quest’espressione all’interno della funzione integranda, otteniamo

(195) $\begin{equation*} \int \frac{1}{\cosh (x)}\,dx = \int \frac{2e^x}{e^{2x}+1}\,dx = 2\int \frac{e^x}{(e^x)^2+1}\,dx. \end{equation*}$

Facendo riferimento a (13), possiamo osservare che, nel nostro caso abbiamo

(196) $\begin{equation*} \begin{aligned} f(x)= e^x \quad \text{e} \quad f'(x)= e^x , \end{aligned} \end{equation*}$

possiamo quindi concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{1}{\cosh (x)}\,dx = 2\arctan(e^x) + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 58 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(197) $\begin{equation*} \int \left(\frac{16^x}{2^{3x+2}} + 3x^2\right)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare riscrivendo in modo diverso l’integrale di partenza, in particolare, utilizzando le proprietà delle potenze, possiamo semplificare la funzione integranda nel modo seguente

(198) $\begin{equation*} \begin{aligned} \int \left(\frac{16^x}{2^{3x+2}} + 3x^2\right)\,dx &=\int \frac{16^x}{2^{3x+2}}\,dx + \int 3x^2\,dx =\\[7pt] &=\int \frac{2^{4x}}{2^{3x+2}}\,dx + 3\int x^2\,dx, \end{aligned} \end{equation*}$

dove abbiamo potuto portare il 2 fuori al segno di integrale essendo un valore costante, continuando con qualche passaggio algebrico, possiamo scrivere

(199) $\begin{equation*} \int 2^{4x-3x-2}\,dx + 3\int x^2\,dx = \frac{1}{4}\int 2^x\,dx + 3\int x^2\,dx. \end{equation*}$

Possiamo subito applicare gli integrali notevoli (2) e (6) i quali ci permettono di scrivere la seguente soluzione:

$\boxcolorato{analisi}{\int \left(\frac{16^x}{2^{3x+2}} + 3x^2\right)\,dx = \frac{2^x}{\ln(16)} + x^3 +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 59 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(200) $\begin{equation*} \int e^x(1-2x\cdot e^{-x})\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Ricordiamo il seguente integrale immediato dove $c\in \mathbb{R}$

Possiamo iniziare andando a svolgere i prodotti all’interno della funzione integranda ottenendo, così

(201) $\begin{equation*} \int e^x(1-2x\cdot e^{-x})\,dx = \int e^x -\frac{2x e^x}{e^x}\,dx = \int e^x\,dx - \int 2x\,dx. \end{equation*}$

Applicando (7) al primo integrale possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int e^x(1-2x\cdot e^{-x})\,dx = e^x -x^2 + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 60 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(202) $\begin{equation*} \int (x + 7\cdot 7^x)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo cominciare scrivendo l’integrale di partenza come somma di integrali così da ottenere

(203) $\begin{equation*} \int x\,dx + 7\int 7^x\,dx, \end{equation*}$

dove, nel secondo termine della somma abbiamo portato il 7 fuori al segno di integrale essendo una costante. A questo punto, facendo riferimento agli integrali notevoli (1) e (6) possiamo subito concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int (x + 7\cdot 7^x)\,dx = \frac{x^2}{2} + \frac{7}{\ln 7}7^x +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 61 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(204) $\begin{equation*} \int \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo diversamente il numeratore della funzione integranda. Utilizzando la formula di bisezione del seno

(205) $\begin{equation*} \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1-\cos(x)}{2}, \end{equation*}$

possiamo riscrivere il precedente integrale come

(206) $\begin{equation*} \begin{aligned} \int \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)\,dx &= \int \frac{1-\cos(x)}{2}\,dx =\\[7pt] &= \int \frac{1}{2}\,dx - \int \frac{\cos(x)}{2}\,dx. \end{aligned} \end{equation*}$

Utilizzando l’integrale immediato (11) possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)\,dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\sin(x) + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 62 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(207) $\begin{equation*} \int \frac{2\sin^2(x)-4}{\sin^2(x)}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo l’integrale iniziale come la somma di due integrali che risulteranno più semplici da risolvere, otteniamo quindi

(208) $\begin{equation*} \int \frac{2\sin^2(x)-4}{\sin^2(x)}\,dx = \int 2\frac{\sin^2 x}{\sin^2 x}\,dx - 4\int \frac{1}{\sin^2x}\,dx. \end{equation*}$

Utilizzando l’integrale notevole (9) per il secondo termine della somma, possimo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{2\sin^2(x)-4}{\sin^2(x)}\,dx = 2x + \cot (x) + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 63 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(209) $\begin{equation*} \int \frac{5\sin x + 2\sin (2x)}{\sin x}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo l’integrale iniziale come la somma di due integrali che risulteranno più semplici da calcolare, otteniamo quindi

(210) $\begin{equation*} \int \frac{5\sin x + 2\sin (2x)}{\sin x}\,dx = \int \frac{5\sin x}{\sin x}\,dx + \int \frac{2\sin (2x)}{\sin x}\,dx. \end{equation*}$

Effettuando qualche semplificazione e, utilizzando la formula di duplicazione del seno

(211) $\begin{equation*} \sin (2x) = 2\sin x\cos x, \end{equation*}$

possiamo riscrivere il precedente integrale come

(212) $\begin{equation*} \int \frac{5\sin x}{\sin x}\,dx + \int \frac{2\sin (2x)}{\sin x}\,dx = \int 5 \,dx + 4\int \frac{\sin x \cos x}{\sin x}\,dx. \end{equation*}$

Applicando l’integrale notevole (11) al secondo termine della somma, possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{5\sin x + 2\sin (2x)}{\sin x}\,dx = 5x + 4\sin x + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 64 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(213) $\begin{equation*} \int \left(\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare riscrivendo diversamente la funzione integranda dell’integrale iniziale così da ottenere

(214) $\begin{equation*} \int \left(\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx = 2\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx + \int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx. \end{equation*}$

Facendo riferimento agli integrali (2) e (12), in entrambi i casi possiamo porre

(215) $\begin{equation*} \begin{aligned} f(x)= x \quad \text{e} \quad f'(x)= 1. \end{aligned} \end{equation*}$

Questo ci permette di concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \left(\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx = 2\arcsin x + 2\sqrt{x} + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 65 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(216) $\begin{equation*} \int \frac{1+2x^2}{1+x^2}\,dx \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare riscrivendo l’integrale di partenza nel modo seguente

(217) $\begin{equation*} \int \frac{1+2x^2}{1+x^2}\,dx= \int \frac{1+x^2+x^2}{1+x^2}\,dx, \end{equation*}$

ora, possiamo scrivere lo stesso integrale come somma di integrali e, dopo aver effettuato qualche semplificazione otteniamo

(218) $\begin{equation*} \int \frac{1+x^2+x^2}{1+x^2}\,dx= \int \,dx + \int \frac{x^2}{1+x^2}\,dx, \end{equation*}$

ora, nel secondo integrale, possiamo addizionare e sottrarre 1 così da ottenere

(219) $\begin{equation*} \int \,dx + \int \frac{x^2}{1+x^2}\,dx = \int \,dx + \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2}\,dx. \end{equation*}$

Infine, possiamo riscrivere il precedente integrale come somma di integrali così da ottenere

(220) $\begin{equation*} \begin{aligned} &\int \,dx + \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2}\,dx =\\[10pt] &= \int \,dx +\int \frac{x^2 + 1}{x^2 + 1}\,dx - \int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \\[10pt] &=2\int \,dx -\int \frac{1}{1+x^2}\,dx. \end{aligned} \end{equation*}$

Applicando gli integrali notevoli (13) e (2), arriviamo alla seguente soluzione:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{1+2x^2}{1+x^2}\,dx = 2x -\arctan x +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 66 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(221) $\begin{equation*} \int \left(\frac{2}{\sin^2x}+\frac{1}{x}-\sin x\right)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare suddividendo l’integrale iniziale in una somma di integrali, e, portando il 2 fuori al segno di integrale nel primo termine della somma, otteniamo

(222) $\begin{equation*} \int \left(\frac{2}{\sin^2x}+\frac{1}{x}-\sin x\right)\,dx = 2\int \frac{2}{\sin^2x}\,dx+\int \frac{1}{x}\,dx-\int \sin x\,dx. \end{equation*}$

Applicando gli integrali notevoli (9), (4) e (10), possiamo arrivare direttamente alla seguente soluzione:

$\boxcolorato{analisi}{\int \left(\frac{2}{\sin^2x}+\frac{1}{x}-\sin x\right)\,dx = -2\cot x +\ln \left|x\right| + \cos x +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 67 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(223) $\begin{equation*} \int \tan^2(x)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo in modo diverso la funzione integranda nell’integrale iniziale, in particolare ricordando la definizione di tangente

(224) $\begin{equation*} \tan^2x = \frac{\sin^2 (x)}{\cos^2 (x)}. \end{equation*}$

Possiamo riscrivere l’integrale come

(225) $\begin{equation*} \int \tan^2(x)\,dx = \int \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\,dx. \end{equation*}$

Ricordando la prima relazione fondamentale della trigonometria

(226) $\begin{equation*} \sin^2(x) = 1 -\cos^2(x), \end{equation*}$

possiamo ancora riscrivere l’integrale come

(227) $\begin{equation*} \int \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\,dx = \int \frac{1-\cos^2(x)}{\cos^2(x)}\,dx. \end{equation*}$

Anche qui, possiamo riscrivere l’integrale come somma di integrali, otteniamo quindi

(228) $\begin{equation*} \int \frac{1-\cos^2(x)}{\cos^2(x)}\,dx = \int \frac{1}{\cos^2(x)}\,dx -\int 1\,dx. \end{equation*}$

Utilizzando l’integrale notevole (8) sul primo termine della somma (il secondo è banale) possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \tan^2(x)\,dx = \tan (x) - x +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 68 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(229) $\begin{equation*} \int (\tan^2(x)-x)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo risolvere questo integrale sfruttando il risultato ottenuto nell’esercizio 67, in particolare, riscrivendo l’integrale come

(230) $\begin{equation*} \int (\tan^2(x) - x)\,dx = \int \tan^2(x)\,dx -\int x\,dx \end{equation*}$

ricordando che

(231) $\begin{equation*} \int \tan^2(x)\, dx=\tan(x)-x + c, \end{equation*}$

possiamo concludere direttamente scrivendo

$\boxcolorato{analisi}{\int (\tan^2(x) - x)\, dx = \tan(x) - x - \frac{x^2}{2} + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 69 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(232) $\begin{equation*} \int \frac{\cos (2x)}{4\cos^2(x)}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare utilizzando la formula di duplicazione del coseno data da

(233) $\begin{equation*} \cos (2x) = 2\cos^2(x) -1, \end{equation*}$

in modo da poter riscrivere l’integrale iniziale nel modo seguente

(234) $\begin{equation*} \int \frac{\cos (2x)}{4\cos^2(x)}\,dx = \int\frac{2\cos^2(x)-1}{4\cos^2(x)}\,dx. \end{equation*}$

Come abbiamo fatto anche negli esercizi precedenti, scriviamo questo integrale come somma di integrali

(235) $\begin{equation*} \int\frac{2\cos^2(x)-1}{4\cos^2(x)}\,dx = \int \frac{1}{2}\,dx - \int\frac{1}{4\cos^2(x)}\,dx. \end{equation*}$

Possiamo osservare che, il primo integrale è molto semplice, il secondo integrale si risolve applicando l’integrale notevole (8). Possiamo allora concludere scrivendo che:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{\cos (2x)}{4\cos^2(x)}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\tan(x)}{4} + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 70 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(236) $\begin{equation*} \int \frac{-x^2}{1+x^2}\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare riscrivendo diversamente la funzione integranda dell’integrale iniziale, in particolare, aggiungiamo e sottraiamo $1$

al numeratore, otteniamo così

(237) $\begin{equation*} \int \frac{-x^2}{1+x^2}\,dx = \int \frac{-x^2 +1 -1}{1+x^2}\,dx. \end{equation*}$

A questo punto, possiamo dividere la funzione integranda del precedente integrale nella somma di due integrali che risulteranno più agevoli da risolvere. Otteniamo quindi

(238) $\begin{equation*} \int \frac{-x^2 +1 -1}{1+x^2}\,dx = -\int 1 \,dx + \int \frac{1}{1+x^2}\,dx. \end{equation*}$

Facendo riferimento all’integrale notevole (13) possiamo osservare che, nel secondo integrale, nel nostro caso abbiamo

(239) $\begin{equation*} f(x)= x \quad \text{e} \quad f'(x)= 1. \end{equation*}$

Mentre il primo integrale è semplicemente l’integrale di una costante, il suo risultato è semplice da trovare. A questo punto possiamo anche concludere scrivendo che:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{-x^2}{1+x^2}\,dx = \arctan x - x + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 71 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(240) $\begin{equation*} \int \sin(x)\cos(2x) \,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo diversamente la nostra funzione integranda, in particolare, ricordando la formula di duplicazione del coseno

(241) $\begin{equation*} \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1, \end{equation*}$

possiamo riscrivere l’integrale di partenza nel modo seguente

(242) $\begin{equation*} \int \sin(x)\cos(2x)\, dx = \int \sin(x) (2\cos^2(x) - 1) \, dx, \end{equation*}$

che possiamo ancora scrivere come somma di integrali ottenendo, così

(243) $\begin{equation*} \int \sin(x) (2\cos^2(x) - 1) \, dx = 2 \int \sin(x) \cos^2(x) \, dx - \int \sin(x) \, dx. \end{equation*}$

Facendo riferimento a (2) e (10), possiamo osservare che, nel nostro caso abbiamo

(244) $\begin{equation*} \begin{aligned} f(x)= \sin(x) \quad \text{e} \quad f'(x)= \cos(x), \end{aligned} \end{equation*}$

questo ci permette di concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \sin(x)\cos(2x)\, dx = \frac{\cos^3(x)}{3} + \cos(x) + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 72 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Determinare tutte le primitive della funzione

$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} |x| & & x\leq 1\\ & & \\ \dfrac{1+x}{2} & & x>1. \end{array}\right.$

In particolare determinare la primitiva $F(x)$ per la quale $F(0)=1$ .

Svolgimento.

Possiamo iniziare osservando che, in base a com’è definita la funzione, possiamo scrivere

$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} -x & & x<0\\ & & \\ x & & 0\leq x\leq 1\\ & & \\ \dfrac{1+x}{2} & & x>1 \end{array}\right.$

Applicando (1), possiamo integrare ottenendo così

$F(x)=\int f(x)\ dx=\left\{\begin{array}{lcl} \displaystyle \int-x\ dx & & x<0\\ & & \\ \displaystyle \int x\ dx & & 0\leq x\leq 1\\ & & \\ \displaystyle \int\dfrac{1+x}{2}\ dx & & x>1 \end{array}\right.= \left\{\begin{array}{lcl} -\dfrac{x^2}{2}+c_1 & & x<0\\ & & \\ \dfrac{x^2}{2}+c_2 & & 0\leq x\leq 1\\ & & \\ \dfrac{1}{2}x+ \dfrac{x^2}{4}+c_3 & & x>1 \end{array}\right.$

con $c_i,_i=1,2,3$ costanti arbitrarie. L’esercizio, successivamente, ci chiede di trovare la primitiva tale che $F(0)=1$ , per poterla determinare, osserviamo per prima cosa che

$F(0)=1\ \Leftrightarrow\ c_2=1.$

Inoltre, poiché la primitiva deve risultare continua allora deve verificarsi che:

$\begin{equation*} \begin{aligned} & \lim_{x\to 0^-} F(x)=c_1=c_2=1,\\ &\lim_{x\to 1^+}F(x)=F(1)\ \quad \Leftrightarrow \ \quad \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+c_3=\dfrac{1}{2}+c_2\ \quad \Leftrightarrow \ \quad c_3=\dfrac{3}{4}. \end{aligned} \end{equation*}$

Le condizioni che abbiamo imposto, ci hanno permesso di determinare il valore delle costanti $c_1$ , $c_2$ e $c_3$ , Possiamo quindi concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{F(x)=\left\{\begin{array}{lcl} -\dfrac{x^2}{2}+1 + c& & x<0\\ & & \\ \dfrac{x^2}{2}+1 + c & & 0\leq x\leq 1\\ & & \\ \dfrac{(1+x)^2}{4}+\dfrac{3}{4} + c & & x>1. \end{array}\right.}$

dove $C\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 73 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(245) $\begin{equation*} \int \left(\frac{\tan^3 x+\tan x}{\tan x +2}\right)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo diversamente la funzione integranda, in particolare, possiamo mettere in evidenza un $\tan x$

al numeratore, ottenendo così

(246) $\begin{equation*} \int \left(\frac{\tan^3 x+\tan x}{\tan x +2}\right)\,dx = \int \frac{\tan x (\tan^2 x+1)}{\tan x +2}\,dx. \end{equation*}$

A questo punto, nella prima parentesi, possiamo addizionare e sottrarre 2, ottenendo così

(247) $\begin{equation*} \int \frac{\tan x (\tan^2 x+1)}{\tan x +2}\,dx = \int \frac{(\tan x+2-2) (\tan^2 x+1)}{\tan x +2}\,dx. \end{equation*}$

Invece di svolgere tutti i prodotti, possiamo riscrivere la funzione integranda in questo modo

(248) $\begin{equation*} \int \frac{(\tan x+2-2) (\tan^2 x+1)}{\tan x +2}\,dx = \int \frac{(\tan x +2)(\tan^2x +1)}{\tan x + 2}\,dx -\int \frac{2(\tan^2x +1)}{\tan x +2}\,dx. \end{equation*}$

Quello che possiamo osservare è che, così facendo, siamo riusciti ad ottenere una differenza di integrali che risulta più agevole da risolvere. Effettuando qualche semplificazione sul primo integrale, otteniamo

(249) $\begin{equation*} \int \frac{(\tan x +2)(\tan^2x +1)}{\tan x + 2}\,dx -\int \frac{2(\tan^2x +1)}{\tan x +2}\,dx = \int (\tan^2 x +1)\,dx -2\int \frac{\tan^2x +1}{\tan x +2}\,dx. \end{equation*}$

Osservando che

(250) $\begin{equation*} f(x)=\tan x \quad \text{e} \quad f'(x)= 1+\tan^2 x, \end{equation*}$

possiamo scrivere

(251) $\begin{equation*} \int (\tan^2 x +1)\,dx -2\int \frac{\tan^2x +1}{\tan x +2}\,dx = \tan x -2 \ln \left|\tan x +2\right| + c, \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Osserviamo che, per la risoluzione del secondo integrale, abbiamo utilizzato l’integrale notevole (3). Possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \left(\frac{\tan^3 x+\tan x}{\tan x +2}\right)\,dx = \tan x -2 \ln \left|\tan x +2\right| + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 74 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(252) $\begin{equation*} \int \tan^3 x\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo la funzione integranda nel modo seguente

(253) $\begin{equation*} \int \tan^3 x\,dx = \int \tan^2(x) \tan x\,dx. \end{equation*}$

Possiamo addizionare e sottrarre 1 nel primo termine del prodotto ottenendo così

(254) $\begin{equation*} \int \tan^2 x \tan x\,dx = \int (\tan^2 x +1-1)\tan x\,dx, \end{equation*}$

a questo punto, possiamo riscrivere l’integrale ancora in un altro modo

(255) $\begin{equation*} \int (\tan^2 x +1-1)\tan x\,dx = \int (\tan^2x +1)\tan x\,dx -\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx, \end{equation*}$

dove nel secondo integrale abbiamo utilizzato la definizione di tangente

(256) $\begin{equation*} \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}. \end{equation*}$

Ora, facendo riferimento agli integrali notevoli (4) e (2), possiamo osservare che, nel nostro caso abbiamo

(257) $\begin{equation*} \begin{aligned} f(x)= \tan x \quad \text{e} \quad f'(x)= 1+\tan^2 x\\ f(x)= \cos x \quad \text{e} \quad f'(x)= -\sin x. \end{aligned} \end{equation*}$

Questo ci permette di scrivere

(258) $\begin{equation*} \int (\tan^2x +1)\tan x\,dx -\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = \frac{\tan^2 x}{2} + \ln \left|\cos x\right| + c, \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Possiamo allora concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \tan^3 x\,dx= \frac{\tan^2 x}{2} + \ln \left|\cos x\right| + c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 75 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$

. Risolvere il seguente integrale indefinito:

(259) $\begin{equation*} \int (\tan^3x-\tan^2x)\,dx. \end{equation*}$

Svolgimento.

Possiamo iniziare scrivendo il precedente integrale come differenza di integrali ottenendo in questo modo

(260) $\begin{equation*} \int\left(\tan^3 x - \tan^2 x \right)\,dx = \int \tan^3 x\,dx - \int \tan^2 x\,dx, \end{equation*}$

arrivati a questo punto, possiamo utilizzare i risultati ottenuti negli esercizi: 74 e 67, in particolare, per il primo termine, possiamo scrivere

(261) $\begin{equation*} \int \tan^3 x\,dx= \frac{\tan^2 x}{2} + \ln \left|\cos x\right| + c, \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Per il secondo termine, invece, possiamo scrivere

(262) $\begin{equation*} \begin{aligned} \int \tan^2(x)\, dx = \tan(x) - x + c, \end{aligned} \end{equation*}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Facendo solo attenzione ai segni, possiamo concludere scrivendo:

$\boxcolorato{analisi}{\int \tan^3 x\,dx - \int \tan^2 x\,dx = -\tan x + x +\frac{\tan^2 x}{2} + \ln\left|\cos (x)\right| +c,}$

dove $c\in \mathbb{R}$ .

Riferimenti bibliografici

[1] Qui Si Risolve, Il teorema fondamentale del calcolo integrale.

[2] Qui Si Risolve, Integrali definiti e indefiniti.

Tutta la teoria di analisi matematica

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Tutte le cartelle di Analisi Matematica

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