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Serie di funzioni – teoria

Teoria Serie di funzioni

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Benvenuti nel mondo affascinante delle serie di funzioni!
La dispensa è stata preparata per guidarvi in una presentazione chiara, accessibile e approfondita, del concetto di serie di funzioni e delle sue proprietà.
All’interno troverete:

  • le nozioni di convergenza puntuale e uniforme di una serie di funzioni, illustrate con esempi volti a esplorarne le relazioni e le proprietà;
  • i criteri di convergenza per serie di funzioni, con particolare riguardo alla convergenza totale e l’M-test, strumenti dalle importanti applicazioni pratiche;
  • gli importanti teoremi di convergenza delle serie di funzioni, che permettono il passaggio al limite, la derivazione e l’integrazione per serie;
  • uno dei punti salienti della dispensa è la funzione di Weierstrass: un esempio classico di funzione, definita tramite serie di funzioni, continua ovunque, ma derivabile in alcun punto; oltre a costituire un interessante strumento didattico, essa testimonia la bellezza e la complessità della matematica.

Se desideri approfondire l’affascinante argomento delle serie di funzioni, comincia pure la lettura!

Gli esercizi svolti consigliati sul tema sono i seguenti:

Sommario

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Questa dispensa tratta la teoria sulle serie di funzioni: nella prima parte si estende la nozione di convergenza puntuale e uniforme in tale contesto; successivamente introduciamo la nozione di convergenza totale e presentiamo i teoremi di scambio tra somma di una serie e le operazioni di limite, integrazione e derivazione. Infine studiamo la funzione di Weierstrass: una notevole funzione continua che, tuttavia, risulta non derivabile in alcun punto.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Luigi De Masi

Revisori: Valerio Brunetti, Elisa Bucci, Davide La Manna, Sara Sottile, Matteo Talluri.


 
 

Notazioni

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\mathbb{N}    insieme dei numeri naturali: \{0,1,2,\dots\};
\mathbb{Z}    insieme dei numeri interi relativi;
\mathbb{Q}    insieme dei numeri razionali;
\mathbb{R}    insieme dei numeri reali;
f'(x), \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)    derivata della funzione f nel punto x;
f_k \xrightarrow{\text{punt.}} f    convergenza puntuale della successione di funzioni f_k a f;
f_k \xrightarrow{\text{unif.}} f    convergenza uniforme della successione di funzioni f_k a f;
\|f\|_E    norma uniforme di f sull’insieme E, ovvero \sup_{x \in E} |f(x)|;
C^k((a,b))    insieme delle funzioni f \colon (a,b) \to \mathbb{R} derivabili k volte in (a,b) con derivata f^{(k)} continua.


 
 

Introduzione

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Il concetto di serie riveste notevole importanza in molti ambiti teorici e pratici della matematica. Esso consente di dare un significato formale all’estensione dell’operazione di somma al caso di infiniti addendi. L’idea di sommare un numero infinito di termini risale agli albori della civiltà odierna e ha generato numerosi dibattiti e paradossi, come quello di Achille e la Tartaruga, [6, Teoria sulle serie numeriche, esercizio 1]. Tali controversie sono state quindi risolte soltanto con l’introduzione del concetto di serie numerica: data una successione a_k di numeri reali, è lecito calcolare la successione delle somme parziali S_n \coloneqq \sum_{k=1}^n a_k. Tale successione di somme parziali è detta appunto serie di termine generale a_k e si indica col simbolo

(1) \begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} a_k. \end{equation*}

Poiché risulta ragionevole supporre che la somma di tutti i termini a_k è quindi il valore a cui “si avvicinano” le somme parziali S_n al crescere di n, la somma della serie \sum_{k=1}^{+\infty} a_k viene quindi definita come il limite, per n \to +\infty, delle somme parziali S_n. Un tema ricorrente in matematica consiste nel provare a generalizzare i concetti in contesti più ampi. Una volta dato un significato alle somme di infiniti numeri reali e studiate le loro proprietà, ci si pone quindi le seguenti domande: si può dare un significato a somme infinite di altri oggetti matematici? Quali proprietà delle somme finite si conservano nel caso di somme infinite?

Questa dispensa si concentra su una di queste generalizzazioni. Precisamente, il suo scopo principale è quello di dare un significato alla somma infinita di funzioni, andando quindi a studiare il concetto naturale di serie di funzioni e le sue proprietà.

Vedremo che, data una successione di funzioni f_k, si definirà il concetto di serie di funzioni in maniera analoga a quanto sopra delineato riguardo le serie numeriche; indagheremo inoltre le proprietà condivise da queste nozioni.

Così come il concetto di serie numerica è profondamente legato a quello di successione, il concetto di serie di funzioni è dunque strettamente legato a quello di successione di funzioni: ai fini della comprensione dei contenuti di questa dispensa è dunque necessario avere una certa familiarità con tale nozione e le sue proprietà. Rimandiamo pertanto il lettore alla dispensa [8, successioni di funzioni – teoria] per una spiegazione approfondita della teoria e a [7, successioni di funzioni – esercizi] per una raccolta completa di esercizi svolti sull’argomento.

Il lavoro è così strutturato.

\[\quad\]

  • Nella sezione 1 riportiamo alcuni risultati preliminari sulla teoria delle successioni di funzioni e delle serie numeriche utilizzati nel corso della dispensa.

    •  

  • Nella sezione 2 introduciamo la nozione di convergenza puntuale e uniforme di una serie di funzioni; ne studiamo poi le proprietà principali e delle semplici caratterizzazioni, applicate ad alcuni esempi.

    •  

  • Nella sezione 3 presentiamo alcuni strumenti utili per lo studio della convergenza di una serie di funzioni. Il principale di questi è certamente la nozione di convergenza totale (definizione 3.11) e il fatto che essa implichi la convergenza uniforme della serie, proposizione 3.15.

    •  

  • La sezione 4 riguarda i teoremi di passaggio al limite, ossia i teoremi di scambio tra l’operazione di somma di una serie e quella di limite, di integrazione e derivazione. Essi consentono di studiare le proprietà qualitative e quantitative della somma di una serie di funzioni, illustrate con alcuni esempi.

    •  

  • Nella sezione 5 presentiamo poi la funzione di Weierstrass, un esempio di funzione continua che risulta non derivabile in alcun punto.

 

Prerequisiti

Introduzione.

In questa sezione richiamiamo le definizioni e i risultati che utilizzeremo nel corso della presente dispensa, limitandoci a enunciarli e rimandando alle opportune dispense per una trattazione approfondita.

I prerequisiti necessari per affrontare lo studio delle serie di funzioni includono:

  • il concetto di serie numerica e relativa convergenza, insieme ai principali criteri di convergenza ed esempi fondamentali; una risorsa al riguardo è il testo [6, Teoria sulle serie numeriche];
  • la teoria delle successioni di funzioni, unitamente alle nozioni di convergenza puntuale e uniforme, le loro relazioni e teoremi di passaggio al limite; per un’esposizione approfondita di tali concetti si consiglia la consultazione di [8, successioni di funzioni].

Successioni di funzioni.

In quanto segue, si assume E \subseteq \mathbb{R}.

\[\quad\]

Definizione 1.1 (convergenza uniforme per successioni di funzioni, [8, definizione 2.1]). Data una successione di funzioni f_k \colon E \to \mathbb{R} e una funzione f \colon E \to \mathbb{R}, diciamo che f_k converge puntualmente a f se per ogni x \in E la successione numerica \big( f_k(x)\big)_{k \in \mathbb{N}} converge a f(x), cioè se si ha:

(2) \begin{equation*} \lim_{k\to+\infty} f_k(x) = f(x) \qquad \forall x \in E. \end{equation*}

Se (2) è verificata per ogni x \in F, dove F \subseteq E, diciamo che f_k converge puntualmente a f in F.

\[\quad\]

Definizione 1.2 (convergenza uniforme per successioni di funzioni [8, definizione 3.1]). Sia f_n \colon E \to \mathbb{R} una successione di funzioni e sia f \colon E \to \mathbb{R}; si dice che f_n converge uniformemente a f se, per ogni \varepsilon>0, esiste N \in \mathbb{N} tale che

(3) \begin{equation*} |f_n(x) - f(x))| < \varepsilon \qquad \forall n \geq N, \,\, \forall x \in E. \end{equation*}

Se (3) è verificata per ogni x \in F, dove F \subseteq E, diciamo che la successione f_n converge uniformemente in F a f.

\[\quad\]

Vale la seguente caratterizzazione della convergenza uniforme.

Proposizione 1.3 (caratterizzazione della convergenza uniforme, [8, proposizione 3.7]). Sia f_n \colon E \to \mathbb{R} una successione di funzioni e sia f \colon E \to \mathbb{R}; allora f_n converge uniformemente a f se e solo se

(4) \begin{equation*} \lim_{n \to + \infty} \, \sup \big\{ |f_n(x) - f(x)| \colon x \in E \big\} = 0. \end{equation*}

\[\quad\]

La convergenza uniforme è (strettamente) più forte della convergenza puntuale e i due limiti, se esistono, coincidono, come implicato dal seguente risultato.

Proposizione 1.4 ([8, proposizione 3.12]). Se una successione di funzioni f_n \colon E \to \mathbb{R} converge uniformemente a una funzione f \colon E \to \mathbb{R}, allora f_n converge puntualmente a f.

In particolare, il limite uniforme di una successione di funzioni, se esiste, coincide con il limite puntuale e quindi esso è unico.

\[\quad\]

È possibile provare la convergenza puntuale o uniforme di una successione di funzioni senza conoscerne esplicitamente l’espressione del limite. A tal fine, si possono applicare i seguenti criteri di Cauchy, entrambi conseguenze del criterio di Cauchy per successioni numeriche. Come vedremo nel seguito, tali criteri sono notevolmente utili nel caso delle serie di funzioni, in particolare quando non è possibile determinare l’espressione delle somme parziali e del limite; in tali contesti, è necessario stabilire la convergenza prescindendo da tali informazioni.

Proposizione 1.5 (criterio di Cauchy per la convergenza puntuale, [8, proposizione 3.18]). Sia f_n \colon E \to \mathbb{R} una successione di funzioni. Allora f_n converge puntualmente a una funzione f \colon E \to \mathbb{R} se e solo se, per ogni x \in E e per ogni \varepsilon>0, esiste N \in \mathbb{N} tale che

(5) \begin{equation*} |f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon \qquad \forall n,m \geq N. \end{equation*}

Proposizione 1.6 (criterio di Cauchy per la convergenza uniforme, [8, proposizione 3.20]). Sia f_n \colon E \to \mathbb{R} una successione di funzioni. Allora f_n converge uniformemente a una funzione f \colon E \to \mathbb{R} se e solo se, per ogni \varepsilon>0, esiste N \in \mathbb{N} tale che

(6) \begin{equation*} \sup_{x \in E}|f_n(x) - f_m(x)| \leq \varepsilon \qquad \forall n,m \geq N. \end{equation*}

\[\quad\]

La convergenza puntuale non è in generale sufficiente affinché alcuna proprietà di continuità, integrabilità e derivabilità della successione sia preservata al limite; si veda [8, sezione 2.1] per una discussione approfondita e numerosi esempi al riguardo. La convergenza uniforme produce invece risultati di passaggio al limite soddisfacenti, presentati in [8, sezione 3.2], che riportiamo di seguito.

Teorema 1.7 (limite uniforme di funzioni continue, [8, teorema 3.21]). Sia f_n \colon E \to \mathbb{R} una successione di funzioni continue convergente uniformemente alla funzione f \colon E \to \mathbb{R}. Allora f è una funzione continua.

Teorema 1.8 (scambio di limiti per la convergenza uniforme, [8, teorema 3.22]). Sia f_n \colon E \to \mathbb{R} una successione di funzioni che converga uniformemente a una funzione f \colon E \to \mathbb{R} e sia x_0 \in \mathbb{R} un punto di accumulazione di E. Se i limiti \ell_n \coloneqq \lim_{x \rightarrow x_0} f_n(x) esistono per ogni n \in \mathbb{N}, allora il limite \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) esiste e vale

(7) \begin{equation*} \ell \coloneqq \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) %\Big( \lim_{n\to+\infty} f_n(x)\Big) = \lim_{n\to+\infty} \Big( \lim_{x \rightarrow x_0} f_n(x) \Big). \end{equation*}

Inoltre, se \ell_n \in \mathbb{R} definitivamente, allora anche \ell \in \mathbb{R}.

Teorema 1.9 (passaggio al limite sotto il segno di integrale, [8, teorema 3.30]). Sia f_n\colon [a,b] \to \mathbb{R} una successione di funzioni integrabili secondo Riemann che converga uniformemente a una funzione f \colon [a,b] \to \mathbb{R}. Allora f risulta integrabile secondo Riemann e vale

(8) \begin{equation*} \lim_{n\to+\infty} \int_{a}^{b} f_n(x)\,\mathrm{d}x = \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x. \end{equation*}

\[\quad\]

Teorema 1.10 (limite uniforme di funzioni derivabili, [8, teorema 3.37]). Sia f_n \colon [a,b] \to \mathbb{R} una successione di funzioni derivabili tali che la successione delle derivate prime f_n' converga uniformemente ad una funzione g \colon [a,b] \to \mathbb{R}; supponiamo inoltre che esista x_0 \in [a,b] e y_0 \in \mathbb{R} tale che

(9) \begin{equation*} \lim_{n \to \infty} f_n(x_0) = y_0. \end{equation*}

Allora esiste una funzione derivabile f \colon [a,b] \to \mathbb{R} tale che

\[\quad\]

  1. f_n converge uniformemente a f;

    2.  

  2. f'(x)=g(x) per ogni x \in [a,b].

Serie numeriche.

Iniziamo col presentare la seguente condizione necessaria alla convergenza di una serie.

Proposizione 1.11 (condizione necessaria alla convergenza, [6, proposizione 1]). Sia a_k una successione reale e supponiamo che la serie \sum_{k=1}^{+\infty} a_k sia convergente. Allora vale

(10) \begin{equation*} \lim_{k \to +\infty} a_k = 0. \end{equation*}

\[\quad\]

Risulta molto importante la nozione di convergenza assoluta di una serie numerica.

Definizione 1.12 (convergenza assoluta, [6, definizione 6]). Sia a_k una successione reale. La serie \sum_{k=1}^{+\infty} a_k si dice assolutamente convergente se e solo se la serie dei valori assoluti \sum_{k=1}^{+\infty} |a_k| è convergente.

\[\quad\]

La convergenza assoluta di una serie ne implica la convergenza semplice, come afferma il prossimo risultato.

Proposizione 1.13 ([6, proposizione 6]). Sia a_k una successione reale tale che la serie \sum_{k=1}^{+\infty} a_k sia assolutamente convergente. Allora tale serie è convergente e vale

(11) \begin{equation*} \left |\sum_{k=1}^{+\infty} a_k \right | \leq \sum_{k=1}^{+\infty} |a_k|. \end{equation*}

\[\quad\]

Per le serie a segni alterni, sotto ipotesi di monotonia della successione a_k, la condizione necessaria stabilita dalla proposizione 1.11 si può invertire: vale infatti il seguente Criterio di Leibnitz.

Teorema 1.14 (criterio di Leibnitz, [6, teorema 10]). Sia a_k \geq 0 una successione di numeri reali definitivamente decrescente. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

\[\quad\]

  1. \displaystyle \lim_{k \to +\infty} a_k=0;

    2.  

  2. la serie numerica \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^k a_k è convergente.

\[\quad\]


 

Convergenza puntuale e uniforme

Introduzione.

Come abbiamo anticipato nell’introduzione, il concetto di serie di funzione è una generalizzazione della nozione di serie numerica al contesto in cui gli elementi da sommare siano i termini di una successione di funzioni f_k. Poiché non è ovvio il significato da dare alla somma di tutte le funzioni f_k, un’idea ragionevole è quella di considerare la somma parziale

(12) \begin{equation*} S_n \coloneqq f_1 + f_2 + \cdots + f_n \end{equation*}

delle prime n funzioni f_k della successione, e studiare poi il carattere della successione di funzioni S_n ottenuta. Introduciamo quindi la seguente definizione.

Definizione 2.1 (serie di funzioni). Sia E \subseteq \mathbb{R} e sia f_k \colon E \to \mathbb{R} una successione di funzioni. Per ogni n \in \mathbb{N} la funzione S_n \colon E \to \mathbb{R} definita da

(13) \begin{equation*} S_n(x) = \sum_{k=1}^n f_k(x) \qquad \forall x \in E \end{equation*}

è detta somma parziale n-esima delle funzioni f_k. La successione S_n delle somme parziali è detta serie delle funzioni f_k e si indica col simbolo

(14) \begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x). \end{equation*}

\[\quad\]

Esaminiamo alcuni esempi.

Esempio 2.2 (serie geometrica). Sia f_k \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} la successione di funzioni definita da

(15) \begin{equation*} f_k(x)= x^k \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\, \forall x \in \mathbb{R} \end{equation*}

e consideriamo quindi la serie di funzioni \sum_{k=0}^{+\infty} f_k(x). Fissando x \in \mathbb{R}, la successione (numerica) f_k(x)=x^k è quindi una progressione geometrica di ragione x. Grazie alla nota teoria sulle serie geometriche [6, lemma 5], si ha

(16) \begin{equation*} S_n(x) = \sum_{k=0}^n f_k(x) = \sum_{k=0}^n x^k = \begin{cases} \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x} & \text{se } x \neq 1 \\[8pt] n+1 & \text{se } x =1. \end{cases} \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}

Esplicitiamo ora il legame tra successioni e serie di funzioni, in analogia con quello tra successioni e serie numeriche.

Osservazione 2.3 (equivalenza tra successioni e serie di funzioni). La definizione 2.1 afferma che una serie di funzioni è quindi la successione di funzioni S_n delle sue somme parziali.

Viceversa, ogni successione di funzioni f_n \colon E \to \mathbb{R} può essere vista come la serie di funzioni

(17) \begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \big(f_k(x) - f_{k-1}(x) \big), \qquad \text{dove } f_0 \equiv 0. \end{equation*}

Infatti, per ogni n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}, la somma parziale n-esima di questa serie soddisfa

(18) \begin{equation*} \begin{split} S_n(x) &= \sum_{k=1}^{n} \big(f_k(x) - f_{k-1}(x) \big) \\ &= \big( f_n(x) - f_{n-1}(x) \big) + \big(f_{n-1}(x) - f_{n-2}(x) \big) + \cdots + \big(f_1(x) - f_{0}(x) \big) \\ &= f_n(x). %\qquad %\forall n \in \mathbb{N}\setminus \{0\}. \end{split} \end{equation*}

Quindi la serie di funzioni \sum_{k=1}^{+\infty} \big(f_k(x) - f_{k-1}(x) \big) coincide con la successione di funzioni f_n. Utilizzeremo spesso questa equivalenza tra successioni e serie per “trasportare” dei risultati dalla teoria delle successioni di funzioni a quella delle serie.

Similmente al concetto di serie numerica, è ragionevole definire porre che la somma di una serie di funzioni sia la funzione S \colon E \to \mathbb{R} a cui tende la successione delle somme parziali S_n, per n \to +\infty. Dalla teoria sulle successioni di funzioni [8, definizione 2.1, definizione 3.1], è noto che il limite della successione di funzioni S_n può essere inteso in senso puntuale o uniforme; questa distinzione conduce alle seguenti nozioni di convergenza puntuale e uniforme di una serie di funzioni.

\[\quad\]

Definizione 2.4 (convergenza puntuale). Dati E \subseteq \mathbb{R} e una successione di funzioni f_k \colon E \to \mathbb{R}, se la successione S_n = \sum_{k=1}^{n} f_k delle somme parziali converge puntualmente a una funzione S \colon E \to \mathbb{R}, ossia se

(19) \begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} S_n(x) = S(x) \qquad \forall x \in E, \end{equation*}

si dice che la serie di funzioni \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x) converge puntualmente a S in E e la funzione S è detta limite puntuale o somma della serie \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x).

Se (19) è verificata per ogni x \in F, dove F \subset E, diciamo che la serie converge puntualmente a S in F.

\[\quad\]

Definizione 2.5 (convergenza uniforme). Dati E \subseteq \mathbb{R} e una successione di funzioni f_k \colon E \to \mathbb{R}, se la successione S_n = \sum_{k=1}^{n} f_k delle somme parziali converge uniformemente a una funzione S \colon E \to \mathbb{R}, ossia se per ogni \varepsilon>0 esiste N \in \mathbb{N} tale che

(20) \begin{equation*} |S_n(x) - S(x)|< \varepsilon \qquad \forall n \geq N, \,\,\forall x \in E, \end{equation*}

si dice che la serie di funzioni \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x) converge uniformemente a S in E e la funzione S è detta limite uniforme della serie \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x).

Se (20) è verificata per ogni x \in F, dove F \subset E, diciamo che la serie converge uniformemente a S in F.

\[\quad\]


Relazioni tra la convergenza puntuale e uniforme.

Applicando la proposizione 1.4 alla successione di funzioni S_n delle somme parziali, si ottiene che la convergenza uniforme di una serie di funzioni implica quella puntuale e inoltre che gli eventuali limiti coincidono.

Proposizione 2.6. Sia E \subseteq \mathbb{R} e sia f_k \colon E \to \mathbb{R} una successione di funzioni. Se la serie di funzioni \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x) converge uniformemente a una funzione S \colon E \to \mathbb{R}, allora vi converge anche puntualmente.

In particolare, il limite uniforme di una serie di funzioni, se esiste, è unico e coincide col limite puntuale.

Esempio 2.7. Sia f_k \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} la successione di funzioni definita da

(21) \begin{equation*} f_k(x) = \begin{cases} x & \text{se } x \in \left (\dfrac{1}{k+1}, \dfrac{1}{k}\right ] \\[8pt] 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} \qquad \forall k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}. \end{equation*}

Poiché le funzioni f_k sono non nulle su intervalli disgiunti, per le somme parziali si ha

(22) \begin{equation*} S_n(x) = \sum_{k=1}^n f_k(x) = \begin{cases} x & \text{se } x \in \left (\dfrac{1}{n+1}, 1\right ] \\[8pt] 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} \qquad \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}. \end{equation*}

Definiamo la funzione S \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} come

(23) \begin{equation*} S(x)= \begin{cases} x & \text{se } x \in \left (0, 1\right ] \\[4pt] 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \end{equation*}

e fissiamo \varepsilon>0. Scegliendo N \in \mathbb{N} tale che \dfrac{1}{N}<\varepsilon si ottiene

(24) \begin{equation*} |S_n(x)-S(x)| = \begin{cases} x & \text{se } x \in \left (0, \dfrac{1}{n+1}\right ] \\[4pt] 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \,\, \leq \frac{1}{n+1} < \varepsilon \qquad \forall n \geq N,\,\,\forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Quindi la serie di funzioni \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x) converge uniformemente alla funzione f e, per la proposizione 2.6, converge a S anche puntualmente.

Risulta naturale porsi la seguente questione.

Domanda 2.8. La proposizione 2.6 si può invertire? Ovvero, data una serie di funzioni convergente puntualmente, è possibile affermare che essa converga anche uniformemente?

La risposta è negativa: in virtù dell’osservazione 2.3, basta considerare una qualunque successione di funzioni convergente puntualmente ma non uniformemente; tali esempi sono stati dettagliatamente studiati nella teoria sulle successioni di funzioni [8, esempio 3.4 e seguenti]. Presentiamo comunque per completezza il seguente esempio, formulato nel contesto specifico delle serie.

Esempio 2.9. Sia f_k \colon (0,1] \to \mathbb{R} la successione di funzioni definita da

(25) \begin{equation*} f_k(x)= \begin{cases} 1 & \text{se } x \in \left ( \dfrac{1}{2^{k+1}},\dfrac{1}{2^{k}} \right ] \\[8pt] 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \qquad \forall k \in \mathbb{N} \end{equation*}

e consideriamo la serie di funzioni \sum_{k=0}^{+\infty} f_k(x). Poiché gli intervalli su cui le funzioni f_k sono non-nulle sono disgiunti, per la somma parziale n-esima si ha

(26) \begin{equation*} S_n(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x \in \left ( \dfrac{1}{2^{n+1}},1 \right ] \\[8pt] 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}

Da ciò si evince che S_n(x)=1 per ogni n \in \mathbb{N} tale che 2^{-n-1}< x. Poiché per ogni x \in (0,1], ciò è definitivamente vero, la successione S_n delle somme parziali converge puntualmente alla funzione S \colon (0,1] \to \mathbb{R} identicamente pari a 1.

La convergenza di S_n a S non è però uniforme in quanto si ha

(27) \begin{equation*} |S_n(2^{-n-1})-S(2^{-n-1})| = 1 \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \end{equation*}

dunque la condizione della definizione 2.5 non è soddisfatta per \varepsilon=1.

Osserviamo che la convergenza è uniforme in ogni intervallo del tipo [\delta,1] con \delta \in (0,1). Infatti da (26) si vede che, se n è tale che 2^{-n-1}< \delta ossia per ogni n > 1-\log_2 \delta, vale

(28) \begin{equation*} S_n(x) = 1 = S(x) \qquad \forall x \in [\delta,1]. \end{equation*}

Dall’esempio appena studiato emerge la seguente questione.

Domanda 2.10. È sempre vero che, se una serie di funzioni converge puntualmente in un intervallo I, esiste un intervallo J \subseteq I in cui essa converge uniformemente?

La risposta a tale domanda è negativa, come mostra il seguente esempio.

Esempio 2.11. Consideriamo la successione di funzioni f_k \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da

(29) \begin{equation*} \begin{gathered} f_0(x) = \begin{cases} 1 & \text{se $x=0$} \\[4pt] 0 & \text{altrimenti}, \end{cases} \qquad \\ f_k(x) = \begin{cases} 1 & \text{se $x=\dfrac{m}{k}$ con $m \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$, coprimo con $k$} \\[8pt] 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} \quad \forall k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}. \end{gathered} \end{equation*}

Dato che ogni numero razionale x \in \mathbb{Q} \setminus \{0\} si scrive in modo unico come frazione \dfrac{m}{k} con k \in \mathbb{N} \setminus \{0\} e m \in \mathbb{Z}\setminus \{0\} coprimo con k, si vede che per la somma parziale n-esima S_n si ha

(30) \begin{equation*} S_n(x) = \begin{cases} 1 & \text{se $x=\dfrac{m}{k}$ con $m \in \mathbb{Z}$, $k \leq n$} \\[8pt] 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} \end{equation*}

Poiché ogni numero razionale si può scrivere come frazione \dfrac{m}{n} e poiché S_n è nulla su ogni numero irrazionale, si evince che la successione delle somme parziali S_n converge puntualmente alla funzione S \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da

(31) \begin{equation*} S(x) = \begin{cases} 1 & \text{se $x\in \mathbb{Q}$} \\[8pt] 0 & \text{se $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$}, \end{cases} \end{equation*}

che è anche detta funzione di Dirichlet o funzione indicatrice dei razionali.

Osserviamo però che la convergenza non è uniforme in alcun intervallo [a,b]. Infatti, si fissi [a,b] \subset \mathbb{R} e \varepsilon\leq 1. Si osservi che, per (30), ogni S_n assume valore 1 su un numero finito di punti contenuti in [a,b], mentre S vale 1 in infiniti punti di [a,b], per la densità di \mathbb{Q} in \mathbb{R} [2, teorema 2]. Quindi per ogni n \in \mathbb{N} esiste x_n \in [a,b] tale che

(32) \begin{equation*} |S_n(x_n) - S(x_n)|=|0-1|=1 \geq \varepsilon, \end{equation*}

negando dunque la condizione espressa dalla definizione 2.5. Ne segue che la serie di funzioni non converge uniformemente in [a,b]; per l’arbitrarietà di [a,b], la convergenza non è uniforme in alcun intervallo.


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