Esercizi misti sulle serie numeriche

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Questo articolo propone una raccolta di 69 esercizi misti sulle serie numeriche. Le soluzioni proposte fanno uso dei principali criteri di convergenza, oltre a risultati poco noti e difficilmente reperibili altrove, risultando così di valido aiuto nella preparazione dell’esame di Analisi Matematica 1 per studenti dei corsi di Laurea scientifici, oltre che di particolare interesse per appassionati del settore.
La serie di esercizi è preceduta da alcuni richiami teorici; si faccia riferimento a Teoria sulle serie numeriche per le dimostrazioni e ulteriori dettagli.

Segnaliamo anche gli ulteriori esercizi sulle serie numeriche:

Buona lettura!

Sommario

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La dispensa contiene una raccolta di esercizi svolti sulle serie numeriche, suddivisi per tipologia e ordinati per difficoltà. Nell’introduzione richiamiamo la definizione di serie numerica e successivamente forniamo una lista dei principali risultati riguardanti lo studio della convergenza delle serie numeriche reali, cf. sezione 1. Si faccia riferimento a Teoria sulle serie numeriche per ulteriori dettagli. I testi e le soluzioni degli esercizi proposti sono presenti rispettivamente nella sezione 2 e 3.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Jacopo Garofali

Revisori: Sara Sottile, Matteo Talluri.

Prerequisiti

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In queste note si presuppone la conoscenza di alcuni concetti di base dell’analisi matematica, tra cui i numeri (naturali, interi, reali, complessi), il principio di induzione, il concetto di successione numerica e di limite di una successione. Inoltre, per la comprensione del teorema 6, è necessario che il lettore sia familiare con la nozione di integrale di Riemann di una funzione reale di variabile reale. Infine, in molti esercizi facciamo uso degli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari.

Notazioni

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$\mathbb{N}=\{ 0,1, \dots \}$	Insieme dei numeri naturali;
$\mathbb{Z}$	Insieme dei numeri interi relativi;
$\mathbb{R}$	Insieme dei numeri reali;
$\mathbb{C}$	Insieme dei numeri complessi;
$\displaystyle \sum_{n=N}^Ma_n=a_N+a_{N+1}+\dots + a_M$	Somma di un numero finito di termini;
$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n=a_1+a_{2}+\dots$	Serie numerica di termine generale $a_n$ ;
$\displaystyle \prod_{n=N}^{M}a_n=a_N\cdot a_{N+1}\cdot \dots \cdot a_M$	Prodotto di un numero finito di termini;
$\displaystyle \prod_{n=1}^{+ \infty}a_n=a_1\cdot a_2 \cdot \dots$	Prodotto infinito di termine generale $a_n$ ;
$\|x\|$	Modulo di un numero $x \in \mathbb{R}$ (risp. $x \in \mathbb{C}$ );
$\sqrt[n]{x}$	Radice $n$ -esima un numero $x \in \mathbb{R}$ (quando esiste);
$n!$	Fattoriale di un numero $n \in\mathbb{N}$ ;
$n!!$	Doppio fattoriale di un numero $n \in\mathbb{N}$ ;
$e$	Numero di Nepero;
$\ln{x}$	Logaritmo naturale di un numero $x >0$ ;
$\sin{x}$	Seno di un numero $x \in \mathbb{R}$ ;
$\cos{x}$	Coseno di un numero $x \in \mathbb{R}$ ;
$\arctan{x}$	Arcotangente di un numero $x \in \mathbb{R}$ ;
$\lim_{n\rightarrow +\infty}$	Limite di una successione;
$\limsup_{n\rightarrow +\infty}$	Limite superiore di una successione;
$\liminf_{n\rightarrow +\infty}$	Limite inferiore di una successione;
$o(1)$	Simbolo di Landau o-piccolo di 1;
$\sim$	Relazione di asintotica equivalenza.;
$\int_a^b f(x)\,{\rm d}x$	Integrale definito tra $a$ e $b$ di una funzione.

Introduzione

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Le serie generalizzano l’operazione di addizione sui numeri reali nel caso in cui ad essere sommati siano un numero infinito di termini. Data una successione $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ possiamo considerare la successione delle some parziali associata a $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ , denotata con $\left\{ S_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ , definita da

( $\ast$ ) $\begin{equation*} \begin{split} S_n:&=\sum\limits_{k=0}^n a_k \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \end{split} \end{equation*}$

cioè la somma dei primi $n$ termini della successione, al variare di $n$ .

Definizione 1 (serie numerica). Se il limite della successione delle somme parziali (*) esiste, si pone

$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n \coloneqq \lim_{n\rightarrow +\infty}S_n \in \mathbb{R} \cup \left\{ \pm \infty \right\}.$

Se tale limite è finito, diciamo che la {serie} associata alla successione $\{ a_n \}$ è convergente, e che converge a tale limite. Se, invece, tale limite è finito o non esiste, diciamo che la serie associata alla successione $\{ a_n \}$ è non convergente.

$\quad$

Nel caso in cui la serie sia non convergente possiamo distinguere tre casi:

$\quad$

Il limite esiste e vale $\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n =+\infty$ ;

Il limite esiste e vale $\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n =-\infty$ ;

Il limite non esiste.

Nel primo caso diciamo che la serie è divergente positivamente, nel secondo caso che è divergente negativamente e nel terzo caso che è indeterminata.

Richiami di teoria

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In questa sezione richiamiamo alcuni risultati fondamentali della teoria delle serie numeriche, necessari per la risoluzione degli esercizi proposti. Per maggiori dettagli si veda Teoria sulle serie numeriche.

Proposizione 1 (condizione necessaria per la convergenza). Sia $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ una serie convergente. Allora, il suo termine generale è infinitesimo, i.e. si ha

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n = 0.$

Lemma 1 (convergenza delle serie a termini di segno costante). Le serie a termini di segno definitivamente non negativo (risp. non positivo) possono essere convergenti o divergenti positivamente (risp. negativamente), ma non indeterminate.

Lemma 2. Due successioni che differiscono definitivamente di una costante hanno lo stesso carattere.

Corollario 1. Sia $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$ una successione. Per ogni $p >0$ , le serie

$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n \quad \mbox{e} \quad \sum_{n=p}^{+\infty}a_n$

hanno lo stesso carattere.

Corollario 2. Siano $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}},\{ b_n \}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$ due successioni che coincidono definitivamente. Allora, le serie

$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n \quad \mbox{e} \quad \sum_{n=0}^{+\infty}b_n$

hanno lo stesso carattere.

Lemma 3. Sia $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ una serie convergente. Allora, per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$ , la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n)$ converge, e si ha

(1) $\begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n)=\alpha\sum_{n=0}^{+\infty}a_n. \end{equation*}$

Se, invece, la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ diverge, allora $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n)$ diverge per ogni $\alpha \neq 0$ .

Lemma 4. Siano date le serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ e $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n$ . Allora,

$\quad$

se entrambe le serie convergono, anche la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n+b_n)$ converge e si ha
$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\left(a_n+b_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n+\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n;$

se entrambe le serie divergono positivamente (risp. negativamente), oppure se una diverge positivamente (risp. negativamente) e l’altra converge, allora la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n+b_n)$ diverge positivamente (risp. negativamente).

Lemma 5 (somma geometrica). Sia $x \in \mathbb{R}$ . Allora, vale che:

$\sum_{k=0}^nx^k=\begin{cases} \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x\phantom{h}}, \mbox{ se } x \neq 1;\\ \\ n+1, \mbox{ se } x = 1. \end{cases}$

Proposizione 2 (carattere serie geometrica]. Sia $x \in \mathbb{R}$ . La serie geometrica di ragione $x$ vale

(2) $\begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}x^n =\begin{cases} \dfrac{1}{1-x}, \qquad & \text{se } x \in (-1,1) ; \\\\ +\infty, \qquad & \text{se } x \in[1,+\infty);\\\\ {\rm indeterminata}, \qquad & \text{se } x \in(-\infty,-1]. \end{cases} \end{equation*}$

Lemma 6 (somma telescopica). Sia $\{ b_n \}\subset \mathbb{R}$ una successione. Allora, vale che

(3) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{n}\left( b_{k+1}-b_k\right) = b_{n+1}-b_0. \end{equation*}$

Proposizione 3 (carattere serie telescopica). Sia $\displaystyle S= \sum_{n=0}^{+\infty}(b_{n+1}-b_n)$ una serie telescopica, allora vale:

(4) $\begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}(b_{n+1}-b_n)= \begin{cases} \left( \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n \right)-b_0, \qquad & \mbox{se esiste } \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n; \\\\ {\rm indeterminata}, \qquad & \mbox{altrimenti}. \end{cases} \end{equation*}$

$\quad$

I prossimi risultati forniscono i principali strumenti da utilizzare nello studio della convergenza delle serie numeriche a termini non negativi.

Teorema 1 (criterio del confronto). Siano $\{a_n\},\{b_n\}$ due successioni numeriche tali che definitivamente vale $0\leq a_n\leq b_n$ . Allora, si ha:

$\quad$

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n < +\infty \implies \sum_{n=0}^{+\infty}a_n < +\infty$

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n = +\infty \implies \sum_{n=0}^{+\infty}b_n = +\infty$

Teorema 2 (criterio del confronto asintotico). Siano $\{a_n\},\{b_n\}$ due successioni a termini definitivamente positivi e tale che $b_n >0$ definitivamente. Supponiamo che

$\lim_{n\to +\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\ell\in[0,+\infty].$

Si ha che

$\quad$

Se $\ell=0\,$ e $\,\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n<+\infty$ , allora $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n<+\infty$ ;

se $\ell=+\infty\,$ e $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_n=+\infty$ , allora $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n=+\infty$ ;

se $\ell \in(0,+\infty)\,$ , allora $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_n<+\infty$ se e solo se $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n<+\infty$ .

Teorema 3 (criterio di condensazione di Cauchy). Sia $\{a_n\}_{n\geq 1}$ una successione a termini positivi e monotona non crescente, ovvero

$a_n\geq a_{n+1}>0 \qquad \forall n \geq 1.$

Allora, le serie

$\sum_{n=1}^{+\infty }a_n \qquad \mbox{e} \qquad \sum_{n=0}^{+\infty }2^na_{2^n}$

hanno lo stesso carattere.

Lemma 7 (serie armonica generalizzata del primo tipo). Sia $\alpha \in \mathbb{R}$ . Allora,

$S_\alpha = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha} \quad \begin{cases} \text{converge}, \quad &\text{se}\,\,\alpha>1;\\ \text{diverge}, &\text{se}\,\,\alpha \leq 1. \end{cases}$

Lemma 8 (serie armonica generalizzata del secondo tipo). Siano $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ . Allora,

$S_{\alpha,\beta} = \sum\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta} \quad \begin{cases} {\text{converge}},&\text{se}\,\, \alpha >1\, \lor \, \left( \alpha =1\, \wedge \, \beta >1 \right);\\ +\infty ,&\text{se}\,\,\alpha <1\, \lor \, \left( \alpha =1\, \wedge \, \beta \leq 1 \right). \end{cases}$

Teorema 4 (criterio del rapporto). Sia $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ una serie a termini definitivamente positivi tale che

(5) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\ell\in[0,+\infty]. \end{equation*}$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\ell\in [0,1)$ , la serie converge;

Se $\ell\in(1,+\infty]$ , la serie diverge;

Se $\ell=1$ , il criterio è inconcludente.

Teorema 5 (criterio della radice). Sia $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ una serie a termini definitivamente positivi tale che

(6) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty }\sqrt[n]{a_{n}}=\ell\in[0,+\infty]. \end{equation*}$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\ell\in [0,1)$ , la serie converge;

Se $\ell\in(1,+\infty]$ , la serie diverge;

Se $\ell=1$ , il criterio è inconcludente.

Teorema 6 (criterio dell’integrale). Sia $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}$ una successione a termini positivi e decrescente e sia $f:[1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione positiva e decrescente tale che $f(n) = a_n$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ . Allora, l’integrale improprio $\displaystyle \int\limits_{1}^{+\infty}f(x)\,{\rm d}x$ ha lo stesso carattere della serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ .

Teorema 7 (criterio di Raabe). Sia $\displaystyle \sum_{n =1}^{+\infty} a_n$ una serie a termini definitivamente positivi, e supponiamo che esista

$\ell = \lim_{n \to +\infty} n \bigg( \frac{a_n}{a_{n+1}} -1 \bigg).$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\displaystyle \ell\in(1,+\infty]$ , la serie converge;

Se $\displaystyle\ell \in [-\infty,1)$ , la serie diverge;

Se $\displaystyle \ell=1$ , il criterio è inconcludente.

Teorema 8 (criterio del logaritmo). Sia $\displaystyle \sum_{n =1}^{+\infty} a_n$ una serie a termini definitivamente positivi e supponiamo che esista

$\ell = \lim_{n \to +\infty}\dfrac{\ln a_n}{\ln n }.$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\ell \in [-\infty,-1)$ , la serie converge;

Se $\ell \in (-1,+\infty]$ , la serie diverge;

Se $\ell=-1$ , il criterio è inconcludente.

$\quad$

Per quanto riguarda le serie a termini di segno variabile, abbiamo i seguenti risultati.

Definizione 2 (convergenza assoluta). Sia $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ una successione. Diremo che la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ è assolutamente convergente, oppure converge assolutamente, se

$\sum_{n=0}^{+\infty}\left|a_n\right| < +\infty.$

Proposizione 4 (criterio della convergenza assoluta). Sia $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ una successione. Se la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ converge assolutamente, allora converge semplicemente.

Teorema 9 (criterio di Leibniz). Sia $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$ una successione che soddisfa le seguenti proprietà:

$\quad$

$\{a_n\}$ è definitivamente monotona;

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n = 0$ .

Allora, la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n a_n$ è convergente.

Teorema 10 (criterio di Dirichlet). Siano $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}, \{ b_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ due successioni tale che:

$\quad$

la successione $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ è definitivamente monotona;

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n = 0$ ;

la successione $\{B_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ delle somme parziali di $\left\{ b_n \right\}$ è limitata.

Allora, la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n b_n$ è convergente.

Teorema 11 (criterio di Abel). Siano $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}, \{ b_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ due successioni tale che

$\quad$

la successione $\{a_n\}$ è definitivamente monotona e limitata.

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n$ converge;

Allora, la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n b_n$ è convergente.

$\quad$

Infine, ricordiamo la stima asintotica del fattoriale.

Lemma 9 (approssimazione di Stirling). Si ha

(7) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{n!}{\left( \dfrac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n}}=1, \end{equation*}$

o, equivalentemente,

(8) $\begin{equation*} n! =\sqrt{2\pi n} \left( \dfrac{n}{e}\right)^n(1+o(1)) \qquad \mbox{per } n \rightarrow + \infty. \end{equation*}$

Esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

$\begin{aligned} \sum_{n=2}^{+\infty}\log\left(\frac{n+1}{n^2}\right). \end{aligned}$

Svolgimento.

Sia $a_n=\log\left(\dfrac{n+1}{n^2}\right)$ . Poiché, se $n\geq 2$ ,

$\frac{n+1}{n^2}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\leq\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}<1,$

allora

$a_n<0,\qquad\forall\ n\geq 2,$

per cui la serie può convergere o divergere negativamente per il lemma 1. Si ha

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow+\infty}\log\frac{n}{n^2}= \lim_{n\rightarrow+\infty}\log\frac{1}{n}=-\infty,$

dunque la serie diverge negativamente, cf. proposizione 1.

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(9) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty} 3^{2n}\cdot\cos(n\pi). \end{equation*}$

Svolgimento.

Poiché

$\forall n \in \mathbb{N} \qquad \cos(n\pi)=\begin{cases} 1, & \mbox{se } n \mbox{ è pari}\\ -1, &\mbox{se } n \mbox{ è dispari} \end{cases} =(-1)^n,$

si ha

$a_n=3^{2n}\cdot\cos(n\pi)=9^n\cdot(-1)^n=(-9)^n,$

e quindi la serie data è una serie geometrica di ragione $-9$ ed è, pertanto, indeterminata, cf. proposizione 2.

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(10) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}n\sqrt{1+\frac{4}{n^3}}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Sia $a_n$ il termine generale della serie data. Si osserva che

$\lim_{n\rightarrow+\infty} a_n=\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt{n^2+\frac{4n^2}{n^3}}= \lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt{n^2+\frac{4}{n}}=+\infty$

dunque la serie non converge perché il termine generale non è infinitesimo, cf. proposizione 1.

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(11) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\ln\left(\dfrac{n+3\left(-1\right)^n}{n^2+3}\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Sia $a_n$ il termine generale della serie data. Si osserva che

$\lim_{n\rightarrow+\infty} a_n= \lim_{n\to +\infty}\ln\left(\dfrac{n+3\left(-1\right)^n}{n^2+3}\right)=\lim_{n\to +\infty}\ln\left(\dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{1+\dfrac{3\left(-1\right)^n}{n}}{1+\dfrac{3}{n}}\right)=-\infty\neq 0,$

dunque la serie non converge perché il termine generale non è infinitesimo, cf. proposizione 1.

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

$\begin{aligned} \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{\sqrt{n^2+4}-n}{\sqrt{n+8}}. \end{aligned}$

Svolgimento.

Notiamo che possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2, poiché la serie data è una serie a termini positivi. Si ha che per $n\to +\infty$

$\frac{\sqrt{n^2+4}-n}{\sqrt{n+8}}=\frac{\sqrt{n^2+4}-n}{\sqrt{n+8}}\cdot\frac{\sqrt{n^2+4}+n}{\sqrt{n^2+4}+n}=$

$=\frac{\cancel{n^2}+4-\cancel{n^2}}{\sqrt{n+8}\left(\sqrt{n^2+4}+n\right)}=\frac{2}{n^{3/2}}(1+o(1)),$

quindi la serie è asintotica a una serie armonica convergente, cf. lemma 7. Concludiamo che la serie data converge.

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(12) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^{n+\frac{1}{n}}}{\displaystyle\left(n+\frac{1}{n}\right)^n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Sia $a_n$ il termine generale della serie data. Si osserva che

$\lim_{n\rightarrow+\infty} a_n=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n^n\cdot n^{1/n}}{n^n\cdot\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)^n}= \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt[n]{n}}{\left[\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right]^{\dfrac{1}{n}}}=1,$

dunque la serie non converge perché il termine generale non è infinitesimo, cf. proposizione 1.

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(13) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{n}{(2n+1)^2}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Posto $a_n\coloneqq(-1)^n\dfrac{n}{(2n+1)^2}$ , si ha

$|a_n|=\frac{n}{(2n+1)^2}\sim\frac{n}{4n^2}=\frac{1}{4n},$

per cui la serie non converge assolutamente.

Posto $b_n\coloneqq\dfrac{n}{(2n+1)^2}$ , si ha $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}b_n=0$ e

$\begin{aligned} \forall n\geq 1\qquad b_{n+1}-b_n&=\frac{n+1}{(2n+3)^2}-\frac{n}{(2n+1)^2}=\frac{n+1}{4n^2+12n+9}-\frac{n}{4n^2+4n+1}=\\ &=\frac{4n^3+4n^2+n+4n^2+4n+1-4n^3-12n^2-9n}{(4n^2+12n+9)(4n^2+4n+1)}=\\ &=\frac{-4n^2-4n+1}{(4n^2+12n+9)(4n^2+4n+1)}<0, \end{aligned}$

Dunque, poiché la successione $\left\{ b_n \right\}$ è infinitesima e decrescente, la serie data converge per Leibniz, cf. teorema 9.

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(14) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\tan\dfrac{1}{n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Poniamo $a_n=(-1)^n\tan\dfrac{1}{n}$ , per cui $|a_n|=\tan\dfrac{1}{n}$ . Poiché $n\geq 1\implies 0<\dfrac{1}{n}\leq 1$ . Inoltre $\tan\alpha\geq\alpha$ per ogni $0\leq\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ : ma allora $|a_n|=\tan\dfrac{1}{n}\geq\dfrac{1}{n}$ e quindi la serie non converge assolutamente.

Se ora $b_n=\tan\dfrac{1}{n}$ , si ha $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}b_n=0$ ed inoltre, per la crescenza della funzione tangente,

$n<n+1\implies\dfrac{1}{n}>\dfrac{1}{n+1}\implies\tan\dfrac{1}{n}>\tan\dfrac{1}{n+1},$

Dunque, poiché la successione $\left\{ b_n \right\}$ è infinitesima e decrescente, la serie data converge per Leibniz, cf. teorema 9.

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(15) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{n^{43}}{6^n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Sia $a_n=(-1)^n\frac{n^{43}}{6^n}$ . Studiamo la convergenza assoluta della serie data. Si ha

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{(\sqrt[n]{n})^{43}}{6}=\frac{1}{6}<1,$

e quindi la serie converge assolutamente per il criterio della radice, cf. teorema 5, e dunque converge, cf. proposizione 4.

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Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(16) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^{23}}{(-2)^n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Sia $a_n=\dfrac{n^{23}}{(-2)^n}=(-1)^n\dfrac{n^{23}}{2^n}$ . Studiamo la convergenza assoluta della serie data. Si ha

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{(\sqrt[n]{n})^{23}}{2}=\frac{1}{2}<1,$

e quindi la serie converge assolutamente per il criterio della radice, cf. teorema 5, e dunque converge, cf. proposizione 4.

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

$\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{n^2-1}{n^2+1} \right)^{n^3}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Sia $a_n$ il termine generale della serie. Osserviamo che

$a_n=\left(\dfrac{n^2+1}{n^2+1}-\dfrac{2}{n^2+1} \right)^{n^3}=\left(1-\dfrac{2}{n^2+1} \right)^{n^3}=e^{n^3\ln \left(1-\frac{2}{n^2+1} \right) }.$

Per $n\to + \infty$ , abbiamo

$a_n= e^{-\frac{2n^3}{n^2+1}(1+o(1))}.$

Poiché la serie data è a termini positivi, è possibile applicare il criterio della radice, cf. teorema 5. Abbiamo

$\lim_{n\to + \infty} \sqrt[n]{a_n}= \lim_{n\to + \infty} e^{-\frac{2n^3}{n(n^2+1)}(1+o(1))}=\frac{1}{e^2}<1.$

Concludiamo che la serie data converge per il criterio della radice.

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(2n+1)! (n+5)!}{(3n+4)!}. \end{aligned}$

Svolgimento.

Sia $a_n$ il termine generale della serie data. Osserviamo che, essendo a termini positivi, possiamo applicare il criterio del rapporto, cf. teorema 4:

$\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}&=\lim_{n \to +\infty} \dfrac{(2n+3)!(n+6)!}{(3n+7)!} \cdot \dfrac{(3n+4)!}{(2n+1)! (n+5)!} & = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{(2n+3)(2n+2)(n+6)}{(3n+7)(3n+6)(3n+5)} =\\ & =\lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{\left(2n \right) \left(2n \right)\left(n \right)}{\left(3n \right) \left(3n \right)\left(3n \right)}\left(1+o\left(1 \right) \right)= \dfrac{4}{27} < 1. \end{aligned}$

Si conclude per il criterio del rapporto che la serie data converge.

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(n!)^4}{(n+3)!(3n+2)!}. \end{aligned}$

Svolgimento.

Sia $a_n$ il termine generale della serie data. Osserviamo che, essendo a termini positivi, possiamo applicare il criterio del rapporto, cf. teorema 4:

$\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}= &\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\left((n+1)! \right)^4}{(n+4)!(3n+5)!}\cdot \dfrac{(n+3)!(3n+2)!}{(n!)^4}=\\ =&\lim_{n \to +\infty} \dfrac{(n+1)^4(n!)^4}{(n+4)(3n+5)(3n+4)(3n+3)(n!)^4} = \dfrac{1}{27}<1, \end{aligned}$

Si conclude per il criterio del rapporto che la serie data converge.

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

$\begin{aligned} \sum_{n=3}^{+\infty}(-1)^n\ln\left(\dfrac{n-2}{n+1}\right). \end{aligned}$

Svolgimento.

Osserviamo che la serie data è a segni alterni. Il lettore può verificare che in questo caso il criterio della convergenza assoluta, cf. proposizione 4, risulta inconcludente. Ci proponiamo quindi di analizzare la convergenza della serie data con il criterio di Leibniz, cf. teorema 9. Notiamo che, essendo l’argomento del logaritmo minore di 1, si ha

$\ln\left(\dfrac{n-2}{n+1}\right) <0 \qquad \forall n \geq 3.$

Dunque è conveniente riscrivere la serie data come

$\sum_{n=3}^{+\infty} (-1)^n \ln\left(\dfrac{n-2}{n+1}\right) = - \sum_{n=3}^{+\infty} (-1)^n \ln \left(\dfrac{n+1}{n-2}\right).$

Poiché si ha chiaramente

$b_n \coloneqq \ln \left(\dfrac{n+1}{n-2}\right) \longrightarrow \ln(1)=0 \qquad \mbox{per } n \to + \infty,$

per dimostrare che la serie data converge è sufficiente mostrare che si ha definitivamente

$b_{n+1} \leq b_n.$

Osserviamo che

$\begin{aligned} \ln \left(\dfrac{n+1}{n-2}\right) = \ln\left( 1+ \dfrac{3}{n-2} \right), \end{aligned}$

Poiché la successione

(17) $\begin{equation*} \left\{ 1+ \dfrac{3}{n-2} \right\}_{n \geq 3} \end{equation*}$

è chiaramente descrescente, la successione $\left\{ b_n \right\}_{n\geq 3}$ risulta decrescente in quanto composizione di una funzione crescente, i.e. il logaritmo, con una successione decrescente, i.e. la (17). Si conclude che la serie data converge per il criterio di Leibniz.

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

$\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^2}{(n+2)^3\ln(n+1)}. \end{equation*}$

Svolgimento.

La serie è a termini positivi, quindi possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2. Per $n \to+\infty$ si ha

$\dfrac{n^2}{(n+2)^3\ln(n+1)}=\dfrac{n^2}{n^3\left(1+\dfrac{2}{n}\right)^3\left(\ln n +\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\right)}=\dfrac{1}{n\ln n }(1+o(1)).$

Dunque, la serie data è asintotica a una serie armonica generalizzata, cf. lemma 8, che risulta divergente e quindi diverge per il criterio del confronto asintotico.

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

$\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(n^4+9^n \right)^\frac{1}{4}-n}{n^{\sqrt{n}}+2^n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Sia $a_n$ il termine generale della serie. Osserviamo che

(18) $\begin{equation*} a_n=\dfrac{9^\frac{n}{4}}{2^n}\cdot\dfrac{\left(1+\dfrac{n^4}{9^n} \right)^\frac{1}{4}-\dfrac{n}{9^\frac{n}{4}}}{1+\dfrac{n^{\sqrt{n}}}{2^n}}=\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^n\cdot\dfrac{\left(1+\dfrac{n^4}{9^n} \right)^\frac{1}{4}-\dfrac{n}{9^\frac{n}{4}}}{1+\dfrac{n^{\sqrt{n}}}{2^n}}. \end{equation*}$

Ricordiamo che

(19) $\begin{equation*} \forall a >1, \;b>0 \qquad \lim_{n\to +\infty} \dfrac{n^b}{a^n} = \lim_{n\to +\infty} \dfrac{n^{\sqrt{n}}}{a^n}= 0. \end{equation*}$

Infatti,

$\forall a >1, \;b>0 \qquad 0\leq \lim_{n\to +\infty} \dfrac{n^b}{a^n} \leq \lim_{n\to +\infty} \dfrac{n^{\sqrt{n}}}{a^n}= \lim_{n\to+\infty} e^{\sqrt{n}\ln n-n\ln a}=\lim_{n\to+\infty} e^{-n\ln a(1+o(1))}=0.$

Dunque, applicando ripetutamente la (19) in (18), si trova che per $n\to + \infty$

$a_n= \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^n(1+o(1)).$

Pertanto, la serie data è asintotica a una serie geometrica di ragione $q= \dfrac{\sqrt{3}}{2}<1$ , che è convergente, cf. proposizione 2. Concludiamo che la serie data converge per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

$\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(n^4+9^n \right)^\frac{1}{4}-n}{n^{\sqrt{n}}+2^{\sqrt{n}}}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Sia $a_n$ il termine generale della serie. Osserviamo che

(20) $\begin{equation*} a_n=\dfrac{9^\dfrac{n}{4}}{n^{\sqrt{n}}}\cdot\dfrac{\left(1+\dfrac{n^4}{9^n} \right)^\frac{1}{4}-\dfrac{n}{9^\frac{n}{4}}}{1+\dfrac{2^{\sqrt{n}}}{n^{\sqrt{n}}}}=\dfrac{\sqrt{3}^n}{n^{\sqrt{n}}}\cdot\dfrac{\left(1+\dfrac{n^4}{9^n} \right)^\frac{1}{4}-\dfrac{n}{9^\frac{n}{4}}}{1+\dfrac{2^{\sqrt{n}}}{n^{\sqrt{n}}}}, \end{equation*}$

e notiamo che

(21) $\begin{equation*} \lim_{n\to +\infty} \frac{2^{\sqrt{n}}}{n^{\sqrt{n}}}=\lim_{n\to+\infty} e^{\sqrt{n}(\ln 2-\ln n)}=0. \end{equation*}$

Dunque, applicando ripetutamente la (19) per il numeratore di (20) e la (21) per il denominatore, si trova che per $n\to + \infty$

(22) $\begin{equation*} a_n=\dfrac{\sqrt{3}^n}{n^{\sqrt{n}}}(1+o(1)). \end{equation*}$

Applichiamo ora il criterio della radice utilizzando lo sviluppo (22):

$\lim_{n \rightarrow +\infty}\sqrt[n]{a_n}= \lim_{n \rightarrow +\infty}\sqrt{3}\dfrac{1}{n^\frac{1}{\sqrt{n}}}=\sqrt{3}\lim_{n \rightarrow +\infty}e^{-\frac{\ln n}{\sqrt{n}}}=\sqrt{3}>1.$

Concludiamo che la serie data diverge per il criterio della radice, cf. teorema 5.

Esercizio 18 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie³:

$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2}{\left(\!\!\!\begin{array}{c} 3n+2\\ 3n \end{array}\!\!\!\right)}. \end{aligned}$

Ricordiamo la definizione del coefficiente binomiale: $\forall n,k \in \mathbb{N}$ tale che $k\leq n$ si ha $\displaystyle \binom{n}{k}\coloneqq \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ . ↩

Svolgimento.

Sia $a_n$ il termine generale della serie data. Osserviamo che per $n\to + \infty$

$\begin{aligned} a_n&=2\left[\left(\!\!\!\begin{array}{c} 3n+2\\ 3n \end{array}\!\!\!\right)\right]^{-1}=2\left[\frac{(3n+2)!}{(3n)!(3n+2-3n)!}\right]^{-1}= \\ &= 2\cdot\frac{2!\cdot (3n)!}{(3n+2)(3n+1)\cdot(3n)!}=\frac{4}{(3n+2)(3n+1)}=\frac{4}{9n^2}(1+o(1). \end{aligned}$

La serie data è asintotica a una serie armonica di esponente $\alpha=2$ , dunque è convergente, cf. lemma 7, teorema 2.

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(23) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\displaystyle\left(\!\!\!\begin{array}{c} 3n+1\\ 3n-1 \end{array}\!\!\!\right)}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Sia $a_n$ il termine generale della serie data. Si ha

$|a_n|=\frac{1}{\displaystyle\left(\!\!\!\begin{array}{c} 3n+1\\ 3n-1 \end{array}\!\!\!\right)}= \frac{(3n-1)!\cdot 2!}{(3n+1)!}=$

$=\frac{(3n-1)!\cdot 2}{(3n+1)\cdot 3n \cdot (3n-1)!}=\frac{2}{(3n+1)(3n)}=\frac{2}{3n\cdot 3n}(1+o(1))=\frac{2}{9n^2}(1+o(1)),$

quindi la serie converge assolutamente per confronto asintotico con una serie armonica convergente, cf. lemma 7, teorema 2, e dunque converge, cf. proposizione 4.

Esercizio 20 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(24) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt[4]{n}}\right)-\sin\left(\dfrac{1}{\sqrt[4]{n}}\right)\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Per $n\to+\infty$ , si ha:

$\begin{aligned} \arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt[4]{n}}\right)-\sin\left(\dfrac{1}{\sqrt[4]{n}}\right)=\dfrac{1}{\sqrt[4]{n}}-\dfrac{1}{3\sqrt[4]{n^3}}-\dfrac{1}{\sqrt[4]{n}}+\dfrac{1}{6\sqrt[4]{n^3}}+o\left(\dfrac{1}{\sqrt[4]{n^3}}\right)=-\dfrac{1}{6\sqrt[4]{n^3}}+o\left(\dfrac{1}{\sqrt[4]{n^3}}\right), \end{aligned}$

quindi la serie data è a termini definitivamente negativi. Poiché la serie

$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{\sqrt[4]{n^3}}$

diverge, cf. lemma 7, anche la serie data diverge (negativamente) per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Esercizio 21 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

$\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(3n)!}{n^{4n} }. \end{equation*}$

Svolgimento 1.

Proponiamo tre soluzioni alternative.

La serie è a termini positivi, quindi possiamo applicare il criterio del rapporto, cf. teorema 4.

$\begin{equation*} \begin{aligned} \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{(3n+3)!}{(n+1)^{4n+4}} \cdot \frac{n^{4n}}{(3n)!} & = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{(n+1)^4} \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^{4n} = \\ & = \lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{27n^3}{n^4\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^ {4n}}\left(1+o(1) \right) = \\ & = \lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{27n^3}{n^4\,e^{4}}\left(1+o(1) \right)=0<1. \end{aligned} \end{equation*}$

Concludiamo che la serie data converge.

Svolgimento 2.

Per studiare la serie data è utile ricordare la stima asintotica del fattoriale nota come approssimazione di Stirling, cf. lemma 9. Sostituendo (8), abbiamo

(25) $\begin{equation*} \begin{aligned} \frac{(3n)!}{n^{4n}} & = \frac{\sqrt{2 \pi\left( 3 n\right)} \left( \dfrac{3n}{e} \right)^{3n}}{n^{4n}}\left(1+o(1)\right)=\\ & = \dfrac{(3)^{3n}n^{3n}\sqrt{6\pi n}}{n^{4n}e^{3n}}\left(1+o(1)\right)=\\ & = \left(\dfrac{3}{e}\right)^{3n}\dfrac{\sqrt{6\pi n}}{n^n}\left(1+o(1)\right) \quad \text{per }\,n\rightarrow+\infty. \end{aligned} \end{equation*}$

Poiché, ad esempio,

(26) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{\left(\dfrac{3}{e}\right)^{3n}\dfrac{\sqrt{6\pi n}}{n^n}}{\dfrac{1}{n^2}}=0, \end{equation*}$

e la serie

$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}$

converge, cf. lemma 7, per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 5, concludiamo che la serie data converge.

Svolgimento 3.

Notiamo che, una volta calcolato lo sviluppo (25), possiamo concludere senza notare la (26), usando il criterio della radice, cf. teorema 5:

$\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{ \frac{(3n)!}{n^{4n}}} & = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[2n]{6 \pi n} \left( \dfrac{3}{e} \right)^{3}\cdot \dfrac{1}{n}\left( 1+o(1)\right) =0<1. \end{aligned}$

Concludiamo che la serie data converge.

Esercizio 22 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

$\begin{equation*} \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \ln\left(\dfrac{n^3+n+4}{n^3+2}\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che la serie data è a termini positivi e la riscriviamo come segue:

$\begin{aligned} \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \ln\bigg(\frac{n^3+2+n+2}{n^3+2}\bigg)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} \ln\bigg(1+\frac{n+2}{n^3+2}\bigg). \end{aligned}$

Notiamo che

$\begin{aligned} \ln\bigg(1+\frac{n+2}{n^3+2}\bigg)= \ln \left(1+\frac{1}{n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\right) =\frac{1}{n^2}\left(1+o(1) \right) \quad \text{per} \quad n \rightarrow +\infty. \end{aligned}$

Dunque, la serie data è asintotica alla serie

$\begin{equation*} \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}, \end{equation*}$

che è una serie armonica generalizzata del primo tipo convergente, cf. lemma 7, e dunque converge per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Esercizio 23 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

$\begin{equation*} \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \left(e^{\ln\left(\frac{1}{n^2}\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)}\right)^{n^3}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Riscriviamo il termine generale come segue:

$\left(e^{\ln\left(\frac{1}{n^2}\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)}\right)^{n^3}= e^ {n^3\ln\left(\frac{1}{n^2}\cos \frac{1}{n} \right)},$

e sviluppiamo l’esponente per $n \to + \infty$ :

$\begin{aligned} n^3\ln\left(\frac{1}{n^2}\cos \frac{1}{n} \right)=n^3\ln\left(1+\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)=n^3\left(\frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^2}) \right)= n\left(1+o(1) \right). \end{aligned}$

Dunque, il termine generale della serie data non converge a zero, il che è sufficiente a concludere che la serie data non converge, cf. proposizione 1. Infine, poiché è a termini positivi, concludiamo che la serie data diverge positivamente, cf. lemma 1.

Esercizio 24 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

$\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^{\ln n}}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Ricordiamo che, per ogni $\alpha,\ \beta>0$ si ha

(27) $\begin{equation*} \alpha^{\ln\beta}=\beta^{\ln\alpha}. \end{equation*}$

Infatti, dall’identità $x=e^{\ln x}$ si trova

$a^{\ln\beta}=e^{\ln a^{\ln\beta}}=e^{\ln\beta\cdot\ln\alpha}=\left( e^{\ln\beta} \right)^{\ln\alpha}=\beta^{\ln\alpha}.$

La serie

$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^{\ln n}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{\ln 2}},$

diverge, in quanto è una serie armonica di esponente $\ln 2<1$ , cf. lemma 7.

Esercizio 25 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

$\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^{\ln(n!)}}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Ricordiamo che

(28) $\begin{equation*} n!\geq n^2 \qquad \forall n\geq 4, \end{equation*}$

dunque, per $n\geq 4$ , abbiamo

$\ln(n!)\geq\ln n^2=2\ln n\iff 2^{\ln(n!)}\geq 2^{2\ln n}=4^{\ln n},$

e quindi, per (27), si ha

$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^{\ln(n!)}}\leq\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{4^{\ln n}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{\ln 4}}.$

Quest’ultima converge, in quanto è una serie armonica generalizzata con esponente $\ln 4>1$ , cf. lemma 7, e dunque la serie data converge per confronto, cf. teorema 1.

Esercizio 26 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

$\begin{equation*} \sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{\left(\sqrt{2}\right)^{-n}}{2^n-\sqrt{5n+4}}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Notiamo che

(29) $\begin{equation*} \lim_{n\to +\infty}\dfrac{\sqrt{5n+4}}{2^n}=0, \end{equation*}$

dunque, per $n\to \infty$ , abbiamo

$\dfrac{\left(\sqrt{2}\right)^{-n}}{2^n-\sqrt{5n+4}} =\dfrac{\left(\sqrt{2}\right)^{-n}}{2^n}(1+o(1))= 2^{-\frac{3}{2}n}(1+o(1)).$

Dunque, la serie data è asintotica a una serie geometrica di ragione $2^{-\frac{3}{2}}<1$ , che è convergente, cf. proposizione 2. Concludiamo per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2, che la serie data converge.

Esercizio 27 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

$\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln^3n}{n^{\sqrt{n}}+n^5\arctan\left(1+e^n\right)}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che la serie data è a termini non negativi e la riscriviamo come segue:

$a_n \coloneqq \dfrac{\ln^3n}{n^{\sqrt{n}}+n^5\arctan\left(1+e^n\right)}= \dfrac{\ln^3n}{n^{\sqrt{n}}\left(1+\dfrac{n^5\arctan\left( 1+e^n\right)}{n^{\sqrt{n}}} \right) } \qquad \forall n \geq 1.$

Poiché si ha

$\lim_{n \to + \infty} \dfrac{n^5\arctan\left( 1+e^n\right)}{n^{\sqrt{n}}} \leq \dfrac{\pi}{2}\lim_{n \to + \infty} \dfrac{n^5}{n^{\sqrt{n}}} =0,$

abbiamo che per $n\to + \infty$

(30) $\begin{equation*} a_n= \dfrac{\ln^3n}{n^{\sqrt{n}}}\left(1+o(1) \right) \leq b_n \coloneqq \dfrac{\ln^3n}{n^{2}}\left(1+o(1) \right), \end{equation*}$

dove nell’ultima uguaglianza abbiamo utilizzato la stima $\sqrt{n}\geq 2$ , valida per $n\geq 4$ .

Notiamo che la serie di termine generale $b_n$ è asintotica a una serie armonica generalizzata del secondo tipo convergente, cf. lemma 8, e quindi converge per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2. Dunque, la stima (30) afferma che la serie data è definitivamente maggiorata da una serie convergente, e dunque converge per il criterio del confronto, cf. teorema 1.

Esercizio 28 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

$\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n \sin\left( \ln n\right) }{\sqrt{n}+\ln^2\left(n! \right)}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che la serie data è a termini di segno variabile. Per studiarne l’eventuale convergenza possiamo applicare il criterio della convergenza assoluta, cf. proposizione 4. Detto $a_n$ il termine generale della serie, notiamo che

$|a_n| \leq b_n \coloneqq \dfrac{n }{\sqrt{n}+\ln^2\left(n! \right)} \qquad \forall n \geq 1.$

Ricordando l’approssimazione di Stirling, cf. lemma 9, per $n\to + \infty$ abbiamo

(31) $\begin{equation*} \begin{aligned} \ln^2(n!)&=\ln^2\left(n^n\cdot e^{-n}\cdot \sqrt{2\pi n}\cdot \left(1+o(1) \right) \right)=n^2\ln^2(n)+n^2+ \frac 1 4 \ln^2(2\pi n)+ o(1)=\\ &=n^2\ln^2(n)(1+o(1)). \end{aligned} \end{equation*}$

Sviluppiamo $b_n$ per $n\to + \infty$ :

$\begin{aligned} b_n&=\dfrac{n }{\sqrt{n}+\ln^2\left(n! \right)}=\dfrac{n }{\ln^2\left(n! \right)\left(1+\dfrac{\sqrt{n}}{ \ln^2\left(n! \right)}\right)}=\\ &=\dfrac{n }{n^2\ln^2\left(n \right)\left(1+\dfrac{\sqrt{n}}{ n^2\ln^2\left(n\right)(1+o(1))}\right)}(1+o(1))=\dfrac{1}{n^{\frac 3 2}\ln^2\left(n \right)}(1+o(1)), \end{aligned}$

dove nella seconda riga abbiamo applicato la (31).

Dunque, la serie di termine generale $b_n$ converge per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2, in quanto è asintotica a una serie armonica generalizzata del secondo tipo convergente, cf. lemma 8. Concludiamo che la serie data converge asssolutamente, e dunque converge per il criterio della convergenza assoluta.

Esercizio 29 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(32) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}n^3\left(e^{-\frac{1}{2n^2}}-\cos\left( \dfrac{n}{n^2+1}\right) \right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Sviluppiamo i vari termini di cui è composto il termine generale della serie⁴:

(33) $\begin{equation*} e^{-\frac{1}{2n^2}}=1-\dfrac{1}{2n^2}+\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{4n^4} \right)+o\left(\dfrac{1}{n^4}\right)=1-\dfrac{1}{2n^2}+\dfrac{1}{8n^4}+o\left(\dfrac{1}{n^4}\right), \end{equation*}$

(34) $\begin{equation*} \begin{aligned} \cos \left(\dfrac{n}{n^2+1}\right)&=\cos\left(\dfrac{1}{n}\left(1+\frac{1}{n^2} \right)^{-1} \right)= \cos\left(\dfrac{1}{n}\left(1-\dfrac{1}{n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2} \right) \right) \right)=\\ &=\cos\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^3}+o\left(\dfrac{1}{n^3} \right) \right) = 1-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{2}{n^4} \right)+\dfrac{1}{24n^4}+o\left( \dfrac{1}{n^4}\right)=\\ & = 1-\dfrac{1}{2n^2}+\dfrac{25}{24n^4} +o\left(\dfrac{1}{n^4}\right). \end{aligned} \end{equation*}$

Sottraendo membro a membro (33) e (34), e moltiplicando per $n^3$ , si trova

$\begin{aligned} n^3\left( e^{-\frac{1}{2n^2}}-\cos \left(\dfrac{n}{n^2+1}\right) \right)& = n^3\left( 1-\dfrac{1}{2n^2}+\dfrac{1}{8n^4}-\left(1-\dfrac{1}{2n^2}+\dfrac{25}{24n^4} \right)+o\left(\dfrac{1}{n^4}\right) \right)=\\ & =n^3\left( \dfrac{1}{8n^4}-\dfrac{25}{24n^4}+o\left(\dfrac{1}{n^4} \right) \right)=-\dfrac{11}{12n}+o\left(\dfrac{1}{n} \right). \end{aligned}$

Dunque, la serie data è asintotica a una serie armonica che diverge negativamente, cf. lemma 7, e dunque diverge negativamente per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

La scelta di operare uno sviluppo di Taylor ha più uno scopo didattico che pratico. Il calcolo dei coefficienti di ordine superiore dello sviluppo si potrebbe evitare utilizzando il simbolo di Landau $O(1)$ e fermando lo sviluppo al termine proporzionale a $n^{-1}$ . Ad esempio: $e^{-\frac{1}{2n^2}}=1-\dfrac{1}{2n^2}+O\left( \dfrac{1}{n^4} \right)$ . ↩

Esercizio 30 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(35) $\begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty}\bigg(\sin \big(\sin (n)\big)\bigg)^n. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che si ha

(36) $\begin{equation*} | \sin x | \leq 1 \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

dunque, poiché la funzione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; f(x)=\sin x$ è crescente in $[-1,1]$ , abbiamo

$\begin{aligned}\label{eq1:misti:es67.1} \bigg|\sin(\sin n)\bigg|^n \leq \left|\sin(1)\right|^n. \end{aligned}$

Notiamo che il termine a destra di (??) è il termine generale di una serie geometrica di ragione minore di 1⁵, la quale è convergente, cf. proposizione 2. Dunque, la serie data converge assolutamente per il criterio del confronto, cf. teorema 1, e quindi è convergente, cf. proposizione 4.

Infatti, si ha che $\sin(1) \approx 0.84 < 1$ . ↩

Esercizio 31 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(37) $\begin{equation*} \sum_{n=3}^{+\infty}\frac{1}{n\ln\big(\ln(n)\big)^{\ln(n)}}. \end{equation*}$

Svolgimento.

La serie data è a termini positivi, e decrescenti, dunque possiamo applicare il criterio di condensazione, cf. teorema 3. Sia $a_n$ il termine generale della serie data e sia $b_n$ il termine generale della serie condensata. Abbiamo

$\begin{aligned} b_n&\coloneqq 2^na_{2^n} = \frac{2^n}{2^n\ln\big(\ln(2^n)\big)^{\ln(2^n)}} = \frac{1}{\ln\big(n\ln(2)\big)^{n\ln(2)}}. \end{aligned}$

Per studiare il carattere della serie condensata, applichiamo il criterio della radice, cf. teorema 5:

$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{\ln\big(n\ln(2)\big)^{n\ln(2)}}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\ln\big(n\ln(2)\big)^{\ln(2)}}=0<1.$

Pertanto, concludiamo che la serie condensata converge, e quindi anche la serie data converge.

Esercizio 32 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie

(38) $\begin{equation*} \sum_{n=2}^{+\infty} \ln\left(\frac{ n+2(-1)^n}{n+1} \right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Per prima cosa, studiamo il segno del termine generale della serie:

$\ln\left(\frac{ n+2(-1)^n}{n+1} \right)>0 \quad \iff \quad \frac{ n+2(-1)^n}{n+1} > 1 \quad \iff \quad n+2(-1)^n > n+1 \quad \iff \quad 2(-1)^n > 1,$

che è risolta per $n$ pari, quindi si tratta di una serie a segni alterni.

Per studiare la serie facciamo uno sviluppo di Taylor, ma prima, per comodità, applichiamo il cambio di variabile $n \mapsto n+1$ : si ha

$\sum_{n=2}^{+\infty} \ln\left(\frac{ n+2(-1)^n}{n+1} \right)=\sum_{n=3}^{+\infty} \ln\left(\frac{ n-1+2(-1)^{n-1}}{n} \right).$

Sviluppiamo il termine generale per $n\to+\infty$ ⁶. Si ha:

$\begin{aligned} \ln\left(\frac{ n-1+2(-1)^{n-1}}{n} \right) &= \ln \left(\frac{n-1-2(-1)^n}{n}\right)= \\ &= \ln \left(1-\frac{1+2(-1)^n}{n}\right)=\\ &=-\dfrac{1+2\left(-1\right)^n}{n}-\dfrac{1}{2}\dfrac{(1+2\left(-1\right)^n)^2}{n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right), \qquad \text{per }\,\, n \rightarrow +\infty, \end{aligned}$

quindi la serie data può essere riscritta come segue:

$\sum_{n=3}^{+\infty}\Bigg(\underbrace{-\dfrac{1}{n}}_{a_n}- \underbrace{\dfrac{2\left(-1\right)^n}{n}}_{b_n}-\underbrace{\dfrac{(1+2\left(-1\right)^n)^2}{2n^2}(1+o(1))}_{c_n}\Bigg).$

La serie di termine generale $a_n$ diverge negativamente, in quanto è una serie armonica. La serie di termine generale $b_n$ converge per il criterio di Leibniz, cf. teorema 9, così come converge la serie di termine generale $c_n$ , perché è a termini positivi e il suo termine generale è dominato dalla successione $\left\{ d_n \right\}$ definita da

$d_n=\dfrac{9}{2n^2} \qquad \forall n \geq 3,$

dunque asintotica, cf. teorema 2, a una serie armonica generalizzata del primo tipo convergente, cf. lemma 7. Concludiamo che la serie data diverge negativamente.

Si noti che stiamo solo operando uno sviluppo di Taylor per $n\to+\infty$ e non stiamo cercando di applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2. Quest’ultimo non è applicabile perché la serie non è a termini di segno definitivamente costante. ↩

Esercizio 33 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\displaystyle\left(\!\!\!\begin{array}{c} 4n\\ 3n \end{array}\!\!\!\right)}. \end{aligned}$

Svolgimento.

Sia $\left\{ a_n \right\}$ il termine generale della serie data. Osserviamo che

$a_n=\left[\left(\!\!\!\begin{array}{c} 4n\\ 3n \end{array}\!\!\!\right)\right]^{-1}=\left[\frac{(4n)!}{(3n)!(4n-3n)!}\right]^{-1}=\frac{n!\cdot (3n)!}{(4n)!}.$

Si ha che per ogni $n\geq 1$

$\begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{a_n}=&\frac{(n+1)!\cdot (3n+3)!}{(4n+4)!}\cdot\frac{(4n)!}{n!\cdot (3n)!}=\\ =&\frac{(n+1)\cdot n!\cdot(3n+3)(3n+2)(3n+1)\cdot(3n)!}{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)\cdot(4n)!}\cdot\frac{(4n)!}{n!\cdot (3n)!}=\\ =&\frac{(n+1)(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}, \end{aligned}$

da cui

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n\cdot 3n\cdot 3n\cdot 3n}{4n\cdot 4n\cdot 4n\cdot 4n}=\frac{27}{256}<1,$

e quindi la serie converge per il criterio del rapporto.

Esercizio 34 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(39) $\begin{equation*} \sum_{n=2}^{+\infty} (-1)^n\left( \frac{1}{n^\frac{1}{3}}- \sin\left(\frac{1}{n^\frac{1}{3}}\right) \right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che la serie data è a segni alterni, in quanto si ha

$|\sin x| \leq |x| \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

Proviamo ad applicare il criterio della convergenza assoluta:

$\sum_{n=1}^{+\infty}\left \vert (-1)^n\left( \frac{1}{n^\frac{1}{3}}- \sin\left(\frac{1}{n^\frac{1}{3}}\right) \right)\right \vert=\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{1}{n^\frac{1}{3}}- \sin\left(\frac{1}{n^\frac{1}{3}}\right) \right).$

Per $n\to+\infty$ , si ha:

$\left( \frac{1}{n^\frac{1}{3}} - \left( \frac{1}{n^\frac{1}{3}} - \frac{1}{6n} +o\left(\frac{1}{6n}\right)\right)\right)= \frac{1}{6n}(1+o\left(1\right)) ,$

da cui deduciamo che la serie

$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n},$

che è una serie armonica divergente, cf. lemma 7, ha lo stesso carattere della serie data per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2. Concludiamo che il criterio della convergenza assoluta risulta inefficace.

Riscriviamo la serie come segue:

$\sum_{n=2}^{+\infty} (-1)^n\left( \frac{1}{n^\frac{1}{3}}- \sin\left(\frac{1}{n^\frac{1}{3}}\right) \right)= \sum_{n=1}^{+\infty}\Bigg[\left(-1\right)^n\underbrace{\dfrac{1}{n^{\frac{1}{3}}}}_{a_n}-\left(-1\right)^n\underbrace{\sin\left(\dfrac{1}{n^{\frac{1}{3}}}\right)}_{b_n}\Bigg].$

Osserviamo che

$\sin\left(\dfrac{1}{n^{\frac{1}{3}}}\right)>0 \qquad \forall n\geq 1,$

e che, essendo la funzione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; f(x)=\sin x$ crescente in $[0,1]$ , si ha

$\sin\left(\dfrac{1}{n^{\frac{1}{3}}}\right)< \sin\left(\dfrac{1}{\left(n+1\right)^{\frac{1}{3}}}\right)\qquad \forall n\geq1.$

Dunque, poiché entrambe le successioni $\{ a_n \}$ e $\{ b_n \}$ sono definitivamente monotone, le serie alterne associate convergono per il criterio di Leibniz, cf. teorema 9. Si conclude che la serie data converge semplicemente, perché è data dalla somma di due serie convergenti.

Esercizio 35 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(40) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{\left(n^2+1\right)\arctan \left(n\right)}. \end{equation*}$

Svolgimento.

La successione $\left\{\dfrac{1}{\left(n^2+1\right)\arctan \left(n\right)}\right\}$ è a termini positivi e monotona decrescente, pertanto è possibile applicare il criterio dell’integrale, cf. teorema 6. Poiché il seguente integrale improprio

$\int_{1}^{+\infty}\dfrac{1}{\left(x^2+1\right)\arctan x}\,{\rm d}x=\ln\left(\arctan\left(x\right)\right)\bigg\vert^{+\infty}_1=\ln \left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\ln\left(\dfrac{\pi}{4}\right),$

converge, anche la serie data converge.

Esercizio 36 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(41) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}n^4\left(\arctan\left(n^3\right)-\dfrac{\pi}{2}\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

È utile ricordare che

$\arctan x + \arctan\left( \dfrac{1}{x} \right) = \dfrac{\pi}{2} \qquad \forall x >0.$

Pertanto, abbiamo

$\lim_{n\to+\infty}n^4\left(\arctan\left(n^3\right)-\dfrac{\pi}{2}\right)=\lim_{n\to+\infty}n^4\left(-\arctan\left(\dfrac{1}{n^3}\right)\right)=\lim_{n\to+\infty}-n^4\left( \dfrac{1}{n^3} + o \left( \dfrac{1}{n^3} \right) \right)=-\infty,$

e dunque la serie data non converge, cf. proposizione 1.

Esercizio 37 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(42) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{\sinh n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Ricordiamo la definizione di seno iperbolico:

$\sinh x \coloneqq \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2} \sim \dfrac{e^{x}}{2} \qquad \mbox{per } x \to \infty.$

Dunque, per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2, la serie data ha lo stesso carattere della serie

$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{2}{e^{n}},$

che è proporzionale a una serie geometrica, cf. proposizione 2, di ragione $1/e<1$ . Concludiamo che la serie data converge.

Esercizio 38 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(43) $\begin{equation*} \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Sia $a_n$ il termine generale della serie data. Per ogni $n \geq 2$ , si ha

$|a_n|=\frac{1}{n+(-1)^n}=\frac{1}{n}(1+o(1)), \qquad \text{per } n \to +\infty,$

quindi la serie non converge assolutamente.

Posto $b_n=\dfrac{1}{n+(-1)^n}$ , si ha $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}b_n=0$ . Inoltre

$\begin{aligned} b_{n+1}-b_n&=\frac{1}{n+1+(-1)^{n+1}}-\frac{1}{n+(-1)^n}=\frac{1}{n+1-(-1)^n}-\frac{1}{n+(-1)^n}=\\ &=\frac{n+(-1)^n-n-1+(-1)^n}{(n+1-(-1)^n)(n+(-1)^n)}=\frac{2\cdot(-1)^n-1}{(n+1-(-1)^n)(n+(-1)^n)}. \end{aligned}$

Ora, se $n=2h$ ,

$b_{2h+1}-b_{2h}=\frac{2\cdot(-1)^{2h}-1}{(2h+1-(-1)^{2h})(2h+(-1)^{2h})}=\frac{1}{2h\cdot(2h+1)}>0,$

mentre, se $n=2h+1$ ,

$b_{2h+2}-b_{2h+1}=\frac{2\cdot(-1)^{2h+1}-1}{(2h+1+1-(-1)^{2h+1})(2h+1+(-1)^{2h+1})}=\frac{-3}{(2h+3)\cdot 2h}<0,$

per cui non possiamo applicare il criterio di Leibniz, cf. teorema 9.

Tuttavia, osserviamo che per ogni $n\geq 2$

$\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}=(-1)^n\cdot\frac{1}{n+(-1)^n}\cdot\frac{n-(-1)^n}{n-(-1)^n}=(-1)^n\cdot\frac{n-(-1)^n}{n^2-(-1)^{2n}}=$

$=(-1)^n\left\{\frac{n}{n^2-1}-\frac{(-1)^n}{n^2-1}\right\}=\frac{(-1)^n\cdot n}{n^2-1}-\frac{1}{n^2-1}.$

Posto

$\forall n \geq 2 \qquad c_n=\frac{n}{n^2-1},\qquad d_n=\frac{1}{n^2-1},$

osserviamo che la serie $\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} d_n$ converge per confronto asintotico con la serie armonica, cf. lemma 7. Mostriamo che ancha la serie $\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} (-1)^n c_n$ converge: si ha $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}c_n=0$ , e inoltre

$\begin{aligned} c_{n+1}-c_n&=\frac{n+1}{(n+1)^2-1}-\frac{n}{n^2-1}=\frac{n+1}{n(n+2)}-\frac{n}{(n+1)(n-1)}=\\ &=\frac{(n+1)(n^2-1)-n^2(n+2)}{n(n-1)(n+1)(n+2)}=\frac{n^3-n+n^2-1-n^3-2n^2}{n(n-1)(n+1)(n+2)}=\\ &=\frac{-n^2-n-1}{n(n-1)(n+1)(n+2)}=-\frac{n^2+n+1}{n(n-1)(n+1)(n+2)}<0. \end{aligned}$

Dunque, la successione $\left\{ c_n \right\}$ è infinitesima e decrescente e quindi la serie converge per il criterio di Leibniz. Abbiamo mostrato che la serie data è la somma di due serie convergenti, dunque è convergente.

Esercizio 39 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(44) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\left(\frac{1}{n}+\frac{(-1)^n}{n^2}\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Sia $a_n$ il termine generale della serie data. Per ogni $n \geq 1$ , si ha

$|a_n|=\frac{1}{n}+\frac{(-1)^n}{n^2}=\frac{1}{n}\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)=\frac{1}{n}(1+o(1)), \qquad \text{per } n \to +\infty$

quindi la serie non converge assolutamente.

Posto $b_n=\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{(-1)^n}{n^2}\right)$ per ogni $n\geq 1$ , si ha $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}b_n=0$ . Inoltre, per ogni $n\geq 1$

$\begin{aligned} b_{n+1}-b_n&=\frac{1}{n+1}+\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)^2}-\frac{1}{n}-\frac{(-1)^n}{n^2}=\\ &=\frac{n-n-1}{n(n+1)}+\frac{(-1)^{n+1}\cdot n^2-(-1)^n\cdot(n+1)^2}{n^2(n+1)^2}=\\ &=-\frac{1}{n(n+1)}+(-1)^{n+1}\cdot\frac{n^2+(n+1)^2}{n^2(n+1)^2}=\\ &=-\frac{1}{n(n+1)}+(-1)^{n+1}\cdot\left(\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{n^2}\right). \end{aligned}$

Ora, se $n=2h$ ,

$\begin{aligned} b_{2h+1}-b_{2h}&=-\frac{1}{2h(2h+1)}+(-1)^{2h+1}\cdot\left(\frac{1}{(2h+1)^2}+\frac{1}{4h^2}\right)=\\ &=-\frac{1}{2h(2h+1)}-\left(\frac{1}{(2h+1)^2}+\frac{1}{4h^2}\right)<0, \end{aligned}$

mentre, se $n=2h+1$ ,

$\begin{aligned} b_{2h+2}-b_{2h+1}&=-\frac{1}{(2h+1)(2h+2)}+(-1)^{2h+2}\cdot\left(\frac{1}{(2h+2)^2}+\frac{1}{(2h+1)^2}\right)=\\ &=-\frac{1}{(2h+1)(2h+2)}+\left(\frac{1}{(2h+2)^2}+\frac{1}{(2h+1)^2}\right)=\\ &=\frac{-(2h+1)(2h+2)+(2h+1)^2+(2h+2)^2}{(2h+1)^2(2h+2)^2}=\\ &=\frac{-4h^2-6h-2+4h^2+4h+1+4h^2+8h+4}{(2h+1)^2(2h+2)^2}=\frac{4h^2+6h+3}{(2h+1)^2(2h+2)^2}>0, \end{aligned}$

per cui non possiamo applicare il criterio di Leibniz, cf. teorema 9.

Tuttavia, osserviamo che

$a_n=\frac{(-1)^n}{n}+\frac{(-1)^{2n}}{n^2}=\frac{(-1)^n}{n}+\frac{1}{n^2}.$

Posto per ogni $n\geq 1$

$c_n=\frac{1}{n},\qquad d_n=\frac{1}{n^2},$

osserviamo che la serie $\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} d_n$ converge per confronto asintotico con la serie armonica, cf. lemma 7. Inoltre, poiché $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}c_n=0$ e $\left\{ c_n \right\}$ è decrescente, la serie $\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} (-1)^n c_n$ converge per Leibniz. Abbiamo mostrato che la serie data è la somma di due serie convergenti, dunque è convergente.

Esercizio 40 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(45) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n a_n,\qquad \text{dove} \qquad a_n= \begin{cases} 1/n^2, & \text{ se } n\textrm{ è pari;}\\ 1/n, & \text{ se } n\textrm{ è dispari}. \end{cases} \end{equation*}$

Svolgimento.

Sia $\left\{ S_N \right\}_{N\in \mathbb{N}}$ la successione delle somme parziali, definita da

$S_N=\displaystyle\sum_{n=1}^N (-1)^n a_n \qquad \forall n \in \mathbb{N}.$

Se $N=2m$ , allora

$\begin{aligned} S_{2m}&=-a_1+a_2-a_3+a_4-\ldots-a_{2m-1}+a_{2m}=\\ &=-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{16}-\ldots-\frac{1}{2m-1}+\frac{1}{(2m)^2}=\\ &=-\sum_{n=1}^m\frac{1}{2n-1}+\sum_{n=1}^m\frac{1}{(2n)^2}. \end{aligned}$

Posto per ogni $m\geq 1$

$S^d_m=-\sum_{n=1}^m\frac{1}{2n-1}, \qquad S^p_m=\sum_{n=1}^m\frac{1}{(2n)^2},$

si ha che $S^d_m$ diverge a $-\infty$ , per confronto con la serie armonica, cf. lemma 7, mentre $S^p_m$ converge, in quanto è serie armonica generalizzata di esponente $\alpha=2$ . Ne segue che

$\lim_{m\rightarrow+\infty}S_{2m}=\lim_{m\rightarrow+\infty}\left(S^d_m+S^p_m\right)=-\infty.$

Inoltre, se $N=2m+1$ , allora

$S_{2m+1}=S_{2m}-\frac{1}{2m+1}\implies \lim_{m\rightarrow+\infty}S_{2m+1}=-\infty.$

Ma allora,

$\lim_{N\rightarrow+\infty}S_N=-\infty.$

Concludiamo che la serie data diverge negativamente.

Esercizio 41 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(n!\right)!}{n^{\left(n^n\right)}}.$

Introduzione.

Questo esercizio può essere risolto in vari modi. Noi proponiamo due soluzioni: nella prima applichiamo il criterio del confronto, cf. teorema 1, mentre nella seconda il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Svolgimento 1.

Si verifica facilmente, ad esempio con il principio di induzione, che vale

(46) $\begin{equation*} n! \leq n^n \qquad \forall n \geq 1. \end{equation*}$

Dunque, abbiamo

$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\left(n!\right)!}{n^{\left(n^n\right)}} \leq \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\left(n!\right)^n}{n^{\left(n^n\right)}}.$

Studiamo il carattere di quest’ultima serie applicando il criterio della radice, cf. teorema 5. Consideriamo il limite:

$0 \leq \lim_{n\to+\infty} \sqrt[n]{ \dfrac{\left(n!\right)^n}{n^{\left(n^n\right)}}}= \lim_{n\to+\infty} \dfrac{\left(n!\right)}{n^{\left(n^{n-1}\right)}} \leq \lim_{n\to+\infty} \dfrac{\left(n!\right)}{n^{\left(n+1\right)}}\leq \lim_{n\to+\infty} \dfrac{\left(n!\right)}{n^{n}}\dfrac{1}{n} \leq \lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0,$

dove abbiamo usato il fatto che, definitivamente, $n^{\left(n^{n-1}\right)} \geq n^{n+1}$ e la disuguaglianza (46). Concludiamo che la serie data converge per il criterio del confronto.

Svolgimento 2.

Applichiamo il criterio del confronto asintotico, con l’aiuto dell’approssimazione di Stirling, cf. lemma 9. Abbiamo

(47) $\begin{equation*} \dfrac{\left(n!\right)!}{n^{\left(n^n\right)}}=\dfrac{\sqrt{2\pi n!}}{n^{\left(n^n\right)}}\left(\dfrac{n!}{e}\right)^{n!}\left(1+o\left(1\right)\right)\quad \text{per}\,\,n\to+\infty, \end{equation*}$

e inoltre, per ogni $n \geq 1$

(48) $\begin{equation*} \dfrac{\sqrt{2\pi n!}}{n^{\left(n^n\right)}}\left(\dfrac{n!}{e}\right)^{n!}= \dfrac{\sqrt{2\pi n!}}{n^{\left(n^n\right)}} \cdot \dfrac{\left(n!\right)^{n!}}{e^{n!}}=\exp\left(n!\ln\left(n!\right)+\dfrac{1}{2}\ln\left(2\pi\right)+\dfrac{1}{2}\ln\left(n!\right)-n^n\ln\left(n\right)-n!\right). \end{equation*}$

Notiamo che

(49) $\begin{equation*} \begin{aligned} \lim_{n\to+\infty}\dfrac{n!\ln\left(n!\right)}{n^n\ln \left(n\right)}&=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\sqrt{2\pi n}\left(\ln\left(\sqrt{2\pi n}\right)+n\ln\left(n\right)-n+\ln\left(1+o\left(1\right)\right)\right)}{e^n\ln \left(n\right)(1+o(1))}=\\ &=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{\sqrt{2\pi n}\left(n\ln \left(n\right)\right)}{e^n\ln\left(n\right)}\left(1+o\left(1\right)\right)=0, \end{aligned} \end{equation*}$

dunque, da (47), (48) e (49), otteniamo che

(50) $\begin{equation*} \dfrac{\left(n!\right)!}{n^{\left(n^n\right)}}= \exp\left[-n^n\ln\left(n\right)\,(1+o(1))\right], \qquad \text{per}\,\,n\to+\infty. \end{equation*}$

Infine, confrontiamo il termine generale della serie data con quello di una serie di cui è nota la convergenza, ad esempio una serie armonica generalizzata di esponente maggiore di 1, cf. lemma 7:

$\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\dfrac{\left(n!\right)!}{n^{\left(n^n\right)}}}{\left( \dfrac{1}{n^2} \right)} =\lim_{n\to+\infty} \dfrac{e^{-n^n\ln n\,\left(1+o\left(1\right)\right) }}{\left( \dfrac{1}{n^2} \right)}=0.$

Concludiamo, per il criterio del confronto asintotico, che la serie data converge.

Esercizi misti con studio parametrico

Esercizio 42 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(51) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos^2(n\alpha)}{n(n+1)}, \qquad \forall \alpha\in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Notiamo che la serie data è a termini positivi per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$ . Poiché $0\leq\cos^2(x)\leq 1$ per ogni $x\in\mathbb{R}$ , segue che

$\frac{\cos^2(n\alpha)}{n(n+1)}\leq\frac{1}{n(n+1)},$

e quindi la serie data converge per confronto con la serie di Mengoli, oppure per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata, cf. lemma 7, per ogni $\alpha\in\mathbb{R}$ .

Esercizio 43 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(52) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2+\sin n}{n^\alpha} \qquad \forall \alpha\in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Notiamo che la serie data è a termini positivi per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$ , in quanto per ogni $n \in \mathbb{N}$

$-1\leq\sin n\leq 1\implies 1\leq\sin n+2\leq 3.$

Abbiamo, dunque, per ogni $n \in \mathbb{N}$

$\frac{1}{n^\alpha}\leq\frac{2+\sin n}{n^\alpha}\leq\frac{3}{n^\alpha}.$

Poiché la serie armonica generalizzata converge se e solo se $\alpha>1$ , cf. lemma 7, segue dal criterio del confronto, cf. teorema 1, che la serie data converge se e solo se $\alpha>1$ .

Esercizio 44 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare per quali valori di $\alpha\in \mathbb{R}$ la seguente serie converge:

(53) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n\alpha^n}{n+1}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Sia $a_n$ il termine generale della serie data. Studiamo la convergenza assoluta: si ha

$|a_n|=\frac{n}{n+1}\cdot|\alpha|^n\sim|\alpha|^n, \qquad \text{per } n \to +\infty.$

$\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n= \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n}{n+1}\cdot\alpha^n=\lim_{n\rightarrow+\infty}\alpha^n= \left\{\begin{array}{lcl} 1, & & \mbox{se }\alpha=1;\\ +\infty, & & \mbox{se } \alpha>1;\\ \nexists, & & \mbox{se } \alpha\leq-1. \end{array}\right.$

Pertanto, nel caso $|\alpha|\geq 1$ , non è verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, cf. proposizione 1, e dunque la serie non converge.

Esercizio 45 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare per quali valori di $\alpha\in \mathbb{R}$ la seguente serie converge:

(54) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n(\tan\alpha)^{2n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Sia $a_n$ il termine generale della serie data. Notiamo che

$a_n=(-1)^n(\tan\alpha)^{2n}=(-1)^n(\tan^2\alpha)^n=(-\tan^2\alpha)^n,$

per cui la serie data è una serie geometrica di ragione $q=-\tan^2\alpha$ . Essa converge se e solo se

$|-\tan^2\alpha|<1\implies \tan^2\alpha<1\implies -1<\tan\alpha<1,$

e quindi per

$-\frac{\pi}{4}+k\pi<\alpha<\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$

Esercizio 46 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(55) $\begin{equation*} \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{n^8}{(n-\ln n)^{10}-n^\alpha} \qquad \forall \alpha\in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Svolgimento.

La serie data è a termini di segno definitivamente costante, dunque possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Per $n \rightarrow +\infty$ , si ha:

(56) $\begin{equation*} \begin{aligned} a_n & \coloneqq \dfrac{n^8}{(n-\ln n)^{10}-n^\alpha}= \dfrac{n^8}{n^{10} \left(1-\dfrac{\ln n}{n}\right)^{10}-n^{\alpha}} = \dfrac{1}{n^2 \left(1-\dfrac{\ln n}{n}\right)^{10} - n^{\alpha-8}}. \end{aligned} \end{equation*}$

Distinguiamo tre casi:

$\quad$

( ${\alpha <10}$ ) Lo sviluppo (56) diventa
$a_n = \dfrac{1}{n^2 (1+o(1))} \quad \text{per}\,\, n \rightarrow +\infty;$

da cui deduciamo che la serie

(57) $\begin{equation*} \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2} \end{equation*}$

ha lo stesso carattere della serie data per il criterio del confronto asintotico.

Notiamo che (57) è una serie armonica generalizzata del primo tipo convergente, cf. lemma 7. Dunque, la serie data converge in questo caso.

( ${\alpha=10}$ ) Per $n\to+\infty$ , lo sviluppo (56) si può riscrivere come segue:
$\begin{aligned} a_n = \dfrac{1}{n^2 \left(\left(1-\frac{\ln n}{n}\right)^{10}-1\right)} = \dfrac{1}{n^2 \left(1-10\dfrac{\ln n}{n} + o\left( \dfrac{\ln n}{n} \right) -1\right)}=-\dfrac{1}{10 n \ln n }\left(1+o\left( 1 \right) \right), \end{aligned}$

da cui deduciamo che la serie

$\sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{1}{n \ln n}$

che è una serie armonica generalizzata del secondo tipo divergente, cf. lemma 8, ha lo stesso carattere della serie data per il criterio del confronto asintotico. Concludiamo che la serie data diverge per $\alpha=10$ .

( ${\alpha >10}$ ) Lo sviluppo (56) diventa
$a_n = \dfrac{-1}{n^{\alpha-8}(1+o(1))}, \qquad \text{per}\,\, n \rightarrow +\infty,$

da cui deduciamo che la serie

(58) $\begin{equation*} \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{1}{n^{\alpha-8}} \end{equation*}$

ha lo stesso carattere della serie data per il criterio del confronto asintotico.

Si osserva che (58) è una serie armonica generalizzata del primo tipo, cf. lemma 7, che risulta essere convergente se e solo se

$\begin{cases} \alpha-8 > 1 \\ \alpha > 10 \end{cases} \quad \iff \quad \alpha > 10,$

quindi la serie data converge per ogni $\alpha \in (10,+\infty)$ .

Possiamo concludere che la serie data converge per ogni $\alpha \in \mathbb{R}\setminus\{10\}$ .

Esercizio 47 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

$\begin{aligned} \label{57} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{\log_{2^n} 4}{\log_4 \left(n^n\right)}\right)^{\alpha} \qquad \forall \alpha \in (0,+\infty). \end{aligned}$

Svolgimento.

Riscriviamo la serie come segue⁷

$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{\log_{2^n} 4}{\log_4 \left(n^n\right)}\right)^{\alpha}&= \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{\dfrac{\ln4}{\ln 2^n}}{n\left(\dfrac{\ln n}{\ln 4}\right)}\right)^{\alpha}=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\left(\dfrac{\ln 4}{n\ln 2}\right)\left(\dfrac{\ln 4}{n\ln n }\right)\right)^\alpha=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{4\ln 2}{n^2\ln n}\right)^\alpha=\\ &=4^\alpha \ln^\alpha 2\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2\alpha}\ln^\alpha n}. \end{aligned}$

Dunque, la serie data è proporzionale a una serie armonica generalizzata del secondo ordine, cf. lemma 8, che risulta essere convergente se e solo se $\alpha \in \left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$ .

Ricordiamo la formula del cambio di base per i logaritmi: $\forall a,b,c>0\quad \log_a(c)=\log_b(c)/\log_b(a)$ . ↩

Esercizio 48 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie

(59) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^x+x^{-n}} \qquad \forall x>0. \end{equation*}$

Svolgimento.

La serie data è a termini positivi, dunque possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2. Se $x \in (0,1)$ , notiamo che, per $n\to+\infty$ , si ha

$\dfrac{1}{n^x+x^{-n}} = \dfrac{1}{x^{-n}} (1+o(1)),$

da cui deduciamo che la serie

$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^{-n}} = \sum_{n=1}^{+\infty} x^n,$

che è una serie geometrica convergente nel caso in cui $x \in (0,1)$ , cf. proposizione 2, ha lo stesso carattere della serie data per il criterio del confronto asintotico.

Se $x=1$ , la serie data diventa

$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n+1}= \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{1}{n},$

che è una serie armonica divergente, cf. lemma 7. Se, infine, $x>1$ , notiamo che, per $n\to +\infty$ , si ha

$\dfrac{1}{n^x+x^{-n}}= \dfrac{1}{n^x} (1+o(1)),$

da cui deduciamo che la serie

$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^x},$

che è una serie armonica generalizzata del primo tipo convergente nel caso in cui $x>1$ , cf. lemma 7, ha lo stesso carattere della serie data per il criterio del confronto asintitoco.

Concludiamo che la serie data converge per ogni $x \in (0,1) \cup (1,+\infty)$ .

Esercizio 49 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(60) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln\left(n^2 \alpha\right)}{n^2+2\alpha^2} \qquad \forall \alpha>0. \end{equation*}$

Svolgimento.

Per $n\to+\infty$ , si ha:

$\dfrac{\ln\left(n^2 \alpha\right)}{n^2+2\alpha^2}=\dfrac{2\ln\left(n\right)+\ln\left( \alpha\right)}{n^2\left(1+o\left(1\right)\right)}=\dfrac{2}{n^2\ln^{-1}\left(n\right)}\left(1+o\left(1\right)\right),$

dunque, per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2, la serie

(61) $\begin{equation*} \sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{2}{n^2 \ln^{-1}n }, \end{equation*}$

ha lo stesso carattere della serie data.

Poiché la serie (61) è convergente, cf. lemma 8, la serie data converge per ogni $\alpha>0$ .

Esercizio 50 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(62) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^4+3^\alpha}{2^{\alpha n}+n^{2-\alpha}} \qquad \forall \alpha \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Distinguiamo due casi:

$\quad$

( ${\alpha \leq 0}$ ) Per $n\to+\infty$ , si ha:
$\dfrac{n^4+3^{\alpha}}{2^{\alpha n}+n^{2-\alpha}}=\dfrac{n^4}{n^{2-\alpha}}\left(1+o\left(1\right)\right)=\dfrac{1}{n^{-2-\alpha}}\left(1+o\left(1\right)\right),$

dunque, per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2, la serie

(63) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{-2-\alpha}} \end{equation*}$

ha lo stesso carattere della serie data. Infine, cf. lemma 8, che la serie (63) converge se e solo se $-2-\alpha>1$ , i.e. se e solo se $\alpha<-3$ .

( ${\alpha >0}$ ) Per $n\to+\infty$ , si ha:
$\dfrac{n^4+3^{\alpha}}{2^{\alpha n}+n^{2-\alpha}}=\dfrac{n^4}{2^{\alpha n}}\left(1+o\left(1\right)\right).$

Per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2, la serie

(64) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^4}{2^{\alpha n}} \end{equation*}$

ha lo stesso carattere della serie data. Applichiamo il criterio della radice a quest’ultima serie:

$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\dfrac{n^4}{2^{\alpha n}}}=\dfrac{1}{2^{\alpha}}<1\qquad\forall \alpha >0,$

ovvero la serie (64) converge per il criterio della radice.

Si conclude che la serie data converge se e solo se $\alpha \in (-\infty,-3)\cup (0,+\infty)$ .

Esercizio 51 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(65) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\sqrt{n^\alpha+1}-n^2\right) \qquad \forall \alpha\in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Riscriviamo il termine generale come segue:

(66) $\begin{equation*} \sqrt{n^\alpha+1}-n^2=\dfrac{n^\alpha+1-n^4}{\sqrt{n^\alpha+1}+n^2}. \end{equation*}$

Distinguiamo tre casi:

$\quad$

( $\alpha<4$ ) Da (66), otteniamo
$\lim_{n\to+\infty}\sqrt{n^\alpha+1}-n^2=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n^\alpha+1-n^4}{\sqrt{n^\alpha+1}+n^2} =\lim_{n\to+\infty}\dfrac{-n^4(1+o\left(1\right))}{n^2(1+o\left(1\right))}=-\infty\neq 0,$

quindi la serie data diverge negativamente.

( ${\alpha =4}$ ) Da (66), la serie si può riscrivere nel seguente modo
$S=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n^4+1}+n^2},$

e, poiché

$\dfrac{1}{\sqrt{n^4+1}+n^2}\leq \dfrac{1}{n^2}\qquad \forall n \geq 1,$

la serie data converge per il criterio del confronto, cf. teorema 1 e lemma 7.

( $\alpha>4$ ) Da (66), otteniamo
$\lim_{n\to+\infty}\sqrt{n^\alpha+1}-n^2=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n^\alpha+1-n^4}{\sqrt{n^\alpha+1}+n^2}=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n^\alpha}{n^{\frac{\alpha}{2}}}\left(1+o\left(1\right)\right)=+\infty\neq 0,$

quindi la serie data diverge positivamente.

Esercizio 52 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(67) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}\left(\alpha+\dfrac{1}{n}\right)^n \qquad \forall \alpha \geq 0. \end{equation*}$

Svolgimento.

La serie è a termini positivi, quindi si può applicare il criterio della radice, cf. teorema 5:

$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\dfrac{1}{\sqrt{n}}\left(\alpha+\dfrac{1}{n}\right)^n}=\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\dfrac{1}{\sqrt{n}}}\left(\alpha +\dfrac{1}{n}\right)=\alpha.$

Dunque, se $\alpha \in [0,1)$ la serie converge, mentre per $\alpha \in (1,+\infty)$ la serie diverge. Per $\alpha=1$ , il criterio della radice risulta inefficace. In questo caso, la serie data è la seguente:

$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n.$

Per $n\to +\infty$ , si ha

$\dfrac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=\dfrac{e}{\sqrt{n}}\left(1+o\left(1\right)\right).$

La serie

$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{e}{\sqrt{n}}$

ha lo stesso carattere della serie data per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2, ed è divergente, cf. lemma 7. Concludiamo che la serie data converge se e solo se $\alpha \in [0,1)$ .

Esercizio 53 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(68) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\arctan\left(\alpha^n\right)}{1+\alpha^n} \qquad \forall \alpha>0. \end{equation*}$

Svolgimento.

Distinguiamo tre casi:

$\quad$

( ${0<\alpha <1}$ ) Per $n\to+\infty$ , si ha:
$\dfrac{\arctan\left(\alpha^n\right)}{1+\alpha^n}=\alpha^n\left(1+o\left(1\right)\right),$

dunque, per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2, la serie

(69) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\alpha^n \end{equation*}$

ha lo stesso carattere della serie data. La serie (69) converge, perché è una serie geometrica di ragione $\alpha\in(0,1)$ , cf. proposizione 2. Dunque, la serie data converge per $\alpha\in(0,1)$ .

( ${\alpha=1}$ ) In questo caso il termine generale è una costante positiva, dunque la serie diverge positivamente:
$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\pi}{8}=+\infty.$

( ${\alpha>1}$ ) Per $n\to+\infty$ , si ha:
$\dfrac{\arctan\left(\alpha^n\right)}{1+\alpha^n}=\dfrac{\pi}{2\alpha^n}\left(1+o\left(1\right)\right),$

dunque, per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2, la serie

$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\pi}{2\alpha^n}$

ha lo stesso carattere della serie data. Quest’ultima serie converge, perché è proporzionale a una serie geometrica di ragione $\dfrac{1}{\alpha}\in(0,1)$ , cf. proposizione 2, dunque la serie data converge per $\alpha > 1$ .

Esercizio 54 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(70) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan(n^\alpha) \right) \qquad \forall \alpha >0. \end{equation*}$

Svolgimento.

Ricordiamo la seguente identità:

(71) $\begin{equation*} \arctan \left( x \right) +\arctan\left(\dfrac{1}{x} \right) =\dfrac{\pi}{2}\qquad \forall x>0. \end{equation*}$

Detto $a_n$ il termine generale della serie data, applicando la (71) otteniamo

$a_n=\arctan\left( \dfrac{1}{n^\alpha} \right),$

dunque per $n \to +\infty$ si ha

$a_n=\dfrac{1}{n^\alpha}(1+o(1)),$

ovvero la serie data è asintotica a una serie armonica generalizzata del primo tipo, cf. lemma 7, che risulta convergente se e solo se $\alpha >1$ . Per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2, la serie data converge per gli stessi valori di $\alpha$ .

Esercizio 55 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(72) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\alpha^{2n}}{\left(n+3\right)!} \qquad \forall \alpha \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Svolgimento.

La serie data è a termini positivi, dunque possiamo applicare il criterio del rapporto, cf. teorema 4.

$\lim_{n\to +\infty}\dfrac{\alpha^{2n+2}}{\left(n+4\right)!}\cdot\dfrac{\left(n+3\right)!}{\alpha^{2n}}=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\alpha^2}{n+4}=0\qquad \forall \alpha \in \mathbb{R}.$

Si conclude che la serie data converge per ogni $\alpha\in \mathbb{R}$ .

Esercizio 56 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(73) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(1-\cos\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)^\alpha\qquad \forall \alpha>0. \end{equation*}$

Svolgimento.

Notiamo che la serie data è una serie a termini positivi e quindi possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Per $n\to+\infty$ , si ha:

$\left(1-\cos\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)^\alpha=\left(1-\left(1-\dfrac{1}{2n^2}\right)+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\right)^\alpha=\dfrac{1}{2^\alpha n^{2\alpha}}\left(1+o\left(1\right)\right).$

Dunque, la serie data è asintotica a una serie armonica generalizzata del primo tipo, cf. lemma 7, con esponente $2\alpha$ . Concludiamo che essa risulta convergente se e solo se $\alpha \in \left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$ , e per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2, anche la serie data converge se e solo se $\alpha \in \left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$ .

Esercizio 57 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(74) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}\left(\dfrac{n+2}{n+1}\right)^{\alpha n \ln n}\qquad \forall \alpha\in\mathbb{R}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Notiamo che la serie data è una serie a termini positivi e quindi possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Per $n\to+\infty$ , si ha:

$\begin{aligned} \dfrac{1}{n^2}\left(\dfrac{n+2}{n+1}\right)^{\alpha n \ln n}&=\dfrac{1}{n^2}\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{\alpha n \ln n } =\dfrac{1}{n^2}\exp\left(\alpha n \ln n \ln \left(1+ \dfrac{1}{n+1}\right) \right)=\\ &=\dfrac{1}{n^2}\exp\left( \dfrac{\alpha n \ln n}{n+1}(1+o\left(1\right))\right) =\dfrac{1}{n^2}\exp\left( \alpha\ln n(1+o(1))\right)=\\ &=\dfrac{1}{n^2}\cdot n^\alpha\left(1+o\left(1\right)\right)= \dfrac{1}{n^{2-\alpha}}\left(1+o\left(1\right)\right). \end{aligned}$

Dunque, la serie data è asintotica a una serie armonica generalizzata del primo tipo, cf. lemma 7, con esponente $2-\alpha$ . Poiché

$2-\alpha>1\quad \iff \quad \alpha<1,$

si conclude che la serie data converge per $\alpha \n (-\infty,1)$ e diverge per $\alpha \in [1,+\infty)$ .

Esercizio 58 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(75) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{n^2+n-1}{n^2+3n+5}\right)^{n^\alpha}\qquad \forall \alpha\in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Notiamo che la serie data è una serie a termini positivi e quindi possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Si osserva che:

(76) $\begin{equation*} \begin{aligned} & \lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{n^2+n-1}{n^2+3n+5}\right)^{n^\alpha}=\left(\dfrac{n^2+3n+5-2n-6}{n^2+3n+5}\right)^{n^\alpha}=\left(1+\dfrac{-2n-6}{n^2+3n+5}\right)^{n^\alpha}=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{-2n}{n^2}\cdot \dfrac{1+\dfrac{3}{2n}}{1+\dfrac{3}{n}+\dfrac{5}{n^2}}\right)^{n^\alpha}=\lim_{n\to+\infty}\left(1-\dfrac{2}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)^{n^\alpha}=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\exp\left(n^{\alpha}\ln\left(1-\dfrac{2}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)\right)^{n^\alpha}=\lim_{n\to+\infty}\exp\left(n^\alpha \left(-\dfrac{2}{n}+o\left(\dfrac{1}{n }\right)\right)\right)=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\exp\left(-2n^{\alpha -1 }\left(1+o\left(1\right)\right)\right)=\begin{cases} 1,\quad &\text{se}\,\,\alpha<1;\\ e^{-2},&\text{se}\,\,\alpha=1;\\ 0, &\text{se}\,\,\alpha>1. \end{cases} \end{aligned} \end{equation*}$

Se $\alpha \in (-\infty,1]$ la serie data non converge perché il termine generale non è infinitesimo, cf. proposizione 1. Per $\alpha \in (1,+\infty)$ , vediamo da (76) che la serie data è asintotica a

(77) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}e^{-2n^{\alpha -1}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{e^{2n^{\alpha -1}}}. \end{equation*}$

Si ha, definitivamente per $n\to + \infty$ ,

$\dfrac{1}{e^{2n^{\alpha -1}}}<\dfrac{1}{n^2},$

quindi la serie (77) converge per il criterio del confronto, cf. teorema 1 e lemma 7.

Si conclude che la serie data diverge per $\alpha \in (-\infty,1]$ e converge per $\alpha \in (1,+\infty)$ .

Esercizio 59 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

$\begin{aligned} \label{40} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(1-\dfrac{1}{n^3}\right)^{n^\alpha}\qquad \forall \alpha >0. \end{aligned}$

Svolgimento.

Osserviamo che la serie è a termini non negativi, pertanto è possibile applicare il criterio del confronto, cf. teorema 1.

Ricordiamo che la successione $\left\{\left(1-\dfrac{1}{n^3}\right)^{-n^3}\right\}$ è monotona decrescente, minore di 3 e maggiore di $e$ :

$e<\left(1-\dfrac{1}{n^3}\right)^{-n^3}<3\qquad \forall n>1,$

da cui

$\dfrac{1}{3}<\dfrac{1}{\left(1-\dfrac{1}{n^3}\right)^{-n^3}}<\dfrac{1}{e} \qquad \forall n>1.$

Pertanto, per $\alpha \in (3,+\infty)$ , definitivamente vale:

$\left(1-\dfrac{1}{n^3}\right)^{n^\alpha}=\left(\left(1-\dfrac{1}{n^3}\right)^{-n^3}\right)^{-n^{\alpha-3}}=\dfrac{1}{\left(\left(1-\dfrac{1}{n^3}\right)^{-n^3}\right)^{n^{\alpha-3}}}< \dfrac{1}{e^{n^{\alpha-3}}}<\dfrac{1}{n^2}.$

quindi la serie data risulta essere convergente per il criterio del confronto.

Inoltre, per $\alpha \in (0,3)$ , definitivamente vale

$\dfrac{1}{\left(\left(1-\dfrac{1}{n^3}\right)^{-n^3}\right)^{n^{\alpha-3}}}> \dfrac{1}{3^{n^{\alpha-3}}},$

ed essendo

$\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{3^{n^{\alpha-3}}}=1\neq 0,$

la serie data risulta essere divergente per il criterio del confronto, cf. teorema 1. Infine per $\alpha=3$ la serie data diventa

$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(1-\dfrac{1}{n^3}\right)^{n^3},$

che è chiaramente divergente, perché $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\left(1-\dfrac{1}{n^3}\right)^{n^3}=e^{-1}\neq 0$ .

Si conclude che la serie data diverge per $\alpha \in (0,3]$ e converge per $\alpha \in (3,+\infty)$ .

Esercizio 60 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(78) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^{2n}}{(2n)!}\,\alpha ^n \qquad \forall \alpha >0. \end{equation*}$

Svolgimento.

La serie data è a termini positivi, dunque possiamo applicare il criterio del rapporto, cf. teorema 4. Detto $a_n$ il termine generale della serie data, abbiamo

$\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}&= \lim_{n\to+\infty} \dfrac{(n+1)^{2(n+1)}}{(2n+2)!}\cdot \dfrac{(2n)!}{n^{2n}} \cdot \dfrac{\alpha ^{n+1}}{\alpha ^n} = \lim_{n\to+\infty} \dfrac{(n+1)^{2n}(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)(2n)!}\cdot \dfrac{(2n)!}{n^{2n}}\cdot \alpha =\\ &=\lim_{n\to+\infty} \dfrac{\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^{2n} n^2(1+o(1))}{4n^2}\cdot \alpha =\dfrac{e^2}{4}\,\alpha. \end{aligned}$

Per il criterio del rapporto la serie data converge se $0<\dfrac{e^2}{4}\,\alpha <1$ , ovvero se $0<\alpha <\dfrac{4}{e^2}$ . Per $\alpha =\dfrac{4}{e^2}$ il criterio del rapporto risulta inefficace, e per studiare questo caso ricorriamo all’approssimazione di Stirling, cf. lemma 9:

$\begin{aligned} a_n & = \dfrac{n^{2n}}{(2n)!}\cdot \dfrac{4^n}{e^{2n}} = \dfrac{n^{2n}\cdot 4^n}{e^{2n}}\cdot \left( \sqrt{4\pi n}\cdot \left(\dfrac{2n}{e} \right)^{2n}\right)^{-1}\left( 1+o\left( 1 \right) \right) =\\ &= \dfrac{\cancel{n^{2n}}\cdot \cancel{4^n}}{\cancel{e^{2n}}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{4\pi n}}\cdot \dfrac{\cancel{e^{2n}}}{\cancel{4^n} \cdot \cancel{n^{2n}}}\left( 1+o\left( 1 \right) \right)= \dfrac{1}{2\sqrt{\pi} \cdot n^\frac{1}{2}}\left( 1+o\left( 1 \right) \right)\quad \text{per }\,\,n\rightarrow+\infty. \end{aligned}$

Dunque, in questo caso la serie data è asintotica a una serie armonica generalizzata del primo tipo, cf. lemma 7, che risulta divergente. Concludiamo che la serie data converge se e solo se $\alpha \in \left( 0, \dfrac{4}{e^2}\right)$ .

Esercizio 61 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(79) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n!\,n^{n+1}}{\left(2n\right)!}\,\alpha^n \qquad \forall \alpha >0. \end{equation*}$

Svolgimento.

Notiamo che la serie data è una serie a termini positivi, pertanto possiamo applicare il criterio del rapporto, cf. teorema 4. Sia $a_n$ il termine generale della serie. Consideriamo il seguente limite:

(80) $\begin{equation*} \begin{aligned} \ell&=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to+\infty} \dfrac{\left(n+1\right)!\left(n+1\right)^{n+2}}{n!\,n^{n+1}}\cdot \dfrac{\left(2n\right)!}{\left(2n+2\right)!}\cdot \dfrac{\alpha^{n+1}}{\alpha^n}=\\ &=\lim_{n\to +\infty} \dfrac{\cancel{\left(n+1\right)}\,\cancel{n!}\,\cancel{n^n}\left(1+\dfrac 1 n\right)^n\left(n+1\right)^{2}\cancel{\left(2n\right)!}}{\cancel{n!}\,\cancel{n^n}\,n\,2\cancel{\left(n+1\right)}\left(2n+1\right)\cancel{\left(2n\right)!}}\alpha=\\ &=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{\cancel{n^2}\,\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}{4\cancel{n^2}}\alpha\left(1+o\left(1\right)\right)=\dfrac{e}{4}\alpha. \end{aligned} \end{equation*}$

Poiché

$\ell <1 \quad \iff \quad \alpha<\dfrac{4}{e},$

la serie data converge per $0<\alpha<\dfrac{4}{e}$ e diverge per $\alpha>\dfrac{4}{e^2}$ per il criterio del rapporto. Se $\alpha =\dfrac{4}{e}$ , dal criterio del rapporto non possiamo concludere nulla, quindi dobbiamo studiare il carattere della serie data in un altro modo. In questo caso, la serie diventa

(81) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty} a_n= \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{n!\,n^{n+1}}{\left(2n\right)!}\cdot \left(\dfrac{4}{e}\right)^n. \end{equation*}$

Per studiare la serie (81), applichiamo il criterio di Raabe, cf. teorema 7.

Sostituendo $\alpha= \dfrac{4}{e}$ in (80), otteniamo che

$\begin{aligned} \dfrac{a_n}{a_{n+1}}&= \dfrac{e}{\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^{n}}\cdot \dfrac{n(2n+1)}{2(n+1)^2}= e^{1-n\ln\left( 1+\dfrac{1}{n} \right)}\cdot \left( 1+\dfrac{1}{2n} \right)\left( 1+\dfrac 1 n \right)^{-2}=\\ &=e^{\left( 1-n\left( \dfrac1 n-\dfrac{1}{2n^2} + o\left( \dfrac{1}{n^2} \right) \right) \right)}\cdot \left( 1+\dfrac{1}{2n} \right)\left( 1-\dfrac 2 n +o\left( \dfrac{1}{n} \right) \right) =\\ &=e^{\left( \dfrac{1}{2n} + o\left( \dfrac{1}{n} \right) \right)}\cdot \left( 1-\dfrac{3}{2n}+ o\left( \dfrac{1}{n} \right) \right) =1-\dfrac{1}{n}+ o\left( \dfrac{1}{n} \right), \quad \mbox{per} \quad n \to +\infty. \end{aligned}$

Dunque, essendo

$\begin{aligned} \lim_{n\to+\infty}n\left( \dfrac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right)& = \lim_{n\to+\infty} n\left( 1-\dfrac{1}{n}+ o\left( \dfrac{1}{n} \right) -1\right)= - 1 <1, \end{aligned}$

per il criterio di Raabe concludiamo che la serie (81) diverge. Si conclude che la serie data converge se e solo se $\alpha \in \left(0,\dfrac{4}{e}\right)$ .

Esercizio 62 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(82) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{\arctan\left(n!\right)}+\dfrac{3}{n}\right)^nb^n\arctan\left(\dfrac{a^n}{b^n}\right),\qquad \forall a,b>0. \end{equation*}$

Svolgimento.

La serie data è a termini positivi, dunque possiamo applicare il criterio della radice, cf. teorema 5. Per $n\to +\infty$ , si ha:

$\begin{aligned} & \sqrt[n]{\left(\dfrac{1}{\arctan\left(n!\right)}+\dfrac{3}{n}\right)^nb^n\arctan\left(\dfrac{a^n}{b^n}\right)}=\\ &= \left(\dfrac{1}{\arctan\left(n!\right)}+\dfrac{3}{n}\right)b \sqrt[n]{\arctan\left(\dfrac{a^n}{b^n}\right)}=\\ &= \left( \dfrac{2}{\pi} + o(1) \right)b \sqrt[n]{\arctan\left(\dfrac{a^n}{b^n}\right)}=\begin{cases} \dfrac{2}{\pi}b\left(1+o\left(1\right)\right),\quad& \text{se }\,\,0<b\leq a;\\\\ \dfrac{2}{\pi}\,a\left(1+o\left(1\right)\right),\quad& \text{se }\,\,0<a<b. \end{cases} \end{aligned}$

Quindi, nel caso $0<b\leq a$ , la serie data converge per

$\dfrac{2}{\pi}b<1 \quad \iff \quad b<\dfrac{\pi}{2},$

mentre nel caso $0<a<b$ la serie data converge per

$\dfrac{2}{\pi}a<1 \quad \iff \quad a<\dfrac{\pi}{2}.$

Concludiamo che la serie data converge per $\min\{a,b\}<\dfrac{\pi}{2}$ .

Esercizio 63 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(83) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty} (n^{3\alpha} + \ln n^7) \left(\dfrac{1}{n}-\sin\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)\qquad \forall \alpha\in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Fissiamo $\alpha >0$ e sviluppiamo il termine generale della serie $a_n$ per $n\to+\infty$ ,

(84) $\begin{equation*} a_n = n^{3\alpha}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{6n^3} + o\left(\dfrac{1}{n^3}\right)\right) = \dfrac{1}{6} \; \dfrac{1}{n^{-3\alpha+3}} (1+o(1)). \end{equation*}$

Notiamo la serie è definitivamente a termini positivi, e quindi possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Da (84) vediamo che la serie data è asintotica a una serie armonica generalizzata del primo tipo, cf. lemma 7, che converge se e solo se $-3\alpha+3>1$ , ovvero $\alpha<\dfrac{2}{3}$ . Concludiamo che la serie data converge per $\alpha \in \left( 0, \dfrac{2}{3} \right)$ per il criterio del confronto asintotico. Studiamo ora il caso $\alpha\leq 0$ . Osserviamo che in questo caso si ha

$a_n=\dfrac{7}{6} \dfrac{\ln n}{n^3}(1+o(1)),$

e dunque la serie data è asintotica alla serie armonica generalizzata del secondo tipo, cf. lemma 8, data da

$\sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{1}{n^3\ln^{-1}n},$

e dunque per tali valori di $\alpha$ converge per il criterio del confronto asintotico. Concludiamo che la serie data converge se e solo se $\alpha <\dfrac{2}{3}$ .

Esercizio 64 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(85) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty} n^{\alpha} \left(\dfrac{8}{n^4}+\dfrac{6}{n^{10}} - 4 \log \left(1+\dfrac{2}{n^4}\right) \right) \qquad \forall \alpha \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Fissiamo $\alpha \in \mathbb{R}$ e sviluppiamo il termine generale della serie $a_n$ per $n\to+\infty$ ,

(86) $\begin{equation*} a_n = n^{\alpha} \left(\dfrac{6}{n^{10}} + \dfrac{8}{n^4} - \dfrac{8}{n^4} + \dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{4}{n^8} + o \left(\dfrac{1}{n^{10}}\right)\right) = \dfrac{8}{n^{8-\alpha}} (1+o(1)). \end{equation*}$

Dunque, la serie data è definitivamente a termini positivi e asintotica a una serie armonica generalizzata del primo tipo, cf. lemma 7, che converge se e solo se $8-\alpha>1$ , ovvero $\alpha<7$ . Concludiamo che la serie data converge se e solo se $\alpha <7$ per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Esercizio 65 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(87) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\ln\left(\cos\left(\dfrac{1}{\sqrt[4]{n}}\right)\right)+\dfrac{1}{2\sqrt{n}}+\dfrac{\alpha}{n}\right)\qquad \forall \alpha\in (0,+\infty). \end{equation*}$

Svolgimento.

Sviluppiamo il termine generale della serie per $n\to+\infty$ , ottenendo⁸:

(88) $\begin{equation*} \begin{aligned} &\ln\left(\cos\left(\dfrac{1}{\sqrt[4]{n}}\right)\right)+\dfrac{1}{2\sqrt{n}}+\dfrac{\alpha}{n}=\ln\left(1-\dfrac{1}{2\sqrt{n}}+\dfrac{1}{24n}-\dfrac{1}{720\sqrt{n^3}}+o\left(\dfrac{1}{\sqrt{n^3}}\right)\right)+\dfrac{1}{2\sqrt{n}}+\dfrac{\alpha}{n}=\\ &=-\dfrac{1}{2\sqrt{n}}+\dfrac{1}{24n}-\dfrac{1}{720n\sqrt{n}}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4n}+2\left(-\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\right)\left(\dfrac{1}{24n}\right)\right)+\dfrac{1}{3n\sqrt{n}}\left(-\dfrac{1}{8}\right)+\dfrac{1}{2\sqrt{n}}+\dfrac{\alpha}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)=\\ &=\left(-\dfrac{1}{12}+\alpha\right)\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{48n\sqrt{n}}-\dfrac{1}{720n\sqrt{n}}-\dfrac{1}{24n\sqrt{n}}+o\left(\dfrac{1}{n\sqrt n}\right)=\\ &=\dfrac{1}{n}\left(\alpha-\dfrac{1}{12}\right)-\dfrac{1}{45n^{\frac{3}{2}}}+o\left(\dfrac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\right), \end{aligned} \end{equation*}$

Notiamo la serie è definitivamente a termini negativi, e quindi possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Da (88) vediamo che la serie data è asintotica a

(89) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}-\left(\dfrac{1}{n}\left(\alpha-\dfrac{1}{12}\right)-\dfrac{1}{45n^{\frac{3}{2}}}\right). \end{equation*}$

Pertanto, ricordando la serie armonica generalizzata del primo tipo, cf. lemma 7, la serie data converge se e solo se $\alpha=\dfrac{1}{12}$ per il criterio del confronto asintotico.

La scelta di operare uno sviluppo di Taylor ha più uno scopo didattico che pratico. Il calcolo dei coefficienti di ordine superiore dello sviluppo si potrebbe evitare utilizzando il simbolo di Landau $O(1)$ e fermando lo sviluppo al termine proporzionale a $n^{-1}$ . Ad esempio: $\cos\left(\dfrac{1}{\sqrt[4]{n}}\right)=1-\dfrac{1}{2\sqrt{n}}+\dfrac{1}{24n}+O\left( \dfrac{1}{n^{3/2}} \right)$ . ↩

Esercizio 66 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(90) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\cos\left(\sin\left(\dfrac{1}{\sqrt[4]{n}}\right)\right)-1+\dfrac{1}{2\sqrt{n}}-\dfrac{\alpha}{n}\right) \qquad \forall \alpha >0. \end{equation*}$

Svolgimento.

Per $n\to+\infty$ , si ha:

$\begin{aligned} &\cos\left(\sin\left(\dfrac{1}{\sqrt[4]{n}}\right)\right)-1+\dfrac{1}{2\sqrt{n}}-\dfrac{\alpha}{n}=\cos\left(\dfrac{1}{\sqrt[4]{n}}-\dfrac{1}{6\sqrt[4]{n^3}}+\dfrac{1}{120n^{\frac{5}{4}}}+o\left(\dfrac{1}{n^{\frac{5}{4}}}\right)\right)-1+\dfrac{1}{2\sqrt{n}}-\dfrac{\alpha}{n}=\\ &=1-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{3n}+\dfrac{1}{36n^{\frac{3}{2}}}+\dfrac{1}{60n^{\frac{3}{2}}}\right)+\dfrac{1}{24}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{2}{3\sqrt[4]{n^3}}\right)-\dfrac{1}{720}\left(\dfrac{1}{n^\frac{3}{2}}\right)-1+\dfrac{1}{2\sqrt{n}}-\dfrac{\alpha}{n}+o\left(\dfrac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\right)=\\ &=1-\dfrac{1}{2\sqrt{n}}+\dfrac{1}{6n}-\dfrac{1}{45n^{\frac{3}{2}}}+\dfrac{1}{24n}-\dfrac{1}{36n^{\frac{3}{2}}}-\dfrac{1}{720n^{\frac{3}{2}}}-1+\dfrac{1}{2\sqrt{n}}-\dfrac{\alpha}{n}+o\left(\dfrac{1}{n^\frac{3}{2}}\right)=\\ &=\left(\dfrac{5}{24}-\alpha\right)\dfrac{1}{n}-\dfrac{37}{720}\dfrac{1}{n^{\frac{3}{2}}}+o\left(\dfrac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\right). \end{aligned}$

Notiamo la serie è definitivamente a termini di segno costante, e quindi possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Dai calcoli appena svolti, concludiamo che la serie data ha lo stesso carattere della serie

$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{5}{24}-\alpha\right)-\dfrac{37}{720}\dfrac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\right),$

la quale, cf. lemma 7, diverge per $\alpha \neq \dfrac{5}{24}$ \Big(positivamente per $\alpha < \dfrac{5}{24}$ e negativamente per $\alpha >\dfrac{5}{24}$ \Big), mentre converge per $\alpha =\dfrac{5}{24}$ .

Esercizio 67 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(91) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}n\left(\dfrac{2}{n^{\alpha}}-\sin\left(\dfrac{2}{n^{2\alpha-1}}\right)\right) \qquad \forall \alpha \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Fissato $\alpha \in \mathbb{R}$ , consideriamo la successione $\{ a_n \}$ definita da

(92) $\begin{equation*} a_n \coloneqq n\left(\dfrac{2}{n^{\alpha}}-\sin\left(\dfrac{2}{n^{2\alpha-1}}\right)\right)= \dfrac{2}{n^{\alpha-1}}-n\sin\left(\dfrac{2}{n^{2\alpha-1}}\right) \qquad \forall n \geq 1. \end{equation*}$

Studiamo il limite della successione al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$ . Si ha

(93) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow + \infty} a_n= \begin{cases} +\infty, \quad \mbox{se } \alpha\leq 0;\\ \nexists, \quad \mbox{se } 0< \alpha< \dfrac{1}{2};\\ -\infty, \quad \mbox{se } \dfrac{1}{2}\leq \alpha< 1;\\ 0, \quad \mbox{se } \alpha\geq 1. \end{cases} \end{equation*}$

Infatti, per $\alpha< 0$ la successione $\left\{ \dfrac{2}{n^{\alpha} }\right\}$ diverge positivamente mentre il seno è limitato, dunque $\{ a_n \}$ diverge positivamente. Per $\alpha=0$ basta osservare che $2-\sin(x)\geq 1 \quad \forall x \in \mathbb{R}$ per concludere che $a_n\geq n$ per ogni $n \geq 1$ , dunque $\{ a_n \}$ diverge positivamente. Per $0<\alpha<1/2$ , invece, la successione $\left\{ \dfrac{2}{n^{\alpha} }\right\}$ è infinitesima, mentre il seno assume infinite volte valori sia positivi che negativi, dunque il limite di $\{ a_n \}$ non esiste. Per $\alpha=1/2$ si ha

$\lim_{n \rightarrow + \infty} a_n=\lim_{n \rightarrow + \infty} n(-\sin(2)+o(1))=-\infty,$

mentre per $1/2<\alpha<1$ si vede da (92) che

(94) $\begin{equation*} a_n=\dfrac{2}{n^{\alpha-1}}-\dfrac{2}{n^{2\alpha-2}}(1+o(1)),\qquad \mbox{per } n \to +\infty, \end{equation*}$

e dunque $\{ a_n \}$ diverge negativamente in quanto gli esponenti $\alpha-1$ e $2\alpha-2$ sono negativi in questo caso. Per $\alpha=1$ , si ha

(95) $\begin{equation*} a_n=n\left(\dfrac{2}{n^{}}-\sin\left(\dfrac{2}{n}\right)\right)=n\left(\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{n}+\dfrac{8}{6n^3}+o\left(\dfrac{1}{n^3}\right)\right)=\dfrac{4}{3n^2}\left(1+o\left(1\right)\right), \end{equation*}$

dunque $\{ a_n \}$ è infinitesima. Infine, per $\alpha>1$ , vale sempre (94) e gli esponenti stavolta sono entrambi positivi, dunque $\{ a_n \}$ è infinitesima.

Concludiamo che, se $\alpha<1$ , il termine generale $a_n$ non è infinitesimo, e dunque la serie data non può convergere, cf. proposizione 1. Pertanto, studiamo la convergenza solo per $\alpha\geq 1$ . Per $\alpha=1$ si vede da (95) che la serie data è asintotica a una serie convergente, cf. lemma 7, dunque, per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2, la serie data converge. Se $\alpha>1$ , la stima asintotica (94) diventa

(96) $\begin{equation*} a_n=\dfrac{2}{n^{\alpha-1}}(1+o(1))\qquad \mbox{per }n \to +\infty, \end{equation*}$

in quanto

$\alpha-1<2\alpha- 2 \quad \iff \quad \alpha>1.$

Dunque, la serie data converge se $\alpha>2$ e diverge se $1<\alpha\leq 2$ , cf. lemma 7. Concludiamo che la serie data converge se e solo se $\alpha \in \{1\}\cup(2,+\infty)$ .

Esercizio 68 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(97) $\begin{equation*} \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{(n+4)!}{n! (n^\alpha+1) \left(\ln n \right)^{4-\alpha}} \qquad \forall \alpha \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Svolgimento.

La serie data è a termini positivi, dunque possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2. Detto $a_n$ il suo termine generale, abbiamo che per $n\to+\infty$ :

$\begin{aligned} a_n= \dfrac{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n!}{n! (n^\alpha+1) \left( \ln n \right)^{4-\alpha}} =\dfrac{n^4}{(n^\alpha+1) \left( \ln n \right)^{4-\alpha}}(1+o(1)). \end{aligned}$

Distinguiamo quindi tre casi:

$\quad$

( $\alpha>0$ ) Si ha che per $n\to+\infty$ :
$\begin{aligned} a_n= \dfrac{1}{(n^{\alpha-4}) \left( \ln n \right)^{4-\alpha}}(1+o(1)). \end{aligned}$

Dunque, in questo caso la serie data è asintotica a una serie armonica generalizzata del secondo tipo, cf. lemma 8, che risulta convergente se e solo se $\alpha>5$ .

( $\alpha=0$ ) In questo caso abbiamo che per $n\to+\infty$ :
$a_n= \frac{1}{2n^{-4}\ln^4 n}(1+o(1)),$

dunque la serie data è asintotica a una serie armonica generalizzata del secondo tipo che risulta divergente.

( $\alpha<0$ ) In questo caso abbiamo che per $n\to+\infty$ :
$a_n= \frac{1}{n^{-4}\ln^{4} n}(1+o(1)),$

dunque la serie data è asintotica a una serie armonica generalizzata del secondo tipo divergente.

Concludiamo che la serie data converge se e solo se $\alpha > 5$ per il criterio del confronto asintotico.

Esercizio 69 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Studiare il carattere della seguente serie:

(98) $\begin{equation*} \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{\left( \begin{array}{c} n+m \\ n\end{array}\right)-n^m} \qquad \forall m \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Svolgimento.

La serie data è a termini positivi, dunque possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2. Per $n\to+\infty$ , si ha:

$\begin{aligned} \frac{1}{\left( \begin{array}{c} n+m \\ n\end{array}\right)-n^m} &= \dfrac{1}{\dfrac{(n+m)!}{n!\,m!}-n^m} = \dfrac{1}{\dfrac{(n+m)(n+m-1)\dots(n+1)(n!)}{(n!)(m!)}-n^m}= \\ &= \frac{1}{\dfrac{(n+m)(n+m-1)\dots(n+1)}{m!}-n^m} =\\ &= \frac{m!}{\left((n+m)(n+m-1)\dots(n+1)\right)-(m!)n^m}= \\ &= \dfrac{m!}{n^m\left(\left(1+\dfrac{m}{n}\right) \left(1+\dfrac{m-1}{n}\right)\dots \left(1+\dfrac{1}{n}\right) \right) - m!}= \\ &= \frac{m!}{n^m\left( 1+o(1) \right)- m!} = \dfrac{m!}{n^m}\left(1+o(1) \right), \end{aligned}$

da cui deduciamo che la serie

$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{m!}{n^m},$

che è proporzionale a una serie armonica generalizzata del primo tipo, cf. lemma 7, convergente per $m \in \left(1,+\infty\right) \cap \mathbb{N}$ , ha lo stesso carattere della serie data. Concludiamo che la serie data converge per ogni numero naturale $m \geq 1$ .

Riferimenti bibliografici

[1] Andrews G. E., Askey R., Roy R.; Special functions, Encyclopedia of Mathematics and Its Appliications #71, Cambridge University Press 1999.

[2] Apostol, T. M.; Calculus, Volume I: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra, John Wiley & Sons 1967.

[3] Dedekind R., Essays on the Theory of Numbers: I. Continuity and Irrational Numbers, II. The Nature and Meaning of Numbers (translated by W.W. Beman), Chicago, Open Court Publishing, 1901.

[4] Giusti, E.; Analisi matematica 1, I Programma di matematica fisica elettronica, Bollati Boringhieri 1992.

[5] Havil, J., Gamma: Exploring Euler’s Constant, Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.

[6] Kifowit, Steven J.; Stamps, Terra A. (Spring 2006). “The harmonic series diverges again and again” (PDF). AMATYC Review. American Mathematical Association of Two-Year Colleges. 27 (2): 31–43.

[7] Muresan, M. ; A Concrete Approach to Classical Analysis, CMS Books in Mathematics, Springer 2008.

[8] Problem 12215. proposto da O. Furdui and A. Sintamarian (Romania), American Mathematical Monthly, Vol.127, November 2020.

[9] Rudin, W.; Principles of mathematical analysis, International series in pure and applied mathematics, McGraw-Hill 1976.

[10] Rudin, W.; Real and complex analysis, International series in pure and applied mathematics, McGraw-Hill 1987.

[11] Teismann H., Toward a More Complete List of Completeness Axioms (vol. 120), The American Mathematical Monthly, 2013.

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