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Una Dimostrazione Semplice e Elegante dell’Irrazionalità di √2 secondo John Conway

Aneddoti e curiosità, Curiosità e approfondimenti

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Una Dimostrazione Semplice e Elegante dell’Irrazionalità di \sqrt{2} secondo John Conway

  1. Sia k il più grande intero minore di \sqrt{2} (ovviamente, k = 1). Si ha quindi 0 < \sqrt{2} - k < 1.
  2. Consideriamo la successione a_n = (\sqrt{2} - k)^n, che tende a 0 per n \to +\infty perché è una potenza con base compresa tra 0 e 1.
  3. Calcoliamo esplicitamente qualche termine di a_n:
    • a_1 = \sqrt{2} - 1;
    • a_2 = (\sqrt{2} - 1) \cdot a_1 = (\sqrt{2} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{2};
    • a_3 = (\sqrt{2} - 1) \cdot a_2 = (\sqrt{2} - 1)(3 - 2\sqrt{2}) = 5\sqrt{2} - 7;
    • a_4 = (\sqrt{2} - 1) \cdot a_3 = (\sqrt{2} - 1)(5\sqrt{2} - 7) = 17 - 12\sqrt{2};
    • e così via…

    Ci si rende facilmente conto che, in generale,
     

        \[a_n = x_n \cdot \sqrt{2} + y_n,\]

     

    dove x_n e y_n sono numeri interi (non ci interessa il loro valore esatto). Volendo, una dimostrazione formale si può ottenere per induzione.

  4. Supponiamo ora per assurdo che \sqrt{2} sia razionale, quindi \sqrt{2} = p/q (con p \text{ e } q interi positivi). Avremo allora:
     

        \[a_n = x_n \cdot \dfrac{p}{q} + y_n = \dfrac{x_n \cdot p + q \cdot y_n}{q} = \dfrac{z_n}{q},\]

     
    dove z_n = x_n \cdot p + q \cdot y_n è un numero intero positivo. Qualunque sia il suo valore, ovviamente z_n \geq 1 per ogni n, e quindi:
     

        \[a_n \geq \dfrac{1}{q} > 0.\]

     

  5. Qui abbiamo raggiunto un assurdo, perché a_n \to 0 per n \to +\infty, quindi, da un certo n in poi, a_n deve essere minore di 1/q. 💥💥💥

Da notare che questo procedimento non utilizza la fattorizzazione né alcuna tecnica di teoria dei numeri adottate nella più nota dimostrazione “classica”. Inoltre, si presta facilmente a essere esteso anche alla radice quadrata degli altri quadrati non perfetti (semplici o composti che siano), basta cambiare il valore di k all’inizio. Con un minimo di lavoro extra si possono sistemare anche le radici di ordine qualsiasi (cubiche, quarte, …) di interi che non siano potenze perfette. Chi fosse incuriosito può trovare maggiori informazioni a questo link clicca qui