I radianti possono essere considerati un’unità di misura. in particolare, sono l’unità di misura standard per gli angoli nel Sistema Internazionale di unità di misura (SI).

Definizione di Radiante

Un radiante è definito come l’angolo formato al centro di un cerchio da un arco la cui lunghezza è uguale al raggio del cerchio. in altre parole, se si prende un cerchio e si misura un arco della stessa lunghezza del raggio, l’angolo al centro del cerchio formato da quell’arco è di un radiante.

Relazione con altre unità di misura degli angoli

• Gradi: i gradi sono un’altra unità di misura per gli angoli. un cerchio completo è diviso in 360 gradi. un radiante è equivalente a circa 57,2958 gradi. la relazione tra gradi e radianti è:

     

• Gradi, primi e secondi: nei gradi sessagesimali, un grado è diviso in 60 minuti primi (‘), e ogni minuto primo è diviso in 60 secondi (“).

Utilizzo dei Radianti

I radianti sono particolarmente utili in matematica e fisica, in particolare nel calcolo e nell’analisi matematica, poiché semplificano molte formule. ad esempio, le funzioni trigonometriche come seno e coseno hanno derivati e integrali più semplici quando gli angoli sono espressi in radianti.

Esempi di Applicazioni Pratiche

• Trigonometria: le funzioni trigonometriche utilizzano i radianti per definire i loro angoli. ad esempio, la derivata di è solo se è espresso in radianti.
• Fisica: in molte formule fisiche, come quelle relative al moto circolare, gli angoli sono espressi in radianti.

Conclusione

I radianti sono considerati un’unità di misura standard per gli angoli, particolarmente utile in contesti matematici e scientifici per la semplicità e l’efficienza che offrono nelle equazioni e nelle relazioni trigonometriche.

Sì, esattamente! Quando si utilizza il principio di induzione matematica, il passo base deve essere verificato per il valore più basso dell’insieme su cui si applica l’induzione. Questo valore è solitamente il valore iniziale o il minimo dell’insieme dei numeri naturali (spesso o ).

Procedura tipica dell’induzione matematica:

1. Passo base: Verifica che la proprietà sia vera per il valore iniziale , il più piccolo valore dell’insieme su cui si sta lavorando. Ad esempio, se si sta dimostrando una proprietà per tutti i numeri naturali , allora si verifica che la proprietà sia vera per .
2. Passo induttivo: Supponi che la proprietà sia vera per un valore arbitrario (ipotesi induttiva). Mostra quindi che, se la proprietà è vera per , allora è vera anche per .

Se entrambi i passi sono soddisfatti, per il principio di induzione matematica, la proprietà è vera per tutti i valori .

Esempio:

Se vogliamo dimostrare che è vero per tutti i numeri naturali , iniziamo verificando il passo base:

• Passo base: Verifica che sia vera.
• Passo induttivo: Supponiamo che sia vera per un certo e dimostriamo che è vera.

Dunque, il passo base deve sempre essere verificato per il valore iniziale o più basso dell’insieme su cui si applica l’induzione. Questo garantisce che la proprietà si possa estendere a tutti i valori successivi usando l’induzione.

1. Teoria Insiemi
2. Il metodo della diagonale di Cantor
3. Logica elementare
4. Densità dei numeri razionali nei numeri reali
5. Insiemi Numerici
6. Il principio di induzione
7. Gli assiomi di Peano
8. L’insieme dei numeri reali: costruzione e applicazioni
9. Concetti Fondamentali della Retta Reale: Sintesi Teorica
10. Costruzioni alternative di
11. Binomio di Newton
12. Spazi metrici, un’introduzione
13. Disuguaglianza di Bernoulli
14. Disuguaglianza triangolare
15. Teoria sulle funzioni
16. Funzioni elementari: algebriche, esponenziali e logaritmiche
17. Funzioni elementari: trigonometriche e iperboliche
18. Funzioni goniometriche: la guida essenziale
19. Teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni
20. Criterio del rapporto per le successioni
21. Definizione e proprietà del numero di Nepero
22. Limite di una successione monotona
23. Successioni di Cauchy
24. Il teorema ponte
25. Teoria sui limiti
26. Simboli di Landau
27. Funzioni continue – Teoria
28. Il teorema di Weierstrass
29. Il teorema dei valori intermedi
30. Il teorema della permanenza del segno
31. Il teorema di Heine-Cantor
32. Il teorema di esistenza degli zeri
33. Il metodo di bisezione
34. Teorema ponte versione per le funzioni continue
35. Discontinuità di funzioni monotone
36. Continuità della funzione inversa
37. Teorema delle contrazioni o Teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli
38. Teoria sulle derivate
39. Calcolo delle derivate: la guida pratica
40. Teoria sulle funzioni convesse
41. Il teorema di Darboux
42. I teoremi di de l’Hôpital
43. Teorema di Fermat
44. Teoremi di Rolle e Lagrange
45. Il teorema di Cauchy
46. Espansione di Taylor: teoria, esempi e applicazioni pratiche
47. Polinomi di Taylor nei limiti: istruzioni per l’uso
48. Integrali definiti e indefiniti
49. Teorema fondamentale del calcolo integrale (approfondimento)
50. Integrali ricorsivi
51. Formule del trapezio, rettangolo e Cavalieri-Simpson
52. Teoria sugli integrali impropri
53. Funzioni integrali – Teoria
54. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di ingegneria — versione semplificata)
55. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di matematica o fisica)
56. Serie numeriche: la guida completa
57. Successioni di funzioni – Teoria
58. Teoremi sulle successioni di funzioni
    1. 58a. Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme
    2. 58b. Limite uniforme di funzioni continue
    3. 58c. Passaggio al limite sotto il segno di integrale
    4. 58d. Limite uniforme di funzioni derivabili
    5. 58e. Piccolo teorema del Dini
    6. 58f. Procedura diagonale e teorema di Ascoli-Arzela
59. Serie di funzioni – Teoria
60. Serie di potenze – Teoria
61. Serie di Fourier – Teoria e applicazioni
62. Integrali multipli — Parte 1 (teoria)
63. Integrali multipli — Parte 2 (teoria e esercizi misti)
64. Regola della Catena — Teoria ed esempi.
65. Jacobiano associato al cambiamento di coordinate sferiche
66. Guida ai Massimi e Minimi: Tecniche e Teoria nelle Funzioni Multivariabili
67. Operatore di Laplace o Laplaciano
68. Teoria equazioni differenziali
69. Equazione di Eulero
70. Teoria ed esercizi sulla funzione Gamma di Eulero
71. Teoria ed esercizi sulla funzione Beta
72. Approfondimento numeri complessi
73. Diverse formulazioni dell’assioma di completezza
74. Numeri di Delannoy centrali
75. Esercizi avanzati analisi

1. Prerequisiti di Analisi
   1. Ripasso algebra biennio liceo
   2. Ripasso geometria analitica
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   4. Errori tipici da evitare
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   8. Insiemi
2. Successioni
   1. Teoria sulle Successioni
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   4. Forme indeterminate
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   6. Esercizi misti Successioni
   7. Successioni per ricorrenza
3. Funzioni
   1. Teoria sulle funzioni
   2. Verifica del limite in funzioni
   3. Limite base in funzioni
   4. Forme indeterminate in funzioni
   5. Limiti notevoli in funzioni
   6. Calcolo asintoti
   7. Studio di funzione senza derivate
   8. Dominio di una funzione
   9. Esercizi misti Funzioni
   10. Esercizi misti sui Limiti
4. Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
   1. Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
   2. Continuità delle funzioni
   3. Continuità uniforme
   4. Teorema degli zeri
   5. Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate
5. Calcolo differenziale
   1. Derivate
   2. Calcolo delle derivate
   3. Retta tangente nel calcolo differenziale
   4. Punti di non derivabilità nel calcolo differenziale
   5. Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate
   6. Studio di funzione completo nel calcolo differenziale
   7. Esercizi teorici nel calcolo differenziale
   8. Metodo di bisezione
   9. Metodo di Newton
6. Teoremi del calcolo differenziale
   1. Teoria sui Teoremi del calcolo differenziale
   2. Teorema di Rolle
   3. Teorema di Lagrange
   4. Teorema di Cauchy
   5. Teorema di De L’Hôpital
7. Calcolo integrale
   1. Integrale di Riemann
   2. Integrali immediati
   3. Integrale di funzione composta
   4. Integrali per sostituzione
   5. Integrali per parti
   6. Integrali di funzione razionale
   7. Calcolo delle aree
   8. Metodo dei rettangoli e dei trapezi
   9. Esercizi Misti Integrali Indefiniti
   10. Esercizi Misti Integrali Definiti
8. Integrali impropri
   1. Teoria Integrali impropri
   2. Carattere di un integrale improprio
   3. Calcolo di un integrale improprio
9. Espansione di Taylor
   1. Teoria Espansione di Taylor
   2. Limiti di funzione con Taylor
   3. Limiti di successione con Taylor
   4. Stime del resto
10. Funzioni integrali (Approfondimento)
    1. Teoria Funzioni integrali (Approfondimento)
    2. Studio di funzione integrale
    3. Limiti con Taylor e De L’Hôpital
    4. Derivazione di integrali parametrici (Tecnica di Feynmann)
11. Numeri Complessi
    1. Teoria Numeri complessi
    2. Espressioni con i numeri complessi
    3. Radice di un numero complesso
    4. Equazioni con i numeri complessi
    5. Disequazioni con i numeri complessi
    6. Esercizi misti Numeri complessi
12. Serie numeriche
    1. Teoria Serie numeriche
    2. Esercizi Serie a termini positivi
    3. Esercizi Serie a termini di segno variabile
    4. Esercizi Serie geometriche e telescopiche
13. Successioni di funzioni
    1. Teoria Successioni di funzioni
    2. Esercizi Successioni di funzioni
14. Serie di funzioni
    1. Teoria Serie di funzioni
    2. Esercizi Serie di funzioni
15. Serie di potenze
    1. Teoria Serie di potenze
    2. Esercizi Serie di potenze
16. Serie di Fourier
    1. Teoria Serie di Fourier
    2. Esercizi Serie di Fourier
17. Trasformata di Fourier
    1. Teoria Trasformata di Fourier
    2. Esercizi Trasformata di Fourier
18. Funzioni di più variabili
    1. Teoria Funzioni di più variabili
    2. Massimi e minimi liberi e vincolati
    3. Limiti in due variabili
    4. Integrali doppi
    5. Integrali tripli
    6. Integrali di linea di prima specie
    7. Integrali di linea di seconda specie
    8. Forme differenziali e campi vettoriali
    9. Teorema di Gauss-Green
    10. Integrali di superficie
    11. Flusso di un campo vettoriale
    12. Teorema di Stokes
    13. Teorema della divergenza
    14. Campi solenoidali
    15. Teorema del Dini
19. Equazioni differenziali lineari e non lineari
    1. Teoria equazioni differenziali lineari e non lineari
    2. Equazioni differenziali lineari e non lineari del primo ordine omogenee
20. Equazioni differenziali lineari
    1. Del primo ordine non omogenee
    2. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,omogenee
    3. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,non omogenee
    4. Di Eulero,di Bernoulli,di Clairaut,di Lagrange e di Abel
    5. Non omogenee avente per omogenea associata un’equazione di Eulero
    6. Sistemi di EDO
21. Equazioni differenziali non lineari
    1. A variabili separabiliO
    2. A secondo membro omogeneo
    3. Del tipo y’=y(ax+by+c)
    4. Del tipo y’=y(ax+by+c)/(a’x+b’y+c’)
    5. Equazioni differenziali esatte
    6. Mancanti delle variabili x e y
    7. Cenni sullo studio di un’assegnata equazione differenziale non lineare
    8. Di Riccati
    9. Cambi di variabile: simmetrie di Lie
22. Analisi complessa
    1. Fondamenti
    2. Funzioni olomorfe
    3. Integrale di Cauchy e applicazioni
    4. Teorema della curva di Jordan e teorema fondamentale dell’Algebra
    5. Teorema di inversione di Lagrange
    6. Teorema dei Residui
    7. Funzioni meromorfe
    8. Prodotti infiniti e prodotti di Weierstrass
    9. Continuazione analitica e topologia
    10. Teoremi di rigidità di funzioni olomorfe
    11. Trasformata di Mellin
23. Equazioni alle derivate parziali
    1. Equazioni del primo ordine
    2. Equazioni del secondo ordine lineari
    3. Equazioni non-lineari
    4. Sistemi di PDE
24. Funzioni speciali
    1. Funzione Gamma di Eulero
    2. Funzioni Beta,Digamma,Trigamma
    3. Integrali ellittici
    4. Funzioni di Bessel
    5. Funzione zeta di Riemann e funzioni L di Dirichlet
    6. Funzione polilogaritmo
    7. Funzioni ipergeometriche
25. Analisi funzionale
    1. Misura e integrale di Lebesgue
    2. Spazi Lp,teoremi di completezza e compattezza
    3. Spazi di Hilbert,serie e trasformata di Fourier
    4. Teoria e pratica dei polinomi ortogonali
    5. Spazi di Sobolev
26. Complementi
    1. Curiosità e approfondimenti
    2. Compiti di analisi
    3. Esercizi avanzati analisi
27. Funzioni Convesse

• Anelli.
• Gruppi.
• Campi.

• Sistemi lineari.
• Operazioni e proprieà.
• Applicazioni lineari e endomorfismi.
• Autovalori e diagonalizzazione.
• Forma canonica di Jordan e teorema spettrale.
• Spazi vettoriali.

• Geometria nel piano.
• Curve nel piano.
• Geometria nello spazio.
• Curve nello spazio.
• Superfici nello spazio in geometria analitica.
• Geometria affine.

• Curve nel piano e nello spazio.
• Superfici nello spazio in geometria differenziale.
• Varietà differenziabili.
• Tensori.
• Connessioni.
• Curvatura.

• Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
• Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
• MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
• PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
• Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
• The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
• Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
• Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
• Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
• Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.