Pi Greco

 

Capita spesso di leggere che le cifre decimali di , la costante pi greco, essendo infinite e non periodiche, conterrebbero tutto lo scibile umano. Si tratta di affermazioni di questo tipo:
Grazie ai suoi decimali infiniti e mai periodici, contiene al suo interno qualsiasi cosa: il numero di telefono dell’avvocato, la Divina Commedia dall’Inferno al Paradiso, la prima parola pronunciata da Giuseppe Garibaldi, e anche tutto il contenuto dell’Enciclopedia Galattica…

Con ciò si intende che, convertendo le cifre in stringhe di lettere, si otterrebbero tutte le possibili combinazioni di lettere, e quindi tutte le possibili parole, frasi e testi (compreso il post che sto scrivendo, la versione in dialetto veneto de La Divina Commedia, la trascrizione della vostra ultima telefonata, il vostro estratto conto con 1 000 000 di € in più). Una cosa davvero strabiliante, no?

Purtroppo, la realtà è che non sappiamo se questo sia vero. Non è (ancora?) stato dimostrato. È una congettura, sebbene generalmente considerata vera.

Inoltre, la spiegazione che questo fatto sarebbe vero perché “le sue cifre decimali non sono periodiche” è incorretta. Esistono numeri decimali non periodici che non contengono tutte le possibili combinazioni di testi (o di numeri, per semplicità). Per esempio, il numero 1,01001000100001000001…, dove il numero di zeri tra ciascuna coppia di 1 aumenta di volta in volta, non contiene tutte le possibili combinazioni (per esempio manca “11”), ma non è periodico.

Una sequenza che contiene tutte le possibili combinazioni di cifre si dice disgiuntiva. Un esempio semplice è il seguente:

dove la sequenza prosegue all’infinito: sono tutti i numeri interi scritti in fila nella loro forma decimale, accostati uno all’altro. Questo numero si chiama costante di Champernowne, dal nome del matematico inglese David Gawen Champernowne.

Il triste fatto è: non sappiamo se le cifre decimali di formano una sequenza disgiuntiva o no.

Facciamo un passo oltre. Esiste un’altra categoria interessante di numeri, detti numeri normali. Tutti i numeri normali sono anche disgiuntivi, ma non vale il viceversa. Se fosse normale, sarebbe dunque a maggior ragione disgiuntivo. Un numero è normale (in base 10) se, preso un intero qualsiasi , la “probabilità” di trovare ogni sequenza di cifre è pari a . Per esempio, per , questo significa semplicemente che la probabilità di trovare ogni singola cifra tra 0 e 9 è (una singola cifra è una sequenza di lunghezza 1), cioè tutte le cifre sono equiprobabili. Per , si dice che tutti i numeri di due cifre (tra 00 e 99) sono equiprobabili e capitano una volta su 100. E così via per le sequenze di 3, 4, …, cifre. Un esempio di numero normale è proprio la costante di Champernowne definita prima (che non è solo disgiuntiva, ma normale).

(Per i più attenti: la definizione di “probabilità” con insiemi infiniti presenta diverse sottigliezze, il termine corretto sarebbe densità, ma non mi addentro in questa distinzione).

Ora, al di là della definizione un po’ macchinosa, è stato dimostrato dal matematico Émile Borel che di numeri normali non solo ce ne sono infiniti, ma sono, diciamo, la “maggioranza assoluta” dei numeri reali. Anche qui, è sempre sottile definire una maggioranza su un insieme infinito, ma il significato tecnico è che la misura (cioè la “superficie occupata”) dell’insieme dei numeri non-normali vale 0.

Per cui, ci sono “ottime probabilità” che sia effettivamente un numero normale, per cui quando leggete che contiene tutta la sapienza dell’universo e così via, è probabilmente corretto. Attenzione però alla distinzione tra congettura e realtà: fin quando un’affermazione non è dimostrata, non si può mai sapere! Inoltre, togliendo un po’ di gloria al nostro numero preferito, questa proprietà di normalità non è specifica di , ma è propria della “maggioranza assoluta” dei numeri irrazionali. Per cui, vale un po’ per tutti, per esempio per il numero di Nepero (anche qui, solo probabilmente!). Non è particolarmente pertinente attribuire questa (meravigliosa) proprietà a nello specifico.

Infine, tenete presente che, se davvero fosse normale, già un testo relativamente breve di 100 caratteri avrebbe una probabilità minuscola di presentarsi, pari a . Per confronto, ad oggi sono state calcolate cifre di . Come vedete, ci vorrà ancora molto prima che questa cosa possa avere una qualsiasi utilità pratica. Inoltre, assieme a tutta l’informazione corretta, l’espansione decimale di conterrebbe anche tutta l’informazione incorretta! Se cercate la traduzione della versione di Latino per il compito in classe, oltre a quella giusta, troverete anche miliardi e miliardi di traduzioni sbagliate! Non copiate 😉

 
 
 

Tutta la teoria di analisi matematica

 
 

Tutte le cartelle di Analisi Matematica

 
 

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica