Paradosso matematico numero 1

Aneddoti e curiosità

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Paradosso matematico 1. 

Il matematico Srinivasa Ramanujan scrisse che

    \[1+2+3+4+5+6+\dots=-\dfrac{1}{12}.\]

Ma questo risultato è vero? Sembra un risultato assurdo e insensato.

Vediamo se veramente è così!

 

 

Dimostrazione. Ricordiamo la serie di Grandi

    \[\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\]

e chiaramente

    \[\text{non esiste } \; \lim_{n \rightarrow +\infty}(-1)^n,\]

pertanto, con la definizione usuale di serie infinita, la serie di Grandi è indeterminata.
Definiamo

    \[A_n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k=1+\left(\underbrace{-1+1-1+\dots}_{\text{n termini}}\right)=1-A_{n-1} \quad \Leftrightarrow \quad A_n+A_{n-1}=1\]

passando al limite per n \rightarrow + \infty si ha

    \[2\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k=1 \quad \Leftrightarrow \quad \sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k=\dfrac{1}{2}.\]

Ora consideriamo la seguente serie

    \[\sum_{k=1}^{+\infty}k\]

e definiamo

    \[S_n=\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\dots+n.\]

Consideriamo

    \[\begin{aligned} S_n-4S_n &= (1+2+3+\dots+n)-4(1+2+3+\dots+n)=\\ & = 1+(2-4)+3+(4-8)+5+(6-12)+\dots=1-2+3-4+\dots \end{aligned}\]

da cui

(1)   \begin{equation*} -3S_n=1-2+3-4+\dots=b_n. \end{equation*}

Consideriamo ora

    \[\begin{aligned} b_n & =(1-2)+3+(-4+5)-6+(7-8)+9+\dots=\\\\ &=(-1+1-1+1+\dots)+(3-6+9-12+\dots)=-A_n+3(1-2+3-4+\dots)=\\\\ &=-A_n+3b_n \quad \Leftrightarrow \quad 2b_n=A_n. \end{aligned}\]

Ora passiamo al limite per n \rightarrow +\infty sfruttando la serie di Grandi

    \[2(-3)\cdot \sum_{k=1}^{+\infty} k =\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n=\dfrac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad -6 \sum_{k=1}^{+\infty} k =\dfrac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad \sum_{k=1}^{+\infty}k=-\dfrac{1}{12}.\]

Quindi concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \sum_{k=1}^{+\infty}k=-\dfrac{1}{12}.}\]

Questo risultato è veritiero? Certamente no.

Dove sta l’errore? Eccolo qua: non si possono trattare somme infinite con metodi della matematica del finito.
Quando si ha una serie e se ne vuole calcolare la somma come si ragiona? Bisogna considerare le somme parziali della serie, trovarne la soluzione generale e poi passare al limite.
Nel nostro caso, come Carl Friedrich Gauss[1] trovò al suo tempo, la somma dei numeri naturali è

    \[\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}\]

e passando al limite per n \rightarrow +\infty abbiamo

    \[\sum_{k=1}^{+\infty}k=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \dfrac{n(n+1)}{2} = +\infty,\]

dunque la serie diverge a infinito.

L’errore commesso è chiaramento un sofisma algebrico [2]. Si vuole far notare che tra gli errori commessi è presente anche quello del riordinamento delle serie trattate, quando si può fare? per comprendere maggiormente questo errore clicca qui

 

 

1.  Un aneddoto, più verosimile, racconta che un insegnante di Gauss, J.G. Büttner, per mettere a tacere i turbolenti allievi ordinò loro di fare la somma dei numeri da 1 a 100. Quasi subito Gauss, alla tenera età di 9 anni, diede la risposta esatta, sorprendendo l’insegnante ed il suo assistente Martin Bartels. Non si è certi di quale metodo abbia adottato Gauss; forse mise in una riga i numeri da 1 a 100 e in una riga sotto i numeri da 100 a 1, e vide che ogni colonna dava come somma 101: Carl moltiplicò 100 per 101 e divise per due, ottenendo il risultato. E’ interessante sapere che la somma dei primi 100 numeri era un risultato noto già prima di Gauss, questo non toglie nulla al fatto che Gauss trovò tale risultato da bambino..

2. In matematica, un sofisma algebrico è una dimostrazione o un ragionamento matematico contenente un errore, che porta quindi ad un risultato errato o contraddittorio.

 

 

Approfondimento. Ora un po’ di storia della matematica. Le seguenti informazioni sono state prese dalle dispense di Gino Tironi dalle quali estrapoliamo solamente le informazioni necessarie per apprendere meglio gli errori commessi.

    \[\ast \quad \ast \quad \ast\]

I matematici del Seicento e del settecento si dedicarono con passione ai calcoli con processi infiniti. Tuttavia, poichè ancora non era stato elaborato con precisione il concetto di limite, spesso ottennero risultati discutibili, con giustificazioni fantasiose e spesso poco convincenti.
Tutto questo si può riconoscere nella trattazione delle serie. Un’attenzione particolare ebbe all’inizio del Settecento la sommazione della serie infinita

    \[1-1+1-1+1-1+\dots\]

Per risolvere il problema della somma di questa serie, il monaco camaldolese
Guido Grandi, nel 1703, fece ricorso alla considerazione della serie, che si dice geometrica,

    \[1+x+x^2+x^3+\dots\]

e che ha come somma \frac{1}{1-x} (ma, come vedremo, se e solo se \vert x \vert < 1).
Sostituendo x=-1, egli ne ricavò l’uguaglianza

    \[1-1+1-1+\dots=\dfrac{1}{2}\]

Sette anni più tardi, in uno scritto dedicato al \textit{“Deo veritatis, luminum patri, scientiarum domino, geometriae praesidi”} (cioè al “Dio della verità, padre della luce, signore delle scienze, presidio della geometria”), egli tornò sull’argomento, proponendo una giustificazione giuridica della conclusione, con l’esempio di due fratelli che avevano ottenuto in eredità, con la proibizione di venderla, una preziosissima pietra. Decisero di custodirla un anno nel museo dell’uno ed un anno in quello dell’altro. Concludeva Grandi che, mediamente ognuno dei fratelli aveva il possesso di metà della pietra. Partendo dalla formula precedente e associando i temini a due a due, Grandi ottenne poi la seguente formula

    \[0+0+0+0+\dots=\dfrac{1}{2},\]

alla quale affidò il compito di dare la spiegazione dell’origine del mondo.
Le deduzioni di Grandi diedero luogo ad una vivace polemica scientifica nella quale intervennero anche Leibniz, Wolff e Varignon. Nel 1713 Leibniz espose il suo rifiuto ad accettare la giustificazione giuridica di Grandi, ma affermò che il risultato era assolutamente certo, anche se lo giustificò in termini probabilistici.
Se la somma dei termini della serie 1-1+1+\dots si arresta ad un termine di posto pari, il risultato è 0, se si arresta ad un termine di posto dispari si ottiene 1.
Il calcolo delle probabilità insegna a prendere come valore di una grandezza che può assumere due valori diversi, ma equiprobabili, la media degli stessi. Ora ci sono tanti numeri pari quanti numeri dispari. Perciò il valore della somma doveva essere \dfrac{0+1}{2}=\dfrac{1}{2}.
Alcuni anni più tardi, nel 1745, Eulero, appoggiandosi all’autorità di Leibniz, e in accordo con i contemporanei Goldbach e Daniel Bernoulli, si disse convinto che ogni serie infinita dovesse avere una somma ben determinata e che il suo valore dovesse essere quello dell’espressione analitica della quale la serie costituiva lo sviluppo. L’idea di Eulero costituì spesso per lui l’ispirazione verso scoperte mirabili (come per esempio la rappresentazione come prodotto infinito della funzione \frac{\sin x}{x} e la sommazione di serie del tipo \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^k} con k\geq 2), ma in alcuni casi egli stesso ne dubitò, cercando negli anni successivi una giustificazione più convincente delle sue scoperte. Nelle mani di matematici meno esperti condusse talvolta a conclusioni fantasiose e inattendibili, come si può apprezzare considerando la seguente espressione:

    \[\dfrac{1+x}{1+x+x^2}=\dfrac{1-x^2}{1-x^3}=1-x^2+x^3-x^5+\dots\]

Naturalmente, la prima uguaglianza vale se x \neq 1 , la seconda se \vert x \vert <1.
Sostituendo x=1, si trova

    \[\dfrac{2}{3}=1-1+1-1+\dots\]

ciò è una somma diversa per la serie di Grandi.
“Paradossi” come questi e anche più riposti e quindi più pericolosi, si ripeterono negli anni a venire, fino a che non venne sistemata e precisata la nozione di limite ad opera soprattutto di Bolzano, Cauchy e Weierstrass.