Proposizione. Il nastro di Möbius è una superficie non orientabile in .
Dimostrazione. Ricordiamo al lettore una possibile parametrizzazione del Nastro di Möbius, ottenuta facendo ruotare il segmento prima attorno all’asse
di un angolo
e successivamente di un angolo
attorno all’asse
, dove
.
Risulta quindi
Per dimostrare che non è orientabile, dobbiamo far vedere che il suo versore normale non è continuo. Calcoliamo il versore normale
lungo la curva chiusa .
Con qualche semplice calcolo si vede che
dunque,
Concludiamo che non esiste una orientazione continua definita su tutto Möbius.
Nota: Esistono tante superfici compatte non orientabili (Il Nastro di Möbius non rientra tra queste in quanto ha un bordo). Esempi di queste superfici sono il piano proiettivo reale
e la bottiglia di Klein
Osservazione. non ci possono essere 2-varietà compatte senza bordo immerse in .