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Nastro di Möbius

Aneddoti e curiosità

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Proposizione. Il nastro di Möbius è una superficie non orientabile in \mathbb{R}^3.

 

 

Dimostrazione. Ricordiamo al lettore una possibile parametrizzazione del Nastro di Möbius, ottenuta facendo ruotare il segmento (1, 0, t), \; t\in [-1,1] prima attorno all’asse x di un angolo \dfrac{\theta}{2} e successivamente di un angolo \theta attorno all’asse z, dove \theta \in [0,2\pi).
Risulta quindi

    \begin{equation*}\label{nastro} M(\theta,t)=\left(\cos(\theta)+\sin(\theta)\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)t,\, \sin(\theta)-\cos(\theta)\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)t, \,\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)t\right) \end{equation*}

Per dimostrare che non è orientabile, dobbiamo far vedere che il suo versore normale non è continuo. Calcoliamo il versore normale

    \[\begin{aligned} N:&\quad M\to S^2,\, p\to N_p \\ & N=\dfrac{M_{\theta}\wedge M_t}{\vert M_{\theta} \wedge M_t \vert}& \end{aligned}\]

lungo la curva chiusa \gamma(\theta)=M(\theta,0), \; \theta \in [0,2\pi).
Con qualche semplice calcolo si vede che

    \[\begin{aligned} &\left(N\vert_\gamma \right)(\theta)=\left(\cos(\theta) \cos\left( \dfrac{\theta}{2}\right), \sin(\theta) \cos\left(\dfrac{\theta}{2} \right) ,0 \right) \end{aligned}\]

dunque,

    \[\begin{aligned} &\lim_{\theta\to 0^+} \left(N\vert_\gamma \right)(\theta) =(1,0,0)\\ &\lim_{\theta \to 2\pi^-} \left(N\vert_\gamma \right)(\theta)=(-1,0,0) \end{aligned}\]

Concludiamo che non esiste una orientazione continua definita su tutto Möbius.

 

 

Nota: Esistono tante superfici compatte non orientabili (Il Nastro di Möbius non rientra tra queste in quanto ha un bordo). Esempi di queste superfici sono il piano proiettivo reale

    \[\mathbb{R}\mathbb{P}^2= {S^2}/{\mathbb{Z}_2}\]

e la bottiglia di Klein

    \[K=\mathbb{R}\mathbb{P}^2 \# \mathbb{R}\mathbb{P}^2\]

 

 

Osservazione. Non ci possono essere 2-varietà compatte senza bordo immerse in \mathbb{R}^3.