Il Determinante e il Metodo di Gauss: Regole Fondamentali e Applicazioni

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Il Determinante e il Metodo di Gauss: Regole Fondamentali e Applicazioni

Il calcolo del determinante di una matrice rimane invariato applicando trasformazioni elementari alle righe, quali la moltiplicazione per uno scalare non nullo o l’aggiunta di una riga moltiplicata per uno scalare ad un’altra. Tuttavia, il determinante cambia segno ogni volta che si scambiano due righe.

Il metodo di Gauss, o Gauss-Jordan, impiega queste operazioni per convertire la matrice in una forma triangolare superiore o ridotta a gradini. La procedura è:

  • Moltiplicazione di una riga per uno scalare non nullo: la moltiplicazione di una riga per uno scalare non nullo comporta la moltiplicazione del determinante corrente per lo stesso scalare.
  • Somma di righe: l’aggiunta di una riga moltiplicata per uno scalare ad un’altra non modifica il determinante.
  • Scambio di righe: lo scambio di due righe inverte il segno del determinante.

In pratica, molti calcolano il determinante dopo aver ridotto la matrice a una forma triangolare superiore, poiché in questa configurazione è semplice moltiplicare gli elementi sulla diagonale principale per ottenere il determinante, considerando le modifiche dovute alle operazioni su righe effettuate.

 

Esempio 1

Si consideri la matrice A:

    \[ A = \begin{pmatrix}     2 & 4 & 6 \\     1 & 3 & 5 \\     7 & 1 & 11 \end{pmatrix}. \]

Il determinante di A, denotato con \det(A), è 32.

Moltiplicazione di una riga per uno scalare non nullo: Moltiplicando la prima riga per uno scalare non nullo, ad esempio per 3, si ottiene la matrice B:

    \[ B = \begin{pmatrix}     6 & 12 & 18 \\     1 & 3 & 5 \\     7 & 1 & 11 \end{pmatrix}. \]

Il determinante di B, \det(B), è tre volte quello di A, pari a 96.

Somma di una riga ad un’altra: Aggiungendo la prima riga alla terza, sostituendo il risultato nella terza riga, si ottiene la matrice C:

    \[ C = \begin{pmatrix}     2 & 4 & 6 \\     1 & 3 & 5 \\     9 & 5 & 17 \end{pmatrix}. \]

La matrice C mantiene lo stesso determinante di A, confermando che la somma di una riga a un’altra moltiplicata per uno scalare non altera il determinante.

Scambio di righe: Scambiando la prima riga con la seconda in A, si ottiene la matrice D:

    \[     D = \begin{pmatrix}         1 & 3 & 5 \\         2 & 4 & 6 \\         7 & 1 & 11     \end{pmatrix}.     \]

Il determinante di D, \det(D), ha segno opposto rispetto a \det(A), ovvero -32.

Questi esempi dimostrano l’effetto delle operazioni elementari sul determinante di una matrice, conforme alle regole della teoria dei determinanti.

 

Matrice triangolare superiore

Una matrice triangolare superiore è una matrice quadrata in cui tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale sono zero. Questo significa che la forma generale di una matrice triangolare superiore A di dimensione n \times n è la seguente:

    \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}. \]

Dove a_{ij} = 0 per i > j. Le matrici triangolari superiori sono importanti in algebra lineare per semplificare molti problemi, compreso il calcolo dei determinanti, che per tali matrici è il prodotto degli elementi sulla diagonale principale.
 

Calcolo del determinante con il metodo di Gauss

Il metodo di Gauss, o riduzione di Gauss-Jordan, è una tecnica per calcolare il determinante di una matrice trasformandola in una forma triangolare superiore tramite operazioni elementari sulle righe. Di seguito i passi di come funziona l’algortmo di Gauss.

1. Eliminazione di Gauss: si eseguono operazioni sulle righe della matrice per ottenere zeri sotto (o sopra) la diagonale principale. Queste operazioni includono scambiare due righe, moltiplicare una riga per uno scalare non nullo, e sommare a una riga un’altra riga moltiplicata per uno scalare.

2. Calcolo del Determinante: una volta ottenuta la forma triangolare superiore, il determinante della matrice è il prodotto degli elementi sulla diagonale principale. È importante ricordare che ogni volta che si scambiano due righe, il segno del determinante cambia, e se si moltiplica una riga per uno scalare, il determinante della matrice deve essere moltiplicato per lo stesso scalare.

Efficienza del metodo: questo metodo è efficiente per le matrici di grandi dimensioni, riducendo il numero di calcoli necessari rispetto al metodo di espansione per cofattori.

 

Esempio 2

Consideriamo la matrice:

    \[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 4 & -6 & 0 \\ -2 & 7 & 2 \end{bmatrix}. \]

Procediamo con l’eliminazione di Gauss per trasformarla in una forma triangolare superiore e calcolare il determinante:

  1. Primo passo: Rendere zero gli elementi sotto il primo elemento della prima colonna.
    • Moltiplichiamo la prima riga per 2 e la sottraiamo dalla seconda riga:

          \[             \text{Nuova riga 2} = \text{Riga 2} - 2 \times \text{Riga 1} = \begin{bmatrix} 4 & -6 & 0 \end{bmatrix} - 2 \times \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -8 & 2 \end{bmatrix}.             \]

    • Sommiamo la prima riga alla terza riga:

          \[             \text{Nuova riga 3} = \text{Riga 3} + \text{Riga 1} = \begin{bmatrix} -2 & 7 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 8 & 1 \end{bmatrix}.             \]

    • La matrice ora è:

          \[             A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & -8 & 2 \\ 0 & 8 & 1 \end{bmatrix}.             \]

  2. Secondo passo: Rendere zero gli elementi sotto il secondo elemento della seconda colonna.
    • Aggiungiamo la seconda riga alla terza riga:

          \[             \text{Nuova riga 3} = \text{Riga 3} + \text{Riga 2} = \begin{bmatrix} 0 & 8 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & -8 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}.             \]

      .

    • La matrice risultante è triangolare superiore:

          \[             A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & -8 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}.             \]

  3. Calcolo del determinante:
    • Il determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale principale:

          \[             \det(A) = 2 \times (-8) \times 3 = -48.             \]

      Il determinante di A è rappresentato dall’equazione di sopra poiché le uniche operazioni eseguite consistevano nell’aggiungere a una riga un multiplo di un’altra, operazioni che, come abbiamo stabilito, non alterano il valore del determinante.