Test di medicina

Test di Ingresso – Esercizi risolti e simulazioni

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Test di medicina – parte di matematica

Autori e revisori

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Autori: Silvia Lombardi

Revisori: Daniele Bjørn Malesani.

Insiemi e numeri

$\quad$

Esercizio 1. La centesima parte di $10^{100}$ è

$\quad$

$0,01^{100}$

$10^{102}$

$10^{50}$

$10^{98}$

$0,01^{98}$

Svolgimento.

Risposta 4.

Per trovare la centesima parte di $10^{100}$ è sufficiente dividere per $100=10^2$ quindi

$\dfrac{10^{100}}{10^2} = 10^{100-2}= 10^{98}$

Esercizio 2. Il m.c.m. tra 48, 55 e 90 è

$\quad$

$2^3 \cdot 5 \cdot 3$

$2^4 \cdot 11 \cdot 5 \cdot 3^3$

$2^4 \cdot 11 \cdot 5^2 \cdot 3^2$

$2^5 \cdot 11 \cdot 5^2 \cdot 3^2$

$2^4 \cdot 11 \cdot 5 \cdot 3^2$

Svolgimento.

Risposta 5.

I numeri si scompongono in fattori in primi come segue:

$\begin{aligned} &48 = 2^4 \cdot 3\\ &55 = 5 \cdot 11 \\ &90 = 2 \cdot 5 \cdot 3^2 \end{aligned}$

e il m.c.m. è dato dal prodotto dei fattori comuni e non comuni con esponente maggiore, quindi:

$\text{m.c.m.}(48,55,90) = 2^4 \cdot 11 \cdot 5 \cdot 3^2$

Esercizio 3. Quanto vale $8^8-8^6$ ?

$\quad$

$64$

$8^6 \cdot 63$

$8^{4/3}$

$\dfrac{4}{3}$

Svolgimento.

Risposta 2.

Raccogliamo $8^6$ :

$8^8-8^6 = 8^6 \cdot (8^2 - 1) = 8^6 \cdot (64 - 1) = 8^6 \cdot 63$

Monomi e polinomi

$\quad$

Esercizio 4. Il valore di $102^2-98^2$ è compreso tra

$\quad$

$950-1299$

$700-900$

$500-650$

$300-450$

$1300-2000$

Svolgimento.

Risposta 2.

Procediamo con i calcoli sfruttando il prodotto tra differenza e somma di binomio:

$102^2-98^2 = (102-98)(102+98) = 4 \cdot 200 = 800$

Esercizio 5. Ridurre ai minimi termini la frazione algebrica $\dfrac{a^3-a}{a^3-2a^2+a}$

$\quad$

$\dfrac{a+1}{(a-1)^2}$

$\dfrac{1}{2a^2}$

$\dfrac{1}{2a}$

$\dfrac{a+1}{a-1}$

$\dfrac{1}{(a-1)(a+1)}$

Svolgimento.

Risposta 4.

Utilizziamo i prodotti notevoli

$\dfrac{a^3-a}{a^3-2a^2+a} = \dfrac{a(a^2-1)}{a(a^2-2a+1)} = \dfrac{a(a-1)(a+1)}{a(a-1)^2} = \dfrac{a+1}{a-1}$

Esercizio 6. L’espressione $a^3+b^3$ equivale a:

$\quad$

$(a-b)^3$

$(a+b)^3$

$(a-b)(a^2+2ab+b^2)$

$(a+b)(a^2-ab+b^2)$

$(a+b)(a^2-2ab+b^2)$

Svolgimento.

Risposta 4.

E’ il prodotto notevole della somma di due cubi:

$(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$

Radicali

$\quad$

Esercizio 7. L’espressione $\sqrt{6-\sqrt{11}}$ equivale a:

$\quad$

$\sqrt{6}$

$\sqrt{\dfrac{11}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{\dfrac{11}{2}} - \sqrt{\dfrac{1}{2}}$

Svolgimento.

Risposta 5.

Utilizzando la formula per i radicali doppi

$\sqrt{a-\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} - \sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$

abbiamo

$\sqrt{6-\sqrt{11}} = \sqrt{\dfrac{6+\sqrt{36-11}}{2}} - \sqrt{\dfrac{6-\sqrt{36-11}}{2}} = \sqrt{\dfrac{11}{2}} - \sqrt{\dfrac{1}{2}}$

Esercizio 8. La razionalizzazione di $\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ è

$\quad$

$\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{16}$

$\sqrt{5}+\sqrt{3}$

$\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{8}$

$\dfrac{5(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{3}$

Svolgimento.

Risposta 1.

Si razionalizza come segue

$\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5^2}-\sqrt{3^2}} = \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3} = \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$

Esercizio 9. L’espressione $\sqrt{A^2}$ equivale a

$\quad$

$-A$

$\vert A \vert$

non si può fare

$A$ se $A$ è pari

Svolgimento.

Risposta 3.

Per le proprietà dei radicali

$\sqrt{A^2} = \vert A \vert$

poichè la radice è di indice pari e quindi vale

$\sqrt[n]{A^n} = \vert A \vert$

mentre per $n$ dispari

$\sqrt[n]{A^n} = A$

Equazioni

$\quad$

Esercizio 10. L’equazione $x^2+1=0$ ha soluzione:

$\quad$

$x=1$ e $x=-1$

$\text{nessun numero reale}$

$x=1$

$x=1/2$

$x=0$

Svolgimento.

Risposta 2.

Si tratta di un’equazione di secondo grado e se andiamo a calcolare il discriminante abbiamo

$\Delta = -4 < 0$

quindi l’equazione non ammette soluzioni reali.

Esercizio 11. L’equazione $x^2-3kx+k+1=0$ ammette soluzione $x=2$ per:

$\quad$

$k=1$

$k \neq 2$

$k=0$

$k=3$ o $k=-1$

nessun valore di $k$

Svolgimento.

Risposta 1.

Andiamo a sostituire $x=2$ nell’equazione

$2^2-3k \cdot 2 +k+1=0 \; \Leftrightarrow \; 4-6k+k+1=0 \; \Leftrightarrow \; -5k = -5 2^2-3k \cdot 2 +k+1=0 \; \Leftrightarrow \; k=1$

Esercizio 12. Un’equazione di secondo grado che ammette solo la soluzione $x=3$ ha discriminante:

$\quad$

minore di zero

maggiore di zero

uguale a zero

uguale a tre

immaginario

Svolgimento.

Risposta 3.

Un’equazione ammette un’unica soluzione quando il discriminante è nullo.

Disequazioni

$\quad$

Esercizio 13. La disequazione $\dfrac{x-1}{3x-6} \ge 0$ è soddisfatta per

$\quad$

$x>1$

$x \le 1 \; \vee \; x \ge 2$

$x \le 1 \; \vee \; x > 2$

$1<x <2$

$x<1 \; \vee \; x > 2$

Svolgimento.

Risposta 3.

Facciamo

$\begin{aligned} & N: x-1\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\ge 1\\ & D: 3x-6>0 \quad \Rightarrow \quad x>2 \end{aligned}$

e con la regola dei segni

$\quad$

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$\quad$

abbiamo

$x \le 1 \; \vee \; x > 2$

Esercizio 14. Il sistema

$\begin{cases} x(x-4)>-4\\ x>-1 \end{cases}$

è verificata per

$\quad$

$x>-1$

$x\ge 2$

$x>-1 \, \wedge x\ne2$

per ogni numero reale

per un numero complesso

Svolgimento.

Risposta 3.

Facciamo i calcoli

$\begin{cases} x(x-4)>-4\\ x>-1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2-4x+4>0\\ x>-1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x-2)^2>0\\ x>-1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ne 2\\ x>-1 \end{cases}$

quindi

$x>-1 \, \wedge x\ne2$

Esercizio 15. La disequazione

$(x-1)^2 \le 0$

$\quad$

non ha soluzione nei numeri reali

ha soluzione $x>1$

è sempre verificata

ha soluzione $x = 1$

ha soluzione $x= i$ con $i$ unità immaginaria

Svolgimento.

Risposta 4.

Il quadrato del binomio è sempre non negativo, quindi in questo caso può essere al più uguale a zero:

$x-1=0 \quad \Rightarrow \quad x=1$

Logaritmi

$\quad$

Esercizio 16. Il valore di $\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5$ vale

$\quad$

$-1$

$\log_2 5$

$2 \log_3 4$

$\log_5 2$

Svolgimento.

Risposta 2.

Applichiamo la formula del cambiamento di base

$\log_3 4 = \dfrac{\log_2 4}{\log_2 3} \qquad \mbox{e} \qquad \log_4 5 = \dfrac{\log_2 5}{\log_2 4}$

dunque

$\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 = \cancel{\log_2 3} \cdot \dfrac{\cancel{\log_2 4}}{\cancel{\log_2 3}} \cdot \dfrac{\log_2 5}{\cancel{\log_2 4}} = \log_2 5$

Esercizio 17. Quale delle seguenti uguaglianze è vera?

$\quad$

$\log x^2 = 2 \log x$ per ogni $x \in \mathbb{R}$

$\log 6 = \log 2 + \log 4$

$\log 8x = \log 8 + \log x$ per ogni $x>0$

$\log \dfrac{5}{13} = \log 5 : \log 13$

$\log (x-1)^3 = 3 \log x$

Svolgimento.

Risposta 3.

Per le proprietà dei logaritmi con $a,b>0$ :

$\begin{aligned} & \log ab = \log a + \log b\\ & \log \dfrac{a}{b} = \log a - \log b\\ & \log a^N = N \log \vert a\vert \end{aligned}$

è vera solo la risposta 3

$\log 8x = \log 8 + \log x$

Esercizio 18. L’argomento di un logaritmo

$\quad$

deve essere sempre diverso da zero

deve essere maggiore di zero

deve essere maggiore di $1$

deve essere sempre minore o uguale di zero

è sempre ben definito

Svolgimento.

Risposta 2.

Esponenziale

$\quad$

Esercizio 19. La seguente disequazione $xe^{1/x}\ge0$ è verificata per

$\quad$

$x\ge0$

$x \neq 0$

$x>0$

$x<0$

$x\le0$

Svolgimento.

Risposta 3.

Si tratta di studiare il segno di un prodotto, dunque

$x \ge 0 \qquad \mbox{e} \qquad e^{1/x}\ge0$

dove quest’ultima è verificata per ogni $x \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ . Dunque, dato che il fattore $e^{1/x}\ge0$ sempre, allora è sufficiente che

$x>0$

Esercizio 20. La seguente equazione $2^{x-1}= 4$ è verificata per

$\quad$

$x=1$

$x=3$

nessun valore reale

tutti i valori reali

$x=2$

Svolgimento.

Risposta 2.

L’equazione esponenziale $2^{x-1}= 4$ si svolge come segue

$2^{x-1}= 4 \quad \Rightarrow \quad 2^{x-1}=2^2 \quad \Rightarrow \quad x-1=2 \quad \Rightarrow \quad x=3$

dunque la risposta corretta è 2.

Esercizio 21. La seguente disequazione $\left(\dfrac{2}{3}\right)^x>\dfrac{3}{2}$ è verificata per

$\quad$

$x>-1$

$x <-1$

$-1<x<0$

$x=-1$

$x\ge0$

Svolgimento.

Risposta 2.

La disequazione esponenziale $\left(\dfrac{2}{3}\right)^x>\dfrac{3}{2}$ si svolge come segue

$\left(\dfrac{2}{3}\right)^x>\dfrac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad \left(\dfrac{2}{3}\right)^x> \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1} \quad \Rightarrow \quad x<-1$

dove si inverte il segno di disuguaglianza perché la base della potenza è minore di $1$ essendo $2/3$ , dunque la risposta corretta è 2.

Goniometria e trigonometria

$\quad$

Esercizio 22. Quale delle seguenti identità è corretta?

$\quad$

$\sin^2x+\cos^2x=-1$

$\sin(-x)=\sin(x)$

$\cos(2x) = 1- 2\cos^2(x)$

$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$

$\cos(x+y)=\cos x + \cos y$

Svolgimento.

Risposta 4.

$\sin(2x)= \sin(x+x) = \sin x \cos x + \sin x \cos x = 2 \sin x \cos x$

Esercizio 23. L’espressione $\dfrac{\sin(40°)}{\cos(50°)}$ equivale a

$\quad$

$\dfrac{4}{5}$

$\sin(40^\circ)$

$\tan(40^\circ)$

$-1$

Svolgimento.

Risposta 2.

Possiamo riscrivere

$\cos(50^\circ) = \cos(90^\circ-40^\circ) = -\sin(40^\circ)$

ottenendo pertanto la risposta 2.

Esercizio 24. La seguente espressione

$\cos(15^\circ) + \sin(75^\circ)$

vale

$\quad$

$-1$

$2\sin(75^\circ)$

$\cos(15^\circ)$

Svolgimento.

Risposta 3.

Utilizziamo gli archi associati:

$\cos(15^\circ) = \cos(90^\circ-75^\circ) = \sin(75^\circ)$

quindi la risposta è 3.

Geometria analitica

$\quad$

Esercizio 25. Le rette $x+3y=1$ e $2x=11-6y$

$\quad$

sono parallele distinte

sono coincidenti

sono incidenti in $(-2,1)$

sono perpendicolari

sono parallele alla retta $y=-3x$

Svolgimento.

Risposta 1.

Esplicitando il coefficiente angolare di entrambe le rette

$y=-\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3} \qquad \mbox{e} \qquad y=-\dfrac{1}{3}x + \dfrac{11}{6}$

ed essendo uguale per entrambe ed in particolare uguale a $-1/3$ , vuol dire che le rette sono parallele. Siamo sicuri che non sono coincidenti perché l’ordinata all’origine è differente.

Esercizio 26. Quale delle seguenti è una circonferenza?

$\quad$

$x^2+y^2+3xy+y=1$

$x^2+2y^2-x-3y=0$

$x^2+y^2-4x+2y-4=0$

$y=3x^2+5x+1$

$x+y^2-7x+2y=0$

Svolgimento.

Risposta 3.

La risposta 1 non è una circonferenza perché è presente il termine misto $xy$ , la risposta 2 non è una circonferenza perché i termini $x^2$ e $y^2$ non hanno stesso coefficiente pari ad 1, la risposta 4 non è una circonferenza perché rappresenta una parabola ed infine la risposta 5 è ancora una parabola. L’unica che rappresenta una circonferenza è la risposta 3.

Esercizio 27. L’equazione $x^2+y^2-2xy -3=0$ rappresenta

$\quad$

una parabola

una coppia di rette

una circonferenza

un’ellisse

un’iperbole

Svolgimento.

Risposta 2.

Possiamo scrivere

$x^2+y^2-2xy -3=0 \Rightarrow (x-y)^2 = 3 \Rightarrow x - y = \pm \sqrt{3}$

ovvero abbiamo una coppia di rette.

Funzioni

$\quad$

Esercizio 28. La funzione $y=\ln(x^2)$ ha per dominio

$\quad$

tutti i numeri reali

tutti i numeri reali tranne zero

$x>0$

$x<0$

$x>1$

Svolgimento.

Risposta 2.

La funzione logaritmica è ben definita quando il suo argomento è maggiore di zero, quindi

$x^2>0 \; \Rightarrow \; x \neq 0$

perché ogni numero reale elevato al quadrato, eccetto zero, è maggiore di zero.

Esercizio 29. La funzione $y=x^2-1$

$\quad$

ha per dominio tutti i numeri reali eccetto $+1$

ha il grafico simmetrico rispetto all’origine

ha il grafico simmetrico rispetto all’asse $y$

è sempre positiva

è positiva per $x>1$

Svolgimento.

Risposta 3.

La funzione $f(x)=x^2-1$ è pari perché

$f(x)= x^2-1\qquad \mbox{e} \qquad f(-x)=(-x)^2-1=x^2 -1 \Rightarrow f(x)=f(-x)$

quindi il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse $y$ .

Il dominio è costituito da tutti i numeri reali, poiché la funzione è reale.

La funzione è positiva per $x<-1$ oppure $x>1$ .

Esercizio 30. La funzione $y=2^{-x}$

$\quad$

è decrescente

è crescente

è costante

non è iniettiva

non è definita per alcun valore reale

Svolgimento.

Risposta 1.

La funzione è

$y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$

che è sempre decrescente in quanto esponenziale con base compresa tra zero ed uno.\\ Il grafico qualitativo è il seguente ed osserviamo che non è costante, è iniettiva e il suo dominio è costituito da tutti i numeri reali.

$\quad$

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Probabilità e statistica

$\quad$

Esercizio 31. Quante anagrammi della parola $suono$ si possono comporre?

$\quad$

$60$

$12$

$20$

$32$

Svolgimento.

Risposta 1.

Contare gli anagrammi consiste nel contare le permutazioni con ripetizione

$\text{numero anagrammi} = \dfrac{n!}{n_1!}$

dove $n$ è il numero delle lettere che compongono la parola (in questo caso $5$ ) e $n_1$ è il numero delle ripetizioni di una lettera (la lettera \textit{o} si ripete $2$ volte), per cui

$\text{numero anagrammi} = \dfrac{5!}{2!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$

Esercizio 32. Lanciando due dadi non truccati con $6$ facce numerate da $1$ a $6$ , qual è la probabilità che si abbiano due facce che somma pari a $7$ ?

$\quad$

$1/6$

$1/9$

$5/35$

$1/18$

$7/37$

Svolgimento.

Risposta 1.

Si può creare in modo molto veloce la seguente tabella, dove nella prima riga e prima colonna riportiamo le facce dei dadi e nelle caselle centrali la loro somma

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Dadi} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ \hline 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11\\ \hline 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\ \hline \end{array}$

da cui osserviamo che possiamo ottenere $7$ in ben $6$ modi, quindi la probabilità è data dai casi favorevoli sul numero di casi possibili

$P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$

Esercizio 33. La media aritmetica dei seguenti numeri -1,2,3,4 è

$\quad$

$2,5$

$2,2$

$1,8$

Svolgimento.

Risposta 3.

La media aritmetica si calcola sommando tutti i numeri e dividendo la somma per il numero di valori:

$\dfrac{-1+2+3+4}{4} = \dfrac{8}{4}=2$

Tutta la teoria di analisi matematica

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Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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