Test di ingresso – facoltà di Ingegneria

Revisori: Valerio Brunetti, Davide Germani, Sergio Fiorucci.

• Monomi e polinomi, incluse le tecniche di scomposizione;

 

• Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, con estensioni al grado superiore e utilizzo dei moduli;

 

• Sistemi di disequazioni;

 

• Operazioni sui radicali

 

• Funzioni esponenziali e logaritmiche;

 

• Problemi di Geometria euclidea;

 

• Geometria analitica (studio della retta, parabola, circonferenza, ellisse, iperbole);

 

• Geometria solida;

 

• Goniometria e trigonometria (studio delle funzioni trigonometriche, risoluzione di equazioni e disequazioni, applicazione delle formule fondamentali quali archi associati, duplicazione, somma, sottrazione e bisezione);

 

• Calcolo combinatorio, statistica e probabilità.

Ogni esercizio è corredato da una spiegazione approfondita e, ove opportuno, da rappresentazioni grafiche per agevolare la comprensione dei procedimenti. L’attenzione alla chiarezza e alla precisione rende questo strumento adatto agli studenti di diversi percorsi formativi, inclusi licei scientifici, classici, linguistici e istituti tecnici.

La distanza al quadrato fra due punti e nel piano è

Quindi l’insieme dei punti del piano che verificano l’equazione data nell’esercizio distano dal punto esattamente (vedi figura 1)

Figura 1: circonferenza centrata in e di raggio .

Il luogo di tali punti è quindi una circonferenza e la risposta corretta è la 2.

Il logaritmo di un numero in una certa base è definito solo quando l’argomento è positivo, perciò il dominio di esistenza della funzione è l’insieme dei punti per cui

Dobbiamo studiare quindi i segni di e di e selezionare solo l’insieme dei valori per cui il prodotto dei loro segni è positivo.

Lavoriamo con l’usuale diagramma:

Quindi si ottiene

Il grafico della funzione è mostrato in figura 2.

Figura 2: grafico della funzione .

La risposta giusta è quindi la 4.

Dati una coppia di numeri ed , una successione geometrica di ragione e primo termine è una successione

Una successione così fatta ha la peculiarità che il rapporto tra un termine ed il precedente è sempre costante ed è uguale alla ragione . Nel caso dell’esericizio e , dobbiamo quindi risolvere

La risposta corretta è quindi la 4.

Una somma di quadrati è sempre maggiore o uguale a zero ed è zero se e soltanto se tutti gli addendi sono uguali a . Otteniamo quindi

Il luogo è quindi un solo punto, .

Il volume di un prisma è uguale al prodotto dell’area di base per la sua altezza . D’altro canto, la formula per il calcolo del volume di una piramide avente stessa base e altezza del prisma è

In figura 3 diamo un esempio di prisma e piramide a base pentagonale.

Figura 3: esempio di prisma e piramide a base pentagonale.

Perciò la risposta corretta è 3.

Se il parallelepipedo ha dimensioni , allora la sua area è

Invece, l’area di un parallelepipedo ottenuto dimezzandone le dimensioni pari a

è

La risposta giusta è quindi la 3.

Sia il prezzo iniziale e il prezzo all’-esima settimana. Allora

La settimana per cui conviene comprare equivale al più grande per cui , ovvero

Perciò è la settimana più conveniente e la risposta esatta è la 1.

Osserviamo che è sempre positivo e è sempre minore di , perciò il rapporto fra e supera . Dato che stiamo facendo un rapporto, dobbiamo tenere conto che il calcolo ha senso solo quando il denominatore è diverso da , perciò solo per . Quindi la disequazione è valida per tutti i valori di tranne .

Gli eventi del lancio di un dado sono fra loro indipendenti, quindi la probabilità è il prodotto delle probabilità di ottenere in sequenza. Dato che la probabilità in tutti e tre i casi è sempre , allora la risposta è .

Consideriamo la prima cinquina:

Abbiamo quindi che tale numero non può superare . D’altronde in ogni cinquina di numeri consecutivi vi deve essere un numero multiplo di dato che sono spaziati proprio di in . In modo analogo, tra i cinque numeri ci deve essere almeno un multiplo di , un multiplo di , e infine un multiplo di ma non di . Dunque il loro prodotto è divisibile per .

Sia il deposito iniziale, gli anni, l’interesse e le spese annue. Infine sia l’ammontare del conto in banca all’anno . Quindi . Sia ; allora

Otteniamo quindi per che il conto del cliente dopo 3 anni ammonta a euro.

Nel caso in cui si volesse dedurre una formula per determinare automaticamente in funzione dell’anno , basta generalizzare il caso di sopra per un qualunque :

Quindi otteniamo

(1)  

La formula (1) è stata solamente intuita ma per verificare che sia effettivamente quella corretta invitiamo il lettore a dimostrarla usando il principio di induzione.

Inoltre osserviamo che (1) può essere riscritta in una maniera più compatta usando il fatto che si conosce la somma parziale di una serie geometrica di ragione :

(2)  

Perciò, sostistuendo la sommatoria in (1) con il valore ottenuto in (2), otteniamo

da cui si può di nuovo calcolare che euro.

L’equazione di una retta non parallela all’asse delle ordinate è , dove è il coefficiente angolare della retta e è l’intercetta. Il coefficiente angolare di una retta ortogonale ad è . Quindi una retta ortgonale ad e passante per un punto ha equazione

Nel nostro caso specifico abbiamo e , perciò la retta cercata ha equazione

In figura 4 mostriamo le due rette:

Figura 4: la retta e la sua perpendicolare per il punto .

La risposta giusta è quindi la 4.

Dall’equazione si ottiene che , che su non può avere soluzioni, dato che è sempre un numero pari e è un numero dispari. Se si ragiona invece su una estensione di come ad esempio , una soluzione esiste ed è banalemente .

Una funzione definita su due oggetti si può vedere come una collezione di scatole affiancate dove dentro possiamo inserire uno solo dei oggetti del codominio, eventualmente anche ripetuti. Il numero totale di possibili inserimenti è quindi , che è quindi anche il numero di tutte le possibili funzioni da a . Nel caso di funzioni iniettive invece, gli oggetti da inserire non possono essere ripetuti, perciò in totale sono solo . Il numero di funzioni non iniettive è quindi .

Una soluzione alternativa può essere la seguente. è composto di due soli elementi, quindi una funzione non iniettiva definita su è tale per cui i due elementi hanno la stessa immagine. Dato che consta di elementi, allora ci sono solamente funzioni non iniettive.

Usando la formula di duplicazione del seno, l’equazione data si può riarrangiare come

Dato che la funzione seno è suriettiva nell’intervallo e , allora sicuramente esistono soluzioni dell’equazione. L’intersezione della retta con il grafico della funzione consta di due punti distinti per . Dato che la funzione è -periodica, allora ci sono esattamente soluzioni distinte per (vedi figura 5).

Figura 5: grafico della funzione e intersezione con la retta .

La risposta giusta è quindi la 2.

Segue dalla scomposizione . Alternativamente, si può osservare che è divisibile per per il teorema di Ruffini, in quanto il suo valore per è nullo. Applichiamo il metodo di Ruffini per dividere per : Otteniamo che . Dunque il quoziente della divisione è la risposta 1.

La funzione logaritmo in una certa base è definita solamente quando l’argomento è positivo. Inoltre osserviamo che il numeratore dell’argomento si può scomporre come . Supponendo e dividendo il numeratore per il denominatore otteniamo che l’argomento è , il quale è positivo solo per . Ricordando che la funzione del quesito non era ben befinita per , il dominio di esistenza di è . In figura 6 mostriamo il suo grafico:

Figura 6: grafico della funzione insieme al suo asintoto verticale .

La risposta corretta è quindi la 3.

Il primo vertice può essere colorato con tutti e i colori, quindi abbiamo scelte. Per ciascuna di queste scelte, il secondo vertice si può colorare solo con uno dei 6 colori rimanenti, il terzo vertice solo con uno dei 5 colori rimanenti e così via. Moltiplicando tutte queste possiblità si ottiene il numero di modi di colorare i vertici ordinati con colori:

In figura 7 diamo un esempio di colorazione del pentagono:

Figura 7: esempio di colorazione dei vertici del pentagono usando dei colori disponbili.

La risposta giusta è quindi la 3.

Sostituendo l’equazione della retta in quella della circonferenza otteniamo

Dato che la loro intersezione consta di un solo punto di molteplicità , allora sono fra loro tangenti ed il punto di tangenza è (vedi figura 8).

Figura 8: retta tangente alla circonferenza di centro .

La risposta giusta è quindi la 4.

Nel caso 4 abbiamo che

Scrivendo le espressioni delle derivate dei restanti casi, si osserva che esse non sono uguali a .

La media del punteggio finale è

Perciò la risposta esatta è la 1.

se e solo se che è falso, quindi . è poco più di in quanto è circa , quindi . La 1 viene esclusa perché , mentre perché è la radice di un numero maggiore di . Quindi la risposta corretta è la 5.

Sviluppiamo il quadrato:

Nella seconda disuguaglianza si è usata l’identità fondamentale della trigonometria e la formula di duplicazione del seno:

La risposta corretta è quindi la 4.

Sia il numero di uomini ed il numero di donne. Sia e le somme delle età degli uomini e delle donne rispettivemente. Allora si ha

Quindi

da cui .

La risposta corretta è quindi la 2.

Usando il teorema di Pitagora, si osserva che il rapporto tra la diagonale della faccia di un cubo e la lunghezza di un lato è (vedi figura 9). In particolare, se la diagonale triplica, allora triplica anche il lato. Quindi il volume del nuovo cubo sarà

che equivale a volte il volume del cubo originario.

Figura 9: cubo di lato e quello di dimensioni triplicate.

La risposta corretta è quindi la 1.

Dal testo del quesito deduciamo che e , ovvero . Allora

La risposta corretta è quindi la 1.

Osserviamo che l’equazione si può scrivere come un quadrato perfetto:

Quindi l’insieme dei punti che verificano tale equazione è l’insieme dei punti che verificano

ovvero una retta nel piano (vedi figura 10).

Figura 10: grafico della retta .

La risposta corretta è quindi la 2.

Ciascuna delle prime notti costa euro, per un totale di euro. Invece ciascuna delle notti restanti costerà euro. Quindi il totale speso è di euro.

Carl Friedrich Gauss trovò una formula per calcolare la somma dei primi numeri consecutivi:

Calcolare la somma dei numeri da a equivale a calcolare la differenza fra la somma dei primi numeri e la somma dei primi numeri:

Perciò la risposta corretta è la 5.

non è mai un numero negativo, per cui non può essere minore di .

Tali numeri si scompogono in fattori rispettivamente come segue:

Quindi il massimo comune divisore è e il minimo comune multiplo è .

Per ogni fissato, il luogo dei punti che verificano l’equazione è una circonferenza centrata nel punto e di raggio .

Osserviamo inoltre che la retta interseca ogni circonferenza del fascio in un solo punto :

Figura 11: fascio di circonferenze tangenti alla retta .

Perciò l’equazione è quella di un fascio di circonferenze tangenti alla retta di equazione (vedi figura 11). Pertanto la riposta coretta è la 2.

In un qualunque triangolo la somma di due lati deve essere sempre maggiore del lato rimanente (vedi figura 12). In formule, dato un triangolo di lati , allora .

Una spiegazione può essere la seguente. Il lato di lunghezza è una porzione di linea retta, mentre i lati di lunghezza e descrivono una traiettoria (o meglio, una spezzata) che non è in linea retta. Pertanto la lunghezza della spezzata deve essere maggiore della lunghezza della porzione di linea retta.

Nel nostro caso specifico, possiamo notare che , quindi la terna 3 non è ammissibile.

Figura 12: triangolo di lati e .

La risposta esatta è quindi la 3.

1 e 2 non sono una terna di numeri che possono essere i lati di un triangolo, dato che e . Infatti la lunghezza di ogni lato di un triangolo è sempre minore della somma dei lati rimanenti (si veda l’esercizio 33 per una spiegazione). Inoltre anche 4 ed 5 sono da escludere in quanto il loro perimetro non è 13 cm. La riposta esatta è quindi la 3.

Ricordiamo che un numero è divisibile per solo se la somma delle sue cifre è divisibile per . Ci si può convincere di questo scrivendo un numero , dove indicano le sue cifre decimali:

Il numero si può scrivere come , e in generale il numero si può scrivere come per un qualche numero intero dipendente da . Quindi il numero può essere scritto come

Da qui si deduce che è divisibile per solo se anche la somma delle sue cifre è divisibile per .

Nel caso del quesito, osserviamo che la somma delle cifre di è , che è divisibile per . Quindi è divisibile per e non è un numero primo. La risposta corretta è quindi la 5.

Osserviamo che la seconda equazione è volte la prima. In altre parole, è ridondante e non serve per determinare lo spazio delle soluzioni del sistema, che è semplicemente l’insieme delle coppie per cui , ovvero l’insieme delle coppie al variare di nell’insieme dei numeri reali.

La probabilità di ottenere uno stesso risultato è sempre la stessa ed uguale a , dato che gli eventi del lancio dei dadi sono fra loro indipendenti. Dato che i tre possibili eventi sono disgiunti, allora la probabilità cercata è , per il teorema della probabilità totale.

Osserviamo che è sempre positivo, quindi il suo valore assoluto è sempre e dobbiamo risolvere

che è impossibile.

Senza perdita di generalità, si possono posizionare i due triangoli in modo che due dei loro lati siano paralleli (vedi figura 13).

Figura 13: triangoli equilateri, uno circoscritto e l’altro inscritto alla circonferenza.

Vediamo due metodi che si possono adottare per risolvere il problema, quello di similitudine dei triangoli e quello che fa uso dei teoremi di trigonometria sui triangoli rettangoli insieme al teorema della corda.

Analizziamo il primo caso. Il triangolo è equilatero in quanto e hanno lunghezza e . Allora è anche la mediana di e pertanto , da cui .

Adesso osserviamo che i due trinagoli rettangoli e sono simili, pertanto vale la proporzione:

Dato che e sono rispettivemente la metà di e , allora . Di conseguenza, il perimetro di è il doppio di .

Vediamo adesso il secondo metodo. Dal triangolo rettangolo si deduce che

Invece, applicando il toerema della corda sul lato si ottiene che

Quindi e pertanto un perimetro è il doppio dell’altro.

Consideriamo il quadrato

dato che per ipotesi e quindi .

Figura 14: visualizzazione geometrica di come può essere suddiviso l’area di un quadrato di lato .

Quindi la risposta corretta è la 3.

Dato che è il numero di chi mangia tutti gli stuzzichini, allora:

• il mangia solo sia panini che noccioline;

 

• il mangia solo sia noccioline che pizzette;

 

• il mangia solo sia panini che pizzette.

Invece:

• il mangia solo panini;

 

• il mangia solo noccioline;

 

• il mangia solo pizzette.

Se ne deduce che chi mangia qualcosa è il 1%+0%+8%+4%+17%+10%+2%=42%, quindi chi non mangia nulla è il .

Il polinomio 5 ha tre radici distinte mentre i polinomi 1, 2, 3 sono di secondo grado e non possono quindi avere più di due radici reali distinte. Infine il polinomio 4 è , che ha una sola radice distinta . Perciò la risposta corretta è la 5.

L’area del quadrato è mentre l’area di un cerchio è , perciò

quindi

Figura 15: quadrato e cerchio aventi area uguale.

Quindi la risposta corretta è la 4.

La radice di un quadrato è il valore assoluto dell’argomento, dunque l’equazione è equivalente a . Per definizione di valore assoluto, è se e solo se , che è equivalente a .

La risposta esatta è quindi la 3.

La funzione è sempre pari in quanto

In figura 16, mostriamo un esempio con .

Figura 16: grafici delle funzioni e .

La risposta giusta è quindi la 2.

Osserviamo che la norma di ogni punto è :

quindi la traiettoria giace sulla sfera unitaria di (vedi figura 17).

Figura 17: sfera centrata nell’origine e di raggio insieme alla traiettoria descritta da .

Perciò la risposta esatta è la 1.

La formula è quella del cambio di base del logaritmo, ma volendo la si può facilemente ricavare:

Uguagliando gli esponenti del primo e dell’ultimo membro otteniamo che la 2 è la risposta corretta.

Si tratta proprio della definizione di parabola in geometria analitica. Partendo da un punto ed una retta (per semplicità parallela all’asse delle ascisse o all’asse delle ordinate) si ricava da tale definizione l’equazione cartesiana della parabola, che equivale a

Figura 18: costruzione di una parabola a partire dal suo fuoco e dalla sua direttrice .

La risposta corretta è quindi la 1.

valutata in equivale a

perciò aumenta di .

Dato che è congruo a modulo , cioè diviso ha resto di , allora ogni numero in base è divisibile per semplicemente se la somma delle sue cifre è divisibile per . Infatti, se un numero in base è rappresentato dalle cifre , ovvero

allora visto che per un certo numero intero dipendente da , si ha

Da qui si deduce facilemente che è divisibile per solo se la somma è divisibile per .

Nel nostro caso specifico abbiamo

che è divisibile per . Con ragionamenti simili si vede che il numero non è divisibile per (e quindi neanche per ) e per .

La 4 è proprio la definizione di logaritmo.

Studiamo prima i segni del numeratore e del denominatore.

Invece, l’espressione si decompone come . Il discriminante del fattore di secondo grado è , perciò il polinomio non ammette radici reali ed il suo segno è sempre positivo. Il segno di è quindi lo stesso di .

Facendo il prodotto dei segni con l’usuale grafico otteniamo il segno della frazione del quesito:

Pertanto la frazione assume valori non negativi per oppure per .

Si osserva che

da cui si ottiene immediatamente la 4.

Un modo per dedurre la disugualianza 4 geometricamente è risolvere il seguente problema:

Trovare tra i parallelipedi aventi una diagonale di lunghezza fissa quello di superficie totale massima.

Dato un parallelipedo di lati , allora l’area totale è . La lunghezza della diagonale in funzione dei lati si può calcoalre applicando due volte il Teorema di Pitagora, da cui si ottiene:

(3)  

Pertanto, risolvere il problema equivale a trovare il massimo della funzione in tre variabili sul vincolo . Esistono tecniche avanzate per determinare il massimo assoluto di una funzione lungo un certo vincolo (es. metodo dei Moltiplicatori di Lagrange), ma non andremo in dettaglio. Comunque, intuitivamente si può dedurre che il parallelepipedo che massimizza l’area è un cubo, e che il suo late equivale a (vedi 19). Quindi vale la disuguaglianza

Figura 19: un parallelepipedo ed un cubo aventi diagonale uguale.

Pertanto ricordando l’equazione (3) otteniamo la 4:

Disegniamo il triangolo in un sistema di assi cartesiani :

Figura 20: triangolo di vertici , e .

Notiamo che e hanno stessa ascissa, quindi è parallelo all’asse delle ordinate e quindi l’altezza del triangolo è parallela all’asse delle ascisse. Quindi la base del triangolo è la differenza in valore assoluto delle ordinate di e , mentre l’altezza del triangolo è la differenza in valore assoluto delle ascisse di ed uno qualunque dei punti e , ovvero . Pertanto l’area del triangolo è

La risposta esatta è quindi la 2.

L’equazione di una circonferenza di raggio e centro è

Nel nostro caso dobbiamo quindi imporre

Figura 21: circonferenza centrata in .

La risposta corretta è quindi la 1.

Il radicale si può riarrangiare come

Tutti i numeri, tranne il 5 sono uguali a :

Invece il 5 è uguale a

che è quindi la risposta corretta.

Sia la distanza fra i centri e . Le due circonferenze e (vedi figura 22)

• si intersecano in due punti distinti se e solo se ;

 

• sono tangenti se e solo se ;

 

• non si intersecano se e solo se .

Nel nostro caso l’unico punto per cui è uguale a è 4. Infatti

Nei restanti casi, se il centro fosse 1 o 3 allora le circonferenze si incontrerebbero in due punti distinti, mentre nel restante caso 2 le circonferenze non si intersecherebbero.

Figura 22: le tre possibili posizioni reciproche di una coppia di circonferenze.

La risposta corretta è quindi la 4.

Dobbiamo considerare la probabilità di estrarre un determinato seme ad ogni estrazione:

1. Alla prima estrazione, la probabilità di estrarre un seme è ;

 

2. Alla seconda estrazione, dobbiamo evitare il seme della prima carta. Quindi la probabilità è , ovvero carte disponbili diverse dal primo seme su carte rimaste;

 

3. Alla terza estrazione, dobbiamo evitare sia il primo che il secondo seme. Quindi la probabilità è , ovvero carte disponibili su carte rimaste.

La probabilità finale è quindi:

   

La risposta corretta è quindi la 5.

Per calcolare il loro minimo comune multiplo occorre prendere ogni parte letterale ed elevarla al massimo esponente e poi, se i coefficienti dei monomi sono interi come in questo caso, occorre fare il minimo comunque multiplo tra loro. Il monomio che stiamo cercando ha quindi parte letterale uguale a , mentre il coefficiente è

Perciò il minimo comune multiplo è .

La 4 e la 5 sono numeri troppo grandi perché al quadrato facciano .

Invece:

• ;

 

• dato che allora ;

 

• dato che allora .

Il numero il cui quadrato si avvicina di più a è , quindi la risposta corretta è la 2.

Sia il prezzo iniziale, allora

Il radicale si può riscrivere come

Il numero di terne possibili avendo a disposizione numeri differenti è il numero di modi di selezionare numeri su senza considerare il loro ordine, ovvero il numero di combinazioni di numeri su :

Partiamo dai primi due numeri e :

che è falso. Pertanto .

Invece, dato che , allora

che è falso, quindi . L’ordinamento corretto è quindi .

La disuguaglianza si ricava come segue:

Dato che è minore di , allora il suo quadrato è minore o uguale di .

Inoltre osserviamo che e , perciò .

In questo intervallo ha misura positiva e osservando la figura 23 si nota che la lunghezza della proiezione sull’asse è sempre minore di quella sull’asse , che è . Quindi e la risposta corretta è la 4.

Figura 23: la circonferenza goniometrica e il settore circolare dei punti per cui .

L’iperbole è il luogo dei punti del piano per cui la differenza (in valore assoluto) tra le distanze tra due fuochi e è costante:

Nel caso di due fuochi e , , simmetrici rispetto l’asse abbiamo che

da cui si ottiene

quindi

Facendo le opportune semplificazioni si arriva a

Perciò l’equazione dell’iperbole è del tipo e la relazione fra i coefficienti e quelli è la seguente:

Per definizione l’eccentricità di una iperbole è , perciò occorre risolvere il sistema

Figura 24: iperbole di fuochi e ed eccentricità .

Perciò l’equazione dell’iperbole è .

Un altro modo più veloce per determinare l’equazione dell’iperbole sarebbe potuto essere partire dall’equazione canonica e ricordare che valgono le relazioni e .

La probabilità che la prima delle batterie funzioni è il numero di batterie funzionanti, ovvero , sulle disponbiili. La probabilità che la seconda batteria funzioni è il numero delle restanti batterie funzionanti, ovvero , su batterie disponibili. Continuando a ragionare così, la probabilità che la terza batteria funzioni è su , e che la quarta funzioni è su . Quindi la probabilità che il telefono si accenda è

La risposta corretta è quindi la 2.

Indichiamo con la lunghezza di e con la lunghezza di . A meno di scambiare con possiamo supporre che . Dai dati abbiamo che

Allora e sono soluzioni dell’equazione di secondo grado :

Dunque il perimetro della Figura ?? è

Figura 25: i due quadrati costruiti sul segmento e l’area della figura.

La risposta corretta è quindi la 4.

Possiamo supporre che la prima moneta sia quella truccata. In questo caso, dato che la probabilità che esca un risultato qualunque dalla prima moneta è , se la probabilità che esca testa è del , allora quella che esca croce deve essere del , cioè rispettivamente ed . Allora

Perciò la probabilità che esca due volte croce e una testa è

Il lato del quadrato è il doppio del raggio del cerchio, quindi l’area del quadrato è . D’altro canto, l’area del cerchio è , perciò il loro rapporto è

Figura 26: il quadrato circoscritto nel cerchio.

Dividendo l’angolo giro per otteniamo l’angolo interno di uno dei triangoli che compongono il dodecagono (vedi figura 27). Dato che il triangolo è isoscele, allora i restanti due angoli interni al triangolo misurano entrambi . Perciò uno degli angoli interni del dodecagono è .

Figura 27: dodecagono regolare.

Quindi la somma delle cotagenti è

e la risposta corretta è la 1.

Il volume di un cilindro è dove è il raggio della base del cilindro ed è la sua altezza. Il volume di una fetta è allora e quindi il rapporto con l’altezza della torta è .

Figura 28: la torta a forma cilindrica tagliata in 17 fette.

Quindi la riposta corretta è la 2.

La disequazione data ha senso solo per , che è dove il logaritmo esiste.

Osserviamo che , per cui ponendo si ottiene

Le soluzioni dell’equazione sono

I valori di per cui è non negativo sono quindi , . Adesso sostituiamo di nuovo al posto di e risolviamo le due diesquazioni:

quindi , .

Il prodotto di numeri irrazionali distinti può essere razionale, ad esempio , che è razionale.

Visto che è un numero negativo, allora , perciò .

L’area della superficie totale del cono è , dove è l’apotema del cono. In particolare, valore dell’apotema nel nostro caso è , quindi la superficie totale del cono si può riscrivere come

Indichiamo con la quantità per cui il nuovo cono di altezza e raggio ha sempre area di superifice totale uguale a . Allora soddisfa l’equazione

Risolviamo l’equazione ottenuta:

Continuando a semplificare otteniamo

Come ci si poteva aspettare, una delle soluzioni è proprio , per cui escludendo questa soluzione e dividendo l’equazione di sopra per otteniamo che altre possibili soluzioni devono essere radici del polinomio di terzo grado

Questo polinomio ha due soluzioni complesse ed una sola soluzione reale negativa, che è circa . Dato che deve essere positivo, allora non esiste alcuna soluzione al problema.

Figura 29: il cono di altezza e raggio a sinistra, e quello di altezza e base , a destra.

Siano l’altezza del cono superiore e l’altezza del cono dopo minuti, quindi . Siano ed i raggi del cono superiore all’altezza e rispettivamente, e , i volumi rispettivi dei due coni.

La quantità di sabbia uscita dal cono superiore dopo 13 minuti è il volume del tronco di cono, quindi per determinare il tempo rimanente affinché la clessidra si svuoti completamente si può usare la proporzione:

(4)  

Quindi occorre calcolare il rapporto dei volumi dei due coni.

I due triangoli in figura 30 sono simili tra loro, perciò si deduce che

Quindi

Sostituendo in (4) il valore del rapporto dei due volumi, si ottiene che il tempo rimanente è di secondi.

Figura 30: cono circolare, che costiuisce la parte superiore della clessidra.

La risposta corretta è quindi la 4.

La moneta deve essere lanciata almeno tre volte. Se fosse stata lanciata esattamente due volte, potrebbe accadere che sia uscito testa e croce, quindi due lanci non bastano. Invece, al terzo lancio può uscire solamente o testa, o croce, garantendo quindi che su tre lanci sia uscito sempre almeno o due volte testa o due volte croce.

Dato che è sempre non negativo, allora , quindi otteniamo

è sempre maggiore o uguale a zero, quindi il segno di è quello di , che è minore o uguale di per .

Ci sono diversi metodi per risolvere il problema. Uno può essere quello di osservare che i quadrilateri, avendo angoli uguali e lati in proporzione, sono simili e quindi tracciando due diagonali corrispondenti si decompongono in triangoli simili. I lati e le altezze dei triangoli e sono rispettivamente i dei corrispettivi triangoli e . Quindi, il rapporto delle aree di e sono pari a delle aree rispettivamente di e . La risposta corretta è quindi la 1.

Indichiamo con ABCD il quadrilatero più grande e con EFGH il secondo, come in figura 31. Allora

Quindi l’area dei due quadrilateri è

Adesso usiamo che , , e che

per ottenere

Figura 31: i due quadrilateri ABCD e EFGH.

Il risultato ottenuto mostra come il rapporto tra le areee dei due quadrilateri è uguale al rapporto tra i loro lati al quadrato. Questo risultato non è un caso in quanto è sempre vero che se due figure sono simili e il rapporto dei loro lati è , allora il rapporto delle loro aree è il quadrato (come anche il rapporto dei loro volumi sarebbe ).

La risposta corretta è quindi la 1.

Utilizziamo la proprietà dei logaritmi per cui :

La risposta corretta è quindi la 2, plausibile è il 5.

Le coppie che soddisfazione l’equazione devono verificare

Tuttavia, la prima equazione non ammettte soluzioni nel campo dei numeri reali, quindi deve verificare necessariamente

che è l’equazione di un’ellisse.

Figura 32: l’insieme dei punti che verificano l’equazione .

La risposta corretta è quindi la 2.

Un approccio diretto è trovare delle radici banali del polinomio e poi usare la regola di Ruffini per scomporlo in fattori, come fatto nell’ esercizio 16. Tuttavia, in questo caso conviene ragionare per esclusione. Infatti, notiamo subito che è radice del polinomio:

Questo esclude subito 3 e 4. Inoltre, il polinomio in è uguale a , quindi l’unico polinomio plausibile è 5.

Sia la diagonale minore e la diagonale maggiore del rombo. L’area del rombo è quindi

Invece il perimetro fissato del rombo è uguale a

Osserviamo che

Quindi l’area può essere riscritta come

Visto che è sempre maggiore o uguale a zero, allora è massima per , ovvero per . Abbiamo quindi ottenuto che il rombo deve essere un quadrato.

Figura 33: due rombi di uguale perimetro . Il quadrato a destra è il rombo di area massima fra quelli di perimetro fissato .

La risposta corretta è quindi la 3.

Occorre trovare i punti di minimo della funzione , per . La funzione è derivabile nel suo dominio, quindi i punti di massimo e minimo annullano la derivata, ed il suo segno determina la crescenza e decrescenza della funzione. Nell’intervallo abbiamo che

Perciò è un punto di minimo locale per , che è anche assoluto in .

La risposta corretta è quindi la 3.

La funzione coseno ha periodo , quindi avrà periodo , ed il periodo di deve essere quindi minore o uguale a , che esclude 1, 2 e 3. Non è difficile dimostrare che il periodo è . Verifichiamolo:

Figura 34: grafico della funzione .

La risposta corretta è quindi la 5.

Dimostriamo che il punto per cui la lunghezza di è minima è tale per cui , ed il centro della circonferenza sono allineati, con dalla parte di . Chiamiamo con il punto per cui , ed sono allineati, con dalla parte di . Vogliamo quindi mostrare che per un qualunque punto sulla circonferenza. Indichiamo con il punto della circonferenza ottenuto dal prolungamento del segmento . Allora la lunghezza di è minima se e solo se quella del segmento è massima, cioè basta dimostrare che per ogni punto della circonferenza (vedi figura 35). Dato che la somma di due lati di un triangolo è sempre maggiore o uguale al terzo lato, allora deduciamo che per vale

che è proprio ciò che volevamo dimostrare.

Figura 35: il segmento è quello di lunghezza massima.

Rimane da calcolare la lunghezza di . Si potrebbe usare uno dei risultati di geometria classica per cui se due corde si intersecano, i segmenti che si formano su una di esse sono i medi e i segmenti dell’altra sono gli estremi di una stessa proporzione.

Presentiamo un metodo alternativo usando un risultato equivalente, il Teorema delle Corde (Proposizione 35 del Libro III di Euclide), per cui se due corde di una circonferenza si intersecano, allora il rettangolo con lati congruenti alle due parti di una corda ha la stessa area del rettangolo con lati congruenti alle due parti dell’altra (vedi figura 36). Possiamo quindi concludere che

Figura 36: applicazione del teorema delle Corde alle corde e .

quindi la risposta corretta è la 1.

Il volume della corona sferica è dato dalla differenza tra il volume della sfera maggiore () e quello della sfera minore ():

Il volume del cilindro con raggio e altezza è:

Il rapporto tra e è:

Quindi e la risposta corretta è la 3.

Ricordiamo che la funzione logaritmo è strettamente crescente, quindi se , allora .

• , che è minore di 5.

 

• .

 

• .

 

• il logaritmo di un numero negativo non ha senso, quindi non si può determinare.

Nessuno dei casi proposti è corretto, quindi è vera la risposta 5.

Per risolvere , seguiamo questi passaggi:

1. La radice quadrata impone la condizione , quindi , il che esclude 2 e 4.

 

2. Risolviamo la disequazione elevando al quadrato (che è possibile fare perché e quindi )

      

   Portando tutto a destra:

      

   Le soluzioni di questa disequazione di secondo grado sono .

Intersecando l’insieme delle soluzioni con l’insieme dei valori per cui , otteniamo che la disequazione è valida per oppure per .

Quindi la risposta corretta è la 1.

Per una retta ortogonale a un piano è possibile condurre infiniti piani perpendicolari a contenenti . Ogni piano perpendicolare a passante per la retta può essere ruotato attorno a questa retta, generando un fascio di piani perpendicolari a . Pertanto, la risposta corretta è la 3.

L’affermazione “esiste non multiplo di tale che è multiplo di ” implica che non debba essere divisibile per almeno un fattore di , ma che il prodotto lo sia. Ciò implica che deve avere almeno un fattore comune con (quello che non ha con ). Quindi e non sono primi tra loro.

La risposta corretta è la 3.

Consideriamo ciascuna delle tre condizioni:

1. La condizione implica che e devono avere lo stesso segno o almeno uno dei due deve essere . Quindi siamo nel primo e terzo quadrante compreso gli assi.

 

2. L’equazione rappresenta una circonferenza di raggio e centro nell’origine.

 

3. L’equazione rappresenta una retta parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante e passante per .

Risolvendo il sistema:

Otteniamo i punti e . Entrambi soddisfano .

Pertanto, ci sono due punti che soddisfano tutte e tre le condizioni.

Figura 37: i tre insiemi descritti dalle tre equazioni e la loro intersezione.

La nona parte di equivale a moltiplicare per , che può essere riscritto come:

Pertanto, la risposta corretta è la 4.

Partiamo dall’equazione data:

Riscriviamo l’equazione in forma esponenziale utilizzando la definizione di logaritmo:

Poiché , possiamo scrivere:

Pertanto, la risposta corretta è la 2.

Dato che i poligoni hanno tutti lo stesso perimetro, il raggio del cerchio circoscritto diminuisce con il numero di lati del poligono. Più lati ha il poligono, più il raggio del cerchio circoscritto è piccolo. In questo caso, il quadrato ha il numero minore di lati, quindi avrà il raggio circoscritto maggiore. Pertanto, il cerchio con la superficie maggiore è quello circoscritto al quadrato.

Per giustificare meglio, calcoliamo il perimetro di un poligono regolare di lati inscritto ad un cerchio di raggio . Se dividiamo a spicchi il poligono regolare, osserviamo che l’angolo al centro di ciascun spicchio è 360 gradi diviso il numero dei lati, quindi per il Teorema della Corda un lato del poligono misura e perciò il perimetro risulterà uguale a

Presi in considerazione due poligoni regolari inscritti in due cerchi di raggio ed ed aventi lo stesso perimetro , allora se il primo poligono ha più lati del secondo, ovvero , si ha

L’ultima diseguaglianza segue da un risultato ben noto già dal liceo, ovvero che la funzione è descrescente per . Nel nostro caso, il numero di lati di un poligono regolare è almeno , quindi e perciò se , ovvero , allora

Possiamo concludere quindi che il cerchio circoscritto nel poligono con meno lati è anche quello che ha raggio maggiore, e quindi superficie maggiore.

Figura 38: i tre poligoni regolari di uguale perimetro circoscritti alle loro circonferenze.

La risposta corretta è la 2.

Supponiamo che e abbiano lo stesso segno, quindi che il rapporto fra loro sia positivo.

Riscriviamo l’espressione:

dato che è sempre maggiore o uguale a zero.

La risposta corretta è la 3.

Quando si lanciano due dadi, le somme possibili vanno da 2 a 12, e ognuna ha una probabilità diversa a seconda di quante combinazioni producono quella somma. Inoltre, più combinazione di quella somma ci sono, più è probabile che quella somma esca. Ecco le combinazioni per ogni somma:

• Somma 2: , ovvero una combinazione;

 

• Somma 3: , ovvero 2 combinazioni;

 

• Somma 4: ovvero 3 combinazioni;

 

• Somma 5: , ovvero 4 combinazioni;

 

• Somma 6: , ovvero 5 combinazioni;

 

• Somma 7: , ovvero 6 combinazioni;

 

• Somma 8: , ovvero 5 combinazioni;

 

• Somma 9: , ovvero 4 combinazioni;

 

• Somma 10: , ovvero 3 combinazioni;

 

• Somma 11: , ovvero 2 combinazioni;

 

• Somma 12: , ovvero 1 combinazione.

La somma con la più alta probabilità di verificarsi tra le possibili opzioni è la somma 8, che ha 5 combinazioni.

La risposta corretta è la 4.

Consideriamo un triangolo di cateti e e ipotenusa . Per il teorema di Pitagora

La risposta corretta è la 3.

Una retta è ortogonale a un piano se è ortogonale a due rette incidenti del piano. Tale retta si può costruire come intersezione tra i due piani conententi una delle due rette rispettivemente ed ortogonali al piano dato.

Pertanto, la risposta corretta è la 5.

Elevando alla quarta entrambi i membri di un’equazione, questa può avere soluzioni aggiuntive che non soddisfano l’equazione originale. Questo accade perché l’elevazione alla quarta di un numero positivo e quello di un numero negativo producono lo stesso valore. Ad esempio l’equazione ha una sola solzione, mentre ha due soluzioni reali, ovvero .

Pertanto, l’equazione alla quarta può avere più soluzioni rispetto a quella iniziale.

La risposta corretta è la 3.

Poiché gli angoli del triangolo sono ordinati in modo decrescente , anche i lati opposti sono ordinati nello stesso modo, quindi . Ciò vale per un teorema ben noto di Geometria per cui in un triangolo ad angolo maggiore si oppone lato maggiore.

La risposta corretta è la 4.

Il numero di cifre di un numero si calcola con la formula:

dove il simbolo indica la parte intera inferiore di un numero. Per parte intera inferiore di un numero si intende il più grande numero intero più piccolo di .

Quindi, dobbiamo risolvere la disequazione:

Poiché , la disequazione diventa:

Quindi non può superare , ma sicuramente può superare .

Effetivamente, con l’uso di una calcolatrice si può calcolare il primo numero per cui ha più di cifre, e questo è :

La risposta corretta è la 5.

Ci sono due relazioni:

1. è direttamente proporzionale al cubo di , quindi:

      

 

2. è inversamente proporzionale al quadrato di , quindi:

      

Allora

Dunque è inversamente proporzionale alla sesta di .

La risposta corretta è la 1.

L’equazione è:

Poniamo , così che l’equazione diventi:

Risolvendo l’equazione di secondo grado:

Ora, poiché , otteniamo:

Pertanto, l’equazione ha due soluzione reali.

La risposta corretta è 2.

La probabilità che A vinca è che faccia croce, ovvero:

La probabilità che B vinca è che faccia testa per la probabilità che B faccia croce (ovvero che su due tiri esca prima testa e poi croce). Dato che i due lanci sono indipendenti, allora:

La probabilità che C vinca è che faccia testa, faccia testa e che faccia croce (ovvero che su tre tiri esca in sequenza testa, testa croce). Di nuovo, essendo i tre lanci indipendenti, allora

La relazione fra le probabilità ottenute è:

Pertanto, la risposta corretta è la 5.

Quando si inscrive un quadrato dentro un altro quadrato con i punti medi dei lati, il lato del nuovo quadrato è dal teorema di Pitagora uguale a , dove è il lato del quadrato iniziale. Dunque il perimetro del nuovo quadrato sarà

dove è il perimetro del quadrato iniziale. Ripetendo lo stesso procedimento per , otteniamo . Iterando ad ogni passo, otteniamo che l’-esimo quadrato avrà perimetro uguale a

Dobbiamo quindi risolvere la disequazione

Quindi

Dunque si può iterare il procedimento fino ad un massimo di volte.

Figura 39: un esempio di sequenza di quadrati.

La risposta corretta è la 1.

Ogni mazzo contiene 40 carte e 4 assi (uno per seme: cuori, quadri, fiori e picche). La probabilità di estrarre l’asso di quadri o l’asso di fiori da un mazzo è:

La probabilità di estrarre da ciascuno dei 4 mazzi un asso di quadri o un asso di fiori è:

La risposta corretta è la 4.

La probabilità che esca il numero 16 o il 18 in una singola estrazione è . La probabilità che escano in due lanci i numeri desiderati è la probabilità che esca prima il 16 e poi il 18 oppure prima il 18 e poi il 16. Quindi:

La risposta corretta è la 2.

Le equazioni date sono:

Uguagliando le due equazioni:

che non ha soluzioni reali, poiché il quadrato di un numero reale non può essere negativo.

La risposta corretta è 5.

1. 

   Questa equazione ha due soluzioni: e . L’insieme è composto di due elementi.

 

2. 

   Questo insieme contiene infiniti numeri reali minori o uguali a 13, quindi non è un insieme con un solo elemento.

 

3. 

   Risolvendo l’equazione , troviamo l’unica soluzione . L’insieme contiene un solo elemento.

 

4. 

   Questa equazione non ha soluzioni reali, quindi l’insieme è vuoto.

 

5. 

   Le soluzioni sono e , quindi l’insieme contiene due elementi.

La risposta corretta è la 3.

L’identità data significa che per ogni valore si ha che .

La risposta corretta è la 2.

Calcoliamo e :

La media aritmetica è:

La risposta corretta è C).

L’uguaglianza ha soluzione . Quindi la disequazione è verificata per tutti i valori di maggiori di .

La risposta corretta è la 1.

Possiamo usare la seguente formula ben nota in probabilità:

Sostituendo i valori dati:

La risposta corretta è 4.

La curva data è l’unione di due iperboli equilatere di coefficiente e rispettivamente.

La retta data invece è parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante e passa per il punto . Ci aspettiamo quindi che per ogni valore di la retta interseca in due punti , mentre solo per alcuni valori di (che dipenderanno da ) avremo che la retta interseca anche l’iperbole .

Per determinare in modo esatto per quali valori, sostituiamo nell’equazione dell’iperbole e risolviamo l’equazione in :

Il numero dei punti di intersezione dipendono quindi dal segno del discriminante dell’equazione di secondo grado ottenuta:

Quindi il numero di punti di intersezione fra le due curve sarà:

se ;

 

• se oppure ;

 

• se oppure .

Figura 40: la retta e le due iperboli equilatere nel caso e .

La risposta corretta è 5.

Per trovare i punti di intersezione della retta data con gli assi, facciamo i seguenti calcoli:

• Intersezione con l’asse ():

     

  Il punto di intersezione è .

 

• Intersezione con l’asse ():

     

  Il punto di intersezione è .

L’area del triangolo è:

La risposta corretta è 4.

Riscriviamo l’espressione:

La risposta corretta tra quelle elencate è la 2.

La funzione non è definita dove il denominatore si annulla. La funzione è definita quindi solo quando . Risolviamo l’equazione di secondo grado ottenendo:

Pertanto è definita per ogni diverso da e . Si noti che la funzione può essere riscritta come

che è tuttavia diversa dalla funzione . Infatti le funzioni e coincidono al di fuori di ed in particolare è un’estensione di in che, a differenza di , è continua in .

La risposta corretta è la 3.

1. Teoria Insiemi
2. Il metodo della diagonale di Cantor
3. Logica elementare
4. Densità dei numeri razionali nei numeri reali
5. Insiemi Numerici
6. Il principio di induzione
7. Gli assiomi di Peano
8. L’insieme dei numeri reali: costruzione e applicazioni
9. Concetti Fondamentali della Retta Reale: Sintesi Teorica
10. Costruzioni alternative di
11. Binomio di Newton
12. Spazi metrici, un’introduzione
13. Disuguaglianza di Bernoulli
14. Disuguaglianza triangolare
15. Teoria sulle funzioni
16. Funzioni elementari: algebriche, esponenziali e logaritmiche
17. Funzioni elementari: trigonometriche e iperboliche
18. Funzioni goniometriche: la guida essenziale
19. Teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni
20. Criterio del rapporto per le successioni
21. Definizione e proprietà del numero di Nepero
22. Limite di una successione monotona
23. Successioni di Cauchy
24. Il teorema ponte
25. Teoria sui limiti
26. Simboli di Landau
27. Funzioni continue – Teoria
28. Il teorema di Weierstrass
29. Il teorema dei valori intermedi
30. Il teorema della permanenza del segno
31. Il teorema di Heine-Cantor
32. Il teorema di esistenza degli zeri
33. Il metodo di bisezione
34. Teorema ponte versione per le funzioni continue
35. Discontinuità di funzioni monotone
36. Continuità della funzione inversa
37. Teorema delle contrazioni o Teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli
38. Teoria sulle derivate
39. Calcolo delle derivate: la guida pratica
40. Teoria sulle funzioni convesse
41. Il teorema di Darboux
42. I teoremi di de l’Hôpital
43. Teorema di Fermat
44. Teoremi di Rolle e Lagrange
45. Il teorema di Cauchy
46. Espansione di Taylor: teoria, esempi e applicazioni pratiche
47. Polinomi di Taylor nei limiti: istruzioni per l’uso
48. Integrali definiti e indefiniti
49. Teorema fondamentale del calcolo integrale (approfondimento)
50. Integrali ricorsivi
51. Formule del trapezio, rettangolo e Cavalieri-Simpson
52. Teoria sugli integrali impropri
53. Funzioni integrali – Teoria
54. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di ingegneria — versione semplificata)
55. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di matematica o fisica)
56. Serie numeriche: la guida completa
57. Successioni di funzioni – Teoria
58. Teoremi sulle successioni di funzioni
    1. 58a. Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme
    2. 58b. Limite uniforme di funzioni continue
    3. 58c. Passaggio al limite sotto il segno di integrale
    4. 58d. Limite uniforme di funzioni derivabili
    5. 58e. Piccolo teorema del Dini
    6. 58f. Procedura diagonale e teorema di Ascoli-Arzela
59. Serie di funzioni – Teoria
60. Serie di potenze – Teoria
61. Serie di Fourier – Teoria e applicazioni
62. Integrali multipli — Parte 1 (teoria)
63. Integrali multipli — Parte 2 (teoria e esercizi misti)
64. Regola della Catena — Teoria ed esempi.
65. Jacobiano associato al cambiamento di coordinate sferiche
66. Guida ai Massimi e Minimi: Tecniche e Teoria nelle Funzioni Multivariabili
67. Operatore di Laplace o Laplaciano
68. Teoria equazioni differenziali
69. Equazione di Eulero
70. Teoria ed esercizi sulla funzione Gamma di Eulero
71. Teoria ed esercizi sulla funzione Beta
72. Approfondimento numeri complessi
73. Diverse formulazioni dell’assioma di completezza
74. Numeri di Delannoy centrali
75. Esercizi avanzati analisi

1. Prerequisiti di Analisi
   1. Ripasso algebra biennio liceo
   2. Ripasso geometria analitica
   3. Ripasso goniometria e trigonometria
   4. Errori tipici da evitare
   5. Insiemi numerici N,Z,Q,R
   6. Funzioni elementari
   7. Logica elementare
   8. Insiemi
2. Successioni
   1. Teoria sulle Successioni
   2. Estremo superiore e inferiore
   3. Limiti base
   4. Forme indeterminate
   5. Limiti notevoli
   6. Esercizi misti Successioni
   7. Successioni per ricorrenza
3. Funzioni
   1. Teoria sulle funzioni
   2. Verifica del limite in funzioni
   3. Limite base in funzioni
   4. Forme indeterminate in funzioni
   5. Limiti notevoli in funzioni
   6. Calcolo asintoti
   7. Studio di funzione senza derivate
   8. Dominio di una funzione
   9. Esercizi misti Funzioni
   10. Esercizi misti sui Limiti
4. Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
   1. Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
   2. Continuità delle funzioni
   3. Continuità uniforme
   4. Teorema degli zeri
   5. Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate
5. Calcolo differenziale
   1. Derivate
   2. Calcolo delle derivate
   3. Retta tangente nel calcolo differenziale
   4. Punti di non derivabilità nel calcolo differenziale
   5. Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate
   6. Studio di funzione completo nel calcolo differenziale
   7. Esercizi teorici nel calcolo differenziale
   8. Metodo di bisezione
   9. Metodo di Newton
6. Teoremi del calcolo differenziale
   1. Teoria sui Teoremi del calcolo differenziale
   2. Teorema di Rolle
   3. Teorema di Lagrange
   4. Teorema di Cauchy
   5. Teorema di De L’Hôpital
7. Calcolo integrale
   1. Integrale di Riemann
   2. Integrali immediati
   3. Integrale di funzione composta
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   5. Integrali per parti
   6. Integrali di funzione razionale
   7. Calcolo delle aree
   8. Metodo dei rettangoli e dei trapezi
   9. Esercizi Misti Integrali Indefiniti
   10. Esercizi Misti Integrali Definiti
8. Integrali impropri
   1. Teoria Integrali impropri
   2. Carattere di un integrale improprio
   3. Calcolo di un integrale improprio
9. Espansione di Taylor
   1. Teoria Espansione di Taylor
   2. Limiti di funzione con Taylor
   3. Limiti di successione con Taylor
   4. Stime del resto
10. Funzioni integrali (Approfondimento)
    1. Teoria Funzioni integrali (Approfondimento)
    2. Studio di funzione integrale
    3. Limiti con Taylor e De L’Hôpital
    4. Derivazione di integrali parametrici (Tecnica di Feynmann)
11. Numeri Complessi
    1. Teoria Numeri complessi
    2. Espressioni con i numeri complessi
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    5. Disequazioni con i numeri complessi
    6. Esercizi misti Numeri complessi
12. Serie numeriche
    1. Teoria Serie numeriche
    2. Esercizi Serie a termini positivi
    3. Esercizi Serie a termini di segno variabile
    4. Esercizi Serie geometriche e telescopiche
13. Successioni di funzioni
    1. Teoria Successioni di funzioni
    2. Esercizi Successioni di funzioni
14. Serie di funzioni
    1. Teoria Serie di funzioni
    2. Esercizi Serie di funzioni
15. Serie di potenze
    1. Teoria Serie di potenze
    2. Esercizi Serie di potenze
16. Serie di Fourier
    1. Teoria Serie di Fourier
    2. Esercizi Serie di Fourier
17. Trasformata di Fourier
    1. Teoria Trasformata di Fourier
    2. Esercizi Trasformata di Fourier
18. Funzioni di più variabili
    1. Teoria Funzioni di più variabili
    2. Massimi e minimi liberi e vincolati
    3. Limiti in due variabili
    4. Integrali doppi
    5. Integrali tripli
    6. Integrali di linea di prima specie
    7. Integrali di linea di seconda specie
    8. Forme differenziali e campi vettoriali
    9. Teorema di Gauss-Green
    10. Integrali di superficie
    11. Flusso di un campo vettoriale
    12. Teorema di Stokes
    13. Teorema della divergenza
    14. Campi solenoidali
    15. Teorema del Dini
19. Equazioni differenziali lineari e non lineari
    1. Teoria equazioni differenziali lineari e non lineari
    2. Equazioni differenziali lineari e non lineari del primo ordine omogenee
20. Equazioni differenziali lineari
    1. Del primo ordine non omogenee
    2. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,omogenee
    3. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,non omogenee
    4. Di Eulero,di Bernoulli,di Clairaut,di Lagrange e di Abel
    5. Non omogenee avente per omogenea associata un’equazione di Eulero
    6. Sistemi di EDO
21. Equazioni differenziali non lineari
    1. A variabili separabiliO
    2. A secondo membro omogeneo
    3. Del tipo y’=y(ax+by+c)
    4. Del tipo y’=y(ax+by+c)/(a’x+b’y+c’)
    5. Equazioni differenziali esatte
    6. Mancanti delle variabili x e y
    7. Cenni sullo studio di un’assegnata equazione differenziale non lineare
    8. Di Riccati
    9. Cambi di variabile: simmetrie di Lie
22. Analisi complessa
    1. Fondamenti
    2. Funzioni olomorfe
    3. Integrale di Cauchy e applicazioni
    4. Teorema della curva di Jordan e teorema fondamentale dell’Algebra
    5. Teorema di inversione di Lagrange
    6. Teorema dei Residui
    7. Funzioni meromorfe
    8. Prodotti infiniti e prodotti di Weierstrass
    9. Continuazione analitica e topologia
    10. Teoremi di rigidità di funzioni olomorfe
    11. Trasformata di Mellin
23. Equazioni alle derivate parziali
    1. Equazioni del primo ordine
    2. Equazioni del secondo ordine lineari
    3. Equazioni non-lineari
    4. Sistemi di PDE
24. Funzioni speciali
    1. Funzione Gamma di Eulero
    2. Funzioni Beta,Digamma,Trigamma
    3. Integrali ellittici
    4. Funzioni di Bessel
    5. Funzione zeta di Riemann e funzioni L di Dirichlet
    6. Funzione polilogaritmo
    7. Funzioni ipergeometriche
25. Analisi funzionale
    1. Misura e integrale di Lebesgue
    2. Spazi Lp,teoremi di completezza e compattezza
    3. Spazi di Hilbert,serie e trasformata di Fourier
    4. Teoria e pratica dei polinomi ortogonali
    5. Spazi di Sobolev
26. Complementi
    1. Curiosità e approfondimenti
    2. Compiti di analisi
    3. Esercizi avanzati analisi
27. Funzioni Convesse