Limite di una successione monotona

Home » Limite di una successione monotona

In questo articolo dimostriamo che ogni successione monotona ha limite.

Intuitivamente, una successione reali può essere infatti pensata come una “lista infinita” di numeri reali e il suo limite rappresenta il valore a cui gli elementi di questa lista si avvicinano.
Se gli elementi della lista sono ordinati in maniera crescente o decrescente, allora essi si avvicinano necessariamente a un valore (possibilmente infinito) che risulta appunto essere il limite della successione.

Questa semplice proprietà è un esempio di come la monotonia di un oggetto matematico implichi delle caratteristiche di regolarità e possiede risvolti importantissimi in Analisi Matematica. Dopo dei brevi richiami sulle definizioni, presentiamo il teorema che formalizza l’idea precedente e ne forniamo una dimostrazione.

Se desideri approfondire questo importante capitolo della teoria delle successioni, non ti resta che continuare la lettura!

Oltre agli esercizi misti sulle successioni, consigliamo la lettura dei seguenti articoli sulla teoria delle successioni:

Autori e revisori

Leggi...

Autori:Valerio Brunetti, Daniele Bjørn Malesani.

Definizione 1. Sia $\{a_n\}$ una successione di numeri reali, diremo che $\{a_n\}$ è monotona non decrescente (oppure crescente in senso lato) se

$a_n \leq a_{n+1}, \; \forall n \in \mathbb{N}.$

In altri termini, una successione è non decrescente se, all’aumentare dell’indice della successione, aumenta (o rimane invariato) anche il valore della successione.

Diamo ora una definizione più restrittiva in cui la successione deve necessariamente crescere al crescere dell’indice.

Definizione 2. Sia $\{a_n\}$ una successione di numeri reali, diremo che $\{a_n\}$ è strettamente monotona crescente se

$a_n < a_{n+1}, \; \forall n \in \mathbb{N}.$

Osserviamo dunque esplicitamente che ogni successione strettamente monotona crescente è, per definizione, monotona non decrescente. Non è vero però il contrario: ad esempio, si consideri la successione $a_n=1, 1, 2, 2, 3, 3,\dots$ , è chiaro che $\{a_n\}$ è monotona non decrescente ma non strettamente monotona crescente. Pertanto una successione strettamente monotona crescente è non decrescente, ma non vale il viceversa.

Definizione 3. Sia $\{a_n\}$ una successione di numeri reali, diremo che $\{a_n\}$ è non crescente (oppure decrescente in senso lato) se

$a_n \geq a_{n+1}, \; \forall n \in \mathbb{N}.$

In altri termini, una successione è non crescente se, all’aumentare dell’indice della successione, diminuisce (o rimane invariato) il valore della successione.

Diamo ora una definizione più restrittiva.

Definizione 4. Sia $\{a_n\}$ una successione di numeri reali, diremo che $\{a_n\}$ è strettamente monotona decrescente se

$a_n > a_{n+1}, \; \forall n \in \mathbb{N}.$

Come prima, osserviamo esplicitamente che ogni successione strettamente monotona decrescente è, per definizione, monotona non crescente.

Definizione 5. Sia $\{a_n\}$ una successione di numeri reali, diremo che $\{a_n\}$ è (strettamente) monotona se è (strettamente) monotona crescente o (strettamente) monotona decrescente.

Prima di enunciare e passare alla dimostrazione principale di queste note, diamo la definizione, ancora più generale, di successione definitivamente monotona.

Definizione 6. Una successione è definitivamente monotona se la sua monotonia è valida a partire da un certo indice $\widetilde{N} \in \mathbb{N}$ in poi, ovvero $\forall n \geq \widetilde{N}$ (e non necessariamente per tutti i suoi termini in generale, ovvero $\forall n \in \mathbb{N}$ ).

Più precisamente, diremo, per esempio, che una successione $\{a_n\}$ è definitivamente monotona non decrescente se $\exists \widetilde{N} \in \mathbb{N}$ tale che

$a_n \leq a_{n+1}, \; \forall n \geq \widetilde{N}.$

Osserviamo esplicitamente che ogni successione monotona è quindi per definizione definitivamente monotona, prendendo $\widetilde{N} = 0$ .

Osservazione.

In letteratura si possono trovare definizioni leggermente diverse rispetto a quelle che abbiamo proposto, e a volte non viene osservata una distinzione rigorosa tra monotonia in senso stretto e lato. Alcuni autori utilizzano i termini “crescente/decrescente” intendendo “crescente/decrescente in senso stretto”, altri intendendo invece l’opposto, cioè “crescente/decrescente in senso lato”. Abbiamo proposto qui le definizioni che riteniamo meno ambigue e più consistenti, ma invitiamo a prestare attenzione alle definizioni e al contesto quando si consultano fonti esterne.

Scarica la teoria

Ottieni il documento contenente la dimostrazione del limite di una successione monotona.

Limite di una successione monotona.

Eccoci al cuore di queste note: passiamo ad enunciare e a dare una dimostrazione del teorema di esistenza del limite di successioni monotone.

Teorema sull’esistenza del limite di una successione monotona. Sia $\{a_n\}$ una successione monotona. Allora esiste $\ell \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty \}$ tale che

$\lim_{n \to +\infty} a_n = \ell.$

$\{a_n\}$ è monotona crescente allora $\ell = \sup \{a_n\}$ ;
$\{a_n\}$ è monotona decrescente allora $\ell = \inf \{a_n\}$ .

Dimostrazione.

Supponiamo per iniziare che $\{a_n\}$ sia monotona non decrescente, ovvero

$a_n \leq a_{n+1}, \; \forall n \in \mathbb{N}.$

Procediamo ora a seconda che $\{a_n\}$ sia limitata oppure illimitata.

1: $\boldsymbol{\{a_n\}}$ limitata superiormente. Fissiamo $\varepsilon > 0$ arbitrario e sia $\ell = \sup \{a_n\}$ . Se $\{a_n\}$ è limitata superiormente, per definizione di estremo superiore deve valere che $\ell$ è più grande di tutti i termini della successione $\{a_n\}$ , ovvero

$a_n \leq \ell, \; \forall n \in \mathbb{N};$

ma appena si toglie $\varepsilon$ da $\ell$ esiste sempre un termine della successione più grande di $\ell - \varepsilon$ (per definizione di estremo superiore), ovvero:

$\forall \varepsilon>0\,\, \exists N_\varepsilon>0:\, \ell- \varepsilon< a_{N_\varepsilon} .$

Ma, per monotonia, per ogni $n \geq N_\varepsilon$ abbiamo

$\ell - \varepsilon < a_{N_\varepsilon} \leq a_n \leq \ell < \ell +\varepsilon ,$

ovvero che $|a_n -\ell| < \varepsilon, \; \forall n \geq N_\varepsilon$ , che è un modo esplicito per dire che, dall’ $N_\varepsilon$ -esimo in poi, tutti i termini della successione si trovano in un intorno centrato in $\ell$ e di raggio $\varepsilon$ :

$a_n \in I_\varepsilon(\ell), \quad\forall n \geq N_\varepsilon.$

Per arbitrarietà di $\varepsilon$ concludiamo che

$\lim_{n \to + \infty} a_n = \ell.$

2: $\boldsymbol{\{a_n\}}$ illimitata superiormente. Sia $\ell = \sup \{a_n\}$ e fissiamo $M>0$ . Se $\{a_n\}$ non è una successione limitata superiormente, per definizione, $\ell= +\infty$ e inoltre $\exists N_M \in \mathbb{N}$ tale che $a_{N_M} \geq M$ . Ma, per monotonia, abbiamo che $a_n \geq a_{N_M}, \; \forall n \geq N_M$ , quindi

$a_n\geq a_{N_M}>M,\quad \forall n\geq N_M.$

Si conclude che

$\forall M>0 \,\, \exists N_M>0:\,\, \forall n \geq N_M, \,\, a_n>M,$

cioè

$\lim_{n \to +\infty} a_n =\ell= +\infty.$

$\phantom{a}\qquad\qed$

Per quanto riguarda il caso in cui $\{a_n\}$ è monotona non crescente, si può procedere in modo analogo, cambiando opportunamente le definizioni e le disuguaglianze usate nel procedimento sopra. Alternativamente, si può procedere in modo più diretto. Se infatti $\{a_n\}$ è una successione monotona non crescente, allora $\{-a_n\}$ è monotona non decrescente, per cui, per quanto appena dimostrato, si ha:

$\lim_{n \to + \infty} a_n = - \lim_{n \to + \infty} (- a_n) = -\sup \{-a_n\} = \inf \{a_n\},$

che è proprio quello che volevamo dimostrare.

Si osservi che sia il caso di $\{a_n \}$ monotona crescente o $\{a_n\}$ monotona decrescente si poteva procedere ragionando per assurdo.

Tutta la teoria di analisi matematica

Leggi...

Tutte le cartelle di Analisi Matematica

Leggi...

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

Document

Menu

Chiudi

Limite di una successione monotona

Autori e revisori

Leggi...

Osservazione.

Scarica la teoria

Limite di una successione monotona.

Dimostrazione.

Tutta la teoria di analisi matematica

Leggi...

Tutte le cartelle di Analisi Matematica

Leggi...

Tutti gli esercizi di geometria

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

Suggerimenti, refusi ed errori

Cosa dicono di noi