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Successioni per ricorrenza — Esercizi misti

Successioni per ricorrenza – Definizione, proprietà ed esercizi risolti

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Benvenuti nella nostra guida sulle successioni definite per ricorrenza. Questo articolo offre una breve introduzione teorica seguita da 27 esercizi svolti, mirati a consolidare le competenze teoriche e pratiche degli studenti. Oltre alla semplice risoluzione degli esercizi, poniamo l’accento sul ragionamento che guida la soluzione, fornendo una vera e propria guida al problem solving, essenziale per un argomento spesso trascurato nei corsi di Analisi Matematica.

Questa guida è pensata per gli studenti universitari che desiderano una preparazione approfondita e completa in vista dell’esame di Analisi Matematica. Auguriamo a tutti una lettura proficua e stimolante.

 

Autori e revisori

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Autori: Martina Moro, Valerio Brunetti  

Revisore: Daniele Bjørn Malesani.

 

Le successioni definite per ricorrenza

 

Una successione è una legge che associa a ogni numero naturale n uno e un solo valore reale a_n. In molte situazioni, ad esempio per descrivere eventi che si ripetono a tempi discreti e la cui evoluzione dipende dagli stati precedenti, è utile considerare le successioni definite per ricorrenza (dette anche ricorsive) il cui termine n-esimo è definito da una funzione dei termini precedenti. Come primo esempio, possiamo considerare una successione espressa come:

\begin{equation*} \begin{cases} a_0=\alpha\\ a_n=f(n,a_{n-1}),\qquad\text{ per }n\geq 1 \end{cases} \end{equation*}

dove \alpha è un numero reale e f:\mathbb{N}\times\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} è una funzione.

 

Esempio 1. La successione

\begin{equation*} \begin{cases} a_0=0\\ a_n=2a_{n-1}+1\qquad\text{ per } n\geq 1 \end{cases} \end{equation*}

è definita per ricorrenza. A partire dal primo termine è possibile determinare i termini successivi:

\begin{equation*} a_1=1,\qquad a_2=3,\qquad a_3=7,\qquad a_4=15 \end{equation*}

e così via.

 

In generale

 

Definizone 1. Una successione definita per ricorrenza (o ricorsiva) è

\begin{equation*} \begin{cases} a_0,\,\cdots,\,a_k\text{ dati}\\ a_{n+1}=f(n,a_n,\dots,\,a_{n-k})\qquad\text{ per } n\geq k \end{cases} \end{equation*}

dove k\in\mathbb{N} e f:D\subseteq\mathbb{N}\times \mathbb{R}^{k+1}\rightarrow\mathbb{R} è una funzione.

 

Esempio 2. Un classico esempio di successione definita per ricorrenza è quella che permette la costruzione dei numeri di Fibonacci

\begin{equation*} \begin{cases} a_0=0\\a_1=1\\a_n=a_{n-1}+a_{n-2}&\qquad \text{ per }n\geq 2. \end{cases} \end{equation*}

Come nell’esempio precedente è possibile determinare i termini successivi a partire da a_0 e a_1

\begin{equation*} a_2=1,\qquad a_3=2,\qquad a_4=3,\qquad a_5=5 \end{equation*}

e così via.

 

Per le successioni ricorsive potrebbe essere difficile determinare un’espressione analitica esplicita e quindi affrontare il loro studio con gli strumenti standard a nostra disposizione. L’obiettivo di queste dispense è proprio quello di spiegare tramite numerosi esempi diverse strategie utili per lo studio di successioni ricorsive. Prima di tutto è necessario verificare che la successione sia ben definita: ad esempio se la funzione f è irrazionale bisogna verificare che il radicando risulti sempre maggiore o uguale di 0 oppure se è una funzione fratta che il denominatore sia sempre diverso da 0, eccetera.

 

Esempio 3. Consideriamo la successione ricorsiva

\begin{equation*} \begin{cases} a_0=0\\ a_n=\sqrt{1-3a_{n-1}}\qquad\text{ per }n\geq 1. \end{cases}. \end{equation*}

Per essere ben definita, gli elementi della successione devono soddisfare la condizione

\[1-3a_{n-1}\geq 0\qquad \text{ per ogni } n\geq 1,\]

ovvero a_{n-1}\leq \frac{1}{3}. Ma

\begin{equation*} a_1=1,\qquad a_2=\sqrt{1-3}=\sqrt{-2}, \end{equation*}

che è ovviamente impossibile in \mathbb{R}.

 

Il problema del calcolo del limite di una successione definita per ricorrenza, dopo aver controllato che sia ben definita, si divide in due parti: prima bisogna dimostrare che il limite esiste, e solo in seguito determinare tale limite.

 

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Dire se la successione definita per ricorrenza

\begin{equation*} \begin{cases} a_0=1\\\\ a_{n+1}=\displaystyle\frac{2}{a_{n}} \qquad\text{ per }n\geq 0 \end{cases} \end{equation*}

è convergente, divergente o indeterminata.

Svolgimento.

Un primo approccio di fronte a una successione definita per ricorrenza è calcolare esplicitamente i primi termini per capirne l’andamento

\begin{equation*} a_0=1,\qquad a_1=2,\qquad a_2=1,\qquad a_3=2,\qquad a_4=1,\quad\ldots\ldots \end{equation*}

In questo modo è evidente che, considerando le due sottosuccessioni estratte, la prima dei soli termini dispari, la seconda dei soli termini pari

\begin{equation*} a_{2k+1}=2\qquad a_{2k}=1, \end{equation*}

la successione di partenza è indeterminata. Se infatti per assurdo ammettesse limite, allora ogni sottosuccessione estratta convergerebbe a tale limite.

 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dire se la successione definita per ricorrenza

\begin{equation*} \begin{cases} a_0=1\\\\ a_{n}=(n+2)a_{n-1} \qquad\text{ per }n\geq 1 \end{cases} \end{equation*}

ammette limite.

Svolgimento.

Calcolando i primi termini della successione possiamo ipotizzare che sia monotona crescente; infatti

\begin{equation*} a_n\leq a_{n+1}\Longleftrightarrow a_n\leq (n+3)a_{n}\Longleftrightarrow a_n(n+2)\geq 0. \end{equation*}

Poiché a_n\geq 0 e n+2>0 per ogni n\in\mathbb{N} abbiamo dimostrato che la successione a_n è crescente, positiva e quindi ammette limite (finito o infinito).

 

Dopo aver dimostrato l’esistenza del limite per la successione a_n, cosa fare per determinare il valore?

 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Studiare il comportamento della successione definita per ricorrenza

\begin{equation*} \begin{cases} a_0=0\\\\ \displaystyle a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n+1}\qquad\text{ per }n\geq 0. \end{cases} \end{equation*}

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