Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 40

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 40.  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{y\in\mathbb{Q}\,:\,\text{$\exists \,n,\,m\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ tali che $y=\frac{2n}{m}$}\right\}.\]

 

Svolgimento. Consideriamo il sottoinsieme di A formato da tutti gli elementi ottenuti per m=1, cioè

    \begin{equation*} A_1=\left\{y\in\mathbb{Q}\,:\,\text{$\exists \,n\in\mathbb{N}$ tale che $y=2n$}\right\}\subset A. \end{equation*}

L’insieme A_1 è superiormente illimitato, allora per definizione \sup A_1=+\infty. Dimostriamo questo fatto. Dobbiamo verificare se per ogni \gamma \in\mathbb{R} esiste un y\in A_1 tale che y>\gamma.

Svolgiamo i calcoli:

    \[y=2n>\gamma \quad \Leftrightarrow \quad n>\dfrac{\gamma}{2}.\]

Pertanto basta prendere n_\gamma=\lfloor\gamma/2\rfloor+1 e si ha la tesi. Inoltre per le proprietà dell’estremo superiore[1], dato che \sup A_1=+\infty, allora

    \[\boxcolorato{analisi}{\sup A=+\infty.}\]

Per la ricerca dell’estremo inferiore osserviamo che gli elementi di A sono tutti i numeri razionali positivi, quindi 0 è un minorante per l’insieme A. Consideriamo adesso il sottoinsieme A_2 formato da tutti gli elementi di A ottenuti per n=1

    \begin{equation*} A_2=\left\{y\in\mathbb{Q}\,:\,\text{$\exists \,m\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ tale che $y=\dfrac{2}{m}$}\right\}. \end{equation*}

Vogliamo dimostrare che \inf A_2=0, ovvero che per ogni \varepsilon>0 esiste un m_\varepsilon>0 tale che 2/m_{\varepsilon}<\varepsilon. Svolgendo i calcoli si ottiene

    \[\dfrac{2}{m_\varepsilon}<\varepsilon\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{m_\varepsilon}{2}>\dfrac{1}{\varepsilon}\quad \Leftrightarrow \quad m_\varepsilon>\dfrac{2}{\varepsilon}.\]

Dunque basta prendere m_\varepsilon= \left\lfloor2/\varepsilon \right\rfloor per avere la tesi. Allora per le proprietà dell’estremo inferiore si ha

    \[0=\inf A_2\geq \inf A\]

da cui

    \[\boxcolorato{analisi}{\inf A=0.}\]

Si osservi che non esistitono massimo e minimo.

 

 

1. Siano A,B\subseteq\mathbb{R} due insiemi non vuoti.
Si supponga che A\subseteq B.
Allora vale