Esercizio 40. Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:
Svolgimento. Consideriamo il sottoinsieme di formato da tutti gli elementi ottenuti per
, cioè
L’insieme è superiormente illimitato, allora per definizione
. Dimostriamo questo fatto. Dobbiamo verificare se per ogni
esiste un
tale che
.
Svolgiamo i calcoli:
Pertanto basta prendere e si ha la tesi. Inoltre per le proprietà dell’estremo superiore[1], dato che
, allora
Per la ricerca dell’estremo inferiore osserviamo che gli elementi di sono tutti i numeri razionali positivi, quindi
è un minorante per l’insieme
. Consideriamo adesso il sottoinsieme
formato da tutti gli elementi di
ottenuti per
Vogliamo dimostrare che , ovvero che per ogni
esiste un
tale che
. Svolgendo i calcoli si ottiene
Dunque basta prendere per avere la tesi. Allora per le proprietà dell’estremo inferiore si ha
da cui
Si osservi che non esistitono massimo e minimo.
1. Siano due insiemi non vuoti.
Si supponga che
Allora vale