Teoria sulle serie numeriche

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Teoria sulle serie numeriche

In questo articolo è possibile trovare tutta la teoria sulle serie numeriche. Il concetto di serie è una generalizzazione dell’operazione di somma, estesa al caso di infiniti addendi, il cui significato si basa sul concetto di limite delle sue somme parziali.

In questa dispensa studiamo in maniera approfondita tale importante tema dell’Analisi Matematica, concentrandoci sui seguenti aspetti:

Cos’è una serie numerica e in che modo consente di sommare infiniti addendi?
Come si calcolano le somme delle serie telescopiche e geometriche?
In cosa consistono i criteri di convergenza del confronto, del confronto asintotico, di condensazione, del rapporto e della radice e come si applicano?
Come si studiano le serie con termine generale di segno variabile e cosa sono i criteri della convergenza assoluta e di Leibnitz?
Come si possono moltiplicare tra loro due serie e come si studia la convergenza del prodotto?
Le serie numeriche possiedono una proprietà commutativa? In cosa consiste il riordinamento di una serie e cosa afferma il teorema del riordinamento di Riemann?

Ogni argomento viene corredato da numerosi esempi, con una sezione finale di esercizi svolti e ulteriori esercizi lasciati al lettore, costituendo un volume completo per chi desidera avere tutto il materiale a portata di mano. Un’esposizione coinvolgente che accresce la conoscenza e la comprensione di questo capitolo fondamentale dell’Analisi Matematica.

Consigliamo la lettura del seguente materiale sulla teoria collegata:

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Ottieni file di teoria ed esercizi svolti sulle serie numeriche. Il file ha una lunghezza di 113 pagine e sono presenti 81 esercizi svolti.

Teoria sulle serie numeriche: sommario

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In queste note enunciamo e dimostriamo i principali risultati della teoria delle serie numeriche. La presente dispensa ha il fine di supportare i corsi universitari di qualunque facoltà e si propone, in particolare, di sviluppare le competenze sull’argomento richieste dalle facoltà di matematica, fisica e ingegneria. La dispensa contiene una raccolta di esercizi svolti, suddivisi per argomento e ordinati per difficoltà.

Teoria sulle serie numeriche: autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Jacopo Garofali, Andrea Mazzolani

Revisori: Sara Sottile, Matteo Talluri.

Teoria sulle serie numeriche: prerequisiti

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In queste note si presuppone la conoscenza di alcuni concetti di base dell’analisi matematica, tra cui i numeri (naturali, interi, reali, complessi), il principio di induzione, il concetto di successione numerica e di limite di una successione. Inoltre, per la comprensione del teorema 7, è necessario che il lettore sia familare con la nozione di integrale di Riemann di una funzione reale di variabile reale. Infine, in molti esercizi facciamo uso degli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari.

Teoria sulle serie numeriche: notazioni

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$\mathbb{N}=\{ 0,1, \dots \}$	Insieme dei numeri naturali;
$\mathbb{Z}$	Insieme dei numeri interi relativi;
$\mathbb{R}$	Insieme dei numeri reali;
$\mathbb{C}$	Insieme dei numeri complessi;
$\displaystyle \sum_{n=N}^Ma_n=a_N+a_{N+1}+\dots + a_M$	Somma di un numero finito di termini;
$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n=a_1+a_{2}+\dots$	Serie numerica di termine generale $a_n$ ;
$\displaystyle \prod_{n=N}^{M}a_n=a_N\cdot a_{N+1}\cdot \dots \cdot a_M$	Prodotto di un numero finito di termini;
$\displaystyle \prod_{n=1}^{+ \infty}a_n=a_1\cdot a_2 \cdot \dots$	Prodotto infinito di termine generale $a_n$ ;
$\|x\|$	Modulo di un numero $x \in \mathbb{R}$ (risp. $x \in \mathbb{C}$ );
$\sqrt[n]{x}$	Radice $n$ -esima un numero $x \in \mathbb{R}$ (quando esiste);
$n!$	Fattoriale di un numero $n \in\mathbb{N}$ ;
$n!!$	Doppio fattoriale di un numero $n \in\mathbb{N}$ ;
$e$	Numero di Nepero;
$\ln{x}$	Logaritmo naturale di un numero $x >0$ ;
$\sin{x}$	Seno di un numero $x \in \mathbb{R}$ ;
$\cos{x}$	Coseno di un numero $x \in \mathbb{R}$ ;
$\arctan{x}$	Arcotangente di un numero $x \in \mathbb{R}$ ;
$\lim_{n\rightarrow +\infty}$	Limite di una successione;
$\limsup_{n\rightarrow +\infty}$	Limite superiore di una successione;
$\liminf_{n\rightarrow +\infty}$	Limite inferiore di una successione;
$o(1)$	Simbolo di Landau o-piccolo di 1;
$\sim$	Relazione di asintotica equivalenza;
$\int_a^b f(x)\,{\rm d}x$	Integrale definito tra $a$ e $b$ di una funzione.

Teoria sulle serie numeriche: introduzione

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Le serie generalizzano l’operazione di addizione sui numeri reali nel caso in cui ad essere sommati siano un numero infinito di termini. I primi problemi che coinvolgono somme infinite risalgono all’antichità classica. Ad esempio, il noto “paradosso di Achille e la tartaruga”, spiegato nel dettaglio più avanti, rappresenta la tendenza del pensiero classico a trattare le somme infinite come un mero artificio. Il problema posto da questo paradosso viene risolto in termini moderni proprio grazie all’uso delle serie. Non è chiaro, a priori, se si possa dare un senso alla somma di infiniti termini. Uno dei problemi principali, quando si studia una serie, è quello di determinarne il carattere, ovvero quello di capire se, all’aumentare dei termini sommati, tale somma: si avvicina ad un numero reale (in questo caso, si parla di convergenza della serie); aumenta (o diminuisce) indefinitivamente (in questo caso, si parla di divergenza della serie); non accade nessuna delle due situazioni precedenti, cioè la serie non diverge ma neanche si avvicina ad un valore preciso all’aumentare dei termini sommati. Una domanda che spesso ci si pone, quando ci si approccia per la prima volta a questo argomento, è la seguente: com’è possibile che, sommando infiniti termini, si possa arrivare ad un risultato finito? Chiaramente, se sommiamo sempre lo stesso numero infinite volte, il risultato non sarà un numero finito. Se, però, aggiungiamo una quantità sempre più piccola, l’intuito ci suggerisce che il risultato potrebbe essere finito. Ad esempio, consideriamo un quadrato di lato 1 (e dunque di area pari a 1), come rappresentato in figura 1.

$\quad$

Teoria sulle serie numeriche figura 1

$\quad$

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Figura 1: quadrato di lato 1.

$\quad$

Immaginiamo di voler colorare il quadrato, i.e. coprire la sua area, in modo tale che si colori prima una metà, poi la metà della metà rimanente, e così via, come rappresentato nella figura 2.

$\quad$

Teoria sulle serie numeriche figura 2

$\quad$

Figura 2: esaustione del quadrato.

$\quad$

Ad ogni passo, rimane sempre una porzione di quadrato che non viene colorata, ma l’area di questa porzione si dimezza ad ogni passo. Intuitivamente, risulta chiaro che occorrono infiniti passi affinché il quadrato sia completamente riempito, e che alla fine di questo processo infinito l’area colorata sarà

(1) $\begin{equation*} 1=\dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} + \dots . \end{equation*}$

Il metodo appena descritto è noto come metodo di esaustione. Nel seguito, cf. (5) e proposizione 3, daremo una dimostrazione formale dell’identità (1).

La teoria delle serie numeriche comincia già nell’antica Grecia, quando il più grande matematico del mondo antico, Archimede di Siracusa (287 a.C.-212 a.C.), utilizza il metodo di esaustione per calcolare l’area sottesa a un ramo di parabola. Per molto tempo l’idea che una somma infinita di numeri potesse produrre un valore finito fu considerata assurda. Abbiamo già citato il paradosso, dovuto al filosofo Zenone di Elea (489 a.C-431 a.C), noto come “paradosso di Achille e la tartaruga”. Achille “pié veloce” vuole raggiungere una tartaruga (nota per essere lenta) che si trova a una certa distanza da lui. I due cominciano a muoversi nello stesso istante. Achille, per raggiungerla, arriva con un balzo nel punto in cui è partita la tartaruga, la quale però, nel frattempo, si è mossa e nel momento in cui Achille ha compiuto il suo balzo, la tartaruga ha percorso una certa distanza. Allora, Achille, con un balzo, percorre quella stessa distanza. Tuttavia, nel frattempo, la tartaruga si è mossa ancora in avanti. Ripetendo questo ragionamento all’infinito, concludiamo che Achille non raggiungerà mai la tartaruga. Questo paradosso può essere superato facendo uso delle serie numeriche, cf. esercizio 1.

I primi tentativi di formalizzare il concetto di somma infinita di numeri risalgono al XVII secolo e sono attribuiti a James Gregory (1638-1695), Colin Maclaurin (1698-1746) e Brook Taylor (1685-1731). Leonhard Euler (1707-1783), con il suo lavoro sulle serie ipergeometriche, formalizza le prime proprietà delle serie numeriche, lavoro che fu poi completato da Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), che ad oggi è considerato il padre della moderna teoria. Tra i matematici che hanno dato maggiore contributo alla teoria possiamo citare Leibniz, Cauchy, Dirichlet, Abel, Raabe, Kummer e molti altri.

La conoscenza delle serie numeriche costituisce la base per lo sviluppo in serie di potenze delle funzioni, cominciato in primo luogo con gli sviluppi intorno un punto ad opera di McLaurin e Taylor.

In conclusione, il concetto di serie numerica (insieme a quello di integrale¹) è stato da sempre oggetto di studi e rappresenta quindi uno dei cardini dell’analisi matematica, trovando applicazioni in molti ambiti scientifici.

Nella sezione 1 diamo le prime definizioni ed enunciamo i risultati che seguono immediatamente da queste, e successivamente elenchiamo le principali proprietà delle serie numeriche. Nella sezione 2 introduciamo due tipi fondamentali di serie, quelle geometriche e quelle telescopiche. Successivamente, nelle sezioni 3 e 4, enunciamo e dimostriamo i più noti criteri di convergenza, prima per serie a termini non negativi, e poi per serie qualunque. A seguire, la sezione 5 è dedicata allo studio del prodotto di due serie, mentre nella sezione 6 vengono enunciati e dimostrati i principali risultati sul riordinamento di una serie. Le ultime due sezioni, 7 e 8, contengono una raccolta di esercizi, suddivisi per argomento e ordinati per difficoltà. La prima di tali sezioni è la più ampia, ed è completa di soluzione.

Infine, nella sezione Appendice A discutiamo i prodotti infiniti, mentre nella sezione Appendice B approfondiamo lo studio della serie armonica, definendo la costante di Eulero-Mascheroni.

Si può dimostrare che questi due concetti sono strettamente collegati, ma ciò esula dallo scopo di queste note. ↩

La definizione di serie numerica

Introduzione.

Data una successione $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ , si può costruire la successione delle somme parziali associata, definita da

(1) $\begin{equation*} S_n&\coloneqq \sum\limits_{k=0}^n a_k \qquad \forall\, n \in \mathbb{N}, \end{equation*}$

cioè la somma dei primi $n$ termini della successione, al variare di $n \in \mathbb{N}$ .

Definizione 1 (serie numerica). La serie associata alla successione $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}$ si definisce come segue:

(2) $\begin{equation*} \sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n \coloneqq \lim_{n\rightarrow +\infty}\sum\limits_{k=0}^n a_k. \end{equation*}$

Se il limite delle somme parziali (2) esiste finito, diciamo che la serie associata alla successione $\{ a_n \}$ è convergente. Se, invece, tale limite esiste infinito, diciamo che la serie associata alla successione $\{ a_n \}$ è divergente. Infine, se tale limite non esiste, diciamo che la serie associata alla successione $\{ a_n \}$ è indeterminata.

$\quad$

Notiamo che la notazione $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ non deve essere interpretata come una somma di infiniti termini, ma come il limite delle somme parziali, cf. (2).

Dalla definizione 1 segue che nel caso in cui la serie sia non convergente possiamo distinguere tre casi:

$\quad$

Il limite $\displaystyle S \coloneqq\lim_{n\rightarrow +\infty}S_n$ esiste e $S=+\infty$ ;

Il limite $\displaystyle S \coloneqq \lim_{n\rightarrow +\infty}S_n$ esiste e $S=-\infty$ ;

Il limite $\displaystyle S \coloneqq \lim_{n\rightarrow +\infty}S_n$ non esiste.

Nel primo caso si dice che la serie diverge positivamente, nel secondo caso si dice che diverge negativamente e nel terzo caso, come già detto, che è indeterminata.

Infine, diciamo che $a_n$ è il termine generale della serie $\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n$ .

Osservazione 1. La scelta di far partire la serie da $n=0$ è puramente arbitraria. Avremmo potuto scegliere un qualunque $k_0 \in \mathbb{Z}$ , una successione $\{ a_k \}_{k \geq k_0}$ , e definire la serie associata

(3) $\begin{equation*} S=\sum_{k=k_0}^{+\infty}a_k \end{equation*}$

in modo analogo².

Osservazione 2. La definizione 1 si estende naturalmente al caso in cui $\left\{ a_n \right\}$ è una successione di numeri complessi. Diremo allora che la serie

$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n$

converge a $\ell \in \mathbb{C}$ se vale

(4) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow + \infty} \left\vert \sum\limits_{k=0}^{n}a_k -\ell\right\vert=0, \end{equation*}$

mentre diremo che la serie diverge a $\infty$ se la successione $\left\{ \displaystyle \left\vert \sum\limits_{k=0}^{n}a_k \right\vert \right\}$ è illimitata. Infine, diremo che la serie è indeterminata se non esiste alcun $\ell \in \mathbb{C}$ tale che valga (4).

Si noti che tale scrittura (3) non è affatto più generale di (2), in quanto si può ottenere una dall’altra con il cambio di indici $k=n+k_0$ . ↩

Esempio di serie convergente

Anticamente si pensava che sommando infiniti termini positivi, il risultato fosse necessariamente $+\infty$ . Se, per somme infinite, intendiamo il limite delle somme parziali, cf. definizione 1, ciò non è vero, come mostra il seguente esempio.

Consideriamo la serie a termini positivi

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n.$

Rappresentando i termini della serie come lunghezze, e suddividendo un segmento di lughezza unitaria in metà, e poi una delle metà ottenute di nuovo a metà, e così via, si vede facilmente che³

$\begin{aligned} 1 &= \frac{1}{2} +{\frac{1}{2}} \nonumber \\ &= \frac{1}{2} +\frac{1}{4} +\frac{1}{4} &&\nonumber \\ &= \frac{1}{2} +\frac{1}{4} +\frac{1}{8} + \frac{1}{8} &&\nonumber \\ &= \frac{1}{2} +\frac{1}{4} +\frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} &&\nonumber \\ &= \frac{1}{2} +\frac{1}{4} + ...+\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} +\left(\frac{1}{2}\right)^{n} +\left(\frac{1}{2}\right)^{n} = \sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^k+\left(\frac{1}{2}\right)^n && \forall\, n >1\label{eq:1=geometrica} \end{aligned}$

Passando al limite per $n\to+\infty$ si ha:

(5) $\begin{equation*} \begin{split} 1 = \lim_{n\rightarrow+\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^k+\left(\frac{1}{2}\right)^n = \sum\limits_{k=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^k. \end{split} \end{equation*}$

Abbiamo dunque dimostrato che la serie $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ converge al valore $S=1$ .

Esempio di serie divergente

Abbiamo visto che una serie $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}a_n$ si dice divergente se la successione delle somme parziali di $\{ a_n \}$ è divergente.

Per esempio:

$\begin{aligned} \sum_{k=0}^{n}k \geq \sum_{k=1}^{n}1 = \underbrace{(1+1+1+\dots+1)}_{\rm n \; volte}= n \to +\infty \qquad \mbox{per }n \to +\infty. \end{aligned}$

Esempio di serie indeterminata

Abbiamo visto che una serie $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}a_n$ si dice indeterminata se la successione delle somme parziali di $a_n$ è indeterminata.

Per esempio, consideriamo la serie $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k$ . Le successione $S_n$ delle somme parziali vale:

$\begin{aligned} \forall\, n \in \mathbb{N}\qquad S_n = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k = \left\{\begin{array}{cc} 1,& \text{se $n$ è pari}; \\ 0,& \text{se $n$ è dispari}. \end{array} \right. \end{aligned}$

Dato che le sottosuccessioni di indice pari e dispari della successione delle somme parziali $S_n$ hanno limite diverso, $S_n$ non ha limite, ovvero la serie è indeterminata.

Tale fatto si può formalizzare facilmente con il principio di induzione. ↩

Proprietà fondamentali delle serie.

Proposizione 1 (condizione necessaria per la convergenza). Sia $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ una serie convergente. Allora, il suo termine generale è infinitesimo, i.e. si ha

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n = 0.$

$\quad$

Dimostrazione. Sia $S=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}S_n \in \mathbb{R}$ , dove $\left\{ S_n \right\}$ è definita da (1). Notiamo che

(6) $\begin{equation*} a_n= \sum_{k=0}^n a_k \ - \sum_{k=0}^{n-1} a_k=S_n-S_{n-1}, \quad \forall\,n \geq 1. \end{equation*}$

Passando al limite per $n \to +\infty$ in (6), e sfruttando i teoremi algebrici sui limiti, cf. [9, pag. 49], si ha

$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}a_n = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\left(S_n-S_{n-1}\right) \overset{\clubsuit}{=}\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}S_n-\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}S_{n-1} = S-S = 0,$

dove in $\clubsuit$ abbiamo usato l’ipotesi di convergenza della successione $\left\{ S_n \right\}$ .

Esempio 1. Studiamo il carattere della seguente serie

(7) $\begin{equation*} \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{n^3+1}{n(n+2)^2}. \end{equation*}$

Osserviamo che

$\lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{n^3+1}{n(n+2)^2}=1,$

dunque la serie non converge perché non è soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza, i.e. il termine generale non è infinitesimo. Seguirà dal lemma 1 che, poiché la serie data è a termini positivi, essa diverge positivamente.

Terminologia. Una serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ si dice serie a termini di segno costante se la successione $\left\{ a_n \right\}$ è a termini di segno costante, i.e. $a_n \geq 0 \quad \forall \, n \in \mathbb{N}$ (serie a termini non negativi) oppure $a_n \leq 0 \quad \forall \, n \in \mathbb{N}$ (serie a termini non positivi), altrimenti si dice serie a termini di segno variabile.

Una serie della forma $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\,a_n$ con $a_n \geq 0 \;\forall \, n \in \mathbb{N}$ si dice serie a segno alterno.

Prima di enunciare il prossimo risultato, richiamiamo la seguente definizione.

Definizione 2 (proprietà definitive). Sia $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$ una successione e sia $\mathcal{P}$ una proprietà sull’insieme $\mathbb{R}$ . Diciamo che la successione gode definitivamente della proprietà $\mathcal{P}$ se esiste $n_0\in \mathbb{N}$ tale che $a_n$ gode della proprietà $\mathcal{P}$ per ogni $n\geq n_0$ . In formule:

$\mathcal{P}\left( \{ a_n \} \right) \quad \mbox{definitivamente} \quad \iff \quad \exists n_0 \in \mathbb{N} : \quad \mathcal{P}(a_n)\quad \forall\, n\geq n_0.$

Lemma 1 (convergenza delle serie a termini di segno costante). Le serie a termini di segno definitivamente non negativo (risp. non positivo) possono essere convergenti o divergenti positivamente (risp. negativamente), ma non indeterminate.

$\quad$

Dimostrazione. Per fissare le idee, consideriamo una serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ a termini definitivamente non negativi, e sia $n_0>0$ tale che $a_n \geq 0 \quad \forall \,n\geq n_0$ . Dimostriamo che la successione delle somme parziali, cf. (1), è definitivamente non decrescente. Infatti, per ogni $n\geq n_0$ , si ha

$\begin{aligned} S_{n+1}\coloneqq \sum_{k=0}^{n+1}a_k =\left(\sum_{k=0}^{n}a_k\right)+a_{n+1} = S_n+a_{n+1}\geq S_n. \label{eq:an>=0 ->Sn non decresce}\end{aligned}$

Dunque $S_{n+1}\geq S_n \quad \forall \, n \geq n_0$ .

Allora, per il teorema delle successioni monotone, cf. [4, pag. 71], si ha che

(8) $\begin{equation*} \exists \; S = \lim_{n \rightarrow + \infty} S_n \in \mathbb{R} \cup\left\{ +\infty \right\}. \end{equation*}$

Se la serie di partenza è a termini definitivamente non positivi, la dimostrazione è analoga. Osserviamo, infine, che rimuovendo la parola definitivamente, cioè, assumendo la serie a termini non negativi (risp. non positivi), si conclude che il limite $S$ in (8) è non negativo (risp. non positivo).

Osservazione 3. Dalla dimostrazione precedente, deduciamo che una serie a termini di segno definitivamente costante converge se e solo se la successione delle somme parziali è limitata.

Il carattere di una serie non cambia se non vengono considerati un numeri finito di termini. Prima di enunciare questo risultato, ricordiamo un fatto elementare sulle successioni.

Lemma 2. Due successioni che differiscono definitivamente di una costante hanno lo stesso carattere.

$\quad$

Dimostrazione. Sia $c \in \mathbb{R}, \,n_0\in \mathbb{N}$ tale che per ogni $n \geq n_0$ si ha $a_n = b_n + c$ . Distinguiamo due casi.

$\quad$

Primo caso. Supponiamo che esista $\displaystyle b=\lim_{n\to+\infty}b_n \in \mathbb{R} \cup \left\{ \pm \infty \right\}$ . Allora, dai teoremi algebrici sui limiti, cf. [9, pag. 49], si ha
$\exists \lim_{n\to+\infty}a_n=\lim_{n\to+\infty}(b_n + c)=b+c.$

Secondo caso. Supponiamo che non esista $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}b_n$ . Se per assurdo esistesse $\displaystyle a = \lim_{n\to+\infty}a_n$ , dai teoremi algebrici sui limiti, avremmo
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}b_n = \displaystyle\lim_{n\to+\infty}(a_n-c) = a-c,$

cioè esisterebbe $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}b_n$ in contrasto con l’ipotesi.

Corollario 1. Sia $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$ una successione. Per ogni $p >0$ , le serie

$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n \quad \mbox{e} \quad \sum_{n=p}^{+\infty}a_n$

hanno lo stesso carattere.

$\quad$

Dimostrazione. Le somme parziali

$S_n= \sum_{k=0}^{n}a_k\quad \mbox{e} \quad S'_n= \sum_{k=p}^{n}a_k, \quad n \geq p$

differiscono per una costante, infatti

$S_n-S'_n=\sum_{k=0}^{p-1}a_k.$

Dunque, per il lemma 2 le due successioni delle somme parziali (e quindi, per definizione, le due serie) hanno lo stesso carattere.

Corollario 2. Siano $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}},\{ b_n \}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$ due successioni che coincidono definitivamente. Allora, le serie

$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n \quad \mbox{e} \quad \sum_{n=0}^{+\infty}b_n$

hanno lo stesso carattere.

$\quad$

Dimostrazione. Basta considerare $n_0\in \mathbb{N}$ tale che $a_n=b_n$ per ogni $n\geq n_0$ e applicare il corollario 1 con $p=n_0$ .

Proposizione 2 (criterio di Cauchy per le serie). La serie $\displaystyle \sum_{n =0}^{+\infty}a_n$ converge se e solo se:

(9) $\begin{equation*} \forall \,\varepsilon > 0\quad \exists N_\varepsilon \geq 0: \quad \forall \,m > N_\varepsilon, \; \forall\, p > 0\quad \left\vert \sum_{k=m+1}^{m+p}a_k \right \vert <\varepsilon. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Sia $\displaystyle S_n= \sum_{k=0}^{n}a_k$ la successione delle somme parziali. Ricordiamo⁴ che una successione converge se e solo se è di Cauchy⁵, cf. [3], [11]. Quindi, $\{ S_n \}$ converge se e solo se

(10) $\begin{equation*} \forall \varepsilon >0 \quad \exists N_\varepsilon\geq0:\quad \forall n\geq m>N_\varepsilon,\,\,\left \vert \sum_{k=0}^{n}a_k-\sum_{k=0}^{m}a_k\right \vert<\varepsilon, \end{equation*}$

Per $n \geq m$ possiamo scrivere

(11) $\begin{equation*} \left \vert \sum_{k=0}^{n}a_k-\sum_{k=0}^{m}a_k\right \vert=\left \vert \sum_{k=0}^{m}a_k+ \sum_{k=m+1}^{n}a_k-\sum_{k=0}^{m}a_k\right \vert=\left \vert \sum_{k=m+1}^{n}a_k \right \vert, \end{equation*}$

da cui ponendo $n-m=p\in\mathbb{N}$ si ottiene la seguente condizione, equivalente alla convergenza della serie,

(12) $\begin{equation*} \forall \varepsilon >0 \quad \exists N_\varepsilon\geq0: \quad \forall m>N_\varepsilon,\,\,\forall p \geq 0 \quad \left \vert \sum_{k=m+1}^{m+p}a_k \right \vert <\varepsilon. \end{equation*}$

Questo fatto è noto come completezza dei numeri reali. ↩

Una successione $\left\{ a_n\right\}_n$ è di Cauchy se $\forall\, \varepsilon >0 \;\exists \, N_{\varepsilon}>0 : n,\,m\,> N_{\varepsilon} \Rightarrow |a_n-a_m|<\varepsilon.$ ↩

Lemma 3. Sia $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ una serie convergente. Allora, per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$ , la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n)$ converge, e si ha

(13) $\begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n)=\alpha\sum_{n=0}^{+\infty}a_n. \end{equation*}$

Se, invece, la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ diverge, allora $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n)$ diverge per ogni $\alpha \neq 0$ .

$\quad$

Dimostrazione. Sia $\displaystyle \left\{ S_n \right\}$ definita da (1) e notiamo che

(14) $\begin{equation*} \tilde{S}_n\coloneqq \sum_{k=0}^{n}(\alpha \, a_k)= \alpha\sum_{k=0}^{n}a_k =\alpha S_n. \end{equation*}$

Passando al limite per $n \to + \infty$ in (14), e sfruttando l’ipotesi che $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}S_n$ esiste finito, si ottiene la prima parte della tesi. Per la seconda parte, il procedimento è analogo. Notiamo che, se $\alpha=0$ , abbiamo $\alpha \,a_k=0$ per ogni $k\in\mathbb{N}$ , e quindi la serie corrispondente a $\alpha=0$ è nulla.

Il prossimo risultato mette in relazione la serie corrispondente alla somme di due successioni, con la somma delle serie corrispondenti.

Lemma 4. Siano date le serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ e $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n$ . Allora,

$\quad$

se entrambe le serie convergono, anche la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n+b_n)$ converge e si ha
$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\left(a_n+b_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n+\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n;$

se entrambe le serie divergono positivamente (risp. negativamente), oppure se una diverge positivamente (risp. negativamente) e l’altra converge, allora la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n+b_n)$ diverge positivamente (risp. negativamente).

$\quad$

Dimostrazione. Consideriamo le successioni delle somme parziali:

$A_n=\sum_{k=0}^{n}a_k, \quad B_n=\sum_{k=0}^{n}b_k \qquad \forall\,n \in \mathbb{N}.$

Per la proprietà commutativa della somma, si ha:

$A_n+B_n=\sum_{k=0}^{n}a_k+\sum_{k=0}^{n}b_k=\sum_{k=0}^{n}\left(a_k+b_k\right)\qquad \forall\,n \in \mathbb{N}.$

Passando al limite per $n\to+\infty$ , e applicando le proprietà dei limiti, si ottiene la tesi.

Serie geometrica e serie telescopiche

Introduzione.

Solitamente, delle serie si studia il carattere, e difficilmente si riesce a calcolare la somma. In questa sezione riportiamo due tipologie di serie per cui la somma può essere calcolata.

Serie geometrica.

Richiamiamo la definizione di successione (o progressione) geometrica.

Definizione 3 (progressione geometrica). Una successione $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$ si dice progressione geometrica se è costante il rapporto tra un termine della successione e il suo precedente (quando tale termine è definito). Tale rapporto viene detto ragione della progressione geometrica.

$\quad$

Segue subito dalla definizione⁶ che, detta $x\in \mathbb{R}$ la ragione di una successione geometrica $\{ a_n \}$ , si ha

(15) $\begin{equation*} a_1=a_0x,\quad a_2=a_1x=a_0x^2, \dots, \quad a_n=a_{n-1}x=\dots=a_0x^n \qquad \forall\, n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Applicando, ad esempio, il principio di induzione. ↩

Definizione 4 (serie geometrica). Una serie $\displaystyle S\coloneqq\sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ si dice serie geometrica di ragione $x$ se la successione $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}$ è una successione geometrica di ragione $x$ e $a_0=1$ . In altre parole, $S$ è una serie geometrica se è della forma⁷

(16) $\begin{equation*} S= \sum_{n=0}^{+\infty}x^n, \end{equation*}$

per qualche $x\in \mathbb{R}$ .

Seppure $0^0$ non è definito, in questo contesto si suole abusare di notazione e intendere che $x^0=1$ anche se $x=0$ . ↩

$\quad$

Di seguito determiniamo il carattere della serie geometrica (16) al variare di $x$ , dimostrando prima un risultato utile a tale scopo.

Lemma 5 (somma geometrica). Sia $x \in \mathbb{R}$ . Allora, vale che:

$\sum_{k=0}^nx^k=\begin{cases} \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x\phantom{h}}, \mbox{ se } x \neq 1;\\ \\ n+1, \mbox{ se } x = 1. \end{cases}$

$\quad$

Dimostrazione. Sia $\displaystyle S_n(x)\coloneqq \sum_{k=0}^nx^k$ . Il caso $x=1$ è immediato, in quanto $S_n(1)$ si ottiene sommando lo stesso termine (i.e. 1) $n+1$ volte, quindi $S_n(1) = n+1$ . Notiamo che, per ogni $x \in \mathbb{R}$ , si ha

$x S_n(x)= x\left(\sum_{k=0}^{n}x^k\right) = \sum_{k=0}^{n}x^{k+1} = \sum_{k=1}^{n+1}x^k= S_n(x)-x^0+x^{n+1},$

da cui

$\left(x-1\right)S_n(x)=x^{n+1}-1$

cioè

$S_n(x)=\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x\phantom{h}} \qquad \forall \, x\neq 1.$

La seguente proposizione è immediata conseguenza del lemma 5.

Proposizione 3 (carattere serie geometrica). Sia $x \in \mathbb{R}$ . La serie geometrica di ragione $x$ vale

(17) $\begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}x^n =\begin{cases} \dfrac{1}{1-x}, \qquad & \text{se } x \in (-1,1) ; \\\\ +\infty, \qquad & \text{se } x \in[1,+\infty);\\\\ {\rm indeterminata}, \qquad & \text{se } x \in(-\infty,-1]. \end{cases} \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Per determinare il carattere della serie utilizziamo la definizione, cf. definizione 1. Possiamo cioè calcolare il limite la successione delle somme parziali $\displaystyle S_n = \sum_{k=0}^{n}x^k$ utilizzando il lemma 5.

Se $x\neq 1$ , abbiamo:

(18) $\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}x^{n+1}=\begin{cases} 0, &\text{ se $|x|<1$}; \\\\ +\infty, &\text{ se $x>1$}; \\ \\ \text{indeterminata}, &\text{ se $x\leq-1$}, \end{cases} \end{equation*}$

da cui, ricordando che $S_n=n+1$ per $x=1$ , otteniamo:

$\begin{aligned} \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}S_n =\begin{cases} \dfrac{1}{1-x}, &\text{ se $|x|<1$} ;\\\\ +\infty ,&\text{ se $x\geq1$}; \\ \\ \text{indeterminata}, &\text{ se $x\leq-1$}. \end{cases} \end{aligned}$

Osservazione 4. La serie geometrica si può facilmente calcolare a partire da un qualunque $n_0\in \mathbb{N}$ , sfruttando la proposizione 3, ovvero possiamo calcolare

$\displaystyle \sum_{n=n_0}^{+\infty}x^n.$

Se $\left \vert x \right \vert < 1$ si ha che per ogni $n_0 \in \mathbb{N}$

$\begin{aligned} \sum_{n=n_0}^{+\infty}x^{n}\,\,\,\,\overset{n-n_0=t}{=}\,\,\,\,\sum_{t=0}^{+\infty}x^{t+n_0}=x^{n_0}\sum_{t=0}^{+\infty}x^t=\dfrac{x^{n_0}}{1-x}. \end{aligned}$

Approfondimento. Un modo per visualizzare la serie geometrica consiste nel considerare la seguente figura:

$\quad$

Teoria sulle serie numeriche figura 3

$\quad$

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Figura 3: visualizzazione della serie geometrica.

$\quad$

Costruiamo i rettangoli (in celeste, cf. figura 3) di base $1,q,q^2,q^3,\dots$ e altezza $q,q^1,q^3,\dots$ con $q<1$ . Osserviamo che tutti i triangoli rettangoli (in arancione, cf. figura 3) sono simili tra di loro perché i cateti sono in rapporto $1:1-q$ , poiché si ha:

$\overline{AB}=1,\;\overline{AD}=q, \;\overline{BD}=1-q.$

Notiamo che la lunghezza di del segmento $AC$ è dato dalla serie geometrica di ragione $q$ :

$\overline{AC}=1+q+q^2+\dots\eqqcolon S.$

Poiché i triangoli $\overset{\bigtriangleup}{ABC}$ e $\overset{\bigtriangleup}{DBE}$ sono simili, otteniamo la relazione

$\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{DE}}{\overline{DB}},$

ovvero

$\dfrac{S}{1}=\dfrac{1}{1-q} \iff S=\dfrac{1}{1-q}.$

Serie telescopiche.

Definizione 5 (serie telescopica). Una serie $\displaystyle S\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ si dice telescopica (risp. non banale) se esiste una successione $\{ b_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ tale che

(19) $\begin{equation*} a_n = b_{n+1}-b_n \qquad (\mbox{risp. tale che } b_n \neq \sum_{k=0}^{n-1}a_k) \qquad \forall\, n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

$\quad$

Con il termine serie telescopica, solitamente si sottointende una serie telescopica non banale.

Data una serie telescopica, cf. (19), la successione delle somme parziali $\{ S_n \}$ ha un’espressione esplicita in termini della successione $\{ b_n \}$ .

Lemma 6 (somma telescopica). Sia $\{ b_n \}\subset \mathbb{R}$ una successione. Allora, vale che

(20) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{n}\left( b_{k+1}-b_k\right) = b_{n+1}-b_0. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Basta notare che tutti i termini della somma compaiono due volte con il segno opposto, tranne il primo e l’ultimo:

(21) $\begin{equation*} \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n}\left( b_{k+1}-b_k\right) = & \left(\cancel{b}_{1}-b_0\right)+\left( \cancel{b_2}-\cancel{b_1} \right)...+\left(\cancel{b}_{n}-\cancel{b}_{n-1}\right) + \left(b_{n+1}-\cancel{b}_n\right)= b_{n+1}-b_0. \end{aligned} \end{equation*}$

Proposizione 4 (carattere serie telescopica). Sia $\displaystyle S= \sum_{n=0}^{+\infty}(b_{n+1}-b_n)$ una serie telescopica, allora vale:

(22) $\begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}(b_{n+1}-b_n)= \begin{cases} \left( \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n \right)-b_0, \qquad & \mbox{se esiste } \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n; \\\\ {\rm indeterminata}, \qquad & \mbox{altrimenti}. \end{cases} \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Dal lemma 6, si ha

$S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{n}\left( b_{k+1}-b_k\right) =\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(b_n-b_0\right)=\left( \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n \right)-b_0.$

Osservazione 5. Si poteva equivalentemente definire una serie telescopica di termine $a_n$ come una serie tale per cui $a_n=c_n - c_{n+1}$ per qualche successione $\{ c_n \}$ . Ponendo $c_n=-b_n$ , si vede che le due scritture sono equivalenti. Segue immediatamente dalla proposizione 4 che, nel caso in cui $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}c_n$ esista, si ha

(23) $\begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}(c_{n}-c_{n+1})= c_0 - \left( \lim\limits_{n \rightarrow \infty}c_n \right). \end{equation*}$

L’utilità di una o dell’altra scrittura dipende dal contesto.

Osservazione 6. Segue immediatamente dal lemma 6. e dalla proposizione 4 che

(24) $\begin{equation*} \sum_{k=n_0}^{n}\left( b_{k+1}-b_k\right) =b_{n+1}- b_{n_0 }\quad \mbox{e}\quad S\coloneqq \sum_{n=n_0}^{+\infty}(b_{n+1}-b_n)= \left( \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n \right)-b_{n_0}, \end{equation*}$

nel caso in cui quest’ultimo limite esista.

Esempi.

Esempio 2. La serie

(25) $\begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}2^n \end{equation*}$

diverge positivamente.

Infatti, applicando la (17) con $x=2 >1$ , otteniamo che la serie diverge a $+\infty$ .

Esempio 3. Dimostriamo che la serie

(26) $\begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{e}\right)^n \end{equation*}$

è convergente, e calcoliamone la somma.

Applicando la (17), otteniamo

$S\coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{e}\right)^n=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{e}}=\dfrac{e}{e-1}.$

Esempio 4. La serie

(27) $\begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}\left(-2\right)^n \end{equation*}$

è indeterminata.

Infatti, applicando la (17) con $x=-2 < -1$ , otteniamo che la serie è indeterminata.

Esempio 5 (serie di Mengoli). Dimostriamo che la serie

(28) $\begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)} \end{equation*}$

è convergente, e calcoliamone la somma.

Questa serie è telescopica. Infatti, possiamo riscrivere il termine generale come

$\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}.$

Applicando (23), otteniamo

$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(n+1)}= \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right) = 1-\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(\dfrac{1}{n} \right)=1.$

Esempio 6. La serie

(29) $\begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}\log\left(\frac{n+1}{n}\right) \end{equation*}$

è divergente.

Infatti, notiamo che la serie data è telescopica in quanto possiamo riscrivere il termine generale come

$\log\left(\dfrac{n+1}{n}\right)=\log\left(n+1\right)-\log\left(n\right).$

Applicando (22), otteniamo

$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{+\infty}\log\left(\dfrac{n+1}{n}\right)&= \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\log\left(n+1\right)-\log\left(n\right)\right)=\\ &=\left( \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\log\left(n+1\right) \right)-\log\left(1\right)= +\infty. \end{aligned}$

Esercizio 1. Consideriamo il paradosso di Achille e la tartaruga spiegato nell’introduzione. Supponiamo che la distanza iniziale della tartaruga sia di $2$ metri, la velocità della tartaruga sia di $1$ metro al secondo e quella di Achille il doppio di quella della tartaruga. Dopo quanti metri Achille raggiunge la tartaruga? In quanto tempo?

$\quad$

Svolgimento. La velocità di Achille è di $2$ metri al secondo. Dunque, poiché al tempo “ $t_0=0\; \mbox{s}$ ” la distanza è “ $d_0=2\; \mbox{m}$ ”, al tempo “ $t_1=1\; \mbox{s}$ ” Achille raggiunge la posizione iniziale della tartaruga. Nel frattempo, la tartaruga ha percorso “ $d_1=1\; \mbox{m}$ ”. Per raggiungere la posizione in cui si trova la tartaruga al tempo $t_1$ , Achille impiega “ $t_2=0.5\; \mbox{s}$ ”, e in quel lasso di tempo la tartaruga percorre “ $d_2=0.5\; \mbox{m}$ ”. Ragionando per induzione, e utilizzando la proposizione 3, si trova che la distanza che Achille deve percorrere per raggiungere la tartaruga è

$d_0+d_1+d_2+ \dots= 2+ 1+ \frac{1}{2}+ \dots= 2+ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=2+2=4 \; \mbox{m}.$

Il tempo che impiega è di

$t_1+t_2+ \dots= 1+ \frac{1}{2}+ \dots= \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=2\; \mbox{s}.$

Criteri di convergenza per serie a termini non negativi

Introduzione.

In questa sezione raccogliamo i principali risultati che riguardano le serie a termini non negativi.

Criterio del confronto.

Teorema 1 (criterio del confronto). Siano $\{a_n\},\{b_n\}$ due successioni numeriche tali che definitivamente vale $0\leq a_n\leq b_n$ . Allora, si ha:

$\quad$

(30) $\begin{equation*} $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n < +\infty \implies \sum_{n=0}^{+\infty}a_n < +\infty$ \end{equation*}$

(31) $\begin{equation*} $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n = +\infty \implies \sum_{n=0}^{+\infty}b_n = +\infty $ \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Sia $n_0 \in \mathbb{N}$ tale che

(32) $\begin{equation*} 0 \leq a_k \leq b_k \qquad \forall\, k \geq n_0, \end{equation*}$

e definiamo

$A_n =\sum_{k=n_0}^{n}a_k \quad \mbox{e} \quad B_n =\sum_{k=n_0}^{n}b_k \qquad \forall\, n >n_0 .$

Per il corollario 1 abbiamo che le serie

$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n, \quad \sum_{n=0}^{+\infty}b_n$

convergono se e solo se i limiti delle successioni $A_n, \,B_n$ (che esistono per il lemma 1) sono finiti, rispettivamente. Dato $n>n_0$ , sommando ambo i membri di (32) per $k$ da $n_0$ a $n$ , otteniamo che $A_n \leq B_n \quad \forall\,n >n_0$ , e dunque

(33) $\begin{equation*} 0 \leq \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}A_n \leq \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}B_n. \end{equation*}$

Allora, se il limite di destra è finito, è finito anche il limite di sinistra, da cui otteniamo (30). Se, infine, il limite di sinistra è infinito, lo è anche il limite di destra, da cui otteniamo (31).

Esempio 7. Consideriamo la serie

$\sum_{n =1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}$

e dimostriamo che essa è convergente utilizzando il criterio del confronto.

Notiamo che la serie è a termini positivi, quindi possiamo applicare il criterio del confronto. Operando il cambiamento di indice $n \mapsto n+1$ nella sommatoria, si ha

$\sum_{n =1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}= \sum_{n =0}^{+\infty} \dfrac{1}{(n+1)^2}.$

Notiamo che, poiché $n < n+1$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ , si ha

$\dfrac{1}{(n+1)^2} < \dfrac{1}{n(n+1)} \qquad \forall\, n \geq 1,$

dunque, poiché la serie

$\sum_{n =1}^{+\infty} \dfrac{1}{n(n+1)}$

è convergente, cf. esempio 5, concludiamo che la serie data è convergente per il criterio del confronto.

Criterio del confronto asintotico.

Il criterio del confronto asintotico è uno degli strumenti più importanti per lo studio del carattere delle serie a termini non negativi. Come il criterio del confronto, è basato sul confrontare i termini della serie data con i termini di un’altra serie di cui si conosce il carattere.

Teorema 2 (criterio del confronto asintotico). Siano $\{a_n\},\{b_n\}$ due successioni a termini definitivamente positivi e tale che $b_n >0$ definitivamente. Supponiamo che

$\lim_{n\to +\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\ell\in[0,+\infty].$

Si ha che

$\quad$

Se $\ell=0\,$ e $\,\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n<+\infty$ , allora $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n<+\infty$ ;

se $\ell=+\infty\,$ e $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_n=+\infty$ , allora $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n=+\infty$ ;

se $\ell \in(0,+\infty)\,$ , allora $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_n<+\infty$ se e solo se $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n<+\infty$ .

$\quad$

Dimostrazione.

$\quad$

Per ipotesi sappiamo che
$\forall \,\varepsilon>0 \quad \exists N_\varepsilon>0:\; \forall\, n>N_\varepsilon,\quad \dfrac{a_n}{b_n}<\varepsilon.$

Posto $\varepsilon=1$ , otteniamo

$a_n<b_n\qquad \forall \,n>N_1,$

da cui, per il criterio del confronto, cf. teorema 1, si ha la tesi.

Per ipotesi sappiamo che
$\forall \, M>0 \quad \exists N_M>0:\;\forall\, n>N_M,\quad\dfrac{a_n}{b_n}>M.$

Posto $M=1$ , si ha che

$a_n>b_n \qquad \forall \, n>N_1,$

da cui, per il teorema del confronto, cf. teorema 1, si ha la tesi.

Per ipotesi sappiamo che
$\forall\, \varepsilon>0 \quad \exists N_\varepsilon>0:\; \forall \, n>N_\varepsilon,\quad \left \vert \dfrac{a_n}{b_n}-\ell\right \vert<\varepsilon$

cioè

$(\ell -\varepsilon)b_n<a_n<(\ell+\varepsilon)b_n\qquad \forall \, n>N_\varepsilon.$

Posto $\varepsilon=\dfrac{\ell}{2}$ , si ha

(34) $\begin{equation*} \begin{cases} a_n<\dfrac{3}{2}\ell \,b_n\\ \\ a_n>\dfrac{\ell}{2}\,b_n. \end{cases} \qquad \forall \,n>N_{\ell/2}. \end{equation*}$

Se $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}b_k<+\infty$ , per la prima disequazione di (34) e per il criterio del confronto, cf. teorema 1, si ha che $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}a_k<+\infty$ . Altrimenti, se $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}b_k=+\infty$ , per la seconda disequazione di (34) e per il teorema del confronto, cf. teorema 1, si ha che $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_k=+\infty$ .

Esempio 8. Consideriamo la serie

$\sum_{n =1}^{+\infty} \sin \left( \dfrac{1}{n^2} \right)$

e dimostriamo che essa è convergente utilizzando il criterio del confronto asintotico.

Notiamo che la serie è a termini positivi, quindi possiamo applicare il criterio del confronto asintotico. Ricordiamo che si ha

$\lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{\sin \left( \dfrac{1}{n^2} \right)}{\left( \dfrac{1}{n^2} \right)}=1,$

dunque, poiché la serie

$\sum_{n =0}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}$

è convergente, cf. esempio 7, concludiamo che la serie data è convergente per il criterio del confronto asintotico.

Criterio di condensazione di Cauchy.

Il prossimo risultato mette in relazione il carattere di una serie a termini positivi e non crescenti con il carattere di un’altra serie, ottenuta a partire da essa, detta la serie condensata associata alla serie di partenza.

Teorema 3 (criterio di condensazione di Cauchy). Sia $\{a_n\}_{n\geq 1}$ una successione a termini positivi non crescente, ovvero

$a_n\geq a_{n+1}>0 \qquad \forall \,n \geq 1.$

Allora, le serie

$\sum_{n=1}^{+\infty }a_n \qquad \mbox{e} \qquad \sum_{n=0}^{+\infty }2^na_{2^n}$

hanno lo stesso carattere.

$\quad$

Dimostrazione. Dall’ipotesi di non crescenza della successione $\{ a_n \}$ , otteniamo che $\forall \,n \geq 1$

(35) $\begin{equation*} \sum_{k=2^{n-1}+1}^{2^n} a_k \geq 2^{n-1} a_{2^n}, \end{equation*}$

in quanto ognuno dei $2^{n-1}$ termini della somma (35) è minorato da $a_{2^n}$ .

Fissato $N >0$ , abbiamo dunque

(36) $\begin{equation*} \begin{aligned} S_N= \sum_{n=1}^{N }a_n \geq \sum_{n=1}^{2^{\lfloor\log_2N\rfloor}}a_n = \, & a_1+ \sum_{n=1}^{\lfloor\log_2N\rfloor} \left( \sum_{k=2^{n-1}+1}^{2^n} a_k \right)\geq \\ \geq \, & \sum_{n=0}^{\left\lfloor \log_2 N \right\rfloor}2^{n-1}a_{2^n} = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\left\lfloor \log_2 N \right\rfloor}2^n a_{2^n}, \end{aligned} \end{equation*}$

dove nella prima disuguaglianza abbiamo trascurato i termini $a_n$ con $2^{\left\lfloor \log_2 N \right\rfloor}< n\leq N$ e nell’ultima disuguaglianza abbiamo applicato (35). Passando al limite nella (36) e ricordando, cf. Lemma 1, che il limite esiste, otteniamo che

(37) $\begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty}2^{n}a_{2^n}\leq 2\sum_{n=1}^{+\infty }a_n. \end{equation*}$

Analogamente alla (35), otteniamo che $\forall \, n \geq 0$

(38) $\begin{equation*} \sum_{k=2^{n}}^{2^{n+1}-1} a_k \leq 2^{n} a_{2^n}, \end{equation*}$

Fissato $N >0$ , abbiamo dunque

(39) $\begin{equation*} S_N= \sum_{n=1}^{N }a_n \leq \sum_{n=1}^{2^{\lfloor\log_2(N)\rfloor+1}-1}a_n = \, a_1+ \sum_{n=1}^{\lfloor\log_2(N)\rfloor} \left( \sum_{k=2^{n}}^{2^{n+1}-1} a_k \right)\leq \, \sum_{n=0}^{\left\lfloor \log_2 N \right\rfloor}2^{n}a_{2^n}, \end{equation*}$

dove nella prima disuguaglianza abbiamo aggiunto a destra i termini $a_n$ con $N <n \leq2^{\lfloor\log_2(N)\rfloor+1}-1$ e nell’ultima disuguaglianza abbiamo applicato 38.

Passando al limite nella (36) e ricordando, cf. lemma 1, che il limite esiste, otteniamo che

(40) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty }a_n\leq \sum_{n=0}^{+\infty}2^na_{2^n}. \end{equation*}$

Pertanto, unendo (37) e (40), concludiamo che

$\sum_{n=1}^{+\infty }a_n\leq \sum_{n=0}^{+\infty}2^na_{2^n}\leq2\sum_{n=1}^{+\infty }a_n,$

e dunque per confronto

$\sum_{n=1}^{+\infty }a_n \qquad \mbox{e} \qquad \sum_{n=0}^{+\infty}2^na_{2^n}$

hanno lo stesso carattere.

Osservazione 7. La serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty }2^na_{2^n}$ è detta la serie condensata di $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }a_n$ .

Serie armonica generalizzata.

Vediamo ora una nota applicazione del criterio di condensazione di Cauchy.

Lemma 7 (serie armonica generalizzata del primo tipo). Sia $\alpha \in \mathbb{R}$ . Allora,

$S_\alpha = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha} \quad \begin{cases} \text{converge}, \quad &\text{se}\,\,\alpha>1;\\ \text{diverge}, &\text{se}\,\,\alpha \leq 1. \end{cases}$

$\quad$

Dimostrazione. Notiamo che i termini della serie sono tutti positivi, per cui, cf. lemma 1, la serie $S_\alpha$ o converge o diverge a $+\infty$ .

Osserviamo che, se $\alpha \leq 0$ , il termine generale della serie non è infinitesimo: tende a $+\infty$ per $\alpha < 0$ , oppure è identicamente uguale a 1 se $\alpha = 0$ . Poiché la condizione necessaria alla convergenza, cf. proposizione 1, non è soddisfatta, concludiamo che la serie diverge a $+\infty$ se $\alpha \leq 0$ .

Nel caso in cui $\alpha > 0$ , il termine generale della serie è positivo e strettamente decrescente. Possiamo dunque applicare il criterio di condensazione di Cauchy, cf. teorema 3, e concludere che il carattere di $S_\alpha$ è lo stesso della serie

$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}2^n\cdot\frac{1}{(2^n)^\alpha} = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \left(2^{1-\alpha}\right)^n.$

Questa è una serie geometrica di ragione $q = 2^{1-\alpha}$ , cf. definizione 4, che converge se e solo se $|q| < 1$ , cf. proposizione 3, cioè se e solo se $\alpha > 1$ .

Mettendo insieme i risultati ottenuti, concludiamo che la serie $S_\alpha$ converge se $\alpha > 1$ e diverge se $\alpha \leq 1$ .

Lemma 8 (serie armonica generalizzata del secondo tipo). Siano $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ . Allora,

$S_{\alpha,\beta} = \sum\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta} \quad \begin{cases} {\text{converge}},&\text{se}\,\, \alpha >1\, \lor \, \left( \alpha =1\, \wedge \, \beta >1 \right);\\ +\infty ,&\text{se}\,\,\alpha <1\, \lor \, \left( \alpha =1\, \wedge \, \beta \leq 1 \right). \end{cases}$

$\quad$

Dimostrazione. La serie data generalizza la serie del lemma precedente, la quale si ottiene (a meno del primo termine) ponendo $\beta=0$ . Anche questa serie è a termini positivi e, come prima, notiamo che se $\alpha < 0$ , il termine generale della serie non tende a 0, per cui la serie diverge. Se $\alpha = 0$ , il termine generale tende a zero solo se $\beta > 0$ . Nei casi in cui il termine generale non è infinitesimo, $S_{\alpha,\beta}$ diverge a $+\infty$ per la proposizione 1.

Osserviamo che nei casi rimanenti, cioè $\alpha > 0$ (per ogni $\beta$ ), oppure $\alpha = 0$ e $\beta > 0$ , la successione è decrescente, poiché il termine generale è il prodotto di due successioni positive e decrescenti. Applicando ancora il criterio di condensazione, cf. teorema 3, si trova che la serie $S_{\alpha,\beta}$ ha lo stesso carattere della serie

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} 2^n\cdot\frac{1}{(2^n)^\alpha[\ln (2^n)]^\beta} = \frac{1}{(\ln 2)^\beta}\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\left(2^{1-\alpha}\right)^n}{n^\beta}.$

Per $0 < \alpha < 1$ , si ha $2^{1-\alpha} > 1$ . Si vede facilmente che in questo caso il termine generale della serie condensata tende a infinito, e dunque, per la proposizione 1, essa diverge. Se $\alpha = 1$ , la serie condensata è proporzionale alla serie armonica generalizzata, cf. lemma 7, con indice $\beta$ . Concludiamo che, in questo caso, la serie condensata converge se e solo se $\beta > 1$ . Se, infine, $\alpha > 1$ , il termine generale della serie condensata è maggiorato per ogni valore di $\beta > 0$ da $(2^{1-\alpha})^n$ . Quest’ultimo costituisce il termine generale di una serie geometrica di ragione $q = 2^{1-\alpha} < 1$ , e quindi convergente per la proposizione 3. In questo caso dunque, per il criterio del confronto, cf. teorema 1, anche la serie condensata converge.

Riassumendo, la serie $S_{\alpha,\beta}$ converge se:

$\quad$

$\alpha > 1$ , per ogni $\beta \in \mathbb{R}$ ;

$\alpha = 1$ , per $\beta > 1$ .

La serie $S_{\alpha,\beta}$ diverge a $+\infty$ se:

$\quad$

$\alpha = 1$ , per $\beta \leq 1$ ;

$\alpha < 1$ , per ogni $\beta \in \mathbb{R}$ .

Criterio del rapporto.

Teorema 4 (criterio del rapporto). Sia $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ una serie a termini definitivamente positivi tale che

(41) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\ell\in[0,+\infty]. \end{equation*}$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\ell\in [0,1)$ , la serie converge;

Se $\ell\in(1,+\infty]$ , la serie diverge;

Se $\ell=1$ , il criterio è inconcludente.

$\quad$

Dimostrazione. Trattiamo i tre casi separatamente.

$\quad$

Caso ${\ell\in[0,1)}$ . Per definizione di limite, abbiamo
$\forall \,\varepsilon >0 \quad \exists\, N_{\varepsilon}>0 : \; \forall \, n \geq N_{\varepsilon}\quad \left| \dfrac{a_{n+1 }}{a_n}-\ell\right| <\varepsilon.$

Poiché $a_n >0$ definitivamente, possiamo assumere che $\forall\, n \geq N_\varepsilon$

(42) $\begin{equation*} 0< \dfrac{a_{n+1}}{a_n}<\ell+\varepsilon. \end{equation*}$

Scegliamo $\varepsilon_0= \dfrac{1-\ell}{2}>0$ e poniamo

(43) $\begin{equation*} M\coloneqq \ell +\varepsilon_0=\ell +\dfrac{1-\ell}{2}=\dfrac{1+\ell}{2}<1. \end{equation*}$

Sostituendo (43) in (42), otteniamo che $\forall \,n\geq N_{\varepsilon_0}$

(44) $\begin{equation*} 0< a_{n+1}<Ma_n. \end{equation*}$

Utilizzando ripetutamente la disuguaglianza (44), otteniamo che $\forall\, k >0$

(45) $\begin{equation*} 0<a_{N_{\varepsilon_0}+k}<Ma_{N_{\varepsilon_0}+k-1}<\dots< M^{k} a_{N_{\varepsilon_0}}. \end{equation*}$

Dunque, si ha che

(46) $\begin{equation*} \sum_{k=N_{\varepsilon_0}+1}^{+\infty}a_{N_{\varepsilon_0}+k}\leq a_{N_{\varepsilon_0}}\sum_{k=N_{\varepsilon_0}+1}^{+\infty} M^{k}< +\infty, \end{equation*}$

dove nell’ultima disuguaglianza abbiamo utilizzato, cf. proposizione 3, che $M<1$ , cf. (43).

Concludiamo, per il corollario 1, che la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ converge.

Caso ${\ell\in(1,+\infty]}$ . Poiché $\ell>1$ , esiste $n_0 > 0$ t.c. $\forall \,n\geq n_0,\,\, \dfrac{a_{n+1}}{a_n}>1$ , ovvero la successione $\{ a_n \}$ è definitivamente strettamente crescente, quindi non è infinitesima. Siccome non è soddisfatta la condizione necessaria, cf. proposizione 1, la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ diverge positivamente, cf. lemma 1. Notiamo che, ragionando come in (44) e (45), si dimostra facilmente che $\left\{ a_n \right\}$ tende a infinito.

Caso ${\ell=1}$ . Mostriamo che esistono due successioni $\{a_n\}_{n\in \mathbb{N}}, \{a_n'\}_{n\in \mathbb{N}}$ tali che

(47) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \dfrac{a_{n+1 }}{a_n}= \lim_{n \to +\infty} \dfrac{a'_{n+1 }}{a'_n}=1, \end{equation*}$

aventi serie associata di carattere diverso. Ad esempio, possiamo scegliere

(48) $\begin{equation*} a_n=n \quad \mbox{e} \quad a_n'=\dfrac{1}{n^2}. \end{equation*}$

È facile convincersi che le successioni scelte soddisfano (47). Inoltre, poiché $a_n \to + \infty$ per $n \to + \infty$ , la serie associata a $\{ a_n \}$ diverge, cf. proposizione 1. Infine, per il Lemma 7, sappiamo che la serie associata a $\{ a'_n \}$ converge. Concludiamo che nel caso $\ell=1$ il criterio è inconcludente.

Dalla dimostrazione appena vista, si deduce il seguente risultato sulla teoria delle successioni.

Corollario 3 (criterio del rapporto per successioni). Sia $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$ una successione a termini definitivamente positivi tale che esiste

$\ell \coloneqq \lim_{n \to +\infty} \dfrac{a_{n+1 }}{a_n}.$

Allora, vale che

$\quad$

Se $\ell <1$ , la successione è definitivamente monotona decrescente e infinitesima;

Se $\ell>1$ , la successione è definitivamente monotona crescente e illimitata.

$\quad$

Osservazione 8. Ricordiamo al lettore che nello studio della convergenza di una serie si sconsiglia di applicare il criterio del rapporto senza prima aver controllato che la condizione necessaria, cf. proposizione 1, sia soddisfatta. Infatti, nel caso in cui

(49) $\begin{equation*} \displaystyle \lim_{n\to +\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1 \quad \wedge \quad a_{n+1} \geq a_n \; \, \mbox{definitivamente}, \end{equation*}$

o, equivalentemente, usando il solito abuso di notazione, $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1^+$ , il criterio è inconcludente ma possiamo comunque dedurre il carattere della serie. Infatti, lo stesso argomento utilizzato nel caso $\ell>1$ dimostra che la successione $\{ a_n \}$ non è infinitesima e quindi, cf. proposizione 1 e lemma 1, che la serie associata diverge positivamente.

Esempio 9. Consideriamo la serie

(50) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{n!}{n^n}, \end{equation*}$

e dimostriamo che essa è convergente utilizzando il criterio del rapporto.

Osserviamo che la serie (50) soddisfa le ipotesi del teorema 4. Ponendo $a_n\coloneqq \dfrac{n!}{n^n}$ , abbiamo

$\lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}= \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{(n+1)!\,n^n}{(n+1)^{n+1}\,n!}= \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{\cancel{(n+1)}\, \cancel{n!}\, n^n}{\cancel{(n+1)}(n+1)^{n}\cancel{n!}}=\lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{n}}=\frac 1 e<1,$

quindi la serie data converge per il criterio del rapporto.

Esiste una versione più generale del teorema 4, la cui dimostrazione viene lasciata per esercizio. Per la soluzione, si veda, ad esempio, [9, pag. 66].

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ una serie a termini positivi. Allora vale che:

$\quad$

Se $\displaystyle \limsup_{n \to +\infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1$ , la serie converge;

Se $\displaystyle\liminf_{n \to +\infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}>1$ , oppure $a_{n+1}>a_n$ definitivamente, la serie diverge;

Altrimenti, il criterio è inconcludente.

$\quad$

Esempio 10. Consideriamo la successione

(51) $\begin{equation*} a_n= 2^{-3n-(-1)^n}, \end{equation*}$

e dimostriamo che la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ converge.

Osserviamo che la serie data soddisfa le ipotesi del criterio del rapporto, cf. teorema 4, (risp. della sua generalizzazione, cf. Esercizio 10). In questo caso, però, la versione debole del criterio non è applicabile, poiché il limite

$\lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}$

non esiste. Infatti, si ha

(52) $\begin{equation*} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}= 2^{-3(n+1)-(-1)^{n+1}- \big( -3n-(-1)^n\big)}=2^{-3+2(-1)^n}= \begin{cases} 2^{-5}, \mbox{ se } n \mbox{ è dispari};\\ 2^{-1}, \mbox{ se } n \mbox{ è pari}. \end{cases} \end{equation*}$

Nonostante ciò, dalla (52) otteniamo che

(53) $\begin{equation*} \limsup_{n \to +\infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}= \frac 1 2<1, \end{equation*}$

dunque la serie converge per la versione generale del criterio del rapporto.

Criterio della radice.

Teorema 5 (criterio della radice). Sia $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ una serie a termini definitivamente positivi tale che

(54) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty }\sqrt[n]{a_{n}}=\ell\in[0,+\infty]. \end{equation*}$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\ell\in [0,1)$ , la serie converge;

Se $\ell\in(1,+\infty]$ , la serie diverge;

Se $\ell=1$ , il criterio è inconcludente.

$\quad$

Dimostrazione. Trattiamo i tre casi separatamente.

$\quad$

Caso ${\ell\in[0,1)}$ . Per definizione di limite, si ha
$\forall \, \varepsilon>0 \quad \exists N_\varepsilon>0 :\; \forall\, n \geq N_\varepsilon \quad \left \vert \sqrt[n]{a_n}-\ell\right \vert <\varepsilon,$

ovvero

(55) $\begin{equation*} \ell-\varepsilon<\sqrt[n]{a_n}<\ell+\varepsilon\qquad \forall \,n\geq N_\varepsilon. \end{equation*}$

Scegliamo $\varepsilon_0=\dfrac{1-\ell}{2}$ e poniamo $M \coloneqq \ell+\varepsilon_0$ . Dalla disuguaglianza di destra in (55), otteniamo che $\forall \, n\geq N_{\varepsilon_0}$

$\sqrt[n]{a_n}<M \iff a_n<M^{n}.$

Dunque, si ha che

$\sum_{n=N_{\varepsilon_0}}^{+\infty}a_n\leq \sum_{n=N_{\varepsilon_0}}^{+\infty}M^{n} < + \infty,$

dove nell’ultima disuguaglianza abbiamo utilizzato, cf. proposizione 3, che $M<1$ , cf. (43). Concludiamo, per il Corollario 1, che la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ converge.

Caso ${\ell\in(1,+\infty]}$ Si ha che

(56) $\begin{equation*} \exists C>1,\; \exists N >0 : \; \forall\, n \geq N \quad \sqrt[n]{a_n} >C. \end{equation*}$

Infatti, per $\ell = +\infty$ la (56) segue subito dalla definizione di limite, mentre per $\ell\in(1,+\infty)$ la (56) si ottiene scegliendo in (55) $\varepsilon_0=\dfrac{\ell-1}{2}$ , $C=\ell-\varepsilon_0$ e $N=N_{\varepsilon_0}$ . Dalla (56) otteniamo che

$a_n>C^{n}\qquad \forall\, n\geq N,$

e quindi

$\sum_{n=N}^{+\infty}a_n\geq \sum_{n=N}^{+\infty}C^n=+\infty,$

dove nell’ultima uguaglianza abbiamo utilizzato, cf. proposizione 3, che $C>1$ .

Concludiamo, per il Corollario 1, che la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ diverge.

Caso ${\ell=1}$ Mostriamo che esistono due successioni $\{a_n\}_{n\in \mathbb{N}}, \{a_n'\}_{n\in \mathbb{N}}$ tali che

(57) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n}= \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a'_n}=1, \end{equation*}$

aventi serie associata di carattere diverso. Ad esempio, scegliendo le successioni come in (48), è facile convincersi che esse soddisfano (57). Tuttavia, come osservato in precedenza, le serie associate a tali successioni hanno carattere diverso.

Osservazione 9. Si vuole far notare al lettore che per dimostrare il criterio della radice e del rapporto si è fatto uso dei risultati sulla serie geometrica, cf. proposizione 3. Pertanto, usare il criterio della radice o del rapporto per studiare la convergenza della serie geometrica risulta essere un argomento circolare, dunque formalmente non valido.

Osservazione 10. Valgono le stesse considerazioni fatte nell’osservazione 8 .

Esempio 11. Consideriamo la serie

(58) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{2^n}{n^{n+1}}, \end{equation*}$

e notiamo che essa soddisfa le ipotesi del teorema 5. Abbiamo che

$\lim_{n \rightarrow + \infty}\sqrt[n]{\dfrac{2^n}{n^{n+1}}}=\lim_{n \rightarrow + \infty}2n^{-\left( 1+ \dfrac{1}{n} \right)}=\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{2}{n}\left( 1+o(1) \right)=0,$

dunque la serie data converge per il criterio della radice.

Il teorema 5 è stato enunciato nella sua forma debole per consentirne la lettura ad un pubblico ampio. Nella versione più generale si sostituisce ovunque il limite

$\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n},$

che non sempre esiste, con

$\limsup_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n},$

il quale risulta essere sempre definito, lasciando i risultati invariati. Lasciamo la dimostrazione per esercizio. Per la soluzione, si veda, ad esempio, [9, pag. 65].

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ una serie a termini positivi. Allora, vale che:

$\quad$

Se $\displaystyle \limsup_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n} <1$ , la serie converge;

Se $\displaystyle \limsup_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n} >1$ , oppure $a_n\geq 1$ definitivamente, la serie diverge;

Altrimenti, il criterio è inconcludente.

Tale criterio è più generale, come mostra il prossimo esempio.

Esempio 12. Consideriamo la serie

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \sin^{2n}\left( \dfrac{\pi n}{2}+ \dfrac{\pi}{3} \right).$

Notiamo che essa soddisfa le ipotesi del criterio della radice, cf. teorema 5, (risp. della sua generalizzazione, cf. esercizio 12), poiché

(59) $\begin{equation*} \sin^2\left( \dfrac{\pi n}{2}+ \dfrac{\pi}{3} \right) = \begin{cases} \frac1 2 , \mbox{ se } n \mbox{ è dispari};\\ \frac 3 4 , \mbox{ se } n \mbox{ è pari}. \end{cases} \end{equation*}$

In questo caso, però, la versione debole del criterio non permette di concludere, poiché non esiste⁸

$\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2^n} \sin^{2n}\left( \dfrac{\pi n}{2}+ \dfrac{\pi}{3} \right)}.$

Tuttavia, dalla (59), si ha evidentemente

(60) $\begin{equation*} \limsup_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2^n} \sin^{2n}\left( \dfrac{\pi n}{2}+ \dfrac{\pi}{3} \right)}= \limsup_{n \to +\infty} \frac{1}{2} \sin^{2}\left( \dfrac{\pi n}{2}+ \dfrac{\pi}{3} \right)= \frac 38, \end{equation*}$

per cui la serie converge per la versione generale del criterio.

Si considerino le sottosuccessioni $\{ a_{2k} \}_{k \in \mathbb{N}}$ e $\{ a_{2k+1} \}_{k \in \mathbb{N}}$ . ↩

Confronto tra criterio della radice e criterio del rapporto

Proposizione 5. Sia $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}$ una successione a termini definitivamente positivi. Se esiste

$\ell= \lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}},$

allora esiste

$\ell'= \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n},$

e vale $\ell=\ell'$ .

$\quad$

Dimostrazione. Sia

$\ell = \lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}.$

Per definizione di limite, abbiamo che

(61) $\begin{equation*} \forall\, \varepsilon >0 \quad \exists N_\varepsilon >0 : \; \forall\, n \geq N_\varepsilon \quad a_n >0 \quad \wedge \quad \ell-\varepsilon < \frac{a_{n+1}}{a_{n}} < \ell + \varepsilon. \end{equation*}$

Moltiplicando per $a_{n}$ ambo i membri dell’ultima disuguaglianza in (61), otteniamo

(62) $\begin{equation*} (\ell-\varepsilon)a_{n} < {a_{n+1}} < (\ell + \varepsilon)a_{n} \qquad\forall \,n \geq N_\varepsilon. \end{equation*}$

Supponiamo per il momento che $\ell >0$ e che $\varepsilon$ è sufficientemente piccolo, in modo tale che $\ell-\varepsilon>0$ . Poniamo $N=N_\varepsilon$ e sfruttiamo ripetutamente la disuguaglianza (62) partendo da $n = N$ come segue

(63) $\begin{equation*} \begin{gathered} (\ell-\varepsilon) a_{N} < {a_{N +1}} < (\ell + \varepsilon)a_{N};\\ (\ell-\varepsilon)^{2} a_{N} <(\ell-\varepsilon) a_{N + 1} < {a_{N +2}} < (\ell + \epsilon) a_{N + 1} < (\ell+\varepsilon)^2a_{N}; \\ \cdots \\ \phantom{ \qquad\forall k \geq 0.} (\ell-\varepsilon)^{k} a_{N} <{a_{N+k}} <(\ell+\varepsilon)^k a_{N} \qquad\forall \,k \geq 1. \end{gathered} \end{equation*}$

In altri termini, si ottiene:

$(\ell-\epsilon)^{n-N} a_{N} <{a_{n}} <(\ell+\varepsilon)^{n-N}a_{N} \qquad\forall \, n > N,$

cioè

(64) $\begin{equation*} (\ell-\varepsilon)^{n} \frac{a_{N}}{(\ell-\varepsilon)^{N}} <{a_{n}} <(\ell+\varepsilon)^{n}\frac{a_{N}}{(\ell+\varepsilon)^{N}} \qquad\forall \, n> N. \end{equation*}$

Possiamo applicare la radice $n$ -esima a tutti i membri della diseguaglianza (64), ottenendo:

(65) $\begin{equation*} \left(\ell-\varepsilon\right)\left(\dfrac{a_N}{\ell-\varepsilon}\right)^{\frac{1}{n}}<\sqrt[n]{a_n}<\left(\ell+\varepsilon\right)\left(\dfrac{a_N}{\ell+\varepsilon}\right)^{\frac{1}{n}},\quad \forall \, n> N. \end{equation*}$

Osserviamo che, se $\ell=0$ , in (63), (64), (65) le disuguaglianza di destra continuano ad essere valide, mentre a sinistra dobbiamo sostituire ovunque $0$ , ottenendo infine:

(66) $\begin{equation*} 0 < \sqrt[n]{a_n}<\left(\ell+\varepsilon\right)\left(\dfrac{a_N}{\ell+\varepsilon}\right)^{\frac{1}{n}}\qquad \forall \,n> N. \end{equation*}$

Notiamo che

$\ell> \varepsilon \implies \lim_{n\to+\infty}\left(\ell-\varepsilon\right)\left(\dfrac{a_N}{\ell-\varepsilon}\right)^{\frac{1}{n}}=\left(\ell-\varepsilon\right)$

$\lim_{n\to+\infty}\left(\ell+\varepsilon\right)\left(\dfrac{a_N}{\ell+\varepsilon}\right)^{\frac{1}{n}}=\left(\ell+\varepsilon\right).$

Quindi, se $\ell > \varepsilon$

(67) $\begin{equation*} \forall \, \eta >0 \quad \exists M>N: \; \forall\,n \geq M \quad \left(\ell-\varepsilon\right)\left(\dfrac{a_N}{\ell-\varepsilon}\right)^{\frac{1}{n}} >\ell - \varepsilon-\eta \quad \wedge \quad \left(\ell+\varepsilon\right)\left(\dfrac{a_N}{\ell+\varepsilon}\right)^{\frac{1}{n}}<\ell+\varepsilon+\eta, \end{equation*}$

mentre, se $\ell=0$

(68) $\begin{equation*} \forall \, \eta >0 \quad \exists M>N: \; \forall\,n \geq M \quad \left(\ell+\varepsilon\right)\left(\dfrac{a_N}{\ell+\varepsilon}\right)^{\frac{1}{n}}<\ell+\varepsilon+\eta, \end{equation*}$

Dunque, sostituendo (67) in (65) (risp. (68) in (66) se $\ell=0$ ), otteniamo che $\forall\, n \geq M$

$\left\vert\sqrt[n]{a_{n}} \right\vert<\ell+\varepsilon+ \eta,$

ovvero, per arbitrarietà di $\varepsilon$ e $\eta$ ,

$\lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{a_n} = \ell.$

Segnaliamo che esiste una dimostrazione più “elementare” della Proposizione 5, che fa uso, però, di un risultato tutt’altro che banale, noto come Teorema di Stolz-Cesaro⁹, che di seguito richiamiamo. Per la dimostrazione di tale risultato, si veda, ad esempio, [7, pag. 85].

Il Teorema di Stolz-Cesaro, dovuto a Otto Stolz (1842–1905) e Ernesto Cesaro (1856–1906) è la versione discreta del Teorema di De l’Hôpital. ↩

Teorema 6 (Stolz-Cesaro). Siano $\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}, \{y_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ due successioni, tali che $\left\{ y_{n} \right\}$ sia strettamente monotona crescente e illimitata. Allora, se esiste

$\lim_{n\to +\infty}\frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}},$

esiste anche

$\lim_{n\to +\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}},$

e si ha

$\lim_{n\to +\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}= \lim_{n\to +\infty}\frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}.$

$\quad$

Dimostrazione alternativa alla proposizione 5. Sia

$\ell = \lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}.$

Notiamo che, definitivamente

(69) $\begin{equation*} \begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}&=\exp\left( \ln\left( \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right) \right)=\exp\left( \ln{a_{n+1}} -\ln{a_{n}} \right) \end{aligned} \end{equation*}$

Passando al limite per $n \to + \infty$ in (69), per la continuità dell’esponenziale, otteniamo che esiste

$\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{\ln{a_{n+1}}-\ln{a_{n}}}{(n+1)-n}= \ln(\ell),$

dove poniamo, per convenzione, $\ln(0)\coloneqq -\infty$ . Allora, per il teorema di Stolz-Cesaro, cf. teorema 6, si ha

$\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{\ln{a_{n}}}{n}= \ln(\ell),$

cioè

$\ell= \lim_{n \rightarrow + \infty}\exp\left( \dfrac{\ln{a_{n}}}{n} \right)= \lim_{n \rightarrow + \infty}\sqrt[n]{a_n}.$

Osservazione 11. Il risultato appena dimostrato non può essere invertito. Esistono dei casi in cui il criterio della radice ci permette di arrivare a delle conclusioni sul carattere della serie, mentre il criterio del rapporto no. Si consideri la successione

(70) $\begin{equation*} a_n=2^{-n-(-1)^n}. \end{equation*}$

Notiamo che

(71) $\begin{equation*} \lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{a_{n}}=\frac{1}{2}, \end{equation*}$

mentre

(72) $\begin{equation*} \lim_{k\to +\infty} \frac{a_{2k+1}}{a_{2k}}=2, \qquad \lim_{k\to +\infty} \frac{a_{2k+2}}{a_{2k+1}}=\frac{1}{8}, \end{equation*}$

quindi il limite del rapporto, $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{a_{n+1}}{n}$ , non esiste. Osserviamo che, in questo caso, neanche la versione generale del criterio del rapporto, cf. esercizio 10, ci permette di concludere che la serie converge, in quanto il limite superiore del rapporto è pari a $2$ .

Dal teorema 5 e dall’osservazione precedente, possiamo evincere il seguente risultato.

Corollario 4. Il criterio della radice è più forte del criterio del rapporto.

$\quad$

Per finire questa sezione, osserviamo che il risultato appena visto non implica che il criterio del radice va preferito, in generale, al criterio del rapporto. Infatti, a volte è più comodo utilizzare il criterio del rapporto piuttosto che il criterio della radice, e la scelta va fatta in base all’esperienza che abbiamo accumulato nel risolvere gli esercizi. Ad esempio, nello studio della serie nell’Esempio 9, è più semplice utilizzare il criterio del rapporto che quello della radice, mentre nell’Esempio 11, il criterio della radice risulta più rapido.

Per terminare il confronto tra i due criteri, proponiamo un esercizio che mette in relazione le rispettive versioni generali, cf. esercizio 2, 3. Per la dimostrazione, si veda, ad esempio [9, pag. 68].

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $\{ a_n \}$ una successione a termini positivi. Dimostrare che

$\liminf_{n\to + \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \liminf_{n\to + \infty} \sqrt[n]{a_{n}} \leq \limsup_{n\to + \infty} \sqrt[n]{a_{n}} \leq \limsup_{n\to + \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}.$

Criterio dell'integrale.

Teorema 7 (criterio dell’integrale). Sia $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}$ una successione a termini positivi e decrescente e sia $f:[1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione positiva e decrescente tale che $f(n) = a_n$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ . Allora, l’integrale improprio $\displaystyle \int\limits_{1}^{+\infty}f(x)\,{\rm d}x$ ha lo stesso carattere della serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ .

$\quad$

Dimostrazione. Sia $S_N \coloneqq \displaystyle\sum_{n=1}^{N}a_n, \; N \in \mathbb{N},$ la successione delle somme parziali della serie associata a $\{ a_n \}$ . Per ipotesi, $f$ è decrescente, quindi

(73) $\begin{equation*} \forall \,n \in \mathbb{N}, \; \forall \, x \in [n,n+1] \qquad a_{n+1} = f(n+1) \leq f(x) \leq f(n) =a_n. \end{equation*}$

Integrando la (73), otteniamo

(74) $\begin{equation*} \int\limits_{n}^{n+1}a_{n+1}\,{\rm d}x\, \leq \int\limits_n^{n+1}f(x)\,{\rm d}x\leq \int\limits_{n}^{n+1}a_n\,{\rm d}x, \end{equation*}$

ovvero,

(75) $\begin{equation*} a_{n+1} \leq \int\limits_n^{n+1}f(x)\,{\rm d}x \leq a_{n}. \end{equation*}$

Sommando i termini (75) per $n$ da $1$ a $N$ , otteniamo:

(76) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^N a_{n+1} \leq \sum_{n=1}^{N}\int\limits_{n}^{n+1}f(x)\,{\rm d}x \leq\sum_{n=1}^N a_{n}. \end{equation*}$

Il primo membro di (76) può essere riscritto come

$\sum_{n=1}^N a_{n+1}= \sum_{n=2}^{N+1} a_n = S_{N+1} - a_1.$

Il terzo membro di (76) coincide con $S_N$ , mentre il secondo, per l’additività dell’integrale, diventa

$\sum_{n=1}^{N}\int_{n}^{n+1}f(x)\,{\rm d}x=\int_{1}^{N+1}f(x)\,{\rm d}x,$

da cui, sostituendo in (76),

(77) $\begin{equation*} S_{N+1} - a_1 \leq \int\limits_{1}^{N+1}f(x)\,{\rm d}x\leq S_N \qquad \forall N \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Passando al limite per $N\to +\infty$ in (77), e ricordando che il limite esiste per monotonia delle successioni, otteniamo

(78) $\begin{equation*} S - a_1 \leq \int\limits_{1}^{+\infty}f(x)\,{\rm d}x\leq S. \end{equation*}$

Abbiamo riportato una rappresentazione grafica di tale disuguaglianza nella figura 4. Concludiamo che l’integrale in (78) converge se e solo se la serie $S=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ converge.

$\quad$

Teoria sulle serie numeriche figura 4

$\quad$

Figura 4: rappresentazione grafica del criterio dell’integrale, cf. teorema 7. L’integrale definito di $f$ sull’intervallo $[ 1,6]$ , ovvero l’area della porzione di piano (in celeste) sottesa al grafico, è stimato dal basso da $S_6-a_1$ (in verde chiaro) e dall’alto da $S_5$ (tratteggiata sopra la curva).

$\quad$

Osservazione 12. In accordo con il corollario 1, le ipotesi del teorema 7 possono essere indebolite, ovvero se esiste un numero naturale $n_0$ e una funzione $f:[ n_0, +\infty) \to \mathbb{R}$ decrescente e positiva tale che $f(n)=a_n \; \forall n \in \mathbb{N}$ , allora la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ ha lo stesso carattere dell’integrale improprio $\displaystyle \int_{n_0}^{+\infty}f(x)\,{\rm d}x.$

Esempio 13. Dimostriamo che la serie

(79) $\begin{equation*} \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{1}{n\ln n\ln^2(\ln n)} \end{equation*}$

è convergente.

Osserviamo che la successione $a_n= n \ln n\ln^2(\ln n)$ è crescente per $n\geq 3$ , in quanto essa si ottiene come prodotto di successioni positive e crescenti. Dunque, il termine generale della serie data soddisfa le ipotesi del teorema 7, cf. osservazione 12. Osserviamo inoltre che la funzione

(80) $\begin{equation*} f: [3, +\infty) \to \mathbb{R}, \; f(x)= \dfrac{1}{x\ln x\ln^2(\ln x)}, \end{equation*}$

soddisfa le ipotesi del teorema 7, cf. osservazione 12, poiché le funzioni $f_1,f_2,f_3: [3,+\infty)\to (0,+\infty)$

$f_1(x)=x,\qquad f_2(x)=\ln x,\qquad f_3(x)=\ln^2 x$

sono crescenti e positive, il loro prodotto $f_1f_2f_3$ è crescente e positivo. Dunque, la funzione $f$ , poiché coincide con il reciproco di tale prodotto, è decrescente. Dunque, la serie data converge se e solo se converge

$\int_3^{+\infty} \dfrac{1}{x\ln x\ln^2(\ln x)}\,{\rm d}x.$

Operando il cambio di variabile $y=\ln(\ln x)$ , e osservando che ${\rm d}y= \dfrac{{\rm d}x}{x\ln x}$ , abbiamo che

$\int_3^{+\infty} \dfrac{1}{x\ln x\ln^2(\ln x)}\,{\rm d}x=\int_{\ln(\ln 3)}^{+\infty} \dfrac{{\rm d}y}{y^2}.$

Quest’ultimo integrale è convergente, cosa che si può verificare direttamente integrando la funzione, oppure riapplicando il teorema 7 e utilizzando il lemma 7.

Criterio di Raabe.

Teorema 8 (criterio di Raabe). Sia $\displaystyle \sum_{n =1}^{+\infty} a_n$ una serie a termini definitivamente positivi, e supponiamo che esista

$\ell = \lim_{n \to +\infty} n \bigg( \frac{a_n}{a_{n+1}} -1 \bigg).$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\displaystyle \ell\in(1,+\infty]$ , la serie converge;

Se $\displaystyle\ell \in [-\infty,1)$ , la serie diverge;

Se $\displaystyle \ell=1$ , il criterio è inconcludente.

$\quad$

Dimostrazione. Trattiamo i diversi casi separatamente.

$\quad$

Caso ${\ell\in(1,+\infty)}$ . Per definizione di limite si ha che per ogni $\varepsilon >0$ esiste $N_\varepsilon>0$ tale che

(81) $\begin{equation*} \ell - \varepsilon< n \bigg( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \bigg) < \ell + \varepsilon, \qquad \forall \, n > N_\varepsilon. \end{equation*}$

In particolare,

(82) $\begin{equation*} n \bigg( \frac{a_n}{a_{n+1}} -1 \bigg) > \ell - \varepsilon, \qquad \forall \,n > N_\varepsilon. \end{equation*}$

Scegliamo $\varepsilon_0\coloneqq\ell-1>0$ e supponiamo, senza perdita di generalità, che $\forall\,n> N_{\varepsilon_0}\quad a_n>0$ . Da (82), otteniamo

$n \big( {a_n} - {a_{n+1}} \big) >a_{n+1}, \qquad \forall n > N_{\varepsilon_0},$

o, equivalentemente,

$n a_n > (n+1)a_{n+1},\qquad \forall n > N_{\varepsilon_0},$

da cui deduciamo che la successione $\{n a_n\}$ è definitivamente positiva e decrescente, e quindi ammette limite finito per il teorema sulle successioni monotone, cf. [4, pag. 71].

Ora, nella (82) scegliamo $\varepsilon_1$ tale che $0<\varepsilon_1<\ell-1$ , e poniamo $k \coloneqq \ell - \varepsilon_1 -1>0$ e $N\coloneqq N_{\varepsilon_1}$ , ottenendo che $\forall\,n >N$

(83) $\begin{equation*} n \big( {a_n} - {a_{n+1}} \big) > (k+1)a_{n+1}\quad \iff \quad k\,a_{n+1}<na_n-na_{n+1}-a_{n+1}, \end{equation*}$

ovvero,

(84) $\begin{equation*} a_{n +1} < \frac{1}{k} \big( n a_n - (n+1)a_{n+1} \big), \qquad \forall \,n > N. \end{equation*}$

Pertanto

(85) $\begin{equation*} \sum_{n=N+1}^{+\infty}a_{n+1} \leq \frac{1}{k}\sum_{n=N+1}^{+\infty} \big( n a_n - (n+1)a_{n+1} \big). \end{equation*}$

La serie al secondo membro di (85) è una serie telescopica, cf. definizione 5. Tale serie converge, cf. proposizione 4, perché la successione $\{ n a_n \}$ ha limite finito. Quindi la serie al primo membro di (85) converge per confronto. Infine, per il corollario 1, possiamo concludere che $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ risulta convergente.

Caso ${\ell =+\infty}$ . Questo caso si deduce da quanto appena visto. Infatti, per definizione di limite esistono $k>0, \, N \in \mathbb{N}$ tale che la (83), e dunque la (84), è soddisfatta.

Caso ${\ell \in(-\infty,1)}$ . Da (81), per ogni $\varepsilon>0$ , esiste un $N_\varepsilon>0$ tale che
$n\left( \dfrac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)<\ell + \varepsilon \qquad \forall n>N_\varepsilon.$

Scegliendo $\varepsilon_0\coloneqq 1-\ell>0$ , e ponendo $N\coloneqq N_{\varepsilon_0}$ , si ha che

(86) $\begin{equation*} \forall \, n >N\qquad n\left( \dfrac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)<1 \quad \iff \quad n a_n < (n+1) a_{n+1}, \end{equation*}$

ovvero la successione $\{na_n\}$ è definitivamente monotona crescente. Pertanto, si ha che:

(87) $\begin{equation*} \forall\,n >N+1 \qquad (N+1) a_{N+1} < n a_n \quad \iff \quad a_n>\dfrac{(N+1) a_{N+1}}{n}, \end{equation*}$

da cui

$\sum_{n=N+2}^{+\infty}a_n\geq (N+1) a_{N+1}\sum_{n=N+2}^{+\infty}\dfrac{1}{n}=+\infty,$

dove nell’ultima uguaglianza si è utilizzato il risultato sulla serie armonica, cf. lemma 7.

Concludiamo, cf. corollario 1, che la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ è divergente.

Caso ${\ell =-\infty}$ . Questo caso si deduce da quanto appena visto. Infatti, per definizione di limite esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che la (86) è soddisfatta.

Caso ${\ell=1}$ . Mostriamo che esistono due successioni $\{a_n\}$ e $\{a^\prime_n\}$ tale che
$\lim_{n \to \infty} n \bigg( \frac{a_n}{a_{n+1}} -1 \bigg)=\lim_{n \to \infty} n \bigg( \frac{a^\prime_n}{a^\prime_{n+1}} -1 \bigg)=1,$

aventi serie associata di carattere diverso.

Ad esempio, prendiamo $a_n=\dfrac{1}{n}$ e $a^\prime_n=\dfrac{1}{n\ln^2 n}$ . Infatti,

$\lim_{n\to+\infty}n\left(\dfrac{n+1}{n}-1\right)=\lim_{n\to+\infty}n\left(\dfrac{n+1-n}{n}\right)=1$

e

(88) $\begin{equation*} \begin{aligned} &\lim_{n\to+\infty}n\left(\dfrac{\left(n+1\right)\ln^2\left(n+1\right)}{n\ln^2 n}-1\right)=\lim_{n\to+\infty}n\left(\dfrac{\left(n+1\right)\ln^2\left(n+1\right)-n\ln^2 n}{n\ln^2 n}\right)=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{n \ln^2\left(n+1\right)+\ln^2\left(n+1\right)-n \ln^2 n}{\ln^2 n}\right)=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{n\left(\ln n +\ln \left(1+\dfrac{1}{n}\right)\right)^2+\left(\ln n +\ln \left(1+\dfrac{1}{n}\right)\right)^2-n\ln ^2 n}{\ln^2 n}\right)=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{n\left(\ln n +\dfrac{1}{n}+ o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)^2+\left(\ln n +\dfrac{1}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)^2-n\ln^2 n}{\ln^2 n}\right)=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{n\left(\ln^2 n+\dfrac{2\ln n}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)+\ln^2 n+o\left(1\right)-n\ln^2 n}{\ln^2 n }\right)=\\ &=\lim_{n\to+\infty} \left( \dfrac{\ln^2(n)+ 2\ln n + o(1)}{\ln^2(n)} \right)=\lim_{n\to+\infty}\left(1+o\left(1\right)\right)=1. \end{aligned} \end{equation*}$

Osserviamo che la serie associata a $\{ a_n \}$ è la serie armonica, cf. lemma 7, quindi diverge:

$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n}=+\infty,$

mentre la associata a $\{ a'_n \}$ è una serie armonica generalizzata, cf. lemma 8, che converge:

$\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{1}{n\ln^2 n}<+\infty.$

Pertanto, nel caso in cui $\ell=1$ , il criterio è inconcludente.

Osservazione 13. Nella dimostrazione precedente, nel caso $\ell=1$ , abbiamo dimostrato che

(89) $\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}n\left(\dfrac{\left(n+1\right)\ln^2\left(n+1\right)}{n\ln^2 n}-1 \right)=1. \end{equation*}$

Vogliamo far notare al lettore che esiste una soluzione più breve di (89). Poiché la derivata della funzione $f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}, \; f(x)=x\ln^2(x)$ è

$\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left(x\ln^2(x)\right)=2\ln(x)+\ln^2(x), \qquad x>0,$

abbiamo che, per il teorema di Lagrange, per ogni $n \in \mathbb{N}$ esiste $\eta_n\in(0,1)$ tale che

$(n+1)\ln^2(n+1)-n\ln^2(n) = 2\ln(n+\eta_n)+\ln^2(n+\eta_n).$

Dividendo ambo i membri per $\ln^2(n)$ , otteniamo immediatamente (89).

Osservazione 14. Il criterio di Raabe è una generalizzazione del criterio del rapporto, cf. teorema 4. Infatti, si vede facilmente che i primi due casi del teorema 4 corrispondono ai primi due casi del teorema 8. Inoltre, se il criterio di Raabe è inconcludente, ovvero se

$\lim_{n\to+\infty}n\left(\dfrac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=1,$

abbiamo che $\dfrac{a_{n}}{a_{n+1}}-1$ tende a $0$ per $n\to+\infty$ , cioè $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ tende a 1, e quindi anche il criterio del rapporto è inconcludente. Il viceversa non è vero, come mostra il seguente esempio.

Esempio 14. Consideriamo la successione

$a_n \coloneqq \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}.$

Essa soddisfa le ipotesi del teorema 8 e inoltre

$\dfrac{a_{n}}{a_{n+1}}= \dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{n(n+1)(n+2)}=1+ \dfrac{3}{n}\left(1 + o \left( 1 \right) \right), \qquad n \to +\infty.$

Dunque, la serie converge per il criterio di Raabe. Osserviamo che, in questo caso, il criterio del rapporto è inconcludente.

Da quanto appena visto, possiamo evincere il seguente risultato.

Corollario 5. Il criterio di Raabe è più forte del criterio del rapporto.

$\quad$

Esiste una versione più generale del criterio di Raabe, che non presuppone l’esistenza del limite.

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $\displaystyle \sum_{n =1}^{+\infty} a_n$ una serie a termini positivi e sia

$b_n = n \bigg( \frac{a_n}{a_{n+1}} -1 \bigg) \qquad \forall\, n \in \mathbb{N}.$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\displaystyle\liminf_{n\to + \infty}b_n>1$ , la serie converge;

Se $\displaystyle\limsup_{n \to + \infty}b_n<1$ , la serie diverge;

Altrimenti, il criterio è inconcludente.

Criterio del logaritmo.

Teorema 9. (criterio del logaritmo). Sia $\displaystyle \sum_{n =1}^{+\infty} a_n$ una serie a termini definitivamente positivi e supponiamo che esista

$\ell = \lim_{n \to +\infty}\dfrac{\ln a_n}{\ln n }.$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\ell \in [-\infty,-1)$ , la serie converge;

Se $\ell \in (-1,+\infty]$ , la serie diverge;

Se $\ell=-1$ , il criterio è inconcludente.

$\quad$

Dimostrazione.

Caso ${\ell \in\mathbb{R}}$ . Per definizione di limite, si ha:

$\forall \,\varepsilon>0 \quad \exists N_\varepsilon>0: \; \forall\, n>N_\varepsilon \quad \left \vert \dfrac{\ln a_n}{\ln n }-\ell \right \vert <\varepsilon,$

ovvero, $\forall \, n > N_\varepsilon$

(90) $\begin{equation*} (\ln n)( \ell - \varepsilon) < \ln a_n < (\ln n)(\ell+ \varepsilon) \quad \iff \quad \begin{cases} a_n>e^{\left(\ell-\varepsilon \right)\ln n }=n^{\ell-\varepsilon}=\dfrac{1}{n^{\varepsilon-\ell}}\\ a_n<e^{\left({\ell+\varepsilon}\right)\ln n }=n^{\ell +\varepsilon}=\dfrac{1}{n^{-\varepsilon-\ell}}. \end{cases} \end{equation*}$

Notiamo che $\ell >-1$ , possiamo scegliere $\varepsilon>0$ tale che $\varepsilon - \ell <1$ . Dalla prima disequazione del sistema in (90), vediamo che il termine generale della serie di partenza è definitivamente minorato dal termine generale di una serie armonica generalizzata, cf. lemma 7, la quale risulta essere divergente per $\varepsilon-\ell\leq1$ . Dunque, per $\ell> -1$ , si può concludere che la serie $\displaystyle \sum_{n=N_\varepsilon+1}^{+\infty}a_n$ diverge per il criterio del confronto, cf. teorema 1, e quindi anche la serie di partenza diverge, cf. corollario 1.

Se, invece, $\ell <-1$ , possiamo scegliere $\varepsilon>0$ tale che $-\varepsilon - \ell >1$ . Dalla seconda disequazione del sistema in (90), vediamo che il termine generale della serie di partenza è definitivamente maggiorato dal termine generale di una serie armonica generalizzata, cf. lemma 7, la quale risulta essere convergente per $-\varepsilon-\ell>1$ . Analogamente a prima, per $\ell<-1$ , si può concludere che la serie $\displaystyle \sum_{n=N_\varepsilon+1}^{+\infty}a_n$ converge per il criterio del confronto, cf. teorema 1, e quindi anche la serie di partenza diverge, cf. corollario 1.

Caso ${\ell=+\infty}$ . Per definizione di limite, si ha:
$\exists N>0:\; \forall \,n>N \quad \dfrac{\ln a_n}{\ln n } >1 \quad \iff \quad a_n>n,$

quindi $a_n$ non è infinitesima e dunque, cf. proposizione 1, la serie associata diverge.

Caso ${\ell=-\infty}$ . Per definizione di limite, si ha:
$\exists N>0:\; \forall \,n>N \quad \dfrac{\ln a_n}{\ln n } <-2\quad \iff \quad a_n< \dfrac{1}{n^2}.$

Il termine generale $a_n$ della serie di partenza, quindi, è definitivamente maggiorato dal termine di una serie armonica generalizzata convergente, cf. lemma 7. Concludiamo, per il il criterio del confronto, cf. teorema 1, e per il corollario 1, che la serie di partenza è convergente.

Caso ${\ell=-1}$ . Mostriamo che esistono due successioni $\{a_n\}$ e $\{a^\prime_n\}$ tale che

(91) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty}\dfrac{\ln a_n}{\ln n }= \lim_{n \to +\infty}\dfrac{\ln a^\prime_n}{\ln n }=-1, \end{equation*}$

aventi serie associata di carattere diverso. Ad esempio, scegliendo $a_n=\dfrac{1}{n}$ e $a^\prime_n=\dfrac{1}{n\ln^2 n }$ , si vede facilmente che esse soddisfano la (91). Tuttavia, sappiamo, cf. lemma 7, che

$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n}=+\infty,$

e anche, cf. lemma 8, che

$\sum_{n=2 }^{+\infty}\dfrac{1}{n\ln^2 n}<+\infty,$

quindi, in questo caso, il criterio è inconcludente.

Esempio 15. Dimostriamo che la serie

(92) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty} \left( 1-\dfrac{1}{n} \right)^{n^2} \end{equation*}$

converge.

Notiamo che la serie data soddisfa le ipotesi del teorema 9. Abbiamo che

$\lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{\ln(a_n)}{\ln n}= \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{n^2\ln\left( 1-\dfrac{1}{n} \right)}{\ln n}= \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{-n}{\ln n}\left( 1+o(1) \right)=-\infty,$

dunque la serie converge per il criterio del logaritmo.

Criteri di convergenza per serie a termini di segno variabile

Criterio della convergenza assoluta.

Definizione 6 (convergenza semplice e assoluta). Sia $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ una successione. Diremo che la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ è assolutamente convergente, oppure converge assolutamente, se

$\sum_{n=0}^{+\infty}\left|a_n\right| < +\infty.$

$\quad$

Terminologia. A volte, si usa dire che una serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ è semplicemente convergente se la serie è convergente nel senso della definizione 1, per rimarcare la differenza con la convergenza assoluta.

Proposizione 6 (criterio della convergenza assoluta). Sia $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ una successione. Se la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ converge assolutamente, allora converge semplicemente.

$\quad$

Dimostrazione. Dimostriamo l’asserto utilizzando il criterio di Cauchy, cf. proposizione 2. Se la serie è assolutamente convergente, si ha che

(93) $\begin{equation*} \forall\, \varepsilon > 0\quad \exists N_\varepsilon \geq 0:\quad \forall \, m > N_\varepsilon,\,\, \forall p > 0 \quad \sum_{k=m+1}^{m+p} \left\vert a_k \right\vert < \varepsilon, \end{equation*}$

in quanto i termini in (93) sono tutti non negativi.

Applicando la disuguaglianza triangolare, otteniamo che

$\forall\, \varepsilon > 0\quad \exists N_\varepsilon \geq 0:\quad \forall \, m > N_\varepsilon,\,\, \forall p > 0 \quad \left\vert\sum_{k=m+1}^{m+p} a_k \right\vert \leq \sum_{k=m+1}^{m+p} \left\vert a_k \right\vert <\varepsilon,$

per cui la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ soddisfa il criterio di Cauchy, ed è quindi convergente.

Osservazione 15. Il teorema appena dimostrato rimane valido, e la dimostrazione è formalmente identica, nel caso in cui $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C}$ , cf. Osservazione 2.

Esempio 16. Studiamo il carattere della seguente serie, applicando il criterio della convergenza assoluta:

(94) $\begin{equation*} S = \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^2\cos\left(n\right)}{n^4+7n}. \end{equation*}$

Osserviamo che $\vert \cos \left( n\right)\vert \leq 1$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ , pertanto abbiamo

$\left\vert\dfrac{n^2\cos\left(n\right)}{n^4+7n} \right\vert \leq \dfrac{n^2}{n^4+7n}.$

Inoltre, notiamo che per $n\to+\infty$ , si ha

$\dfrac{n^2}{n^4+7n}=\dfrac{1}{n^2}\left(1+o\left(1\right)\right),$

da cui è possibile dedurre, cf. lemma 7 e Teorema 2, che la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^2}{n^4+7n}$ è convergente.

Concludiamo che la serie data converge assolutamente per il criterio del confronto, cf. teorema 1, e quindi anche semplicemente per la proposizione 6.

Esempio 17. Studiamo il carattere della seguente serie applicando il criterio della convergenza assoluta:

(95) $\begin{equation*} S = \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\dfrac{1}{n} . \end{equation*}$

Abbiamo

$\sum_{n=1}^{+\infty}\left \vert (-1)^n \dfrac{1}{n}\right \vert =\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n}=+\infty,$

dove nell’ultima uguaglianza abbiamo utilizzato il risultato sulla serie armonica, cf. lemma 7. Dunque, siccome la serie data non converge assolutamente, non possiamo concludere nulla sul carattere della serie.

Osservazione 16. Il teorema 6 non può essere invertito, cioè la convergenza semplice non implica la convergenza assoluta. Infatti, vedremo nella prossima sezione che la serie studiata nell’Esempio 17 è convergente, cf. esempio 18.

Criterio di Leibniz.

Teorema 10 (criterio di Leibniz). Sia $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$ una successione che soddisfa le seguenti proprietà:

$\quad$

$\{a_n\}$ è definitivamente monotona;

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n = 0$ .

Allora, la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n a_n$ è convergente.

$\quad$

Dimostrazione. Supponiamo per il momento che $\{ a_n \}$ sia definitivamente non crescente e osserviamo che

(96) $\begin{equation*} a_n\; \mbox{ definitivamente non crescente e infinitesima } \;\implies \; a_n \mbox{ definitivamente non negativa.} \end{equation*}$

Infatti, siccome esiste $n_0$ tale che per ogni $n \geq n_0$ si ha $a_{n+1}\leq a_n$ , se esistesse $n_1>n_0$ tale che $a_{n_1}<0$ , dalla non crescenza avremmo $\displaystyle \lim_{n \to + \infty}a_n\leq a_{n_1}<0$ , che è assurdo, poiché per ipotesi $\{ a_n \}$ è infinitesima.

Sia $\displaystyle S_n \coloneqq \sum_{k = 0}^{n}(-1)^k a_k, \; n \in \mathbb{N}$ la successione delle somme parziali. Per $n$ sufficientemente grande, si ha

(97) $\begin{equation*} S_{2n+1}=S_{2n}+ (-1)^{2n+1}a_{2n+1}=S_{2n}-a_{2n+1} \leq S_{2n} \end{equation*}$

Inoltre, per $n$ sufficientemente grande, si ha

(98) $\begin{equation*} \begin{aligned} S_{2n+1} &= S_{2n-1}+(-1)^{2n}a_{2n} +(-1)^{2n+1}a_{2n+1} = S_{2n-1} + \left( a_{2n}-a_{2n+1} \right) \geq S_{2n-1}\\ S_{2n+2} &= S_{2n}+(-1)^{2n+1}a_{2n+1} +(-1)^{2n+2}a_{2n+2} = S_{2n} + \left( -a_{2n+1}+a_{2n+2} \right) \leq S_{2n}, \end{aligned} \end{equation*}$

dove abbiamo usato che, se $n$ sufficientemente grande, si ha $a_{2n}\geq a_{2n+1}\geq a_{2n+2}$ . Da (98) otteniamo che la successione delle somme parziali di indice dispari $\{S_{2n+1}\}_{n\in \mathbb{N}}$ è non decrescente, mentre la successione delle somme parziali di indice pari $\{S_{2n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ è non crescente. Quest’ultima è limitata inferiormente da 0, e anche superiormente limitata, in quanto definitivamente decrescente. Dunque, anche la successione $\{ S_{2n+1} \}$ è superiormente limitata per (97). Concludiamo che, per il teorema delle successioni monotone, cf. [4, pag. 71], si ha:

$\exists \, \lim_{n\to+\infty} S_{2n}=\ell_1\in\mathbb{R}$

$\exists \, \lim_{n\to+\infty} S_{2n-1}=\ell_2\in\mathbb{R}.$

Inoltre, passando al limite nell’equazione (97), e sfruttando il fatto che $\lim\limits_{n \to + \infty}a_n=0$ , abbiamo

(99) $\begin{equation*} \ell_2=\lim_{n \rightarrow + \infty}S_{2n+1}= \lim_{n \rightarrow + \infty}S_{2n}- \lim_{n \rightarrow + \infty}a_{2n+1}=\ell_1. \end{equation*}$

Dalla (99) segue subito¹⁰ che

$\exists\, \lim_{n \rightarrow + \infty} S_n=\ell_1=\ell_2,$

dunque la serie converge. Per completare la dimostrazione, dobbiamo studiare il caso in cui $\{a_n\}$ sia monotona non decrescente. Tuttavia, in questo caso, è sufficiente considerare la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^na^\prime_n$ , dove $a^\prime_n=-a_n$ , e ricondursi al caso precedente.

Si ha che $\forall \, \varepsilon>0 \quad \exists N_1, N_2>0$ tale che $\left( n>N_1 \implies \left \vert S_{2n}-\ell_1\right \vert <\varepsilon \right)$ e $\left( n>N_2 \implies \left \vert S_{2n+1}-\ell_2\right \vert <\varepsilon \right)$ . Poiché $\ell_1=\ell_2$ , basta prendere $N_\varepsilon=\max\{ N_1,N_2 \}$ nella definizione di limite. ↩

Esempio 18. Studiamo il carattere della seguente serie applicando il criterio di Leibniz:

(100) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n} . \end{equation*}$

La serie data è a segno alterno, e il termine generale $a_n = \dfrac{1}{n}$ è decrescente e infinitesimo, quindi è possibile applicare il criterio di Leibniz, cf. teorema 10, e concludere che essa è convergente. La serie data è l’esempio classico di serie convergente, ma non assolutamente convergente, cf. esempio 17 , ed è nota come serie armonica alternata.

Esempio 19. Studiamo il carattere della seguente serie:

(101) $\begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\left(\sqrt[n]{n}-1\right). \end{equation*}$

Dimostriamo che le ipotesi del criterio di Leibniz sono soddisfatte:

$\quad$

La serie è a segni alterni, poiché $\sqrt[n]{n}\geq 1 \quad \forall\, n \in \mathbb{N}$ ;

Il termine generale $a_n\coloneqq \sqrt[n]{n}-1$ è definitivamente decrescente, infatti:
$\sqrt[n+1]{n+1}-1 \leq \sqrt[n]{n}-1 \quad \iff \quad (n+1)^n \leq n ^{n+1} \quad \iff \quad \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \leq n .$

L’ultima disuguaglianza è soddisfatta definitivamente, dato che $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\leq e < 3$ .

$\begin{aligned} \lim\limits_{n\rightarrow+\infty} \left( \sqrt[n]{n} - 1 \right) &= \lim\limits_{n\rightarrow+\infty} \left( e^{\frac{1}{n} \ln(n)} - 1 \right) \\ &= \lim\limits_{n\rightarrow+\infty} \left( \frac{\ln(n)}{n} + o\left( \frac{\ln(n)}{n} \right) \right) \\ &= 0 \end{aligned}$

Dunque, possiamo applicare il criterio di Leibniz e concludere che la serie è convergente.

Osservazione 17. Ricordiamo che il criterio di Leibniz non può essere applicato insieme al criterio del confronto, o del confronto asintotico, in quanto quest’ultimi sono criteri di convergenza per serie a termini non negativi. Un errore comune è quello di calcolare la forma asintotica di una serie a termini di segno qualunque e poi applicare i criteri per le serie di segno qualunque, come ad esempio il criterio di Leibniz:

questo è un errore!!

Nel prossimo esempio mostriamo l’esistenza di una serie definitivamente a segni alterni non convergente che, però, è asintotica ad una serie convergente. Ciò non contraddice il criterio del confronto asintotico, in quanto esso non è applicabile.

Esempio 20. Studiamo il carattere della seguente serie:

(102) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+ \frac{(-1)^n}{n}\right). \end{equation*}$

Se tentassimo erroneamente di studiare la sua forma asintotica, risulterebbe che

(103) $\begin{equation*} (-1)^{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+ \frac{(-1)^n}{n}\right) = (-1)^{n}\frac{1}{\sqrt{n}}\left(1+o(1)\right) \approx (-1)^{n}\frac{1}{\sqrt{n}}. \end{equation*}$

La serie associata all’ultimo membro di (103) converge per il criterio di Leibniz, dato che la successione $\left\{ \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right\}_{n\geq 1}$ è positiva, decrescente e infinitesima.

Analizzando invece la serie data, abbiamo:

(104) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+ \frac{(-1)^n}{n}\right) = \sum_{n=1}^{+\infty}\Bigg[\underbrace{\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}}_{a_n}+ \underbrace{\frac{1}{n}}_{b_n}\Bigg], \end{equation*}$

La serie di termine generale $a_n$ è convergente, per quanto visto sopra, mentre la serie di termine generale $b_n$ è la serie armonica, cf. lemma 7, che è divergente, quindi la serie data è divergente per i teoremi algebrici sui limiti.

Criterio di Dirichlet.

Nella presente sottosezione enunciamo e dimostriamo il criterio di Dirichlet, che generalizza il criterio di Leibniz a serie di segno variabile. Prima di enunciare il criterio, vediamo un risultato noto come “formula di sommazione per parti”.

Lemma 9 (sommazione per parti). Siano $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}, \{ b_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ due successioni, e $\{ B_n \}$ la successione delle somme parziali di $\{ b_n \}$ :

(105) $\begin{equation*} B_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n b_k, \quad n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Allora, per ogni $n,m \in \mathbb{N}$ tale che $m>n$ , vale la formula:

(106) $\begin{equation*} \sum_{k=n+1}^{m} a_k b_k =a_{m}B_{m} - a_{n+1} B_{n} + \sum_{k=n}^{m-1} \left( a_k - a_{k+1}\right)B_k. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione.

(107) $\begin{equation*} \begin{aligned} \sum_{k=n+1}^{m} a_k b_k &= \sum_{k=n+1}^{m} a_k\left( B_k - B_{k-1} \right) = \sum_{k=n+1}^{m} a_kB_k - \sum_{k=n+1}^{m} a_{k} B_{k-1} =\\ &\overset{\clubsuit}{=} \sum_{k=n+1}^{m} a_kB_k - \sum_{k=n}^{m-1} a_{k+1} B_{k} =\\ &\overset{\diamondsuit}{=} a_{m}B_{m} - a_{n+1}B_{n} + \sum_{k=n+1}^{m-1} \left( a_k - a_{k+1}\right)B_k, \end{aligned} \end{equation*}$

dove in $\clubsuit$ abbiamo cambiato gli indici e in $\diamondsuit$ abbiamo separato l’ultimo termine della prima somma e il primo termine della seconda somma, e infine accorpato le somme.

Teorema 11 (criterio di Dirichlet). Siano $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}, \{ b_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ due successioni tale che:

$\quad$

la successione $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ è definitivamente monotona;

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n = 0$ ;

la successione $\{B_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ delle somme parziali di $\left\{ b_n \right\}$ , definita da (105), è limitata.

Allora, la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n b_n$ è convergente.

$\quad$

Dimostrazione. Supponiamo per il momento che la successione $\{a_n\}$ sia definitivamente non crescente. Osserviamo che $\{a_n\}$ è definitivamente positiva, in quanto definitivamente non crescente e infinitesima, cf. (96)

Definiamo $B_n \coloneqq \displaystyle \sum_{k=0}^n b_k$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ . Per ipotesi, abbiamo che

(108) $\begin{equation*} \exists M>0:\quad \forall\, n \in \mathbb{N}\quad \left|\sum_{k=0}^n b_k\right| \leq M. \end{equation*}$

e, inoltre, che

(109) $\begin{equation*} \forall\, \varepsilon>0\quad \exists N_\varepsilon>0:\quad \forall \, n>N_\varepsilon \quad \left \vert a_n\right \vert <\dfrac{\varepsilon}{2M}. \end{equation*}$

Allora, per ogni $n>N_\varepsilon$ e per ogni $p> 0$ , si ha:

(110) $\begin{equation*} \begin{aligned} \left|\sum_{k=n+1}^{n+p} a_k b_k \right|&\overset{{\rm(a)}}{=}\left|B_{n+p} a_{n+p} - B_{n} a_{n+1} + \sum_{k=n+1}^{n+p-1} B_k\left( a_k - a_{k+1}\right)\right|\leq \\ &\overset{{\rm(b)}}{\leq} \left|B_{n+p} a_{n+p}\right| + \left|B_{n} a_{n+1}\right| + \sum_{k=n+1}^{n+p-1}\left \vert B_k \right \vert \left \vert a_k - a_{k+1}\right \vert \leq \\ &\overset{{\rm(c)}}{\leq} M\left|a_{n+p}\right|+ M\left|a_{n+1}\right|+ M\sum_{k=n+1}^{n+p-1} \left( a_k - a_{k+1}\right)=\\ &\overset{{\rm(d)}}{=} M\left|a_{n+p}\right|+ M\left|a_{n+1}\right|+ M \left( a_{n+1}-a_{n+p}\right) =\\ &\overset{{\rm(e)}}{=} M\left(\cancel{a_{n+p}}+a_{n+1} + a_{n+1}-\cancel{a_{n+p}}\right) = 2Ma_{n+1}\overset{{\rm(f)}}{<} 2 M \cdot\frac{\varepsilon}{2M} = \varepsilon, \end{aligned} \end{equation*}$

dove, in

(a) si è usata la formula (106);

(b) si è usata ripetutamente la disuguaglianza triangolare;

(d) si è usato il fatto che la somma è telescopica, cf. proposizione 4;

(e) si è usato il fatto che $a_n>0$ per $n>N_\varepsilon$ , il che è vero se $N_\varepsilon$ è sufficientemente grande, cf. (96);

(d) si è usata la (109).

Dunque, dalla (110), concludiamo che la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_nb_n$ soddisfa il criterio di Cauchy, cf. proposizione 2, quindi è convergente. Per completare la dimostrazione, dobbiamo studiare il caso in cui $\{a_n\}$ sia monotona non decrescente. Tuttavia, basta considerare la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a^\prime_nb_n$ , dove $a^\prime_n=-a_n$ , e ricondursi al caso precedente.

Osservazione 18. Notiamo che il criterio di Leibniz, cf. teorema 10, è un caso particolare del criterio di Dirichlet. Infatti, consideriamo una serie a segni alterni $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^na_n,$ dove $\{a_n\}$ è una successione definitivamente monotona e infinitesima. Si osservi che

$\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^k=\begin{cases} 1, \quad &\text{se}\,\, n \,\,\text{è pari};\\ 0, &\text{se}\,\, n \,\,\text{è dispari} \end{cases}$

Dunque, preso $b_n=(-1)^n, \; n \in \mathbb{N}$ , otteniamo che la successione delle somme perziali di $\{ b_n \}$ è limitata:

$B_n=\left \vert \sum_{k=0}^{n}b_k \right \vert =\left \vert \sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^k \right \vert \leq 1\qquad \forall n \in \mathbb{N},$

e quindi la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n a_n$ converge per il criterio di Dirichlet.

Esempio 21. Determiniamo il carattere della seguente serie applicando il criterio di Dirichlet:

(111) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}+1} . \end{equation*}$

Scriviamo il termine generale come $a_nb_n$ , dove $a_n = \dfrac{1}{\sqrt{n}+1}$ e $b_n = \sin(n)$ , e proviamo che la serie data converge mostrando che le ipotesi del teorema di Dirichlet sono soddisfatte. La successione $\{a_n\}$ è a termini positivi, decrescente e tendente a zero. Osserviamo che, moltiplicando la successione delle somme parziali $\displaystyle B_n \coloneqq \sum_{k=0}^{n}b_k = \sum_{k=0}^n \sin(k)$ , per $2\sin\left(\dfrac{1}{2}\right)$ , si ha che $\forall \, n \in \mathbb{N}$

(112) $\begin{equation*} \begin{split} 2\sin\left(\frac{1}{2}\right)B_n &=\sum_{k=0}^{n}\left(2\sin\left(\frac{1}{2}\right)\sin(k)\right) \overset{\clubsuit}{=} \\ &=\sum_{k=0}^{n}\left(\cos\left(k-\frac{1}{2}\right)-\cos\left(k+\frac{1}{2}\right)\right) \overset{\diamondsuit}{=} \\ &=\cos\left(-\frac{1}{2}\right)-\cos\left(n+\frac{1}{2}\right), \end{split} \end{equation*}$

dove, in $\clubsuit$ si è usata la formula, detta di prostaferesi,

$\dfrac{1}{2}\left(\cos\left(x-y\right)-\cos\left(x+y\right)\right)=\sin x \sin y\qquad \forall \, x,y\in\mathbb{R},$

mentre in $\diamondsuit$ si è usato il fatto che la somma è telescopica, cf. proposizione 4. Pertanto, per la disuguaglianza triangolare, abbiamo:

$\begin{aligned} \left|B_n\right| =\left|\frac{\cos\left(-\dfrac{1}{2}\right)-\cos\left(n+\dfrac{1}{2}\right)}{2\sin\left(\dfrac{1}{2}\right)}\right| \leq \dfrac{2}{2\sin\left(\dfrac{1}{2}\right)} = \dfrac{1}{\sin\left(\dfrac{1}{2}\right)}. \end{aligned}$

Concludiamo che la serie data soddisfa il criterio di Dirichlet, e quindi converge.

Esempio 22. Determiniamo il carattere della seguente serie applicando il criterio di Dirichlet:

(113) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos(n)}{n} . \end{equation*}$

Scriviamo il termine generale come $a_nb_n$ , dove $a_n = \dfrac{1}{n}$ e $b_n = \cos(n)$ , e proviamo che la serie data converge mostrando che le ipotesi del teorema di Dirichlet sono soddisfatte. La successione $\{a_n\}$ è a termini positivi, decrescente e tendente a zero. Osserviamo che, moltiplicando la successione delle somme parziali $\displaystyle B_n \coloneqq \sum_{k=0}^{n}b_k = \sum_{k=0}^n \sin(k)$ , per $2\sin\left(\dfrac{1}{2}\right)$ , si ha che $\forall \, n \in \mathbb{N}$

(114) $\begin{equation*} \begin{split} 2\sin\left(\dfrac{1}{2}\right)B_n &= \sum_{k=0}^{n}\left(2\sin\left(\frac{1}{2}\right)\cos(k)\right) \overset{\clubsuit}{=} \\ &= \sum_{k=0}^{n}\left(\sin\left(k-\frac{1}{2}\right)-\sin \left(k+\frac{1}{2}\right)\right) \overset{\diamondsuit}{=} \\ &= \sin\left(-\frac{1}{2}\right)-\sin\left(n+\frac{1}{2}\right) \end{split} \end{equation*}$

dove, in $\clubsuit$ si è usata la formula, detta di prostaferesi,

$\dfrac{1}{2}\left(\sin\left(x-y\right)-\sin\left(x+y\right)\right)=\sin x \cos y \qquad \forall \, x,y\in\mathbb{R},$

mentre in $\diamondsuit$ si è usato il fatto che la somma è telescopica, cf. proposizione 4. Pertanto, per la disuguaglianza triangolare, abbiamo:

$\begin{aligned} \left|B_n\right| =\left|\frac{\sin\left(-\dfrac{1}{2}\right)-\sin\left(n+\dfrac{1}{2}\right)}{2\sin\left(\dfrac{1}{2}\right)}\right| \leq \dfrac{2}{2\sin\left(\dfrac{1}{2}\right)} = \dfrac{1}{\sin\left(\dfrac{1}{2}\right)}. \end{aligned}$

Concludiamo che la serie data soddisfa il criterio di Dirichlet, e quindi converge.

Esempio 23. Studiamo il carattere della serie

(115) $\begin{equation*} S_\alpha \coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{ \left(-1\right)^n\cos n}{n^\alpha}, \end{equation*}$

al variare di $\alpha\in (0,+\infty)$ .

Per dimostrare la convergenza della serie data, vorremmo applicare il criterio di Dirichlet, cf. teorema 11. Chiaramente, la successione $\left\{\dfrac{1}{n^\alpha}\right\}$ è infinitesima e monotona decrescente per ogni $\alpha \in (0,+\infty)$ . Rimane quindi da dimostrare che la successione

$B_n\coloneqq \sum_{k=1}^{n}(-1)^k\cos k, \qquad n \in \mathbb{N}$

è limitata. Per dimostrare questo fatto, utilizziamo strumenti di analisi complessa, come l’identità di Eulero:

(116) $\begin{equation*} \forall \, x \in \mathbb{R} \qquad e^{ix}=\cos x + i \sin x, \end{equation*}$

dove abbiamo denotato con $i$ un’unità immaginaria¹¹.

Per approfondimenti, rimandiamo alla lettura di [2, pag. 366]. Notiamo che

(117) $\begin{equation*} \begin{aligned} 1+B_n= \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\cos k & = \frac 1 2 \sum_{k=0}^{n}(-1)^k \left( e^{ik}+ e^{-ik}\right)= \frac 1 2 \sum_{k=0}^{n}(-e^i)^k + \frac 1 2 \sum_{k=0}^{n} (-e^{-i})^{k}= \\ &\overset{\clubsuit}{=} \frac 1 2\left( \dfrac{1+e^{i(n+1)}}{1+e^i} + \dfrac{1+e^{-i(n+1)}}{1+e^{-i}} \right), \end{aligned} \end{equation*}$

dove in $\clubsuit$ abbiamo utilizzato il lemma 5, che si vede facilmente essere valido per ogni $x \in \mathbb{C}$ . Segue da (117) che la successione $\{ B_n \}$ è limitata. Infatti, per la versione complessa della disuguaglianza triangolare, si ha

(118) $\begin{equation*} |B_n| = \left\vert \frac 1 2\left( \dfrac{1+e^{i(n+1)}}{1+e^i} + \dfrac{1+e^{-i(n+1)}}{1+e^{-i}} \right) -1 \right\vert \leq \frac 1 2\left( \dfrac{2}{|1+e^i|} + \dfrac{2}{|1+e^{-i}|} \right) + 1 \qquad \forall\, n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Concludiamo che la serie di termine generale $a_n$ converge per ogni $\alpha \in (0,+\infty)$ per il criterio di Dirichlet, cf. teorema 11.

Un’unità immaginaria è una scelta di una radice quadrata di $-1$ , cioè di un numero non reale $i$ tale che $i^2=-1$ . ↩

Criterio di Abel.

Nella presente sottosezione enunciamo e dimostriamo il criterio di Abel, che rappresenta, insieme al criterio di Dirichlet, uno strumento fondamentale per studiare la convergenza delle serie a termini di segno variabile.

Teorema 12 (criterio di Abel). Siano $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}, \{ b_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ due successioni tale che

$\quad$

la successione $\{a_n\}$ è definitivamente monotona e limitata.

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n$ converge;

Allora, la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n b_n$ è convergente.

$\quad$

Dimostrazione. Supponiamo per il momento che la successione $\{a_n\}$ sia definitivamente non crescente. Poiché essa è limitata, cioè

(119) $\begin{equation*} \exists M >0 : \quad |a_n| \leq M \quad \forall\,n \in \mathbb{N}, \end{equation*}$

ammette limite finito per il teorema delle successioni monotone, cf. [4, pag. 71]. In particolare, $\{ a_n \}$ è una successione di Cauchy:

(120) $\begin{equation*} \forall\, \varepsilon>0\quad \exists N_\varepsilon>0:\quad \forall \, n,m>N_\varepsilon \quad \left \vert a_n -a_m\right \vert<\dfrac{\varepsilon}{3M}. \end{equation*}$

La successione definita da $B_n \coloneqq \displaystyle \sum_{k=0}^n b_k$ , per ogni $n \in \mathbb{N}$ , è convergente per ipotesi, dunque anch’essa è di Cauchy. Segue che, se $N_\varepsilon$ nella (120) è sufficientemente grande, abbiamo

(121) $\begin{equation*} \forall \, n,m>N_\varepsilon \quad \left \vert B_n-B_m\right \vert <\dfrac{\varepsilon}{3M}. \end{equation*}$

Inoltre, poiché convergente, $\{ B_n \}$ è in particolare limitata, e possiamo supporre, a patto di prendere $M$ in (119) sufficientemente grande, che

(122) $\begin{equation*} |B_n| \leq M \quad \forall \, n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Allora, per ogni $n>N_\varepsilon$ e per ogni $p> 0$ , si ha:

(123) $\begin{equation*} \begin{aligned} \left|\sum_{k=n+1}^{n+p} a_k b_k \right|&\overset{{\rm(a)}}{=}\left|B_{n+p} a_{n+p} - B_{n} a_{n+1} + \sum_{k=n+1}^{n+p-1} B_k\left( a_k - a_{k+1}\right)\right|\leq \\ &\overset{{\rm(b)}}{\leq} \left|B_{n+p} a_{n+p}-B_{n} a_{n+1}\right| + \sum_{k=n+1}^{n+p-1}\left \vert B_k \right \vert \left \vert a_k - a_{k+1}\right \vert \leq \\ &\overset{{\rm(c)}}{\leq}\left|B_{n+p}\left( a_{n+p} -a_{n+1}\right)\right|+\left|a_{n+1} \left( B_{n+p}-B_n\right)\right|+ \sum_{k=n+1}^{n+p-1}\left \vert B_k \right \vert \left \vert a_k - a_{k+1}\right \vert \leq \\ & \overset{{\rm(d)}}{\leq}\left|B_{n+p}\left( a_{n+p} -a_{n+1}\right)\right|+\left|a_{n+1} \left( B_{n+p}-B_n\right)\right|+ M\sum_{k=n+1}^{n+p-1} \left( a_k - a_{k+1}\right)=\\ &\overset{{\rm(e)}}{\leq} M\left|a_{n+p}-a_{n+1}\right|+ M\left|B_{n+p}-B_n\right|+ M\left( a_{n+1}-a_{n+p} \right) <\\ &\overset{{\rm(f)}}{<} M \cdot\frac{\varepsilon}{3M} + M\cdot \dfrac{\varepsilon}{3M}+ M\cdot \dfrac{\varepsilon}{3M}= \varepsilon, \end{aligned} \end{equation*}$

dove, in

(a) si è usata la formula (106);

(b) si è usata ripetutamente la disuguaglianza triangolare;

(c) si è aggiunto e sottratto il termine $B_{n+p} a_{n+1}$ nel primo addendo, e si è usata di nuovo la disuguaglianza triangolare;

(d) si è usata nella sommatoria la (122) per stimare $|B_k|$ e si è usata la non crescenza di $\{ a_n \}_{n>N_{\varepsilon}}$ , per $N_\varepsilon$ sufficientemente grande;

(e) si è fatto uso delle stime (119), (122) e del fatto che la somma è telescopica, cf. proposizione 4;

(f) si è fatto uso di (120), (121).

Dunque, dalla (123), concludiamo che la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_nb_n$ soddisfa il criterio di Cauchy, cf. proposizione 2, quindi è convergente. Per completare la dimostrazione, dobbiamo studiare il caso in cui $\{a_n\}$ sia monotona non decrescente. Tuttavia, basta considerare la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a^\prime_nb_n$ , dove $a^\prime_n=-a_n$ , e ricondursi al caso precedente.

Osservazione 19. Il criterio di Abel, cf. teorema 12 si poteva dimostrare più velocemente a partire dal criterio di Dirichlet, cf. teorema 11. Infatti , siano $\{ a_n \}$ e $\{ b_n \}$ come nelle ipotesi del criterio di Abel, e sia $a\coloneqq \lim\limits_{n\to +\infty}a_n$ che esiste ed è finito. Allora, basta scrivere

$\sum_{n=0}^{+\infty} a_nb_n= \sum_{n=0}^{+\infty} \Big(\underbrace{(a_n-a)b_n}_{\alpha_n} + \underbrace{ab_n}_{\beta_n}\Big),$

e osservare che, siccome $a_n-a$ tende a 0 in maniera monotona, e le somme parziali di $b_n$ sono limitate (in quanto convergente), la serie di termine generale $\alpha_n$ converge per il criterio di Dirichlet, così come converge la serie di termine generale $\beta_n$ , in quanto proporzionale a $b_n$ .

Esempio 24. Studiamo la convergenza della serie

(124) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\sin(n)\arctan(n)}{n}. \end{equation*}$

Scriviamo il termine generale come $a_nb_n$ , dove $a_n = \arctan(n)$ e $b_n = \dfrac{\sin(n)}{n}$ , e proviamo che la serie data converge mostrando che le ipotesi del criterio di Abel sono soddisfatte. Osserviamo che la successione $\{ a_n \}$ è strettamente crescente, in quanto tale è la funzione $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; f(x)=\arctan(x)$ , ed è limitata, in quanto $0\leq \arctan(x)< \dfrac{\pi}{2}$ per ogni $x \geq 0$ . Infine, poiché la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}b_n$ è convergente per il criterio di Dirichlet, cf. esempio 21, possiamo concludere che la serie data converge per il criterio di Abel. Notiamo che per studiare la convergenza della serie data si poteva anche applicare direttamente il criterio di Dirichlet. Infatti, la successione $\left\{ \dfrac{\arctan(n)}{n} \right\}$ è definitivamente monotona decrescente e infinitesima, cosa che si può verificare calcolando la derivata della funzione $f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}, \; f(x)= \dfrac{\arctan(x)}{x}$ . Un approccio alternativo potrebbe essere il seguente: possiamo osservare che

$\arctan(x) = \frac{\pi}{2}- \arctan\left( \frac{1}{x} \right) \qquad \forall \, x >0,$

e spezzare la serie in due, una convergente per il criterio di Dirichlet e l’altra assolutamente convergente.

Esempi vari.

In alcuni casi, non è possibile applicare il criterio di Dirichlet o di Abel, pertanto è possibile ricorrere ad altre tecniche, che illustriamo con degli esempi.

Esempio 25. Studiamo il carattere della serie

(125) $\begin{equation*} S_\alpha\coloneqq \sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{\left(-1\right)^n}{n^\alpha+\cos\left(\pi n\right)}, \end{equation*}$

al variare di $\alpha\in \mathbb{R}$ .

Notiamo che $\cos(\pi n)=(-1)^n$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ , dunque la serie può essere riscritta come segue:

$S_\alpha=\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{\left(-1\right)^n}{n^\alpha+\left(-1\right)^n}.$

Si noti che la successione $\left\{\dfrac{1}{n^\alpha+\left(-1\right)^n}\right\}$ non è definitivamente monotona, quindi non possiamo applicare il criterio di Leibniz. Tuttavia, per $n\to+\infty$ , si ha:

$\begin{aligned} \dfrac{\left(-1\right)^n}{n^\alpha + \left(-1\right)^n} &= \dfrac{\left(-1\right)^n}{n^\alpha} \left( \dfrac{1}{1 + \dfrac{\left(-1\right)^n}{n^\alpha}} \right) \\ &= \dfrac{\left(-1\right)^n}{n^\alpha} \left( 1 - \dfrac{\left(-1\right)^n}{n^\alpha} + o\left(\dfrac{1}{n^\alpha}\right) \right) \\ &= \dfrac{\left(-1\right)^n}{n^\alpha} - \dfrac{1}{n^{2\alpha}} + o\left( \dfrac{1}{n^{2\alpha}} \right) \end{aligned}$

da cui

$S_\alpha=\sum_{n=2}^{+\infty}\Bigg[\underbrace{\dfrac{\left(-1\right)^n}{n^\alpha}}_{a_n}- \underbrace{\left( \dfrac{1}{n^{2\alpha}}+o\left(\dfrac{1}{n^{2\alpha}}\right) \right)}_{b_n}\Bigg].$

La serie associata alla successione $\{ a_n \}$ converge se solo se $\alpha>0$ per il criterio di Leibniz (se $\alpha\leq 0$ non è soddisfatta la condizione necessaria, cf. proposizione 1). La serie associata alla successione $\{ b_n \}$ è una serie a termini positivi, avente lo stesso carattere della serie $\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2\alpha}}$ per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2. Notiamo che la serie $\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2\alpha}}$ è una serie armonica generalizzata del primo tipo, cf. lemma 7, e converge se e solo se $\alpha >\dfrac{1}{2}$ .

Infine, poiché le serie associate a $\{ a_n \}$ e $\{ b_n \}$ convergono, concludiamo che la serie

$S_\alpha= \sum_{n=2}^{+\infty}\left( a_n- b_n \right)$

converge se e solo se $\alpha \in \left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$ per i teoremi algebrici sui limiti.

Esempio 26. Studiamo il carattere della serie

(126) $\begin{equation*} S_\alpha\coloneqq \sum_{n=\lfloor\alpha\rfloor+1}^{+\infty}\dfrac{\left(-1\right)^n}{n+\alpha\sin n}, \end{equation*}$

al variare di $\alpha\in \mathbb{R}$ .

Notiamo che la serie per $n\to+\infty$ si ha:

$\begin{aligned} \dfrac{\left(-1\right)^n}{n + \alpha \sin n} &= \dfrac{\left(-1\right)^n}{n} \cdot \dfrac{1}{1 + \dfrac{\alpha \sin n}{n}} \\ &= \dfrac{\left(-1\right)^n}{n} \left( 1 - \dfrac{\alpha \sin n}{n} + o\left( \dfrac{\sin n}{n} \right) \right) \\ &= \dfrac{\left(-1\right)^n}{n} - \dfrac{\alpha \left(-1\right)^n \sin n}{n^2} \left( 1 + o\left(1\right) \right) \end{aligned}$

da cui

$\begin{aligned} S_\alpha &= \sum_{n=\lfloor \alpha \rfloor + 1}^{+\infty} \left[ \dfrac{\left(-1\right)^n}{n} - \dfrac{\alpha \left(-1\right)^n \sin n}{n^2} \left( 1 + o\left(1\right) \right) \right] \\ &= \sum_{n=\lfloor \alpha \rfloor + 1}^{+\infty} \left[ \underbrace{\dfrac{\left(-1\right)^n}{n}}_{a_n} - \alpha \underbrace{\left( \dfrac{\left(-1\right)^n \sin n}{n^2} \left( 1 + o\left(1\right) \right) \right)}_{b_n} \right] \end{aligned}$

La serie di termine generale $a_n$ soddisfa il criterio di Leibniz, cf. esempio 18, mentre per la serie di termine generale $b_n$ possiamo applicare il criterio della convergenza assoluta, cf. proposizione 6. Infatti, vale la seguente stima per $n \to + \infty$ :

(127) $\begin{equation*} \left \vert\dfrac{\left(-1\right)^n\sin n}{n^2}\left(1+ o\left(1\right)\right) \right \vert = \dfrac{\left \vert \sin n \right \vert}{n^2} \left(1+o\left(1\right)\right) \leq \dfrac{1}{n^2} \left(1+o\left(1\right)\right). \end{equation*}$

La serie che ha come termine generale il membro di destra in (127) è convergente per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2 e per il risultato sulla serie armonica generalizzata, cf. lemma 7. Dunque, per il criterio del confronto, cf. teorema 1, concludiamo che la serie di termine generale $b_n$ converge assolutamente.

Infine, poiché le serie associate a $\{ a_n \}$ e $\{ b_n \}$ convergono, concludiamo che converge la serie

$S_\alpha= \sum_{n=\lfloor\alpha\rfloor+1}^{+\infty}\left( a_n-\alpha b_n \right) \qquad \forall\, \alpha \in \mathbb{R},$

per i teoremi algebrici sui limiti.

Esempio 27. Studiamo il carattere della serie

(128) $\begin{equation*} S_\alpha\coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{1+\left(-1-\dfrac{1}{n}\right)^nn^{\alpha}}\right), \end{equation*}$

al variare di $\alpha\in (0,+\infty)$ .

Riscriviamo la serie come segue

$\begin{aligned} &S_\alpha=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{1+\left(-1-\dfrac{1}{n}\right)^nn^{\alpha}}\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{1+\left(-1\right)^n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^nn^{\alpha}}\right)=\\ &=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\left(\dfrac{1}{\left(-1\right)^n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^nn^{\alpha}}\right)\left( \dfrac{1}{1+{\left(-1\right)^n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{-n}n^{-\alpha}}}\right)\right). \end{aligned}$

Per $n\to+\infty$ , si ha

$\begin{aligned} &\left(\dfrac{1}{\left(-1\right)^n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^nn^{\alpha}}\right)\left( \dfrac{1}{1+{\left(-1\right)^n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{-n}n^{-\alpha}}}\right)=\\ &=\left(\dfrac{1}{\left(-1\right)^n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^nn^{\alpha}}\right)\left(1-\left(-1\right)^n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{-n}n^{-\alpha}+o\left(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{-n}n^{-\alpha}\right)\right)=\\ &=\underbrace{\dfrac{\left(-1\right)^n}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^nn^{\alpha}}}_{a_n} -\underbrace{\dfrac{1}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2n}n^{2\alpha}}(1+o(1))}_{b_n}. \end{aligned}$

Studiamo il carattere della serie di termine generale $a_n$ applicando il criterio di Leibniz. Si verifica facilmente che la successione $\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{-n}n^{-\alpha}\right\}$ è monotona decrescente e infinitesima per ogni $\alpha>0$ , dunque la serie associata converge per ogni $\alpha \in(0,+\infty)$ per il criterio di Leibniz, cf. teorema 2.

La serie di termine generale $b_n$ è una serie a termini definitivamente positivi, e, per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 10, essa ha lo stesso carattere della serie

$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{e^2n^{2\alpha}}$

che converge se e solo se $\alpha \in\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$ , perché è proporzionale a una serie armonica generalizzata del primo tipo, cf. lemma 7.

Infine, per i teoremi algebrici sui limiti, concludiamo che la serie

$S_\alpha= \sum_{n=2}^{+\infty}\left( a_n- b_n \right)$

converge se e solo se $\alpha \in \left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$ .

Esempio 28. Studiamo il carattere della serie

(129) $\begin{equation*} S_\alpha \coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\left(1+\dfrac{\left(-1\right)^n}{n^\alpha}\right)^\frac{1}{2}-1\right), \end{equation*}$

al variare di $\alpha\in (0,+\infty)$ .

Per $n\to+\infty$ , si ha

$\begin{aligned} \left( \left( 1 + \dfrac{\left(-1\right)^n}{n^\alpha} \right)^\frac{1}{2} - 1 \right) &= 1 + \dfrac{\left(-1\right)^n}{2n^\alpha} - \dfrac{1}{8n^{2\alpha}} + o\left( \dfrac{1}{n^{2\alpha}} \right) - 1 \\ &= \dfrac{\left(-1\right)^n}{2n^\alpha} - \dfrac{1}{8n^{2\alpha}} + o\left( \dfrac{1}{n^{2\alpha}} \right) \end{aligned}$

da cui si ottiene:

$\begin{aligned} S_\alpha &= \sum_{n=1}^{+\infty} \left[ \dfrac{\left(-1\right)^n}{2n^\alpha} - \dfrac{1}{8n^{2\alpha}} + o\left( \dfrac{1}{n^{2\alpha}} \right) \right] \\ &= \sum_{n=1}^{+\infty} \left[ \underbrace{\dfrac{\left(-1\right)^n}{2n^\alpha}}_{a_n} - \underbrace{\dfrac{1}{8n^{2\alpha}} \left(1 + o(1)\right)}_{b_n} \right] \end{aligned}$

Si vede facilmente che la serie di termine generale $a_n$ converge per il criterio di Leibniz, cf. teorema 10, per ogni $\alpha \in (0,+\infty)$ .

Inoltre, la serie di termine generale $b_n$ converge se e solo se $\alpha \in \left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$ , perché ha lo stesso carattere della serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2\alpha}}$ per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2. Si conclude che la serie $S_\alpha$ converge se e solo se $\alpha \in \left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$ , per i teoremi algebrici sui limiti.

Esempio 29. Studiamo il carattere della serie

(130) $\begin{equation*} S_\alpha \coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{ \left(-1\right)^n\cos n}{n^\alpha+(-1)^n\cos n}, \end{equation*}$

al variare di $\alpha\in (0,+\infty)$ .

Per $n\to +\infty$ , si ha

$\begin{aligned} &\dfrac{\left(-1\right)^n\cos n}{n^\alpha+(-1)^n\cos n}=\dfrac{\left(-1\right)^n\cos n}{n^\alpha}\left(\dfrac{1}{1+\dfrac{\left(-1\right)^n\cos n }{n^\alpha}}\right)=\\ &=\dfrac{\left(-1\right)^n\cos n}{n^\alpha}\left(1-\dfrac{\left(-1\right)^n\cos n}{n^\alpha}+o\left(\dfrac{ \cos n }{n^\alpha}\right)\right)=\\ &=\dfrac{\left(-1\right)^n\cos n}{n^\alpha}-\dfrac{\cos^2 n}{n^{2\alpha}}+o\left(\dfrac{\cos^2 n}{n^{2\alpha}}\right), \end{aligned}$

da cui si ottiene:

$S_\alpha=\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigg[\underbrace{\dfrac{\left(-1\right)^n\cos n}{n^\alpha}}_{a_n}-\underbrace{\dfrac{\cos^2 n}{n^{2\alpha}}(1+o(1))}_{b_n}\Bigg].$

La serie di termine generale $a_n$ converge per ogni $\alpha \in (0,+\infty)$ , per quanto visto nell’esempio 23.

Notiamo che la serie di termine generale $b_n$ è a termini positivi, quindi è possibile applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2. Pertanto tale serie ha lo stesso carattere della serie

$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\cos^2 n}{n^{2\alpha}}.$

Poiché abbiamo

$\dfrac{\cos^2 n}{n^{2\alpha}}\leq \dfrac{1}{n^{2\alpha}} \qquad \forall\, n\in \mathbb{N},$

per il criterio del confronto, cf. teorema 1, si può concludere che la serie di termine generale $b_n$ converge per ogni $\alpha \in \left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$ .

Si conclude, per i teoremi algebrici sui limiti, che la serie $S_\alpha$ converge per ogni $\alpha \in \left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$ .

Prodotto di due serie

Introduzione.

Nel lemma 4 abbiamo visto che la somma di due serie coincide con la serie data dalla somma dei rispettivi termini generali, a patto che esse siano entrambe convergenti. In questa sezione, trattiamo la questione, più delicata, del prodotto di due serie. Osserviamo che, date due somme finite $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}$ , $\displaystyle \sum_{k=0}^{m}b_{k}$ , il loro prodotto è dato da

(131) $\begin{equation*} \begin{aligned} \Big(\sum_{k=0}^{n}a_{k}\Big)\cdot \Big(\sum_{k=0}^{m}b_{k}\Big)&=\big(a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{n}\big)\cdot\big(b_{0}+\cdots+b_{m}\big)=\\ &=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})+\cdots + a_{n}b_{m}=\\ &=\sum_{k=0}^{n+m}\hspace*{-0.1em}\sum_{\substack{i+j=k \vspace*{0.2 em}\\ 0\leq i\leq n, \\0\leq j\leq m}}\hspace*{-0.5em}a_ib_j. \end{aligned} \end{equation*}$

Vogliamo studiare l’identità (131) quando $n,m \to + \infty$ . Notiamo che, $\forall\, k \geq 0$ , si ha

$\sum_{\substack{i+j=k\vspace*{0.2 em}\\ i, \,j\geq 0}}\hspace*{-0.5em}a_ib_j=\sum_{i=0}^ka_ib_{k-i}.$

Le osservazioni appena fatte, giustificano la seguente definizione di prodotto tra serie.

Definizione 7 (prodotto di Cauchy). Date due serie numeriche $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}a_{k}$ , $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}b_{k}$ , definiamo il loro prodotto di Cauchy, (o secondo Cauchy) $\ast$ come segue:

$\Big(\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}\Big)\ast \Big(\sum_{n=0}^{+\infty}b_{n}\Big)\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}c_{n},$

dove

$c_{n}:=\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.$

$\quad$

Osservazione 20. La notazione $\ast$ usata per il prodotto tra serie numeriche è stata scelta per ricordare la convoluzione discreta. Ricordiamo che, date due funzioni discrete $f: \mathbb{N}\to \mathbb{R}, \;g: \mathbb{N}\to \mathbb{R}$ , la loro convoluzione discreta $f\ast g$ è definita come

$(f\ast g)(n):=\sum_{\substack{j+k=n\vspace*{0.2 em} \\ j, \,k\geq 0}}f(j)g(k) \qquad \forall\, n \in \mathbb{N}.$

Dunque, definendo $f(n)\coloneqq a_{n}, \;g(n)\coloneqq b_{n}$ si ha

$\Big(\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}\Big)\ast \Big(\sum_{n=0}^{+\infty}b_{n}\Big)\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}(f\ast g)(n).$

Proviamo a familiarizzare con la definizione di prodotto di Cauchy con il seguente esempio, in cui il prodotto di Cauchy di due serie convergenti è ancora una serie convergente.

Esempio 30. Consideriamo la seguente serie

(132) $\begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!} \qquad \forall\, x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Detto $a_n$ il termine generale della (132), notiamo che

$\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}= \lim_{n \rightarrow + \infty}\left\vert \dfrac{x^{n+1}n!}{x^n(n+1)!} \right\vert=\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{|x|}{(n+1)}=0 \qquad \forall\, x \in \mathbb{R},$

dunque, per ogni $x \in \mathbb{R}$ , la serie (132) converge assolutamente per il criterio del rapporto, cf. teorema 4, e dunque converge, cf. proposizione 6. Dati $x,y \in \mathbb{R}$ , calcoliamo il seguente prodotto di Cauchy:

(133) $\begin{equation*} \Big(\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n!}\Big)\ast \Big(\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{y^n}{n!}\Big)= \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k!}\dfrac{y^{n-k}}{(n-k)!}= \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{n!}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^ky^{n-k}= \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(x+y)^n}{n!}, \end{equation*}$

dove, nell’ultima uguaglianza, abbiamo usato la formula del binomio di Newton. Poiché il prodotto di Cauchy è ancora della forma (132), concludiamo che esso converge.

Osservazione 21. Dalla teoria delle serie di Taylor, cf. [9, pag. 110], [2, peg. 434] segue che, dato $x \in \mathbb{R}$ , la serie (132) coincide con l’esponenziale $e^x$ . Ancora meglio, spesso la (132) viene presa come una definizione della funzione esponenziale, [10, pag. 1]!

Notiamo che, supponendo che il prodotto di Cauchy di due serie convergenti a termini positivi coincida con il prodotto usuale (fatto che verrà implicato dal teorema di Mertens, cf. teorema 13), il calcolo (133) è una dimostrazione del fatto che

$e^x \cdot e^y= e^{x+y}.$

È naturale chiedersi se, in generale, il prodotto di Cauchy tra due serie convergenti sia convergente, e in tal caso se coincida con il prodotto usuale. Il seguente controesempio, cf. [9, pag. 73] mostra che ciò è falso.

Esempio 31. Consideriamo la serie

(134) $\begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}, \end{equation*}$

che è convergente per il criterio di Leibniz, cf. teorema 10. Calcoliamo il prodotto di Cauchy di (134) con sè stessa:

(135) $\begin{equation*} \begin{aligned} \Big(\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\Big)\ast \Big(\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\Big)&=\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=0}^{n} \dfrac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}\dfrac{(-1)^{n-k}}{\sqrt{n-k-1}}=\\ &=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k-1)}}. \end{aligned} \end{equation*}$

Osserviamo che la serie (135) non converge. Infatti, dalla decomposizione in fratti semplici, si ha

(136) $\begin{equation*} \forall\; 0\leq k \leq n\qquad \dfrac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k-1)}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\sqrt{\dfrac{1}{k+1}+ \dfrac{1}{n-k-1}}\geq \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{n(n+1)}}, \end{equation*}$

dove, nell’ultima disuguaglianza, abbiamo usato il fatto che

$k+1 \leq n+1 \quad \mbox{e} \quad n-k-1 \leq n+1 \qquad \forall\, 0\leq k \leq n.$

Concludiamo che

$\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k-1)}} \geq (n+1) \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{n(n+1)}} \geq \sqrt{2} \qquad \forall\; n \geq 1,$

dunque, la serie (135) non converge poiché il suo termine generale non è infinitesimo, cf. proposizione 1.

Il Teorema di Mertens.

Risulta naturale domandarsi se esistono condizioni sufficienti che possano garantire la convergenza del prodotto di Cauchy. Il prossimo risultato, noto come teorema di Mertens, cf. [9, pag. 74], fornisce una risposta a questa domanda.

Teorema 13 (Mertens). Siano $A \coloneqq \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}, \; B \coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}b_{n}$ due serie convergenti e supponiamo che almeno una tra le due sia assolutamente convergente. Allora, il loro prodotto di Cauchy converge al prodotto usuale:

$\Big(\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}\Big)\ast \Big(\sum_{n=0}^{+\infty}b_{n}\Big)=\Big(\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}\Big)\cdot\Big(\sum_{n=0}^{+\infty}b_{n}\Big).$

$\quad$

Dimostrazione. Per fissare le idee, supponiamo che la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}$ sia quella assolutamente convergente. Siano $\left\{ A_n \right\}$ , $\left\{ B_n \right\}$ e $\left\{ C_n \right\}$ le successioni delle somme parziali di $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}$ , $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_{n}$ e $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}c_{n}$ , rispettivamente, e sia $\left\{ \beta_n \right\}$ la successione definita da

$\beta_n \coloneqq B_n - B \qquad \forall\, n \in N,$

che è chiaramente una successione infinitesima, in quanto $B_n \to B$ per $n \to + \infty$ . Notiamo che

(137) $\begin{equation*} \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n}c_{k}&= a_0b_0+ (a_0b_1+a_1b_0)+ \dots + (a_0b_n+ \dots a_nb_0) =\\ &= a_0B_n + a_1B_{n-1}+ \dots + a_nB_0=\\ &=a_0\beta_n + a_1\beta_{n-1}+ \dots + a_n\beta_0 + A_nB, \end{aligned} \end{equation*}$

dove nella seconda riga abbiamo raccolto i termini $a_i$ per $0\leq i \leq n$ e nella terza riga abbiamo agginuto e sottratto $a_iB$ per $0\leq i \leq n$ . Passando al limite in (137), e osservando che $A_nB \to AB$ per $n \to + \infty$ , abbiamo che

(138) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow + \infty} \sum_{k=0}^{n}c_{k}=AB \quad \iff \quad \lim_{n \rightarrow + \infty} (a_0\beta_n + a_1\beta_{n-1}+ \dots + a_n\beta_0)=0. \end{equation*}$

Per dimostrare che la successione $\left\{ a_0\beta_n + a_1\beta_{n-1}+ \dots + a_n\beta_0 \right\}$ è infinitesima, notiamo che esiste $M>0$ tale che

(139) $\begin{equation*} \max\left\{ |\beta_n|, \sum_{k=0}^n|a_k| \right\} \leq M \qquad \forall\, n \in \mathbb{N}, \end{equation*}$

in quanto entrambe sono successioni convergenti, per ipotesi, e dunque limitate. Allora, per ogni $\varepsilon>0$ , esiste un $n_0>0$ tale che

(140) $\begin{equation*} \sum_{k=n_0}^{n_0+p}|a_k| \leq \dfrac{\varepsilon}{2M} \qquad \forall\, n \geq n_0, \;p>0, \end{equation*}$

per la proprietà di Cauchy, cf. proposizione 2. Inoltre, poiché $\left\{ \beta_n \right\}$ è infinitesima, esiste un $n_1>0$ tale che

(141) $\begin{equation*} |\beta_n| \leq \dfrac{\varepsilon}{2M} \qquad \forall\, n \geq n_1. \end{equation*}$

Allora, per ogni $n \geq n_0+n_1$ , avremo

(142) $\begin{equation*} \begin{aligned} a_0\beta_n + a_1\beta_{n-1}+ \dots + a_n\beta_0&= a_0\beta_n + \dots + a_{n_0}\beta_{n-n_0}+ a_{n_0+1}\beta_{n+1-n_0}+ \dots + a_n\beta_0\leq\\ &\leq \Big( |a_0\beta_n| + \dots +|a_{n_0}\beta_{n-n_0}| \Big)+ \Big(|a_{n_0+1}\beta_{n+1-n_0}|+ \dots + |a_n\beta_0| \Big) \leq \\ & \leq \dfrac{\varepsilon}{2M}\Big( |a_0| + \dots +|a_{n_0}| \Big)+ M\Big(|a_{n_0+1}|+ \dots + |a_n| \Big) \leq\\ &\leq \dfrac{\varepsilon}{2}+ \dfrac{\varepsilon}{2} =\varepsilon, \end{aligned} \end{equation*}$

dove nella prima riga abbiamo utilizzato la disuguaglianza triangolare, nella seconda abbiamo usato la stima (141) per il primo addendo e la (139) per il secondo, mentre nella terza riga abbiamo usato la stima (139) per il primo addendo e la (140) per il secondo. Concludiamo che la successione $\left\{ a_0\beta_n + a_1\beta_{n-1}+ \dots + a_n\beta_0 \right\}$ è infinitesima, e quindi che il prodotto di Cauchy converge al prodotto usuale per la (138).

Osservazione 22. La serie riportata nell’esempio 31 non soddisfa le ipotesi del teorema di Mertens, in quanto non è assolutamente convergente, cf. lemma 7.

Ci domandiamo, infine, se il prodotto di Cauchy di due serie convergenti debba necessariamente coincidere con il prodotto usuale nel caso in cui si aggiunga l’ipotesi di convergenza del prodotto di Cauchy. Il prossimo risultato mostra che la risposta è positiva.

Proposizione 7. Siano $\displaystyle A \coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}, B \coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}b_{n}$ due serie convergenti tali che il loro prodotto di Cauchy sia convergente. Allora

$\Big(\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}\Big)\ast\Big(\sum_{n=0}^{+\infty}b_{n}\Big)=\Big(\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}\Big)\cdot\Big(\sum_{n=0}^{+\infty}b_{n}\Big).$

$\quad$

La dimostrazione della proposizione 7, fa uso dei seguenti risultati.

Lemma 10. Sia $\displaystyle A\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}$ una serie convergente, e sia $\displaystyle \left\{ A_{n} \right\}$ la successione delle somme parziali associata. Allora, si ha che

(143) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}A_{k}= A. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. La dimostrazione è un’immediata applicazione del Teorema di Stolz-Cesaro, cf. teorema 6: definiamo, per ogni $n \in \mathbb{N}$ , $\displaystyle x_{n}\coloneqq \sum_{k=0}^{n}A_{k}$ e $y_{n}\coloneqq n$ . Si ha

$\lim_{n\to +\infty} \frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}=\lim_{n\to +\infty}A_{n+1}=A.$

Dunque, otteniamo (143).

Lemma 11. Fissato $n \in \mathbb{N}$ , e due successioni $\left\{ x_n \right\}, \; \left\{ y_n \right\}$ , abbiamo

(144) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}x_{j}y_{k-j}=\sum_{k=0}^{n}y_{k}\Big(\sum_{j=0}^{n-k}x_{j}\Big), \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Fissato $n \in \mathbb{N}$ , e due successioni $\left\{ x_n \right\}, \; \left\{ y_n \right\}$ , abbiamo

(145) $\begin{equation*} \sum_{\substack{j+k\leq n \vspace*{0.2 em} \\ j, \,k \geq 0}} x_{j}y_{k}= \sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-k}x_{j}y_{k}, \end{equation*}$

in quanto la somma è associativa e vale la seguente uguaglianza di insiemi

(146) $\begin{equation*} \left\{ (j,k) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} : j+k \leq n \right\} = \left\{ (j,k) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}: 0 \leq k \leq n, \; 0 \leq j \leq n-k\right\}. \end{equation*}$

Inoltre, si ha

(147) $\begin{equation*} \sum_{\substack{j+k\leq n\vspace*{0.2 em} \\ j, \,k \geq 0}} x_{j}y_{k}=\sum_{m=0}^n\sum_{\substack{j+k= m \vspace*{0.2 em} \\ j, \,k \geq 0}} x_{j}y_{k} =\sum_{m=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}x_{j}y_{m-j}, \end{equation*}$

in quanto la somma è associativa e vale la seguente uguaglianza di insiemi

(148) $\begin{equation*} \begin{aligned} \left\{ (j,k) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} : j+k \leq n \right\} &= \bigcup_{m=0}^n \left\{ (j,k) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} : j+k = m \right\} =\\ &= \bigcup_{m=0}^n\left\{ (j,m-j) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}: 0 \leq j \leq m\right\}, \end{aligned} \end{equation*}$

e l’unione è disgiunta. Dunque, mettendo insieme (145) e (147), abbiamo che per ogni $n \in \mathbb{N}$

(149)