Esercizi su serie geometriche e telescopiche

Esercizi Serie geometriche e telescopiche

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In questo articolo proponiamo 10 esercizi sul calcolo della somma di una serie numerica, mediante l’uso degli strumenti sulle somme telescopiche, la formula per la somma di una serie geometrica e altre tecniche. Gli esercizi sono completamente risolti, così che il lettore possa confrontare le proprie soluzioni con quelle da noi proposte. La raccolta è quindi particolarmente utile come approfondimento per gli studenti dei corsi di Analisi Matematica 1 e per appassionati che desiderano confrontarsi col calcolo esplicito di somme infinite.
Un sunto della teoria necessaria è presente nei richiami teorici della sezione 1, ma rimandiamo a Teoria sulle serie numeriche per ulteriori dettagli e le dimostrazioni dei risultati enunciati.

Segnaliamo anche gli ulteriori esercizi sulle serie numeriche:

Buona lettura!

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Jacopo Garofali

Revisori: Sara Sottile, Matteo Talluri.

Prerequisiti

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In queste note si presuppone la conoscenza di alcuni concetti di base dell’analisi matematica, tra cui i numeri (naturali, interi, reali, complessi), il principio di induzione, il concetto di successione numerica e di limite di una successione. Inoltre, per la comprensione del teorema 6, è necessario che il lettore sia familiare con la nozione di integrale di Riemann di una funzione reale di variabile reale. Infine, in molti esercizi facciamo uso degli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari.

Notazioni

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$\mathbb{N}=\{ 0,1, \dots \}$	Insieme dei numeri naturali;
$\mathbb{Z}$	Insieme dei numeri interi relativi;
$\mathbb{R}$	Insieme dei numeri reali;
$\mathbb{C}$	Insieme dei numeri complessi;
$\displaystyle \sum_{n=N}^Ma_n=a_N+a_{N+1}+\dots + a_M$	Somma di un numero finito di termini;
$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n=a_1+a_{2}+\dots$	Serie numerica di termine generale $a_n$ ;
$\displaystyle \prod_{n=N}^{M}a_n=a_N\cdot a_{N+1}\cdot \dots \cdot a_M$	Prodotto di un numero finito di termini;
$\displaystyle \prod_{n=1}^{+ \infty}a_n=a_1\cdot a_2 \cdot \dots$	Prodotto infinito di termine generale $a_n$ ;
$\|x\|$	Modulo di un numero $x \in \mathbb{R}$ (risp. $x \in \mathbb{C}$ );
$\sqrt[n]{x}$	Radice $n$ -esima un numero $x \in \mathbb{R}$ (quando esiste);
$n!$	Fattoriale di un numero $n \in\mathbb{N}$ ;
$n!!$	Doppio fattoriale di un numero $n \in\mathbb{N}$ ;
$e$	Numero di Nepero;
$\ln{x}$	Logaritmo naturale di un numero $x >0$ ;
$\sin{x}$	Seno di un numero $x \in \mathbb{R}$ ;
$\cos{x}$	Coseno di un numero $x \in \mathbb{R}$ ;
$\arctan{x}$	Arcotangente di un numero $x \in \mathbb{R}$ ;
$\lim_{n\rightarrow +\infty}$	Limite di una successione;
$\limsup_{n\rightarrow +\infty}$	Limite superiore di una successione;
$\liminf_{n\rightarrow +\infty}$	Limite inferiore di una successione;
$o(1)$	Simbolo di Landau o-piccolo di 1;
$\sim$	Relazione di asintotica equivalenza.;
$\int_a^b f(x)\,{\rm d}x$	Integrale definito tra $a$ e $b$ di una funzione.

Introduzione

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Le serie generalizzano l’operazione di addizione sui numeri reali nel caso in cui ad essere sommati siano un numero infinito di termini. Data una successione $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$

possiamo considerare la successione delle some parziali associata a $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$

, denotata con $\left\{ S_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$

, definita da

( $\ast$ ) $\begin{equation*} \begin{split} S_n:&=\sum\limits_{k=0}^n a_k \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \end{split} \end{equation*}$

cioè la somma dei primi $n$ termini della successione, al variare di $n$ .

Definizione 1 (serie numerica). Se il limite della successione delle somme parziali (*) esiste, si pone

$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n \coloneqq \lim_{n\rightarrow +\infty}S_n \in \mathbb{R} \cup \left\{ \pm \infty \right\}.$

Se tale limite è finito, diciamo che la {serie} associata alla successione $\{ a_n \}$ è convergente, e che converge a tale limite. Se, invece, tale limite è finito o non esiste, diciamo che la serie associata alla successione $\{ a_n \}$ è non convergente.

$\quad$

Nel caso in cui la serie sia non convergente possiamo distinguere tre casi:

$\quad$

Il limite esiste e vale $\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n =+\infty$ ;

Il limite esiste e vale $\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n =-\infty$ ;

Il limite non esiste.

Nel primo caso diciamo che la serie è divergente positivamente, nel secondo caso che è divergente negativamente e nel terzo caso che è indeterminata.

Richiami di teoria

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In questa sezione richiamiamo alcuni risultati fondamentali della teoria delle serie numeriche, necessari per la risoluzione degli esercizi proposti. Per maggiori dettagli si veda Teoria sulle serie numeriche.

Proposizione 1 (condizione necessaria per la convergenza). Sia $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n$

una serie convergente. Allora, il suo termine generale è infinitesimo, i.e. si ha

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n = 0.$

Lemma 1 (convergenza delle serie a termini di segno costante). Le serie a termini di segno definitivamente non negativo (risp. non positivo) possono essere convergenti o divergenti positivamente (risp. negativamente), ma non indeterminate.

Lemma 2. Due successioni che differiscono definitivamente di una costante hanno lo stesso carattere.

Corollario 1. Sia $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$

una successione. Per ogni $p >0$

, le serie

$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n \quad \mbox{e} \quad \sum_{n=p}^{+\infty}a_n$

hanno lo stesso carattere.

Corollario 2. Siano $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}},\{ b_n \}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$

due successioni che coincidono definitivamente. Allora, le serie

$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n \quad \mbox{e} \quad \sum_{n=0}^{+\infty}b_n$

hanno lo stesso carattere.

Lemma 3. Sia $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$

una serie convergente. Allora, per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$

, la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n)$

converge, e si ha

(1) $\begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n)=\alpha\sum_{n=0}^{+\infty}a_n. \end{equation*}$

Se, invece, la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ diverge, allora $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n)$ diverge per ogni $\alpha \neq 0$ .

Lemma 4. Siano date le serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n$

e $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n$

. Allora,

$\quad$

se entrambe le serie convergono, anche la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n+b_n)$ converge e si ha
$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\left(a_n+b_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n+\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n;$

se entrambe le serie divergono positivamente (risp. negativamente), oppure se una diverge positivamente (risp. negativamente) e l’altra converge, allora la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n+b_n)$ diverge positivamente (risp. negativamente).

Lemma 5 (somma geometrica). Sia $x \in \mathbb{R}$

. Allora, vale che:

$\sum_{k=0}^nx^k=\begin{cases} \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x\phantom{h}}, \mbox{ se } x \neq 1;\\ \\ n+1, \mbox{ se } x = 1. \end{cases}$

Proposizione 2 (carattere serie geometrica]. Sia $x \in \mathbb{R}$

. La serie geometrica di ragione $x$

vale

(2) $\begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}x^n =\begin{cases} \dfrac{1}{1-x}, \qquad & \text{se } x \in (-1,1) ; \\\\ +\infty, \qquad & \text{se } x \in[1,+\infty);\\\\ {\rm indeterminata}, \qquad & \text{se } x \in(-\infty,-1]. \end{cases} \end{equation*}$

Lemma 6 (somma telescopica). Sia $\{ b_n \}\subset \mathbb{R}$

una successione. Allora, vale che

(3) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{n}\left( b_{k+1}-b_k\right) = b_{n+1}-b_0. \end{equation*}$

Proposizione 3 (carattere serie telescopica). Sia $\displaystyle S= \sum_{n=0}^{+\infty}(b_{n+1}-b_n)$

una serie telescopica, allora vale:

(4) $\begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}(b_{n+1}-b_n)= \begin{cases} \left( \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n \right)-b_0, \qquad & \mbox{se esiste } \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n; \\\\ {\rm indeterminata}, \qquad & \mbox{altrimenti}. \end{cases} \end{equation*}$

$\quad$

I prossimi risultati forniscono i principali strumenti da utilizzare nello studio della convergenza delle serie numeriche a termini non negativi.

Teorema 1 (criterio del confronto). Siano $\{a_n\},\{b_n\}$

due successioni numeriche tali che definitivamente vale $0\leq a_n\leq b_n$

. Allora, si ha:

$\quad$

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n < +\infty \implies \sum_{n=0}^{+\infty}a_n < +\infty$

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n = +\infty \implies \sum_{n=0}^{+\infty}b_n = +\infty$

Teorema 2 (criterio del confronto asintotico). Siano $\{a_n\},\{b_n\}$

due successioni a termini definitivamente positivi e tale che $b_n >0$

definitivamente. Supponiamo che

$\lim_{n\to +\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\ell\in[0,+\infty].$

Si ha che

$\quad$

Se $\ell=0\,$ e $\,\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n<+\infty$ , allora $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n<+\infty$ ;

se $\ell=+\infty\,$ e $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_n=+\infty$ , allora $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n=+\infty$ ;

se $\ell \in(0,+\infty)\,$ , allora $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_n<+\infty$ se e solo se $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n<+\infty$ .

Teorema 3 (criterio di condensazione di Cauchy). Sia $\{a_n\}_{n\geq 1}$

una successione a termini positivi e monotona non crescente, ovvero

$a_n\geq a_{n+1}>0 \qquad \forall n \geq 1.$

Allora, le serie

$\sum_{n=1}^{+\infty }a_n \qquad \mbox{e} \qquad \sum_{n=0}^{+\infty }2^na_{2^n}$

hanno lo stesso carattere.

Lemma 7 (serie armonica generalizzata del primo tipo). Sia $\alpha \in \mathbb{R}$

. Allora,

$S_\alpha = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha} \quad \begin{cases} \text{converge}, \quad &\text{se}\,\,\alpha>1;\\ \text{diverge}, &\text{se}\,\,\alpha \leq 1. \end{cases}$

Lemma 8 (serie armonica generalizzata del secondo tipo). Siano $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$

. Allora,

$S_{\alpha,\beta} = \sum\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta} \quad \begin{cases} {\text{converge}},&\text{se}\,\, \alpha >1\, \lor \, \left( \alpha =1\, \wedge \, \beta >1 \right);\\ +\infty ,&\text{se}\,\,\alpha <1\, \lor \, \left( \alpha =1\, \wedge \, \beta \leq 1 \right). \end{cases}$

Teorema 4 (criterio del rapporto). Sia $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$

una serie a termini definitivamente positivi tale che

(5) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\ell\in[0,+\infty]. \end{equation*}$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\ell\in [0,1)$ , la serie converge;

Se $\ell\in(1,+\infty]$ , la serie diverge;

Se $\ell=1$ , il criterio è inconcludente.

Teorema 5 (criterio della radice). Sia $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$

una serie a termini definitivamente positivi tale che

(6) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty }\sqrt[n]{a_{n}}=\ell\in[0,+\infty]. \end{equation*}$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\ell\in [0,1)$ , la serie converge;

Se $\ell\in(1,+\infty]$ , la serie diverge;

Se $\ell=1$ , il criterio è inconcludente.

Teorema 6 (criterio dell’integrale). Sia $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}$

una successione a termini positivi e decrescente e sia $f:[1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$

una funzione positiva e decrescente tale che $f(n) = a_n$

per ogni $n\in\mathbb{N}$

. Allora, l’integrale improprio $\displaystyle \int\limits_{1}^{+\infty}f(x)\,{\rm d}x$

ha lo stesso carattere della serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$

Teorema 7 (criterio di Raabe). Sia $\displaystyle \sum_{n =1}^{+\infty} a_n$

una serie a termini definitivamente positivi, e supponiamo che esista

$\ell = \lim_{n \to +\infty} n \bigg( \frac{a_n}{a_{n+1}} -1 \bigg).$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\displaystyle \ell\in(1,+\infty]$ , la serie converge;

Se $\displaystyle\ell \in [-\infty,1)$ , la serie diverge;

Se $\displaystyle \ell=1$ , il criterio è inconcludente.

Teorema 8 (criterio del logaritmo). Sia $\displaystyle \sum_{n =1}^{+\infty} a_n$

una serie a termini definitivamente positivi e supponiamo che esista

$\ell = \lim_{n \to +\infty}\dfrac{\ln a_n}{\ln n }.$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\ell \in [-\infty,-1)$ , la serie converge;

Se $\ell \in (-1,+\infty]$ , la serie diverge;

Se $\ell=-1$ , il criterio è inconcludente.

$\quad$

Per quanto riguarda le serie a termini di segno variabile, abbiamo i seguenti risultati.

Definizione 2 (convergenza assoluta). Sia $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$

una successione. Diremo che la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$

è assolutamente convergente, oppure converge assolutamente, se

$\sum_{n=0}^{+\infty}\left|a_n\right| < +\infty.$

Proposizione 4 (criterio della convergenza assoluta). Sia $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$

una successione. Se la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$

converge assolutamente, allora converge semplicemente.

Teorema 9 (criterio di Leibniz). Sia $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$

una successione che soddisfa le seguenti proprietà:

$\quad$

$\{a_n\}$ è definitivamente monotona;

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n = 0$ .

Allora, la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n a_n$ è convergente.

Teorema 10 (criterio di Dirichlet). Siano $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}, \{ b_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$

due successioni tale che:

$\quad$

la successione $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ è definitivamente monotona;

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n = 0$ ;

la successione $\{B_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ delle somme parziali di $\left\{ b_n \right\}$ è limitata.

Allora, la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n b_n$ è convergente.

Teorema 11 (criterio di Abel). Siano $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}, \{ b_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$

due successioni tale che

$\quad$

la successione $\{a_n\}$ è definitivamente monotona e limitata.

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n$ converge;

Allora, la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n b_n$ è convergente.

$\quad$

Infine, ricordiamo la stima asintotica del fattoriale.

Lemma 9 (approssimazione di Stirling). Si ha

(7) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{n!}{\left( \dfrac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n}}=1, \end{equation*}$

o, equivalentemente,

(8) $\begin{equation*} n! =\sqrt{2\pi n} \left( \dfrac{n}{e}\right)^n(1+o(1)) \qquad \mbox{per } n \rightarrow + \infty. \end{equation*}$

Esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare la somma della seguente serie:

(9) $\begin{equation*} S \coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Ricordando i risultati sulle somme telescopiche, cf. lemma 6 e proposizione 3, segue che

$\begin{aligned} S_N=&\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=1-\frac{1}{\sqrt{N+1}}, \end{aligned}$

da cui

$S=\lim_{N\rightarrow+\infty}S_N=1.$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare la somma della seguente serie:

$S\coloneqq\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)} .$

Svolgimento.

Decomponiamo in fratti semplici il termine generale:

$\dfrac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\dfrac{A}{n}+\dfrac{B}{n+1}+\dfrac{C}{n+2}\quad \text{con}\,\,A,B,C\in \mathbb{R},$

da cui

$\begin{aligned} \dfrac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}&=\dfrac{A\left(n^2+3n+2\right)+B\left(n^2+2n\right)+C\left(n^2+n\right)}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\\ &=\dfrac{\left(A+B+C\right)n^2+\left(3A+2B+C\right)n+2A}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}. \end{aligned}$

Otteniamo il sistema

$\begin{cases} A+B+C=0\\ 3A+2B+C=0\\ 2A=1 \end{cases} \quad \iff \quad \begin{cases} A=\dfrac{1}{2}\\ B=-1\\ C=\dfrac{1}{2}. \end{cases}$

Quindi

$\begin{aligned} &\dfrac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\dfrac{1}{2n}-\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{2\left(n+2\right)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1}\right). \end{aligned}$

Pertanto, dal fatto che la somma è telescopica, cf. lemma 6, otteniamo

$\begin{aligned} S&=\lim_{N\to+\infty}\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\lim_{N\to+\infty}\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)+\left(\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1}\right)\right]=\\ &=\lim_{N\to+\infty}\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{N+1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{N+2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}. \end{aligned}$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare la somma della seguente serie:

$S\coloneqq\sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2^n}} .$

Svolgimento.

Ricordando i risultati sulla serie geometrica, cf. proposizione 2, segue che

$S=\left(1-\sqrt{2}\right)\sum_{n=3}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}=\left(1-\sqrt{2}\right)\left(\dfrac{\left(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right)}{1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}}\right)=\left(1-\sqrt{2}\right)\left(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\right)=-\dfrac{1}{2}.$

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare la somma della seguente serie:

(10) $\begin{equation*} S \coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}\ln\left(\dfrac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Ricordando i risultati sulle somme telescopiche, cf. lemma 6 e proposizione 3, si ha:

$\begin{aligned} S&=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(2\ln\left(n+1\right)-\ln\left(n\right)-\ln\left(n+2\right)\right)=\\ &=\sum_{n=1}^{+\infty}\Big[\left(\ln\left(n+1\right)-\ln\left(n\right)\right)-\left(\ln\left(n+2\right)-\ln\left(n+1\right)\right)\Big]=\\ &=\lim_{N\to+\infty}\sum_{n=1}^{N}\Big[\left(\ln\left(n+1\right)-\ln\left(n\right)\right)-\left(\ln\left(n+2\right)-\ln\left(n+1\right)\right)\Big]=\\ &=\lim_{N\to+\infty}\Big[\big( \ln(N+1)-\ln1 \big)-\left( \ln \big(N+2\big)-\ln 2 \right)\Big]=\\ &= \lim_{N\to+\infty} \left( \ln\left( \dfrac{N+1}{N+2}\right) + \ln 2\right)=\ln 2. \end{aligned}$

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Determinare se converge e, in caso affermativo, calcolare la somma della seguente serie:

(11) $\begin{equation*} S \coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+3)}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Sia $a_n=1/[n(n+3)]$

il termine generale della serie. Allora, per $n \to + \infty$

$\frac{1}{n(n+3)}=\frac{1}{n^2}(1+o(1)),$

ovvero la serie è asintotica a una serie convergente, cf. lemma 7, e dunque converge per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Possiamo scrivere

$\frac{1}{n(n+3)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+3}=\frac{An+Bn+3A}{n(n+3)},$

da cui

$A+B=0,\ 3A=1\implies A=\frac{1}{3},\ B=-\frac{1}{3},$

e quindi

$\frac{1}{n(n+3)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right).$

Ricordando i risultati sulle somme telescopiche, cf. lemma 6 e proposizione 3, segue che

$\begin{aligned} S_N=&\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+3)}=\frac{1}{3}\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right) =\frac{1}{3}\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{n} \pm\frac{1}{n+1} \pm \frac{1}{n+2} -\frac{1}{n+3}\right)=\\ =& \frac{1}{3}\left(\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1} \right) +\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{n+1} -\frac{1}{n+2} \right) + \sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{n+2} -\frac{1}{n+3} \right) \right)=\\ =&\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{N+1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{N+2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{N+3}\right), \end{aligned}$

e quindi

$S=\lim_{N\rightarrow+\infty} S_N=\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{18}.$

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Determinare se converge e, in caso affermativo, calcolare la somma della seguente serie:

(12) $\begin{equation*} S \coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{4n^2-1}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Per $n\to + \infty$

$\frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{4n^2}(1+o(1)),$

dunque la serie è asintotica a una serie convergente, cf. lemma 7, e quindi converge per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2. Ora, abbiamo

$\frac{1}{4n^2-1}=\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1}=\frac{2n(A+B)+A-B}{4n^2-1},$

da cui

$A+B=0,\ A-B=1\implies A=\frac{1}{2},\ B=-\frac{1}{2},$

e quindi

$\frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right).$

Ricordando i risultati sulle somme telescopiche, cf.lemma 6 e proposizione 3, segue che

$\begin{aligned} S_N=&\sum_{n=1}^N \frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2(n+1)-1}\right)\\ =& \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2N+1}\right), \end{aligned}$

da cui

$S=\lim_{N\rightarrow+\infty}S_N=\frac{1}{2}.$

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Determinare se converge e, in caso affermativo, calcolare la somma della seguente serie:

(13) $\begin{equation*} S \coloneqq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Per $n\to + \infty$

$\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{2n}{n^2\cdot n^2}(1+o(1))=\frac{2}{n^3}(1+o(1)),$

dunque la serie è asintotica a una serie convergente, cf. lemma 7, e quindi converge per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2. Osserviamo che

$(n+1)^2=n^2+2n+1\implies 2n+1=(n+1)^2-n^2,$

dunque per ogni $n\geq 1$

$\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{(n+1)^2-n^2}{n^2(n+1)^2}=\frac{(n+1)^2}{n^2(n+1)^2}-\frac{n^2}{n^2(n+1)^2}= \frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}.$

Ricordando i risultati sulle somme telescopiche, cf. lemma 6 e proposizione 3, segue che

$\begin{aligned} S_N=\sum_{n=1}^N \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\right)= 1-\frac{1}{(N+1)^2}, \end{aligned}$

da cui

$S=\lim_{N\rightarrow+\infty}S_N=1.$

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Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Determinare se converge e, in caso affermativo, calcolare la somma della seguente serie:

(14) $\begin{equation*} S \coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{(n+1)!}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Sia $a_n$

il termine generale della serie data. Allora,

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}&=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n+1}{(n+2)!}\cdot\frac{(n+1)!}{n}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{(n+1)(n+1)!}{(n+2)(n+1)!\cdot n}=\\ &=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n+1}{n(n+2)}=0, \end{aligned}$

per cui la serie converge per il criterio del rapporto, cf. teorema 4.

Possiamo scrivere, per ogni $n\geq 1$ ,

$\frac{n}{(n+1)!}=\frac{n+1-1}{(n+1)!}=\frac{n+1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!},$

per cui la serie è telescopica. Ricordando i risultati sulle somme telescopiche, cf. lemma 6 e proposizione 3, segue che

$\begin{aligned} S_N=&\sum_{n=1}^N \frac{n}{(n+1)!}=\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}\right)= 1-\frac{1}{(N+1)!}, \end{aligned}$

e quindi

$S=\lim_{N\rightarrow+\infty} S_N=1.$

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Determinare per quali valori di $x\in\mathbb{R}$

le seguenti serie convergono e, per tali valori, calcolare la somma della serie:

$(1)\ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{3^n}{x^n(x-6)^n},\qquad (2)\ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{(1-x)^n},\qquad (3)\ \sum_{n=1}^{+\infty} (3x)^{nx},$

$(4)\ \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{1-\log|x|}\right)^n,\qquad (5)\ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(6-2x)^n}{2^n(x-1)^{2n}}.$

Svolgimento punto 1.

Osserviamo che

$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{3^n}{x^n(x-6)^n}=\sum_{n=0}^{+\infty}\left[\frac{3}{x(x-6)}\right]^n,$

per cui la serie data è una serie geometrica di ragione $q=\dfrac{3}{x(x-6)}$ , cf. proposizione 2, dunque converge se e solo se $|q|<1$ . Abbiamo

$\left|\frac{3}{x(x-6)}\right|<1\iff -1<\frac{3}{x(x-6)}<1\iff \left\{\begin{array}{l} \displaystyle\frac{x^2-6x+3}{x(x-6)}>0\\ \\ \displaystyle\frac{x^2-6x-3}{x(x-6)}<0. \end{array}\right.$

Per la prima disequazione, si ha

$\begin{equation*} \begin{aligned} &N:\ x^2-6x+3>0\iff x<3-\sqrt{6},\ x>3+\sqrt{6}, \\ &D:\ x(x-6)>0\iff x<0,\ x>6, \end{aligned} \end{equation*}$

da cui si ottiene il seguente grafico Dunque, la soluzione della prima disequazione è

$x<0 \quad \vee \quad 3-\sqrt{6}<x<3+\sqrt{6}\quad \vee \quad x>6.$

Per la seconda disequazione, si ha

$\begin{equation*} \begin{aligned} & N:\ x^2-6x-3>0\iff x<3-2\sqrt{3},\ x>3+2\sqrt{3},\\ &D:\ x(x-6)>0\iff x<0,\ x>6, \end{aligned} \end{equation*}$

da cui si ottiene il seguente grafico Dunque, la soluzione della seconda disequazione è

$x<3-2\sqrt{3}\quad \vee \quad 0<x<6 \quad \vee \quad x>3+2\sqrt{3}.$

Le due disequazioni sono risolte simultaneamente per

$x<3-2\sqrt{3}\quad \vee \quad 3-\sqrt{6}<x<3+\sqrt{6} \quad \vee \quad x>3+2\sqrt{3},$

e quindi la serie data converge per

$x\in(-\infty,3-2\sqrt{3})\cup(3-\sqrt{6},3+\sqrt{6})\cup(3+2\sqrt{3},+\infty).$

Per tali valori di $x$ , si ha

$S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\left[\frac{3}{x(x-6)}\right]^n=\frac{1}{1-\dfrac{3}{x(x-6)}}=\frac{x(x-6)}{x^2-6x-3}.$

Svolgimento punto 2.

Osserviamo che

$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{(1-x)^n}=\sum_{n=0}^{+\infty}\left[\frac{x}{1-x}\right]^n,$

per cui la serie data è una serie geometrica di ragione $q=\dfrac{x}{1-x}$ , cf. proposizione 2, dunque converge se e solo se $|q|<1$ . Abbiamo

$\left|\frac{x}{1-x}\right|<1\iff -1<\frac{x}{1-x}<1\iff \left\{\begin{array}{l} \displaystyle\frac{1}{1-x}>0\\ \\ \displaystyle\frac{2x-1}{1-x}>0 \end{array}\right.$

La prima disequazione è risolta per

$1-x>0\iff x<1$

Per la seconda disequazione, si ha

$\begin{equation*} \begin{aligned} & N:\ 2x-1>0\iff x>\frac{1}{2},\\ &D:\ 1-x>0\iff x<1, \end{aligned} \end{equation*}$

da cui la soluzione $\dfrac{1}{2}<x<1$ .

Le due disequazioni sono risolte simultaneamente per

$\dfrac{1}{2}<x<1,$

ovvero la serie converge se e solo se

$x\in\left(\frac{1}{2},\ 1\right).$

In tal caso, si ha

$S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\left[\dfrac{x}{1-x}\right]^n=\dfrac{x}{1-x}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{x}{1-x}}= \frac{x}{1-x}\cdot\frac{1-x}{1-2x}=\frac{x}{1-2x}.$

Svolgimento punto 3.

Osserviamo che

$\sum_{n=1}^{+\infty}(3x)^{nx}=\sum_{n=1}^{+\infty}\left[(3x)^x\right]^n,$

per cui la serie data è una serie geometrica di ragione $q=(3x)^x$ , cf. proposizione 2, dunque converge se e solo se $|q|<1$ . Abbiamo

$(3x)^x<1\iff \left\{\begin{array}{l} x>0\\ 3x<1, \end{array}\right.$

da cui la soluzione $0<x<\dfrac{1}{3}$ . Ne segue che la serie converge se e solo se

$x\in\left(0,\frac{1}{3}\right),$

ed in tal caso si ha

$S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \left[(3x)^x\right]^n=(3x)^x\cdot\frac{1}{1-(3x)^x}=\frac{(3x)^x}{1-(3x)^x}.$

Svolgimento punto 4.

La serie data è una serie geometrica di ragione $q=\dfrac{1}{1-\log|x|}$

, cf. proposizione 2. Essa converge se e solo se $|q|<1$

e quindi se

$\left|\frac{1}{1-\log|x|}\right|<1\iff -1<\frac{1}{1-\log|x|}<1\iff \left\{\begin{array}{l} \displaystyle\frac{2-\log|x|}{1-\log|x|}>0\\ \\ \displaystyle\frac{\log|x|}{1-\log|x|}<0. \end{array}\right.$

Per la prima disequazione, si ha

$\begin{equation*} \begin{aligned} & N:\ 2-\log|x|>0\iff \log|x|<2\iff 0<|x|<e^2\iff -e^2<x<0 \ \vee \ 0<x<e^2,\\ &D:\ 1-\log|x|>0\iff \log|x|<1\iff 0< |x|<e\iff -e<x<0 \ \vee \ 0<x<e, \end{aligned} \end{equation*}$

da cui si ottiene il seguente grafico Dunque, la soluzione della prima disequazione è

$x<-e^2\quad \vee \quad -e<x<0 \quad \vee \quad 0<x<e \quad \vee \quad x>e^2.$

Per la seconda disequazione, si ha

$\begin{equation*} \begin{aligned} & N:\ \log|x|>0\iff |x|>1\iff x<-1,\ x>1, \\ &D:\ 1-\log|x|>0\iff \log|x|<1\iff 0< |x|<e\iff -e<x<0 \ \vee \ 0<x<e, \end{aligned} \end{equation*}$

da cui si ottiene il seguente grafico Dunque, la soluzione della seconda disequazione è

$x<-e \quad \vee \quad -1<x<0 \quad \vee \quad 0<x<1 \quad \vee \quad x>e.$

Le due disequazioni sono risolte simultaneamente per

$x<-e^2 \quad \vee \quad -1<x<0 \quad \vee \quad 0<x<1 \quad \vee \quad x>e^2,$

e quindi la serie converge se e solo se

$x\in(-\infty,-e^2)\cup(-1,0)\cup(0,1)\cup(e^2,+\infty).$

In tal caso, si ha

$S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{1-\log|x|}\right)^n=\dfrac{1}{1-\log|x|}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{1-\log|x|}}= -\dfrac{1}{\log|x|}.$

Svolgimento punto 5.

Osserviamo che

$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(6-2x)^n}{2^n(x-1)^{2n}}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{2^n(3-x)^n}{2^n[(x-1)^2]^n}= \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{3-x}{(x-1)^2}\right)^n,$

per cui la serie data è una serie geometrica di ragione $q=\dfrac{3-x}{(x-1)^2}$ , cf. proposizione 2, dunque converge se e solo se $|q|<1$ . Abbiamo

$\left|\frac{3-x}{(x-1)^2}\right|<1\iff -1<\frac{3-x}{(x-1)^2}<1\iff \left\{\begin{array}{l} \displaystyle\frac{x^2-3x+4}{(x-1)^2}>0\\ \\ \displaystyle\frac{x^2-x-2}{(x-1)^2}>0. \end{array}\right.$

Per la prima disequazione, si ha

$\begin{equation*} \begin{aligned} & N:\ x^2-3x+4>0\iff x\in\R,\\ &D:\ (x-1)^2>0\iff x\neq 1, \end{aligned} \end{equation*}$

dunque la soluzione è

$x\in\R \setminus \left\{ 1 \right\}.$

Per la seconda disequazione, si ha

$\begin{equation*} \begin{aligned} & N:\ x^2-x-2>0\iff x<-1 \quad \vee \quad x>2,\\ &D:\ (x-1)^2>0\iff x\neq 1, \end{aligned} \end{equation*}$

dunque la soluzione è

$x<-1\quad \vee \quad x>2.$

Sovrapponendo le due soluzioni, si ottiene la soluzione del sistema

$x<-1,\ x>2,$

e quindi la serie converge se e solo se

$x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty).$

In tal caso si ha

$S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\dfrac{3-x}{(x-1)^2}\right)^n=\dfrac{1}{1-\dfrac{3-x}{(x-1)^2}}=\dfrac{(x-1)^2}{x^2-x-2}= \dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-2)}.$

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$

. Calcolare la somma della seguente serie:

(15) $\begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}\arctan\left(\dfrac{1}{n^2+n+1}\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\dfrac{1}{n^2+n+1}= \dfrac{(n+1)-n}{1+ (n+1)n}.$

Ponendo

(16) $\begin{equation*} \tan\alpha \coloneqq n+1 \qquad \mbox{e} \qquad \tan\beta\coloneqq n, \end{equation*}$

abbiamo

(17) $\begin{equation*} \dfrac{1}{n^2+n+1}= \dfrac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}=\tan\left(\alpha-\beta\right), \end{equation*}$

dove, nell’ultima uguaglianza, abbiamo usato la formula di somma e sottrazione per la tangente. Dalle equazioni (16) e (17), otteniamo che

$\arctan\left(\dfrac{1}{n^2+n+1}\right)=\alpha - \beta= \arctan\left(n+1\right)-\arctan n,$

dunque la serie data è telescopica. Abbiamo dunque, cf. proposizione 3, che

$\begin{aligned} &S=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\arctan\left(n+1\right)-\arctan n\right)=\left( \lim_{n\to+\infty}\arctan\left(n\right) \right)-\arctan 1= \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4} =\dfrac{\pi}{4}. \end{aligned}$

Riferimenti bibliografici

[1] Andrews G. E., Askey R., Roy R.; Special functions, Encyclopedia of Mathematics and Its Appliications #71, Cambridge University Press 1999.

[2] Apostol, T. M.; Calculus, Volume I: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra, John Wiley & Sons 1967.

[3] Dedekind R., Essays on the Theory of Numbers: I. Continuity and Irrational Numbers, II. The Nature and Meaning of Numbers (translated by W.W. Beman), Chicago, Open Court Publishing, 1901.

[4] Giusti, E.; Analisi matematica 1, I Programma di matematica fisica elettronica, Bollati Boringhieri 1992.

[5] Havil, J., Gamma: Exploring Euler’s Constant, Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.

[6] Kifowit, Steven J.; Stamps, Terra A. (Spring 2006). “The harmonic series diverges again and again” (PDF). AMATYC Review. American Mathematical Association of Two-Year Colleges. 27 (2): 31–43.

[7] Muresan, M. ; A Concrete Approach to Classical Analysis, CMS Books in Mathematics, Springer 2008.

[8] Problem 12215. proposto da O. Furdui and A. Sintamarian (Romania), American Mathematical Monthly, Vol.127, November 2020.

[9] Rudin, W.; Principles of mathematical analysis, International series in pure and applied mathematics, McGraw-Hill 1976.

[10] Rudin, W.; Real and complex analysis, International series in pure and applied mathematics, McGraw-Hill 1987.

[11] Teismann H., Toward a More Complete List of Completeness Axioms (vol. 120), The American Mathematical Monthly, 2013.

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