Esercizi su insiemi e funzioni

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I concetti di insieme e le funzione costituiscono le fondamenta della matematica moderna. Mentre la nozione di insieme viene solitamente presentata come un concetto primitivo, ossia che non necessita di una definizione, una funzione è una particolare relazione tra gli elementi di due insiemi. Per chiunque si avvicini alla matematica, padroneggiare questi concetti è di importanza fondamentale: si vedano ad esempio gli articoli Teoria degli insiemi e Teoria sulle funzioni.
Questa dispensa è una raccolta di esercizi svolti sugli insiemi e le funzioni, focalizzati sui seguenti argomenti:

Operazioni tra insiemi come unione, intersezione, insieme delle parti e prodotto cartesiano;
Nozione di funzione;
Funzioni iniettive, suriettive e biettive, con particolare enfasi alle funzioni tra insiemi numerici;
Funzioni inverse e loro determinazione;
Composizione di funzioni e loro relazioni con le proprietà di iniettività, suriettività e biettività.

Ogni esercizio è dotato di una soluzione che permette al lettore di confrontare il lavoro svolto. Con spiegazioni chiare e accessibili, il testo è un ottimo punto di partenza sia per chi inizia i propri studi di Matematica, sia per chi desidera verificare e affinare la propria preparazione su questi temi fondamentali.

Consigliamo la consultazione della cartella di esercizi su insiemi e logica. Riguardo invece alla teoria di riferimento, oltre alla lista reperibile alla fine dell’articolo, segnaliamo il seguente materiale su argomenti affini:

Autori e revisori

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Autori: Daniele Volpe

Revisori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

Notazioni

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$\emptyset$

$A\times B$

$|A|\in\mathbb{N}$

$\mathcal{P}(A)$

$\mathbb{N}$

$\mathbb{Z}$

$\mathbb{Q}$

$\mathbb{R}$

$\mathbb{C}$

insieme vuoto;

prodotto cartesiano degli insiemi $A$ e $B$ ;

cardinalità dell’insieme finito $A$ ;

insieme delle parti dell’insieme $A$ ;

insieme numeri naturali (incluso lo zero);

insieme numeri interi (incluso lo zero);

insieme dei numeri razionali;

insieme dei numeri reali;

insieme dei numeri complessi.

$\quad$

Testi degli Esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Descrivere l’insieme $A \cap B$ nei seguenti casi:

$A$ è l’insieme dei numeri naturali pari, $B$ quello dei numeri naturali divisibili per 5;

$A=\{2t \colon t \in \mathbb{Z}\}$ , $B$ è l’insieme dei numeri primi.

Svolgimento punto 1.

$A \cap B$ è l’insieme dei numeri naturali che sono divisibili sia per $2$ che per $5$ , ne consegue che è l’insieme dei numeri naturali divisibili per $10$ .

Svolgimento punto 2.

$A$ è l’insieme dei numeri interi divisibili per 2: quindi gli unici numeri primi contenuti nell’insieme $A$ sono $2$ e $-2$ . Si conclude che

$A \cap B= \{-2,2\}.$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Se $A \cup B = A$ , a cosa è uguale $A \cap B$ ? Se $A \cup B = A \cap B$ , cosa possiamo concludere?

Svolgimento.

Dato che $B \subseteq A \cup B=A$ , ne consegue che che $A \cap B=B$ . Supponiamo ora che $A \cap B$ sia uguale a $A \cup B$ . Notiamo che valgono le seguenti inclusioni

$A \cap B \subseteq A,\quad A \cap B \subseteq B.$

Viceversa, possiamo affermare che

$A \subseteq A \cup B=A\cap B,\quad B \subseteq A \cup B= A \cap B.$

Poiché valgono tali doppie inclusioni, deduciamo che $A=A\cap B$ e $B=A\cap B$ : concludiamo per transitività dell’uguaglianza che $A=B$ .

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Se $A$ è un insieme, l’insieme delle parti di A, denotato con $\mathcal{P}(A)$ , è l’insieme dei sottoinsiemi di $A$ .

Descrivere esplicitamente $\mathcal{P}(\{a, b\})$ e $\mathcal{P}(\{x, y, z\})$ . Quanti elementi hanno?

Se $A$ è un insieme con $n$ elementi, quanti elementi ha $\mathcal{P}(A)$ ?

Svolgimento punto 1.

Elenchiamo esplicitamente tutti i sottoinsiemi dei due insiemi in esame:

$\quad$

$\mathcal{P}(\{a,b\})=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$ . L’insieme ha $4$ elementi.

$\mathcal{P}(\{x,y,z\})=\{\emptyset, \{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\},\{x,y,z\}\}$ . L’insieme ha $8$ elementi.

Svolgimento punto 2.

Sia adesso $A$ un insieme di cardinalità $n$ . Per definizione ciò significa che esiste una biezione tra tale insieme ed i primi $n$ naturali non nulli $\{1,2,\dots,n\}$ , che possiamo sfruttare per ordinare gli elementi di $A$ . Avendo ordinato $A$ , siano adesso $\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$ i suoi elementi. La costruzione di un suo sottoinsieme si basa sullo scegliere, per ogni elemento $a_i\in A$ , se esso appartiene o no al sottoinsieme che si intende costruire. Scelte diverse corrispondono a sottoinsiemi diversi. Abbiamo quindi $2$ scelte per il primo elemento, $2$ scelte per il secondo, e così via fino all’ $n$ -esimo elemento. Si conclude che il numero totale di scelte possibili è $2^n$ e quindi si conclude che

$|\mathcal{P}(A)|=2^n.$

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano $A = \{a, b\}$ e $B = \{x, y, z \}$ . Descrivere esplicitamente $A\times A$ , $B \times B$ , $A \times B$ .

Svolgimento.

La soluzione segue banalmente dalla definizione di prodotto cartesiano, che ricordiamo brevemente. Siano $A$ e $B$ due insiemi, il loro prodotto cartesiano $A\times B$ è definito come l’insieme delle coppie ordinate di elementi, rispettivamente, di $A$ e di $B$ :

$A\times B=\{(a,b)\colon a\in A \text{ e } b\in B\}.$

$A \times A = \{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)\}$ .
$B \times B = \{(x,x),(x,y),(x,z),(y,x),(y,y),(y,z),(z,x),(z,y),(z,z)\}$ .
$A \times B = \{(a,x),(a,y),(a,z),(b,x),(b,y),(b,z)\}$ .

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Verificare quali delle seguenti applicazioni $f\colon A\rightarrow B$ sono iniettive, quali suriettive, quali biettive.

$f\colon A\to B$ con $A=\{\text{mesi dell'anno}\}$ , $B = \{\text{lettere dell'alfabeto italiano}\}$ , ove $f$ associa ad ogni mese la lettera iniziale del suo nome;

$f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ definita da $f(x)=x^2$ , $\forall x\in\mathbb{N}$ ;

$f\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ , definita da $f(x) = x^2$ , $\forall x\in\mathbb{Z}$ ;

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , definita da $f(x) = x^2$ , $\forall x\in\mathbb{R}$ ;

$f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ , definita da $f(x) = x^2$ , $\forall x\in\mathbb{C}$ .

Svolgimento punto 1.

La funzione $f$ non è iniettiva poiché $f(\text{Gennaio})=f(\text{Giugno})=G$ . Per mostrare che la funzione non è neppure suriettiva, basta trovare una lettera che non è iniziale del nome di alcun mese: per esempio $T$ .

Svolgimento punto 2.

$f$ è iniettiva. Prendiamo in considerazione quindi due naturali distinti $x$ e $y$ , senza perdita di generalità possiamo assumere $x < y$ . Possiamo dunque porre $y=x+r$ con $r=y-x>0$ . Essendo $r>0$ otteniamo che

$y^2= x^2 +2xr + r^2>x^2.$

Dunque $f$ è strettamente crescente e quindi iniettiva. $f$ non è però suriettiva in quanto, ad esempio, $2$ non è il quadrato di alcun numero naturale. Infatti, se lo fosse, chiamata $l\in\mathbb{N}$ la sua radice avremmo

$l^2=2<4=2^2.$

La monotonia della funzione, precedentemente provata, implicherebbe

$l<2,$

ma quindi avremmo come uniche possibilità $l=1$ oppure che $l=0$ . Entrambi i casi contraddicono $l^2=2$ . Quindi $l$ non può essere un intero.

Svolgimento punto 3.

$f$ non è iniettiva: infatti $f(-a)=f(a)$ per ogni $a\in \mathbb{Z}$ . Per provare che la funzione non è suriettiva, osserviamo che non esiste alcun numero intero avente quadrato negativo.

Svolgimento punto 4.

La funzione $f$ non è né iniettiva né suriettiva. Per ogni $x\in\mathbb{R}$ si ha che $f(x)=f(-x)$ , in contraddizione con la definizione di iniettività. Inoltre, dato che non esiste alcun numero reale avente quadrato negativo, si deduce che la funzione non è neppure suriettiva.

Svolgimento punto 5.

La funzione $f$ non è iniettiva: infatti per ogni numero complesso $c\in\mathbb{C}$ vale ancora che $f(c)=f(-c)$ . Per provarne invece la suriettività, dato $z=a+ib \in \mathbb{C}$ , vogliamo esibire $w=x+iy \in \mathbb{C}$ tale che $w^2=z$ . Svolgendo il quadrato si ottiene

(1) $\begin{equation*} x^2 -y^2 + 2ixy = a + ib \iff \begin{cases} x^2 -y^2 = a \\ 2xy = b, \end{cases} \end{equation*}$

dove il sistema segue uguagliando la parte reale e quella immaginaria dei numeri nella prima equazione. Elevando al quadrato le due equazioni del sistema e sommandole giungiamo a

(2) $\begin{equation*} %x^4- 2x^2y^2 + y^2 + 4x^2y^2 = a^2+b^2 %\iff x^4 + 2x^2y^2 + y^2 = a^2+b^2 \iff (x^2+y^2)^2= a^2+b^2 \iff x^2+y^2 = \sqrt{a^2+b^2}. \end{equation*}$

Sommando tale uguaglianza con la prima equazione del sistema in (1) e risolvendo rispetto a $x$ si ricava

(3) $\begin{equation*} 2x^2 = \sqrt{a^2+b^2} + a \iff x = \pm \sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2+b^2} + a}{2}}, \end{equation*}$

in cui è lecito estrarre la radice quadrata in quanto $\sqrt{a^2+b^2} + a\geq 0$ poiché $\sqrt{a^2+b^2} \geq \sqrt{a^2}= |a|$ . Sostituendo il valore di $x$ nella prima equazione del sistema (1) e risolvendo rispetto a $y$ , si ottiene

(4) $\begin{equation*} y^2 = x^2 - a \iff y^2 = \dfrac{\sqrt{a^2+b^2} + a}{2} - a = \dfrac{\sqrt{a^2+b^2} - a}{2} \iff y= \pm \sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2+b^2} - a}{2}}. \end{equation*}$

Delle quattro combinazioni di $x+iy$ che si ottengono scegliendo i segni $\pm$ , due sono accettabili poiché $xy$ deve avere lo stesso segno di $b$ per la seconda equazione del sistema (1). Ciò mostra che un numero complesso $w$ cercato esiste e dunque $f$ è suriettiva. Analizzando più a fondo i casi in cui $b=0$ o $a=0$ si vede che esistono esattamente due soluzioni se almeno uno di essi è non nullo, ed esattamente la soluzione $x=y=0$ se $a=b=0$ , coerentemente con quanto osservato nello studio dell’initettività di $f$ . Lo stesso risultato può essere ottenuto molto più agevolmente, sfruttando la rappresentazione goniometrica dei numeri complessi e le identità goniometriche di base. Ricordiamo quindi in primo luogo che un generico numero complesso $a+ib=z\in\mathbb{C}$ può essere rappresentato nella forma

$z=\rho\left(\cos\phi+i\sin\phi\right),$

dove il modulo $\rho\geq 0$ è dato da

$\rho=\sqrt{a^2+b^2}$

e, se $z\neq 0$ , la fase (o argomento) $\phi\in[0,2\pi)$ è definita dal sistema di equazioni:

$\begin{cases} \dfrac{a}{\rho}=\cos\phi\\[10pt] \dfrac{b}{\rho}=\sin\phi. \end{cases}$

A questo punto, l’esistenza di una radice quadrata per il generico $z\in\mathbb{C}$ segue notanto che il numero complesso

$w=\sqrt{\rho}\left(\cos\frac{\phi}{2}+i\sin\frac{\phi}{2}\right)$

è tale che $w^2=z.$ Proviamolo per calcolo diretto:

$\left(\sqrt{\rho}\left(\cos\frac{\phi}{2}+i\sin\frac{\phi}{2}\right)\right)^2=\rho\left(\cos^2\frac{\phi}{2}-\sin^2\frac{\phi}{2}+2i\cos\frac{\phi}{2}\sin\frac{\phi}{2}\right)=\rho(\cos\phi+i\sin\phi)=z.$

Nel primo passaggio si è sviluppato il quadrato, ricordando che $i^2=-1$ , mentre nel secondo si sono utilizzate le identità goniometrice di base dette formule di duplicazione:

$\begin{cases} \cos(2x)=\cos^2 x-\sin^2 x\\ \sin(2x)=2\cos x\sin x. \end{cases}$

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Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ .

Verificare se l’applicazione $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tale che $f(x) = \dfrac{4x+3}{5}$ , per ogni $x \in \mathbb{R}$ , è biettiva.

Verificare se l’applicazione $f : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ tale che $f(x) = \dfrac{2x-3}{7}$ , per ogni $x \in \mathbb{Q}$ , è biettiva.

Verificare se l’applicazione $f : \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ tale che $f((x, y)) = \left(-\dfrac{y}{2}, 2x + y\right)$ , per ogni $(x,y)\in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ , è biettiva.

Determinare, se è possibile, l’inversa dell’applicazione $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tale che $f(x) =\dfrac{x^3-2}{3}$ , per ogni $x \in \mathbb{R}$ .

Determinare, se è possibile, l’inversa dell’applicazione $f : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ tale che $f(x) = \dfrac{4x+5}{7}$ , per ogni $x \in \mathbb{Q}$ .

Svolgimento punto 1.

Sia $y \in \mathbb{R}$ ; si ha

$y=f(x) \iff y= \frac{4x+3}{5} \iff 5y= 4x+3 \iff x=\frac{5y-3}{4}.$

Poiché ogni $y \in \mathbb{R}$ è immagine del solo numero reale $\dfrac{5y-3}{4}$ , $f$ è iniettiva e suriettiva, quindi è biettiva. Si noti che ciò fornisce anche l’espressione della funzione inversa $f^{-1}(y)=\dfrac{5y-3}{4}$ per ogni $y\in \mathbb{R}$ .

Svolgimento punto 2.

Sia $y\in\mathbb{Q}$ ; si ha

$y=f(x) \iff y=\frac{2x-3}{7} \iff 7y=2x-3 \iff x=\frac{7y+3}{2}.$

Poiché ogni $y \in \mathbb{Q}$ è immagine del solo numero razionale $\dfrac{7y+3}{2}$ , $f$ è iniettiva e suriettiva, quindi è biettiva. Si noti che ciò fornisce anche l’espressione della funzione inversa $f^{-1}(y)=\dfrac{7y+3}{2}$ per ogni $y\in \mathbb{Q}$ .

Svolgimento punto 3.

Sia $(u,v)\in\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ ; si ha che

$(u,v)=f(x,y) \iff \begin{cases} u=y/2 \\ v=2x+y,\end{cases} \iff\begin{cases}x=v/2-u \\ y=2u.\end{cases}.$

Poiché ogni $(u,v) \in \mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ è immagine della sola coppia di numeri razionali $(\frac{v}{2}-u,2u)$ , $f$ è iniettiva e suriettiva, quindi è biettiva. Notare come anche qui sia stata esplicitata un’inversa.

Svolgimento punto 4.

La funzione inversa $f^{-1}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ è $f^{-1}(y)=(3y+2)^{\frac{1}{3}}$ . Per ricavarla è sufficiente fissare un valore dell’immagine $y\in\mathbb{R}$ e ricavare, tramite banali passaggi algebrici, analogamente ai punti precedenti,

$x^3=3y+2.$

L’invertibilità della funzione $x^3$ permette di concludere estraendo la radice cubica di ambo i membri.

Svolgimento punto 5.

La funzione inversa $f^{-1}\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ si ricava in modo analogo a quanto fatto nei primi due punti ed è

$f^{-1}(x)=\frac{7(x-5)}{4}.$

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $X$ un insieme con cardinalità $|X| = 3$ . Si determini quante biezioni $f : X \longrightarrow X$ esistono. Si stabilisca successivamente per
quante di queste vale che $f = f^{-1}$ .

Svolgimento.

Elenchiamo tutte le possibili biezioni in delle tabelle fatte in tal modo: nella prima riga sono indicati gli elementi del dominio, nella seconda riga ogni componente è l’immagine dell’elemento che le sta sopra sulla stessa colonna. La rappresentazione è dunque la seguente:

$f=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ f(1) & f(2) & f(3) \end{array}\right).$

Funzione identica $f_1=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right)$ ;

$f_2=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right)$ ;

$f_3=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right)$ ;

$f_4=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right)$ ;

$f_5=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right)$ ;

$f_6=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right)$ .

Tali biezioni sono quindi $6$ ed ognuna differisce dall’altra per una permutazione degli elementi del codominio. Alla luce di tale osservazione avremmo potuto contarle senza elencarle. Infatti le permutazioni di $n$ elementi distinti sono esattamente tutte le possibili liste ordinate di tali elementi: vi sono $n$ scelte per il primo elemento della lista, $n-1$ per il secondo e così via fino ad avere un’unica scelta per l’ $n$ -esimo ed ultimo. Deduciamo quindi che il numero cercato è

$n!=n\cdot(n-1)\cdot\dots\cdot2\cdot 1.$

Nel caso in esame infatti $3!=3\cdot 2\cdot 1=6$ . Passiamo allo studio delle funzioni inverse. Per le prime quattro funzioni vale $f^{-1}=f$ . Per provare ciò notiamo prima di tutto che la tabella associata all’inversa di una funzione si può ottenere scambiando le due righe e riordinando le colonne in modo tale che sulla nuova prima riga le componenti risultino nuovamente in ordine crescente. La funzione identica è banalmente uguale alla sua inversa. Applichiamo tale regola a tutte le funzioni:

$f_2=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \longrightarrow f_2^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right)=f_2.$

$f_2=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \longrightarrow f_3^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right)=f_3.$

$f_3=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2& 1 \end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \longrightarrow f_4^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right)=f_4.$

$f_5=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \longrightarrow f_5^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right)=f_6.$

$f_6=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \longrightarrow f_6^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right)=f_5.$

Esercizio 8 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare $f \circ g$ e $g \circ f$ , dove:

$f, g : \mathbb{Q} \longrightarrow \mathbb{Q}$ sono definite da $f(x) = x^2 + 4$ , $g(x) = \dfrac{7x-2}{5}$ , $\forall x\in\mathbb{Q}$ ;

$f, g : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ sono definite da $f(x) = 3x + 2$ , $g(x) = \dfrac{x^3-2}{2}$ , $\forall x\in\mathbb{R}$ .

Svolgimento punto 1.

Per ogni $x\in\mathbb{Q}$ si ha:

$(f \circ g)(x)=f(g(x))= \left(\frac{7x-2}{5}\right)^2 +4=\frac{49x^2+4-28x+100}{25}=\frac{49x^2-28x+104}{25};$

$(g \circ f)(x)=g(f(x))=\frac{7(x^2 +4)-2}{5}=\frac{7x^2 +26}{5}.$

Svolgimento punto 2.

Per ogni $x\in\mathbb{R}$ si ha:

$(f \circ g)(x)=f(g(x))=3\frac{x^3-2}{2}+2=\frac{3x^3-6+4}{2}=\frac{3x^3-2}{2};$

$(g \circ f)(x)=g(f(x))=\frac{(3x+2)^3-2}{2}=\frac{27x^3+54x^2+36x+8-2}{2}=\frac{27x^3+54x^2+36x+6}{2}.$

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ .

Dare un esempio di applicazioni $f : A \longrightarrow B$ e $g : B \longrightarrow C$ tali che $g \circ f$ sia iniettiva, ma almeno una fra $f$ e $g$ non lo sia;

Si faccia la stessa cosa con “suriettiva” o “biettiva” al posto di “iniettiva”.

Potrebbe verificarsi che $g\circ f$ sia biettiva e che solo una fra $f$ e $g$ lo sia?

Svolgimento punto 1.

Poniamo $A=\{1\}$ , $B=\{1,2\}$ . Definiamo $f: A \longrightarrow B$ ponendo $f(1)=1$ . Definiamo $g : B \longrightarrow A$ ponendo $g(1)=g(2)=1$ . In questo caso $g \circ f$ è la funzione identità da $A$ in $A$ che manda $1$ in $1$ , che è biettiva, quindi iniettiva. Tuttavia, la funzione $g$ non è iniettiva per costruzione. È istruttivo notare che se $g \circ f\colon A\to C$ è iniettiva, allora anche $f$ è iniettiva. Per provarlo, mostriamo che se $f$ non è iniettiva, allora non lo è neppure $g\circ f$ . Se $f$ non è iniettiva esistono $x,y\in A$ , con $x\neq y$ , tali che $f(x)=f(y)$ . Applicando $g$ ad entrambi i membri dell’identità precedente concludiamo che $g(f(x))=g(f(y))$ e quindi $(g \circ f) (x)=(g\circ f)(y)$ .

Svolgimento punto 2.

Consideriamo nuovamente la precedente costruzione, ma notiamo che $f$ non è suriettiva e, quindi, neppure biettiva. In questo caso è invece istruttivo notare che, se $g \circ f\colon A\to C$ è suriettiva, allora anche $g$ deve essere suriettiva. Infatti se $g\circ f$ è suriettiva, allora $C=g(f(A))\subseteq g(B)$ . Ma $g(B)\subseteq C$ , dalla doppia inclusione segue quindi che $g(B)=C$ e $g$ è suriettiva.

Svolgimento punto 3.

Assumiamo che $f$ e $g \circ f$ siano entrambe biettive. Ricordando l’equivalenza fra biettività e invertibilità abbiamo che esiste ed è unica la funzione inversa $f^{-1}$ , che è a sua volta biettiva. Utilizzando l’associatività della composizione fra funzioni otteniamo quindi che

$(g \circ f) \circ f^{-1}=g\circ (f \circ f^{-1})=g,$

ma, essendo biettive $g \circ f$ ed $f^{-1}$ , anche la loro composizione deve esserlo. Ne deduciamo che anche $g$ deve essere biettiva. Analogamente si prova che se $g \circ f$ e $g$ sono biettive, allora anche $f$ è biettiva.

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In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

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