Esercizi su insiemi e funzioni

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Teoria degli insiemi – Esercizi di base

I concetti di insieme e le funzione costituiscono le fondamenta della matematica moderna. Mentre la nozione di insieme viene solitamente presentata come un concetto primitivo, ossia che non necessita di una definizione, una funzione è una particolare relazione tra gli elementi di due insiemi. Per chiunque si avvicini alla matematica, padroneggiare questi concetti è di importanza fondamentale: si vedano ad esempio gli articoli Teoria degli insiemi e Teoria sulle funzioni.
Questa dispensa è una raccolta di esercizi svolti sugli insiemi e le funzioni, focalizzati sui seguenti argomenti:

Operazioni tra insiemi come unione, intersezione, insieme delle parti e prodotto cartesiano;
Nozione di funzione;
Funzioni iniettive, suriettive e biettive, con particolare enfasi alle funzioni tra insiemi numerici;
Funzioni inverse e loro determinazione;
Composizione di funzioni e loro relazioni con le proprietà di iniettività, suriettività e biettività.

Ogni esercizio è dotato di una soluzione che permette al lettore di confrontare il lavoro svolto. Con spiegazioni chiare e accessibili, il testo è un ottimo punto di partenza sia per chi inizia i propri studi di Matematica, sia per chi desidera verificare e affinare la propria preparazione su questi temi fondamentali.

Consigliamo la consultazione della cartella di esercizi su insiemi e logica. Riguardo invece alla teoria di riferimento, oltre alla lista reperibile alla fine dell’articolo, segnaliamo il seguente materiale su argomenti affini:

Autori e revisori

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Autori: Daniele Volpe

Revisori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

Notazioni

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$\emptyset$

$A\times B$

$|A|\in\mathbb{N}$

$\mathcal{P}(A)$

$\mathbb{N}$

$\mathbb{Z}$

$\mathbb{Q}$

$\mathbb{R}$

$\mathbb{C}$

insieme vuoto;

prodotto cartesiano degli insiemi $A$ e $B$ ;

cardinalità dell’insieme finito $A$ ;

insieme delle parti dell’insieme $A$ ;

insieme numeri naturali (incluso lo zero);

insieme numeri interi (incluso lo zero);

insieme dei numeri razionali;

insieme dei numeri reali;

insieme dei numeri complessi.

$\quad$

Testi degli Esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Descrivere l’insieme $A \cap B$ nei seguenti casi:

$A$ è l’insieme dei numeri naturali pari, $B$ quello dei numeri naturali divisibili per 5;

$A=\{2t \colon t \in \mathbb{Z}\}$ , $B$ è l’insieme dei numeri primi.

Svolgimento punto 1.

$A \cap B$ è l’insieme dei numeri naturali che sono divisibili sia per $2$ che per $5$ , ne consegue che è l’insieme dei numeri naturali divisibili per $10$ .

Svolgimento punto 2.

$A$ è l’insieme dei numeri interi divisibili per 2: quindi gli unici numeri primi contenuti nell’insieme $A$ sono $2$ e $-2$ . Si conclude che

$A \cap B= \{-2,2\}.$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Se $A \cup B = A$ , a cosa è uguale $A \cap B$ ? Se $A \cup B = A \cap B$ , cosa possiamo concludere?

Svolgimento.

Dato che $B \subseteq A \cup B=A$ , ne consegue che che $A \cap B=B$ . Supponiamo ora che $A \cap B$ sia uguale a $A \cup B$ . Notiamo che valgono le seguenti inclusioni

$A \cap B \subseteq A,\quad A \cap B \subseteq B.$

Viceversa, possiamo affermare che

$A \subseteq A \cup B=A\cap B,\quad B \subseteq A \cup B= A \cap B.$

Poiché valgono tali doppie inclusioni, deduciamo che $A=A\cap B$ e $B=A\cap B$ : concludiamo per transitività dell’uguaglianza che $A=B$ .

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Se $A$ è un insieme, l’insieme delle parti di A, denotato con $\mathcal{P}(A)$ , è l’insieme dei sottoinsiemi di $A$ .

Descrivere esplicitamente $\mathcal{P}(\{a, b\})$ e $\mathcal{P}(\{x, y, z\})$ . Quanti elementi hanno?

Se $A$ è un insieme con $n$ elementi, quanti elementi ha $\mathcal{P}(A)$ ?

Svolgimento punto 1.

Elenchiamo esplicitamente tutti i sottoinsiemi dei due insiemi in esame:

$\quad$

$\mathcal{P}(\{a,b\})=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$ . L’insieme ha $4$ elementi.

$\mathcal{P}(\{x,y,z\})=\{\emptyset, \{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\},\{x,y,z\}\}$ . L’insieme ha $8$ elementi.

Svolgimento punto 2.

Sia adesso $A$ un insieme di cardinalità $n$ . Per definizione ciò significa che esiste una biezione tra tale insieme ed i primi $n$ naturali non nulli $\{1,2,\dots,n\}$ , che possiamo sfruttare per ordinare gli elementi di $A$ . Avendo ordinato $A$ , siano adesso $\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$ i suoi elementi. La costruzione di un suo sottoinsieme si basa sullo scegliere, per ogni elemento $a_i\in A$ , se esso appartiene o no al sottoinsieme che si intende costruire. Scelte diverse corrispondono a sottoinsiemi diversi. Abbiamo quindi $2$ scelte per il primo elemento, $2$ scelte per il secondo, e così via fino all’ $n$ -esimo elemento. Si conclude che il numero totale di scelte possibili è $2^n$ e quindi si conclude che

$|\mathcal{P}(A)|=2^n.$

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano $A = \{a, b\}$ e $B = \{x, y, z \}$ . Descrivere esplicitamente $A\times A$ , $B \times B$ , $A \times B$ .

Svolgimento.

La soluzione segue banalmente dalla definizione di prodotto cartesiano, che ricordiamo brevemente. Siano $A$ e $B$ due insiemi, il loro prodotto cartesiano $A\times B$ è definito come l’insieme delle coppie ordinate di elementi, rispettivamente, di $A$ e di $B$ :

$A\times B=\{(a,b)\colon a\in A \text{ e } b\in B\}.$

$A \times A = \{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)\}$ .
$B \times B = \{(x,x),(x,y),(x,z),(y,x),(y,y),(y,z),(z,x),(z,y),(z,z)\}$ .
$A \times B = \{(a,x),(a,y),(a,z),(b,x),(b,y),(b,z)\}$ .

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Verificare quali delle seguenti applicazioni $f\colon A\rightarrow B$ sono iniettive, quali suriettive, quali biettive.

$f\colon A\to B$ con $A=\{\text{mesi dell'anno}\}$ , $B = \{\text{lettere dell'alfabeto italiano}\}$ , ove $f$ associa ad ogni mese la lettera iniziale del suo nome;

$f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ definita da $f(x)=x^2$ , $\forall x\in\mathbb{N}$ ;

$f\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ , definita da $f(x) = x^2$ , $\forall x\in\mathbb{Z}$ ;

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , definita da $f(x) = x^2$ , $\forall x\in\mathbb{R}$ ;

$f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ , definita da $f(x) = x^2$ , $\forall x\in\mathbb{C}$ .

Svolgimento punto 1.

La funzione $f$ non è iniettiva poiché $f(\text{Gennaio})=f(\text{Giugno})=G$ . Per mostrare che la funzione non è neppure suriettiva, basta trovare una lettera che non è iniziale del nome di alcun mese: per esempio $T$ .

Svolgimento punto 2.

$f$ è iniettiva. Prendiamo in considerazione quindi due naturali distinti $x$ e $y$ , senza perdita di generalità possiamo assumere $x < y$ . Possiamo dunque porre $y=x+r$ con $r=y-x>0$ . Essendo $r>0$ otteniamo che

$y^2= x^2 +2xr + r^2>x^2.$

Dunque $f$ è strettamente crescente e quindi iniettiva. $f$ non è però suriettiva in quanto, ad esempio, $2$ non è il quadrato di alcun numero naturale. Infatti, se lo fosse, chiamata $l\in\mathbb{N}$ la sua radice avremmo

$l^2=2<4=2^2.$

La monotonia della funzione, precedentemente provata, implicherebbe

$l<2,$

ma quindi avremmo come uniche possibilità $l=1$ oppure che $l=0$ . Entrambi i casi contraddicono $l^2=2$ . Quindi $l$ non può essere un intero.

Svolgimento punto 3.

$f$ non è iniettiva: infatti $f(-a)=f(a)$ per ogni $a\in \mathbb{Z}$ . Per provare che la funzione non è suriettiva, osserviamo che non esiste alcun numero intero avente quadrato negativo.

Svolgimento punto 4.

La funzione $f$ non è né iniettiva né suriettiva. Per ogni $x\in\mathbb{R}$ si ha che $f(x)=f(-x)$ , in contraddizione con la definizione di iniettività. Inoltre, dato che non esiste alcun numero reale avente quadrato negativo, si deduce che la funzione non è neppure suriettiva.

Svolgimento punto 5.

La funzione $f$ non è iniettiva: infatti per ogni numero complesso $c\in\mathbb{C}$ vale ancora che $f(c)=f(-c)$ . Per provarne invece la suriettività, dato $z=a+ib \in \mathbb{C}$ , vogliamo esibire $w=x+iy \in \mathbb{C}$ tale che $w^2=z$ . Svolgendo il quadrato si ottiene

(1) $\begin{equation*} x^2 -y^2 + 2ixy = a + ib \iff \begin{cases} x^2 -y^2 = a \\ 2xy = b, \end{cases} \end{equation*}$

dove il sistema segue uguagliando la parte reale e quella immaginaria dei numeri nella prima equazione. Elevando al quadrato le due equazioni del sistema e sommandole giungiamo a

(2) $\begin{equation*} %x^4- 2x^2y^2 + y^2 + 4x^2y^2 = a^2+b^2 %\iff x^4 + 2x^2y^2 + y^2 = a^2+b^2 \iff (x^2+y^2)^2= a^2+b^2 \iff x^2+y^2 = \sqrt{a^2+b^2}. \end{equation*}$

Sommando tale uguaglianza con la prima equazione del sistema in (1) e risolvendo rispetto a $x$ si ricava

(3) $\begin{equation*} 2x^2 = \sqrt{a^2+b^2} + a \iff x = \pm \sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2+b^2} + a}{2}}, \end{equation*}$

in cui è lecito estrarre la radice quadrata in quanto $\sqrt{a^2+b^2} + a\geq 0$ poiché $\sqrt{a^2+b^2} \geq \sqrt{a^2}= |a|$ . Sostituendo il valore di $x$ nella prima equazione del sistema (1) e risolvendo rispetto a $y$ , si ottiene

(4) $\begin{equation*} y^2 = x^2 - a \iff y^2 = \dfrac{\sqrt{a^2+b^2} + a}{2} - a = \dfrac{\sqrt{a^2+b^2} - a}{2} \iff y= \pm \sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2+b^2} - a}{2}}. \end{equation*}$

Delle quattro combinazioni di $x+iy$ che si ottengono scegliendo i segni $\pm$ , due sono accettabili poiché $xy$ deve avere lo stesso segno di $b$ per la seconda equazione del sistema (1). Ciò mostra che un numero complesso $w$ cercato esiste e dunque $f$ è suriettiva. Analizzando più a fondo i casi in cui $b=0$ o $a=0$ si vede che esistono esattamente due soluzioni se almeno uno di essi è non nullo, ed esattamente la soluzione $x=y=0$ se $a=b=0$ , coerentemente con quanto osservato nello studio dell’initettività di $f$ . Lo stesso risultato può essere ottenuto molto più agevolmente, sfruttando la rappresentazione goniometrica dei numeri complessi e le identità goniometriche di base. Ricordiamo quindi in primo luogo che un generico numero complesso $a+ib=z\in\mathbb{C}$ può essere rappresentato nella forma

$z=\rho\left(\cos\phi+i\sin\phi\right),$

dove il modulo $\rho\geq 0$ è dato da

$\rho=\sqrt{a^2+b^2}$

e, se $z\neq 0$ , la fase (o argomento) $\phi\in[0,2\pi)$ è definita dal sistema di equazioni:

$\begin{cases} \dfrac{a}{\rho}=\cos\phi\\[10pt] \dfrac{b}{\rho}=\sin\phi. \end{cases}$

A questo punto, l’esistenza di una radice quadrata per il generico $z\in\mathbb{C}$ segue notanto che il numero complesso

$w=\sqrt{\rho}\left(\cos\frac{\phi}{2}+i\sin\frac{\phi}{2}\right)$

è tale che $w^2=z.$ Proviamolo per calcolo diretto:

$\left(\sqrt{\rho}\left(\cos\frac{\phi}{2}+i\sin\frac{\phi}{2}\right)\right)^2=\rho\left(\cos^2\frac{\phi}{2}-\sin^2\frac{\phi}{2}+2i\cos\frac{\phi}{2}\sin\frac{\phi}{2}\right)=\rho(\cos\phi+i\sin\phi)=z.$

Nel primo passaggio si è sviluppato il quadrato, ricordando che $i^2=-1$ , mentre nel secondo si sono utilizzate le identità goniometrice di base dette formule di duplicazione:

$\begin{cases} \cos(2x)=\cos^2 x-\sin^2 x\\ \sin(2x)=2\cos x\sin x. \end{cases}$

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ .

Verificare se l’applicazione $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tale che $f(x) = \dfrac{4x+3}{5}$ , per ogni $x \in \mathbb{R}$ , è biettiva.

Verificare se l’applicazione $f : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ tale che $f(x) = \dfrac{2x-3}{7}$ , per ogni $x \in \mathbb{Q}$ , è biettiva.

Verificare se l’applicazione $f : \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ tale che $f((x, y)) = \left(-\dfrac{y}{2}, 2x + y\right)$ , per ogni $(x,y)\in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ , è biettiva.

Determinare, se è possibile, l’inversa dell’applicazione $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tale che $f(x) =\dfrac{x^3-2}{3}$ , per ogni $x \in \mathbb{R}$ .

Determinare, se è possibile, l’inversa dell’applicazione $f : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ tale che $f(x) = \dfrac{4x+5}{7}$ , per ogni $x \in \mathbb{Q}$ .

Svolgimento punto 1.

Sia $y \in \mathbb{R}$ ; si ha

$y=f(x) \iff y= \frac{4x+3}{5} \iff 5y= 4x+3 \iff x=\frac{5y-3}{4}.$

Poiché ogni $y \in \mathbb{R}$ è immagine del solo numero reale $\dfrac{5y-3}{4}$ , $f$ è iniettiva e suriettiva, quindi è biettiva. Si noti che ciò fornisce anche l’espressione della funzione inversa $f^{-1}(y)=\dfrac{5y-3}{4}$ per ogni $y\in \mathbb{R}$ .

Svolgimento punto 2.

Sia $y\in\mathbb{Q}$ ; si ha

$y=f(x) \iff y=\frac{2x-3}{7} \iff 7y=2x-3 \iff x=\frac{7y+3}{2}.$

Poiché ogni $y \in \mathbb{Q}$ è immagine del solo numero razionale $\dfrac{7y+3}{2}$ , $f$ è iniettiva e suriettiva, quindi è biettiva. Si noti che ciò fornisce anche l’espressione della funzione inversa $f^{-1}(y)=\dfrac{7y+3}{2}$ per ogni $y\in \mathbb{Q}$ .

Svolgimento punto 3.

Sia $(u,v)\in\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ ; si ha che

$(u,v)=f(x,y) \iff \begin{cases} u=y/2 \\ v=2x+y,\end{cases} \iff\begin{cases}x=v/2-u \\ y=2u.\end{cases}.$

Poiché ogni $(u,v) \in \mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ è immagine della sola coppia di numeri razionali $(\frac{v}{2}-u,2u)$ , $f$ è iniettiva e suriettiva, quindi è biettiva. Notare come anche qui sia stata esplicitata un’inversa.

Svolgimento punto 4.

La funzione inversa $f^{-1}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ è $f^{-1}(y)=(3y+2)^{\frac{1}{3}}$ . Per ricavarla è sufficiente fissare un valore dell’immagine $y\in\mathbb{R}$ e ricavare, tramite banali passaggi algebrici, analogamente ai punti precedenti,

$x^3=3y+2.$

L’invertibilità della funzione $x^3$ permette di concludere estraendo la radice cubica di ambo i membri.

Svolgimento punto 5.

La funzione inversa $f^{-1}\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ si ricava in modo analogo a quanto fatto nei primi due punti ed è

$f^{-1}(x)=\frac{7(x-5)}{4}.$

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $X$ un insieme con cardinalità $|X| = 3$ . Si determini quante biezioni $f : X \longrightarrow X$ esistono. Si stabilisca successivamente per
quante di queste vale che $f = f^{-1}$ .

Svolgimento.

Elenchiamo tutte le possibili biezioni in delle tabelle fatte in tal modo: nella prima riga sono indicati gli elementi del dominio, nella seconda riga ogni componente è l’immagine dell’elemento che le sta sopra sulla stessa colonna. La rappresentazione è dunque la seguente:

$f=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ f(1) & f(2) & f(3) \end{array}\right).$

Funzione identica $f_1=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right)$ ;

$f_2=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right)$ ;

$f_3=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right)$ ;

$f_4=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right)$ ;

$f_5=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right)$ ;

$f_6=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right)$ .

Tali biezioni sono quindi $6$ ed ognuna differisce dall’altra per una permutazione degli elementi del codominio. Alla luce di tale osservazione avremmo potuto contarle senza elencarle. Infatti le permutazioni di $n$ elementi distinti sono esattamente tutte le possibili liste ordinate di tali elementi: vi sono $n$ scelte per il primo elemento della lista, $n-1$ per il secondo e così via fino ad avere un’unica scelta per l’ $n$ -esimo ed ultimo. Deduciamo quindi che il numero cercato è

$n!=n\cdot(n-1)\cdot\dots\cdot2\cdot 1.$

Nel caso in esame infatti $3!=3\cdot 2\cdot 1=6$ . Passiamo allo studio delle funzioni inverse. Per le prime quattro funzioni vale $f^{-1}=f$ . Per provare ciò notiamo prima di tutto che la tabella associata all’inversa di una funzione si può ottenere scambiando le due righe e riordinando le colonne in modo tale che sulla nuova prima riga le componenti risultino nuovamente in ordine crescente. La funzione identica è banalmente uguale alla sua inversa. Applichiamo tale regola a tutte le funzioni:

$f_2=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \longrightarrow f_2^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right)=f_2.$

$f_2=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \longrightarrow f_3^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right)=f_3.$

$f_3=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2& 1 \end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \longrightarrow f_4^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right)=f_4.$

$f_5=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \longrightarrow f_5^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right)=f_6.$

$f_6=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \longrightarrow f_6^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right)=f_5.$

Esercizio 8 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare $f \circ g$ e $g \circ f$ , dove:

$f, g : \mathbb{Q} \longrightarrow \mathbb{Q}$ sono definite da $f(x) = x^2 + 4$ , $g(x) = \dfrac{7x-2}{5}$ , $\forall x\in\mathbb{Q}$ ;

$f, g : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ sono definite da $f(x) = 3x + 2$ , $g(x) = \dfrac{x^3-2}{2}$ , $\forall x\in\mathbb{R}$ .

Svolgimento punto 1.

Per ogni $x\in\mathbb{Q}$ si ha:

$(f \circ g)(x)=f(g(x))= \left(\frac{7x-2}{5}\right)^2 +4=\frac{49x^2+4-28x+100}{25}=\frac{49x^2-28x+104}{25};$

$(g \circ f)(x)=g(f(x))=\frac{7(x^2 +4)-2}{5}=\frac{7x^2 +26}{5}.$

Svolgimento punto 2.

Per ogni $x\in\mathbb{R}$ si ha:

$(f \circ g)(x)=f(g(x))=3\frac{x^3-2}{2}+2=\frac{3x^3-6+4}{2}=\frac{3x^3-2}{2};$

$(g \circ f)(x)=g(f(x))=\frac{(3x+2)^3-2}{2}=\frac{27x^3+54x^2+36x+8-2}{2}=\frac{27x^3+54x^2+36x+6}{2}.$

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ .

Dare un esempio di applicazioni $f : A \longrightarrow B$ e $g : B \longrightarrow C$ tali che $g \circ f$ sia iniettiva, ma almeno una fra $f$ e $g$ non lo sia;

Si faccia la stessa cosa con “suriettiva” o “biettiva” al posto di “iniettiva”.

Potrebbe verificarsi che $g\circ f$ sia biettiva e che solo una fra $f$ e $g$ lo sia?

Svolgimento punto 1.

Poniamo $A=\{1\}$ , $B=\{1,2\}$ . Definiamo $f: A \longrightarrow B$ ponendo $f(1)=1$ . Definiamo $g : B \longrightarrow A$ ponendo $g(1)=g(2)=1$ . In questo caso $g \circ f$ è la funzione identità da $A$ in $A$ che manda $1$ in $1$ , che è biettiva, quindi iniettiva. Tuttavia, la funzione $g$ non è iniettiva per costruzione. È istruttivo notare che se $g \circ f\colon A\to C$ è iniettiva, allora anche $f$ è iniettiva. Per provarlo, mostriamo che se $f$ non è iniettiva, allora non lo è neppure $g\circ f$ . Se $f$ non è iniettiva esistono $x,y\in A$ , con $x\neq y$ , tali che $f(x)=f(y)$ . Applicando $g$ ad entrambi i membri dell’identità precedente concludiamo che $g(f(x))=g(f(y))$ e quindi $(g \circ f) (x)=(g\circ f)(y)$ .

Svolgimento punto 2.

Consideriamo nuovamente la precedente costruzione, ma notiamo che $f$ non è suriettiva e, quindi, neppure biettiva. In questo caso è invece istruttivo notare che, se $g \circ f\colon A\to C$ è suriettiva, allora anche $g$ deve essere suriettiva. Infatti se $g\circ f$ è suriettiva, allora $C=g(f(A))\subseteq g(B)$ . Ma $g(B)\subseteq C$ , dalla doppia inclusione segue quindi che $g(B)=C$ e $g$ è suriettiva.

Svolgimento punto 3.

Assumiamo che $f$ e $g \circ f$ siano entrambe biettive. Ricordando l’equivalenza fra biettività e invertibilità abbiamo che esiste ed è unica la funzione inversa $f^{-1}$ , che è a sua volta biettiva. Utilizzando l’associatività della composizione fra funzioni otteniamo quindi che

$(g \circ f) \circ f^{-1}=g\circ (f \circ f^{-1})=g,$

ma, essendo biettive $g \circ f$ ed $f^{-1}$ , anche la loro composizione deve esserlo. Ne deduciamo che anche $g$ deve essere biettiva. Analogamente si prova che se $g \circ f$ e $g$ sono biettive, allora anche $f$ è biettiva.

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Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

Document

Alessio Fulvi

2024-07-17

Un sito molto utile, professionale e chiaro, che approfondisce vari argomenti. Ho utilizzato questo sito per prepararmi a diversi esami, lo stesso mi ha fornito di strumenti adatti e specifici, permettendomi di colmare lacune che mi portavo avanti dai tempi del liceo. Il sito web è adatto ad una ricerca e risoluzione rapida di ogni quesito inerente alle materie trattate, facile ed intuitivo da utilizzare. Grazie e ben fatto.

Diego Aracri

2024-07-09

ho trovato questo sito mentre preparavo analisi 1 ed ho deciso di consultarlo. mi sono trovato benissimo, ha molto materiale da consultare, sia teorico che pratico, e ogni esercizio è spiegato nei minimi dettagli. consigliatissimo, dubito che altrimenti avrei passato l'esame!

Alessandro Morra

2024-06-20

Grazie, molto rigoroso e chiaro

martina toro

2024-06-13

Sito meraviglioso! Ho scoperto per caso questo sito perché cercavo le soluzioni degli esercizi di Fisica del libro "Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde" del Mazzoldi. Riescono a spiegare in modo chiaro ed esaustivo come si svolgono i problemi. Sono un'ottima risorsa per chi sta affrontando per la prima volta gli esercizi, ma anche per chi ha già una preparazione e vuole chiarire alcuni dubbi. Inoltre sono molto gentili e disponibili. Veramente un'ottima scoperta, consiglio a tutti.

Ugo Cozzi

2024-06-02

Uno dei più bei siti online di matematica e fisica. Dispense ben fatte. Impaginazione perfetta con Latex

antonio elia

2024-05-29

Sito ben fatto e con tanto materiale consultabile, sono cinquantenne autodidatta, ed ho trovato un valido aiuto

Francesco Doria

Un sito bellissimo sia per chi è all'università che alle superiori. Un lavoro fatto con passione e lungo, decisamente da tenere sempre in mente come riferimento, e non solo per gli esercizi. Un grande grazie.

Stefano Parisi

Un sito ben fatto, moltissimi argomenti trattati a diversi livelli di difficoltà, ottimo sia per la teoria che per gli esercizi.