Numeri reali: costruzione e applicazioni

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I numeri reali si trovano in ogni campo della Matematica. Già i pitagorici erano a conoscenza del fatto che i razionali non sono sufficienti a misurare tutte le distanze in geometria e ciò ha portato all’introduzione dei numeri irrazionali e reali.

Cosa sono i numeri reali?

In questo articolo presentiamo la costruzione dei numeri reali: in breve, un numero reale può essere pensato come l’insieme dei numeri razionali (si veda ad esempio insiemi numerici $\left(\mathbb{N},\, \mathbb{Z},\, \mathbb{Q}\right)$ ) che lo precedono (o lo seguono). Tale idea, sviluppata dal matematico Richard Dedekind, viene appunto detta sezione di Dedekind.
Da questa costruzione discendono le caratteristiche fondamentali dei numeri reali: esploreremo la proprietà dell’estremo superiore e altre importanti nozioni di topologia.

La struttura del testo rende la materia accessibile e stimolante. È una lettura ideale per studenti universitari e appassionati del settore, offrendo sia solide basi teoriche che applicazioni pratiche e coniugando chiarezza espositiva e rigore accademico.

Se desideri approfondire questo affascinante argomento, ponte tra la matematica pura e le sue applicazioni nella vita reale, inizia pure la lettura!

Rimandando alla fine dell’articolo per una lista completa, consigliamo al lettore le seguenti risorse:

insiemi numerici $\left(\mathbb{N},\, \mathbb{Z},\, \mathbb{Q}\right)$ , per le proprietà degli altri insiemi numerici fondamentali.
Concetti Fondamentali della Retta Reale: Sintesi Teorica per una versione sintetica delle proprietà dei numeri reali.
Costruzioni alternative di $\mathbb{R}$ per altri 3 ulteriori modi alternativi e interessanti per la costruzione di $\mathbb{R}$ .
Teoria sulle funzioni per ulteriori proprietà dei numeri reali, estremi superiore e inferiore, e una prima idea sull’Analisi possibile all’interno della retta reale.

Autori e revisori

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Sommario

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Prerequisiti

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L’insieme $\mathbb{R}$ dei numeri reali

Introduzione.

Già all’epoca dei greci si sapeva che $\mathbb{Q}$ non fosse sufficientemente espressivo per poter fare matematica. Per un periodo le scuole pitagoriche avevano creduto che tutto fosse commensurabile e scrivibile sotto forma di rapporto o frazione, dalla musica, all’arte alle misure della vita quotidiana. Questa convinzione fu distrutta da una semplice applicazione del teorema di pitagora. Consideriamo un triangolo rettangolo con cateti di lunghezza pari ad uno. Allora la lunghezza dell’ipotenusa soddisfa

$i^2 = c_1^2 + c_2^2 = 2.$

La lunghezza dell’ipotenusa è un numero razionale? In altre parole, esiste un numero razionale che al quadrato è uguale a due? La risposta è negativa. Vediamo una bellissima dimostrazione per assurdo di questo fatto, attribuita a Ippaso di Metaponto, che produsse una argomentazione dell’irrazionalità della radice quadrata di 2. Tuttavia Pitagora credeva nell’assolutezza dei numeri, e non poteva accettare l’esistenza dei numeri irrazionali. Egli non era in grado di confutare la loro esistenza con la logica, ma le sue credenze non potevano tollerarne l’esistenza e, secondo una leggenda, per questo condannò Ippaso a morire annegato.

Proposizione 1. Non esiste $q\in\mathbb{Q}$ tale che

$q^2 = 2.$

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esista un $q\in\mathbb{Q}$ tale che $q^2 = 2$ .

Sia $q=\displaystyle\frac{n}{d}$ , allora senza perdita di generalità possiamo supporre che $MCD(n,d)=1$ .

Quindi

$\begin{equation*} \left(\frac{n}{d}\right)^2=2\qquad\Rightarrow\qquad n^2=2\cdot d^2. \end{equation*}$

Da questa relazione possiamo dedurre che $n^2$ deve essere necessariamente un numero pari e quindi anche $n$ deve essere un numero pari. Dunque $\exists k\in\mathbb{Z}$ tale che $n = 2k$ e sostituendo nella relazione ottenuta abbiamo

$\begin{equation*} (2k)^2 = 2 d^2 \quad \Rightarrow \quad 4k^2 = 2d^2 \quad \Rightarrow \quad 2k^2 = d^2. \end{equation*}$

Da questa ultima relazione scopriamo che $d^2$ , e dunque $d$ , deve essere pari. Quindi $MDC(n,d)\geq 2$ , ma questo è assurdo perché $n$ e $d$ erano coprimi.

È chiaro che la dimostrazione precedente può essere ripetuta per ogni razionale positivo che non sia un quadrato di un altro razionale. Inoltre il discorso vale anche per potenze diverse da 2. Storicamente si conoscono altre grandezze incommensurabili legate ad altri problemi come ad esempio quello della quadratura del cerchio che consiste nel costruire con riga e compasso un quadrato di lato $l$ equivalente ad un cerchio di cui è assegnato il raggio $r$ .

Definizione assiomatica.

In questo paragrafo daremo una definizione assiomatica e algebrica dell’insieme di numeri reali che permette di dimostrare le proprietà più importanti di $\mathbb{R}$ . L’esistenza di un insieme che soddisfa tutte le proprietà elencate di seguito può essere dimostrata utilizzando le sezioni di Dedekind che definiremo più avanti.

Assiomi di campo

Supponiamo quindi che questo insieme esista e che su di esso siano definite le due operazioni binarie

$\begin{equation*} +:\mathbb{R} \times\mathbb{R}\rightarrow\R\qquad\qquad\cdot:\mathbb{R} \times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \end{equation*}$

che soddisfano le seguenti proprietà

Proprietà associativa:

$\begin{equation*} \begin{split} &(a+b)+c=a+(b+c)\qquad\forall a, b, c\in\mathbb{R}\\ &(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\qquad\forall a, b, c\in\mathbb{R} \end{split} \end{equation*}$

Esistenza di un elemento neutro:

$\begin{equation*} \begin{split} &\exists \quad 0\in\mathbb{R}\text{ t.c. } 0+a=a+0=a\quad\forall a\in\mathbb{R}\\ &\exists \quad 1\in\mathbb{R}\text{ t.c. } 1\cdot a=a\cdot 1=a\quad\forall a\in\mathbb{R} \end{split} \end{equation*}$

Esistenza di un elemento inverso:

$\begin{equation*} \begin{split} &\forall a\in\mathbb{R}\quad\exists -a\in\mathbb{R}\text{ t.c. }a+(-a)=(-a)+a=0\\ &\forall a\in\mathbb{R}\setminus{0}\quad\exists a^{-1}\in\mathbb{R}\text{ t.c. }a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1 \end{split} \end{equation*}$

Proprietà commutativa:

$\begin{equation*} \begin{split} &a+b=b+a\qquad\forall a,b\in\mathbb{R}\\ &a\cdot b=b\cdot a\qquad\forall a,b\in\mathbb{R} \end{split} \end{equation*}$

Proprietà distributiva:

$\begin{equation*} a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\qquad\forall a,b\in\mathbb{R} \end{equation*}$

Definizione 1. Un insieme $\K$ dotato di due operazioni binarie + e $\cdot$ che godono delle proprietà (1), (2), (3), (4) e (5) è un campo .

Esercizio 1. Dimostrare che

$\begin{equation*} \frac{1}{xy}=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}\qquad\forall x,y\in\mathbb{R}, x,y\neq 0. \end{equation*}$

Svolgimento. Per definizione

$\begin{equation*} \frac{1}{xy}\cdot (xy)=1\Rightarrow (xy)^{-1}=\frac{1}{xy}. \end{equation*}$

Per la proprietà commutativa e associativa del prodotto

$\begin{equation*} \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}(xy)=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}\cdot y\right)\cdot x=\frac{1}{x}\cdot 1\cdot x=1. \end{equation*}$

Quindi $\displaystyle (xy)^{-1}=\frac{1}{x}\frac{1}{y}$ , allora per l’unicità dell’elemento inverso¹

$\begin{equation*} \frac{1}{xy}=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}. \end{equation*}$

Assiomi di ordine

Nell’insieme $\mathbb{R}$ è naturale definire la relazione binaria

$\begin{equation*} x\mathcal{R} y\Leftrightarrow x\leq y. \end{equation*}$

Questa relazione è riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Inoltre $\forall\, x,y\in\mathbb{R}$ si ha che o $x\leq y$ oppure $y\leq x$ . Quindi $\mathbb{R}$ è un campo totalmente ordinato.

Inoltre si richiede che l’ordinamento sia compatibile con la somma e il prodotto, nel senso che valgano le due ulteriori proprietà

Se $x\leq y$ allora $x+z\leq y+z$ ;
Se $0\leq x$ e $0\leq y$ allora $0\leq xy$ .

Osservazione 1. Useremo anche il simbolo $<$ . La scrittura $a<b$ significa

$\begin{equation*} a\leq b\,\wedge\, a\neq b. \end{equation*}$

Esercizio 2. Dimostrare che se $0\leq x$ allora $-x\leq 0$ .

Svolgimento. Per la caratterizzazione (1) di campo ordinato abbiamo che

$\begin{equation*} 0\leq x\Rightarrow 0-x\leq x-x\Rightarrow -x\leq 0, \end{equation*}$

cioè la tesi.

Esercizio 3. Dimostrare che se $0\leq x$ e $0\leq y$ allora $0\leq x+y$ .

Svolgimento. Dall’esercizio precedente $-y\leq 0$ allora per la proprietà transitiva

$\begin{equation*} -y\leq 0, 0\leq x\Rightarrow -y\leq x, \end{equation*}$

allora per la caratterizzazione (1) di campo ordinato

$\begin{equation*} y-y\leq y+x\Rightarrow 0\leq y+x. \end{equation*}$

Esercizio 4. (regola dei segni). Dimostrare che se $x\geq 0$ e $y\leq 0$ allora $x\cdot y\leq 0$ .

Dimostrazione. Se $y\leq 0$ allora $-y\geq 0$ . Per la caratterizzazione (2) dei campi ordinati possiamo concludere che

$\begin{equation*} x\cdot (-y)\geq0\Rightarrow x\cdot y\leq 0. \end{equation*}$

Questi esercizi sono degli esempi di come a partire dagli assiomi delle operazioni e di ordinamento di $\mathbb{R}$ possiamo dimostrare tutte le più note proprietà dei numeri reali.

Assioma di completezza

Siano $A$ e $B$ due sottoinsiemi non vuoti di $\mathbb{R}$ tale che $a<b$ per ogni $a\in A$ e $b\in B$ . Allora esiste sempre un elemento separatore, ovvero $\exists\,c\in\mathbb{R}$ tale che

$\begin{equation*} a\leq c\leq b\qquad\forall\,a\in A,\,b\in B. \end{equation*}$

Definizione 2. Siano $A$ e $B$ due sottoinsiemi di $\mathbb{R}$ tale che $a<b$ per ogni $a\in A$ e $b\in B$ . $A$ e $B$ sono classi contigue di numeri reali se

$\begin{equation*} \forall\varepsilon>0\,\,\exists\, a\in A,\,b\in B \,:\,b-a<\varepsilon. \end{equation*}$

Teorema 1. Se $A$ e $B$ sono classi contigue di numeri reali allora esiste ed è unico $c\in\mathbb{R}$ tale che

$\begin{equation*} a\leq c\leq b. \end{equation*}$

Dimostrazione. L’elemento separatore $c\in\mathbb{R}$ esiste per l’assioma di completezza. Dobbiamo dimostrare che tale elemento è unico: supponiamo per assurdo che esistono due elementi $c_1\neq c_2$ che separano le classi $A$ e $B$ .

Sia $c_1<c_2$ , abbiamo dunque

$\begin{equation*} \forall a\in A, b\in B \quad a\leq c_1<c_2 \leq b\quad \Rightarrow \quad b-a>c_2-c_1. \end{equation*}$

Sia $\varepsilon=\dfrac{c_2-c_1}{2}>0$ allora esistono $a\in A$ e $b\in B$ tale che

$\begin{equation*} b-a<\varepsilon\Rightarrow c_2-c_1<\frac{c_2-c_1}{2}\Rightarrow 2c_2-2c_1<c_2-c_1. \end{equation*}$

Quindi $c_2-c_1<0$ , ma ciò è assurdo.

Un campo ordinato che soddisfa la proprietà enunciata nell’assioma di completezza si dice completo .

Assioma di Archimede

$\mathbb{R}$ è un campo archimedeo ovvero è un campo che verifica l’assioma di Archimede:

(1) $\begin{equation*} \forall x,y\in \mathbb{R} \text{ con }x,y>0 \rightarrow \exists n\in\N \text{ t.c. } nx>y. \end{equation*}$

Una conseguenza dell’assioma di Archimede è che l’insieme dei numeri razionali $\mathbb{Q}$ è denso in $\mathbb{R}$ .

Teorema 2. Dati due numeri reali $x$ e $y$ tale che $x<y$ allora $\exists \,q\in\mathbb{Q}$ tale che

$\begin{equation*} x<q<y. \end{equation*}$

Dimostrazione. Consideriamo il caso in cui $x>0$ e $y>0$ . Allora $y-x>0$ quindi per l’assioma di Archimede $\exists n\in \mathbb{N}$ tale che

(2) $\begin{equation*} n(y-x)>1\Rightarrow ny-nx>1. \end{equation*}$

Scegliamo il più piccolo $m\in\N$ tale che $nx<m$ , il quale può essere espresso utilizzando la funzione parte intera come $m= \lfloor nx \rfloor +1$ . Abbiamo

(3) $\begin{equation*} \lfloor nx \rfloor =m-1\leq nx. \end{equation*}$

Dalla (1) e dalla (2) otteniamo

$\begin{equation*} nx<m=(m-1)+1\leq nx+1<nx+(ny-nx)=ny. \end{equation*}$

Segue

$\begin{equation*} nx<m<ny\Rightarrow x<\frac{m}{n}<y, \end{equation*}$

per $q=\frac{m}{n}$ otteniamo la tesi. Gli altri due casi sono banali

Se $y>0$ e $x<0$ allora $q=0$ è uno degli elementi compresi tra $x$ e $y$ ;
Se $y<0$ e $x<0$ allora $0<-y<-x$ e quindi per quanto appena dimostrato $\exists q\in\mathbb{Q}$ tale che
$\begin{equation*} -y<q<-x\Rightarrow x<-q<y. \end{equation*}$

In conclusione, per gli assiomi che abbiamo elencato in questo paragrafo possiamo dire che $\mathbb{R}$ ha le seguenti proprietà

È un campo;
È totalmente ordinato;
È completo;
È archimedeo.

$\[\]$

Un insieme G dotato di un operazione binaria * che gode delle proprietà (1), (2) e (3) è un gruppo. Se denotiamo con $e$ l’elemento neutro e con $g$ un elemento del gruppo è possibile dimostrare l’unicità dell’inverso di $g$ : supponiamo per assurdo che esistano due elementi inversi $g'$ e $g''$ di $g$ , allora

$\begin{equation*} g'=e*g'=(g''*g)*g'=g''*(g*g')=g''*e=g''\Rightarrow g'=g'' \end{equation*}$

↩

Sezioni di Dedekind sull'insieme dei numeri razionali.

La costruzione di $\mathbb{R}$ ha visto diversi approcci nel corso dei secoli. In questa sezione ripercorriamo le linee guida principali della costruzione dovuta a Julius Wilhelm Richard Dedekind della metà del diciannovesimo secolo.

La formulazione di Dedekind individua i numeri reali partendo da un approccio essenzialmente insiemistico.

Definizione 3. Dato l’insieme ordinato $(\mathbb{Q},\leq)$ e due suoi sottoinsiemi $X$ e $Y$ , la coppia $(X, Y )$ è una sezione (o un taglio di Dedekind ) su $\mathbb{\mathbb{Q}}$ se sono verificate le seguenti condizioni.

$X \neq \emptyset, \qquad Y \neq \emptyset,$
$X \cup Y = \mathbb{Q},$
$x< y, \quad \forall \; x \in X, \; y \in Y,$

L’insieme di tutte le possibili sezioni su $\mathbb{Q}$ verrà indicato con $S(\mathbb{Q})$ .

Osservazione 2. Dalla definizione segue che se $(X,Y)$ è una sezione allora $X\cap Y=\emptyset$ ; infatti se per assurdo

$\exists\, a\in X\cap Y\neq\emptyset \Rightarrow a\in X\text{ e }a\in Y.$

Quindi non risulterebbe soddisfatta la terza condizione proprio per l’elemento $a$ .

Esempio 1. Gli insiemi $X=\{x\in\mathbb{Q}|x<0\}$ e $Y=\{x\in\mathbb{Q}|x\geq 0\}$ formano una sezione di Dedekind.

Esempio 2. Gli insiemi $X=\{x\in\mathbb{Q}|x\leq2\}$ e $Y=\{x\in\mathbb{Q}|x\geq 2\}$ non formano una sezione di Dedekind perchè non sono disgiunti, infatti $X\cap Y=\{2\}$ .

In ogni sezione $(X,Y)$ l’insieme $X$ è limitato superiormente, $Y$ è limitato inferiormente; possiamo distinguere tre casi

$X$ ha massimo e $Y$ non ha minimo (in $\mathbb{Q}$ ),
$X$ non ha massimo e $Y$ ha minimo (in $\mathbb{Q}$ ),
$X$ non ha massimo e $Y$ non ha minimo (in $\mathbb{Q}$ ).

Il caso in cui $X$ ammetta massimo e $Y$ minimo non è accettabile per la definizione di sezione di Dedekind: sia $M=\max X$ e $m=\min Y$ allora possiamo considerare

$\begin{equation*} \frac{M+m}{2}\in \mathbb{Q}. \end{equation*}$

Poichè $m> M$ allora

$\begin{equation*} \begin{split} &\frac{M+m}{2}>\frac{M+M}{2}=M \Rightarrow \frac{M+m}{2}\notin X\\ &\frac{M+m}{2}>\frac{m+m}{2}=m \Rightarrow \frac{M+m}{2}\notin Y \end{split} \end{equation*}$

e questo è impossibile perché $X\cup Y=\mathbb{Q}$ .

Osservazione 3. Per ogni numero razionale è possibile definire una sezione del tipo (1) o del tipo (2): infatti preso un $q\in\mathbb{Q}$ consideriamo

$\begin{equation*} X=\{x\in\Q|x\leq q\}\qquad\text{e}\qquad Y=\{x\in\mathbb{Q}|x> q\}, \end{equation*}$

la coppia $(X,Y)$ soddisfa le condizioni della definizione. Quindi ad ogni numero razionale $q$ corrisponde una sezione di cui $q$ è l’elemento separatore cioè

$\begin{equation*} x\leq q \leq y, \end{equation*}$

dalla definizione di sezione segue immediatamente che l’elemento separatore se esiste in $\mathbb{Q}$ è unico.

Consideriamo adesso una sezione di tipo (3)

$\begin{equation*} X=\{x\in\mathbb{Q}|x^2<2\}\qquad\text{e}\qquad Y=\{x\in\mathbb{Q}| x^2\geq2\}. \end{equation*}$

Si vede facilmente che $X\cup Y=\mathbb{Q}$ e $x<y$ per ogni $x\in X$ e $y\in Y$ , quindi $(X,Y)$ è una sezione di $Q$ . Dimostriamo che non esiste un elemento separatore $c$ in $\mathbb{Q}$ . Se infatti esistesse tale elemento allora questo dovrebbe appartenere a $X$ o a $Y$ ; supponiamo $c\in X$ allora $c^2< 2$ . Sia $\displaystyle N>\frac{2c+1}{2-c^2}$ allora

$\begin{equation*} \begin{split} \left(c+\frac{1}{N}\right)^2&=c^2+\frac{1}{N^2}+\frac{2c}{N}<c^2+\frac{1}{N}+\frac{2c}{N}=c^2+\frac{2c+1}{N}<\\&<c^2+(2c+1)\cdot \frac{2-c^2}{2c+1}=c^2+2-c^2=2. \end{split} \end{equation*}$

Dunque abbiamo dimostrato che per ogni $c\in X$ esiste un valore $N$ tale che

$c+\frac{1}{N}\in X\qquad\text{ e } \qquad c+\frac{1}{N}>c$

e questo prova che $X$ non ha massimo.

Analogamente possiamo dimostrare che preso un elemento $c\in Y$ esiste un valore $N$ che scegliamo maggiore della quantità $\frac{2c+1}{2-c^2}$ tale che

$\begin{equation*} \left(c-\frac{1}{N}\right)^2>2\Rightarrow c-\frac{1}{N}\in Y, \end{equation*}$

quindi $Y$ non ha minimo in $\mathbb{Q}$ .

Definizione 4. Un numero reale $\alpha$ è una sezione di Dedekind $(A,B)$ di numeri razionali.

$\mathbb{R}=S(\mathbb{Q}).$

È possibile definire su $\mathbb{R}$ una relazione d’ordine $\leq$ : dati due numeri reali $x=(X,X')$ e $y=(Y,Y')$

$\begin{equation*} x\leq y \leftrightarrow X\subseteq Y \end{equation*}$

o equivalentemente

$\begin{equation*} x\leq y \leftrightarrow Y'\subseteq X'. \end{equation*}$

In pratica si sta affermando che, individuati due numeri reali $x$ e $y$ la semiretta destra del numero maggiore è inclusa nella semiretta destra del numero minore o equivalentemente la semiretta sinistra del numero minore è inclusa nella semiretta destra del numero maggiore. La relazione d’ordine scelta discende dalla relazione di inclusione tra insiemi e si dimostra essere una relazione d’ordine totale. Per convincersene, prendiamo $x$ e $y$ come sopra e dimostriamo che se $x \nleq y$ allora $y\leq x$ . Siccome $X \nsubseteq Y$ , esiste un elemento $t \in X$ tale che $t \notin Y$ , ovvero $t \in \mathbb{Q}\setminus Y=Y'$ . Segue subito che $X' \subseteq Y'$ , che è equivalente a $y \leq x$ . Infatti, dato un qualunque $s \in X'$ allora $t<s$ per definizione (poichè $t\in X$ ) e dunque necessariamente $s \in Y'$ , altrimenti avremmo $s \in \mathbb{Q}\setminus Y'=Y$ , e dal fatto che $t \in Y'$ seguirebbe $s <t$ , che è assurdo.

È necessario a questo punto definire su $\mathbb{R}$ le operazioni. A questo scopo, introduciamo le seguenti notazioni: se $A$ e $B$ sono due sottoinsiemi di $\mathbb{Q}$ , definiamo l’isieme somma $A+B$ e l’insieme prodotto $AB$ nel modo seguente

$\begin{aligned} & A+B=\{ x \in \mathbb{Q}: x=a+b \mbox{ per qualche } a\in A,b\in B \}; \\ & AB=\{ x \in \mathbb{Q}: x=ab \mbox{ per qualche } a\in A,b\in B \}. \end{aligned}$

Analogamente, possiamo definire l’opposto di $A$ come $-A=\{ -a : a\in A \}$ e l’inverso di $A$ come $A^{-1}= \left\{ \dfrac{1}{a} : a \in A\right\}$ . Siamo pronti a definire le operazioni fondamentali.

Somma Siano $x=(X,X')$ e $y=(Y,Y')$ due numeri reali. Allora
$\begin{equation*} x+y:=(X+Y,X'+Y'). \end{equation*}$

L’elemento neutro della somma è lo $0$ , visto come la sezione definita dal numero razionale $0$ , mentre l’opposto di $x=(X,X')$ è $-x=(-X',-X)$ .
Prodotto Siano $x=(X,X')$ e $y=(Y,Y')$ due numeri reali positivi, cioè tutti i numeri in $X'$ e in $Y'$ sono positivi, allora
$\begin{equation*} x\cdot y=(\Q\setminus X'Y',X'Y'). \end{equation*}$

Nel caso in cui $x$ e $y$ siano entrambi negativi ovvero tutti i numeri in $X$ e in $Y$ sono negativi allora basterà considerare gli opposti $x\cdot y=(-x)\cdot (-y)$ . Nel caso siano discordi, ad esempio $x$ positivo e $y$ negativo possiamo generalizzare il ragionamento e definire $x\cdot y=- (x\cdot (-y))$ .

L’elemento neutro del prodotto è $1$ , visto come la sezione definita dal numero razionale 1 e l’inverso di un numero reale $x$ positivo è $\displaystyle x^{-1}:=(\mathbb{Q}\setminus (X')^{-1},(X')^{-1})$ . Ovviamente nel caso $x$ negativo definiamo $x^{-1}:=-(-x)^{-1}$ .

Si può verificare che le consuete proprietà delle operazioni valide in $\mathbb{Q}$ risultano valide anche in $\mathbb{R}$ , ma le dimostrazioni risultano eccessivamente tecniche e non le riporteremo.

La proprietà di completezza (o continuità) di $\mathbb{R}$ è espressa attraverso la seguente definizione.

Definizione 5. Un insieme totalmente ordinato $(\mathbb{K},\leq)$ si dice Dedekind-continuo se ogni sezione di $\mathbb{K}$ ammette un unico elemento separatore in $\mathbb{K}$ .

Concludiamo questo paragrafo con la dimostrazione che l’insieme $\mathbb{R}$ , a differenza di $\mathbb{Q}$ è continuo.

Teorema 3. $\mathbb{R}$ è Dedekind-continuo.

Dimostrazione. Dopo aver definito l’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ è possibile definire come nella definizione (3) le sezioni o tagli in $\mathbb{R}$ . Sia $(A,B)$ una generica sezione di $\mathbb{R}$ e $x=(A_x,B_x)\in A$ e $y=(A_y,B_y)\in B$ due generici valori reali. Consideriamo

$\begin{equation*} A_0=\bigcup_{x\in A} A_x\qquad B_0=\bigcap_{y\in B} B_y \end{equation*}$

questa è ovviamente una sezione di $\Q$ che definisce un numero reale $z=(A_0,B_0)$ . Dimostriamo che questo è proprio l’elemento separatore.

Se $x=(A_x,B_x)\in A$ allora $A_x\subset A_0$ per definizione, quindi $x\leq z$ .

Se $y=(A_y,B_y)\in B$ . Poiché $\forall x\in A$ si ha che $x<y$ allora $A_x\subset A_y$ . Passando all’unione su tutti gli $x \in A$ segue che $A_0\subseteq A_y$ , ovvero $z\leq y$ .

Quindi $z$ è l’elemento separatore

$\begin{equation*} x\leq z\leq y\qquad\forall x\in A, y\in B. \end{equation*}$

Dimostriamo che è unico. Supponiamo per assurdo che esista un elemento $z'$ distinto da $z$ tale che $x\leq z'\leq y$ per ogni $x\in A$ e $y\in B$ . Supponiamo inoltre $z\leq z'$ allora poiché $A$ e $B$ formano una partizione necessariamente $z'\in A$ o $z'\in B$ . Osserviamo che $z'$ non può appartenere all’insieme $A$ altrimenti $z$ non potrebbe separare $A$ e $B$ , quindi $z'\in B$ ; analogamente $z\in A$ . Consideriamo il numero $\displaystyle \frac{z+z'}{2}$ : esso evidentemente soddisfa

$\begin{equation*} z<\frac{z+z'}{2}<z', \end{equation*}$

però non può appartenere ad $A$ altrimenti $z$ non separerebbe $A$ e $B$ né a $B$ altrimenti $z'$ non separerebbe $A$ e $B$ . Ma ciò è assurdo perché, per definizione, le sezioni di Dedekind definiscono una partizione.

Proprietà dell’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$

Sommario.

Prime conseguenze degli assiomi dei numeri reali.

Sottoisiemi di numeri reali: Massimi, minimi, estremi superiori e inferiori.

Passiamo invece a parlare di proprietà di sottoinsiemi dell’insieme dei numeri reali.

Definizione 6. Dati due numeri reali $a,b$ tale che $a<b$ si chiama intervallo limitato di estremi $a$ e $b$ l’insieme di tutti i numeri reali compresi tra $a$ e $b$ .

$[a,b]=\{x\in\mathbb{R} \; \vert \; a\le x\le b\}$ si dice intervallo chiuso;
$(a,b)=\{x\in \mathbb{R}\; \vert \; a<x<b\}$ si dice intervallo aperto;
$[a,b)=\{x\in\mathbb{R}\; \vert \; a\le x <b\}$ si dice intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra;
$(a,b]=\{x\in\mathbb{R}\; \vert \; a<x\le b\}$ si dice intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra.

Osservazione 4. Nel caso in cui $b<a$ risulta ad esempio $[a,b]=\emptyset$ .

Definizione 7. Sia $a\in\mathbb{R}$ si chiama intervallo illimitato superiormente l’insieme di tutti i numeri reali maggiori (o maggiori o uguali) di $a$ .

Analogamente

Definizione 8. Sia $a\in\mathbb{R}$ si chiama intervallo illimitato inferiormente l’insieme di tutti i numeri reali minori (o minori o uguali) di $a$ .

Gli intervalli illimitati sono invece determinati da un solo estremo $a \in \mathbb{R}$ . Anche per essi si distinguono quattro casi:

$[a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\; \vert \; x \ge a\}$ si dice intervallo chiuso illimitato superiormente;
$(a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\; \vert \; x>a\}$ si dice intervallo aperto illimitato superiormente;
$(-\infty,a]=\{x\in\mathbb{R}\; \vert\; x\le a\}$ si dice intervallo chiuso illimitato inferiormente;
$(-\infty,a)=\{x\in \mathbb{R} \; \vert \; x<a\}$ si dice intervallo aperto illimitato inferiormente.

Ricordando la definizione di massimo e minimo di un insieme osserviamo che non tutti gli insiemi di numeri reali hanno massimo o il minimo. Ad esempio se consideriamo l’intervallo $I=[0,1)$ , $\min I=0$ ma $I$ non ammette massimo in quanto non esiste $x\in I$ tale che $x\geq y$ per ogni $y\in I$ .

Sempre riprendendo le definizioni del paragrafo 1. diremo che $A$ è limitato superiormente se $M(A)\neq\emptyset$ analogamente è limitato inferiormente se $m(A)\neq\emptyset$ . In generale

Definizione 9. Un insieme $A\subseteq\mathbb{R}$ si dice limitatose esistono due numeri reali $l$ e $L$ tale che

$\begin{equation*} l\leq a\leq L\qquad\forall a\in\,A. \end{equation*}$

Teorema 4. Sia $A\in\mathbb{R}$ un insieme limitato superiormente. Allora l’insieme dei maggioranti ammette minimo.

Dimostrazione. Sia $M^C(A)$ il complementare di $M(A)$ . Dimostriamo che la coppia $(M^C(A),M(A))$ forma una sezione di $\mathbb{R}$ . Per ipotesi dato che $A$ è limitato superiormente e non è vuoto si ha

$\begin{equation*} M(A)\neq\emptyset, \quad M^C(A)\neq\emptyset. \end{equation*}$

Siano $x\in M^C(A))$ e $y\in M(A)$ . Poiché $x$ non è un maggiorante dell’insieme $A$ esiste un elemento $a\in A$ tale che $a>x$ . D’altra parte $y$ è un maggiorante quindi $x<y$ . Allora per l’assioma di completezza esiste un elemento $L\in \mathbb{R}$ tale che

$\begin{equation*} x\leq L\leq y. \end{equation*}$

Dobbiamo infine dimostrare che $L\in M(A)$ . Se $L$ non fosse un maggiorante allora esisterebbe $a\in A$ tale che $a>L$ . Allora

$\begin{equation*} L<\frac{L+a}{2}<a \Rightarrow \dfrac{L+a}{2}\in M^C(A). \end{equation*}$

Ma questo è assurdo perché per ipotesi $L$ era l’elemento separatore.

In maniera analoga si dimostra che se $A$ è un insieme limitato inferiormente, allora l’insieme dei minoranti ammette massimo. In base al teorema precedente possiamo dare la seguente definizione

Definizione 10. Dato $A\subseteq \mathbb{R}$ si definisce $M(A)$ l’insieme dei maggioranti di $A$ . Allora $\alpha=\min M(A)$ si dirà estremo superiore di $A$ . In altre parole

$\begin{equation*} \alpha=\sup A\quad \Leftrightarrow \quad\begin{cases} \alpha\geq a&\forall a\in A\\ \forall \, \varepsilon >0 \exists \, a \in A: a>\alpha -\varepsilon. \end{cases} \end{equation*}$

Analogamente possiamo definire l’estremo inferiore di un sottoinsieme

Definizione 11. Dato $A\subseteq \mathbb{R}$ si definisce $m(A)$ l’insieme dei maggioranti di $A$ . Allora $\beta=\max m(A)$ si dirà estremo inferiore di $A$ . In altre parole

$\begin{equation*} \beta=\inf A\quad\Leftrightarrow \quad\begin{cases} \beta\leq a&\forall a\in A\\ \forall \, \varepsilon >0 \exists \, a \in A: a<\beta +\varepsilon. \end{cases} \end{equation*}$

Quindi se un insieme è limitato superiormente esiste ed è unico l’estremo superiore ed è un numero reale. Analogamente se un insieme è limitato inferiormente esiste ed è unico l’estremo inferiore.

Abbiamo visto che l’assioma di completezza implica l’esistenza dell’estremo superiore. Si dimostra che vale anche l’implicazione inversa: in un campo ordinato, la proprietà di esistenza dell’estremo superiore di insiemi non vuoti e limitati superiormente implica la proprietà di separazione. Dunque le due proprietà sono equivalenti; una qualunque di esse può essere utilizzata per esprimere la proprietà di completezza di $\mathbb{R}$ .

È utile introdurre i simboli $+\infty$ e $-\infty$ per descrivere gli insiemi non limitati. Precisamente, sia $A\subseteq\mathbb{R}$ non vuoto

$\begin{equation*} \begin{split} &\sup A=+\infty\Longleftrightarrow \forall\, L,\, \exists\,a\,\in\,A:\, a>L\\ & \inf A=-\infty\Longleftrightarrow \forall\, l,\, \,\exists a\,\in\,A:\, a<l \end{split} \end{equation*}$

Teorema 5. Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ . Allora l’estremo superiore di $A$ è unico.

Dimostrazione. La tesi segue immediatamente dalla definizione come minimo dei maggioranti, in quanto il minimo, se esiste, è unico, ma vediamone una dimostrazione diretta per fare pratica con le definizioni.

Se $A$ è illimitato superiormente, $\sup(A) = +\infty$ per definizione. Sia $A$ limitato superiormente. Per assurdo supponiamo che esistano $\alpha_1$ e $\alpha_2$ tali che $\alpha_1 < \alpha_2$ , $\alpha_1 = \sup A$ e $\alpha_2 = \sup A$ .

Sia $\delta = \alpha_2 - \alpha_1 > 0$ e sia $\varepsilon_0 = \delta/2$ . Allora esiste $x_0 \in A$ tale che

(4) $\begin{equation*} x_0 >\alpha_2 - \varepsilon > \alpha_1 \ge x_0, \end{equation*}$

dove la prima disuguaglianza segue dal fatto che $\alpha_2=\sup A$ , la seconda disuguaglianza vale per costruzione e l’ultima è lecita perchè $\alpha_1$ è maggiorante.

Osserviamo che (4) è assurdo, pertanto concludiamo che $\alpha_1 = \alpha_2$ essendo analoga la dimostrazione per assurdo nel caso $\alpha_1 > \alpha_2$ .

Proposizione 8. $\sup(\mathbb{N})=+\infty.$ Ovvero il sottoinsieme dei numeri naturali non è limitato superiormente.

Dimostrazione. La dimostrazione di questo fatto è un’immediata applicazione dell’Assioma di Archimede: dato un numero naturale $m\in \mathbb{N}$ , esiste sempre un numero naturale $n>m$ , come si può osservare ponendo $x=1$ e $y=m$ in (1). Per fare pratica con le definizioni, vediamo anche un’altra dimostrazione che procede per assurdo.

Si supponga che $\sup(\mathbb{N})= L\in\mathbb{R}$ e si consideri $\epsilon=\frac{1}{2}.$ Dalla proposizione di caratterizzazione dell’estremo superiore bisogna esibire $n\in\mathbb{N}$ tale per cui valga

$L-\frac{1}{2}\le n,$

che equivale a

$L+\frac{1}{2}\le n+1.$

Tuttavia, poichè $L$ è in particolare un maggiorante, vale $n+1\le L,$ da cui

$L+\frac{1}{2}\le n+1\le L,$

il che implica

$L+\frac{1}{2}\le L,$

da cui

$\frac{1}{2}\le 0,$

assurdo.

Possiamo dimostrare alcune proprietà degli estremi superiori e inferiori.

Proposizione 9. Sia $A\subseteq\mathbb{R}$ un insieme non vuoto. Allora $\inf(A)\le\sup(A).$

Dimostrazione. Si considerino i due insiemi $M(A)$ e $m(A)$ . Ovviamente per definizione

$\begin{equation*} x\leq y\qquad\forall\,x\in m(A)\text{, }y\,\in M(A). \end{equation*}$

Allora poiché l’estremo inferiore è il minimo di $M(A)$ , l’estremo superiore è il massimo di $m(A)$ allora

$\begin{equation*} \inf A\leq \sup A \end{equation*}$

Inoltre possiamo dimostrare una proprietà più generale.

Proposizione 10. Sia $A,B\subseteq\mathbb{R}$ due insiemi non vuoti. Si supponga che $A\subseteq B.$ Allora vale

$\sup(A)\le\sup(B);$
$\inf(B)\le\inf(A).$

Dimostrazione punto 1. Si considerano i due insiemi

$M(A)=\{x\in \mathbb{R}: x\text{ è maggiorante di }A\}$

$M(B)=\{x\in\mathbb{R}:x \text{ è maggiorante di }B\}.$

Si osserva che $M(B)\subseteq M(A)$ infatti preso un elemento $x\in M(B)$ allora $x\geq b$ per ogni $b\in B$ . Per ipotesi $A\subseteq B$ quindi

$\begin{equation*} x\geq a\qquad \forall a\in A\Rightarrow x\geq \min (A) \end{equation*}$

allora

$\begin{equation*} \min M(B)\geq \min M(A). \end{equation*}$

Dimostrazione punto 2. Analoga al punto (1)

Proposizione 11. Siano $A,B\subseteq\mathbb{R}$ due insiemi non vuoti. Si supponga che $a\le b$ per ogni $a\in A,b\in B.$ Segue che

$\inf(A)\le \inf(B);$
$\inf(A)\le \sup(B);$
$\sup(A)\le \inf(B);$
$\sup(A)\le\sup(B).$

Esercizio 5. Determinare l’estremo superiore e inferiore del seguente insieme

$\begin{equation*} A=\{2^{-n}:\,n\in\mathbb{Z}\} \end{equation*}$

Svolgimento. Avremo che

$\begin{equation*} \inf A=0\qquad\qquad \sup A=+\infty. \end{equation*}$

Dimostriamo che l’estremo inferiore di $A$ è 0. Ovviamente $2^{-n}\geq 0$ quindi $0\in m(A)$ ; dobbiamo verificare che è il massimo dei minoranti ovvero

$\begin{equation*} \forall\varepsilon>0\,\exists n_{\varepsilon}\in\mathbb{Z}\,:\,2^{-n_\varepsilon}<\epsilon, \end{equation*}$

$\begin{equation*} 2^{-n_\varepsilon}<\epsilon\Leftrightarrow -n<\log_2\varepsilon\Leftrightarrow n>\log_2\frac{1}{\varepsilon}. \end{equation*}$

Quindi $2^{-n_\varepsilon}<\varepsilon$ se $n_\varepsilon\geq\left[\log_2\frac{1}{\varepsilon}\right]+1$ dove con $[x]$ si intende la funzione parte intera. Quindi $\inf A=0$ ; inoltre l’insieme non ammette minimo perché $0\notin A$ .

Resta da dimostrare che l’insieme $A$ è illimitato superiormente

$\begin{equation*} \forall M>0\,\exists n_M\in\mathbb{Z}\,:\,2^{-n_M}>M. \end{equation*}$

Infatti

$\begin{equation*} 2^{-n_M}>M\Leftrightarrow -n_M>\log_2M\Leftrightarrow n_M<\log_2\frac{1}{M}. \end{equation*}$

Quindi $2^{-n_M}<M$ appena $n_M\leq \left[\log_2\frac{1}{M}\right]-1$ .

Definizione 12. Sia $x\in\mathbb{R}$ . Il valore assoluto di $x$ è il numero reale non negativo

$\begin{equation*} |x|=\begin{cases} x&\text{ se }x\geq 0\\ -x&\text{ se } x<0 \end{cases} \end{equation*}$

o equivalentemente

$\begin{equation*} |x|=\max\{ x, -x \}. \end{equation*}$

Esercizio 6. Determinare l’estremo inferiore e superiore dell’insieme

$\begin{equation*} A=\left\{\frac{|2x+1|}{1+|x-1|}\,:\,x\in\mathbb{R}\right\}. \end{equation*}$

Svolgimento. Per determinare il $\sup A$ dobbiamo studiare l’insieme dei maggioranti

$\begin{equation*} y\in M(A)\Leftrightarrow \frac{|2x+1|}{1+|x-1|} \leq y\qquad\forall x\in\mathbb{R}. \end{equation*}$

Osservazione 5. Per $x=0$ abbiamo

$\begin{equation*} \frac{|1|}{1+|-1|}=\frac{1}{2}\Rightarrow 0\in A, \end{equation*}$

pertanto non è restrittivo scegliere $y\geq0$

$\begin{equation*} \frac{|2x+1|}{1+|x-1|} \leq y\Leftrightarrow |2x+1|\leq y(1+|x-1|). \end{equation*}$

Quindi per la definizione di valore assoluto

$\begin{equation*} -y(1+|x-1|)\leq 2x+1\leq y(1+|x-1|)\Leftrightarrow -y-y|x-1|\leq 2x+1\leq y+y|x-1| \end{equation*}$

Le soluzioni di questa catena di disuguaglianze coincidono con le soluzioni del sistema

$\begin{equation*} \begin{cases} 2x+1\leq y+y|x-1|\\ 2x+1\geq -y-y|x-1| \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y|x-1|\geq 2x+1-y\\ y|x-1|\geq -2x-1-y \end{cases} \end{equation*}$

Sempre per la definizione di valore assoluto

$\begin{equation*} \begin{cases} y(x-1)\geq 2x+1-y\\ y(x-1)\geq -2x-1-y \end{cases} \lor\qquad \begin{cases} y(x-1)\leq -2x-1+y\\ y(x-1)\leq 2x+1+y \end{cases} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{cases} x(y-2)\geq 1\\ x(y+2)\geq -1 \end{cases} \lor\qquad \begin{cases} x(y+2)\leq 2y-1\\ x(y-2)\leq 2y+1 \end{cases} \end{equation*}$

Osservazione 6. Ovviamente $y+2>0$ per ogni $y\geq 0$ . Invece

$\begin{equation*} y-2>0\Leftrightarrow 0\leq y<2. \end{equation*}$

Per $y=2$

$\begin{equation*} \begin{cases} 0\geq 1\\ 4x\geq -1 \end{cases} \lor\qquad \begin{cases} 4x\leq 3\\ 0\leq 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\leq \frac{3}{4}\\ \forall\,x\in \mathbb{R} \end{cases} \Rightarrow x\leq\frac{3}{4}. \end{equation*}$

Poiché l’intervallo $\displaystyle\left(-\infty,\frac{3}{4}\right]\neq \mathbb{R}$ allora $y=2$ non è un maggiorante di $A$ ; di conseguenza non sono maggioranti neanche i numeri reali minori di $2$ . Quindi $y>2\rightarrow y+2>0$

$\begin{equation*} \begin{cases} x\geq \frac{1}{y-2}\\ x\geq \frac{-1}{y+2} \end{cases} \lor\qquad \begin{cases} x\leq \frac{2y-1}{y+2}\\ x\leq \frac{2y+1}{y-2}. \end{cases} \end{equation*}$

Osservazione 7. Risolvendo le disequazioni fratte abbiamo che

$\begin{equation*} \frac{1}{y-2}\geq-\frac{1}{y+2}\qquad\forall\,y\leq 0. \end{equation*}$

Quindi

$\begin{equation*} \begin{cases} x\geq \frac{1}{y-2}\\ x\geq \frac{-1}{y+2} \end{cases} \Rightarrow x\geq \frac{1}{y-2}. \end{equation*}$

Analogamente

$\begin{equation*} \frac{2y-1}{y+2}\leq \frac{2y+1}{y-2}. \end{equation*}$

Quindi

$\begin{equation*} \begin{cases} x\leq \frac{2y-1}{y+2}\\ x\leq \frac{2y+1}{y-2} \end{cases} \Rightarrow x\leq \frac{2y-1}{y+2}. \end{equation*}$

Possiamo concludere che

$\begin{equation*} \left(-\infty,\frac{2y-1}{y+2}\right]\cup\left[\frac{1}{y-2},+\infty\right)=\R\Leftrightarrow \frac{2y-1}{y+2}\geq \frac{1}{y-2}\Leftrightarrow y\geq 3. \end{equation*}$

Quindi $y\in M(A)\Leftrightarrow y\geq 3$ quindi $\sup A=3$ . Inoltre $\max A=3$ infatti

$\begin{equation*} \frac{|2x+1|}{1+|x-1|}=3\Leftrightarrow x=1\in\mathbb{R} \end{equation*}$

La ricerca dell’estremo inferiore è invece immediata perché gli elementi dell’insieme $A$ sono ovviamente positivi

$\begin{equation*} \frac{|2x+1|}{1+|x-1|}, \end{equation*}$

quindi $\inf A=0$ . Inoltre per $x=\frac{1}{2}$

$\begin{equation*} \frac{|2\frac{-1}{2}+1|}{1+|\frac{1}{2}-1|}=0\in A. \end{equation*}$

Perciò $\min A=0$ .²

$\[\]$

Per determinare l’estremo inferiore e il massimo si poteva procedere utilizzando la monotonia della funzione $f(x)=\frac{|2x+1|}{1+|x-1|}$ ↩

Elementi di topologia di $\mathbb{R}$ ed applicazioni

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Concludiamo con delle definizioni che saranno propedeutiche allo studio di successioni e di funzioni.

Definizione 13. Un intorno di $x\in \mathbb{R}$ è un intervallo $(a,b)$ tale che $x \in (a,b)$ . Si dice intorno di $x$ di raggio $\epsilon$ e si indica $I_{\epsilon}(x)$ un intorno della forma $(x-\epsilon, x + \epsilon).$

Siamo pronti a fare un po’ di topologia elementare su $\mathbb{R}$ . Ci troviamo in un contesto geometrico, immaginiamo $\mathbb{R}$ come la retta reale: in questo contesto i numeri reali vengono chiamati punti.

Definizione 14 Sia $A$ un insieme di numeri reali, $x\in \mathbb{R}$ è detto punto interno di $A$ se esiste un intorno di $x$ contenuto in $A$ .

Definizione 15. Sia $A$ un insieme di numeri reali. Se ogni $x\in A$ è un punto interno di $A$ allora $A$ si dice aperto.

La definizione di insieme aperto è strana, come fa un punto ad appartenere ad un certo insieme ma non essere interno? Facciamo un esempio; consideriamo l’insieme $[0,3]$ questo non è un aperto perché $3$ è un elemento dell’insieme $[0,3]$ ma non riusciamo a trovare un intorno di $3$ tutto contenuto nell’intervallo $[0,3]$ . L’intervallo $(0,3)$ invece è aperto (ecco perché intervallo di questa forma sono stati definiti come aperti).

Definizione 16. Un insieme è chiuso se il suo complementare è un insieme aperto.

Definizione 17. Sia $A$ un insieme di numeri reali $x \in \mathbb{R}$ si dice punto di frontiera di $A$ se ogni intorno di $x$ interseca sia $A$ sia il complementare di $A$ . L’insieme dei punti di frontiera di $A$ si denota $\partial(A)$ e si chiama anche il bordo di $A$ .

Nell’esempio precedente, $3$ è un punto di frontiera di $[0,3]$ .

Proposizione 12. Un insieme $A$ è chiuso se e soltanto se contiene il suo bordo ovvero

$\partial(A) \subset A.$

Non a caso gli intervalli della forma $[a,b]$ sono stati definiti come intervalli chiusi perche $\partial([a,b])$ è formato dai punti $a$ e $b$ che per definizione appartengono all’intervallo $[a,b]$ .

Concludiamo con la definizione di punto di accumulazione per un insieme.

Definizione 18. Sia $A$ un insieme di numeri reali $x \inR$ si dice punto di accumulazione di $A$ se ogni intorno di $x$ di raggio $\epsilon$ interseca $A$ non solo in $x$ ovvero

$\forall \epsilon>0, \;\; (I_{\epsilon}(x) \cap A ) \setminus \{ x \} \neq \emptyset.$

Osserviamo che i punti di accumulazione possono appartenere o meno all’insieme e che tutti i punti interni sono punti di accumulazione.

Definizione 19. I punti di $A$ che non sono di accumulazione per $A$ si dicono punti isolati.

Teorema 6. Sia $A \subset \mathbb{R}$ e sia $x$ un punto di accumulazione per $A$ allora qualunque intorno $I(x)$ l’intersezione $I(x)\cap A$ contiene infiniti punti.

Dimostrazione. Per assurdo sia $I(x)$ un intorno di $x$ contenente solo un numero finito di punti

$\{x_1, ..., x_n\} \subset A, \;\;\; x_j \neq x\quad \forall j=1,\dots,n.$

Sia $\epsilon = \min{|x-x_j|} > 0$ e si consideri l’intorno di $x$ di raggio $\epsilon/2$ . Per costruzione questo intorno non contiene alcun punto di $A$ , eccetto al più $x$ , che è un assurdo dato che $x$ è un punto di accumulazione di $A$ e dunque ogni intorno di $x$ deve contenere punti di $A$ diversi da $x$ , concludendo la dimostrazione.

Definizione 20. Sia $A$ un insieme. Si dice metrica su $A$ una funzione

$\begin{equation*} d:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}$

che soddisfa le seguenti condizioni

Principio degli indiscernibili : $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$ ;
Simmetria: $d(x,y)=d(y,x)$ ;
Disuguaglianza triangolare : $d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)$ per ogni $x,y,z\in A$ .

Un insieme $A$ dotato di una metrica $d$ è detto spazio metrico.

Segue dalla definizione che una metrica è positiva, ovvero

$d(x,y) \geq 0, \quad \forall x,y \in A.$

Infatti, abbiamo

$\begin{equation*} 0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y) \quad \Rightarrow \quad d(x,y)\geq 0. \end{equation*}$

Esempio 3. Sia $A=\mathbb{R}$ e definiamo $d(x,y)=|x-y|$ . Si verifica facilmente che questa funzione è una metrica su $\mathbb{R}$ :

$|x-y|=0 \Leftrightarrow x=y$ ;
$|x-y|=|-(x-y)|=|y-x|$ ;

La terza proprietà può essere riscritta come segue:

(5) $\begin{equation*} |x-z|\leq |x-y| + |y-z| \quad \forall x,y,z\in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Essa è equivalente alla seguente versione della disuguaglianza triangolare:

(6) $\begin{equation*} |a+b|\leq |a|+|b| \quad \forall a,b \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Si dimostra facilmente l’equivalenza tra (5) e (6), ponendo $a=x-y$ e $b=y-z$ .

La (6) può essere dimostrata notando che, per definizione, $|x|=\max\{ x,-x \}$ . Abbiamo dunque $a \leq |a|$ e $-a \leq |a|$ , per ogni $a \in \mathbb{R}$ , da cui

$a+b\leq |a|+|b|$ ;
$-(a+b)=-a-b \leq |a|+ |b|$ ;

ovvero, $|a+b|=\max\{ a+b,-(a+b) \}\leq |a|+|b|$ .

Definizione 21. Dato uno spazio metrico $A$ , un suo sottospazio $B\subset A$ si dice denso in $A$ se per ogni $a\in A$ e per ogni intorno $I(a)$ di $a$ si ha $(I(a) \setminus \{a\}) \cap B \neq \emptyset$ .

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