Costruzioni alternative dei numeri reali

Nella dispensa l’insieme dei numeri reali, abbiamo mostrato la costruzione di attraverso le cosiddette sezioni di Dedekind, ossia definendo un numero reale come l’insieme dei numeri razionali che lo precedono. Esistono altri modi per effettuare questa costruzione?

In questo articolo rispondiamo affermativamente alla domanda, presentando tre costruzioni alternative di , tutte basate su approssimazioni razionali:

1. Successioni di Cauchy di numeri razionali; un numero reale è definito come la classe delle successioni di numeri razionali che lo approssimano.
2. Allineamenti decimali; un numero reale coincide con la successione delle sue scritture decimali troncate.
3. Frazioni continue; ogni numero reale è esprimibile come una frazione continua.

Tutte le costruzioni vengono motivate e spiegate con esempi pratici. L’articolo, insieme alla dispensa complementare l’insieme dei numeri reali, offre una comprensione profonda e completa dell’essenza dei numeri reali, proponendosi come una risorsa preziosa per studenti e appassionati.

Autore

Introduzione

Successioni di Cauchy su

Un primo metodo equivalente di definire i numeri reali, più legato ai suoi aspetti computazionali, è quello legato al concetto di successione di Cauchy.

Definizione 1. Sia un insieme. Una successione a valori nell’insieme è una funzione

I valori , vengono indicati rispettivamente con e scriveremo invece di .

Definizione 2. Una successione a valori in si dice di Cauchy se

Denotiamo l’insieme delle successioni di Cauchy a valori in , .

 
Le successioni di Cauchy sono quelle che “si addensano sempre più”. Se immaginiamo di rappresentare su una retta gli elementi di una successione di Cauchy, abbiamo che, preso in maniera arbitraria un numero , da un certo valore dell’indice in avanti, tutti i punti si trovano in un intervallo di ampiezza .