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Costruzioni alternative dei numeri reali

Insiemi numerici N, Z, Q, R

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Costruzioni alternative dei numeri reali

Nella dispensa l’insieme dei numeri reali, abbiamo mostrato la costruzione di \mathbb{R} attraverso le cosiddette sezioni di Dedekind, ossia definendo un numero reale come l’insieme dei numeri razionali che lo precedono. Esistono altri modi per effettuare questa costruzione?

In questo articolo rispondiamo affermativamente alla domanda, presentando tre costruzioni alternative di \mathbb{R}, tutte basate su approssimazioni razionali:

  1. Successioni di Cauchy di numeri razionali; un numero reale è definito come la classe delle successioni di numeri razionali che lo approssimano.
  2. Allineamenti decimali; un numero reale coincide con la successione delle sue scritture decimali troncate.
  3. Frazioni continue; ogni numero reale è esprimibile come una frazione continua.

Tutte le costruzioni vengono motivate e spiegate con esempi pratici. L’articolo, insieme alla dispensa complementare l’insieme dei numeri reali, offre una comprensione profonda e completa dell’essenza dei numeri reali, proponendosi come una risorsa preziosa per studenti e appassionati.

 

Autore

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Autore: Jack D’Aurizio

 

 

Introduzione

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In questa dispensa vedremo tre costruzionidei numeri reali a partire dall’insieme dei numeri razionali che si distaccano per approccio e metodo da quella assiomatica e da quella costruttiva delle sezioni di Dedekind.

 

Successioni di Cauchy su \mathbb{Q}

Un primo metodo equivalente di definire i numeri reali, più legato ai suoi aspetti computazionali, è quello legato al concetto di successione di Cauchy.

Definizione 1. Sia A un insieme. Una successione a valori nell’insieme A è una funzione

    \begin{equation*} f:\mathbb{N}\longrightarrow A. \end{equation*}

I valori f(0), f(1), \dots, vengono indicati rispettivamente con a_0, a_1, \dots e scriveremo a_n invece di f.

 

Definizione 2. Una successione a_n a valori in \mathbb{Q} si dice di Cauchy se

    \[\forall \varepsilon > 0, \; \exists N :\; \;\; |a_n - a_m| < \varepsilon, \;\;\;\; \forall n,m \geq N.\]

Denotiamo l’insieme delle successioni di Cauchy a valori in \mathbb{Q}, C(\mathbb{Q}).

 
Le successioni di Cauchy sono quelle che “si addensano sempre più”. Se immaginiamo di rappresentare su una retta gli elementi di una successione di Cauchy, abbiamo che, preso in maniera arbitraria un numero \varepsilon > 0, da un certo valore dell’indice n in avanti, tutti i punti si trovano in un intervallo I_\varepsilon di ampiezza \varepsilon.

Osserviamo inoltre che, dati due intervalli I_\varepsilon e I_{\varepsilon'} del tipo appena descritto, la loro intersezione contiene tutti gli a_n per n maggiore di un opportuno N. L’intuizione geometrica vorrebbe che l’intersezione di tutti gli intervalli I_\varepsilon al variare di tutti i possibili \varepsilon fosse costituita da un solo punto, a cui dovrebbe corrispondere una elemento del sistema numerico che si sta considerando. Nell’insieme dei razionali una tale elemento non sempre esiste, mentre nei reali esiste. Questo è un altro modo per descrivere il tipo di chiusura che porta dai razionali ai reali. Partendo da questa intuizione cerchiamo di definire l’insieme dei numeri reali.

Partiamo dalla definizione di limite di successioni a valori in \mathbb{Q}.
 

Definizione 3. Sia a_n una successione a valori in \mathbb{Q}; diciamo che converge in \mathbb{Q} ad a e scriveremo

    \[\lim_{n\to \infty} a_n = a,\]

se esiste a \in \mathbb{Q} tale che

    \[\forall \varepsilon > 0, \; \exists N :\; \;\; |a_n - a| < \varepsilon, \;\;\;\; \forall n \geq N.\]

 
In altre parole una successione a_n converge ad a se posso avvicinarmi arbitrariamente ad a a patto di prendere termini della successione a_n con n sufficientemente grande.

Definizione 4. Quando una proprietà di una successione vale per tutti i termini a_n con n sufficientemente grande o alternativamente maggiore di un N fissato, si dice che la proprietà vale definitivamente.

 
In questi termini diremo che una successione converge ad a se definitivamente si avvicina arbitrariamente ad a.

Definizione 5. Una successione si dice infinitesima se

    \begin{equation*} \lim_{n\rightarrow +\infty} a_n=0. \end{equation*}

 
È facile dimostrare che successioni convergenti sono sempre di Cauchy.

Teorema 1. Sia a_n una successione convergente, allora a_n è di Cauchy.

Dimostrazione.

Fissiamo \varepsilon >0 arbitrario. Per ipotesi

    \begin{equation*} \lim_{n\rightarrow +\infty} a_n=a, \end{equation*}

con a\in\mathbb{Q}. Per definizione allora \exists\, N tale che

    \[|a_n - a| < \frac{\varepsilon}{2},\]

per n\geq N.

Siano n,m \geq N allora

    \[|a_n - a_m| = |a_n - a - a_m + a| \leq |a_n - a| + |a_m - a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} \leq \varepsilon,\]

ovvero a_n è una successione di Cauchy.

 
Sull’insieme delle successioni a valori \mathbb{Q} possiamo definire operazioni di somma e prodotto.

  • (a_n + b_n) = (a_n) + (b_n),
  • (a_n \cdot b_n) = (a_n) \cdot (b_n).
Teorema 2. Sia a_n una successione di Cauchy; allora a_n è limitata, ovvero esiste M\geq 0 tale che

    \begin{equation*} |a_n|\leq M. \end{equation*}

Dimostrazione.

Sia \varepsilon=1 allora esiste N tale che

    \[|a_n-a_m|<1.\]

Per n=N+1

    \begin{equation*} |a_{N+1}-a_n|<1. \end{equation*}

Allora

    \begin{equation*} |a_n|=|a_n-a_{N+1}+a_{N+1}|\leq |a_n-a_{N+1}|+|a_{N+1}|<1+|a_{N+1}|, \end{equation*}

ovvero tutti i termini che hanno pedice maggiore di N sono limitati dal valore 1+|a_{N+1}|.

Se consideriamo M=\max\{|a_1|,|a_2|,...,|a_N|,1+|a_{N+1}|\} possiamo concludere

    \begin{equation*} |a_n|\leq M, \end{equation*}

per ogni n\in\mathbb{N}.


 

Teorema 3. Siano a_n e b_n due successioni di Cauchy; allora:
 

  1. a_n+b_n è di Cauchy;
  2. a_n\cdot b_n è di Cauchy.

Dimostrazione punto 1.

Per definizione di successioni di Cauchy, fissato un valore \varepsilon>0

    \begin{equation*} \begin{split} &\exists N_1 :\; \;\; |a_n - a_m| < \frac{\varepsilon}{2}, \;\;\;\; \forall n,m \geq N_1\\\\&\exists N_2 :\; \;\; |b_n - b_m| < \frac{\varepsilon}{2}, \;\;\;\; \forall n,m \geq N_2\\ \end{split} \end{equation*}

Consideriamo N=\max\{N_1,N_2\} allora per ogni n,\,m\geq N

    \begin{equation*} |(a_n+b_n)-(a_m+b_m)|=|(a_n-a_m)+(b_m-b_n)|\leq |a_n-a_m|+|b_n-b_m|< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{equation*}

quindi a_n+b_n è di Cauchy.

Dimostrazione punto 2.

In modo analogo al punto 1 consideriamo N=\max\{N_1,N_2\}, quindi per ogni n,\,m\geq N

    \begin{equation*} \begin{split} |a_n\cdot b_n-a_m\cdot b_m|&=|a_n\cdot b_n-a_m\cdot b_n+a_m\cdot b_n-a_m\cdot b_m|=\\&=|b_n(a_n-a_m)+a_m(b_n-b_m)|\leq\\&\leq |b_n|||a_n-a_m|+|a_n||b_n-b_m|. \end{split} \end{equation*}

Per il teorema 2 esistono M_1 e M_2 maggioranti rispettivamente della successione a_n e b_n, quindi

    \begin{equation*} |a_n\cdot b_n-a_m\cdot b_m|<M_2\varepsilon+M_1\varepsilon=(M_1+M_2)\varepsilon, \end{equation*}

quindi a_n\cdot b_n è di Cauchy per l’arbitrarietà di \varepsilon.

 

Con questo teorema abbiamo dimostrato che se due successioni appartengono a C(\mathbb{Q}) allora anche la somma e il prodotto saranno elementi di C(\mathbb{Q}); in altri termini C(\mathbb{Q}) è chiuso rispetto alla somma e al prodotto.

 

Proposizione 1. Sia a_n una successione di Cauchy di numeri razionali positivi allora
 

  1. Se la successione a_n^2 è di Cauchy, allora anche a_n è di Cauchy;
  2. Se \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}a_n^2=2 allora a_n non è convergente in \mathbb{Q}.

Dimostrazione punto 1.

Supponiamo per assurdo che a_n non sia di Cauchy.

    \begin{equation*} \exists \varepsilon >0\,\,:\,\,\exists\,n,\,m\geq N\,\,:\,\,|a_n-a_m|\geq \varepsilon. \end{equation*}

Allora

    \begin{equation*} \varepsilon^2 \leq (a_n-a_m)^2=a_n^2-2a_na_m+a_m^2. \end{equation*}

Senza perdere di generalità possiamo supporre a_n\geq a_m abbiamo

    \begin{equation*} |a_n^2-a_m^2|=a_n^2-a_m^2\geq \varepsilon^2+2a_na_m-2a_m^2=\varepsilon^2+2a_m(a_n-a_m)\geq \varepsilon^2+2a_m\varepsilon>\varepsilon^2 \end{equation*}

e questo contraddice l’ipotesi che la successione a_n^2 è di Cauchy.

Dimostrazione punto 2.

Se per assurdo

    \begin{equation*} \lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=a, \end{equation*}

con a\in\mathbb{Q} allora per definizione \exists\,N\in\mathbb{N} tale che

    \begin{equation*} |a_n-a|<\varepsilon. \end{equation*}

Quindi

    \begin{equation*} |a_n^2-a^2|=|a_n-a||a_n+a|<\varepsilon(|a_n|+a)<\varepsilon(M+a), \end{equation*}

dove l’ultima disuguaglianza è motivata dal teorema 2. Allora la successione a_n^2 converge al valore a=2. Allora a^2=2, il che è assurdo in quanto a è un numero razionale.


Dunque la successione a_n non converge in \mathbb{Q}.

 

Definizione 6. Uno spazio metrico si dice completo se ogni successione di Cauchy è convergente.

Osservazione 1.

Dalla proposizione (1) osserviamo che lo spazio \mathbb{Q} dotato della metrica euclidea non è completo, infatti abbiamo determinato una successione di Cauchy in \mathbb{Q} che non converge in \mathbb{Q}.


 
L’idea della costruzione di \mathbb{R} è proprio quello di completare l’insieme \mathbb{Q} attraverso le successioni di Cauchy.

Definiamo la seguente relazione

    \[a_n \sim b_n \;\; \Leftrightarrow \;\; \lim_{n\rightarrow +\infty} (a_n - b_n) = 0.\]

La relazione \sim è di equivalenza per le proprietà dei limiti di successione.

In sostanza, mentre per i numeri razionali abbiamo identificato la coppia (1,2) relativa alla frazione \frac12 con la coppia (2,4) relativa alla frazione \frac24, in questo caso identifichiamo le successioni di Cauchy che hanno differenza che converge a zero.
Chiamiamo questo nuovo insieme

    \[\mathbb{R}:=C(\mathbb{Q})/\sim.\]

Su questo insieme possiamo definire le stesse identiche operazioni di somma e di prodotto e si può dimostrare che la definizione è buona, nel senso che non dipende dal rappresentante scelto per fare l’operazione (come nel caso delle frazioni in cui potevamo semplificare numeratore e denominatore) senza cambiare il risultato. Anche in questo caso identifichiamo le classi di equivalenza ovvero gli elementi di questo insieme in cui abbiamo identificato alcuni elementi, con le parentesi quadre. Formalmente

    \[[(a_n)] + [(b_n)] = [(a_n) + (b_n)], \qquad [(a_n)] \cdot [(b_n)] = [(a_n) \cdot (b_n)].\]

Per finire possiamo definire una relazione d’ordine su {C(\mathbb{Q})}/{\sim}.
 

Definizione 7. Una successione si dice positiva se esistono \eta>0 e N \in \mathbb{N} tali che

    \[a_n\geq \eta,\]

per n>N.

 
Osservando che essere una successione positiva non dipende dal particolare rappresentante scelto, nel senso che se (a_n) è positiva e (b_n) \sim (a_n) allora (b_n) è positiva, si definisce la relazione d’ordine nel modo seguente:

    \[[(a_n)] \geq [(b_n)] \;\;\; \leftrightarrow \;\;\;[(a_n - b_n)] \;\;\mbox{è positiva o infinitesima}.\]

La relazione d’ordine appena definita è compatibile con le operazioni di somma e prodotto e rendono {C(\mathbb{Q})}/{\sim} un campo ordinato completo ovvero un altro modo per rappresentare \mathbb{R}.

In qualche senso questa costruzione ci da un’altra rappresentazione degli elementi di \mathbb{R} come l’insieme di tutti i limiti di successioni di Cauchy su \mathbb{Q}. Prendiamo una successione di Cauchy su \mathbb{Q}, se questa converge ad un elemento di \mathbb{Q}, abbiamo trovato un numero razionale di \mathbb{R} altrimenti aggiungiamo a mano tale limite in \mathbb{R} e sarà quello che comunemente chiamiamo numero irrazionale.
 

Allineamenti decimali

Fin da quando siamo bambini siamo stati abituati a pensare ai numeri reali come espansioni della forma \text{1,4142}\dots; che ha a che fare questa notazione con le sezioni di Dedekind o le successioni di Cauchy? Questo è quello che scopriremo in questa sezione.
 

Definizione 8. Un allineamento decimale è una successione f a valori in \mathbb{Z}

    \[f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z},\]

tale che per ogni n>0, f(n) è un valore nell’insieme \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}.

 
Chiamiamo l’insieme degli allineamenti decimali A_{10}(\mathbb{Z}).Quando parliamo di allineamento decimale in mente abbiamo l’insieme delle cifre dopo la virgola; per esempio dato il numero
\text{132.4142}\dots allora

    \[f(0) = 132, f(1) = 4, f(2)=1, f(3) = 4, f(4)=2, \dots.\]

Il numero f(0) viene chiamato parte intera di f, mentre la successione f(1)\,f(2),... viene chiamata parte decimale.

Vogliamo identificare i numeri reali con allineamenti decimali, per fare questo, passiamo attraverso le successioni di Cauchy.

Data un allineamento decimale f possiamo costruire una successione di Cauchy detta successione generatrice

    \[a_n = \sum_{i=0}^{n}\frac{f(i)}{10^{i}}.\]

Teorema 4. La successione

    \begin{equation*} a_n = \sum_{i=0}^{n}\frac{f(i)}{10^{i}} \end{equation*}

è di Cauchy.

Dimostrazione.

Sia \varepsilon>0 e supponiamo senza perdere di generalità n>m

    \begin{equation*} \begin{split} |a_n-a_m|&=\left|\sum_{i=0}^{n}\frac{f(i)}{10^{i}} -\sum_{i=0}^{m}\frac{f(i)}{10^{i}}\right|=\left|\sum_{i=m+1}^{n}\frac{f(i)}{10^{i}}\right|=\\&=\sum_{i=m+1}^{n}\frac{f(i)}{10^{i}}\leq 9\sum_{i=m+1}^n\left(\frac{1}{10}\right)^i=9\sum_{i=0}^{n-m-1}\left(\frac{1}{10}\right)^{i+m+1}=\\&=\frac{9}{10^{m+1}}\sum_{i=0}^{n-m-1}\left(\frac{1}{10}\right)^{i}=\frac{9}{10^{m+1}}\frac{1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n-m}}{1-\frac{1}{10}}<\frac{1}{10^m}. \end{split} \end{equation*}

Scegliamo N tale che

    \[\frac{1}{10^N}<\varepsilon,\]

allora per ogni n,\,m>N

    \[|a_n-a_m|<\varepsilon,\]

quindi le successioni generate da allineamenti decimali sono di Cauchy.  


Per finire ricordiamo che sulle successioni di Cauchy abbiamo identificato le successioni che hanno differenza infinitesima. Ci chiediamo, quand’è che dati due allineamenti decimali diversi f \neq g queste ci danno due successioni generatrici identificate?

Teorema 5. Due allineamenti decimali hanno successioni generatrici identificate se e solo se esiste k \in \mathbb{N} tale che

  • f(n) = g(n),\;\; \forall n<k;
  • f(k) = 1 + g(k);
  • f(n) = 0,\;\; g(k)=9, \;\; \forall n>k;

Dimostrazione.

Siano a_n e b_n la successioni generatrici degli allineamenti decimali f e g. Dalle ipotesi

    \begin{equation*} a_n-b_n=\begin{cases} 0&n<k\\\frac{1}{10^n}&n\geq k, \end{cases} \end{equation*}

allora \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}(a_n-b_n)=0.

(\Leftarrow) Siano a_n e b_n due successioni generatrici tale che \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}(a_n-b_n)=0; supponiamo per assurdo che gli allineamenti decimali non verifichino le condizioni del teorema. Allora esiste un numero naturale n tale che

    \[|a_n-b_n|\geq\frac{2}{10^n}\]

e questo è assurdo perché la successione a_n-b_n è infinitesima.

 

Il precedente teorema è un modo astruso per dire che f = \text{1,350000}\dots e g = \text{1,3499999}\dots hanno successioni generatrici identificate,
Infatti preso k = 3 abbiamo f(0) = g(0) = 1, f(1) = g(1) = 3
f(3) = 5 = g(3) + 1 da questo punto in poi, f presenta tutti zeri e g ha tutti 9.
Identifichiamo allora gli allineamenti decimali che hanno successioni generatrici identificate.
Come ormai di consuetudine chiamiamo il nuovo insieme degli allineamenti decimali identificati {A_{10}(\mathbb{Z})}/{\sim}.
In sostanza abbiamo costruito una funzione biunivoca tra

    \[C(\mathbb{Q})/\sim, \qquad A_{10}(\mathbb{Z})/\sim;\]

questa identificazione tra successioni di Cauchy e allineamenti decimale ci permette di trasportare le operazioni già definite sulle successioni di Cauchy agli allineamenti decimali. Anche la relazione d’ordine può essere trasferita e non solo, si scopre che la relazione d’ordine così definita risulta la stessa che abbiamo imparato alle scuole medie, l’ordinamento lessicografico:

    \[[f] > [g] \;\;\; \mbox{se $f$ e $g$ non sono identificati e il primo $k$ tale che}\]

    \[f(k)\neq g(k)\;\;\; \mbox{si ha} \;\;\; f(k) > g(k),\]

La precedente espressione, ancora, è un modo complicato per dire che, per esempio, dati f = \text{1,33816}\dots e g =\text{1,33722}\dots allora f>g perché fino alla posizione 2, f(2), gli allineamenti sono uguali e poi abbiamo f(4) = 8 > f(3) = 7.

Con queste operazioni {A_{10}(\mathbb{Z})}/{\sim} è un campo ordinato completo e quindi un altro modo per rappresentare \mathbb{R}.

Abbiamo già visto che le successioni di Cauchy che hanno limite razionale sono sostanzialmente i numeri razionali. Viene spontaneo chiedersi da che tipo di allineamenti decimali vengono generate tali successioni di Cauchy. La risposta è già stata alle scuole medie: gli allineamenti decimali che sono periodici ( si ripetono da un certo punto in poi) hanno successione di Cauchy generatrice che converge a un numero razionale!
 

Definizione 9. Un allineamento decimale f si dice periodico se esistono n_0,\,k>01 tale che

    \begin{equation*} f(n)=f(n+k)\qquad \forall\,n> n_0. \end{equation*}

    \[\]

  1. Per un numero decimale periodico k rappresenta il numero di cifre che formano il periodo e n_0 il numero di cifre dell’antiperiodo ↩

 

Teorema 6. L’allineamento decimale f è periodico se e solo se la successione generata è convergente in \mathbb{Q}.

 
Infine, adesso possiamo rispondere anche alla domanda del secolo:

    \[0,99999\dots = 1?\]

La risposta è che dipende da dove interpretiamo l’uguaglianza: chiaramente non sono lo stesso allineamento decimale, ma sono allineamenti decimali identificati ovvero sono lo stesso oggetto in A_{10}(\mathbb{Z}/\sim e dunque sono lo stesso numero reale.

 

Frazioni continue

Un altro possibile approccio per costruire \mathbb{R} a partire da \mathbb{Q} è quello di considerare particolari rappresentazioni per i numeri razionali positivi, dette frazioni continue . A partire da un qualunque numero razionale \alpha=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}^+ con MCD(p,q)=1 possiamo applicare la mappa di Gauss che consiste nel

  • sottrarre da \alpha la sua parte intera inferiore,

        \[\alpha\to\{\alpha\}=\alpha-\lfloor\alpha\rfloor;\]

  • posto che l’ultima parte frazionaria non sia nulla, rimpiazzare \alpha con

        \[(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor)^{-1}\]

    e tornare al punto precedente.

Questa procedura ci dà modo di rappresentare qualunque numero razionale positivo in maniera peculiare. Ad esempio, considerando \alpha=\frac{19}{7}:

    \[\frac{19}{7}=2+\frac{5}{7}=2+\frac{1}{1+\frac{2}{5}} = 2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}},\]

dove per convenienza tipografica poniamo

    \[a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3}}} = [a_0,a_1,a_2,a_3],\]

scrivendo pertanto \frac{19}{7}=[2,1,2,2]. I termini a_0,a_1,\ldots della frazione continua corrispondono esattamente ai quozienti parziali nell’algoritmo di Euclide esteso applicato alla coppia (p,q):

    \begin{equation*} \begin{split} &19=7\cdot2+5\\ &7=5\cdot1+2\\ &5=2\cdot2+1\\ &2=1\cdot2+0 \end{split} \end{equation*}

    \[(\text{19,7})\stackrel{2}{\longrightarrow}(\text{7,5})\stackrel{1}{\longrightarrow}(\text{5,2})\stackrel{2}{\longrightarrow}(\text{2,1})\stackrel{2}{\longrightarrow}(\text{1,0}).\]

Poiché MCD(p,q)=1 per ipotesi, l’iterazione della mappa di Gauss si arresta in un numero finito di passi ed abbiamo il seguente

Teorema 7. Qualunque numero razionale positivo può essere rappresentato da una frazione continua della forma [a_0,\ldots,a_n], dove a_0\in\mathbb{N} e a_k\in\mathbb{N}^+ per ogni k\geq 1.

 

Analogamente al caso degli allineamenti decimali abbiamo una mancanza di unicità della rappresentazione, dovuta al fatto che [n,1]=[n+1]. Ad esempio:

    \[[3,2,1]=3+\frac{1}{2+\frac{1}{1}}=\frac{10}{3}=3+\frac{1}{3}=[3,3].\]

In ogni caso è possibile utilizzare le frazioni continue per esplicitare una biezione tra \mathbb{Q}^+ e le sequenze di numeri naturali, o tra \mathbb{Q}^+ e le sequenze binarie ( albero di Stern-Brocot ), (ri-)dimostrando la numerabilità di \mathbb{Q}.

Sia data una frazione continua qualsiasi

    \[\alpha=\left[a_0,a_1,...,a_n\right].\]

Ogni frazione continua \beta_k=\left[b_0,b_1,...,b_k\right] con 0\leq k\leq m si chiama ridotta k-esima o convergente m-esima di \alpha. Tornando all’esempio iniziale, i convergenti di \frac{19}{7} sono

    \[[2]=\frac{2}{1},\quad [2,1]=\frac{3}{1},\quad [2,1,2]=\frac{8}{3},\quad [2,1,2,2]=\frac{19}{7}.\]

Osservazione.

Per il teorema 7. è lecito indicare le convergenti di una frazione continua come frazioni

    \begin{equation*} \beta_k=\frac{p_k}{q_k}, \end{equation*}

dove MCD(p_k,q_k)=1 e q_k\neq 0.


Utilizzando il principio di induzione non è difficile provare un’importante proprietà di struttura dei convergenti: per ogni k\geq 2 si ha

    \[p_k = a_k p_{k-1}+p_{k-2},\qquad q_k = a_k q_{k-1}+q_{k-2}\]

e da questo discende (sempre grazie al principio di induzione)

    \[\frac{p_k}{q_k}-\frac{p_{k+1}}{q_{k+1}} = \frac{(-1)^{k+1}}{q_k q_{k+1}}.\]

In particolare la successione dei convergenti di \alpha converge ad \alpha in maniera “alternata”, seguendo il pattern

    \[\beta_1<\beta_3<\beta_5<...<\beta_{2k+1}<...<\beta_2k<...<\beta_4<\beta_2\]

con convergenza “almeno geometrica” in quanto

    \[\left|\alpha-\frac{p_k}{q_k}\right|\leq \frac{1}{q_k q_{k+1}} \leq \frac{1}{F_{k+1}F_{k+2}},\]

dove F_k è il k-esimo elemento della successione di Fibonacci

    \[\{F_n\}_{n\geq 0}=\{0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\ldots\}.\]

A causa di queste fortissime proprietà strutturali della successione dei convergenti, ogni frazione continua con infiniti termini è univocamente associata ad un taglio di Dedekind o ad una successione di Cauchy di razionali. In particolare è possibile definire \mathbb{R}^+\setminus\mathbb{Q}^+ come l’insieme delle frazioni continue di infiniti termini.

A causa della loro struttura le frazioni continue non sono semplicissime da manipolare attraverso le operazioni aritmetiche fondamentali, ma proprio in quanto contenitori delle “migliori approssimazioni razionali” esse permettono di attaccare efficacemente diverse questioni di irrazionalità.

Teorema 8 (Lagrange). Dato \alpha\in\mathbb{R}^+ e \frac{p}{q}\in\mathbb{Q}^+ con MCD(p,q)=1, se si ha

    \[\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{2q^2},\]

allora \frac{p}{q} è un convergente della frazione continua di \alpha.

 
Ad esempio, detta \alpha la soluzione positiva di x^2=2 e posto \beta=1+\alpha, si ha \beta\in(2,3) e \beta=2+\frac{1}{\beta}. Questo comporta che la frazione continua di \beta è

    \[\beta = [2,2,2,2,2,2,\ldots],\]

dunque \beta\not\in\mathbb{Q}. Analogamente, detta \varphi la soluzione positiva di x^2=x+1, si ha \varphi\in(1,2) e \varphi=1+\frac{1}{\varphi}, dunque

    \[\varphi = [1,1,1,1,1,1,\ldots]\]

e \varphi\not\in\mathbb{Q}. Abbiamo appena (ri-)dimostrato l’incommensurabilità di diagonale e lato sia nel quadrato che nel pentagono regolare.
 

Riepilogo

Le sezioni di Dedekind sono forse il primo esempio di uso di insiemi come singole entità numeriche: un insieme viene visto come un unico oggetto. Anche se nella matematica contemporanea operazioni di questo tipo ci sembrano abbastanza naturali, è evidente la forte astrazione su cui esse sono basate. Non è certo più semplice e intuitivo considerare singole entità numeriche le classi di equivalenza di successioni di Cauchy (per le quali, oltre ad operazioni insiemistiche, dobbiamo ricorrere anche alla nozione di funzione). E invece apparentemente più semplice vedere, come viene fatto alla scuola media, i numeri reali come numeri decimali, finiti, o periodici, o non periodici. In questo caso infatti si tratta di estendere una nozione che siamo già abituati ad usare: sappiamo trattare i numeri decimali periodici, per cui possiamo andare ‘leggermente’ oltre considerando numeri decimali anche non periodici. La semplicità di questa estensione è tuttavia solo apparente; per rendercene conto basta considerare operazioni elementari come la somma o il prodotto. Cosa significa sommare o moltiplicare due allineamenti decimali non periodici? Se \sqrt{2} = \text{1,41421}\dots e \sqrt{3}=\text{ 1,73205 }\dots quanto fa, in termini di numeri decimali, \sqrt{2} + \sqrt{3}? È chiaro che non possiamo ricorrere all’usuale algoritmo per la somma di due numeri decimali, né trasformare i numeri in frazioni. Una possibile risposta passa attraverso le successioni di Cauchy.

Dette (a_n) e (b_n) le successioni di Cauchy generate dagli allineamenti decimali di \sqrt{2} e \sqrt{3} sappiamo che (a_n + b_n) è ancora una successione di Cauchy equivalente ad un’unica successione generata da un allineamento decimale: l’allineamento decimale di \sqrt{2} + \sqrt{3}. L’operazione di somma su A_{10}(\mathbb{Z})/\sim vista sopra è dunque indotta da quella su C(\mathbb{Q})/\sim tramite la corrispondenza tra A_{10}(\mathbb{Z}/\sim e C(\mathbb{Q})/\sim vista nella sezione precedente. In modo analogo si possono definire il prodotto e la relazione d’ordine su A_{10}(\mathbb{Z}) e, per la corrispondenza tra S(\mathbb{Q}) e C(\mathbb{Q})/\sim possiamo fare lo stesso con i tagli di Dedekind. Avvalendoci delle frazioni continue, possiamo analogamente affermare che la somma tra

    \[\sqrt{2}=[1,2,2,2,2,2,2,\ldots ]\]

e

    \[\sqrt{3}=[1,1,2,1,2,1,2,\ldots ]\]

è

    \[\sqrt{2}+\sqrt{3}=[3,6,1,5,7,1,1,4,1,38,43,\ldots ].\]

Come vedremo in articoli successivi, il fatto che un numero reale sia una classe d’equivalenza di successioni convergenti di numeri razionali è quanto si sfrutta nel definire il significato di espressioni quali 2^x nel caso in cui x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.

 
 

Tutta la teoria di analisi matematica

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  1. Teoria Insiemi
  2. Il metodo della diagonale di Cantor
  3. Logica elementare
  4. Densità dei numeri razionali nei numeri reali
  5. Insiemi Numerici \left(\mathbb{N},\, \mathbb{Z},\, \mathbb{Q}\right)
  6. Il principio di induzione
  7. Gli assiomi di Peano
  8. L’insieme dei numeri reali: costruzione e applicazioni
  9. Concetti Fondamentali della Retta Reale: Sintesi Teorica
  10. Costruzioni alternative di \mathbb{R}
  11. Binomio di Newton
  12. Spazi metrici, un’introduzione
  13. Disuguaglianza di Bernoulli
  14. Disuguaglianza triangolare
  15. Teoria sulle funzioni
  16. Funzioni elementari: algebriche, esponenziali e logaritmiche
  17. Funzioni elementari: trigonometriche e iperboliche
  18. Funzioni goniometriche: la guida essenziale
  19. Teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni
  20. Criterio del rapporto per le successioni
  21. Definizione e proprietà del numero di Nepero
  22. Limite di una successione monotona
  23. Successioni di Cauchy
  24. Il teorema ponte
  25. Teoria sui limiti
  26. Simboli di Landau
  27. Funzioni continue – Teoria
  28. Il teorema di Weierstrass
  29. Il teorema dei valori intermedi
  30. Il teorema della permanenza del segno
  31. Il teorema di Heine-Cantor
  32. Il teorema di esistenza degli zeri
  33. Il metodo di bisezione
  34. Teorema ponte versione per le funzioni continue
  35. Discontinuità di funzioni monotone
  36. Continuità della funzione inversa
  37. Teorema delle contrazioni o Teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli
  38. Teoria sulle derivate
  39. Calcolo delle derivate: la guida pratica
  40. Teoria sulle funzioni convesse
  41. Il teorema di Darboux
  42. I teoremi di de l’Hôpital
  43. Teorema di Fermat
  44. Teoremi di Rolle e Lagrange
  45. Il teorema di Cauchy
  46. Espansione di Taylor: teoria, esempi e applicazioni pratiche
  47. Polinomi di Taylor nei limiti: istruzioni per l’uso
  48. Integrali definiti e indefiniti
  49. Teorema fondamentale del calcolo integrale (approfondimento)
  50. Integrali ricorsivi
  51. Formule del trapezio, rettangolo e Cavalieri-Simpson
  52. Teoria sugli integrali impropri
  53. Funzioni integrali – Teoria
  54. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di ingegneria — versione semplificata)
  55. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di matematica o fisica)
  56. Serie numeriche: la guida completa
  57. Successioni di funzioni – Teoria
  58. Teoremi sulle successioni di funzioni
    1. 58a. Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme
    2. 58b. Limite uniforme di funzioni continue
    3. 58c. Passaggio al limite sotto il segno di integrale
    4. 58d. Limite uniforme di funzioni derivabili
    5. 58e. Piccolo teorema del Dini
    6. 58f. Procedura diagonale e teorema di Ascoli-Arzela
  59. Serie di funzioni – Teoria
  60. Serie di potenze – Teoria
  61. Serie di Fourier – Teoria e applicazioni
  62. Integrali multipli — Parte 1 (teoria)
  63. Integrali multipli — Parte 2 (teoria e esercizi misti)
  64. Regola della Catena — Teoria ed esempi.
  65. Jacobiano associato al cambiamento di coordinate sferiche
  66. Guida ai Massimi e Minimi: Tecniche e Teoria nelle Funzioni Multivariabili
  67. Operatore di Laplace o Laplaciano
  68. Teoria equazioni differenziali
  69. Equazione di Eulero
  70. Teoria ed esercizi sulla funzione Gamma di Eulero
  71. Teoria ed esercizi sulla funzione Beta
  72. Approfondimento numeri complessi
  73. Diverse formulazioni dell’assioma di completezza
  74. Numeri di Delannoy centrali
  75. Esercizi avanzati analisi

 
 

Tutte le cartelle di Analisi Matematica

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  1. Prerequisiti di Analisi
    1. Ripasso algebra biennio liceo
    2. Ripasso geometria analitica
    3. Ripasso goniometria e trigonometria
    4. Errori tipici da evitare
    5. Insiemi numerici N,Z,Q,R
    6. Funzioni elementari
    7. Logica elementare
    8. Insiemi
  2. Successioni
    1. Teoria sulle Successioni
    2. Estremo superiore e inferiore
    3. Limiti base
    4. Forme indeterminate
    5. Limiti notevoli
    6. Esercizi misti Successioni
    7. Successioni per ricorrenza
  3. Funzioni
    1. Teoria sulle funzioni
    2. Verifica del limite in funzioni
    3. Limite base in funzioni
    4. Forme indeterminate in funzioni
    5. Limiti notevoli in funzioni
    6. Calcolo asintoti
    7. Studio di funzione senza derivate
    8. Dominio di una funzione
    9. Esercizi misti Funzioni
    10. Esercizi misti sui Limiti
  4. Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
    1. Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
    2. Continuità delle funzioni
    3. Continuità uniforme
    4. Teorema degli zeri
    5. Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate
  5. Calcolo differenziale
    1. Derivate
    2. Calcolo delle derivate
    3. Retta tangente nel calcolo differenziale
    4. Punti di non derivabilità nel calcolo differenziale
    5. Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate
    6. Studio di funzione completo nel calcolo differenziale
    7. Esercizi teorici nel calcolo differenziale
    8. Metodo di bisezione
    9. Metodo di Newton
  6. Teoremi del calcolo differenziale
    1. Teoria sui Teoremi del calcolo differenziale
    2. Teorema di Rolle
    3. Teorema di Lagrange
    4. Teorema di Cauchy
    5. Teorema di De L’Hôpital
  7. Calcolo integrale
    1. Integrale di Riemann
    2. Integrali immediati
    3. Integrale di funzione composta
    4. Integrali per sostituzione
    5. Integrali per parti
    6. Integrali di funzione razionale
    7. Calcolo delle aree
    8. Metodo dei rettangoli e dei trapezi
    9. Esercizi Misti Integrali Indefiniti
    10. Esercizi Misti Integrali Definiti
  8. Integrali impropri
    1. Teoria Integrali impropri
    2. Carattere di un integrale improprio
    3. Calcolo di un integrale improprio
  9. Espansione di Taylor
    1. Teoria Espansione di Taylor
    2. Limiti di funzione con Taylor
    3. Limiti di successione con Taylor
    4. Stime del resto
  10. Funzioni integrali (Approfondimento)
    1. Teoria Funzioni integrali (Approfondimento)
    2. Studio di funzione integrale
    3. Limiti con Taylor e De L’Hôpital
    4. Derivazione di integrali parametrici (Tecnica di Feynmann)
  11. Numeri Complessi
    1. Teoria Numeri complessi
    2. Espressioni con i numeri complessi
    3. Radice di un numero complesso
    4. Equazioni con i numeri complessi
    5. Disequazioni con i numeri complessi
    6. Esercizi misti Numeri complessi
  12. Serie numeriche
    1. Teoria Serie numeriche
    2. Esercizi Serie a termini positivi
    3. Esercizi Serie a termini di segno variabile
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  13. Successioni di funzioni
    1. Teoria Successioni di funzioni
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  14. Serie di funzioni
    1. Teoria Serie di funzioni
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  16. Serie di Fourier
    1. Teoria Serie di Fourier
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    1. Teoria Trasformata di Fourier
    2. Esercizi Trasformata di Fourier
  18. Funzioni di più variabili
    1. Teoria Funzioni di più variabili
    2. Massimi e minimi liberi e vincolati
    3. Limiti in due variabili
    4. Integrali doppi
    5. Integrali tripli
    6. Integrali di linea di prima specie
    7. Integrali di linea di seconda specie
    8. Forme differenziali e campi vettoriali
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    10. Integrali di superficie
    11. Flusso di un campo vettoriale
    12. Teorema di Stokes
    13. Teorema della divergenza
    14. Campi solenoidali
    15. Teorema del Dini
  19. Equazioni differenziali lineari e non lineari
    1. Teoria equazioni differenziali lineari e non lineari
    2. Equazioni differenziali lineari e non lineari del primo ordine omogenee
  20. Equazioni differenziali lineari
    1. Del primo ordine non omogenee
    2. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,omogenee
    3. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,non omogenee
    4. Di Eulero,di Bernoulli,di Clairaut,di Lagrange e di Abel
    5. Non omogenee avente per omogenea associata un’equazione di Eulero
    6. Sistemi di EDO
  21. Equazioni differenziali non lineari
    1. A variabili separabiliO
    2. A secondo membro omogeneo
    3. Del tipo y’=y(ax+by+c)
    4. Del tipo y’=y(ax+by+c)/(a’x+b’y+c’)
    5. Equazioni differenziali esatte
    6. Mancanti delle variabili x e y
    7. Cenni sullo studio di un’assegnata equazione differenziale non lineare
    8. Di Riccati
    9. Cambi di variabile: simmetrie di Lie
  22. Analisi complessa
    1. Fondamenti
    2. Funzioni olomorfe
    3. Integrale di Cauchy e applicazioni
    4. Teorema della curva di Jordan e teorema fondamentale dell’Algebra
    5. Teorema di inversione di Lagrange
    6. Teorema dei Residui
    7. Funzioni meromorfe
    8. Prodotti infiniti e prodotti di Weierstrass
    9. Continuazione analitica e topologia
    10. Teoremi di rigidità di funzioni olomorfe
    11. Trasformata di Mellin
  23. Equazioni alle derivate parziali
    1. Equazioni del primo ordine
    2. Equazioni del secondo ordine lineari
    3. Equazioni non-lineari
    4. Sistemi di PDE
  24. Funzioni speciali
    1. Funzione Gamma di Eulero
    2. Funzioni Beta,Digamma,Trigamma
    3. Integrali ellittici
    4. Funzioni di Bessel
    5. Funzione zeta di Riemann e funzioni L di Dirichlet
    6. Funzione polilogaritmo
    7. Funzioni ipergeometriche
  25. Analisi funzionale
    1. Misura e integrale di Lebesgue
    2. Spazi Lp,teoremi di completezza e compattezza
    3. Spazi di Hilbert,serie e trasformata di Fourier
    4. Teoria e pratica dei polinomi ortogonali
    5. Spazi di Sobolev
  26. Complementi
    1. Curiosità e approfondimenti
    2. Compiti di analisi
    3. Esercizi avanzati analisi
  27. Funzioni Convesse

 
 

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


Algebra lineare.


Geometria analitica.


Geometria differenziale.


 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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