Numeri reali: sintesi teorica

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Numeri reali: sintesi teorica

Questo articolo si presenta come una versione sintetica e concentrata del più ampio e dettagliato l’insieme dei numeri reali. Mentre quest’ultimo offre un’esplorazione completa e profonda della retta reale, il presente lavoro serve come una guida rapida, fornendo definizioni chiave, risultati fondamentali e concetti essenziali in un formato compatto e facilmente assimilabile.
Questo approccio rende questo lavoro la scelta ideale per una rapida revisione o come introduzione per chi si avvicina per la prima volta a questi concetti, mentre l’insieme dei numeri reali è ideale per chi cerca una comprensione più approfondita della materia. Entrambi i testi si completano a vicenda, offrendo agli studenti una gamma versatile di risorse per lo studio della teoria dei numeri reali.

Il documento copre i seguenti argomenti:

Definizioni ed esempi di intervalli limitati e illimitati;
Maggioranti e minoranti di un insieme e nozione di insieme limitato;
Definizione e proprietà fondamentali di estremi superiore e inferiore;
Topologia di $\mathbb{R}$ , intorni, insiemi aperti, chiusi, punti di frontiera e di accumulazione.

Il file permette di avere a portata di mano ogni nozione e risulta quindi uno strumento imprescindibile nello studio per una consultazione rapida ed efficace!

Autori

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Autori: Valerio Brunetti, Jacopo Garofali, Martina Moro.

Intervalli limitati e illimitati

Siano $a,b \in \mathbb{R}$ .

Definiamo gli intervalli limitati di estremi $a$ e $b$ come segue:

$[a,b]=\{x\in\mathbb{R} \; \vert \; a\le x\le b\}$ si dice intervallo chiuso;
$(a,b\mbox)=\{x\in \mathbb{R}\; \vert \; a<x<b\}$ si dice intervallo aperto;
$[a,b\mbox)=\{x\in\mathbb{R}\; \vert \; a\le x <b\}$ si dice intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra;
$(a,b]=\{x\in\mathbb{R}\; \vert \; a<x\le b\}$ si dice intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra.

Nota: nel caso in cui $b<a$ risulta ad esempio $[a,b]=\emptyset$ . Gli intervalli illimitati sono invece determinati da un solo estremo $a \in \mathbb{R}$ . Anche per essi si distinguono quattro casi:

$[a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\; \vert \; x \ge a\}$ si dice intervallo chiuso illimitato superiormente;
$(a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\; \vert \; x>a\}$ si dice intervallo aperto illimitato superiormente;
$(-\infty,a]=\{x\in\mathbb{R}\; \vert\; x\le a\}$ si dice intervallo chiuso illimitato inferiormente;
$(-\infty,a)=\{x\in \mathbb{R} \; \vert \; x<a\}$ si dice intervallo aperto illimitato inferiormente.

Maggioranti e minoranti

Definizione (maggiorante) . Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , se è possibile determinare $\alpha \in \mathbb{R}$ , tale che $x\le \alpha$ $\forall \, x \in A$ , allora $\alpha$ è detto maggiorante di $A$ .

Nota: se l’insieme $A$ ammette maggiorante, l’insieme si dirà superiormente limitato.

Definizione (minorante) . Dato $A \subseteq \mathbb{R}$ , se è possibile determinare $\beta \in \mathbb{R}$ tale che $\beta \le x$ $\forall \, x \in A$ , allora $\beta$ è detto minorante per $A$ .

Nota: se l’insieme $A$ ammette minorante, l’insieme si dirà inferiormente limitato.

Definizione (insieme limitato) . Dato $A \subset \mathbb{R}$ , se esistono $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tali che $\beta \le x$ $\forall x\in A$ e $\alpha \ge x$ $\forall x \in A$ (ovvero $\alpha$ è maggiorante di $A$ e $\beta$ è minorante di $A$ ), tale insieme si dirà limitato.

Definizione (insieme illimitato superiormente) . Dato $A \subseteq \mathbb{R}$ , se tale insieme non è limitato superiormente si dirà illimitato superiormente (ovvero se $\forall \, \gamma \in \mathbb{R}$ $\exists \, x \in A : x >\gamma$ ).

Definizione (insieme illimitato inferiormente) . Dato $A \subseteq \mathbb{R}$ , se tale insieme non è limitato inferiormente, si dirà illimitato inferiormente (ovvero, se $\forall \, \alpha \in \mathbb{R}$ $\exists x \in A$ tale che $x<\alpha$ ).

Definizione (insieme illimitato) . Dato $A \subseteq \mathbb{R}$ , se $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$ $\exists \, x_1, x_2 \in A$ tali che $x_1<\beta \, \wedge \, x_2>\alpha$ allora $A$ si dirà illimitato.

In parole semplici $A$ si dirà illimitato se è illimitato sia superiormente che inferiormente.

Estremo superiore e inferiore

Definizione (estremo superiore) . Dato $A\subseteq \mathbb{R}$ si definisce $M(A)$ l’insieme dei maggioranti di $A$ .

Allora $\alpha=\min M(A)$ si dirà estremo superiore di $A$ . Osserviamo che questo è equivalente a dire che $\alpha \in \mathbb{R}$ è l’estremo superiore di $A$ se è un maggiorante di $A$ tale che $\forall \, \varepsilon >0$ $\exists \, x \in A$ tale che $x>\alpha -\varepsilon$ .

Notazione: $\sup A = \alpha$ .

Nota: se $A$ è illimitato superiormente, ovvero $M(A)=\emptyset,\,\, \text{si definisce}\,\, \sup A=+\infty$ .

Definizione (estremo inferiore) . Dato $A\subseteq \mathbb{R}$ si definisce $m(A)$ l’insieme dei minoranti di $A$ .

Allora $\beta=\max m(A)$ si dirà estremo inferiore di $A$ . Osserviamo che questo è equivalente a dire che $\beta \in \mathbb{R}$ è l’estremo inferiore di $A$ se è un minorante di $A$ tale che $\forall \, \varepsilon> 0$ $\exists \, x \in A$ tale che $x < \beta + \varepsilon$ .

Notazione: $\inf A = \beta$ .

Nota: se $A$ è illimitato inferiormente, ovvero $m(A)=\emptyset,\,\, \text{si definisce}\,\, \inf A=-\infty$ .

Proposizione 1. Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ . Allora l’estremo superiore di $A$ è unico.

Dimostrazione.

Se $A$ è illimitato superiormente, $\sup(A) = +\infty$ per definizione. Sia $A$ limitato superiormente. Per assurdo supponiamo che esistano $\alpha_1$ e $\alpha_2$ tali che $\alpha_1 < \alpha_2$ , $\alpha_1 = \sup A$ e $\alpha_2 = \sup A$ .

Sia $\delta = \alpha_2 - \alpha_1 > 0$ e sia $\varepsilon_0 = \delta/2$ . Allora esiste $x_0 \in A$ tale che

(1) $\begin{equation*} x_0 >\alpha_2 - \varepsilon > \alpha_1 \ge x_0, \end{equation*}$

dove la prima disuguaglianza segue dal fatto che $\alpha_2=\sup A$ , la seconda disuguaglianza vale per costruzione e l’ultima è lecita perchè $\alpha_1$ è maggiorante.

Osserviamo che (1) è assurdo, pertanto concludiamo che $\alpha_1 = \alpha_2$ essendo analoga la dimostrazione per assurdo nel caso $\alpha_1 > \alpha_2$ .

Nota: L’esistenza dell’estremo superiore ed inferiore di un insime $A$ è garantita dall’assioma di completezza.

Osservazioni.

Dato $A \subseteq \mathbb{R}$ valgono le seguenti caratterizzazioni:

$\max A = \alpha \; \Leftrightarrow \; \alpha = \sup A \wedge \alpha \in A$ ;
$\min A = \beta \; \Leftrightarrow \; \beta = \inf A \wedge \beta \in A$ .

La retta reale $\mathbb{R}=(-\infty;+\infty)$ non ammette né massimo né minimo. Infatti risulta $\inf A=-\infty$ e $\sup A=+\infty$ .

Se invece consideriamo l’insieme vuoto, allora $\inf(\emptyset) = +\infty$ e $\sup(\emptyset) = -\infty$ .

Intorni

Definizione (intorno) .

Dato un punto $x \in \mathbb{R}$ , chiamiamo intorno di $x$ un insieme $I\subseteq \mathbb{R}$ per cui $\exists \,\delta>0$ con $(x-\delta, x+\delta) \subseteq I$ ;
Un intorno di $+ \infty$ è un insieme $I\subseteq \mathbb{R}$ per cui $\exists \, r>0$ con $(r, +\infty) \subseteq I$ . Analogamente, un intorno di $-\infty$ è un insieme $I\subseteq \mathbb{R}$ per cui $\exists \, r>0$ con $(-\infty, -r) \subseteq I$ .

Nota: Gli insiemi della forma $(x-\delta, x+\delta)$ , con $\delta>0$ sono chiaramente intorni di $x$ e sono spesso denominati intorni circolari.

A volte è utile prendere in considerazione intorni “bucati”, ovvero insiemi della forma $I^*=I \setminus \{x\}$ , dove $I$ è un intorno di $x$ .

Osservazione. Dati due intorni $I_1,I_2$ di $x \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ , abbiamo che $I_1 \cap I_2$ e $I_1 \cup I_2$ sono ancora intorni di $x$ .

Definizione (insieme aperto) . Sia $A$ un insieme di numeri reali. Se ogni $x\in A$ è un punto interno di $A$ allora $A$ si dice aperto.

Definizione (insieme chiuso) . Il complementare di un insieme aperto è un insieme chiuso.

Definizione (punto di frontiera) . Sia $A$ un insieme di numeri reali $x \in \mathbb{R}$ si dice punto di frontiera di $A$ se ogni intorno di $x$ interseca sia $A$ sia il complementare di $A$ .

L’insieme dei punti di frontiera di $A$ si denota $\delta(A)$ e si chiama anche il bordo di $A$ .

Proposizione 2. Un insieme $A$ è chiuso se e soltanto se contiene il suo bordo ovvero $\delta(A) \subset A.$

Osservazione.

Non a caso gli intervalli della forma $[a,b]$ sono stati definiti come intervalli chiusi perché $\delta([a,b])$ è formato dai punti $a$ e $b$ che per definizione appartengono all’intervallo $[a,b]$ .

Definizione (punto di accumulazione) . Dato un insieme $A\subseteq \mathbb{R}$ e un punto $x \in \mathbb{R}$ ,diciamo che $x$ è un punto di accumulazione per $A$ se

$\forall \,I \mbox{ intorno di } x, \quad A \cap I^* \neq \emptyset,$

dove $I^*=I \setminus \{x\}$ .

Definizione (punto isolato). Dato un insieme $A\subseteq \mathbb{R}$ e un punto $x \in A$ , se $x$ non è un punto di accumulazione per $A$ diciamo che $x$ è un punto isolato per $A$ . Ovvero $x$ è un punto isolato per $A$ se

$\exists \, I \mbox{ intorno di } x \mbox{ tale che } A \cap I^* = \emptyset.$

Proposizione 3. Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ e sia $x$ un punto di accumulazione per $A$ . Allora, per qualunque intorno $I(x)$ , l’intersezione $I(x)\cap A$ contiene infiniti punti di $A$ .

Dimostrazione.

Per assurdo sia $I(x)$ un intorno di $x$ contenente solo un numero finito di punti

$\{x_1, \ldots, x_n\} \subseteq A, \;\;\; x_j \neq x \ \forall j=1,\dots,n.$

Sia $\varepsilon = \min{|x-x_j|} > 0$ e si consideri l’intorno di $x$ di raggio $\varepsilon/2$ . Per costruzione questo intorno non contiene alcun punto di $A$ , eccetto al più $x$ . Questo è un assurdo dato che $x$ è un punto di accumulazione di $A$ , ogni intorno di $x$ deve contenere almeno un punto di $A$ diverso da $x$ . Questo conclude la dimostrazione.

Dimostrazione alternativa.

Sia $\delta_1 >0$ tale che $(x-\delta_1,x+\delta_1) \subseteq I(x)$ . Per definizione di punto di accumulazione, esiste $x_1 \in A$ tale che $0<|x- x_1|<\delta_1$ . Per induzione, troviamo $\delta_n >0$ e $x_n \in A$ tali che $0<|x- x_n|<\delta_n$ . Scegliendo $\delta_{n+1}>0$ tale che $\delta_{n+1}<|x- x_n|$ , segue sempre dalla definizione che esiste $x_{n+1}$ tale che $x_{n+1} \in A$ e $0<|x- x_{n+1}|< \delta_{n+1}$ . Inoltre, per costruzione, $x_{n+1} \neq x_j, \, \forall \, j=1, \dots, n$ .

Si conclude che $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ è un insieme infinito di punti di $A$ tale che $\{x_n\} \subset I$ .

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Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
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