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Insiemi numerici: guida ai numeri naturali, interi e razionali

L’insieme numerico che sentiamo più vicini alla nostra esperienza è quello dei naturali, che abbiamo incontrato da piccoli imparando a contare gli oggetti.
Abbiamo poi fatto la conoscenza dei numeri interi relativi, che ci permettono di esprimere anche quantità negative. La necessità di effettuare divisioni in parti non intere ci ha poi condotto alle frazioni e ai numeri razionali.

Cosa sono questi insiemi numerici e quali proprietà possiedono?
Cos’è il principio di induzione e come si usa?
Cosa sono gli assiomi di Peano?

Questa dispensa, arricchita da esempi concreti ed esercizi svolti, è una risorsa indispensabile sia per chi si avvicina a queste domande, sia per chi desidera approfondirne la sua conoscenza. La struttura del testo favorisce un apprendimento graduale ma profondo, ideale per studenti e appassionati che vogliono esplorare la bellezza e la complessità della matematica.

Se desideri fare la conoscenza dei principali insiemi numerici della Matematica, questo articolo è quello che cercavi!

Segnaliamo i seguenti articoli di teoria correlata, tratti dalla lista completa reperibile alla fine della dispensa:

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Ottieni il documento contenente la teoria sugli insiemi numerici: Numeri naturali (ℕ), Numeri interi (ℤ) e Numeri razionali (ℚ).

Autori e revisori

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Autore: Martina Moro

Revisore: Valerio Brunetti.

I numeri naturali

Gli assiomi di Peano.

L’insieme numerico basilare è quello dei numeri naturali, ossia quei numeri che possono essere osservati in natura. Tale insieme nasce dalla necessità fondamentale di contare gli oggetti esistenti.

$\begin{equation*} \mathbb{N}=\{0,1,2,...,n,...\} \end{equation*}$

È possibile definire l’insieme $\mathbb{N}$ a prescindere dagli elementi grazie a degli assiomi, detti postulati di Peano.

Definizione 1. L’insieme dei numeri naturali è costituito da una terna $(\mathbb{N},0,\sigma)$ dove $\mathbb{N}$ è un insieme, $0\in\mathbb{N}$ e $\sigma:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$ è una funzione che definisce il “successivo” di un numero naturale. Formalmente abbiamo tre postulati:

$\mathbb{P}_1$ ) $\sigma$ è iniettiva;

$\mathbb{P}_2$ ) $0\notin\,$ Im( $\sigma$ ) ovvero $\nexists\,n\in\mathbb{N}\,:\,\sigma(n)=0$ ;

$\mathbb{P}_3$ ) Principio di induzione debole: se $U\subseteq\mathbb{N}$ è tale che

$0\in U$
$n\in U\Rightarrow\sigma(n)\in U$

allora $U=\mathbb{N}$ .

Analizziamo più nel dettaglio il significato dei postulati. Se vogliamo definire il concetto di numero naturale abbiamo bisogno di un “ punto di partenza “, ovvero di un numero naturale minimale. In questa esposizione abbiamo scelto lo $0$ come numero naturale di partenza (anche se questa convenzione non è universalmente accettata e talvolta si sceglie di partire dal numero naturale $1$ ). Una volta postulato l’esistenza del numero $0$ (o $1$ a seconda delle convenzione), gli assiomi di Peano richiedono l’esistenza della funzione $\sigma$ che, preso un qualunque numero naturale $n$ in input, restituisce il numero successivo $n+1$ in output. Se avessimo già un’idea di cosa sono i numeri naturali, potremmo scrivere

$\sigma(n)=n+1.$

Alla luce di quanto appena detto, possiamo interpretare i postulati nel seguente modo:

$\mathbb{P}_1$ ) Due numeri diversi hanno due diversi successivi;

$\mathbb{P}_2$ ) Il numero $0$ non è il successivo di un numero naturale;

$\mathbb{P}_3$ ) Principio di induzione debole: se $U$ è un sottoinsieme dei numeri naturali che contiene $0$ e che contiene il successivo di ogni suo elemento, si ha necessariamente $U=\mathbb{N}$ . In altri termini, non esistono sottoinsiemi propri di $\mathbb{N}$ che contengono sia $0$ , sia il successivo di ogni suo elemento.

Osservazione 1. I primi due postulati possono essere interpretati come

$\mathbb{P}_1$ ) $n+1=m+1$ se e solo se $n=m$ ;

$\mathbb{P}_2$ ) L’equazione $n+1=0$ non ha soluzione in $\mathbb{N}$ .

Il terzo postulato, detto Principio di induzione è quello più importante perchè fornisce un vero e proprio metodo dimostrativo, detto dimostrazione per induzione. Supponiamo di voler dimostrare una certa proprietà $P(n)$ per ogni numero naturale. Sia

$\begin{equation*} U=\{n\in\mathbb{N}\,:\, P(n)\text{ è verificata}\} \end{equation*}$

allora possiamo schematizzare il metodo di dimostrazione per induzione in due passi:

Passo base: si dimostra che $0\in U$ , cioè che $P(0)$ è verificata;
Passo induttivo: supponiamo vera la proposizione $P(n)$ per un generico valore $n$ e dimostriamo a partire da questa ipotesi, detta ipotesi induttiva, che la proposizione $P(n+1)$ è vera.

Il Postulato $\mathbb{P}_3$ permette di concludere che $U=\mathbb{N}$ , ovvero che la proprietà $P$ è valida per ogni numero naturale. Infatti, il passo induttivo corrisponde esattamente a verificare che $n \in U \Rightarrow\sigma(n)\in U$ .

Possiamo riassumere in modo formale il Principio di Induzione come segue:

$P(0) \wedge \{ P(n) \Rightarrow P(n+1) \; \forall n \in \mathbb{N} \} \Rightarrow (P(n)\; \forall n \in \mathbb{N}).$

Nella formalizzazione di Peano dei numeri naturali il principio di induzione è dato come assioma, pertanto è assunto come vero e non viene dimostrato. In alternativa viene assunto come assioma il principio del buon ordinamento che invece nella formalizzazione di Peano viene dimostrato. In questo caso il principio di induzione è conseguenza del principio del buon ordinamento. Quindi le due teorie dei numeri naturali sono perfettamente equivalenti.

Teorema 1. I due principi sono equivalenti $\mathbb{P}_3$

Principio di induzione: sia $U\subseteq\mathbb{N}$ tale che

$0\in U$ ;
$n\in U\Rightarrow n+1 \in U$ ;

allora $U=\mathbb{N}$ .

$\mathbb{M}$ Principio del buon ordinamento: Sia $U\subseteq\mathbb{N}$ non vuoto. Allora $U$ contiene un elemento minimo, ovvero

$\begin{equation*} \exists\,u\in U\,:\,u\leq x\,\qquad\forall\,x\in U. \end{equation*}$

Dimostrazione. $(\mathbb{P}_3\Rightarrow\mathbb{M})$ Sia $U\subseteq\mathbb{N}$ un sottoinsieme non vuoto. Se $0\in U$ allora $\min U=0$ .

Se $0\notin U$ allora possiamo considerare l’insieme

$T=\{n\in\mathbb{N}\,:\, n<u\,\,\forall\,u\in U\}.$

Osserviamo che $0\in T$ . Se per ogni $n\in T$ si avesse $n+1\in T$ allora per il principio di induzione $T=\mathbb{N}$ e $U$ sarebbe vuoto. Deve esistere un elemento $n_0\in T$ tale che $n_0+1\notin T$ e allora $\min U=n_0+1$ .

( $\mathbb{M}\Rightarrow\mathbb{P}_3)$ Sia $U$ un sottoinsieme non vuoto di numeri naturali tale che $0\in U$ e se $n\in U$ allora $n+1\in U$ . Supponiamo per assurdo che $U\neq \mathbb{N}$ e consideriamo $T:=\mathbb{N}\setminus U\neq\emptyset$ allora per il principio del minimo esiste un $m\in T$ elemento minimo, ovvero tale che $m\leq t$ per ogni $t\in T$ . Osserviamo che $0\in U$ quindi $1\in U$ : da questo deduciamo che $m>1$ e che $m-1\notin T$ per la minimalità di $m$ . Quindi $m-1\in U$ ; questo porta a un assurdo perché $m=(m-1)+1\in U= \mathbb{N} \setminus T$ .

Il principio del minimo permette di dimostrare il seguente teorema alla base della definizione dell’operazione divisione euclidea

Teorema 2. Siano $a,\,b\,\in\mathbb{N}$ con $b\neq 0$ allora esistono e sono unici $q,\,r\,\in\mathbb{N}$ tale che

$\begin{equation*} a=b\cdot q+r\qquad 0\leq r<b, \end{equation*}$

dove $q$ è detto quoziente e resto della divisione euclidea.

Dimostrazione. Studiamo il caso $a\geq b$ e consideriamo l’insieme

$\begin{equation*} M=\{n\in\mathbb{N}\,:\,\exists\,k\in\mathbb{N},\,n=a-b\cdot k\}. \end{equation*}$

Scegliendo $k=0$ otteniamo

$\begin{equation*} a=a-b\cdot k, \end{equation*}$

quindi $M\neq\emptyset$ perché contiene sicuramente l’elemento $a$ . Per il principio del minimo esiste $r\geq 0$ tale che $r\leq m$ per ogni $m\in M$ . Quindi $\exists \,q\in\mathbb{N}$ tale che

(1) $\begin{equation*} r=a-b\cdot q. \end{equation*}$

Dimostriamo che $r<b$ ; se per assurdo $r\geq b$ allora l’elemento $t=r-b=a-(q+1)b\in M$ e $t<r$ e questo contraddice la minimalità di $r$ .

Dimostriamo l’unicità per assurdo: supponiamo esistano $q,\,q'\in\mathbb{N}$ e $r,\,r'\in\mathbb{N}$ tale che

$\begin{equation*} a=q\cdot b+r\qquad 0\leq q<r, \end{equation*}$

$\begin{equation*} a=q'\cdot b+r'\qquad 0\leq q'<r'. \end{equation*}$

Allora

$\begin{equation*} q\cdot b+r=q'\cdot b+r' \end{equation*}$

Se $r'=r$ allora $bq=bq'\Rightarrow q=q'$
Se $r<r'$ allora
$\begin{equation*} r'-r=b(q-q')\geq b \end{equation*}$

poiché $r'-r\in\mathbb{N}$ . Allora siccome $r'-r\leq r'<b$ otteniamo una contraddizione. Nel caso $r>r'$ si ragiona analogamente.

Principio di induzione.

La prima attestazione specifica del principio di induzione è del 1861, a opera di Robert Grassmann. Il suo primo utilizzo in una dimostrazione, invece, risale al 1575 da parte dell’italiano Francesco Maurolico. Nel XVII secolo, Pierre de Fermat ne raffinò l’utilizzo formulandolo come principio della discesa infinita, e la nozione compare anche chiaramente nei lavori più tardi di Blaise Pascal (1653). L’espressione “induzione matematica” apparentemente sembra essere stata coniata dal logico e matematico A. De Morgan nei primi anni del XIX secolo. La sua formulazione completa, usata ancora oggi, è essenzialmente quella data da Giuseppe Peano nei suoi Arithmetices Principia, pubblicati nel 1889. Il principio d’induzione deriva direttamente dal quinto assioma di Peano, ed è ad esso equivalente. Assumendolo dunque come assioma, ne deriva il quinto assioma di Peano. ¹.

Nella pratica, come vedremo, il principio di induzione è una tecnica di dimostrazione di proposizioni che dipendono dai numeri naturali, formalmente possiamo riscriverlo nella maniera seguente:

Principio 1 (Induzione). Sia $P(n)$ una proposizione sui numeri naturali, se

$P(0)$ è verificata, (passo base)
$\forall n\in \mathbb{N}, \; P(n) \Rightarrow P(n+1)$ (passo induttivo)

allora $P(n)$ è vera $\forall n \in \mathbb{N}$ .

In altri termini, per dimostrare che una certa proposizione sui numeri naturali sempre è vera ( $P(n)$ è vera $\forall n \in \mathbb{N}$ ) è sufficiente dimostrare che

a proposizione è vera se poniamo $n = 0$ (il passo base),
data per vera $P(n)$ (ipotesi induttiva), riusciamo a dimostrare che la proposizione è vera anche per $n+1$ .

Per ricordare questo principio è utile pensare alla metafora di una infinità di tessere del domino disposte lungo una fila. La proposizione $P(n)$ in questo caso può essere formulata come “l’ennesima tessere del domino cade”. Invece di controllare ad una ad una se le tessere del domino cascano o meno (cosa che non possiamo fare perché sono infinite) ci basta osservare

se la prima tessera del domino è caduta (passo base)
e se (per ogni $n$ ) l’ $n$ -esima tessera cade (ipotesi induttiva), questa fa cadere l’ $(n+1)$ -esima tessera del domino.

Se queste due condizioni sono verificate, possiamo star certi che cadranno tutte le tessere del domino e possiamo dormire sereni senza doverle controllare tutte. Infatti, osservando che la prima cade (passo base), per ipotesi induttiva, sappiamo che la seconda cade (sappiamo che $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ ), ma se la seconda cade allora…

Ma cosa succede se la prima tessera del domino non cade (non vale il passo base per $n=0$ )? Magari è incollata al pavimento, o magari le prime $5$ tessere sono troppo distanziate tra di loro e non è vero che far cadere la terza tessera fa cadere la quarta tessera. D’altro canto dalla quinta tessera in poi tutto funziona liscio come l’olio. Per questo motivo possiamo generalizzare il nostro principio facendo partire il nostro passo base da qualche $n_0$ che non sia necessariamente $1$ . Formalmente

Principio 2 (Induzione Generalizzato). Sia $P(n)$ una proposizione sui numeri naturali, se

$\exists n_0$ tale che $P(n_0)$ verificata (passo base);
$\forall n\in \mathbb{N}\; n\geq n_0 \; P(n) \Rightarrow P(n+1)$ (passo induttivo)

allora $P(n)$ è vera $\forall n \in \mathbb{N}, \; n\geq n_0$ .

In sostanza stiamo dicendo che non è necessario partire proprio dalla prima tessera del domino, ma se riusciamo a dimostrare che

se la $n_0-$ esima tessera del domino è caduta (passo base)
e se (per ogni $n \geq n_0$ ) l’ $n$ -esima tessera cade (ipotesi induttiva), questa fa cadere l’ $(n+1)$ -esima tessera del domino .

allora possiamo star certi che cadono tutte le tessere dalla $n_0$ -esima in poi. Sensato, vero?

Passiamo a qualche esempio più pratico, dando per un attimo per buone le operazioni tra numeri naturali che ci sono familiari da sempre e che andremo a formalizzare nella prossima sezione. Partiamo da un esempio classico, la dimostrazione per induzione della formula della somma dei primi $n$ numeri naturali. La leggenda vuole che il primo a trovare questa formula sia stato il principe dei matematici, Gauss. Durante i suoi anni di scuola, si racconta, si trovò alle prese con un maestro sfaticato, che non avendo voglia di insegnare, chiese ai suoi alunni di calcolare la somma dei primi cento numeri naturali

$\sum_{i=1}^{100} i = 1 + 2 + 3 + \dots + 100$

Si dice che Gauss non solo riuscì a risolvere il problema in brevissimo tempo, ma riuscì a generalizzarlo per la somma dei primi $n$ numeri naturali, qualunque sia $n$ , e dunque non solo per $n=100$ . L’idea è estremamente semplice ed elegante: basta notare che la somma del primo e dell’ultimo numero è $1 +100 =101$ (in generale $n+1$ ), ma anche sommando il secondo con il penultimo si ha $2 + 99 = 101$ (in generale n+1), e che accoppiando in questo modo, abbiamo esattamente 50 (n/2) somme, tutte pari a $101$ . Allora

$1 + 2 + 3 + \dots + 100 = \underbrace{101 + \dots + 101}_{\text{50 termini}} = 50(101).$

Assumendo per il momento che $n$ sia pari

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \underbrace{(n+1) + \dots + (n+1) }_{\text{$n/2$ termini}}= \frac{n}{2}(n+1)= \frac{n(n+1) }{2}.$

Se $n$ è dispari, la dimostrazione delineata sopra si può facilmente adattare. Il procedimento presentato serve solo per prendere familiarità con il problema, ma non ha niente a che vedere con il principio di induzione, proviamo ora a ridimostrare questa proposizione utilizzando il principio di induzione.

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dimostrare che la somma dei primi $n$ numeri naturali è $\dfrac{n(n+1)}{2}.$

Dimostrazione. In questo esempio la proposizione $P(n)$ è

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1) }{2}.$

come prima cosa possiamo provare a caso dei valori di $n$ per familiarizzarci con la proposizione e verificare che la formula è vera almeno per questi $n$ ; per esempio per $n=3$ abbiamo:

$1 +2 + 3 = \frac{3(3+1) }{2}.$

che è vero (6 = 6).

Passo base: a questo punto mostriamo che la proposizione è vera per $n_0=1$ (la prima tessera del domino cade):
$P(1): \sum_{k=1}^1 k = \frac{1(1+1) }{2}$

che è come dire che $1 = \frac{1(1+1) }{2} = 1$ è ovviamente verificata.
Passo Induttivo: assumiamo (ipotesi induttiva) che $P(n)$ sia vera cioè che

$\sum_{k=1}^n k = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1) }{2}.$

e vogliamo dimostrare che $P(n + 1)$ è vera (cioè sostituendo $n+1$ al posto di $n$ )

$\sum_{k=1}^{n+1} k = 1 + 2 + \dots + n + (n+1) = \frac{(n + 1)(n+2) }{2}.$

D’altro canto $1 + 2 + \dots + n + (n+ 1) = (1 + 2 + \dots + n) + (n+1)$ e per ipotesi induttiva $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1) }{2}$ , allora:

$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1} k & = 1 + 2 + \dots + n + (n+1) = (1 + 2 + \dots + n) + (n+1) = \\ &= \frac{n(n+1) }{2} + n+1 = \frac{n(n+1) + 2(n+1)}{2} = \frac{(n + 1)(n+2) }{2} \end{aligned}$

dove nell’ultimo passaggio abbiamo raccolto $(n+1)$ , concludendo la dimostrazione.

Come abbiamo visto l’idea fondamentale è

verificare il caso base
partendo dal caso $n+1$ (quello che dobbiamo dimostrare), cercare di riscrivere $P(n+1)$ in termini di $P(n)$ , usare l’ipotesi induttiva, cioè la conoscenza di $P(n)$
concludere con dei calcoli.

Un altro esercizio interessante riguarda il rompicapo della torre di Hanoi che consiste nello spostare un certo numero di dischi di grandezza crescente su tre pioli. Il gioco inizia con tutti i dischi incolonnati su un paletto in ordine decrescente, in modo da formare un cono. Lo scopo del gioco è portare tutti i dischi su un paletto diverso, potendo spostare solo un disco alla volta e potendo mettere un disco solo su un altro disco più grande, mai su uno più piccolo.

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Il gioco fu inventato nel 1883 dal matematico francese Édouard Lucas che diffuse il gioco sotto lo pseudonimo di N. Claus de Siam, mandarino del collegio di Li-Sou-Stian. La leggenda secondo la quale in un tempio indù alcuni monaci sono costantemente impegnati a spostare su tre colonne di diamante 64 dischi d’oro secondo le regole della Torre di Hanoi (a volte chiamata Torre di Brahmā) è stata inventata dalla ditta che per prima ha messo in commercio il rompicapo. La leggenda narra che quando i monaci completeranno il lavoro, il mondo finirà ².

Per prendere confidenza con il gioco, nella Figura 1 possiamo vedere il gioco risolto per due dischi. Notiamo che il numero di mosse necessario è 3. Nel prossimo esercizio dimostriamo che se la torre di Hanoi ha $n$ dischi il numero di mosse necessario per risolverlo è $2^n -1$ e che in qualche senso i leggendari monaci del tempio indù non avevano tutti i torti, la legge che descrive il numero di mosse necessarie a risolvere il rompicapo è esponenziale nel numero di dischi. Supponendo che siano monaci estremamente forzuti e che siano inverosimilmente in grado di spostare il massiccio disco d’oro da un paletto ad un altro in un secondo, per finire il gioco hanno bisogno $(2^{64} - 1) \text{ s} \sim 2^{64} \text{ s} = \text{1,8446744} \cdot 10^{19} \text{ s} = 58494241501775744$ secoli.

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Il numero minimo di mosse per per risolvere la torre di Hanoi con $n$ dischi è

$2^n -1.$

Dimostrazione. La dimostrazione è veramente semplice. Abbiamo gia verificato che per $n = 2$ ci vogliono veramente $2^2 -1 = 3$ mosse, prendendo confidenza con la formula.

Passo base: anche in questo caso possiamo partire da $n_0 = 1$ ; per risolvere questo caso banale, basta spostare (con un unica mossa) l’unico disco a nostra disposizione in una qualunque altro paletto. Infatti per $n=1$ abbiamo $2^1 - 1 = 1$ .
Passo Induttivo: supponiamo ci vogliano almeno $2^n -1$ mosse per risolvere il problema con $n$ dischi e dimostriamo (sostituendo $n+1$ ) che ci vogliano $2^{n+1} -1$ mosse per risolvere il rompicapo con $n+1$ dischi.
In effetti per risolvere il problema con $n+1$ dischi dobbiamo prima spostare $n$ dischi lasciando solo il disco più grande al suo posto. Una volta fatto questo basterà spostare il disco più grande su un nuovo paletto e finire rispostando i primi $n$ dischi più piccoli sopra di lui.

In totale $2^n - 1$ mosse per spostare gli $n$ dischi tranne quello grande, 1 mossa per spostare quello grande su un nuovo paletto, e altre $2^n - 1$ mosse per spostare tutti i dischi sopra al disco grande.

$2^n - 1 + 1 + 2^n -1 = 2(2^n) - 1 = 2^{n+1} -1$

come volevasi dimostrare.

In alcuni casi non basta $P(n)$ per dimostrare $P(n+1)$ , ma abbiamo bisogno di dare per vera (ipotesi induttiva forte) che $P(h)$ sia vera per tutti gli $h$ più piccoli di $n$ . In altre parole, usando la metafora del domino, in alcuni casi non mi basta sapere che la precedente è caduta per poter dimostrare che l’ennesima tessera sia caduta, ma ho bisogno di sapere che tutte le precedenti siano cadute. In questo caso ci viene in aiuto il principio di induzione forte:

Principio 3 (Induzione Forte Generalizzato). Sia $P(n)$ una proposizione sui numeri naturali, se

$\exists n_0$ tale che $P(n_0)$ verificata (passo base);
$\forall h\in \mathbb{N},\; n_0 \leq h \leq n, \; \{P(h)\}_h \Rightarrow P(n+1)$ (passo induttivo)

allora $P(n)$ è vera $\forall n \in \mathbb{N}, \; n\geq n_0$ .

Come applicazione del principio di induzione forte diamo una dimostrazione del teorema fondamentale dell’aritmetica che tutti diamo per buono: ogni numero naturale maggiore di 2 può essere scritto come prodotto di numeri primi in maniera unica a meno dell’ordine dei fattori. Qui non dimostreremo l’unicità.

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ (teorema fondamentale dell’aritmetica (esistenza)). Per ogni numero naturale $n\geq 2$ , esistono $p_1, p_2, \dots, p_{d_n}$ numeri primi tali che

$n = p_1 \cdot p_2 \cdots p_{d_n}$

Dimostrazione. Facciamo questa dimostrazione per induzione.

Passo base: il caso base è ovvio perché 2 stesso è un numero primo 2 = 2.
Passo Induttivo: assumiamo che tutti i numeri $h$ con $2 \leq h \leq n$ si scrivano come prodotto di numeri primi. Vogliamo dimostrare che $n+1$ si scrive come prodotto di numeri primi. Se $n+1$ è un numero primo, così come nel passo base, non c’è nulla da dimostrare: $n+1= n+1$ è la fattorizzazione di $n+1$ in numeri primi. Nel caso $n+1$ non sia primo allora deve esistere un numero primo $p$ che lo divide: sia $h = {n+1}/ {p}$ . Ovviamente $2\leq h \leq n$ per cui per $h$ vale l’ipotesi induttiva e dunque si scriverà come prodotto di numeri primi

$h = p_1 \cdot p_2 \cdots p_{d_h}$

a questo punto abbiamo concluso. Infatti

$n + 1 = p \cdot h = p \cdot p_1 \cdot p_2 \cdots p_{d_h}$

in altri termini grazie ad $h$ siamo riusciti a scrivere $n$ come prodotto di numeri primi.

Di seguito una serie di esercizi per prendere manualità nella tecnica di dimostrazione tramite principio di induzione.

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ (Disuguaglianza di Bernoulli). Dimostrare che

$\begin{equation*} (1+x)^n\geq 1+nx\qquad\forall\,n\geq 0,\,x>-1. \end{equation*}$

Dimostrazione.

Passo base: per $n=0$
$(1+x)^0=1\geq 1+0\cdot x$
Passo Induttivo: riscriviamo per semplicità l’ipotesi induttiva

(2) $\begin{equation*} (1+x)^n\geq 1+nx \end{equation*}$

Allora

$\begin{equation*} \begin{split} (1+x)^{n+1}&=(1+x)^n\cdot (1+x)\geq(1+nx)\cdot(1+x)=\\&=1+x+nx+nx^2\geq\\&\geq 1+x+nx=1+(n+1)x \end{split} \end{equation*}$

dove, nella prima disuguaglianza, abbiamo usato (2) e l’ultima disuguaglianza è verificata perché $nx^2\geq 0$ .

Definizione 2. Si chiama fattoriale di un numero naturale $n$ la quantità

$\begin{equation*} n!= \begin{cases} 1&\text{ se } n=0;\\ n(n-1)!&\text{ se } n\neq 0. \end{cases} \end{equation*}$

Osservazione 2. Dalla definizione ricorsiva di fattoriale

$\begin{equation*} n!=n\cdot (n-1)\cdot...\cdot 2\cdot 1 \end{equation*}$

ovvero è il prodotto del numero per tutti i suoi antecedenti.

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dimostrare che

$\begin{equation*} 2^{n-1}\leq n!\qquad\forall\,n\geq 1 \end{equation*}$

Dimostrazione.

Passo base: per $n=1$
$\begin{equation*} 2^{1-1}=1= 1!. \end{equation*}$
Passo Induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per $n$

(3) $\begin{equation*} 2^{n-1}\leq n! \end{equation*}$

e dimostriamo l’asserto per $n+1$ .

$\begin{equation*} 2^{n}=2^{n-1}\cdot 2\leq n!\cdot2\leq n!\cdot (n+1)=(n+1)! \end{equation*}$

dove,nella prima disuguaglianza, abbiamo usato (3) e l’ultima disuguaglianza è verificata per $n\geq 1$ .

Definizione 3. Siano $n$ e $k$ due numeri naturali tale che $k\leq n$ .

Il coefficiente binomiale di $n$ su $k$ è

$\begin{equation*} \binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}. \end{equation*}$

Con queste definizioni concludiamo lo studio delle operazioni possibili in $\mathbb{N}$ .

L’esercizio seguente è un risultato centrale nella teoria combinatorica.

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ (Binomio di Newton). Dimostrare

$\begin{equation*} (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^n \end{equation*}$

Dimostrazione.

Passo base: per $n=0$
$\begin{equation*} (a+b)^0=1=\binom{0}{0}a^0b^0=1. \end{equation*}$
Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per $n$

(4) $\begin{equation*} (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k \end{equation*}$

e dimostriamo l’asserto per $n+1$ :

$\begin{equation*} \begin{split} (a+b)^{n+1}&=(a+b)^n\cdot(a+b)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k(a+b)=\\&=a\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k+b\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k=\\&=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1} \end{split} \end{equation*}$

dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (4). Osservazione 3. Dalla prima sommatoria è possibile isolare il primo termine (per $k=0$ )

$\begin{equation*} \begin{split} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k&=\binom{n}{0}a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^=\\&=a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k. \end{split} \end{equation*}$

Mentre la seconda può essere riscritta come

$\begin{equation*} \begin{split} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}&=\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}a^{n-k+1}b^{k}=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1}a^{n-k+1}b^{k}+\binom{n}{n}b^{n+1}=\\&=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1}a^{n-k+1}b^{k}+b^{n+1}. \end{split} \end{equation*}$

Osservazione 4. Vale la seguente relazione

(5) $\begin{equation*} \binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k} \end{equation*}$

per $1\leq k\leq n$ . Infatti, dopo una diretta applicazione della definizione questo equivale a verificare che

$\begin{equation*} \frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}. \end{equation*}$

Sviluppiamo la somma a sinistra sfruttando le fattorizzazioni $k!=k(k-1)!$ e $(n-k+1)!=(n-k+1)(n-k)!$ . Otteniamo

$\begin{equation*} \begin{split} \frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}&=\frac{(n-k+1)n!+kn!}{k!(n-k+1)!}=\\&=\frac{(n-\cancel{k}+1+\cancel{k})n!}{k!(n-k+1)!}=\\&=\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}. \end{split} \end{equation*}$

In conclusione

$\begin{equation*} \begin{split} (a+b)^{n+1}&=a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1}a^{n-k+1}b^{k}+b^{n+1}=\\&=a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\left(\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\right)a^{n-k+1}b^{k}+b^{n+1}=\\&=a^{n+1}\sum_{k=1}^{n}\binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^{k}+b^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^k \end{split} \end{equation*}$

che è esattamente la tesi per $n+1$ .

Esercizio 7. Dimostrare che un insieme $X$ di $n$ elementi possiede $2^n$ sottoinsiemi.

Dimostrazione.

Passo base: per $n=1$ abbiamo $X=\{x\}$
$\begin{equation*} \mathcal{P}(X)=\{\emptyset,\{x\}\}\Rightarrow |\mathcal{P}(X)|=2. \end{equation*}$
Passo induttivo: supponiamo $P(x)$ vera per ogni $k\leq n$ ovvero che ogni insieme di $k$ elementi abbia $2^k$ sottoinsiemi. Sia Y un insieme di $k+1$ elementi e $y\in Y$ , allora $X:=Y\setminus\{y\}$ è un insieme con $k$ elementi. Pertanto i sottoinsiemi di $Y$ che non contengono $y$ sono $2^k$ . I sottoinsiemi di $Y$ che contengono l’elemento su cui abbiamo fissato l’attenzione sono della forma $\{y\}\cup A$ al variare di $A\subseteq X$ . In totale ci sono
$\begin{equation*} 2^k+2^k=2^k(1+1)=2^{k+1} \end{equation*}$

sottoinsiemi.

Il principio di induzione ci permette di concludere che la proposizione è vera per ogni $n\geq 1$ .

Quando si applica il principio di induzione bisogna stare particolarmente attenti. Di seguito mostriamo un’applicazione sbagliata del principio di induzione, che porta chiaramente a dimostrare un enunciato falso.

Esercizio 8. Dimostrare che $\forall n \in \mathbb{N}$ in un insieme di $n$ cavalli tutti hanno lo stesso colore.

Dimostrazione. Partiamo subito dal caso base.

Passo base: per $n=1$ abbiamo un insieme composto da un unico cavallo. È ovvio che tutti i cavalli dell’insieme abbiano lo stesso colore.
Passo induttivo: assumiamo come ipotesi induttiva $P(n)$ , cioè assumiamo vero che se ho un insieme di $n$ cavalli questi devono avere tutti lo stesso colore. Cerchiamo di dimostrare che vale $P(n+1)$ cioè che anche per gli insiemi di $n+1$ cavalli, questi devono avere tutti lo stesso colore.

Infatti dato un insieme di $n+1$ cavalli escludiamone uno a caso. Il sottoinsieme $A$ così generato è composto da $n$ cavalli e devono avere tutti lo stesso colore (per esempio sono tutti neri). Quindi sappiamo che tutti i cavalli tranne uno sono neri. Adesso partendo dal nostro sottoinsieme $A$ di cavalli (tutti dello stesso colore), creiamo un altro sottoinsieme $B$ togliendo un cavallo a caso da $A$ e rimettendo l’unico scartato in precedenza. Anche $B$ è un insieme di $n$ elementi con la maggior parte dei cavalli (quelli che erano sia in A che in B) neri.

Quindi tutti i cavalli devono essere neri in particolare anche quello che avevamo scartato in precedenza. Questo dimostra che tutti gli $n+1$ cavalli hanno lo stesso colore. L’errore nella dimostrazione precedente è credere che esista sempre almeno un cavallo in $A \cap B$ infatti se $(n+1)=2$ i due insiemi sono creati sono formati da un solo cavallo e non hanno intersezione. Quindi non possiamo “trasferire” il colore di $A$ anche all’insieme $B$ . Infatti per il principio di induzione, nel passo induttivo, dobbiamo dimostrare che $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ a prescindere dal valore di $n$ . Qui invece la dimostrazione perde di significato per $P(1) \Rightarrow P(2)$

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Fonte Wikipedia ↩

Fonte Wikipedia ↩

Le operazioni nell'insieme dei numeri naturali.

Dopo aver introdotto formalmente l’insieme dei numeri naturali e aver fatto confidenza con il principio di induzione, abbiamo informalmente dato per buono le operazioni fondamentali tra numeri naturali. In questa sezione definiremo formalmente tali operazioni non solo per dimostrarne le proprietà ma anche per precisare il significato della funzione $\sigma$ introdotta con gli assiomi di Peano.

Ricordiamo la definizione di operazione binaria su un insieme generico.

Definizione 4. Una operazione binaria in un insieme $A$ è un’applicazione

$\begin{equation*} A\times A\longrightarrow A. \end{equation*}$

In altre parole è una legge che associa ad ogni coppia di elementi di $A$ un ben determinato elemento di $A$ .

Definizione 5. La somma è un operazione binaria

$+:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$

tale che per ogni $n,\,m\in\,\mathbb{N}$

$n+0=n$ ;
$n+\sigma(m)=\sigma(n+m)$ .

Osservazione 5. Poniamo $\sigma (0)=1$ allora $\forall n\in\mathbb{N}$

$\sigma(n)=\sigma(n+0)=n+\sigma (0)=n+1\Rightarrow \sigma(n)=n+1$

. Quindi chiameremo $\sigma (n)$ il successivo di $n$ . Da questa osservazione possiamo riscrivere la definizione di somma di numeri naturali senza utilizzare la funzione $\sigma$

$n+0=n$ ,
$n+(m+1)=(n+m)+1$

e dimostrarne le prime proprietà grazie al principio di induzione.

Teorema 3. La somma gode delle seguenti proprietà

Proprietà associativa $(a+b)+c=a+(b+c)\qquad\forall\,a,\,b,\,c\,\in\mathbb{N}$
Esistenza dell’elemento neutro $a+0=0+a=a\qquad\forall\,a\,\in\mathbb{N}$
Proprietà commutativa $a+b=b+a\qquad\forall\,a,\,b\in\mathbb{N}$

Dimostrazione. 1) Dimostriamo per induzione la tesi: sia

$U=\{n\in\mathbb{N}\,:\,(a+b)+n=a+(b+n)\}$

Passo base: $(a+b)+0=a+b=a+(b+0)$ per ogni $a,\,b\in\mathbb{N}$ quindi $0\in U$ .
Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per $n$

(6) $\begin{equation*} (a+b)+n=a+(b+n)\qquad\text{Hp induttiva} \end{equation*}$

e dimostriamo l’asserto per $\sigma(n)$

$\begin{equation*} (a+b)+\sigma(n)=\sigma((a+b)+n)=\sigma(a+(b+n))=a+\sigma(b+n)=a+(b+\sigma(n)) \end{equation*}$

dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (6).

Quindi se $n\in U$ allora $\sigma(n)\in U$ . Per il postulato $\mathbb{P}_3$ abbiamo che $U=\mathbb{N}$ .

2) Dalla definizione di somma

$a+0=a$

per ogni $a\in\mathbb{N}$ . Consideriamo

$\begin{equation*} U=\{n\in\mathbb{N}\,:\,0+n=n\} \end{equation*}$

Passo base: $0+0=0$ quindi $0\in U$
Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per $n$

(7) $\begin{equation*} 0+n=n\qquad\text{Hp induttiva} \end{equation*}$

e dimostriamo l’asserto per $\sigma(n)$

$\begin{equation*} 0+\sigma(n)=\sigma(0+n)=\sigma(n) \end{equation*}$

dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (7). $\Rightarrow \sigma(n)\in U$ quindi per $\mathbb{P}_3$ , $U=\mathbb{N}$ .

3) Dimostriamo l’asserto per induzione su $a$ e $b$

Passo base: per $a=0$ dalla proprietà (2)

$\begin{equation*} 0+b=b=b+0 \end{equation*}$
Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per $a$

(8) $\begin{equation*} a+b=b+a \end{equation*}$

e dimostriamo l’asserto per $\sigma(a)$ di nuovo per induzione però su $b$ . Ovviamente il nuovo passo base

$\begin{equation*} \sigma(a)+0=\sigma(a)=0+\sigma(a) \end{equation*}$

segue immediatamente dalla proprietà (2). Adesso supponiamo vera l’ipotesi per $b$

(9) $\begin{equation*} \sigma(a)+b=b+\sigma(a) \end{equation*}$

e dimostriamo l’asserto per $\sigma(b)$ .

$\begin{equation*} \begin{split} \sigma(a)+\sigma(b)&=\sigma(\sigma(a)+b)=\sigma(b+\sigma(a))=\\&=\sigma(\sigma(b+a))=\sigma(\sigma(a+b))=\\&=\sigma(a+\sigma(b))=\sigma(\sigma(b)+a)=\\&=\sigma(b)+\sigma(a) \end{split} \end{equation*}$

dove , nella seconda e nella sesta uguaglianza, abbiamo usato (9) mentre nella quarta uguaglianza abbiamo usato (8). Possiamo quindi concludere che $U=\mathbb{N}$ ovvero che la proprietà è valida per ogni numero naturale.

Mediante il principio di induzione, la definizione di somma e le proprietà di somma del teorema precedente, è possibile dimostrare anche altre proprietà:

1) $\forall\,a,b\in\mathbb{N}\,:\,a+b=0\Rightarrow a=b=0$

2) $\forall\,a,b,c\in\mathbb{N}\,:\,a+b=a+c\Rightarrow b=c\qquad\qquad \text{Legge di cancellazione}$

L’ordinamento naturale in $\mathbb{N}$ è definito a partire dalla somma

Definizione 6. Siano $n,\,m\in\mathbb{N}$ allora

$\begin{equation*} m\leq n\Leftrightarrow\,\exists \,d\,\in\mathbb{N}\,:\, m+d=n . \end{equation*}$

È possibile dimostrare che la relazione $\leq$ è una relazione d’ordine totale perché gode delle proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva.

Proprietà riflessiva: $n\leq n$ infatti $n+0=n$
Proprietà simmetrica: se $n\leq m$ e $m\leq n$ allora esistono $d_1$ e $d_2$ tale che

$\begin{equation*} n+d_1=m\qquad\text{e}\qquad m+d_2=n \end{equation*}$

$\begin{equation*} n=m+d_2=n+d_1+d_2\Rightarrow n=n+d_1+d_2\Rightarrow d_1+d_2=0\Rightarrow d_1=d_2=0 \end{equation*}$

Quindi $n=m$ .
Proprietà transitiva: siano $n,\,m$ e $p$ tre numeri naturali tale che $n\leq m$ e $m\leq p$ allora esistono due numeri naturali $d_1$ e $d_2$ tale che

$\begin{equation*} n+d_1=m\qquad\text{e}\qquad m+d_2=p. \end{equation*}$

Allora

$\begin{equation*} p=m+d_2=n+d_1+d_2. \end{equation*}$

Per $d:=d_1+d_2\in\mathbb{N}$ otteniamo $p=n+d\Rightarrow n\leq p$ .

Definizione 7. Se $a+b=c$ , si pone $c-a:=b$ . Allora $b$ è la differenza di $c$ e $a$ .

Osservazione 6. Per l’esistenza dell’elemento neutro

$\begin{equation*} a+0=a\qquad\forall\,a\in\mathbb{N}\Rightarrow a-a=0\qquad\forall\,a\in\mathbb{N} \end{equation*}$

Osservazione 7. L’addizione è un’operazione interna all’insieme $\mathbb{N}$ ovvero la somma tra due numeri naturali è ancora un numero naturale; la sottrazione non gode ovviamente di questa proprietà: nel caso in cui $a\leq b$ allora $a-b\notin\mathbb{N}$ infatti $\nexists\,d\in\mathbb{N}$ tale che $a=b+d$ .

Definizione 8. Il prodotto è un operazione binaria

$\cdot:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$

tale che per ogni $n,\,m\in\,\mathbb{N}$

$n\cdot 0=0$
$n\cdot\sigma(m)=n\cdot m+n$

Osservazione 8. La seconda proprietà può essere riscritta alla luce della definizione di successivo di un numero naturale. Poiché $\sigma(m)=m+1$ allora

$n\cdot(m+1)=n\cdot m+n\qquad\forall\,n,m\in\mathbb{N}.$

Teorema 4. L’operazione binaria prodotto gode delle seguenti proprietà

Esistenza dell’elemento assorbente: $a\cdot 0=0\cdot a=0\qquad\forall\,a\in\mathbb{N}$
Proprietà associativa. $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\qquad\forall\,a,\,b,\,c\,\in\mathbb{N}$ ;

Esistenza dell’elemento neutro: $a\cdot 1=1\cdot a=a\qquad\forall\,a\in\mathbb{N}$ ;

Proprietà distributiva: $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot b, \qquad \forall a,\,b,\,c\,\in\mathbb{N}$ ;

Proprietà commutativa: $a\cdot b=b\cdot a\qquad\forall\,a,\,b\,\in\mathbb{N}$ .

Dimostrazione. 1) Basta dimostrare $0\cdot a=0$ per ogni $a\in\mathbb{N}$ . Procediamo sempre per induzione su $a$ ; per $a=0$ l’asserto è verificato per definizione di prodotto; supponiamo vera l’potesi per $a$

(10) $\begin{equation*} 0\cdot a=0\qquad\text{Hp induttiva} \end{equation*}$

e dimostriamo per $\sigma (a)$

$\begin{equation*} 0\cdot \sigma (a)=0\cdot a+0=0 de \end{equation*}$

dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (10).

2) Dimostriamo sempre per induzione la tesi: sia

$\begin{equation*} U=\{n\in\mathbb{N}\,:\,(a\cdot b)\cdot n=a\cdot(b\cdot n)\,\,\,\forall\,a,\,b\in\mathbb{N}\}. \end{equation*}$

Passo base:
$(a\cdot b)\cdot 0=0 .$

Analogamente

$a\cdot (b\cdot 0)=a\cdot 0=0\Rightarrow (a\cdot b)\cdot 0=a\cdot (b\cdot 0).$
Passo induttivo: Se $n\in U$

(11) $\begin{equation*} (a\cdot b)\cdot n=a\cdot (b\cdot n)\qquad\text{Hp induttiva} \end{equation*}$

allora

$\begin{equation*} (a\cdot b)\cdot\sigma(n)=(a\cdot b)\cdot n+a\cdot b=a\cdot (b\cdot n)+a\cdot b=a\cdot (b\cdot n+ b)=a\cdot (b\cdot \sigma(n)). \end{equation*}$

dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (11).

Quindi $\sigma(n)\in\mathbb{N}$ . Allora per il postulato $\mathbb{P}_3$ , $U=\mathbb{N}$ .

3) Per induzione

Passo base: $0\cdot 1=1\cdot 0=0$ per la proprietà (1);
Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per $n$

(12) $\begin{equation*} n\cdot 1=1\cdot n=n. \end{equation*}$

dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (12). Allora

$\begin{equation*} 1\cdot\sigma(a)=1\cdot a+1=a+1=\sigma(a). \end{equation*}$

Analogamente

$\begin{equation*} \sigma(a)\cdot 1=\sigma(a)\cdot\sigma(0)=\sigma(a)\cdot 0+\sigma(a)=\sigma(a). \end{equation*}$

Allora $\sigma(n)\in\mathbb{N}$ e quindi $U=\mathbb{N}.$

4) Per induzione

Passo base:
$a\cdot (b+0)=a\cdot b.$

Analogamente

$a\cdot b+a\cdot0=a\cdot b.$
Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per $n$
$\begin{equation*}\label{hp_8} a\cdot (b+n)=a\cdot b+a\cdot n \end{equation*}$

e dimostriamo l’asserto per $\sigma(n)$ .

$\begin{equation*} a\cdot b+a\cdot \sigma(n)=a\cdot b+a\cdot n+a=a\cdot (b+n)+a=a\cdot\sigma(b+n)=a\cdot(b+\sigma(n)). \end{equation*}$

dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (12).

5) Come nel teorema 1 anche qui dobbiamo dimostrare l’asserto per induzione su entrambi i numeri $a$ e $b$ .

Passo base: per $a=0$ per la proprietà (1)
$\begin{equation*} 0\cdot b=0=b\cdot 0. \end{equation*}$
Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per $a$

(13) $\begin{equation*} a\cdot b=b\cdot a \end{equation*}$

e dimostriamo l’asserto per $\sigma(a)$ di nuovo per induzione su $b$ . Il passo base segue dalla proprietà (1)

$\begin{equation*} \sigma(a)\cdot 0=0=0\cdot \sigma(a). \end{equation*}$

La nuova ipotesi induttiva è

(14) $\begin{equation*} \sigma(a)\cdot b=b\cdot\sigma(a) \end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{split} \sigma(a)\cdot\sigma(b)=\sigma(a)\cdot b+\sigma(a)=b\cdot \sigma(a)+\sigma(a)=(b+1)\cdot \sigma(a)=\sigma(b)\cdot\sigma(a) \end{split} \end{equation*}$

dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (14). Concludiamo per il principio di induzione.

Osservazione 9. A partire dalle proprietà appena dimostrate sulle operazioni di somma e prodotto si può verificare che esse sono compatibili con la relazione d’ordine su $\mathbb{N}$ nel senso che

per ogni $a,b,c\in \mathbb{N}$ tale per cui $a\le b,$ allora vale $a+c\le b+c;$
per ogni $a,b,c\in\mathbb{N}$ , se $a\le b$ allora $a\cdot c\le b\cdot c.$

Definizione 9. La potenza di un numero naturale è un’operazione tra numeri naturali tale che

$a^0=1$
$a^{n+1}=a^{n}\cdot a$

per ogni $a\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$

Valgono le note proprietà delle potenze dimostrabili per induzione

Proposizione 1. Per ogni numero naturale $a,b\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
$(a^{m})^n=a^{nm}$
$(ab)^n=a^nb^n$

per ogni $a\in\mathbb{N}\setminus\{0\}.$

Dimostrazione. 1) Dimostriamo la tesi per induzione su $n$

Passo base: per $n=0$
$\begin{equation*} a^{m+0}=a^m=a^m\cdot a^0. \end{equation*}$
Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per $n$ e dimostriamo l’asserto per $n+1$
$\begin{equation*} a^{m}\cdot a^{n+1}=a^m\cdot a^n\cdot a=a^{m+n}\cdot a= a^{m+n+1} \end{equation*}$

quindi la proprietà è verificata per ogni numero naturale.

Passo base: per $n=0$ la proprietà è ovvia per definizione di potenza e per le proprietà della moltiplicazione tra naturali; infatti
$\begin{equation*} (a^m)^0=1=a^{m\cdot 0}. \end{equation*}$
Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per $n$ allora
$\begin{equation*} (a^m)^{n+1}=(a^{m})^n\cdot a^m=a^{mn}\cdot a^m=a^{mn+m}=a^{m(n+1)}. \end{equation*}$

Passo base: sia $n=0$ allora
$\begin{equation*} (ab)^0=1=a^0b^0. \end{equation*}$
Passo induttivo: supponiamo vera
$\begin{equation*} (ab)^n=a^nb^n\qquad\qquad \text{Hp induttiva} \end{equation*}$

allora per $n+1$

$\begin{equation*} (ab)^{n+1}=(ab)^n\cdot(ab)=a^n\cdot b^n\cdot a\cdot b = a^n\cdot a\cdot b^n\cdot b=a^{n+1}\cdot b^{n+1} \end{equation*}$

dove, nella terza uguaglianza, abbiamo usato (13). La proprietà è dimostrata per ogni numero naturale.

I numeri interi

Introduzione.

Nella formulazione dei numeri naturali si è parlato dell’operazione differenza o sottrazione in modo molto sommario, in quanto essa non è un’operazione interna all’insieme $\N$ . Infatti dati due numeri naturali, il risultato dell’operazione sottrazione non è sempre un numero naturale. Pertanto si può ampliare l’insieme con l’intento di individuarne un secondo nel quale l’operazione di sottrazione possa essere definita come operazione interna. Si giunge quindi all’insieme

$\begin{equation*} \mathbb{Z}=\{...,-n,...,-2,-1,0,1,2,...,n,...\} \end{equation*}$

Per l’introduzione formale, consideriamo il prodotto cartesiano

$\begin{equation*} \mathbb{N}\times\mathbb{N}=\{(n,m)\,:\,n,m\in\mathbb{N}\} \end{equation*}$

e la relazione $\sim$ definita su $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$

$\begin{equation*} (n,m)\sim (n',m')\Leftrightarrow n+m'=m+n'. \end{equation*}$

È una relazione di equivalenza, infatti gode delle seguenti proprietà

Proprietà riflessiva: Per ogni coppia $(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$

$\begin{equation*} (n,m)\sim (n,m) \end{equation*}$

infatti $n+m=m+n$ per la proprietà commutativa.
Proprietà simmetrica: Siano $(n,m)\sim (n',m')$ allora

$\begin{equation*} n+m'= m+n'\Rightarrow n'+m=m'+n \end{equation*}$

ovvero $(n',m')\sim (n,m)$
Proprietà transitiva: Siano $(a,b)\sim (c,d)$ , $(c,d)\sim (e,f)$ allora per definizione

$\begin{equation*} a+d=c+b\text{ e } c+f=e+d. \end{equation*}$

Allora

$\begin{equation*} (a+d)+(c+f)=(c+b)+(e+d)\Rightarrow a+f=e+b \end{equation*}$

ovvero $(a,b)\sim (e,f)$ .

Data la relazione di equivalenza $\sim$ è possibile definire l’insieme quoziente delle classi di equivalenza

$\begin{equation*} \mathbb{Z}=(\mathbb{N}\times\mathbb{N})\mathrel{/}\sim. \end{equation*}$

Per chiarire il formalismo si nota come ad esempio le coppie $(4,2)$ e $(7,5)$ sono in relazione (infatti $4+5=7+2$ ), quindi appartengono alla stessa classe di equivalenza e nell’insieme quoziente sono rappresentate dallo stesso elemento. Per rappresentarle possiamo utilizzare l’elemento $(2,0)$ infatti $(2,0)\sim (4,2)$ e $(2,0)\sim (7,5)$ ; in pratica esse rappresentano il numero intero $+2$ .

$\begin{equation*} \mathbb{Z}^+ =\{\overline{(n,0)}\,:\,n\in\mathbb{N}\setminus \{ 0 \}\}. \end{equation*}$

Analogamente $(2,4)$ e $(5,7)$ appartengono alla stessa classe di equivalenza con rappresentante $(0,2)$ e rappresentano il numero intero $-2$

$\begin{equation*} \mathbb{Z}^- =\{\overline{(0,n)}\,:\,n\in\mathbb{N}\setminus \{ 0 \}\}. \end{equation*}$

Se definiamo

$\begin{equation*} 0=\overline{(0,0)} \end{equation*}$

allora $\mathbb{Z}=\mathbb{Z}^+\cup\{0\}\cup\mathbb{Z}^-$ . In questo modo è evidente come l’insieme $\mathbb{Z}$ risulti un’estensione di $\mathbb{N}$ nel senso che contiene al suo interno il sottoinsieme $\mathbb{Z}^+\cup\{0\}$ identificabile con $\mathbb{N}$ .

Nell’insieme $\mathbb{Z}$ si possono definire le operazioni di somma e prodotto

$\begin{equation*} \begin{split} &\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}=\overline{(a+c,b+d)}\\ &\overline{(a,b)}\cdot\overline{(c,d)}=\overline{(a\cdot c+b\cdot d,c\cdot b+a\cdot d)}\\. \end{split} \end{equation*}$

Da adesso in poi per semplificare la notazione indicheremo gli elementi interi $\overline{(n,0)}=n$ , $\overline{(0,0)}=0$ e $\overline{(0,n)}=-n$ .

$\mathbb{Z}$ rispetto alle due operazioni definite gode delle seguenti proprietà

Proprietà commutativa dell’addizione:
$\begin{equation*} a+b=b+a\qquad\forall\,a,\,b\in\mathbb{Z} \end{equation*}$

Proprietà associativa dell’addizione.

$\begin{equation*} (a+b)+c=a+(b+c)\qquad\forall\,a,\,b,\,c\in\mathbb{Z} \end{equation*}$

Esistenza dell’elemento neutro rispetto all’addizione:

$\begin{equation*} a+0=0+a=a\qquad\forall\,a\in\mathbb{Z} \end{equation*}$

Esistenza dell’opposto:

$\begin{equation*} a+(-a)=(-a)+a=0\qquad\forall\,a\in\mathbb{Z} \end{equation*}$

Proprietà commutativa della moltiplicazione:

$\begin{equation*} a\cdot b=b\cdot a\qquad\forall\,a,\,b\in\mathbb{Z} \end{equation*}$

Proprietà associativa della moltiplicazione.

$\begin{equation*} (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\qquad\forall\,a,\,b,\,c\in\mathbb{Z} \end{equation*}$

Esistenza dell’elemento neutro rispetto alla moltiplicazione:

$\begin{equation*} a\cdot 1=1\cdot a\qquad\forall\,a\in\mathbb{Z} \end{equation*}$

Distributività della moltiplicazione rispetto all’addizione

$\begin{equation*} (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c\quad\text{ e } \quad a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\qquad\forall\,a,\,b,\,c\in\mathbb{Z} \end{equation*}$

Come le operazioni, anche la relazione d’ordine si definisce a partire da quella presente in $\mathbb{N}$ .

$\begin{equation*} \overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}\Rightarrow a+d\leq c+b. \end{equation*}$

Quindi in $\mathbb{Z}^+$

$\begin{equation*} \overline{(n,0)}\leq \overline{(m,0)}\Leftrightarrow n+0\leq m+0 \end{equation*}$

ovvero

$\begin{equation*} \overline{(n,0)}\leq \overline{(m,0)}\Leftrightarrow n\leq m \qquad\forall\,n,\,m\in\mathbb{Z}^+ \end{equation*}$

Analogamente in $\mathbb{Z}^-$

$\begin{equation*} \overline{(0,n)}\leq \overline{(0,m)}\Leftrightarrow 0+m\leq 0+n \end{equation*}$

ovvero

$\begin{equation*} -n\leq -m\Leftrightarrow m\leq n . \end{equation*}$

Osservazione 10. Le operazioni di somma e prodotto su $\mathbb{Z}$ sono compatibili con la relazione d’ordine su $\mathbb{Z}$ , ovvero

per ogni $a,b,c\in \mathbb{Z}$ tale per cui $a\le b,$ allora vale $a+c\le b+c;$
per ogni $a,b,c\in\mathbb{Z}$ tale che $c\geq 0$ , se $a\le b$ allora $a\cdot c\le b\cdot c.$

Proposizione 2. Siano $n,m\in\mathbb{Z}$ allora

$0\cdot n=n\cdot 0=0;$
$(-n)\cdot m=(-n\cdot m);$
$(-n)\cdot(-m)=n\cdot m.$

Dimostrazione. 1) Per le proprietà delle operazioni in $\mathbb{Z}$

$\begin{equation*} 0+(0\cdot n)=0\cdot n=(0+0)\cdot n=0\cdot n+0\cdot n. \end{equation*}$

Quindi $0\cdot n=0$ ; in modo analogo si dimostra che $n\cdot 0=0$

$\begin{equation*} 0=0\cdot m=[n+(-n)]\cdot m=n\cdot m+(-n)\cdot m\Rightarrow (-n)\cdot m=-(n\cdot m). \end{equation*}$

$\begin{equation*} (-n)\cdot(-m)=-(n\cdot(-m))=-(-(n\cdot m))=n\cdot m. \end{equation*}$

Definizione 10. Sia $n\in\mathbb{Z}$ . Il valore assoluto di $n$ è il numero intero positivo

$\begin{equation*} |n|=\begin{cases} n&\text{ se }n\geq 0\\ -n&\text{ se } n<0 \end{cases} \end{equation*}$

o equivalentemente

$\begin{equation*} |n|=\max\{ n, -n \}. \end{equation*}$

Esempio 1. $|-7|=+7$ , $|+3|=+3$ , $|0|=0.$

Osservazione 11. Dati $n,\,m\in\mathbb{Z}$

$\begin{equation*} \begin{split} &|n|\leq m\Leftrightarrow -m\leq n\leq m \\ &|n|\geq m\Leftrightarrow n\leq -m\text{ o } n\geq m. \end{split} \end{equation*}$

Osservazione 12. Per ogni $n\in\mathbb{Z}$ dalla definizione di valore assoluto

$\begin{equation*} -|n|\leq n\leq |n|. \end{equation*}$

Dati due numeri interi $n$ e $m$ , il valore assoluto gode delle seguenti proprietà

Il valore assoluto del prodotto è uguale al prodotto dei valori assoluti, ovvero

$\begin{equation*} |n\cdot m|=|n|\cdot |m|. \end{equation*}$
Disuguaglianza triangolare. Siano $n,\,m\in\mathbb{Z}$

$\begin{equation*} |n+m|\leq |n|+|m|. \end{equation*}$

Infatti dall’osservazione 10 sappiamo che

$\begin{equation*} -|n|\leq n\leq |n|\text{ e } -|m|\leq m\leq |m|. \end{equation*}$

Allora

$\begin{equation*} -(|n|+|m|)\leq n+m\leq (|n|+|m|) . \end{equation*}$

Per l’osservazione 9 possiamo concludere $|n+m|\leq |n|+|m|$ .

La divisibilità nell'insieme dei numeri interi.

Teorema 5. Siano $a,\,b\,\in\mathbb{Z}$ con $b\neq 0$ allora esistono e sono unici $q,\,r\,\in\mathbb{N}$ tale che

$\begin{equation*} a=b\cdot q+r\qquad 0\leq r<|b| \end{equation*}$

dove $q$ è detto quoziente e $r$ resto della divisione euclidea.

Dimostrazione. Dimostriamo l’esistenza del quoziente e del resto per la divisione euclidea in $\mathbb{Z}$ e trattiamo i casi $a\geq 0$ e $a<0$ separatamente.

Supponiamo $a\geq 0$ e applichiamo il principio di induzione forte rispetto ad $a$ .

Se $a=0$ allora basta porre $q=r=0$ quindi $P(0)$ è verificata
Supponiamo vera l’ipotesi per ogni e dimostriamo l’asserto per .
- Se $|b|>a$ poniamo $q=0$ e $r=a$
- Se $|b|\leq a$ consideriamo $k=a-|b|$ allora per l’ipotesi induttiva esistono due numeri interi $q'$ e $r'$ tale che
  
  $\begin{equation*} a-|b|=q'b+r'\qquad 0\leq r'<|b|. \end{equation*}$
  
  Allora
  
  $\begin{equation*} a=|b|+q'b+r'\qquad 0\leq r'<|b|. \end{equation*}$
  
  Se $b>0$ basterà scegliere $q=q'+1$ e se $b<0$ $q=q'-1$ ; in entrambi i casi $P(a)$ è verificata. Per il principio di induzione la proprietà è vera per ogni $a$ .

Per $a<0$ basterà sfruttare il risultato appena ottenuto per $-a$ e scegliere opportunamente $q$ e $r$ in $\mathbb{Z}$ .

Per l’unicità supponiamo per assurdo che esistano $q,\,r\in\mathbb{Z}$ e $q',\,r'\in\mathbb{Z}$ tale che

$\begin{equation*} \begin{split} &a=b\cdot q+r\qquad 0\leq r<|b|\\ &a=b\cdot q'+r'\qquad 0\leq r'<|b|. \end{split} \end{equation*}$

Supponiamo $r'\leq r$ allora (ripercorrendo l’analogo ragionamento per la divisione euclidea in $\mathbb{N}$ )

$\begin{equation*} 0\leq r-r'=b(q'-q). \end{equation*}$

Passando ai valori assoluti

$\begin{equation*} |b(q'-q)|=|b||q'-q|=r-r'\leq r<|b|. \end{equation*}$

Quindi $|q'-q|=0\Rightarrow q'=q$ e $r'=r$ .

Definizione 11. Dati $a,\,b\,\in\mathbb{Z}$ diremo che $b$ divide $a$ e scrivereme $b|a$ se esiste un elemento $q\in\mathbb{Z}$ tale che $a=bq$

Osservazione 13. Possiamo affermare equivalentemente che $b|a$ se il resto della divisione euclidea è nullo.

Definizione 12. Siano $a,\,b\in\mathbb{Z}$ . Un elemento $d\in\mathbb{Z}$ si dice massimo comune divisore tra $a$ e $b$ se

$d|a$ e $d|b$
Per ogni intero $d'$ tale che $d'|a$ e $d'|b$ , si ha che $d'|d$ .

Come è noto, scriveremo $d=MCD(a,b)$ .

L’esistenza del massimo comune divisore è garantita dal teorema 5, mentre l’unicità è garantita solo nel caso in cui venga scelto un segno privilegiato; infatti se $d=MCD(a,b)$ anche $-d$ soddisferà le ipotesi di massimo comune divisore. Il generale quando si parla di massimo comune divisore in $\mathbb{Z}$ , si intende il massimo comune divisore positivo.

Definizione 13. Siano $a,\,b\in\mathbb{Z}$ . Due elementi $a,\,b\in\mathbb{Z}$ tale che $d=MCD(a,b)=1$ si dicono coprimi.

I numeri razionali

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L’operazione di divisione non è interna all’insieme dei numeri naturali, né a quello dei numeri interi. È naturale dunque pensare a un ampliamento dei numeri interi. Per rendere possibile l’operazione di divisione per ogni coppia di numeri interi si definisce l’insieme dei numeri razionali

$\begin{equation*} \mathbb{Q}=\left\{\frac{n}{m}\,:\,n,\,m\in\mathbb{Z},\,m\neq 0\right\} \end{equation*}$

ovvero l’insieme delle frazioni $\frac{n}{m}$ dove $n$ è detto numeratore e $m$ denominatore della frazione.

Per la costruzione formale di questo insieme di numeri si considera il prodotto cartesiano

$\begin{equation*} \mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\{0\})=\{(n,m)\,:\,n,\,m\in\mathbb{Z},\,m\neq 0\}. \end{equation*}$

Su questo insieme definiamo la relazione

$\begin{equation*} (n,m)\sim (n',m')\Leftrightarrow n\cdot m'=n'\cdot m \end{equation*}$

che risulta essere di equivalenza:

Proprietà riflessiva: Per ogni coppia $(n,m)\in\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\{0\})$

$\begin{equation*} (n,m)\sim (n,m) \end{equation*}$

infatti $n\cdot m=m\cdot n$ per la proprietà commutativa del prodotto tra numeri interi.
Proprietà antisimmetrica: Siano $(n,m)\sim (n',m')$ allora

$\begin{equation*} n\cdot m'= n'\cdot m\Rightarrow n'\cdot m=n\cdot m' \end{equation*}$

ovvero $(n',m')\sim (n,m)$ .
Proprietà transitiva: Siano $(a,b)\sim (c,d)$ , $(c,d)\sim (e,f)$ allora per definizione

$\begin{equation*} a\cdot d=c\cdot b\qquad c\cdot f=e\cdot d \end{equation*}$

Allora

$\begin{equation*} (a\cdot d)\cdot (c\cdot f)=(c\cdot b)\cdot (e\cdot d)\Rightarrow a\cdot f=e\cdot b \end{equation*}$

ovvero $(a,b)\sim (e,f)$ .

Data la relazione di equivalenza $\sim$ è possibile considerare l’insieme quoziente e definire formalmente l’insieme dei numeri razionali

$\begin{equation*} \mathbb{Q}= (\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\}))\mathrel{/}\sim. \end{equation*}$

Per chiarire le classi di equivalenza di questo particolare insieme quoziente partiamo da un esempio: le coppie $(3,6)$ e $(4,8)$ sono ovviamente in relazione, infatti $3\cdot 8=4\cdot 6$ e quindi appartengono alla stessa classe di equivalenza. Dunque le classi di equivalenza coincidono, ovvero

$\overline{(3,6)}=\overline{(4,8)}.$

Questa classe può essere rappresentata dall’elemento $(1,2)$ che è ovviamente in relazione con entrambe le coppie precedenti, in simboli

$\overline{(1,2)}=\overline{(3,6)}=\overline{(4,8)}.$

In pratica tali coppie rappresentano tutte la frazione $\frac{1}{2}$ o le frazioni ad essa equivalenti $\frac{3}{6}$ o $\frac{4}{8}$ , e per questo motivo siamo soliti scrivere

$\frac{1}{2}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}.$

Introduciamo ora in $\mathbb{Q}$ le operazioni di somma e prodotto

$\begin{equation*} \begin{split} &\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}=\overline{(a\cdot d+b\cdot c,b\cdot d)}\\ &\overline{(a,b)}\cdot\overline{(c,d)}=\overline{(a\cdot c,b\cdot d)} \end{split} \end{equation*}$

Inoltre le classi

$\begin{equation*} \begin{split} &0=\overline{(0,1)}=\overline{(0,n)}\\ &1=\overline{(1,1)}=\overline{(n,n)} \end{split} \end{equation*}$

con $n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ sono gli elementi neutri rispettivamente per la somma e il prodotto. Ovviamente valgono tutte le proprietà delle operazioni enunciate nel paragrafo precedente.

La sottrazione in $\mathbb{Q}$ viene definita in modo analogo all’addizione

$\begin{equation*} \overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}=\overline{(a\cdot d-b\cdot c,b\cdot d)} \end{equation*}$

Infine si giunge alla divisione, che viene definita in modo da essere una operazione interna all’insieme $\mathbb{Q}$ nel modo seguente

$\begin{equation*} \overline{(a,b)}:\overline{(c,d)}=\overline{(a\cdot d,b\cdot c)}. \end{equation*}$

Osserviamo che la definizione precedente ha senso se e solo se $c\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ , così da garantire che $b\cdot c \neq 0$ (si noti che $b\neq 0$ per definizione). Nell’insieme dei numeri razionali è valida una proprietà ulteriore: per ogni elemento $q=\overline{(a,b)}\in \mathbb{Q}$ con $a \neq 0$ esiste inverso moltiplicativo $\dfrac{1}{q}=\overline{(b,a)}$ , tale che

$\begin{equation*} q\cdot \dfrac{1}{q}=\overline{(a,b)}\cdot\overline{(b,a)}=\overline{(a\cdot b,b\cdot a)}=\overline{(1,1)}=1. \end{equation*}$

La relazione d’ordine in $\mathbb{Q}$ si definisce a partire da quella presente in $\mathbb{Z}$ . Prima di specificarla osserviamo che ogni numero razionale $q\in \mathbb{Q}$ può essere rappresentato da una coppia $(a,b)\in \mathbb{Z} \times (\mathbb{N}\setminus\{0\})$ . In altre parole, se $q=\overline{(a,b)},$ possiamo sempre supporre $b>0$ , in quanto per definizione

$\overline{(a,b)}=\overline{(-a,-b)}.$

Dati $p,q\in \mathbb{Q}$ , con $p=\overline{(a,b)}$ , $q= \overline{(c,d)}$ , e $b,d>0$ , si stabilisce che

$\begin{equation*} p\leq q\; \Leftrightarrow\; \overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}\;\Leftrightarrow \;a\cdot d\leq b\cdot c \end{equation*}$

ovvero

$\begin{equation*} \frac{a}{b}\leq \frac{c}{d} \;\Leftrightarrow\; a\cdot d\leq b\cdot c. \end{equation*}$

Esempio 2. Supponiamo di dover confrontare le due coppie $(-5,4)$ e $(1,-3)$ ; si nota che $-3<0$ quindi occorre scegliere un altro elemento della classe di equivalenza di $(1,-3)$ in modo che il la seconda entrata risulti positiva. Consideriamo ad esempio $(-1,3)$ , allora

$\begin{equation*} \overline{(-5,4)} \leq \overline{ (-1,3)}\;\Leftrightarrow\; -\frac{5}{4} \leq -\frac{1}{3} \;\Leftrightarrow\; (-5)\cdot 3\leq 4\cdot (-1) \;\Leftrightarrow\; -15 \leq -4, \end{equation*}$

quindi risulta $\displaystyle -\frac{5}{4}\leq -\frac{1}{3}$ .

La relazione appena definita tra numeri razionali è d’ordine totale

Proprietà riflessiva: Per ogni elemento $q=\overline{(a,b)}$

$\begin{equation*} a\cdot b\leq b\cdot a,\; \text{ ovvero } \; q\leq q; \end{equation*}$

Proprietà simmetrica: Siano $p=\overline{(a,b)}, q =\overline{(c,d)}\in\mathbb{Q}$ tale che $p\leq q$ e $q\leq p$ , allora

$\begin{equation*} a\cdot d\leq b\cdot c,\quad c\cdot b\leq a\cdot d\;\Rightarrow a\cdot d=b\cdot c, \end{equation*}$

ovvero $(a,b)$ e $(c,d)$ appartengono alla stessa classe di equivalenza e $p=q$ .

Proprietà transitiva: Siano $p=\overline{(a,b)}, q =\overline{(c,d)}, r=\overline{(e,f)}\in\mathbb{Q}$ tale che $p\leq q$ e $q\leq r$ allora

$\begin{equation*} a\cdot d\leq b\cdot c\qquad\qquad c\cdot f\leq d\cdot e \end{equation*}$

supponiamo $b,\,d,\,f>0$ a meno di scegliere un rappresentante diverso, allora

$\begin{equation*} a\cdot d\cdot f=(a\cdot d)\cdot f\leq (b\cdot c)\cdot f=b\cdot (c\cdot f)\leq b\cdot(d\cdot e)=b\cdot d\cdot e\Rightarrow a\cdot f\leq b\cdot e \end{equation*}$

ovvero $p\leq r$ .

Osservazione 14. Come già per $\mathbb{N}$ e per $\mathbb{Z}$ , le operazioni di somma e prodotto su $\mathbb{Q}$ sono compatibili con la relazione d’ordine su $\mathbb{Q}$ , ovvero

per ogni $a,b,c\in \mathbb{Q}$ tale per cui $a\le b,$ allora vale $a+c\le b+c;$
per ogni $a,b,c\in\mathbb{Q}$ tale che $c\geq 0$ , se $a\le b$ allora $a\cdot c\le b\cdot c.$

Quindi il campo $\mathbb{Q}$ dotato della relazione d’ordine $\leq$ è ordinato; inoltre vale la proprietà di densità ovvero

Teorema 6. Siano $x,\,y\in\mathbb{Q}$ due numeri razionali tali che $x<y$ . Allora esiste $q\in\mathbb{Q}$ tale che

$\begin{equation*} x< q< y. \end{equation*}$

Dimostrazione. Siano $x,\,y\in\mathbb{Q}$ con $x<y$ e supponiamo

$\begin{equation*} \begin{split} &x=\overline{(a,b)}\qquad a\in\mathbb{Z},\,b\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\\ &y=\overline{(c,d)}\qquad c\in\mathbb{Z},\,d\in\mathbb{N}\setminus\{0\} \end{split} \end{equation*}$

allora $q:=\dfrac{x+y}{2}\in\mathbb{Q}$ è un elemento tale che $x< q< y$ . Infatti si ha

$\begin{equation*} 2x=x+x<x+y \quad \Leftrightarrow \quad x<q \qquad\text{e}\qquad x+y<y+y=2y \quad \Leftrightarrow \quad q<y. \end{equation*}$

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