Disuguaglianza di Bernoulli

Insiemi numerici N, Z, Q, R

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Esercizio. Dimostrare la seguente formula, valida per ogni n\geq 0

    \[\mathcal{P}(n): (1+x)^n\ge1+nx\quad \text{per}\,\, x \in (-1,+\infty).\]

 

Dimostrazione 1. Per dimostrare che \mathcal{P}(n) è vera applichiamo il principio di induzione.
Primo passo: mostriamo che \mathcal{P}(0) è vera.

    \[1 \ge 1\,\, \checkmark\]

Ora per ipotesi induttiva supponiamo vera \mathcal{P}(n) per n \ge 0 e mostriamo che \mathcal{P}(n)\Rightarrow \mathcal{P}(n+1) \forall n\ge 0.\\
Osserviamo dunque che

    \[\begin{aligned} (1+x)^{n+1} & = (1+x)^n \cdot (1+x)\overset{*}{\ge} (1+nx)\cdot(1+x) = \\ & = 1+x+nx+nx^2 = 1 + (n+1)x + nx^2 \ge 1+(n+1)x \end{aligned}\]

dove in * abbiamo usato l’ipotesi induttiva, quindi abbiamo provato la formula per induzione.


Dimostrazione 2. Vogliamo provare che per ogni n\geq 1 (non necessariamente intero) e per ogni x\geq -1 si ha (1+x)^n \geq 1+nx.
Sul dominio [-1,+\infty) la funzione f(x)=(1+x)^n risulta derivabile due volte con derivata seconda non negativa. Ciò comporta che la funzione sia convessa e il suo grafico giaccia al di sopra di qualunque retta tangente. g(x)=1+nx è semplicemente l’equazione della retta tangente nel punto (0,1).


Dimostrazione 3. Data la continuità di (1+x)^n e 1+nx rispetto al parametro n, è sufficiente provare la tesi nei casi in cui n è un numero razionale, n=\frac{p}{q}. Ciò è equivalente a provare

    \[(1+x)^{p} \geq \left(1+\frac{p}{q}x\right)^q\]

per ogni x\geq -1, o

    \[(1+qz)^{p} \geq \left(1+pz\right)^q\]

per ogni z\geq -\frac{1}{q}. Possiamo riscrivere la tesi come

    \[1 \geq \left(\frac{1+pz}{1+qz}\right)^{q}\left(\frac{1}{1+qz}\right)^{p-q}\]

dove il membro destro è la p-esima potenza della media geometrica tra \frac{1+pz}{1+qz} ripetuto q volte e \frac{1}{1+qz} ripetuto p-q volte. Per la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica abbiamo che il membro destro è maggiorato da

    \[\left(\frac{q(1+pz)+(p-q)}{p(1+qz)}\right)^{p}=1\]

e questo conclude la dimostrazione.