
Dimostrazione 1. Per dimostrare che è vera applichiamo il principio di induzione.
Primo passo: mostriamo che è vera.
Ora per ipotesi induttiva supponiamo vera per
e mostriamo che
.\\
Osserviamo dunque che
dove in abbiamo usato l’ipotesi induttiva, quindi abbiamo provato la formula per induzione.
Dimostrazione 2. Vogliamo provare che per ogni (non necessariamente intero) e per ogni
si ha
.
Sul dominio la funzione
risulta derivabile due volte con derivata seconda non negativa. Ciò comporta che la funzione sia convessa e il suo grafico giaccia al di sopra di qualunque retta tangente.
è semplicemente l’equazione della retta tangente nel punto
.
Dimostrazione 3. Data la continuità di e
rispetto al parametro
, è sufficiente provare la tesi nei casi in cui
è un numero razionale,
. Ciò è equivalente a provare
per ogni , o
per ogni . Possiamo riscrivere la tesi come
dove il membro destro è la -esima potenza della media geometrica tra
ripetuto
volte e
ripetuto
volte. Per la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica abbiamo che il membro destro è maggiorato da
e questo conclude la dimostrazione.