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Densità dei numeri razionali nei numeri reali

Insiemi numerici N, Z, Q, R

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Densità dei numeri razionali nei numeri reali

 

Fin dall’antichità è stata evidenziata l’esistenza di numeri non razionali: la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato unitario o la lunghezza di una circonferenza di raggio unitario non sono dei numeri razionali. Ciò ha condotto all’introduzione dei numeri reali, ambiente in cui è possibile effettuare una gran varietà di operazioni algebriche e geometriche.

La scrittura decimale di un numero reale è in generale infinita e non periodica. Nella pratica quotidiana si usano quindi delle approssimazioni razionali, generalmente troncando tale scrittura infinita: si pensi ad esempio all’approssimazione 3.14 del famoso “pigreco”. E’ dunque naturale porsi la domanda:

Questa approssimazione può essere arbitrariamente precisa?

In questo articolo mostriamo che la risposta è affermativa. Matematicamente, ciò corrisponde al fatto che i numeri razionali siano densi nei reali: dato un numero reale, esistono cioè numeri razionali arbitrariamente vicini a esso.

La  proprietà di densità, oltre alla sua importanza pratica, possiede notevoli applicazioni in ogni branca della Matematica.

Come si formalizza tutto ciò e come si dimostra? Passando per parti intere e proprietà archimedea, scoprilo leggendo questo breve e chiaro articolo!

 

Autori e revisori

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Autore: Martina Moro  

Revisore: Valerio Brunetti.

 

Introduzione

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A prescindere dai diversi modi di definirli, i numeri reali possono essere descritti in maniera non formale come numeri ai quali è possibile attribuire uno sviluppo decimale finito o infinito (come \pi =3{,}141592\ldots). I numeri reali possono essere positivi, negativi o nulli e comprendono i numeri interi (come 12), i numeri razionali (come -22/7 ) e i numeri irrazionali algebrici (come {\sqrt {2}}) e trascendenti (come \pi ed e).

A differenza dei numeri razionali, i reali non formano un insieme numerabile; la cardinalità dell’insieme dei numeri reali è “strettamente più grande” di quella dei numeri naturali, anche se entrambi gli insiemi contengono infiniti elementi. Formalmente, questo equivale a dire che non esiste una corrispondenza biunivoca fra i numeri reali e i numeri naturali. Ciò distingue i numeri reali dagli altri insiemi numerici comunemente utilizzati, come l’insieme dei numeri naturali, razionali e algebrici. Questi ultimi hanno tutti la stessa cardinalità, ovvero esiste una corrispondenza biunivoca fra loro. L’insieme dei reali, invece, ha una cardinalità più grande: esiste una funzione iniettiva da ognuno di questi insiemi ai reali, ma non viceversa. In altre parole, nel tappare tutti i “buchi” lasciati dai numeri razionali si deve aggiungere una “tale quantità” di numeri nuovi da farne crescere la cardinalità. Questo può essere dimostrato con il procedimento diagonale di Cantor.

D’altra parte, nonostante i numeri reali siano molti più dei razionali, in queste note dimostreremo che i razionali sono densi nei reali, ovvero tra ogni due numeri reali, non importa quanto vicini tra loro, esiste sempre un numero razionale.

Per capire e comprendere al meglio questo file si consiglia di far riferimento al seguente link (prerequisiti): Insiemi numerici \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}.

 

Richiami di teoria

Proprietà archimedea dei reali.

Iniziamo ricordando una proprietà importante che lega i numeri naturali ai numeri reali: la proprietà archimedea. Storicamente, la proprietà è nota sotto il nome di Assioma di Archimede, anche se essa è una conseguenza della costruzione assiomatica dei reali.

Assioma 1 (Assioma di Archimede). Dati due numeri reali positivi x e y esiste un numero naturale n tale che

    \[n y > x.\]

 

In altri termini, dati due numeri reali positivi, è sempre possibile moltiplicare uno dei due numeri per un numero naturale e rendere il prodotto maggiore dell’altro numero di partenza (a prescindere da quale dei due numeri fosse il più grande inizialmente).

In modo particolare, per un qualunque x, scegliendo y = 1 deve esistere un intero n tale che n\cdot 1 > x, ovvero abbiamo il seguente risultato.

Teorema 1 (Assioma di Archimede). Dati due numeri reali positivi x e y esiste un numero naturale n tale che

    \[n y > x.\]

 

In realtà, si vede facilmente che il teorema 1 è equivalente all’assioma 1: per l’implicazione inversa basterà applicare il teorema 1 al numero reale x/y.

La parte intera di un numero reale.

Adesso intendiamo definire la parte intera (superiore) di un numero reale. Prima di fare questo abbiamo bisogno di una proprietà dei numeri naturali: il principio del buon ordinamento.

Il principio del buon ordinamento1, equivalente al principio di induzione, afferma che ogni insieme di numeri naturali non vuoto contiene un numero che è più piccolo di tutti gli altri. In altre parole, un qualsiasi sottoinsieme non vuoto dei numeri naturali ammette minimo.

Proposizione 1. Sia A \subseteq \mathbb{N} con A \neq \varnothing, allora esiste m \in A tale che

    \[m \leq a, \quad \forall a \in A.\]

 

Dimostrazione. Proponiamo due dimostrazioni, basate sul principio di induzione debole e forte, rispettivamente.  

  1. Se 0 \in A abbiamo finito, in quanto 0 è per definizione il minimo dei naturali, e siccome A è contenuto nei naturali, 0 sarà a fortiori il minimo di A. Abbiamo quindi che 0 \notin A. Ragioniamo ora per assurdo, supponendo che A non abbia minimo, ovvero

        \[\forall \, m \in A \quad \exists\, a \in A \quad \mbox{tale che} \quad a <m.\]

    Fissato m \in A, troviamo dunque a_1\in A tale che a_1<m, ovvero necessariamente a_1\leq m-1, in quanto stiamo lavorando con numeri naturali. Per induzione, concludiamo che

    (1)   \begin{equation*} \forall\, n \in \mathbb{N} \quad \exists \, a_n\in A \quad \mbox{tale che} \quad a_n \leq m-n. \end{equation*}

    Supponiamo che (1) valga per un certo n e dimostriamola per n+1. Siccome a_n \in A, e A non ha minimo, deve esistere a_{n+1} \in A tale che

        \[a_{n+1}\leq a_n-1\leq (m-n)-1=m-(n+1).\]

    A questo punto basterà scegliere n=m per ottenere un certo a_m\in A tale che a_m\leq m-m=0, ovvero a_m=0\in A, che è assurdo.

  2. Si ragiona sempre per assurdo e si dimostra che si deve avere necessariamente A = \varnothing. Analogamente al punto precedente si deduce che 0 \notin A. Questo rappresenta la base dell’induzione, ovvero vogliamo dimostrare che

        \[\forall \,n \in \N \quad n \notin A.\]

    Il passo induttivo consiste nel verificare che

        \[0, 1, \dots, n \notin A \Rightarrow n+1 \notin A.\]

    Infatti, se per assurdo avessimo n+1 \in A, siccome A non ha minimo per ipotesi di assurdo, dovrebbe esistere k \in A tale che k < n+1. Tuttavia, i numeri k \in \N tali che k <n+1, sono nell’insieme \{ 0,1, \dots, n \} il quale per ipotesi induttiva è disgiunto da A.

A questo punto siamo pronti a definire la parte intera superiore di un numero reale x come il più piccolo intero non minore di x. In maniera più formale:

Definizione 1. Si definisce parte intera superiore di x \in \R e si indica con \lceil x\rceil il minimo dell’insieme A_x \coloneqq \{n \in \mathbb{Z} : n \geq x \} ovvero,

    \[\lceil x\rceil \coloneqq \min A_x.\]

 

Questa definizione ha senso? È ben definita la parte superiore di un numero reale? Per rispondere a questa domanda osserviamo che se x >0 l’insieme A_x è un sottoinsieme di numeri naturali ed è non vuoto: per il teorema 1 deve esistere almeno un numero naturale n con n \geq x. Allora, per il principio del buon ordinamento, deve esistere il minimo di A_x che è proprio quello che abbiamo chiamato parte intera superiore di x. Per il caso x<0 si può utilizzare il seguente corollario.

 

Corollario 1. Sia A \subset \mathbb{Z} un insieme non vuoto e inferiormente limitato, allora A ammette minimo.

 

Dimostrazione. Notiamo che siccome A è inferiormente limitato, esiste sicuramente un minorante intero per A, ovvero \exists\, m \in \mathbb{Z}: \, m \leq a per ogni a \in A. Si consideri l’insieme traslato

    \[A-m\coloneqq \{ a-m:a \in A \}.\]

Chiaramente A-m \subseteq \mathbb{N} e quindi quest’ultimo ammette minimo per la proposizione 1. Infine, per le proprietà elementari della traslazione si verifica che anche A ammette minimo e che vale

    \[\min A= \min\{ A-m \}+m.\]

 

Per terminare la discussione precedente, notiamo che nel caso x<0 l’insieme A_x della definizione 1 è sicuramente non vuoto (0 \in A_x) e inferiormente limitato. Infatti, basta prendere come minorante un qualunque m \in (-\infty, x).

Concludiamo con una proprietà della parte intera superiore che discende direttamente dalla sua minimalità.

Proposizione 2. Per ogni x reale abbiamo x \leq \lceil x \rceil < x +1 .

 

Dimostrazione. Si ha x \leq \lceil x \rceil per definizione, e l’uguale vale se e soltanto se x \in \mathbb{N}. Per quanto riguarda l’altra disuguaglianza, essa è ovvia per x\in \mathbb{N}, mentre per x \notin \mathbb{N} basta osservare che in questo caso l’intervallo (x,x+1), la cui ampiezza è 1 e i cui estremi non sono numeri naturali, contiene necessariamente uno e un solo numero naturale, che è per definizione \lceil x \rceil.

   

    \[\]

  1. Da non confondersi con il Teorema del buon ordinamento ↩

 

Densità dei numeri razionali nei numeri reali.

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Siamo finalmente pronti ad enunciare il teorema di densità dei numeri razionali nei numeri reali che afferma che tra due qualunque numeri reali deve esistere un numero razionale.

Teorema 2. Siano a e b due numeri reali tali che a < b, allora esiste q razionale tale che

    \[a< q < b.\]

 

Dimostrazione. Iniziamo osservando che se a e b hanno segno discorde (uno positivo e l’altro negativo) allora lo zero è un numero razionale che li separa.

Supponiamo ora 0 \leq a < b. Per l’Assioma di Archimede (assioma 1), applicato ai due numeri reali positivi x = 1, \,y =(b-a), deve esistere un numero naturale n\neq 0 tale che n(b-a) > 1 ovvero

    \[na < nb - 1.\]

A questo punto utilizziamo la disuguaglianza della proposizione 2, a cui sottraiamo 1 a tutti i membri, ottenendo

    \[na < nb - 1 \leq \lceil nb\rceil - 1 < nb,\]

da cui, dividendo per n membro a membro la disuguaglianza, otteniamo

    \[a < q < b \quad \mbox{dove} \quad q = \frac{\lceil nb\rceil - 1}{n}.\]

Nel caso rimanente, ovvero a < b \leq 0, vale 0 \leq -b < - a. Per il punto precedente deve esistere un razionale q tale che -b < q < -a per cui si ha a < -q < b, ovvero esiste un razionale tra a e b come volevasi dimostrare.

 

Dal teorema precedente, segue che ogni intervallo (a,b) contiene in realtà infiniti punti razionali. Infatti tra a e b c’è un numero razionale q_1 ma anche tra a e q_1 e così via. Di conseguenza ogni numero reale x è un punto di accumulazione dell’insieme dei numeri razionali: in ogni intorno della forma (x-r, x +r), con r>0, cadono infiniti punti razionali. Otteniamo così il seguente corollario.

Corollario 2. Dato x \in \mathbb{R}, esiste una successione di numeri razionali che converge a x.

 

Ricordiamo che l’insieme delle rappresentazioni decimali in cui non compare definitivamente la cifra 9 è in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri reali2 . Il prossimo esempio fornisce un’idea chiara di come costruire una successione come nel corollario 2.

 

Esempio 1. Preso un qualunque numero irrazionale x, una successione di razionali che converge a x è data dal troncamento della sua rappresentazione decimale, per esempio la successione

    \[q_1=3{,}14, \quad q_2=3{,}141, \quad q_3=3{,}1415, \quad q_4=3{,}14159, \quad \dots\]

è una successione crescente di numeri razionali che converge al numero \pi=3{,}141592\dots.

 

Concludiamo osservando che non solo i razionali sono densi nei reali ma anche gli irrazionali: questo è l’enunciato del teorema seguente.

 

Teorema 3. Siano a e b due numeri reali tali che a < b, allora esiste un numero irrazionale x tale che

    \[a< x < b.\]

 

Dimostrazione. Per il teorema 2 deve esistere un numero razionale q tale che

    \[a - \sqrt{2} < q < b - \sqrt{2}\]

da cui a < q + \sqrt{2} < b e x = q + \sqrt{2} è l’irrazionale cercato, infatti se per assurdo x fosse razionale, allora lo sarebbe \sqrt{2} = x-q, ma questo è assurdo in quanto \sqrt{2} è irrazionale.

   

    \[\]

  1. Si pensi all’identità 0{,}999\dots=1. ↩

 
 

Tutta la teoria di analisi matematica

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  1. Teoria Insiemi
  2. Il metodo della diagonale di Cantor
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  6. Il principio di induzione
  7. Gli assiomi di Peano
  8. L’insieme dei numeri reali: costruzione e applicazioni
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  10. Costruzioni alternative di \mathbb{R}
  11. Binomio di Newton
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  13. Disuguaglianza di Bernoulli
  14. Disuguaglianza triangolare
  15. Teoria sulle funzioni
  16. Funzioni elementari: algebriche, esponenziali e logaritmiche
  17. Funzioni elementari: trigonometriche e iperboliche
  18. Funzioni goniometriche: la guida essenziale
  19. Teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni
  20. Criterio del rapporto per le successioni
  21. Definizione e proprietà del numero di Nepero
  22. Limite di una successione monotona
  23. Successioni di Cauchy
  24. Il teorema ponte
  25. Teoria sui limiti
  26. Simboli di Landau
  27. Funzioni continue – Teoria
  28. Il teorema di Weierstrass
  29. Il teorema dei valori intermedi
  30. Il teorema della permanenza del segno
  31. Il teorema di Heine-Cantor
  32. Il teorema di esistenza degli zeri
  33. Il metodo di bisezione
  34. Teorema ponte versione per le funzioni continue
  35. Discontinuità di funzioni monotone
  36. Continuità della funzione inversa
  37. Teorema delle contrazioni o Teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli
  38. Teoria sulle derivate
  39. Calcolo delle derivate: la guida pratica
  40. Teoria sulle funzioni convesse
  41. Il teorema di Darboux
  42. I teoremi di de l’Hôpital
  43. Teorema di Fermat
  44. Teoremi di Rolle e Lagrange
  45. Il teorema di Cauchy
  46. Espansione di Taylor: teoria, esempi e applicazioni pratiche
  47. Polinomi di Taylor nei limiti: istruzioni per l’uso
  48. Integrali definiti e indefiniti
  49. Teorema fondamentale del calcolo integrale (approfondimento)
  50. Integrali ricorsivi
  51. Formule del trapezio, rettangolo e Cavalieri-Simpson
  52. Teoria sugli integrali impropri
  53. Funzioni integrali – Teoria
  54. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di ingegneria — versione semplificata)
  55. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di matematica o fisica)
  56. Serie numeriche: la guida completa
  57. Successioni di funzioni – Teoria
  58. Teoremi sulle successioni di funzioni
    1. 58a. Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme
    2. 58b. Limite uniforme di funzioni continue
    3. 58c. Passaggio al limite sotto il segno di integrale
    4. 58d. Limite uniforme di funzioni derivabili
    5. 58e. Piccolo teorema del Dini
    6. 58f. Procedura diagonale e teorema di Ascoli-Arzela
  59. Serie di funzioni – Teoria
  60. Serie di potenze – Teoria
  61. Serie di Fourier – Teoria e applicazioni
  62. Integrali multipli — Parte 1 (teoria)
  63. Integrali multipli — Parte 2 (teoria e esercizi misti)
  64. Regola della Catena — Teoria ed esempi.
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  67. Operatore di Laplace o Laplaciano
  68. Teoria equazioni differenziali
  69. Equazione di Eulero
  70. Teoria ed esercizi sulla funzione Gamma di Eulero
  71. Teoria ed esercizi sulla funzione Beta
  72. Approfondimento numeri complessi
  73. Diverse formulazioni dell’assioma di completezza
  74. Numeri di Delannoy centrali
  75. Esercizi avanzati analisi

 
 

Tutte le cartelle di Analisi Matematica

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    7. Logica elementare
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    7. Esercizi teorici nel calcolo differenziale
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  6. Teoremi del calcolo differenziale
    1. Teoria sui Teoremi del calcolo differenziale
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    5. Teorema di De L’Hôpital
  7. Calcolo integrale
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    2. Integrali immediati
    3. Integrale di funzione composta
    4. Integrali per sostituzione
    5. Integrali per parti
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    1. Teoria Integrali impropri
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    1. Teoria Trasformata di Fourier
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    15. Teorema del Dini
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    5. Teorema di inversione di Lagrange
    6. Teorema dei Residui
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    9. Continuazione analitica e topologia
    10. Teoremi di rigidità di funzioni olomorfe
    11. Trasformata di Mellin
  23. Equazioni alle derivate parziali
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    4. Sistemi di PDE
  24. Funzioni speciali
    1. Funzione Gamma di Eulero
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    4. Funzioni di Bessel
    5. Funzione zeta di Riemann e funzioni L di Dirichlet
    6. Funzione polilogaritmo
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  25. Analisi funzionale
    1. Misura e integrale di Lebesgue
    2. Spazi Lp,teoremi di completezza e compattezza
    3. Spazi di Hilbert,serie e trasformata di Fourier
    4. Teoria e pratica dei polinomi ortogonali
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    1. Curiosità e approfondimenti
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    3. Esercizi avanzati analisi
  27. Funzioni Convesse

 
 

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


Algebra lineare.


Geometria analitica.


Geometria differenziale.


 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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