Funzioni goniometriche: la guida essenziale

Funzioni elementari, Ripasso di Goniometria e Trigonometria – Formule ed esercizi risolti, Teoria sulle Funzioni: Concetti Fondamentali e Proprietà

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Benvenuti alla nostra guida essenziale sul mondo delle funzioni goniometriche e delle loro inverse! Questo articolo è il punto di partenza perfetto per chiunque desideri una comprensione chiara e diretta delle basi della goniometria. Concentrandoci sulle rappresentazioni grafiche e sulle intuizioni visive, ti offriamo una panoramica coinvolgente e facilmente comprensibile delle funzioni seno, coseno, tangente e cotangente, e delle loro controparti inverse. Se stai cercando un approccio semplificato, ma efficace, per navigare attraverso questi concetti fondamentali della matematica, sei nel posto giusto!

Sommario

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Questo articolo è una guida concisa sulle definizioni e le proprietà fondamentali delle funzioni goniometriche e delle loro funzioni inverse, che vengono presentate enfatizzando le spiegazioni intuitive e le rappresentazioni grafiche che sostengono la teoria.

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi.

Revisori: Valerio Brunetti, Sara Sottile.

Notazioni

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$\mathbb{Z}$	Insieme dei numeri interi relativi;
$\mathbb{R}$	Insieme dei numeri reali;
$f \colon A \to B$	Funzione dall’insieme $A$ all’insieme $B$ ;
$\operatorname{Im} f$	Immagine della funzione $f$ ;
$\lim_{t \to t_0}$	Limite della funzione $f$ nel punto $t_0$ .

$\,$

$\quad$

Introduzione

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Le funzioni goniometriche derivano dalle relazioni tra le misure degli angoli e le lunghezze dei segmenti a essi correlati; la goniometria si dedica infatti allo studio di queste relazioni e alla loro applicazione nella risoluzione di problemi geometrici. Questo testo mira a fornire un riassunto delle definizioni e proprietà di tali funzioni, con un focus sulle spiegazioni grafiche, talvolta tralasciando dimostrazioni formali a favore di intuizioni visive.

Il contenuto è suddiviso in due parti principali:

Nella sezione 1, si introduce la circonferenza goniometrica e la misura in radianti degli angoli e si presentano le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente. Tali funzioni associano a un arco alcune quantità geometriche a esso associate.
Nella sezione 2, osserviamo che opportune restrizioni delle suddette funzioni sono invertibili; le loro inverse, dette arcoseno, arcoseno, arcotangente e arcocotangente, associano alle quantità geometriche sopra definite l’arco da cui esse derivano.

Funzioni goniometriche

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La goniometria studia oggetti definiti sulla circonferenza goniometrica, ovvero la circonferenza di centro l’origine e raggio $1$ nel piano cartesiano, rappresentata in figura 1.

funzioni goniometriche

Figura 1: circonferenza goniometrica e corrispondenza biunivoca tra archi e angoli al centro.

Dato un numero reale $t$ , l’arco orientato $AP(t)$ è l’arco di lunghezza $t$ ottenuto percorrendo la circonferenza goniometrica dal punto $A=(1,0)$ in senso antiorario se $t>0$ e orario se $t<0$ . Ciò determina una corrispondenza biunivoca tra la misura dell’arco orientato $AP(t)$ e l’angolo al centro $\theta$ di cui si è ruotato il segmento $OA$ per ottenere il segmento $OP(t)$ .

In virtù di tale corrispondenza, un angolo è identificato con la lunghezza orientata dell’arco corrispondente sulla circonferenza goniometrica, che viene detta misura in radianti dell’angolo.

La posizione del punto $P(t)$ sulla circonferenza goniometrica genera altre quantità geometriche, che sono funzioni dell’arco $t$ e sono note come funzioni goniometriche.

Funzioni coseno e seno.

Figura 2: funzioni coseno e seno dell’arco $t$ , pari rispettivamente all’ascissa e all’ordinata del punto $P(t)$ determinato, sulla circonferenza goniometrica, dall’arco $t$ .

Consideriamo l’arco $t$ rappresentato in figura 2 e consideriamo il punto $P(t)$ individuato dall’estremo mobile dell’angolo. Le sue coordinate cartesiane definiscono le funzioni coseno e seno di $t$ , cioè

$\boxcolorato{analisi}{\begin{cases} \cos t \coloneqq P_x(t) \\[6pt] \sin t \coloneqq P_y(t). \end{cases}}$

Poiché il triangolo $OHP$ è rettangolo in $H$ e le lunghezze dei segmenti $OH$ e $PH$ sono pari rispettivamente a $|\cos t|$ e $|\sin t|$ , per il teorema di Pitagora si ottiene la relazione fondamentale:

$\big(\overline{OH}\big)^2 + \big(\overline{PH}\big)^2 = \big(\overline{OP}\big)^2 = 1$

da cui

(1) $\begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{\cos^2 t + \sin^2 t = 1 \qquad \forall t \in \mathbb{R}.}\end{equation*}$

Tale relazione è una scrittura dell’equazione della circonferenza di centro l’origine e raggio unitario.

Le funzioni reali $\cos$ e $\sin$ che a ogni arco $t \in \mathbb{R}$ associano il suo coseno e il suo seno hanno come dominio l’insieme $\mathbb{R}$ dei numeri reali:

$\boxcolorato{analisi}{\cos \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},}$

$\boxcolorato{analisi}{\sin \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}.}$

L’argomento $t$ delle funzioni seno e coseno può essere dunque ogni numero reale; in altri termini risultano ben definiti coseno e seno di qualunque arco sulla circonferenza goniometrica.

Il punto $P(t)$ appartiene alla circonferenza goniometrica, il che implica che le sue coordinate cartesiane appartengono all’intervallo $[-1, 1]$ . Inoltre, per ogni valore $x_0$ nell’intervallo $[-1, 1]$ , esiste un corrispondente $t \in \mathbb{R}$ tale che $\cos t = x_0$ . Un tale $t$ può essere ottenuto dall’intersezione tra circonferenza goniometrica con la retta di equazione $x = x_0$ , come mostrato nella parte sinistra della figura 3. Pertanto, l’immagine della funzione coseno coincide con $[-1,1]$ :

$\boxcolorato{analisi}{\operatorname{Im} \cos = [-1,1].}$

In altre parole, la funzione coseno assume ogni valore tra $-1$ e $1$ .

funzioni goniometriche

Figura 3: le immagini della funzione coseno (a sinistra) e della funzione seno (a destra) sono pari a $[-1,1]$ .

Analogamente, per ogni $y_0 \in [-1,1]$ , esiste $t \in \mathbb{R}$ tale che $\sin t=y_0$ , figura 3 a destra. Quindi

$\boxcolorato{analisi}{\operatorname{Im} \sin = [-1,1].}$

Anche la funzione seno assume ogni valore compreso tra $-1$ e $1$ . In particolare, il seno e il coseno sono funzioni limitate.

Dato $t \in \mathbb{R}$ , aggiungere multipli interi di $2\pi$ equivale a compiere giri completi sulla circonferenza goniometrica e tale processo non altera le coordinate del punto $P(t)$ . Conseguentemente

$\boxcolorato{analisi}{\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \quad \sin(t + 2k\pi) = \sin t \qquad \forall t \in \mathbb{R},\,\,\forall k \in \mathbb{Z}.}$

Le funzioni $\cos$ e $\sin$ sono dunque periodiche di periodo minimo $T=2\pi$ , si veda [3, Definizione 2.53].

I loro grafici sono rappresentati in figura 4.

Figura 4: grafici delle funzioni $\cos$ e $\sin$ , in cui si nota la loro periodicità.

Dai grafici si vede che il coseno è una funzione pari, mentre il seno è una funzione dispari,¹ cioè

$\boxcolorato{analisi}{\cos(-t) = \cos t \quad \sin(-t) = - \sin t \qquad \forall t \in \mathbb{R}.}$

Inoltre vale

$\boxcolorato{analisi}{\sin(t) = \cos \left (t - \frac{\pi}{2} \right ), \quad \cos(t) = \sin \left (t + \frac{\pi}{2} \right ) \qquad \forall t \in \mathbb{R}.}$

Come tutte le funzioni periodiche non costanti, si ha che i limiti

(2) $\begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{\lim_{t \to +\infty} \cos t \quad \text{e} \quad \lim_{t \to +\infty} \sin t \qquad \text{non esistono.}}\end{equation*}$

Ciò può essere mostrato rigorosamente mediante la definizione [1, Esercizio 10] oppure utilizzando il teorema ponte [2, Esempio 3.4], che lega limiti di funzioni e limiti di successioni.

$\[\]$

per approfondimenti sulle simmetrie delle funzioni, si veda [3, sezione 2.3] ↩

Funzione tangente.

Consideriamo la retta di equazione $x=1$ , tangente alla circonferenza goniometrica nel punto $A=(1,0)$ . Definiamo la tangente di un arco $t$ l’ordinata dell’intersezione $Q(t)$ tra la retta di equazione $x=1$ e la retta passante per i punti $O$ e $P(t)$ , come illustrato in figura 5

$\boxcolorato{analisi}{\tan t \coloneqq Q_y(t).}$

funzioni goniometriche

Figura 5: funzione tangente di $t$ , definita dall’ordinata del punto $Q(t)$ , ottenuto dall’intersezione tra la retta $OP(t)$ e la retta di equazione $x=1$ .

Se $P(t)=(0,\pm 1)$ , la retta $OP(t)$ coincide con l’asse $y$ , che è parallelo alla retta di equazione $x=1$ , come illustrato in figura 6, e quindi queste due rette non si intersecano. Dunque la tangente non è definita per gli archi

(3) $\begin{equation*} \dots -\frac{5}{2}\pi, \,\, -\frac{3}{2} \pi, \,\, -\frac{\pi}{2}, \,\, \frac{\pi}{2}, \,\, \frac{3}{2}\pi, \,\, \frac{5}{2}\pi, \dots \end{equation*}$

ovvero gli archi del tipo $\frac{\pi}{2} +k\pi$ , dove $k$ è un intero relativo.

funzioni goniometriche

Figura 6: se $P(t)=(0,\pm 1)$ le rette $OP(t)$ e $x=1$ non si intersecano e la tangente non è definita. Ciò corrisponde agli archi $\frac{\pi}{2} + k\pi$ con $k$ intero relativo.

La funzione tangente è la funzione che, a ogni $t \in \mathbb{R} \setminus \left \{\frac{\pi}{2} + k\pi \colon k \in \mathbb{Z} \right \}$ , associa la sua tangente:

$\boxcolorato{analisi}{\tan \colon \mathbb{R} \setminus \left \{\frac{\pi}{2} + k\pi \colon k \in \mathbb{Z} \right \} \to \mathbb{R}.}$

I triangoli rettangoli $OHP(t)$ e $OAQ(t)$ hanno l’angolo in $O$ in comune, dunque i loro 3 angoli sono congruenti e, per il primo criterio di similitudine, tali triangoli sono simili. Da ciò segue

$\dfrac{\overline{AQ(t)}}{\overline{OA}} = \dfrac{\overline{HP(t)}}{\overline{OH}}.$

Quindi

(4) $\begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{\tan t = \dfrac{\sin t}{\cos t}.}\end{equation*}$

Notiamo che questa espressione è definita solo se $\cos t \neq 0$ : ciò è coerente col dominio della tangente ottenuto sopra e infatti (4) è utilizzabile come definizione della tangente.

Come illustrato in figura 7, ogni punto $Q=(1,y_0)$ sulla retta $x=1$ può essere ottenuto come intersezione con una retta $OP$ , quindi la tangente assume ogni valore $y_0$ reale:

$\boxcolorato{analisi}{\operatorname{Im} \tan = \mathbb{R}.}$

Figura 7: immagine della funzione tangente; ogni $y_0 \in \mathbb{R}$ è ordinata di un punto $Q=(1,y_0)$ sulla retta $x=1$ e la retta $OQ$ interseca la circonferenza goniometrica in un punto $P$ corrispondente a un arco $t$ .

Il grafico della tangente è rappresentato in figura 8.

Figura 8: grafico della funzione $\tan$ .

In quanto rapporto di una funzione dispari e una pari, la tangente è una funzione dispari, cioè

$\boxcolorato{analisi}{\tan(-t) = \frac{\sin(-t)}{\cos(-t)} = \frac{- \sin t}{\cos t} = -\tan t.}$

Come illustrato in figura 9, le rette $OP(t)$ e $OP(t+\pi)$ coincidono, la funzione tangente è periodica di periodo $T=\pi$ :

(5) $\begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{ \tan(t + \pi) = \tan t \qquad \forall t \in \mathbb{R} \setminus \left \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \colon k \in \mathbb{Z} \right \}}\end{equation*}$

Figura 9: la tangente è periodica di periodo $\pi$ in quanto le rette $OP(t)$ e $OP(t+\pi)$ coincidono.

Come ogni funzione periodica non costante, essa non possiede limite all’infinito:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{t \to \pm \infty} \tan t \qquad \text{non esiste.}}$

Dalla definizione e dal grafico è inoltre evidente che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{t \to \left (-\frac{\pi}{2}\right )^+} \tan t = -\infty,}$

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{t \to \left (\frac{\pi}{2}\right )^-} \tan t = +\infty.}$

Come il lettore può facilmente verificare, tali limiti sono validi in ogni punto $\frac{\pi}{2}+k\pi$ con $k \in \mathbb{Z}$ .

Funzione cotangente.

La definizione della cotangente è simile a quella della tangente, ma si riferisce alle intersezioni con la retta orizzontale di equazione $y=1$ . Definiamo la cotangente di un arco $t$ come l’ascissa del punto di intersezione $R(t)$ tra la retta orizzontale $y=1$ e la retta $OP(t)$ , come mostrato nella figura 10.

$\boxcolorato{analisi}{\cot t \coloneqq R_x(t)}$

Figura 10: funzione cotangente di $t$ , definita dall’ascissa del punto $R(t)$ .

Se $P(t)=(\pm 1,0)$ , allora la retta $OP(t)$ corrisponde all’asse $x$ ed è quindi parallela alla retta di equazione $y=1$ ; pertanto tali rette non si intersecano e la cotangente non è dunque definita. Ciò avviene per gli archi di circonferenza

(6) $\begin{equation*} \dots, -2\pi, - \pi, 0, \pi, 2\pi, \dots \end{equation*}$

ovvero per gli archi del tipo $k\pi$ con $k \in \mathbb{Z}$ , come mostrato in figura 11.

Figura 11: se $P(t)=(\pm 1,0)$ le rette $OP(t)$ e $y=1$ non si intersecano e la cotangente non è definita. Ciò corrisponde agli archi $k\pi$ con $k$ intero relativo.

La funzione

$\boxcolorato{analisi}{\cot \colon \mathbb{R} \setminus \left \{ k\pi \colon k \in \mathbb{Z} \right \} \to \mathbb{R}}$

che associa a ogni $t \in \mathbb{R} \setminus \left \{ k\pi \colon k \in \mathbb{Z} \right \}$ la sua cotangente è detta funzione cotangente, il cui grafico è rappresentato in figura 12.

Figura 12: grafico della funzione $\cot$ .

Dato che i triangoli rettangoli $OKP(t)$ e $OBR(t)$ nella figura 10 possiedono l’angolo in $O$ in comune e sono pertanto simili per il primo criterio di similitudine, si ha

$\dfrac{\overline{BQ(t)}}{\overline{OB}} = \dfrac{\overline{KP(t)}}{\overline{OK}}.$

Pertanto

(7) $\begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{\cot t = \dfrac{\cos t}{\sin t} = \frac{1}{\tan t}.}\end{equation*}$

La relazione (7) implica in particolare che anche la funzione cotangente è dispari, infatti:

(8) $\begin{equation*} %\tcbhighmath[colback=tau, colframe=white]{ \cot(-t) = %} \frac{1}{\tan(-t)} = - \frac{1}{\tan t} = %\tcbhighmath[colback=tau, colframe=white]{ - \cot t %} \end{equation*}$

Come illustrato in figura 13, per ogni $x_0 \in \mathbb{R}$ il punto $R=(x_0,1)$ è l’intersezione tra la retta $y=1$ e una retta $OP$ , dunque anche l’immagine della cotangente è l’insieme $\mathbb{R}$ :

$\boxcolorato{analisi}{\operatorname{Im} \cot = \mathbb{R}.}$

Figura 13: dato che ogni punto $R=(x_0,1)$ è intersezione della retta $y=1$ e di una retta $OP$ corrispondente a un arco $t$ , l’immagine della cotangente è $\mathbb{R}$ .

Dal grafico della cotangente in figura 12 e dalla definizione, si ha

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{t \to 0^+} \cot t = +\infty,}$

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{t \to \pi^-} \cot t = -\infty.}$

I medesimi limiti sono validi per $t\to (k\pi)^{\pm}$ con $k \in \mathbb{Z}$ .

Figura 14: la cotangente è periodica di periodo $\pi$ dato che le rette $OP(t)$ e $OP(t+\pi)$ coincidono.

Rimane valida l’osservazione, mostrata in figura 14, che le rette $OP(t)$ e $OP(t+\pi)$ coincidono, dunque la cotangente è periodica di periodo $T=\pi$ :

$\boxcolorato{analisi}{\cot(t+\pi) = \cot(t) \qquad \forall t \in \mathbb{R} \setminus \{k\pi \colon k \in \mathbb{Z}\}.}$

Essendo periodica e non costante, la funzione cotangente non possiede limite all’infinito:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{t \to \pm \infty} \cot t \qquad \text{non esiste.}}$

Si ha infine

$\boxcolorato{analisi}{\cot t = \dfrac{\cos t}{\sin t} {=} \dfrac{\sin\left (t+\frac{\pi}{2}\right )}{\cos\left (t-\frac{\pi}{2}\right )} \overset{}{=} \dfrac{-\sin\left (t-\frac{\pi}{2}\right )}{\cos\left (t-\frac{\pi}{2}\right )} = - \tan \left (t- \frac{\pi}{2}\right ),}$

dove nella prima uguaglianza abbiamo usato (2) e nella terza uguaglianza abbiamo usato che $\sin(\tau + \pi)=-\sin \tau$ .

Funzioni trigonometriche inverse

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Se ristrette ad opportuni intervalli, le funzioni goniometriche presentate sopra sono biunivoche, quindi possiedono delle inverse.

Funzione arcocoseno.

Come si vede dalla figura 4, la restrizione della funzione $\cos$ all’intervallo $[0,\pi ]$ è strettamente decrescente e quindi è iniettiva. L’immagine di tale restrizione è $[-1,1]$ e quindi la funzione

(9) $\begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{\begin{split} &f \colon \left [0,\pi\right ] \to [-1,1] \\ & f(t) = \cos t \end{split} \qquad \text{è invertibile.}}\end{equation*}$

Cioè, per ogni $x_0 \in [-1,1]$ , esiste un unico $t \in \left [0,\pi\right ]$ tale che $\cos t=x_0$ , come si evince dalla figura 15. Questo $t$ è detto arcocoseno di $x_0$ :

$\boxcolorato{analisi}{t = \arccos x_0 = \cos^{-1} x_0. }$

Figura 15: l’arcocoseno di un numero reale $x_0 \in [-1,1]$ è l’unico arco $t \in \left [0,\pi \right ]$ tale che $\cos t=x_0$ .

La funzione inversa di $f$ , che a ogni $x \in [-1,1]$ associa il suo arcocoseno, è detta appunto funzione arcocoseno:

(10) $\begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{\begin{split} &f^{-1} \colon [-1,1] \to \left [0,\pi\right ] \\ & f^{-1}(x) = \arccos x. \end{split}}\end{equation*}$

In altre parole:

l’arcocoseno è l’inversa della funzione $f$ in (10), ossia della restrizione della funzione $\cos$ all’intervallo $\left [0,\pi\right ]$ e il cui codominio è ristretto a [-1,1].

Il grafico della funzione $\arccos$ si ottiene invertendo gli assi nella porzione di grafico della funzione $\cos$ nell’intervallo $\left [0,\pi\right ]$ , ed è rappresentato in figura 16.

Figura 16: grafico della funzione $\arccos$ .

Rimarchiamo che, per definizione, l’argomento dell’arcocoseno deve essere compreso tra $-1$ e $1$ , dunque una scrittura del tipo $\arccos 2$ è priva di significato (il coseno di nessun arco è 2). Inoltre, l’arcocoseno assume valori compresi tra $0$ e $\pi$ ; in particolare, la funzione è sempre positiva.

La funzione $\arccos$ è decrescente in quanto inversa di una funzione decrescente; inoltre essa non è periodica, ad esempio perché il suo dominio non è $\mathbb{R}$ , oppure dato che essa è invertibile poiché inversa di un’altra funzione, mentre le funzioni periodiche non sono iniettive.

Funzione arcoseno.

Dalla definizione, la restrizione della funzione $\sin$ all’intervallo $\left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ]$ è strettamente crescente e quindi è iniettiva. Allo stesso modo in cui si vede che $\operatorname{Im}\sin=[-1,1]$ , si mostra anche l’immagine di tale restrizione è $[-1,1]$ . Quindi la funzione

(11) $\begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{\begin{split} &f \colon \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] \to [-1,1] \\ & f(t) = \sin t %\colon t \in \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] \mapsto \sin t \in [-1,1] \end{split} \qquad \text{è invertibile.}}\end{equation*}$

In altre parole, dato $y_0 \in [-1,1]$ , esiste un unico $t \in \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ]$ tale che $\sin t=y_0$ , come mostrato in figura 17. Questo $t$ è detto arcoseno di $y_0$ :

$\boxcolorato{analisi}{t = \arcsin y_0 = \sin^{-1} y_0.}$

Figura 17: l’arcoseno di un numero reale $y_0$ compreso tra $-1$ e $1$ è l’unico arco $t \in \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ]$ tale che $\sin t=y_0$ .

La funzione $f^{-1}$ , che a ogni $y \in [-1,1]$ associa il suo arcoseno, è detta appunto funzione arcoseno:

(12) $\begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{\begin{split} & f^{-1} \colon [-1,1] \to \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] \\ & f^{-1}(y)= \arcsin y. \end{split} }\end{equation*}$

In altre parole:

l’arcoseno è l’inversa della funzione $f$ in (11), ossia della restrizione della funzione $\sin$ all’intervallo $\left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ]$ e il cui codominio è ristretto a [-1,1].

Il suo grafico si ottiene invertendo gli assi nella porzione di grafico della funzione $\sin$ nell’intervallo $\left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ]$ , ed è rappresentato in figura 18.

Figura 18: grafico della funzione $\arcsin$ .

Anche in questo caso sottolineiamo che, dalla definizione, è chiaro che l’argomento dell’arcoseno deve essere compreso tra $-1$ e $1$ e che i valori assunti dall’arcoseno sono compresi tra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$ .

La funzione $\arcsin$ è dispari, è crescente in quanto inversa di una funzione crescente e non è periodica per gli stessi motivi della funzione $\arccos$ .

Funzione arcotangente.

Come si vede dalla figura 8, la restrizione della funzione $\tan$ all’intervallo $\left (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right )$ è strettamente crescente e quindi è iniettiva. Abbiamo già visto che l’immagine di tale restrizione è $\mathbb{R}$ e quindi la funzione

(13) $\begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{\begin{split} & f \colon \left (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ) \to \mathbb{R} \\ & f(t) = \tan t \end{split} \qquad \text{è invertibile.}}\end{equation*}$

Cioè, per ogni $y_0 \in \mathbb{R}$ , esiste un unico $t \in \left (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right )$ tale che $\tan t=y_0$ , come si evince dalla figura 19. Questo $t$ è detto arcotangente di $y_0$ :

$\boxcolorato{analisi}{t = \arctan y_0 = \tan^{-1} y_0.}$

Figura 19: l’arcotangente di un numero reale $y_0 \in \mathbb{R}$ è l’unico arco di circonferenza $t \in \left (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right )$ tale che $\tan t=y_0$ .

La funzione $f^{-1}$ , che a ogni $x \in \mathbb{R}$ associa la sua arcotangente, è detta appunto funzione arcotangente:

(14) $\begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{\begin{split} &f^{-1} \colon \mathbb{R} \to \left (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ) \\ & f^{-1}(y) = \arctan y. \end{split}}\end{equation*}$

Si può dire che

l’arcotangente è l’inversa della funzione $f$ in (13), cioè della restrizione della funzione $\tan$ all’intervallo $\left (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ).$

Il grafico della funzione $\arctan$ si ottiene invertendo gli assi nella porzione di grafico della funzione $\tan$ nell’intervallo $\left (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right )$ , ed è rappresentato in figura 20.

Figura 20: grafico della funzione $\arctan$ .

Si può vedere, dai segni della funzione tangente, che

$\boxcolorato{analisi}{\arctan y \, \begin{cases} \geq 0 & \text{se } y \in [0,+\infty) \\[6pt] <0 & \text{se } y \in (-\infty,0). \end{cases}}$

Ciò prova in particolare che la funzione $\arctan$ non è periodica; tale conclusione si poteva ottenere anche in quanto essa è invertibile, poiché è a sua volta inversa di una funzione.

La funzione $\arctan$ è dispari ed è strettamente crescente in quanto inversa di una funzione crescente; inoltre si vede che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{y \to - \infty} \arctan y = -\frac{\pi}{2},}$

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{y \to + \infty} \arctan y = \frac{\pi}{2}.}$

Fissato $x>0$ , i triangoli rettangoli $OAQ$ e $RBO$ in figura 21 sono simili; dunque

(15) $\begin{equation*} \dfrac{\overline{AQ}}{\overline{OA}} = \dfrac{\overline{OB}}{\overline{RB}} \quad \implies \quad \overline{AQ} = \frac{1}{x} \end{equation*}$

e, dato che $\arctan \left (\overline{AQ} \right ) + \arctan \left ( \overline{BR} \right ) = \frac{\pi}{2}$ , si ottiene la famosa identità

(16) $\begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} \qquad \forall x >0.}\end{equation*}$

Figura 21: fissato $R=(x,1)$ , invertendo gli assi $x$ e $y$ si vede che l’arco $BP$ è l’arcotangente di $x$ . D’altra parte il punto $Q$ , ottenuto dall’intersezione della retta $OR$ con la retta $x=1$ , ha coordinate $\left (1,\frac{1}{x} \right )$ . L’arco $AP$ è dunque l’arcotangente di $\frac{1}{x}$ .

In alternativa, (16) può anche essere dimostrata osservando un triangolo rettangolo i cui cateti misurano $1$ e $x$ , rappresentato in figura 22:

Figura 22: nel triangolo rettangolo $OAB$ , $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$ ; inoltre $\alpha= \arctan \frac{1}{x}$ e $\beta = \arctan x$ .

Come abbiamo visto in (4), vale

(17) $\begin{gather*} \tan \alpha = \frac{\overline{AB}}{\overline{OA}} = \frac{1}{x} \quad \implies \quad \alpha = \arctan \frac{1}{x}, \\[5pt] \tan \beta = \frac{\overline{OA}}{\overline{AB}} = x \quad \implies \quad \beta = \arctan x. \end{gather*}$

Da $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$ , si giunge a (16). Analogamente si può provare che

$\boxcolorato{analisi}{\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} \qquad \forall x <0.}$

Funzione arcocotangente.

Dalla figura 12 è chiaro che la restrizione della funzione $\cot$ all’intervallo $\left (0,\pi\right )$ è strettamente decrescente e quindi è iniettiva. L’immagine di tale restrizione è $\mathbb{R}$ e quindi la funzione

(18) $\begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{\begin{split} & f \colon \left (0,\pi\right ) \to \mathbb{R} \\ & f(t) = \cot t \end{split} \qquad \text{è invertibile.}}\end{equation*}$

Cioè, per ogni $x_0 \in \mathbb{R}$ , esiste un unico $t \in \left (0,\pi\right )$ tale che $\cot t=x_0$ , si veda la figura 23. Questo $t$ è detto arcocotangente di $x_0$ :

$\boxcolorato{analisi}{t = \operatorname{arccot} x_0 = \cot^{-1} x_0.}$

Figura 23: l’arcocotangente di $x_0 \in \mathbb{R}$ è l’unico arco di circonferenza $t \in \left (0,\pi\right )$ tale che $\cot t=x_0$ .

La funzione $f^{-1}$ , che a ogni $x \in \mathbb{R}$ associa la sua arcocotangente è detta funzione arcocotangente:

(19) $\begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{\begin{split} & f^{-1} \colon \mathbb{R} \to (0,\pi) \\ & f^{-1}(x) = \operatorname{arccot} x. \end{split}}\end{equation*}$

Vale quindi:

l’arcocotangente è l’inversa della funzione f in (18), cioè della restrizione della funzione $\cot$ all’intervallo $\left (0,\pi \right ).$

Il grafico della funzione $\operatorname{arccot}$ si ottiene, come le altre funzioni inverse, invertendo gli assi nella porzione di grafico della funzione $\cot$ nell’intervallo $\left (0,\pi\right )$ , ed è rappresentato in figura 24.

Figura 24: grafico della funzione $\operatorname{arccot}$ .

La funzione $\operatorname{arccot}$ non è periodica per gli stessi motivi della funzione $\arctan$ . Dalla definizione e dal grafico segue

$\boxcolorato{analisi}{\operatorname{arccot} x \geq 0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}}$

e inoltre

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to - \infty} \operatorname{arccot} x = \pi,}$

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to + \infty} \operatorname{arccot} x = 0.}$

Dalla figura 25 si ottiene la relazione

(20) $\begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} -\arctan x \qquad \forall x \in \mathbb{R}.}\end{equation*}$

Figura 25: l’arco $AP$ è l’arcocotangente di $x$ ; nella figura a destra, invece, invertendo gli assi $x$ e $y$ , si vede che l’arco $BP$ è l’arcotangente di $x$ . Dato che $AB= \frac{\pi}{2}$ , si ottiene $\arctan x + \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2}$ .

Se $x >0$ , si ha

(21) $\begin{equation*} \frac{1}{x} = \dfrac{1}{\cot \left ( \operatorname{arccot} x \right )} = \tan \left ( \operatorname{arccot} x \right ) \quad \overset{\operatorname{arccot} x \in \left (0, \frac{\pi}{2} \right )}{\implies} \quad \arctan \frac{1}{x} = \operatorname{arccot} x. \end{equation*}$

Inserendo in (20), si ottiene un’altra dimostrazione di (16).

Riferimenti bibliografici

[1] Qui Si Risolve, Esercizi sulla verifica dei limiti.

[2] Qui Si Risolve, Funzioni continue.

[3] Qui Si Risolve, Funzioni continue.

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