Teoria sui numeri numeri complessi per ingegneria

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I numeri complessi sono di importanza fondamentale per le scienze applicate, nonostante essi traggano la loro origine da problemi e tecniche teoriche.

In questa dispensa introduciamo l’argomento in maniera essenziale, concentrandoci sugli aspetti fondamentali e tralasciando le questioni teoriche più articolate. Ciò garantisce un approccio diretto e veloce per chi desidera entrare in contatto con questo mondo nella maniera più diretta, rimandando al Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di matematica o fisica) per una trattazione più dettagliata. Il testo risulta quindi particolarmente indicato per studenti della Scuola secondaria e dei corsi di Laurea in Ingegneria. I temi trattati sono i seguenti:

Definizione dei numeri complessi e operazioni tra di essi;
Forma cartesiana, polare ed esponenziale dei numeri complessi e loro relazioni;
Formule per il calcolo di prodotto, potenze e radici dei numeri complessi in coordinate polari;
Esponenziale complesso e sue proprietà;
Teorema fondamentale dell’algebra e sue applicazioni.

Immergiti dunque nella lettura di questa dispensa semplice ma completa sui numeri complessi e scopri le intuizioni soggiacenti e le applicazioni che ne derivano!

Autori e revisori

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Autore: Francesco Paolo Maiale

Revisori: Valerio Brunetti, Nicola Fusco, Matteo Talluri, Davide La Manna.

Sommario

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Nella prima sezione di questo documento, esploriamo i numeri complessi, esaminando in dettaglio le loro proprietà essenziali. Ci concentriamo specificamente sulla rappresentazione in forma cartesiana, trigonometrica e sulle radici n-esime.

Successivamente, nella seconda sezione, ampliamo il nostro studio alla funzione esponenziale applicata ai numeri complessi. Approfondiamo alcune delle sue proprietà fondamentali, che ci permettono di comprendere la rappresentazione esponenziale (o polare) dei numeri complessi.

Nella terza parte vediamo delle applicazioni della teoria sviluppata, in particolare il Teorema Fondamentale dell’Algebra (la cui dimostrazione si trova in appendice) e la formula di Cardano.

Numeri complessi

Introduzione.

Nei numeri reali $\mathbb{R}$ , alcune equazioni algebriche, come $x^2 + 1 = 0$ , non hanno soluzioni perché il determinante è negativo. Per superare questo limite, introduciamo l’unità immaginaria $\imath$ , che si basa sulla proprietà:

$\imath^2 = -1.$

Osservazione 1. Grazie a questa definizione di $\imath$ , possiamo riscrivere l’equazione $x^2+1$ come $(x-\imath)(x+\imath)$ . È interessante notare che la scelta di $\imath$ come unità immaginaria, anziché $-\imath$ , è arbitraria, dato che entrambe rappresentano le radici del polinomio $x^2+1$ .

Con questi fondamenti, possiamo ora definire i numeri complessi. Nella prossima sezione, dimostreremo, come specificato nella proposizione 3, che questi numeri costituiscono un campo.

Definizione 2. L’insieme dei numeri complessi è definito come

$\mathbb C := \left\{ z=x + \imath y \: : \: x,y \in \mathbb{R} \right\}.$

Diciamo inoltre che $\mathfrak{Re}(z) := x$ ed $\mathfrak{Im}(z) := y$ sono, rispettivamente, la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso $z$ .

Prima di tutto, è importante capire che finora non abbiamo introdotto alcuna operazione specifica tra gli elementi del set dei numeri complessi, $\mathbb{C}$ . Un numero complesso è generalmente rappresentato come

$z = x + \imath y,$

dove $x$ e $y$ sono numeri reali, e $\imath$ è l’unità immaginaria. È cruciale notare che il simbolo $+$ in questa espressione non rappresenta la normale addizione dei numeri reali, poiché $\imath y$ non è un numero reale.

Ora, vogliamo definire operazioni di somma e prodotto in $\mathbb{C}$ . Ad esempio, si possono definire a partire dalle operazioni tra numeri reali riferendosi a parte reale e immaginaria:

(1) $\begin{equation*}\begin{aligned} & z_1 + z_2 = (x_1 + \imath y_1) + (x_2 + \imath y_2) := (x_1 + x_2) + \imath (y_1 + y_2), \\ & z_1 z_2 = (x_1 + \imath y_1) \cdot (x_2 + \imath y_2) := (x_1x_2 - y_1y_2) + \imath(x_1y_2 + x_2y_1), \end{aligned}\end{equation*}$

dove le somme e i prodotti tra $x_i$ e $y_i$ sono validi perché sono tutti numeri reali. Successivamente, mostriamo che con queste operazioni, $\mathbb{C}$ soddisfa le proprietà di un campo matematico.

Proposizione 3. L’insieme $\mathbb C$ equipaggiato con le operazioni di somma e prodotto (1) è un campo che contiene ed è compatibile¹ con $\mathbb R$ .

Dimostrazione. Cominciamo osservando che, insiemisticamente, possiamo identificare $\mathbb{R}$ come un sottoinsieme di $\mathbb{C}$ tramite la mappatura

$\mathbb{R} \ni x \mapsto x + 0\imath \in \mathbb{C}.$

Per dimostrare che $\mathbb{C}$ è un campo con le operazioni in (1), consideriamo le seguenti proprietà, lasciandone la verifica al lettore:

Associatività di somma e prodotto:
$z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_3, \quad z_1(z_2z_3)=(z_1z_2)z_3,$

per ogni $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$ .

Commutatività di somma e prodotto:
$z_1+z_2=z_2+z_1, \quad z_1z_2=z_2z_1,$

per ogni $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ .

Esistenza dell’elemento neutro per somma e prodotto:
$z + 0 = z, \quad z \cdot 1 = z,$

con $0 = 0 + 0\imath$ e $1 = 1 + 0\imath$ , per ogni $z \in \mathbb{C}$ .

Esistenza dell’inverso additivo:
$z + (-z) = 0,$

per ogni $z \in \mathbb{C}$ .

Esistenza dell’inverso moltiplicativo:
$zz^{-1} = 1,$

per ogni $z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$ .

Distributività del prodotto rispetto all’addizione:
$z_1(z_2+z_3) = z_1z_2 + z_1z_3,$

per ogni $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$ .

La parte più delicata è dimostrare l’esistenza di un inverso moltiplicativo per $z = x + \imath y \neq 0$ . Il claim è il seguente: l’inverso moltiplicativo di $z$ è

$z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} - \frac{y}{x^2+y^2}\imath.$

Per dimostrarlo, è sufficiente verificare che il prodotto fa uno:

$\begin{aligned} z z^{-1} & = (x+\imath y) \left( \frac{x}{x^2+y^2} - \imath \frac{y}{x^2+y^2} \right) \\ & = \frac{x^2}{x^2+y^2} -\imath \frac{xy}{x^2+y^2} + \imath \frac{yx}{x^2+y^2} - \imath^2 \frac{y^2}{x^2+y^2} \\ & = \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2} + \imath \frac{xy - xy}{x^2+y^2}= 1 + \imath 0 = 1. \end{aligned}$

Per verificare che $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ è un’estensione di campi, basta mostrare che le operazioni di somma e prodotto sui reali sono le restrizioni di \eqref{eq.spc}. Infatti,

$x_1 + x_2 = (x_1 + 0\imath) + (x_2 + 0\imath) = x_1 + x_2,$

e analogamente per il prodotto,

$x_1x_2 = (x_1+0\imath)(x_2+0\imath) = x_1x_2,$

per ogni $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ , completando così la dimostrazione.

In particolare, in $\mathbb{C}$ si riscontrano le stesse proprietà algebriche di $\mathbb{R}$ , ma emerge una differenza cruciale riguardo l’ordinamento. Mentre per qualsiasi $x, y \in \mathbb{R}$ vale che

$x \leq y \quad \text{oppure} \quad y \leq x,$

in $\mathbb{C}$ non esiste un ordinamento che sia compatibile con quello di $\mathbb{R}$ . Per esempio, considerando l’unità immaginaria $\imath$ , se si ipotizzasse

$\imath < 0 \quad \text{oppure} \quad \imath > 0,$

si arriverebbe a un controsenso elevando al quadrato entrambe le disuguaglianze:

$-1 = \imath^2 > 0.$

Prima di esplorare la rappresentazione cartesiana dei numeri complessi, è utile fare una considerazione sui polinomi a coefficienti reali di secondo grado.

Osservazione 4. Consideriamo il polinomio $p(x) = x^2 + bx + c$ . Applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, otteniamo

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4c}}{2},$

Notiamo che questi valori sono sempre definiti in $\mathbb{C}$ . Infatti, se il discriminante è negativo, possiamo introdurre l’unità immaginaria per scrivere

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \imath \sqrt{4c - b^2}}{2} \in \mathbb{C}.$

Questo mostra come ogni equazione di secondo grado abbia soluzioni nel campo dei numeri complessi.

Questo implica che in $\mathbb{C}$ , tutte le equazioni di secondo grado sono risolvibili. Tuttavia, per le equazioni di grado superiore, come

$x^n + \sum_{i = 0}^{n-1} a_i x^i = 0 \quad \text{con } n \geq 3 \text{ e } a_j \in \mathbb{R} \text{ per ogni } j,$

non possiamo trarre conclusioni immediate. Nel contesto delle applicazioni, si osserva che in $\mathbb{C}$ ogni polinomio a coefficienti complessi ha almeno una radice, come dimostrato nel Teorema 25.

$\[\]$

Questo significa che se si considera la somma o il prodotto di due numeri reali si ottiene lo stesso risultato in $\mathbb C$ con le regole (1) e in $\mathbb R$ con le regole classiche. ↩

Rappresentazione cartesiana.

L’assegnazione di un numero complesso $z$ equivale all’assegnazione di una coppia ordinata di numeri reali $(x, y)$ . Questo stabilisce una corrispondenza biunivoca naturale tra il campo dei numeri complessi $\mathbb{C}$ e il piano cartesiano $\mathbb{R}^2$ :

$\mathbb{R}^2 \ni (x, y) \mapsto z := x + \imath y \in \mathbb{C}.$

Di conseguenza, i numeri complessi possono essere rappresentati graficamente su un piano cartesiano, noto come piano complesso o piano di Argand-Gauss. In questo piano, l’asse orizzontale è chiamato asse reale e l’asse verticale asse immaginario.

Tale rappresentazione grafica ci fornisce un modo intuitivo per visualizzare l’operazione di somma tra due numeri complessi. La somma può essere interpretata come la costruzione di un parallelogramma nel piano complesso, in cui i vettori rappresentano i numeri complessi da sommare.

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Al contrario, la rappresentazione grafica del prodotto di numeri complessi non trova un corrispettivo diretto nel piano cartesiano $\mathbb{R}^2$ se utilizziamo le coordinate cartesiane $(x, y)$ . Tuttavia, adottando la forma trigonometrica dei numeri complessi, che sarà introdotta in seguito, possiamo visualizzare il prodotto in un sistema di coordinate diverse, ovvero quelle polari.

Definizione 5. Il coniugato di un numero complesso $z = x + \imath y \in \mathbb{C}$ , denotato con il simbolo $\bar{z}$ , è definito come segue:

$\bar{z} := x - \imath y.$

Nella rappresentazione cartesiana, il coniugato di un numero complesso $\bar{z}$ corrisponde al punto simmetrico di $z$ rispetto all’asse reale. Possiamo esprimere le parti reale e immaginaria di $z$ con le seguenti relazioni:

(2) $\begin{equation*} \mathfrak{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2}, \quad \text{e} \quad \mathfrak{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2\imath}, \end{equation*}$

Da queste si deduce che un numero complesso $z$ appartiene a $\mathbb{R}$ se e solo se $z = \bar{z}$ . Ora esploriamo alcune proprietà dell’operazione di coniugazione dei numeri complessi.

Lemma 6. Siano $z, w \in \mathbb{C}$ . Allora valgono le seguenti proprietà:

(a) il coniugio è involutivo, ovvero $\overline{(\bar z)} = z$ ;

(b) $\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}$ ;

(d) $\overline{z/w}=\bar{z}/\bar{w}$ .

Dimostrazione. Sia $z = x + \imath y$ . Allora, il coniugato di $z$ è

$\bar{z} = x - \imath y$

e si può facilmente mostrare che

$\overline{(\bar{z})} = x + \imath y = z,$

dimostrando così la proprietà (a).

Per un altro numero complesso $w = u + \imath v$ , consideriamo la somma e il prodotto di $z$ e $w$ :

$\begin{aligned} z + w &= (x+u) + \imath (y + v) \Rightarrow \overline{z+w} = (x+u) - \imath(y+v) = \bar{z} + \bar{w}, \\ z \cdot w &= (xu - yv) + \imath (xv + yu) \Rightarrow \overline{z\cdot w} = (xu - yv) - \imath (xv + yu) = \bar{z}\cdot \bar{w}, \end{aligned}$

dando luogo alle proprietà (b) e (c).

Infine, per il rapporto, utilizzando la proprietà (c) e la tecnica di razionalizzazione, otteniamo

$\frac{z}{w} = \frac{x+\imath y}{u+\imath v} = \frac{1}{u^2+v^2} (z\cdot w),$

e di conseguenza

$\frac{\bar{z}}{\bar{w}} = \frac{1}{u^2+v^2} (\bar{z} \cdot \bar{w}) \stackrel{(c)}{=} \frac{1}{u^2+v^2}\left( \overline{z \cdot w}\right) = \overline{ \left(\frac{z}{w}\right)},$

completando così la dimostrazione.

Benché, come precedentemente sottolineato, non esista un sistema di ordinamento in $\mathbb{C}$ che sia coerente con le operazioni algebriche, è possibile determinare la “grandezza” di un numero complesso. Questo si fa misurando la sua distanza dall’origine nel piano cartesiano $\mathbb{R}^2$ :

Definizione 7. (Modulo) Sia $z =x+\imath y \in \mathbb{C}$ . Il modulo di $z$ è la quantità reale data da

(3) $\begin{equation*} |z| := \sqrt{ x^2 + y^2 }. \end{equation*}$

Dalla definizione del modulo di un numero complesso, possiamo osservare che il valore assoluto di $z$ , denotato con $|z|$ , pone dei limiti alle sue parti reale e immaginaria. Precisamente, si ha che

$-|z| \leq \mathfrak{Re}(z) \leq |z|,$

e una relazione analoga vale per la parte immaginaria di $z$ . Inoltre, il modulo di un numero complesso possiede le seguenti proprietà importanti:

Lemma 8. Siano $z, w \in \mathbb{C}$ due numeri complessi. Allora valgono le seguenti proprietà:

$({\romannumeral 1})$ $z \bar{z}= |z|^2$ ;

$({\romannumeral 2})$ $|z| \ge 0$ e $|z| = 0$ se e solo se $z = 0$ ;

$({\romannumeral 3})$ $|z|=|\bar{z}|=|-z|$ ;

$({\romannumeral 4})$ $|zw| = |z| |w|$ ;

$({\romannumeral 5})$ vale la disuguaglianza triangolare, ovvero

(4) $\begin{equation*} |z+w| \le |z|+|w|; \end{equation*}$

$({\romannumeral 6})$ $| |z|-|w| | \le |z- w|$ ;

$({\romannumeral 7})$ se $z \neq 0$ , allora $|w/z|=|w|/|z|$ .

Dimostrazione. Le proprietà $({\romannumeral 1})$ – $({\romannumeral 4})$ derivano direttamente dalla definizione del modulo (3). Per dimostrare la disuguaglianza triangolare, consideriamo prima che

$\bar{z} w + z\bar{w} = 2\mathfrak{Re}(z\bar{w}) \le 2 |z \bar{w}| = 2 |z||w|,$

quindi, sviluppando il quadrato di $|z+w|$ , otteniamo

$|z+w|^2 = |z|^2 + |w|^2 + z \bar{w} + \bar{z}w \le |z|^2 + |w|^2 + 2 |z||w| = (|z|+|w|)^2,$

da cui segue la disuguaglianza triangolare.

Per la proprietà $({\romannumeral 6})$ , scriviamo $z$ e $w$ come

$z = w+(z-w) \quad \text{e} \quad w = z+(w-z),$

e applicando la disuguaglianza triangolare otteniamo

$|z| = |w+(z-w)| \le |w| + |z-w| \quad \text{e} \quad |w| = |z+(w-z)| \le |z| + |z-w|.$

Portando $|w|$ e $|z|$ al lato sinistro delle disuguaglianze si ha

$|z|-|w| \le |z-w| \quad \text{e} \quad |w|-|z| \le |z-w| \implies ||z|-|w|| \le |z-w|.$

Infine, per un $z \neq 0$ , è facile verificare che

$\left| \frac{1}{z} \right|^2 = \frac{1}{z} \frac{1}{\bar{z}} = \frac{1}{z\bar{z}} = \frac{1}{|z|^2} \implies \left| \frac{1}{z} \right| = \frac{1}{|z|},$

quindi, scriviamo

$\frac{w}{z} = w \cdot \frac{1}{z},$

e applichiamo la proprietà $({\romannumeral 4})$ per concludere la dimostrazione della proprietà $({\romannumeral 7})$ .

Rappresentazione trigonometrica.

Ogni punto $(x,y)$ nel piano cartesiano $\mathbb{R}^2$ , escluso l’origine $(0,0)$ , può essere univocamente descritto tramite il suo modulo e l’angolo $\vartheta$ che forma con l’asse delle ascisse.

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Per determinare questo angolo, possiamo applicare il Teorema di Pitagora, ottenendo le seguenti relazioni:

$\cos \vartheta = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \quad \text{e} \quad \sin \vartheta = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.$

Dalla relazione del coseno, possiamo calcolare $\vartheta$ . Tuttavia, è importante considerare la periodicità del coseno, che ha periodo $2\pi$ . Pertanto, l’angolo $\vartheta$ può essere espresso come:

(5) $\begin{equation*} \vartheta = \arccos \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \end{equation*}$

Questa caratterizzazione si estende anche ai numeri complessi, grazie alla corrispondenza biunivoca tra $\mathbb{C}$ e $\mathbb{R}^2$ . In questo contesto, è utile introdurre il concetto di argomento principale.

Definizione 9. Sia $z \neq 0$ un numero complesso. L’argomento principale di $z$ , denotato $\text{Arg } z$ , è l’unica soluzione del sistema di equazioni reali

$\begin{cases} \cos \left(\operatorname{Arg} z\right) = \dfrac{\mathfrak{Re}(z)}{|z|}\\\\ \sin \left(\operatorname{Arg} z\right) = \dfrac{\mathfrak{Im}(z)}{|z|}, \end{cases} \quad \text{con } \text{Arg }z \in [-\pi,\pi).$

Osservazione 10. La scelta di definire $\text{Arg }z$ come l’unica soluzione dell’equazione che appartiene all’intervallo $[-\pi,\pi)$ è completamente arbitraria e può essere sostituita con un qualsiasi intervallo di ampiezza $2\pi$ .

Osservazione 11. È possibile definire una funzione che associa ad ogni $z \neq 0$ l’insieme delle (infinitamente molte) soluzioni dell’equazione, come segue:

$\arg z := \left\{ \text{Arg }z + 2k\pi \: : \: k \in \mathbb{Z} \right\}.$

Per ulteriori dettagli sulle funzioni a valori multipli, l’argomento e il logaritmo complesso, si può fare riferimento all’Appendice (che è comunque opzionale per il resto del documento e per gli esercizi).

Definizione 12. La forma trigonometrica di un numero complesso $z \neq 0$ è data dalla seguente scrittura

(6) $\begin{equation*} z = \rho (\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta), \end{equation*}$

dove $\rho=|z|$ è il modulo e $\vartheta=\text{Arg }z$ l’angolo con l’asse delle ascisse.

È possibile effettuare agevolmente la transizione tra la rappresentazione cartesiana e la rappresentazione trigonometrica (6) utilizzando le seguenti trasformazioni:

$\begin{cases} x = \rho \cos \vartheta \\ y = \rho \sin \vartheta \end{cases} \quad \text{e} \quad \begin{cases} \rho = \sqrt{x^2+y^2} \\ \cos \vartheta = \frac{x}{\rho} \\ \sin \vartheta = \frac{y}{\rho} \end{cases}$

con la convenzione $\vartheta \in [-\pi,\pi)$ .

Inoltre, dati due numeri complessi $z$ e $w$ in $\mathbb{C}$ , si può osservare che:

$\begin{aligned} zw & = |z| (\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta) |w| (\cos \alpha + \imath \sin \alpha) \\ & = |z| |w| \left[ \left( \cos \vartheta \cos \alpha - \sin \vartheta \sin \alpha \right) + \imath \left( \cos \vartheta \sin \alpha + \sin \vartheta \cos \alpha \right) \right] \\ & = |z| |w| \left[ \cos(\vartheta + \alpha)+ \imath \sin(\vartheta + \alpha) \right], \end{aligned}$

quindi, graficamente, il prodotto di due numeri complessi ha una lunghezza uguale al prodotto dei loro moduli e un angolo uguale alla somma degli angoli di $z$ e $w$ :

(7) $\begin{equation*} zw = |z| |w| \left[ \cos(\vartheta + \alpha)+ \imath \sin(\vartheta + \alpha) \right]. \end{equation*}$

Osservazione 13. Quanto enunciato precedentemente richiede una piccola precisazione, poiché $\text{Arg }z + \text{Arg }w$ potrebbe non appartenere all’intervallo $[-\pi,\pi)$ . In tal caso, è possibile apportare una semplice traslazione come segue:

$\text{Arg }(zw) = \text{Arg }z + \text{Arg }w + 2 \pi \quad \text{o} \quad \text{Arg }(zw) = \text{Arg }z + \text{Arg }w - 2 \pi,$

per rientrare nell’intervallo $[-\pi,\pi)$ . A titolo illustrativo, consideriamo:

$z = 3 \left( \cos \frac{3}{2} \pi + \imath \sin \frac{3}{2} \pi \right) \quad \text{e} \quad w = \frac{1}{3} \left( \cos \pi + \imath \sin \pi \right),$

applicando (7), otteniamo:

$zw = \cos \left( \frac{3}{2} \pi + \pi \right) + \imath \sin \left( \frac{3}{2} \pi + \pi \right).$

Tuttavia, $3/2\pi + \pi$ non rientra nell’intervallo $[-\pi,\pi)$ , pertanto applichiamo una traslazione di $-2\pi$ :

$\text{Arg }(zw) = \frac{3}{2} \pi + \pi - 2\pi = \frac{3}{2} \pi - \pi = \frac{\pi}{2},$

che è sufficiente per concludere l’esempio.

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$\text{Figura 1: La rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi}$

Proposizione 14. (Formula di De Moivre) Sia $z \in \mathbb{C}$ ed $n \in \mathbb{N}$ . Allora

(8) $\begin{equation*} z^n = \rho^n ( \cos n \vartheta + \imath \sin n \vartheta), \end{equation*}$

dove $\rho = |z|$ e $\vartheta = \text{Arg }z$ .

Dimostrazione. Iniziamo considerando il caso $n \geq 2$ ed applichiamo il principio di induzione:

Caso Base: Utilizziamo la formula (7) con $z=w$ :
$z^2 = |z|^2 (\cos 2\vartheta + \imath \sin 2\vartheta).$
Passo Induttivo: Supponiamo che (8) sia valida per $z^{n-1}$ e dimostriamola per $z^n$ . Applicando (7) con $w = z^{n-1}$ , otteniamo:
$\begin{aligned} z^n & = z^{n-1} z = |z|^{n-1} (\cos(n-1)\vartheta + \imath \sin(n-1)\vartheta) |z| (\cos\vartheta + \imath \sin\vartheta) \\ & = |z|^n (\cos n\vartheta + \imath \sin n\vartheta), \end{aligned}$

che conclude la dimostrazione per il principio di induzione.

Il caso $n < 0$ è una conseguenza diretta della seguente catena di uguaglianze:

$\begin{aligned} (\cos\vartheta + \imath \sin\vartheta)^n & = \frac{1}{(\cos\vartheta + \imath \sin\vartheta)^{-n}}= \\ & = \frac{1}{\cos(-n\vartheta) + \imath \sin(-n\vartheta)} \cdot \frac{\cos(-n\vartheta) - \imath \sin(-n\vartheta)}{\cos(-n\vartheta) - \imath \sin(-n\vartheta)}= \\ & = \frac{\cos(-n\vartheta) - \imath \sin(-n\vartheta)}{\cos^2(-n\vartheta) + \sin^2(-n\vartheta)}= \\ & = \cos(-n\vartheta) - \imath \sin(-n\vartheta), \end{aligned}$

dove abbiamo utilizzato il fatto che il coseno è pari e il seno è dispari. Questo dimostra l’identità:

$\cos(-n\vartheta) - \imath \sin(-n\vartheta) = \cos n\vartheta + \imath \sin n\vartheta,$

che conclude la dimostrazione.

Osservazione 15. In generale, se $z = \rho( \cos \vartheta + \imath \sin \vartheta)$ e $w \in \mathbb C$ è un numero complesso arbitrario, allora l’insieme di possibili valori è:

$\begin{aligned} z^{w} & =\rho^{w}\left(\cos \vartheta+ \imath \sin \vartheta \right)^{w} \\ & = \left\{ \rho^{w}\cos(\vartheta w +2\pi k w)+\imath \rho^{w}\sin(\vartheta w+2\pi k w) \: : \: k\in \mathbb {Z} \right\}. \end{aligned}$

D’altra parte, la formula di de Moivre ci da

$\rho^{w}(\cos \vartheta w+ \imath \sin \vartheta w),$

che corrisponde ad un solo valore di questo insieme, ovvero quello ottenuto per $k=0$ . Notiamo che nel caso in cui l’esponente $w$ non sia un intero, $z^w$ è una funzione a più valori (si veda l’Appendice per maggiori dettagli).

Questo accade anche nel caso di un esponente razionale. Ad esempio, se $w = 1/2$ la formula generalizzata ci dice che vale l’uguaglianza

$z^{1/2} = |z|^{1/2} ( \cos \vartheta/2 + \imath \sin \vartheta/2).$

Tuttavia, è importante ricordarsi che un numero complesso diverso da zero ha due radici, perciò il termine a destra va inteso come

$\cos \vartheta/2 + \imath \sin \vartheta/2 = \{ \cos \vartheta/2 + \imath \sin \vartheta/2, \cos (\vartheta/2 - \pi) + \imath \sin (\vartheta/2 - \pi) \}.$

La dimostrazione, almeno nel caso razionale, si può ottenere come diretta conseguenza di De Moivre. Infatti, supponiamo $w = p/q$ ed osserviamo che

$z^{p/q} = |z|^{p/q} \left( \cos p \vartheta + \imath \sin p \vartheta \right)^{1/q}$

segue immediatamente applicando (8) a $z^{1/q}$ elevato alla $p$ . A questo punto, se introduciamo il numero complesso

$\tilde z := \cos p \vartheta + \imath \sin p \vartheta,$

la dimostrazione sarà completa una volta trovate le radici $q$ -esime di $\tilde z$ .

Questo passaggio finale viene spiegato in dettaglio nella sezione successiva, in cui sarà chiarita anche la natura di funzione a più valori” quando l’esponente non è intero (ad esempio, $q$ valori se $w = p/q$ ).

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