Introduzione ai numeri complessi volume 1 (per ingegneria)

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Introduzione ai numeri complessi volume 1 (per ingegneria)

I numeri complessi sono di importanza fondamentale per le scienze applicate, nonostante essi traggano la loro origine da problemi e tecniche teoriche.

In questa dispensa introduciamo l’argomento in maniera essenziale, concentrandoci sugli aspetti fondamentali e tralasciando le questioni teoriche più articolate. Ciò garantisce un approccio diretto e veloce per chi desidera entrare in contatto con questo mondo nella maniera più diretta, rimandando al Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di matematica o fisica) per una trattazione più dettagliata. Il testo risulta quindi particolarmente indicato per studenti della Scuola secondaria e dei corsi di Laurea in Ingegneria. I temi trattati sono i seguenti:

Definizione dei numeri complessi e operazioni tra di essi;
Forma cartesiana, polare ed esponenziale dei numeri complessi e loro relazioni;
Formule per il calcolo di prodotto, potenze e radici dei numeri complessi in coordinate polari;
Esponenziale complesso e sue proprietà;
Teorema fondamentale dell’algebra e sue applicazioni.

Immergiti dunque nella lettura di questa dispensa semplice ma completa sui numeri complessi e scopri le intuizioni soggiacenti e le applicazioni che ne derivano!

Autori e revisori

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Autore: Francesco Paolo Maiale

Revisori: Valerio Brunetti, Nicola Fusco, Matteo Talluri, Davide La Manna.

Sommario

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Nella prima sezione di questo documento, esploriamo i numeri complessi, esaminando in dettaglio le loro proprietà essenziali. Ci concentriamo specificamente sulla rappresentazione in forma cartesiana, trigonometrica e sulle radici n-esime.

Successivamente, nella seconda sezione, ampliamo il nostro studio alla funzione esponenziale applicata ai numeri complessi. Approfondiamo alcune delle sue proprietà fondamentali, che ci permettono di comprendere la rappresentazione esponenziale (o polare) dei numeri complessi.

Nella terza parte vediamo delle applicazioni della teoria sviluppata, in particolare il Teorema Fondamentale dell’Algebra (la cui dimostrazione si trova in appendice) e la formula di Cardano.

Numeri complessi

Introduzione.

Nei numeri reali $\mathbb{R}$ , alcune equazioni algebriche, come $x^2 + 1 = 0$ , non hanno soluzioni perché il determinante è negativo. Per superare questo limite, introduciamo l’unità immaginaria $\imath$ , che si basa sulla proprietà:

$\imath^2 = -1.$

Osservazione 1. Grazie a questa definizione di $\imath$ , possiamo riscrivere l’equazione $x^2+1$ come $(x-\imath)(x+\imath)$ . È interessante notare che la scelta di $\imath$ come unità immaginaria, anziché $-\imath$ , è arbitraria, dato che entrambe rappresentano le radici del polinomio $x^2+1$ .

Con questi fondamenti, possiamo ora definire i numeri complessi. Nella prossima sezione, dimostreremo, come specificato nella proposizione 3, che questi numeri costituiscono un campo.

Definizione 2. L’insieme dei numeri complessi è definito come

$\mathbb C := \left\{ z=x + \imath y \: : \: x,y \in \mathbb{R} \right\}.$

Diciamo inoltre che $\mathfrak{Re}(z) := x$ ed $\mathfrak{Im}(z) := y$ sono, rispettivamente, la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso $z$ .

Prima di tutto, è importante capire che finora non abbiamo introdotto alcuna operazione specifica tra gli elementi del set dei numeri complessi, $\mathbb{C}$ . Un numero complesso è generalmente rappresentato come

$z = x + \imath y,$

dove $x$ e $y$ sono numeri reali, e $\imath$ è l’unità immaginaria. È cruciale notare che il simbolo $+$ in questa espressione non rappresenta la normale addizione dei numeri reali, poiché $\imath y$ non è un numero reale.

Ora, vogliamo definire operazioni di somma e prodotto in $\mathbb{C}$ . Ad esempio, si possono definire a partire dalle operazioni tra numeri reali riferendosi a parte reale e immaginaria:

(1) $\begin{equation*}\begin{aligned} & z_1 + z_2 = (x_1 + \imath y_1) + (x_2 + \imath y_2) := (x_1 + x_2) + \imath (y_1 + y_2), \\ & z_1 z_2 = (x_1 + \imath y_1) \cdot (x_2 + \imath y_2) := (x_1x_2 - y_1y_2) + \imath(x_1y_2 + x_2y_1), \end{aligned}\end{equation*}$

dove le somme e i prodotti tra $x_i$ e $y_i$ sono validi perché sono tutti numeri reali. Successivamente, mostriamo che con queste operazioni, $\mathbb{C}$ soddisfa le proprietà di un campo matematico.

Proposizione 3. L’insieme $\mathbb C$ equipaggiato con le operazioni di somma e prodotto (1) è un campo che contiene ed è compatibile¹ con $\mathbb R$ .

Dimostrazione. Cominciamo osservando che, insiemisticamente, possiamo identificare $\mathbb{R}$ come un sottoinsieme di $\mathbb{C}$ tramite la mappatura

$\mathbb{R} \ni x \mapsto x + 0\imath \in \mathbb{C}.$

Per dimostrare che $\mathbb{C}$ è un campo con le operazioni in (1), consideriamo le seguenti proprietà, lasciandone la verifica al lettore:

Associatività di somma e prodotto:
$z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_3, \quad z_1(z_2z_3)=(z_1z_2)z_3,$

per ogni $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$ .

Commutatività di somma e prodotto:
$z_1+z_2=z_2+z_1, \quad z_1z_2=z_2z_1,$

per ogni $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ .

Esistenza dell’elemento neutro per somma e prodotto:
$z + 0 = z, \quad z \cdot 1 = z,$

con $0 = 0 + 0\imath$ e $1 = 1 + 0\imath$ , per ogni $z \in \mathbb{C}$ .

Esistenza dell’inverso additivo:
$z + (-z) = 0,$

per ogni $z \in \mathbb{C}$ .

Esistenza dell’inverso moltiplicativo:
$zz^{-1} = 1,$

per ogni $z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$ .

Distributività del prodotto rispetto all’addizione:
$z_1(z_2+z_3) = z_1z_2 + z_1z_3,$

per ogni $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$ .

La parte più delicata è dimostrare l’esistenza di un inverso moltiplicativo per $z = x + \imath y \neq 0$ . Il claim è il seguente: l’inverso moltiplicativo di $z$ è

$z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} - \frac{y}{x^2+y^2}\imath.$

Per dimostrarlo, è sufficiente verificare che il prodotto fa uno:

$\begin{aligned} z z^{-1} & = (x+\imath y) \left( \frac{x}{x^2+y^2} - \imath \frac{y}{x^2+y^2} \right) \\ & = \frac{x^2}{x^2+y^2} -\imath \frac{xy}{x^2+y^2} + \imath \frac{yx}{x^2+y^2} - \imath^2 \frac{y^2}{x^2+y^2} \\ & = \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2} + \imath \frac{xy - xy}{x^2+y^2}= 1 + \imath 0 = 1. \end{aligned}$

Per verificare che $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ è un’estensione di campi, basta mostrare che le operazioni di somma e prodotto sui reali sono le restrizioni di \eqref{eq.spc}. Infatti,

$x_1 + x_2 = (x_1 + 0\imath) + (x_2 + 0\imath) = x_1 + x_2,$

e analogamente per il prodotto,

$x_1x_2 = (x_1+0\imath)(x_2+0\imath) = x_1x_2,$

per ogni $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ , completando così la dimostrazione.

In particolare, in $\mathbb{C}$ si riscontrano le stesse proprietà algebriche di $\mathbb{R}$ , ma emerge una differenza cruciale riguardo l’ordinamento. Mentre per qualsiasi $x, y \in \mathbb{R}$ vale che

$x \leq y \quad \text{oppure} \quad y \leq x,$

in $\mathbb{C}$ non esiste un ordinamento che sia compatibile con quello di $\mathbb{R}$ . Per esempio, considerando l’unità immaginaria $\imath$ , se si ipotizzasse

$\imath < 0 \quad \text{oppure} \quad \imath > 0,$

si arriverebbe a un controsenso elevando al quadrato entrambe le disuguaglianze:

$-1 = \imath^2 > 0.$

Prima di esplorare la rappresentazione cartesiana dei numeri complessi, è utile fare una considerazione sui polinomi a coefficienti reali di secondo grado.

Osservazione 4. Consideriamo il polinomio $p(x) = x^2 + bx + c$ . Applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, otteniamo

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4c}}{2},$

Notiamo che questi valori sono sempre definiti in $\mathbb{C}$ . Infatti, se il discriminante è negativo, possiamo introdurre l’unità immaginaria per scrivere

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \imath \sqrt{4c - b^2}}{2} \in \mathbb{C}.$

Questo mostra come ogni equazione di secondo grado abbia soluzioni nel campo dei numeri complessi.

Questo implica che in $\mathbb{C}$ , tutte le equazioni di secondo grado sono risolvibili. Tuttavia, per le equazioni di grado superiore, come

$x^n + \sum_{i = 0}^{n-1} a_i x^i = 0 \quad \text{con } n \geq 3 \text{ e } a_j \in \mathbb{R} \text{ per ogni } j,$

non possiamo trarre conclusioni immediate. Nel contesto delle applicazioni, si osserva che in $\mathbb{C}$ ogni polinomio a coefficienti complessi ha almeno una radice, come dimostrato nel Teorema 25.

$\[\]$

Questo significa che se si considera la somma o il prodotto di due numeri reali si ottiene lo stesso risultato in $\mathbb C$ con le regole (1) e in $\mathbb R$ con le regole classiche. ↩

Rappresentazione cartesiana.

L’assegnazione di un numero complesso $z$ equivale all’assegnazione di una coppia ordinata di numeri reali $(x, y)$ . Questo stabilisce una corrispondenza biunivoca naturale tra il campo dei numeri complessi $\mathbb{C}$ e il piano cartesiano $\mathbb{R}^2$ :

$\mathbb{R}^2 \ni (x, y) \mapsto z := x + \imath y \in \mathbb{C}.$

Di conseguenza, i numeri complessi possono essere rappresentati graficamente su un piano cartesiano, noto come piano complesso o piano di Argand-Gauss. In questo piano, l’asse orizzontale è chiamato asse reale e l’asse verticale asse immaginario.

Tale rappresentazione grafica ci fornisce un modo intuitivo per visualizzare l’operazione di somma tra due numeri complessi. La somma può essere interpretata come la costruzione di un parallelogramma nel piano complesso, in cui i vettori rappresentano i numeri complessi da sommare.

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Al contrario, la rappresentazione grafica del prodotto di numeri complessi non trova un corrispettivo diretto nel piano cartesiano $\mathbb{R}^2$ se utilizziamo le coordinate cartesiane $(x, y)$ . Tuttavia, adottando la forma trigonometrica dei numeri complessi, che sarà introdotta in seguito, possiamo visualizzare il prodotto in un sistema di coordinate diverse, ovvero quelle polari.

Definizione 5. Il coniugato di un numero complesso $z = x + \imath y \in \mathbb{C}$ , denotato con il simbolo $\bar{z}$ , è definito come segue:

$\bar{z} := x - \imath y.$

Nella rappresentazione cartesiana, il coniugato di un numero complesso $\bar{z}$ corrisponde al punto simmetrico di $z$ rispetto all’asse reale. Possiamo esprimere le parti reale e immaginaria di $z$ con le seguenti relazioni:

(2) $\begin{equation*} \mathfrak{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2}, \quad \text{e} \quad \mathfrak{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2\imath}, \end{equation*}$

Da queste si deduce che un numero complesso $z$ appartiene a $\mathbb{R}$ se e solo se $z = \bar{z}$ . Ora esploriamo alcune proprietà dell’operazione di coniugazione dei numeri complessi.

Lemma 6. Siano $z, w \in \mathbb{C}$ . Allora valgono le seguenti proprietà:

(a) il coniugio è involutivo, ovvero $\overline{(\bar z)} = z$ ;

(b) $\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}$ ;

(d) $\overline{z/w}=\bar{z}/\bar{w}$ .

Dimostrazione. Sia $z = x + \imath y$ . Allora, il coniugato di $z$ è

$\bar{z} = x - \imath y$

e si può facilmente mostrare che

$\overline{(\bar{z})} = x + \imath y = z,$

dimostrando così la proprietà (a).

Per un altro numero complesso $w = u + \imath v$ , consideriamo la somma e il prodotto di $z$ e $w$ :

$\begin{aligned} z + w &= (x+u) + \imath (y + v) \Rightarrow \overline{z+w} = (x+u) - \imath(y+v) = \bar{z} + \bar{w}, \\ z \cdot w &= (xu - yv) + \imath (xv + yu) \Rightarrow \overline{z\cdot w} = (xu - yv) - \imath (xv + yu) = \bar{z}\cdot \bar{w}, \end{aligned}$

dando luogo alle proprietà (b) e (c).

Infine, per il rapporto, utilizzando la proprietà (c) e la tecnica di razionalizzazione, otteniamo

$\frac{z}{w} = \frac{x+\imath y}{u+\imath v} = \frac{1}{u^2+v^2} (z\cdot w),$

e di conseguenza

$\frac{\bar{z}}{\bar{w}} = \frac{1}{u^2+v^2} (\bar{z} \cdot \bar{w}) \stackrel{(c)}{=} \frac{1}{u^2+v^2}\left( \overline{z \cdot w}\right) = \overline{ \left(\frac{z}{w}\right)},$

completando così la dimostrazione.

Benché, come precedentemente sottolineato, non esista un sistema di ordinamento in $\mathbb{C}$ che sia coerente con le operazioni algebriche, è possibile determinare la “grandezza” di un numero complesso. Questo si fa misurando la sua distanza dall’origine nel piano cartesiano $\mathbb{R}^2$ :

Definizione 7. (Modulo) Sia $z =x+\imath y \in \mathbb{C}$ . Il modulo di $z$ è la quantità reale data da

(3) $\begin{equation*} |z| := \sqrt{ x^2 + y^2 }. \end{equation*}$

Dalla definizione del modulo di un numero complesso, possiamo osservare che il valore assoluto di $z$ , denotato con $|z|$ , pone dei limiti alle sue parti reale e immaginaria. Precisamente, si ha che

$-|z| \leq \mathfrak{Re}(z) \leq |z|,$

e una relazione analoga vale per la parte immaginaria di $z$ . Inoltre, il modulo di un numero complesso possiede le seguenti proprietà importanti:

Lemma 8. Siano $z, w \in \mathbb{C}$ due numeri complessi. Allora valgono le seguenti proprietà:

$({\romannumeral 1})$ $z \bar{z}= |z|^2$ ;

$({\romannumeral 2})$ $|z| \ge 0$ e $|z| = 0$ se e solo se $z = 0$ ;

$({\romannumeral 3})$ $|z|=|\bar{z}|=|-z|$ ;

$({\romannumeral 4})$ $|zw| = |z| |w|$ ;

$({\romannumeral 5})$ vale la disuguaglianza triangolare, ovvero

(4) $\begin{equation*} |z+w| \le |z|+|w|; \end{equation*}$

$({\romannumeral 6})$ $| |z|-|w| | \le |z- w|$ ;

$({\romannumeral 7})$ se $z \neq 0$ , allora $|w/z|=|w|/|z|$ .

Dimostrazione. Le proprietà $({\romannumeral 1})$ – $({\romannumeral 4})$ derivano direttamente dalla definizione del modulo (3). Per dimostrare la disuguaglianza triangolare, consideriamo prima che

$\bar{z} w + z\bar{w} = 2\mathfrak{Re}(z\bar{w}) \le 2 |z \bar{w}| = 2 |z||w|,$

quindi, sviluppando il quadrato di $|z+w|$ , otteniamo

$|z+w|^2 = |z|^2 + |w|^2 + z \bar{w} + \bar{z}w \le |z|^2 + |w|^2 + 2 |z||w| = (|z|+|w|)^2,$

da cui segue la disuguaglianza triangolare.

Per la proprietà $({\romannumeral 6})$ , scriviamo $z$ e $w$ come

$z = w+(z-w) \quad \text{e} \quad w = z+(w-z),$

e applicando la disuguaglianza triangolare otteniamo

$|z| = |w+(z-w)| \le |w| + |z-w| \quad \text{e} \quad |w| = |z+(w-z)| \le |z| + |z-w|.$

Portando $|w|$ e $|z|$ al lato sinistro delle disuguaglianze si ha

$|z|-|w| \le |z-w| \quad \text{e} \quad |w|-|z| \le |z-w| \implies ||z|-|w|| \le |z-w|.$

Infine, per un $z \neq 0$ , è facile verificare che

$\left| \frac{1}{z} \right|^2 = \frac{1}{z} \frac{1}{\bar{z}} = \frac{1}{z\bar{z}} = \frac{1}{|z|^2} \implies \left| \frac{1}{z} \right| = \frac{1}{|z|},$

quindi, scriviamo

$\frac{w}{z} = w \cdot \frac{1}{z},$

e applichiamo la proprietà $({\romannumeral 4})$ per concludere la dimostrazione della proprietà $({\romannumeral 7})$ .

Rappresentazione trigonometrica.

Ogni punto $(x,y)$ nel piano cartesiano $\mathbb{R}^2$ , escluso l’origine $(0,0)$ , può essere univocamente descritto tramite il suo modulo e l’angolo $\vartheta$ che forma con l’asse delle ascisse.

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Per determinare questo angolo, possiamo applicare il Teorema di Pitagora, ottenendo le seguenti relazioni:

$\cos \vartheta = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \quad \text{e} \quad \sin \vartheta = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.$

Dalla relazione del coseno, possiamo calcolare $\vartheta$ . Tuttavia, è importante considerare la periodicità del coseno, che ha periodo $2\pi$ . Pertanto, l’angolo $\vartheta$ può essere espresso come:

(5) $\begin{equation*} \vartheta = \arccos \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \end{equation*}$

Questa caratterizzazione si estende anche ai numeri complessi, grazie alla corrispondenza biunivoca tra $\mathbb{C}$ e $\mathbb{R}^2$ . In questo contesto, è utile introdurre il concetto di argomento principale.

Definizione 9. Sia $z \neq 0$ un numero complesso. L’argomento principale di $z$ , denotato $\text{Arg } z$ , è l’unica soluzione dell’equazione reale

$\cos \left(\text{Arg }z\right) = \frac{\mathfrak{Re}(z)}{|z|}, \quad \text{con } \text{Arg }z \in [-\pi,\pi).$

Osservazione 10. La scelta di definire $\text{Arg }z$ come l’unica soluzione dell’equazione che appartiene all’intervallo $[-\pi,\pi)$ è completamente arbitraria e può essere sostituita con un qualsiasi intervallo di ampiezza $2\pi$ .

Osservazione 11. È possibile definire una funzione che associa ad ogni $z \neq 0$ l’insieme delle (infinitamente molte) soluzioni dell’equazione, come segue:

$\arg z := \left\{ \text{Arg }z + 2k\pi \: : \: k \in \mathbb{Z} \right\}.$

Per ulteriori dettagli sulle funzioni a valori multipli, l’argomento e il logaritmo complesso, si può fare riferimento all’Appendice (che è comunque opzionale per il resto del documento e per gli esercizi).

Definizione 12. La forma trigonometrica di un numero complesso $z \neq 0$ è data dalla seguente scrittura

(6) $\begin{equation*} z = \rho (\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta), \end{equation*}$

dove $\rho=|z|$ è il modulo e $\vartheta=\text{Arg }z$ l’angolo con l’asse delle ascisse.

È possibile effettuare agevolmente la transizione tra la rappresentazione cartesiana e la rappresentazione trigonometrica (6) utilizzando le seguenti trasformazioni:

$\begin{cases} x = \rho \cos \vartheta \\ y = \rho \sin \vartheta \end{cases} \quad \text{e} \quad \begin{cases} \rho = \sqrt{x^2+y^2} \\ \cos \vartheta = \frac{x}{\rho} \\ \sin \vartheta = \frac{y}{\rho} \end{cases}$

con la convenzione $\vartheta \in [-\pi,\pi)$ .

Inoltre, dati due numeri complessi $z$ e $w$ in $\mathbb{C}$ , si può osservare che:

$\begin{aligned} zw & = |z| (\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta) |w| (\cos \alpha + \imath \sin \alpha) \\ & = |z| |w| \left[ \left( \cos \vartheta \cos \alpha - \sin \vartheta \sin \alpha \right) + \imath \left( \cos \vartheta \sin \alpha + \sin \vartheta \cos \alpha \right) \right] \\ & = |z| |w| \left[ \cos(\vartheta + \alpha)+ \imath \sin(\vartheta + \alpha) \right], \end{aligned}$

quindi, graficamente, il prodotto di due numeri complessi ha una lunghezza uguale al prodotto dei loro moduli e un angolo uguale alla somma degli angoli di $z$ e $w$ :

(7) $\begin{equation*} zw = |z| |w| \left[ \cos(\vartheta + \alpha)+ \imath \sin(\vartheta + \alpha) \right]. \end{equation*}$

Osservazione 13. Quanto enunciato precedentemente richiede una piccola precisazione, poiché $\text{Arg }z + \text{Arg }w$ potrebbe non appartenere all’intervallo $[-\pi,\pi)$ . In tal caso, è possibile apportare una semplice traslazione come segue:

$\text{Arg }(zw) = \text{Arg }z + \text{Arg }w + 2 \pi \quad \text{o} \quad \text{Arg }(zw) = \text{Arg }z + \text{Arg }w - 2 \pi,$

per rientrare nell’intervallo $[-\pi,\pi)$ . A titolo illustrativo, consideriamo:

$z = 3 \left( \cos \frac{3}{2} \pi + \imath \sin \frac{3}{2} \pi \right) \quad \text{e} \quad w = \frac{1}{3} \left( \cos \pi + \imath \sin \pi \right),$

applicando (7), otteniamo:

$zw = \cos \left( \frac{3}{2} \pi + \pi \right) + \imath \sin \left( \frac{3}{2} \pi + \pi \right).$

Tuttavia, $3/2\pi + \pi$ non rientra nell’intervallo $[-\pi,\pi)$ , pertanto applichiamo una traslazione di $-2\pi$ :

$\text{Arg }(zw) = \frac{3}{2} \pi + \pi - 2\pi = \frac{3}{2} \pi - \pi = \frac{\pi}{2},$

che è sufficiente per concludere l’esempio.

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$\text{Figura 1: La rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi}$

Proposizione 14. (Formula di De Moivre) Sia $z \in \mathbb{C}$ ed $n \in \mathbb{N}$ . Allora

(8) $\begin{equation*} z^n = \rho^n ( \cos n \vartheta + \imath \sin n \vartheta), \end{equation*}$

dove $\rho = |z|$ e $\vartheta = \text{Arg }z$ .

Dimostrazione. Iniziamo considerando il caso $n \geq 2$ ed applichiamo il principio di induzione:

Caso Base: Utilizziamo la formula (7) con $z=w$ :
$z^2 = |z|^2 (\cos 2\vartheta + \imath \sin 2\vartheta).$
Passo Induttivo: Supponiamo che (8) sia valida per $z^{n-1}$ e dimostriamola per $z^n$ . Applicando (7) con $w = z^{n-1}$ , otteniamo:
$\begin{aligned} z^n & = z^{n-1} z = |z|^{n-1} (\cos(n-1)\vartheta + \imath \sin(n-1)\vartheta) |z| (\cos\vartheta + \imath \sin\vartheta) \\ & = |z|^n (\cos n\vartheta + \imath \sin n\vartheta), \end{aligned}$

che conclude la dimostrazione per il principio di induzione.

Il caso $n < 0$ è una conseguenza diretta della seguente catena di uguaglianze:

$\begin{aligned} (\cos\vartheta + \imath \sin\vartheta)^n & = \frac{1}{(\cos\vartheta + \imath \sin\vartheta)^{-n}}= \\ & = \frac{1}{\cos(-n\vartheta) + \imath \sin(-n\vartheta)} \cdot \frac{\cos(-n\vartheta) - \imath \sin(-n\vartheta)}{\cos(-n\vartheta) - \imath \sin(-n\vartheta)}= \\ & = \frac{\cos(-n\vartheta) - \imath \sin(-n\vartheta)}{\cos^2(-n\vartheta) + \sin^2(-n\vartheta)}= \\ & = \cos(-n\vartheta) - \imath \sin(-n\vartheta), \end{aligned}$

dove abbiamo utilizzato il fatto che il coseno è pari e il seno è dispari. Questo dimostra l’identità:

$\cos(-n\vartheta) - \imath \sin(-n\vartheta) = \cos n\vartheta + \imath \sin n\vartheta,$

che conclude la dimostrazione.

Osservazione 15. In generale, se $z = \rho( \cos \vartheta + \imath \sin \vartheta)$ e $w \in \mathbb C$ è un numero complesso arbitrario, allora l’insieme di possibili valori è:

$\begin{aligned} z^{w} & =\rho^{w}\left(\cos \vartheta+ \imath \sin \vartheta \right)^{w} \\ & = \left\{ \rho^{w}\cos(\vartheta w +2\pi k w)+\imath \rho^{w}\sin(\vartheta w+2\pi k w) \: : \: k\in \mathbb {Z} \right\}. \end{aligned}$

D’altra parte, la formula di de Moivre ci da

$\rho^{w}(\cos \vartheta w+ \imath \sin \vartheta w),$

che corrisponde ad un solo valore di questo insieme, ovvero quello ottenuto per $k=0$ . Notiamo che nel caso in cui l’esponente $w$ non sia un intero, $z^w$ è una funzione a più valori (si veda l’Appendice per maggiori dettagli).

Questo accade anche nel caso di un esponente razionale. Ad esempio, se $w = 1/2$ la formula generalizzata ci dice che vale l’uguaglianza

$z^{1/2} = |z|^{1/2} ( \cos \vartheta/2 + \imath \sin \vartheta/2).$

Tuttavia, è importante ricordarsi che un numero complesso diverso da zero ha due radici, perciò il termine a destra va inteso come

$\cos \vartheta/2 + \imath \sin \vartheta/2 = \{ \cos \vartheta/2 + \imath \sin \vartheta/2, \cos (\vartheta/2 - \pi) + \imath \sin (\vartheta/2 - \pi) \}.$

La dimostrazione, almeno nel caso razionale, si può ottenere come diretta conseguenza di De Moivre. Infatti, supponiamo $w = p/q$ ed osserviamo che

$z^{p/q} = |z|^{p/q} \left( \cos p \vartheta + \imath \sin p \vartheta \right)^{1/q}$

segue immediatamente applicando (8) a $z^{1/q}$ elevato alla $p$ . A questo punto, se introduciamo il numero complesso

$\tilde z := \cos p \vartheta + \imath \sin p \vartheta,$

la dimostrazione sarà completa una volta trovate le radici $q$ -esime di $\tilde z$ .

Questo passaggio finale viene spiegato in dettaglio nella sezione successiva, in cui sarà chiarita anche la natura di funzione a più valori” quando l’esponente non è intero (ad esempio, $q$ valori se $w = p/q$ ).

Radici n-esime dei numeri complessi.

Dato $z_0 \in \mathbb C$ , trovare le sue radici $n$ -esime equivale a determinare tutte le soluzioni dell’equazione complessa

$z^n = z_0.$

Se $z_0 = 0$ , l’unica soluzione è $z = 0$ con molteplicità $n$ . Supponiamo dunque $z_0 \neq 0$ e, per semplicità, passiamo alla forma trigonometrica:

$z = |z| (\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta) \quad \text{e} \quad z_0 = |z_0| (\cos \alpha + \imath\sin\alpha),$

con $\alpha := \text{Arg }z_0 \in [-\pi,\pi)$ . Possiamo calcolare $z^n$ utilizzando la Formula di De Moivre (8), ottenendo l’identità

$z^n = |z|^n ( \cos n \vartheta + \imath \sin n \vartheta).$

A questo punto, l’equazione si può riscrivere come

$|z|^n ( \cos n \vartheta + \imath \sin n \vartheta) = |z_0| (\cos \alpha + \imath \sin \alpha),$

e questa è del tutto equivalente al sistema di equazioni reali

$\begin{cases} |z|^n = |z_0|, \\ n \vartheta = \alpha + 2\pi k, & \vartheta \in [-\pi,\pi). \end{cases}$

La prima ha soluzione $|z| = |z_0|^{1/n}$ (radice $n$ -esima positiva), mentre la seconda ha esattamente $n$ soluzioni distinte nell’intervallo $[-\pi,\pi)$ date da

(9) $\begin{equation*} \vartheta_k = \frac{\alpha + 2\pi k}{n}, \quad k = -\ell_1,\ldots,\ell_2, \end{equation*}$

dove $\ell_1,\ell_2 \in \mathbb N$ sono scelti in modo tale che $\ell_1+\ell_2+1=n$ e valgono

$\frac{\alpha - 2 \ell_1 \pi}{n} \ge - \pi \quad \text{e} \quad \frac{\alpha + 2 \ell_2 \pi}{n} < \pi.$

In particolare, il valore di $\ell_1$ ed $\ell_2$ dipende da $\alpha$ e assicura che tutti i valori di $\vartheta$ rimangano nell’intervallo dell’argomento principale, ovvero $[-\pi,\pi)$ .

Osservazione 16. L’intervallo $[-\pi,\pi)$ per l’argomento principale è scelto in maniera arbitraria, e quindi, quando risolviamo un’equazione, può essere più comodo considerare

$\vartheta_k = \frac{\alpha + 2\pi k}{n}, \quad k = 0, \ldots, n-1,$

per ottenere tutte le soluzioni. Queste soluzioni potrebbero non essere tutte comprese in $[-\pi,\pi)$ , ma sono necessariamente contenute in un intervallo di ampiezza $2\pi$ .

Tornando alla discussione precedente, abbiamo dimostrato che ci sono esattamente $n$ radici $n$ -esime distinte di $w$ . Queste radici sono date da:

$z_k = |z_0|^{1/n} \left( \cos \frac{\alpha + 2\pi k}{n} + \imath \sin \frac{\alpha + 2\pi k}{n} \right), \quad k = -\ell_1, \ldots, \ell_2.$

Dove $z_{-\ell_1}, \ldots, z_{\ell_2}$ giacciono tutti sulla circonferenza di raggio $|z_0|^{1/n}$ e ciascuno forma un angolo di $2\pi/n$ con il precedente. Quindi, questi punti rappresentano i vertici di un poligono regolare a $n$ lati inscritto nella circonferenza di cui sopra.

Esempio 1. Vogliamo trovare le radici seste dell’unità, cioè risolvere l’equazione complessa:

$z^6 = 1.$

Per farlo, convertiamo l’equazione nella forma trigonometrica, notando che l’unità ha modulo $1$ e argomento zero. Otteniamo:

$z = |z| (\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta) \implies z^6 = |z|^6 (\cos 6\vartheta + \imath \sin 6\vartheta).$

Di conseguenza, il sistema di equazioni reali equivalente è dato da:

$\begin{cases} |z|^6 = 1, \\ 6 \vartheta = 0 + 2k \pi, & \vartheta \in [-\pi,\pi). \end{cases}$

La prima equazione ha una sola soluzione, $|z| = 1$ . La seconda equazione ha esattamente $6$ soluzioni nell’intervallo $[-\pi,\pi)$ , ovvero:

$\vartheta_k = \frac13 k \pi, \quad \text{con } k = -3, -2, \ldots, 2.$

Queste soluzioni rappresentano i vertici di un esagono inscritto nella circonferenza di raggio unitario, come mostrato in figura:

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Esponenziale complesso

Introduzione.

Lo scopo di questa sezione è definire l’espressione $\mathrm{e}^z$ in modo da assegnare un significato a $\mathrm{e}^z$ per ogni numero complesso $z$ , mantenendo la coerenza con il caso reale. In particolare, vogliamo che la definizione coincida con l’esponenziale reale quando $z$ è un numero complesso con parte immaginaria nulla, ossia:

$\mathrm{e}^z = \exp \left( \mathfrak{Re} (z) \right) \quad \text{se e solo se} \quad z \in \mathbb C \text{ e } \mathfrak{Im} (z) = 0.$

Identità di Eulero e proprietà.

La funzione esponenziale complessa è definita tramite la corrispondente serie di potenze. Per ogni $z \in \mathbb{C}$ , poniamo

(10) $\begin{equation*} \mathrm{e}^z := \sum_{k= 0}^{+\infty} \frac{z^k}{k!}. \end{equation*}$

Questa serie di potenze è centrata in zero e converge assolutamente per ogni $z \in \mathbb{C}$ , poiché $|z^k|=|z|^k$ per ogni $k$ . Di conseguenza, abbiamo

$\sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{|z^k|}{k!} = \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{ |z|^k }{k!} = \mathrm{e}^{|z|},$

dove l’ultima uguaglianza segue dal fatto che la serie di potenze reale dell’esponenziale converge assolutamente.

Osservazione 17. Per ulteriori dettagli sulle serie complesse, le serie di potenze e le relative nozioni di convergenza, si rimanda alla Sezione “Esponenziale complesso e identità di Eulero” di Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di matematica o fisica).

Dal momento che l’esponenziale è definito tramite serie di potenze, per interpretare correttamente $\mathrm{e}^z \cdot \mathrm{e}^w$ introduciamo una nozione fondamentale:

Definizione 18. Siano $\sum_{n \in \mathbb N} a_n$ e $\sum_{n \in \mathbb N} b_n$ due serie complesse. Il prodotto di Cauchy, generalmente denotato come

$\left(\sum_{n \in \mathbb N} a_n \right) \left( \sum_{n \in \mathbb N} b_n \right),$

è la serie $\sum_{n \in \mathbb N} d_n$ , dove

$d_n = \sum_{k = 0}^n a_k b_{n-k}, \quad \text{per ogni } n \in \mathbb N.$

Osservazione 19. Se entrambe le serie convergono assolutamente, allora lo stesso vale anche per la serie definita dal prodotto di Cauchy.

Proposizione 20. Siano $z_1,z_2 \in \mathbb C$ . Allora

$\mathrm{e}^{z_1+ z_2} = {e}^{z_1} \mathrm{e}^{z_2}.$

Dimostrazione. Il termine a sinistra è dato da

$\mathrm{e}^{z_1+z_2} = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{ (z_1+z_2)^n }{n!},$

perciò possiamo sfruttare lo sviluppo binomiale

$(z_1+z_2)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} z_1^k z_2^{n-k}$

per riscriverlo come segue:

$\mathrm{e}^{z_1+z_2} = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{1}{n!} \left[ \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} z_1^k z_2^{n-k} \right].$

Per quanto riguarda il termine a destra, invece, abbiamo

$\mathrm{e}^{z_1} \mathrm{e}^{z_2} = \sum_{n =0}^{+ \infty} \sum_{k = 0}^n \frac{z_1^k}{k!} \frac{z_2^{n-k}}{(n-k)!}$

perciò per concludere ci basta far vedere che

$\frac{1}{k!} \frac{1}{(n-k)!} = \frac{1}{n!} \binom{n}{k} \qquad \text{per ogni } n \in \mathbb N \text{ e per ogni } k \le n.$

Tuttavia questo è banale ricordando che il binomiale è definito come

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}.$

Teorema 21. (Eulero) Sia $\vartheta \in \mathbb{R}$ . Allora si ha

(11) $\begin{equation*} \mathrm{e}^{\imath \vartheta} = \cos \vartheta + \imath \sin \vartheta. \end{equation*}$

Osservazione 22. La dimostrazione di questo risultato richiede la conoscenza di alcuni risultati sulle serie di Taylor, in particolare che

$\mathrm{e}^x, \quad \cos x, \quad \sin x$

sono funzioni analitiche su tutto $\mathbb R$ . Si può consultare, ad esempio, Espanzione di Taylor: teoria, esempi ed applicazioni pratiche (Capitolo “Serie di Taylor e funzioni analitiche”) per maggiori dettagli e per la dimostrazione del fatto che seno e coseno sono analitiche e si scrivono come

$\cos x = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} \quad \text{e} \quad \sin x = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1},$

Per quanto riguarda la dimostrazione della formula (11), si può consultare la Sezione “Esponenziale complesso e identità di Eulero” di Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di matematica o fisica).

Per il resto del documento prenderemo la (11) come definizione di esponenziale di un numero puramente immaginario in modo tale che

$\mathrm{e}^z = \mathrm{e}^x \mathrm{e}^{\imath y}, \quad \text{con } z= x+\imath y$

sia verificata per ogni $z \in \mathbb C$ .

Rappresentazione polare.

Ora siamo pronti a dimostrare che qualsiasi numero complesso non nullo può essere espresso in forma esponenziale.

Corollario 23. Sia $\vartheta \in \mathbb{R}$ . Allora

$\cos \vartheta = \frac{\mathrm{e}^{\imath \vartheta} + \mathrm{e}^{-\imath \vartheta}}{2} \quad \text{e} \quad \sin \vartheta = \frac{\mathrm{e}^{\imath \vartheta} - \mathrm{e}^{-\imath \vartheta}}{2\imath}.$

In particolare, dato $z \in \mathbb C$ diverso da zero abbiamo

$z = |z| \mathrm{e}^{\imath \text{Arg }z}.$

Quest’ultima è nota come forma esponenziale di un numero complesso ed è, ovviamente, equivalente a quella trigonometrica.

In virtù dell’identità di Eulero (11), se $z = x + \imath y$ , con $x$ e $y$ reali, possiamo riscrivere l’esponenziale come

$\mathrm{e}^z = \mathrm{e}^{x + \imath y} = \mathrm{e}^x \mathrm{e}^{\imath y} = \mathrm{e}^x \left( \cos y + \imath \sin y \right).$

Questa formula ci consente di verificare facilmente che $\mathrm{e}^z$ conserva alcune proprietà già valide per i numeri reali, come ad esempio

$\mathrm{e}^{z_1-z_2} = \frac{\mathrm{e}^{z_1}}{\mathrm{e}^{z_2}}.$

Inoltre, se $k$ è un numero intero, è semplice osservare che

$\left(\mathrm{e}^z\right)^k = \mathrm{e}^{kz}.$

Tuttavia, se $k$ non è un numero intero, il risultato rappresenta una funzione potenza a più valori, che esamineremo dettagliatamente in seguito.

Esempio 2. Dimostriamo per induzione che per ogni $n \in \mathbb N$ vale l’identità

$(\mathrm{e}^{z})^n=\mathrm{e}^{nz}.$

Iniziamo con il caso base $n = 2$ . Il termine a destra si esprime facilmente tramite la serie di potenze (10), ovvero

$\mathrm{e}^{2z} = \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{(2z)^k}{k!} = \sum_{k = 0}^{+\infty} 2^k \cdot \frac{z^k}{k!}.$

Per il termine a sinistra, abbiamo

$(\mathrm{e}^z)^2 = \left( \sum_{h = 0}^{+\infty} \frac{z^h}{h!} \right) \cdot \left( \sum_{\ell = 0}^{+\infty} \frac{z^\ell}{\ell!} \right) = \sum_{k = 0}^{+\infty} c_k z^k,$

dove il prodotto tra serie è inteso in senso di Cauchy. In particolare, i coefficienti della serie $c_k$ sono dati da

$c_k = \sum_{h=0}^k \frac{1}{h!} \frac{1}{(k-h)!} = \frac{2^k}{k!},$

come si può verificare facilmente per induzione su $k \in \mathbb N$ . Pertanto,

$(\mathrm{e}^z)^2 = \sum_{k = 0}^{+\infty} 2^k \frac{z^k}{k!} = \mathrm{e}^{2z},$

e questo conclude la dimostrazione del caso base.

Supponiamo ora che l’identità sia verificata per $n-1$ , cioè

$\mathrm{e}^{(n-1)z} = (\mathrm{e}^z)^{n-1}.$

Dimostriamola per $n$ . Iniziamo osservando che

$(\mathrm{e}^z)^n = (\mathrm{e}^z)^{n-1} \mathrm{e}^z = \mathrm{e}^{(n-1)z} \mathrm{e}^z,$

come conseguenza dell’ipotesi induttiva. Pertanto, è sufficiente verificare che

$\mathrm{e}^{(n-1)z} \mathrm{e}^z = \mathrm{e}^{nz}.$

Usando la serie di potenze (10), il termine a destra è dato da

$\mathrm{e}^{nz} = \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{(nz)^k}{k!} = \sum_{k = 0}^{+\infty} n^k \cdot \frac{z^k}{k!},$

mentre il termine a sinistra, come nel caso $n=2$ , è dato dal prodotto di Cauchy

$\mathrm{e}^{(n-1)z} \mathrm{e}^z = \sum_{k = 0}^{+\infty} c_k z^k, \quad \text{con } c_k = \sum_{h=0}^k \frac{(n-1)^h}{h!} \frac{1}{(k-h)!}.$

Ancora una volta, si può dimostrare per induzione che

$c_k = \frac{n^k}{k!},$

e questo conclude la dimostrazione della proprietà per il passo induttivo.

Applicazioni

Introduzione.

In questa sezione esploreremo alcune applicazioni fondamentali della teoria dei numeri complessi, focalizzandoci in particolare sul teorema fondamentale dell’algebra e sulla formula di Cardano.

Teorema fondamentale dell'algebra.

Un’importante conseguenza della teoria che abbiamo finora esaminato è il teorema fondamentale dell’algebra. Questo teorema afferma che ogni polinomio non costante, definito come:

$p_n(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0, \quad n \ge 1$

con coefficienti complessi ( $a_0,\ldots,a_{n-1} \in \mathbb{C}$ ), ha almeno una radice nei numeri complessi. In altre parole, esiste un numero complesso $z_0 \in \mathbb{C}$ tale che:

$p_n(z_0) = z_0^n + a_{n-1} z_0^{n-1} + \cdots + a_1 z_0 + a_0 = 0.$

Osservazione 24. Se il polinomio $p_n$ ha una radice $z_0 \in \mathbb{C}$ , possiamo applicare il Teorema di Ruffini¹ per dividerlo come segue:

$p_n(z) = (z-z_0) p_{n-1}(z),$

dove $p_{n-1}$ è un polinomio a coefficienti complessi di grado $n-1$ . Successivamente, possiamo continuare ad applicare iterativamente questo teorema per ottenere:

$p_n(z) = \prod_{j = 0}^{k} (z- z_j)^{m_j},$

dove $z_0,\ldots,z_k$ sono le radici di $p_n$ e $m_0,\ldots,m_k$ sono le rispettive molteplicità algebriche che soddisfano la relazione:

$\sum_{j = 0}^k m_j = n.$

In particolare, ogni polinomio a coefficienti complessi ammette esattamente $n$ radici (non necessariamente distinte) su $\mathbb{C}$ e, quindi, ogni polinomio a coefficienti reali ammette al più $n$ radici (non necessariamente distinte) su $\mathbb{R}$ .

Teorema 25. (Teorema Fondamentale dell’Algebra) Se $n \ge 1$ , il polinomio $p_n$ ammette almeno una radice in $\mathbb{C}$ .

La dimostrazione di questo risultato è non immediata e richiede un considerevole sforzo; pertanto, la ometteremo qui e indirizzeremo il lettore interessato all’Appendice, che è completamente opzionale ma offre un’approfondita trattazione dell’argomento.

Un’immediata conseguenza di questo teorema è che ogni polinomio a coefficienti reali di grado dispari deve ammettere almeno una radice reale.

Corollario 26. Sia $n \ge 1$ . Il polinomio a coefficienti reali

$p(x) = x^{2n+1} + a_{2n}x^{2n} + \cdots + a_1 x + a_0$

ammette almeno una radice $x_0 \in \mathbb{R}$ .

Osservazione 27. Sia $p$ un polinomio di grado $n \ge 1$ con coefficienti reali. Consideriamo un qualsiasi numero complesso $z$ . Effettuando un semplice calcolo, otteniamo:

$\begin{aligned} \overline{p(z)} &= \overline{z^{n}} + \overline{a_{n-1}z^{n-1}} + \cdots + \overline{a_1 z} + \overline{a_0} \\ &= \left( \overline{z} \right)^{n} + \overline{a_{n-1}}\left( \overline{z} \right)^{n-1} + \cdots + \overline{a_1}\left( \overline{ z} \right) + \overline{a_0} \\ &= \left( \overline{z} \right)^{n} +a_{n-1} \left( \overline{z} \right)^{n-1} + \cdots + a_1 \left( \overline{ z} \right) + a_0 = p(\bar{z}), \end{aligned}$

dal momento che, come precedentemente menzionato, i coefficienti $a_j$ sono reali (e quindi coincidono con $\overline{a_j}$ ). Di conseguenza, otteniamo:

$p(z) = 0 \iff \overline{p(z)}= 0 \iff p(\bar z) = 0,$

e ciò implica che se $p$ ha una radice complessa $z \in \mathbb C \setminus \mathbb R$ , allora il suo coniugato $\bar z \in \mathbb C \setminus \mathbb R$ è anch’esso una radice dello stesso polinomio $p$ .

Ora siamo pronti per dimostrare il Corollario 26, utilizzando tutti gli strumenti che abbiamo a disposizione.

Dimostrazione. Secondo quanto osservato nell’Osservazione 27, le radici di $p$ che appartengono a $\mathbb C \setminus \mathbb R$ sono in numero pari. Dato che sappiamo che

$\mathrm{deg}(p) = 2n + 1,$

possiamo dedurre che possono esserci al massimo $n$ coppie $(z_j,\bar z_j)$ , che potrebbero non essere tutte distinte. Pertanto, in base al Teorema 25, deve esistere almeno una radice reale.

La formula di Cardano.

La formula di Cardano permette di trovare tutte le soluzioni sul campo dei numeri complessi $\mathbb C$ di equazioni cubiche della forma

(12) $\begin{equation*} x^3 + px + q, \quad \text{con } p,q \in \mathbb R. \end{equation*}$

Questa permette di dedurre una formula risolutiva per cubiche qualsiasi dal momento che a partire dall’equazione

(13) $\begin{equation*} ay^3 + by^2 + cy + d = 0, \quad a \neq 0, \end{equation*}$

possiamo sempre ridurci ad una della forma (12). In effetti, applicando la trasformazione $y \mapsto x := y + \frac{b}{3a}$ , otteniamo

$x^3 + \left( \frac{3ac - b^2}{3a^2} \right) x + \left( \frac{27a^2d + 2b^3 - 9abc}{27a^3} \right) = 0,$

perciò non è riduttivo limitarsi a equazioni della forma (12). Poniamo ora

$x = u+v \quad \text{con } uv = - \frac{p}{3} \text{ e } u \neq 0,$

ed andiamo a sostituire in (12), ottenendo

$\begin{aligned} (u+v)^3 + p(u+v) + q & = u^3 + v^3 + 3 u^2v + 3uv^2 + pu + pv + q \\ & = u^3 + v^3 - pu - pv + pu + pv + q \\ & = u^3 + v^3 +q \\ & = u^3 - \frac{p^3}{27 u^3} + q = 0, \end{aligned}$

dove abbiamo usato più volte la relazione $uv = -p/3$ . Moltiplicando per $u^3$ si arriva da un’equazione di sesto grado:

$u^6 + q u^3 - \frac{p^3}{27} = 0.$

Dato che l’equazione è quadratica nella variabile $u^3$ , possiamo introdurre $t := u^3$ ed utilizzare la formula risolutiva per equazioni di secondo grado:

$t_{\pm} = - \frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}.$

Se $u^3 = t_+$ , allora è facile verificare che

$v^3 = - \frac{p^3}{27u^3} = t_-,$

ed analogamente da $u^3 = t_-$ si trova $v^3 = t_+$ ; in particolare, si ottengono le stesse radici e, dunque, senza perdere di generalità consideriamo il caso

$u^3 = t_+ \quad \text{e} \quad v^3 = t_-.$

Siano ora $S$ e $T$ le rispettive radici cubiche, ovvero

$S = \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} \quad \text{e} \quad T = \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}.$

Dalla teoria dei numeri complessi sviluppata nei paragrafi precedenti, le soluzioni di $u^3=t_+$ e $v^3 = t_-$ sono date da

$u = S \omega_3^j \quad \text{e} \quad v = T \omega_3^k \quad \text{per } j,k \in \{0,1,2\},$

dove $\omega_3$ è una radice terza primitiva² dell’unità, ad esempio

$\omega_3 = - \frac{1}{2} + \imath \frac{\sqrt{3}}{2}.$

Tuttavia il vincolo che abbiamo scelto all’inizio sul prodotto $uv = -p/3$ ci dice che solo tre sono ammissibili, ovvero

$x = \begin{cases} S + T, \\ \omega_3 S + \omega_3^2 T, \\ \omega_3^2 S + \omega_3 T. \end{cases}$

Queste si possono facilmente riportare al caso dell’equazione generale (13) sfruttando la trasformazione al contrario, ottenendo

$y = \begin{cases} S + T-\frac{b}{3a}, \\ \omega_3 S + \omega_3^2 T -\frac{b}{3a} , \\ \omega_3^2 S + \omega_3 T-\frac{b}{3a}. \end{cases}$

$\[\]$

Questo risultato è noto in letteratura come Teorema di Ruffini. ↩

Ai fini di questo documento non è importante sapere cosa si intende con “radice primitiva”, ma per più dettagli si può iniziare da qui. ↩

Appendice

Introduzione.

In questa sezione, approfondiremo alcuni dei concetti precedentemente menzionati e presenteremo la dimostrazione del Teorema Fondamentale dell’Algebra.

Alcuni cenni su argomento e logaritmo complesso.

Prima di esplorare in dettaglio gli argomenti e i logaritmi complessi, concediamoci una breve digressione sul concetto di funzioni a più valori.

Definizione 28. Una funzione a più valori tra due insiemi $X$ ed $Y$ è una funzione (in senso classico) da $X$ nell’insieme delle parti di $Y$ , ovvero

$f : X \xrightarrow{} \mathcal P(Y).$

Per maggiori dettagli su $\mathcal P(Y)$ si può far riferimento alla Definizione 32.

Osservazione 29. Se $f,g : X \to Y$ sono funzioni a più valori, allora

$f(x) = g(x)$

corrisponde a dire che $f(x)$ e $g(x)$ coincidono come sottoinsiemi di $Y$ .

Esempio 3. La radice quadrata definita sui reali non negativi, ovvero

$\sqrt{\cdot} : \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb R,$

è una funzione a più valori. Infatti, dato $x \in \mathbb R$ positivo e diverso da zero, esiste un reale positivo $y \in \mathbb R$ tale che

$y^2 = (-y)^2 = x.$

In particolare, la radice associa ad ogni reale $>0$ due valori (uno positivo ed uno negativo) ed associa a zero un unico valore (zero). Le due restrizioni

$\sqrt{\cdot} : \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}_{\ge 0} \qquad \text{e} \qquad \sqrt{\cdot} : \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}_{\le 0}$

sono funzioni in senso classico e possono essere prese entrambe (in maniera del tutto arbitraria) come “valore principale” della radice.

Esempio 4. Un esempio di funzione a più valori che abbiamo già incontrato è quello della radice $n$ -esima in $\mathbb C$ . In effetti, abbiamo visto che

$z^n = w$

ammette $n$ soluzioni distinte per $z \neq 0$ .

Esempio 5. L’argomento di un numero complesso non nullo è una funzione multivalore. Per comprendere questo concetto, consideriamo l’equazione reale:

$\cos \vartheta = \frac{\mathfrak{Re}(z)}{|z|}$

Questa equazione ammette infinite soluzioni, rappresentate da:

$\vartheta = \arccos \left( \frac{\mathfrak{Re}(z)}{|z|} \right) + 2k \pi, \quad \text{dove } k \in \mathbb{Z}.$

A differenza della radice $n$ -esima, che associa un numero finito di valori al suo codominio, l’argomento di un numero complesso associa infiniti valori al suo codominio. In altre parole:

$\arg z = \left\{ \text{Arg }z + 2k \pi \: : \: k \in \mathbb{Z}\right\}.$

Dalla molteplicità di valori associati a una funzione complessa a più valori, è possibile selezionare uno di questi valori multipli come “principale” per definire una funzione in senso classico.

Esempio 6. L’argomento principale, che abbiamo precedentemente introdotto, è una funzione in senso classico definita come la soluzione dell’equazione:

$\cos \text{Arg }z = \frac{\mathfrak{Re}(z)}{|z|}, \quad \text{Arg }z \in [-\pi, \pi).$

Questa definizione corrisponde a scegliere, tra i molti valori possibili di $\arg z$ , quello che rientra nell’intervallo $[- \pi, \pi)$ . Tuttavia, va notato che questa scelta è arbitraria. Ad esempio, se definiamo

$\cos \widetilde{\text{Arg }} z = \frac{\mathfrak{Re}(z)}{|z|}, \quad \widetilde{\text{Arg }} z \in [0, 2\pi),$

otteniamo una funzione con le stesse proprietà di $\text{Arg }z$ .

A questo punto possiamo tornare a parlare dell’argomento di un numero complesso e delle proprietà che soddisfa. Dato che

(14) $\begin{equation*} \arg z = \left\{ \text{Arg }z + 2 k \pi \: : \: k \in \mathbb{Z} \right\}, \end{equation*}$

si può invertire questa formula per ottenere il valore principale come

$\text{Arg }z = \vartheta + \left\lfloor \frac{1}{2} - \frac{\vartheta}{2 \pi} \right\rfloor \cdot 2 \pi, \quad \text{per ogni } \vartheta \in \arg z,$

dove la funzione $\lfloor \cdot \rfloor : \mathbb{R}\to \mathbb{Z}$ associa ad ogni numero reale il più grande intero minore o uguale, ovvero $\lfloor x \rfloor$ è l’unico intero tale che

$x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x.$

Studiamo adesso alcune proprietà dell’argomento principale. Abbiamo già osservato in precedenza che la seguente identità non è verificata

${\color{red} \text{Arg } (z_1z_2)=\text{Arg }z_1 + \text{Arg }z_2},$

dal momento che la somma a destra potrebbe non appartenere a $[-\pi,\pi)$ . Per rimediare, si può introdurre il fattore correttivo

(15) $\begin{equation*} N_\pm(z_1,z_2) := \begin{cases} -1 & \text{se } \text{Arg }z_1 \pm \text{Arg }z_2 > \pi, \\ 0& \text{se } -\pi<\text{Arg }z_1 \pm \text{Arg }z_2 \le \pi, \\ 1 & \text{se } \text{Arg }z_1 \pm \text{Arg }z_2 \le -\pi.\end{cases} \end{equation*}$

A questo punto, un semplice calcolo mostra che per prodotto e rapporto si ha:

(16) $\begin{equation*} \begin{aligned} & \text{Arg }(z_1z_2) = \text{Arg }z_1 + \text{Arg }z_2 + 2 \pi N_+, \\ & \text{Arg }(z_1/z_2) = \text{Arg }z_1 - \text{Arg }z_2 + 2\pi N_-. \end{aligned} \end{equation*}$

Esempio 7. Se prendiamo $z_1 = 1$ e $z_2 = z$ si vede immediatamente che per ogni $z \neq 0$ il valore principale dell’argomento dell’inverso $z^{-1}$ è dato da

$\text{Arg }(1/z) = \text{Arg }\bar{z} = \begin{cases} \text{Arg }z &\text{se } \mathfrak{Im}(z)=0, \\ - \text{Arg }z & \text{se } \mathfrak{Im}(z)\neq0. \end{cases}$

Un’altra proprietà interessante riguarda le potenze. Dato $z \in \mathbb C$ diverso da zero, possiamo verificare per induzione che:

(17) $\begin{equation*} \arg z^n = n \arg z + 2 \pi N_n, \end{equation*}$

dove $N_n$ è definito come:

$N_n := \left\lfloor \frac{1}{2} - \frac{n}{2\pi} \arg z\right\rfloor.$

Per quanto riguarda la funzione a più valori $\arg z$ , invece, dato che non ci sono vincoli, si comporta come ci si aspetta per prodotto e rapporto:

$\begin{aligned} & \arg (z_1z_2) = \arg z_1 + \arg z_2, \\ & \arg(z_1/z_2) = \arg z_1 - \arg z_2, \\ & \arg(1/z) = \arg \bar z = -\arg z, \end{aligned}$

e queste sono tutte da intendersi come uguaglianze tra insiemi trattandosi di funzioni a più valori. Ne dimostriamo una per fare pratica:

Esempio 8. Dati $z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$ , vogliamo dimostrare che vale la seguente uguaglianza tra insiemi:

$\arg(z_1z_2) = \arg z_1 + \arg z_2.$

Il termine di destra è immediato da scrivere, infatti si ha:

(18) $\begin{equation*} \arg z_1 + \arg z_2 = \left\{ \text{Arg }z_1 + \text{Arg }z_2 + 2(k+h)\pi \: : \: k,h \in \mathbb{Z} \right\}, \end{equation*}$

mentre per il termine a sinistra utilizziamo la relazione (14) con la formula (16) per ottenere la seguente identità tra insiemi:

$\arg(z_1z_2) = \left\{ \text{Arg }z_1 + \text{Arg } z_2 + 2 (k + N_+) \pi \: : \: k \in \mathbb{Z} \right\}.$

È facile vedere che il termine $2 N_+ \pi$ è una traslazione e, dato che $k$ varia in tutto $\mathbb{Z}$ , possiamo riscrivere l’insieme sopra come:

(19) $\begin{equation*} \arg(z_1z_2) = \left\{ \text{Arg }z_1 + \text{Arg }z_2 + 2 \ell \pi \: : \: \ell \in \mathbb{Z} \right\}, \end{equation*}$

ponendo $\ell := k + N_+$ . Per concludere che gli insiemi (18) e (19) sono uguali, basta osservare che per ogni scelta di $k,h \in \mathbb{Z}$ possiamo prendere $\ell = k + h$ per ottenere l’uguaglianza tra gli elementi degli insiemi.

Quando si ha a che fare con insiemi bisogna fare attenzione perché identità apparentemente banali sono false, ad esempio

(20) $\begin{equation*} \arg z + \arg z \neq 2 \arg z \quad \text{e} \quad \arg z - \arg z\neq \{0\} \end{equation*}$

e, più in generale, si può dimostrare che per ogni $n \in \mathbb{N}$ si ha

(21) $\begin{equation*} \arg z + \cdots + \arg z = \arg z^n \neq n \arg z. \end{equation*}$

Per fare ulteriormente pratica con la nozione di funzioni a più valori, facciamo vedere (20) e deduciamo poi (21).

Dimostrazione. Iniziamo dimostrando che $\arg z - \arg z \neq 0$ per ogni $z \in \mathbb{C}$ diverso da zero. Utilizziamo la definizione per scrivere

$\arg z - \arg z = \left\{ \text{Arg }z + 2k \pi - (\text{Arg }z + 2h \pi) \: : \: h,k \in \mathbb{Z}\right\},$

e semplifichiamo i termini comuni ottenendo

$\arg z - \arg z = \left\{ 2(k-h)\pi \: : \: h,k \in \mathbb{Z}\right\}.$

L’insieme ottenuto non è uguale a $\{0\}$ perché ogni scelta $h \neq k$ produce un elemento diverso da zero. In particolare, concludiamo che

$\arg z - \arg z \supset \{0\} = 0,$

e l’inclusione è stretta per ogni $z$ .

Per dimostrare (21), iniziamo con il caso base, ovvero $n = 2$ . Vogliamo mostrare che per ogni $z \in \mathbb{C}$ diverso da zero si ha

$\arg z + \arg z \neq 2 \arg z.$

Il termine a sinistra si scrive come

$\arg z + \arg z = \left\{ 2 \text{Arg } z + 2(k+h)\pi \:\: k,h \in \mathbb{Z}\right\},$

mentre il termine a destra è dato da

$2 \arg z = \left\{ 2 \text{Arg }z + 4 \ell \pi \: \ell \in \mathbb{Z}\right\}.$

Per verificare che questi due insiemi sono diversi, ci basta trovare un elemento che appartiene a uno ma non all’altro. Ad esempio, si ha

$2\text{Arg }z + 2 \pi \in \arg z + \arg z$

scegliendo $k = 1$ ed $h = 0$ , ma non appartiene a $2 \arg z$ dato che non c’è nessuna scelta possibile di $\ell$ . In particolare, si può verificare l’inclusione stretta

$2 \arg z \subset \arg z + \arg z,$

per ogni $z \in \mathbb{C}$ diverso da zero. Il caso generico $n \in \mathbb{N}$ si dimostra esattamente allo stesso modo; il termine a sinistra è dato da

$\arg z + \cdots + \arg z = \left\{ n \text{Arg }z + 2(k_1+ \cdots + k_n)\pi \: k_1,\ldots,k_n \in \mathbb{Z}\right\},$

mentre quello a destra da

$n \arg z = \left\{ n \text{Arg }z + (2n) \ell \pi \: \ell \in \mathbb{Z} \right\}.$

A questo punto, basta prendere $k_1=1$ e $k_2 = \cdots = k_n = 0$ per avere

$n \Arg z + 2 \pi \in \arg z + \cdots + \arg z,$

ma questo non può appartenere all’insieme $n \arg z$ dato che non c’è alcun valore di $\ell$ possibile. In particolare, si ha l’inclusione stretta

$n \arg z \subset \arg z + \cdots + \arg z = \arg z^n,$

e questo conclude la dimostrazione.

$\[\]$

Logaritmo complesso

Il logaritmo reale è spesso definito come la funzione inversa dell’esponenziale; ovvero, dato $x_0 > 0$ , si denota $\log x_0$ l’unica soluzione dell’equazione

(22) $\begin{equation*} \mathrm{e}^{x} = x_0. \end{equation*}$

Se vogliamo fare un discorso analogo in $\mathbb C$ , prendiamo $w \in \mathbb C$ diverso da zero e cerchiamo di risolvere l’equazione complessa

$\mathrm{e}^z = w.$

E’ tuttavia immediato verificare che questa equazione ha infinite soluzioni dato che per ogni $k \in \mathbb Z$ ed ogni $z \in \mathbb C$ si ha

$\mathrm{e}^{z+\imath 2k\pi} = \mathrm{e}^z.$

Se $z = u+ \imath v$ e $w =|w| \mathrm{e}^{\imath \text{Arg }w}$ , allora l’equazione si riscrive come

$\mathrm{e}^u \mathrm{e}^{\imath v} = |w| \mathrm{e}^{\imath \text{Arg }w},$

e questa è equivalente al seguente sistema di equazioni reali:

$\begin{cases} \mathrm{e}^u = |w|, \\ v = \text{Arg }w + 2k \pi, & k \in \mathbb Z. \end{cases}$

La prima equazione è esattamente nella forma (22), quindi ha come unica soluzione il logaritmo reale $u = \log|w|$ .

Definizione 30. Il logaritmo complesso di $w \in \mathbb{C}\setminus \{0\}$ è dato da

(23) $\begin{equation*} \log w := \log |w| + \imath \arg w. \end{equation*}$

Questa è una funzione a più valori (infiniti, per essere precisi) poiché coinvolge l’argomento di $w$ . Come valore principale del logaritmo, definiamo

$\text{Log }w := \log|w| + \imath \text{Arg }w, \quad \text{con } \text{Arg }w \in [-\pi,\pi),$

estendendo così il concetto di logaritmo al piano complesso, escludendo l’origine $z=0$ su cui il logaritmo risulta singolare. Inoltre, osserviamo che

$\text{Log }(-1) = \log|-1| + \imath \pi = \imath \pi,$

mentre se $w$ è un numero reale e positivo, allora $\text{Arg }w = 0$ e la formula sopra si riduce al logaritmo reale dei numeri reali positivi.

Osservazione 31. La relazione tra $\log z$ e il suo valore principale è data da

$\log z = \left\{ \text{Log }z + 2 k \pi \imath \: : \: k \in \mathbb Z \right\}.$

Perciò, in termini di $\text{Arg }z$ , si ha l’identità

$\log z = \left\{ \log |z| + \imath \left[ \text{Arg }z + 2 k \pi \right] \: : \: k \in \mathbb Z \right\}.$

Iniziamo notando che per definizione abbiamo $\mathrm{e}^{\text{Log }z} = z$ , mentre è legittimo domandarsi se la relazione inversa

(24) $\begin{equation*} \text{Log }\mathrm{e}^z = z \end{equation*}$

sia verificata almeno per qualche valore $z \neq 0$ . Sfruttando le proprietà dell’argomento e scrivendo $z$ in forma algebrica come $x + \imath y$ , otteniamo

(25) $\begin{equation*} \text{Log }\mathrm{e}^z = z + 2\pi \imath \left\lfloor \frac{1}{2} - \frac{y}{2\pi} \right\rfloor,\end{equation*}$

e quindi (24) vale se e solo se $y \in [-\pi,\pi)$ .

Per quanto riguarda il logaritmo principale di prodotti, rapporti e potenze, dobbiamo introdurre un fattore correttivo. Più precisamente, otteniamo che

$\begin{aligned} \text{Log }(z_1 z_2) &= \text{Log }z_1 + \text{Log }z_2 + 2 \pi \imath N_+, \\ \text{Log }(z_1/ z_2) &= \text{Log }z_1 - \text{Log }z_2 + 2 \pi \imath N_-, \\ \text{Log }(z^n) &= n \text{Log }z + 2 \pi \imath \left\lfloor \frac{1}{2}- \frac{n}{2\pi}\text{Arg }z \right\rfloor, \quad \text{per } n \in \mathbb{N}, \end{aligned}$

dove $N_+$ ed $N_-$ sono definiti come in (15). Queste relazioni dipendono dall’argomento principale.

Esempio 9. In particolare, prendendo $z_1 = 1$ e $z_2 = z$ nella seconda identità, otteniamo immediatamente il logaritmo dell’inverso:

$\text{Log }\frac{1}{z} = \begin{cases} - \text{Log }z + 2 \pi \imath & \text{se } z \text{ è reale e negativo}, \\ - \text{Log }z & \text{altrimenti.}\end{cases}$

Dimostrazione del Teorema Fondamentale dell'Algebra.

Questa sezione ha lo scopo di fornire una dimostrazione di tipo analitico del Teorema 25. Per farlo, cominciamo introducendo alcune nozioni di topologia che si rivelano fondamentali per la comprensione della dimostrazione.

Definizione 32. Dato un insieme $X$ , denotiamo con $\mathcal P (X)$ il corrispondente insieme delle parti, ovvero

$\mathcal P(X) := \left\{ Y \: : \: Y \subseteq X \right\}.$

In altre parole, in $\mathcal P(X)$ ci sono tutti i sottoinsiemi formati dagli elementi di $X$ .

Definizione 33. (Topologia) Una topologia $\tau$ su $X$ è un sottoinsieme di $\mathcal P(X)$ che soddisfa le seguenti proprietà:

l’insieme vuoto $\emptyset$ e $X$ appartengono a $\tau$ ;

se $A,B \in \tau$ , allora $A \cap B \in \tau$ ;

se $(A_n)_{n \in \mathbb N} \in \tau$ , allora $\cup_{n \in \mathbb N} A_n \in \tau$ .

Gli elementi di $\tau$ sono chiamati insiemi aperti della topologia $\tau$ mentre, i corrispondenti complementari, insiemi chiusi.

Definire una topologia su un insieme dato $X$ può essere complesso, poiché richiede di specificare l’insieme completo degli aperti. Per semplificare questo processo, introduciamo il concetto di “base,” che rende il lavoro significativamente più agevole.

Definizione 34. (Base) Sia $X$ un insieme e $\mathcal B\subset \mathcal P(X)$ . Diciamo che $\mathcal B$ è una base per una topologia se soddisfa le seguenti proprietà:

l’unione di tutti gli elementi di $\mathcal B$ è uguale ad $X$ ;

se $A_1,A_2 \in \mathcal B$ , allora per ogni $x \in A_1 \cap A_2$ esiste $A_3 \in \mathcal B$ tale che
$x \in A_3 \qquad \text{e} \qquad A_3 \subset A_1 \cap A_2.$

In questo caso, la topologia generata dalla base $\mathcal B$ è data esattamente dalle unioni degli elementi. In altre parole, è facile verificare che

$\tau_{\mathcal B} := \left\{ \cup_i A_i \: : \: A_i \in \mathcal B \right\}$

è una topologia su $X$ .

Esempio 10. Consideriamo $\mathbb{R}$ munito della topologia euclidea standard. Una base per questa topologia è data dall’insieme

$\mathcal{B} := \left\{ I_{a,b} := (a,b) \mid -\infty \leq a < b \leq +\infty \right\}.$

Si osserva facilmente che

$\begin{cases} a = -\infty, \\ b = +\infty \end{cases} \implies I_{a,b} = \mathbb{R},$

dimostrando così la proprietà (a). Per quanto concerne la proprietà (b), l’intersezione di due intervalli $I_{a,b} \cap I_{c,d}$ risulta essere o vuota o un intervallo del tipo $I_{\max\{a,c\}, \min\{b,d\}}$ . Ciò è sufficiente per affermare che $\mathcal{B}$ costituisce una base. Inoltre, dato che

$(a,b) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \left[a - \frac{1}{n}, b + \frac{1}{n}\right],$

segue immediatamente che la topologia generata da $\mathcal{B}$ coincide con quella euclidea.

Definizione 35. (Base) Sia $X$ un insieme. Una distanza è una funzione $d:X\times X \to [0,+\infty)$ che soddisfa le seguenti proprietà:

$d(x,y) \ge 0$ e $d(x,y) =0$ se e solo se $x = y$ ;

$d(x,y)=d(y,x)$ per ogni $x,y \in X$ ;

$d(x,z) \le d(x,y)+d(y,z)$ per ogni $x,y,z\in X$ .

Osservazione 36. Sia $X$ un insieme dotato di una distanza $d$ . A partire da questa distanza, è possibile costruire una base $\mathcal{B}$ definita come

$\mathcal{B} = \left\{ B_d(x, \varepsilon) \mid x \in X, \varepsilon > 0 \right\},$

dove $B_d(x, \varepsilon)$ rappresenta la palla aperta centrata in $x$ con raggio $\varepsilon$ , cioè

$B_d(x, \varepsilon) := \left\{ y \in X \mid d(x, y) < \varepsilon \right\}.$

La topologia generata da $\mathcal{B}$ è denotata con $\tau_d$ e viene chiamata topologia indotta dalla distanza $d$ .

Esempio 11. La topologia euclidea su $\mathbb{R}$ , come vista in precedenza, è in realtà la topologia indotta dalla distanza euclidea, definita come

$d(x, y) := |x - y|,$

dove $|\cdot|$ denota il valore assoluto. Utilizzando le notazioni dell’esempio precedente, possiamo osservare che si verifica l’uguaglianza

$B_d(x, \varepsilon) = I_{x - \varepsilon, x + \varepsilon},$

dove $B_d(x, \varepsilon)$ è la palla aperta centrata in $x$ con raggio $\varepsilon$ e $I_{x - \varepsilon, x + \varepsilon}$ rappresenta l’intervallo aperto tra $x - \varepsilon$ e $x + \varepsilon$ .

Siamo ora in possesso di tutti gli strumenti necessari per dimostrare il Teorema 25. Il primo passo consiste nel definire una topologia su $\mathbb{C}$ . Successivamente, sulla base di questa topologia, introdurremo la nozione di limite nel contesto dei numeri complessi.

Osservazione 37. La funzione definita come il modulo,

$d(z,w) := |z - w|,$

costituisce una distanza su $\mathbb{C}$ , e di conseguenza induce una topologia $\tau$ .

Identificando $\mathbb{C}$ con $\mathbb{R}^2$ , otteniamo che la topologia indotta è la topologia euclidea. In questo contesto, un insieme $A \subset \mathbb{C}$ si definisce aperto se, per ogni $z_0 \in A$ , esiste $\epsilon > 0$ tale che il disco aperto di centro $z_0$ e raggio $\epsilon$ ,

$\mathbb{D}(z_0, \epsilon) := \left\{ z \in \mathbb{C} \mid |z - z_0| < \epsilon \right\},$

è contenuto in $A$ . Per una funzione a valori complessi $f : U \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ e per un punto $z_0 \in U$ , definiamo

$\lim_{z \to z_0} f(z) = L \in \mathbb{C}$

se, per ogni $\epsilon > 0$ , esiste $\delta > 0$ tale che

$z \in \mathbb{D}(z_0, \delta) \setminus \{z_0\} \implies f(z) \in \mathbb{D}(L, \epsilon).$

Analogamente al caso reale, definiamo

$\lim_{z \to z_0} f(z) = \infty$

se, per ogni $M > 0$ , esiste $\delta > 0$ tale che

$z \in \mathbb{D}(z_0, \delta) \setminus \{z_0\} \implies |f(z)| > M.$

Nel caso in cui $U$ non sia limitato (ad esempio, $U = \mathbb{C}$ ), consideriamo anche il limite per $z$ che tende all’infinito. Scriviamo

$\lim_{z \to \infty} f(z) = L \in \mathbb{C} \quad \text{oppure} \quad \lim_{|z| \to +\infty} f(z) = L \in \mathbb{C}$

se, per ogni $\epsilon > 0$ , esiste $N > 0$ tale che

$|z| > N \implies f(z) \in \mathbb{D}(L, \epsilon).$

La definizione di limite uguale ad infinito si estende in modo analogo, ovvero

$\lim_{z \to \infty} f(z) = \infty$

se, per ogni $M > 0$ , esiste $N > 0$ tale che $|z| > N$ implica $|f(z)| > M$ .

Dimostrazione Teorema 25. Consideriamo un polinomio generico di grado $n$ a valori complessi, definito come

$p_n(z) = z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0.$

Analizziamo il comportamento di $|p_n|$ per $|z| \to +\infty$ . Raccogliendo il termine di grado massimo, otteniamo

$\lim_{|z|\to+\infty} |p_n(z)| = \lim_{|z|\to + \infty} \left|z^n \left(1 + \sum_{j=0}^{n-1} a_j z^{j-n} \right) \right| = + \infty.$

Per la definizione di limite, esiste $r > 0$ tale che

(26) $\begin{equation*} |p_n(z)| > |p_n(0)| \quad \text{per ogni } z \in \mathbb{C} \text{ con } |z| > r. \end{equation*}$

Consideriamo il disco chiuso $\mathbb{D}_r := \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| \le r\}$ , che è compatto nella topologia introdotta precedentemente. La restrizione di $|p_n|$ a $\mathbb{D}_r$ ,

$|p_n| \, \Big|_{\mathbb{D}_r} : \mathbb{D}_r \to [0,+\infty),$

è continua. Per il teorema di Weierstrass, esiste $z_0 \in \mathbb{C}$ , punto di minimo di $|p_n|$ . Quindi,

$|p_n(z_0)| \le |p_n(z)| \quad \text{per ogni } z \in \mathbb{D}_r.$

Poiché $0 \in \mathbb{D}_r$ , si ha $|p_n(z_0)| \le |p_n(0)|$ . Grazie a (26), $z_0$ è un minimo globale. Se $p_n(z_0) = 0$ , la dimostrazione è completa. Supponiamo $p_n(z_0) \neq 0$ e consideriamo lo sviluppo in Taylor di $p_n$ in $z_0$ ,

$p_n(z) = p_n(z_0) + b_k(z-z_0)^k + \cdots + b_n(z-z_0)^n,$

dove $b_k, \ldots, b_n \in \mathbb{C}$ con $b_k \neq 0$ e $1 \le k \le n$ . In particolare,

$p_n(z) = p_n(z_0) + b_k(z-z_0)^k + R(z),$

dove il resto $R$ è un $o$ -piccolo di $(z-z_0)^k$ , soddisfacendo

$\lim_{z \to z_0} \frac{R(z)}{(z-z_0)^k} = 0.$

Per la definizione di limite, esiste $\delta > 0$ tale che

(27) $\begin{equation*} \frac{|R(z)|}{|z-z_0|^k} < \frac{|b_k|}{2} \quad \text{per ogni } z \neq z_0 \text{ con } |z-z_0| < \delta. \end{equation*}$

Scegliendo $\epsilon$ sufficientemente piccolo e $z_\epsilon \in \mathbb{C}$ che soddisfi $b_k(z_\epsilon - z_0)^k = - \epsilon p_n(z_0)$ , e tendente a $z_0$ per $\epsilon \to 0^+$ , abbiamo

$|R(z_\epsilon)| < |z_\epsilon-z_0|^k \frac{|b_k|}{2} = \frac{\epsilon}{2} |p_n(z_0)|,$

e quindi

$\begin{aligned} |p_n(z_\epsilon)| &= |p_n(z_0) - \epsilon p_n(z_0) + R(z_\epsilon)| \\ &= |(1-\epsilon)p_n(z_0) + R(z_\epsilon)| \\ &\le |1-\epsilon||p_n(z_0)| + |R(z_\epsilon)| \\ &< |1-\epsilon||p_n(z_0)| + \frac{\epsilon}{2} |p_n(z_0)| < |p_n(z_0)|. \end{aligned}$

Questa conclusione è in contraddizione con il fatto che $z_0$ è un punto di minimo globale per $|p_n|$ , completando così la dimostrazione.

Riferimenti bibliografici

[1] C. Mantegazza, Problemi di Analisi I dal Corso del I Anno alla Scuola Normale Superiore di Pisa, MCM, 2016.

[2] P. Samuel, Algebraic Theory of Numbers, Hermann, 1970.

[3] M.J. Ablowitz, F.S. Athanassios S, Complex Variables: Introduction and Applications, Cambridge University Press, 2003.

[4] W. Rudin, Real and Complex Analysis (3rd edition), McGraw-Hill, 1987.

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