Radici dei numeri complessi: esercizi misti sul calcolo

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Esercizi misti sul calcolo delle radici dei numeri complessi

Scopri il mondo affascinante delle radici dei numeri complessi nel nostro esclusivo documento “Esercizi misti sul calcolo delle radici dei numeri complessi”! Questa risorsa straordinaria ti porta in un viaggio attraverso esercizi stimolanti, pieni di sfide matematiche e soluzioni illuminanti. Ideale per studenti, insegnanti e appassionati di matematica, questo articolo è un invito ad esplorare le profondità dei numeri complessi con entusiasmo e curiosità. Ogni pagina è un’avventura che ti aspetta, piena di scoperte ed emozioni matematiche. Preparati a essere affascinato dal potere e dalla bellezza dei numeri complessi!

Autori e revisori

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Autore: Francesco Paolo Maiale

Revisori: Valerio Brunetti, Nicola Fusco, Matteo Talluri, Davide La Manna.

Sommario

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Il documento “Esercizi misti sul calcolo delle radici dei numeri complessi” offre una panoramica completa ed esercizi specifici sul calcolo delle radici dei numeri complessi. L’articolo contiene esercizi che vanno dal calcolo delle radici n-esime in varie forme, alla soluzione di equazioni polinomiali complesse. Ogni sezione contiene esercizi seguiti da soluzioni dettagliate e spiegazioni, rendendo questo documento una risorsa preziosa per lo sviluppo di competenze pratiche nel problem solving con i numeri complessi.

Testi degli esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare

$z = \sqrt{ \frac{(1+\imath)^2}{(1-\imath)^3} }.$

Suggerimento.

Scrivere il numero complesso sotto radice in forma algebrica $w = a + \imath b$ e poi risolvere l’equazione

$z^2 = w$

per trovare le due radici quadrate di $w$ .

Svolgimento.

Iniziamo con lo scrivere il numero complesso dentro la radice in forma algebrica. Sviluppando le potenze si ottiene

$w := \frac{(1+\imath)^2}{(1-\imath)^3} = \frac{1 - 1 + 2 \imath}{1 + \imath - 3 \imath - 3} = \frac{\imath}{-1-\imath},$

per cui possiamo razionalizzare come fatto nell’esercizio precedente:

$w = \frac{\imath}{-1-\imath} \frac{-1+\imath}{-1+\imath} = - \frac12 (1+\imath).$

Di conseguenza, per concludere l’esercizio ci basta trovare le due soluzioni dell’equazione complessa

$z^2 = w.$

Per risolverla possiamo, ad esempio, sfruttare la forma trigonometrica di un numero complesso. Infatti, se scriviamo

$w = \rho \left[ \cos \vartheta + \imath \sin \vartheta \right],$

allora un semplice calcolo mostra che

$\rho = \sqrt{ \left(-\frac12\right)^2+\left(-\frac12\right)^2 } = \frac{\sqrt 2}{2} \quad \text{e} \quad \vartheta = -\frac34 \pi.$

L’equazione si può dunque riscrivere come

$z^2 = \frac{\sqrt 2}{2} \left[ \cos \left( -\frac34 \pi \right) + \imath \sin \left( -\frac34 \pi \right) \right],$

da cui segue immediatamente che

$z_1 =\frac{1}{\sqrt[4]{2}} \left[ \cos \frac58 \pi + \imath \sin \frac58 \pi \right] \quad \text{e} \quad z_2 = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \left[ \cos \left( -\frac38 \pi \right) + \imath \sin \left( -\frac38 \pi \right) \right]$

sono le due soluzioni dell’equazione.

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare le seguenti radici

$\begin{aligned} & z_1 = \sqrt[6]{-1},\quad z_2 =\ \sqrt{-2 \imath},\quad z_3 = \sqrt[3]{5}, \quad z_4 = \sqrt[4]{1+\imath}, \\& z_5 = \sqrt[5]{1-\imath},\quad z_6 = \sqrt{-1+\sqrt{3\imath}},\quad z_7 = \sqrt[4]{-2-2\sqrt{3\imath}}. \end{aligned}$

Suggerimento.

Stesso suggerimento dell’esercizio precedente, risolvendo $w^n = z$ per il corrispettivo valore di $n \in \mathbb N$ .

Introduzione.

Per trovare le radici $n$ -esime di $z_j \in \mathbb C$ è sufficiente risolvere l’equazione

$z^n = z_j,$

perciò svolgiamo solo alcuni degli esempi proposti e lasciamo il resto per il lettore.

Svolgimento punto 1.

Nel primo caso, ad esempio, dobbiamo risolvere

$z^6 = -1,$

e questo si può fare scrivendo entrambi i membri in forma esponenziale:

$|z|^6 \mathrm{e}^{\imath 6 \vartheta} = 1 \mathrm{e}^{- \imath \pi}.$

L’equazione è del tutto equivalente al sistema reale

$\begin{cases}|z|^6 = 1, \\ 6 \vartheta = - \pi + 2k \pi, & \vartheta \in [-\pi,\pi), \end{cases}$

da cui segue che $|z|=1$ , mentre $\vartheta$ ha sei soluzioni nell’intervallo ovvero

$\vartheta_k = - \frac{\pi}{6} + \frac{k}{3} \pi, \quad \text{con } k = -2,-1,\ldots,3.$

In particolare, le soluzioni dell’equazione (ovvero le radici seste di $-1$ ) sono

$z_k = \cos \left( - \frac{\pi}{6} + \frac{k}{3} \pi \right) + \imath \sin \left(- \frac{\pi}{6} + \frac{k}{3} \pi\right), \qquad \text{per } k = -2, -1, \ldots, 3.$

Svolgimento punto 4.

Nel quarto caso abbiamo

$z^4 = 1+ \imath \implies |z|^4 \mathrm{e}^{\imath 4 \vartheta} = \sqrt 2 \mathrm{e}^{(\imath\pi)/4},$

che è equivalente al sistema reale

$\begin{cases}|z|^4 = \sqrt{2}, \\ 4 \vartheta = \pi/4 + 2k \pi, & \vartheta \in [-\pi,\pi). \end{cases}$

Il modulo è quindi dato da $|z|=\sqrt[8]{2}$ , mentre gli angoli sono rispettivamente

$\vartheta_k = \frac{\pi}{16} + k \frac{\pi}{2}, \quad \text{con } k = -2,-1,0,1.$

In particolare, le radici quarte di $1+\imath$ sono

$z_k = \sqrt[8]{2} \left[ \cos \left( \frac{\pi}{16} + k \frac{\pi}{2} \right) + \imath\sin \left( \frac{\pi}{16} + k \frac{\pi}{2} \right) \right], \qquad \text{per } k \in \{-2, -1, 0,1\}.$

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare

$z =\sqrt{ \frac{\sqrt{3}}{3}+\imath }.$

Suggerimento.

Il numero $w$ sotto radice è già scritto in forma algebrica, quindi è sufficiente risolvere l’equazione

$z^2 = w.$

Svolgimento.

Il numero sotto radice è già scritto in forma $a + \imath b$ , quindi l’esercizio è del tutto equivalente a risolvere l’equazione complessa

$z^2 = \frac{\sqrt{3}}{3} + \imath =:w.$

Possiamo scrivere $w$ in forma trigonometrica osservando che questo ha modulo e argomento principale rispettivamente dati da

$|w| = \sqrt{ \frac39 + 1} = \frac{2\sqrt3}{3} \quad \text{e} \quad \text{Arg } w = \frac\pi3.$

Di conseguenza, l’equazione è equivalente a

$z^2 = \frac{2\sqrt3}{3} \left[ \cos \frac\pi3 + \imath \sin \frac\pi3 \right],$

da cui si ottiene immediatamente che le due radici sono

$z_1= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}} \left[\cos \frac\pi6 + \imath \sin \frac\pi6 \right] \quad \text{e} \quad z_2= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}} \left[\cos \left(- \frac56 \pi \right) + \imath \sin \left(- \frac56 \pi \right) \right],$

concludendo così l’esercizio.

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare

$\sqrt{1+\sqrt{3}\imath}.$

Suggerimento.

Come l’esercizio precedente.

Svolgimento.

Calcolare le radici quadrate di $w := 1 + \sqrt 3 \imath$ è equivalente a trovare le soluzioni dell’equazione complessa

$z^2 = w.$

Mostriamo come sfruttare la forma esponenziale per risolverla. È facile vedere che

$|w| = \sqrt{1 + 3} = 2 \quad \text{e} \quad \text{Arg } w = \arctan \sqrt{3} = \frac\pi3,$

per cui l’equazione sopra è del tutto equivalente al sistema reale

$\begin{cases} |z|^2 = 2, \\ 2 \vartheta = \frac\pi3 + 2k \pi, \quad k \in \mathbb Z.\end{cases}$

La prima equazione ha come unica soluzione $|z|=\sqrt{2}$ , mentre per quanto riguarda l’argomento abbiamo infinite soluzioni

$\vartheta_k = \frac\pi6 + k \pi, \quad k \in \mathbb Z.$

Di conseguenza, per quanto riguarda l’argomento principale (e quindi nell’intervallo $[-\pi,\pi)$ ) abbiamo soltanto due soluzioni, ovvero

$\vartheta_1 = \frac\pi6 \quad \text{e} \quad \vartheta_2 = \frac\pi6 - \pi = - \frac56 \pi.$

In particolare, le due radici quadrate di $w$ sono

$z_1 = \sqrt{2} \mathrm{e}^{\imath \frac\pi6} \quad \text{e} \quad z_2 = \sqrt{2} \mathrm{e}^{-\imath \frac56 \pi}.$

Esercizio 5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare le radici cubiche di $w=2+2\imath$ .

Suggerimento.

In questo caso conviene scrivere $w$ in forma esponenziale e poi risolvere

$(|z|\mathrm{e}^{\imath \text{Arg } z})^3 = w \mathrm{e}^{\imath \text{Arg } w}$

tramite il sistema equivalente di equazioni reali.

Svolgimento.

Iniziamo con lo scrivere $w$ in forma esponenziale. Un semplice calcolo ci mostra che il suo modulo è dato da

$|w| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2},$

mentre il suo argomento principale è

$\text{Arg } w = \arctan \frac22 = \arctan 1 = \frac\pi4,$

perciò si ha $w = 2 \sqrt{2} \mathrm{e}^{\imath \frac\pi4}$ . A questo punto non ci rimane altro da fare che risolvere l’equazione complessa

$z^3 = 2 \sqrt{2} \mathrm{e}^{\imath \frac\pi4},$

che, scrivendo anche $z$ in forma esponenziale come $|z|\mathrm{e}^{\imath \text{Arg } z}$ , sappiamo essere del tutto equivalente al sistema

$\begin{cases} |z|^3 = 2 \sqrt{2}, \\ 3 \text{Arg } z = \frac\pi4 + 2k \pi, \quad \text{Arg } z \in [-\pi,\pi). \end{cases}$

La prima equazione ha come unica soluzione $|z|= \sqrt[6]{8} = \sqrt2$ , mentre la seconda ammette tre soluzioni, ovvero

$\vartheta_1 = \frac{\pi}{12}, \quad \vartheta_2 = \frac{9}{12}\pi = \frac34 \pi, \quad \vartheta_3 = - \frac{7}{12} \pi,$

da cui si ha che le tre radici cubiche di $w$ sono

$z_1 = \sqrt2 \mathrm{e}^{\imath \frac{\pi}{12}}, \quad z_2 = \sqrt2 \mathrm{e}^{\imath \frac{3}{4}\pi}, \quad z_3 = \sqrt2 \mathrm{e}^{- \imath \frac{7}{12}\pi}.$

Esercizio 6 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare le radici quadrate e cubiche dei seguenti numeri complessi:

$\begin{aligned} &z_1 =-3, \quad z_2 = 1 - \sqrt{3}\imath, \quad z_3 = - 1 - 2 \imath, \\&z_4 = -\imath, \quad z_5 = 1-\imath, \quad z_6 = 2 + \imath. \end{aligned}$

Suggerimento.

Trovare le radici quadrate e cubiche di un numero complesso $w$ corrisponde, rispettivamente, a risolvere le equazioni

$z^2 = w \quad \text{e} \quad z^3 = w.$

Introduzione.

Dato che si tratta di ragionare allo stesso modo per ogni $z_i$ , svolgiamo l’esercizio soltanto per due casi e lasciami gli altri al lettore.

Svolgimento punto 1.

Per calcolare le radici quadrate di $z_1$ dobbiamo risolvere

$z^2 = - 3,$

ma questa è immediato vedere che ha soluzioni $\pm \imath \sqrt{3}$ . Per le radici cubiche, invece, scriviamo $z_1$ in forma esponenziale,

$z_1 = 3 \mathrm{e}^{\imath \pi},$

e consideriamo il sistema di equazioni reali associato a $z^3 = z_1$ , ovvero

$\begin{cases} |z|^3 = 3, \\ 3 \text{Arg } z = \pi + 2k \pi & \text{Arg } z\in [-\pi,\pi). \end{cases}$

La prima equazione ha come unica soluzione $|z|=\sqrt[3]{3}$ , mentre la seconda ammette tre soluzioni distinte ovvero

$\vartheta_1 = \frac\pi3, \quad \vartheta_2 = - \frac\pi3, \quad \vartheta_3 = - \pi.$

In particolare, le tre radici cubiche di $z_1$ sono

$z_{1,1} =\sqrt[3]{3} \mathrm{e}^{\imath \frac\pi3}, \quad z_{1,2} =\sqrt[3]{3} \mathrm{e}^{-\imath \frac\pi3}, \quad z_{1,3} =\sqrt[3]{3} \mathrm{e}^{-\imath \pi} = - \sqrt[3]{3}.$

Ovviamente, dato che l’equazione ha grado dispari, una delle radici è necessariamente reale ( $z_{1,3}$ ).

Svolgimento punto 6.

Per quanto riguarda $z_6 = 2 + \imath$ conviene scriverlo in forma esponenziale anche per il calcolo delle radici quadrate. Si ha

$|z_6| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt 5 \quad \text{e} \quad \vartheta:=\text{Arg } z_6 = \arctan \frac12 \approx 0.46,$

avendo preso come argomento principale l’unica soluzione dell’arcotangente nell’intervallo $[-\pi,\pi)$ . Le radici quadrate sono le soluzioni di

$z^2 = \sqrt 5 \mathrm{e}^{\imath \vartheta},$

e sono dunque date da

$(z_6^q)_{1,2} = \pm \sqrt[4]{5} \left[ \cos \left( \frac12 \arctan \frac12 \right)+\imath\sin \left( \frac12 \arctan \frac12 \right) \right].$

Per quanto riguarda le radici cubiche, invece, dobbiamo risolvere

$z^3 = \sqrt 5 \mathrm{e}^{\imath \vartheta},$

che, come abbiamo visto in precedenza, è del tutto equivalente al seguente sistema di equazioni reali:

$\begin{cases} |z|^3 = \sqrt5, \\ 3\text{Arg } z = \vartheta + 2k \pi, & \text{Arg } z \in [-\pi,\pi). \end{cases}$

La prima equazione ha come unica soluzione $\sqrt[6]{5}$ , mentre la seconda ammette tre soluzioni distinte ovvero

$\text{Arg } (z_6^c)_1 = \frac\vartheta3, \quad \text{Arg } (z_6^c)_2 = \frac\vartheta3 + \frac23 \pi ,\quad \text{Arg } (z_6^c)_3 = \frac\vartheta3 - \frac23 \pi.$

Di conseguenza, le tre radici cubiche sono date da

$\begin{aligned} & (z_6^c)_1 = \sqrt[6]{5} \left[ \cos \frac\vartheta3 + \imath \sin \frac\vartheta3 \right], \\ & (z_6^c)_{2,3}=\sqrt[6]{5} \left[ \cos \left( \frac\vartheta3 \pm \frac23 \pi\right) + \imath \sin \left( \frac\vartheta3 \pm \frac23 \pi\right) \right], \end{aligned}$

concludendo l’esercizio. Osserviamo che è possibile semplificare $(z_6^c)_{2,3}$ sfruttando le formule additive di seno e coseno, ovvero

$\begin{aligned} & \sin(a+b)= \sin a \cos b + \sin b \cos a, \\ & \cos(a+b)= \cos a \cos b - \sin a \sin b, \end{aligned}$

e poi il fatto che $2/3 \pi$ è un angolo notevole:

$\cos \frac23 \pi = - \frac12 \quad \text{e} \quad \sin \frac23 \pi = \frac{\sqrt 3}{2}.$

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si dimostri che per ogni $n \in \mathbb{N}$ si ha

$(-1+\imath \sqrt{3})^n + (-1 - \imath \sqrt{3})^n = \begin{cases} 2^{n+1} & \text{se $n$ è divisibile per $3$}, \\ - 2^n & \text{altrimenti.}\end{cases}$

Suggerimento.

Utilizzare la forma trigonometrica ricordando che

$\left( \cos \vartheta + \imath \sin \vartheta \right)^n = \cos n \vartheta + \imath \sin n \vartheta.$

Svolgimento.

In coordinate trigonometriche abbiamo

$- 1 \pm \imath \sqrt{3} = 2 \left[ \cos \left(\pm \frac{2}{3} \pi \right) + \imath \sin \left(\pm \frac{2}{3} \pi \right)\right],$

dato che sono l’uno il coniugato dell’altro. Per la formula di De Moivre si ha

$(- 1 \pm \imath \sqrt{3})^n = 2^n \left[ \cos \left(\pm \frac{2}{3}n \pi \right) + \imath \sin \left(\pm \frac{2}{3}n \pi \right)\right],$

per ogni $n \in \mathbb{N}$ . Se $n$ è divisibile per $3$ , diciamo $n = 3k$ , allora

$(-1 \pm \imath \sqrt{3})^n = 2^n \left[ \cos \left( \pm 2k \pi \right) + \imath \sin \left( \pm 2k \pi \right) \right] =2^n,$

da cui prendendo la somma si ottiene il risultato desiderato:

$(- 1 + \imath \sqrt{3})^n + (- 1 - \imath \sqrt{3})^n = 2^n + 2^n = 2^{n+1}.$

Se $n$ non è divisibile per $3$ , sfruttando il fatto che il coseno (seno) è una funzione pari (dispari), otteniamo l’uguaglianza

$(- 1 + \imath \sqrt{3})^n + (- 1 - \imath \sqrt{3})^n = 2^{n+1} \cos \frac{2}{3} n \pi,$

e questo conclude osservando che

$\cos\left( \frac{2}{3} \pi + 2k \pi \right) = -\frac12 \quad \text{e} \quad \cos \left( \frac{4}{3} \pi + 2k \pi \right) = - \frac12.$

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dato $z \in \mathbb{C}$ qualsiasi, si dimostri che il prodotto della radici $n$ -esime di $z$ è uguale a $(-1)^{n+1}z$ .

Suggerimento.

Scrivere le radici $n$ -esime in forma polare e poi calcolare esplicitamente il prodotto.

Svolgimento.

Abbiamo visto che le radici $n$ -esime di $z$ non sono altro che le $n$ soluzioni distinte dell’equazione $z = w^n$ , ovvero

$w_k = |z|^{\frac1n} \mathrm{e}^{\imath \frac{\text{Arg } z + 2k \pi}{n}}, \quad k = 0, \ldots, n-1.$

Notiamo che facendo variare $k$ in questo modo c’è il rischio che da un certo punto in poi si arrivi ad avere

$\frac{ \text{Arg } z + 2k \pi }{n} \ge \pi,$

ma in questo caso è meglio rinunciare alla convenzione di rimanere in $[-\pi,\pi)$ a favore della chiarezza dato che si dovrebbe prendere

$w_k = |z|^{\frac1n} \mathrm{e}^{\imath \frac{\text{Arg } z + 2k \pi}{n}}, \quad k = -\ell_1, \ldots, \ell_2$

con $\ell_2+\ell_1= n-1$ e in modo tale che

$- \pi \le \frac{ \text{Arg } z + 2k \pi }{n} < \pi \quad \text{per ogni } k \in \{-\ell_1,\ldots,\ell_2\}.$

In ogni caso, il prodotto è dato da

$\prod_{k = 0}^{n-1} |z|^{\frac1n} \mathrm{e}^{ \imath \frac{\text{Arg } z + 2k \pi}{n}} = |z| \prod_{k = 0}^{n-1} \mathrm{e}^{\imath \frac{\text{Arg } z + 2k \pi}{n}},$

e, sfruttando la proprietà della funzione esponenziale, la produttoria si trasforma in una sommatoria all’esponente:

$\prod_{k = 0}^{n-1} |z|^{\frac1n} \mathrm{e}^{ \imath \frac{\text{Arg } z + 2k \pi}{n}} = |z| \mathrm{e}^{\imath \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{\text{Arg } z + 2k \pi}{n}}.$

Ricordando la formula per la somma dei primi $n-1$ numeri interi si calcola esplicitamente l’esponente

$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{\text{Arg } z + 2k \pi}{n} & = n \frac{\text{Arg } z}{n} + \frac{2 \pi }{n} \sum_{k = 0}^{n-1}k = \\ & = \text{Arg } z + \frac{2\pi}{n} \frac{(n-1)n}{2} = \\ & = \text{Arg } z + (n-1) \pi, \end{aligned}$

da cui segue che

$\prod_{k = 0}^{n-1} |z|^{\frac1n} \mathrm{e}^{\imath \frac{\text{Arg } z + 2k \pi}{n}} = \underbrace{|z| \mathrm{e}^{ \imath \text{Arg } z}}_{=z} \underbrace{\mathrm{e}^{\imath (n-1)\pi}}_{=(-1)^{n-1}} = (-1)^{n-1}z,$

e questo conclude.

Riferimenti bibliografici

[1] S. L. Parsonson, Pure Mathematics Vol. 2, Cambridge University Press, 1970.

[2] C. Mantegazza, Problemi di Analisi I dal Corso del I Anno alla Scuola Normale Superiore di Pisa, MCM, 2016.

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Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

Document

Alessio Fulvi

2024-07-17

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Diego Aracri

2024-07-09

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Alessandro Morra

2024-06-20

Grazie, molto rigoroso e chiaro

martina toro

2024-06-13

Sito meraviglioso! Ho scoperto per caso questo sito perché cercavo le soluzioni degli esercizi di Fisica del libro "Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde" del Mazzoldi. Riescono a spiegare in modo chiaro ed esaustivo come si svolgono i problemi. Sono un'ottima risorsa per chi sta affrontando per la prima volta gli esercizi, ma anche per chi ha già una preparazione e vuole chiarire alcuni dubbi. Inoltre sono molto gentili e disponibili. Veramente un'ottima scoperta, consiglio a tutti.

Ugo Cozzi

2024-06-02

Uno dei più bei siti online di matematica e fisica. Dispense ben fatte. Impaginazione perfetta con Latex

antonio elia

2024-05-29

Sito ben fatto e con tanto materiale consultabile, sono cinquantenne autodidatta, ed ho trovato un valido aiuto

Francesco Doria

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Stefano Parisi

Un sito ben fatto, moltissimi argomenti trattati a diversi livelli di difficoltà, ottimo sia per la teoria che per gli esercizi.

Radici dei numeri complessi: esercizi misti sul calcolo

Esercizi misti sul calcolo delle radici dei numeri complessi

Autori e revisori

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Sommario

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Testi degli esercizi

Suggerimento.

Svolgimento.

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Svolgimento punto 1.

Svolgimento punto 4.

Suggerimento.

Svolgimento.

Suggerimento.

Svolgimento.

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Suggerimento.

Introduzione.

Svolgimento punto 1.

Svolgimento punto 6.

Suggerimento.

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