Esercizi base sui numeri complessi

Home » Esercizi base sui numeri complessi

Scopri la ricchezza e la varietà degli esercizi sui numeri complessi nel nostro articolo “Numeri Complessi: Espressioni”. Questo documento offre una raccolta meticolosa di esercizi, ideale sia per studenti che per appassionati di matematica, per esplorare e padroneggiare vari aspetti dei numeri complessi. Dalla conversione delle espressioni complesse in forma algebrica al calcolo del modulo, ogni esercizio è progettato per affinare la tua comprensione e abilità nel maneggiare i concetti fondamentali dei numeri complessi. Immergiti nelle sfide matematiche che abbiamo preparato per te!

Autori e revisori

Leggi...

Autore: Francesco Paolo Maiale

Revisori: Valerio Brunetti, Nicola Fusco, Matteo Talluri, Davide La Manna.

Sommario

Leggi...

Il documento “Numeri Complessi: Espressioni” include una serie di esercizi dettagliati sui numeri complessi. Copre argomenti come la forma algebrica dei numeri complessi, il calcolo del modulo, la conversione in forma trigonometrica ed esponenziale, e varie operazioni con i numeri complessi. Ogni esercizio è seguito da una soluzione dettagliata che fornisce una guida passo-passo per comprendere meglio i concetti e le tecniche impiegate. Questo documento è ideale per chi cerca di approfondire la propria comprensione dei numeri complessi attraverso esercizi pratici.

Testi degli esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi:

$z_1 = \dfrac{3-\imath}{4-\imath}$

$z_2 = \dfrac{4-3\imath}{(2+\imath)^2}$

$z_3 = \dfrac{(2\sqrt{3}+\imath)^3}{\sqrt{3}-\imath}$

$z_4 = \dfrac{\mathrm{e}^{2+\imath}}{\mathrm{e}^{3-2\imath}}$

$z_5 = \dfrac{2-\imath}{2+\imath}$

$z_6= \mathrm{e}^{-2+3\imath}$

$z_7 = \mathrm{e}^{(2+\imath)^3}$

$z_8 = \mathrm{e}^{(1-\imath)^6}$

Suggerimento.

Nel caso di un rapporto tra due numeri complessi si può “razionalizzare” il denominatore. Per quanto riguarda i numeri complessi in forma esponenziale, è utile ricordarsi la formula di Eulero:

$\mathrm{e}^{\alpha + \imath \beta} = \mathrm{e}^\alpha \left[ \cos \beta + \imath \sin \beta \right].$

Introduzione.

Poiché il procedimento è pressoché identico per tutti i casi, ne illustreremo solo alcuni esempi tratti dall’esercizio e lasceremo gli altri al lettore come esercizio pratico. Consideriamo due scenari distinti:

Svolgimento punti 1 e 3.

Se $z$ è dato dal rapporto tra due numeri complessi, ovvero

(1) $\begin{equation*} z = \frac{\alpha + \imath \beta}{\delta + \imath \gamma}, \end{equation*}$

allora si può “razionalizzare” moltiplicando e dividendo per il coniugato del denominatore. In particolare, abbiamo l’uguaglianza

$z = \frac{\alpha + \imath \beta}{\delta + \imath \gamma} \cdot \frac{\delta - \imath \gamma}{\delta - \imath \gamma} = \frac{(\alpha + \imath \beta)(\delta - \imath \gamma) }{\delta^2 + \gamma^2}.$

A questo punto, solo il numeratore risulta essere un numero complesso ed è facile identificare parte reale e immaginaria di $z$ , risolvendo così l’esercizio:

$z = \frac{1}{\delta^2+\gamma^2} \left[ (\alpha \delta + \beta \gamma) + \imath ( \beta \delta - \alpha \gamma )\right].$

Applichiamo ora quanto detto all’esercizio. Ad esempio, dato $z_1$ si vede immediatamente che

$z_1 = \frac{3-\imath}{4-\imath} \cdot \frac{4+\imath}{4+\imath} = \frac{13 - \imath}{17} = \frac{13}{17} - \frac{1 }{17}\imath.$

Se consideriamo $z_3$ , per ridursi alla forma (1) è prima necessario sviluppare il numeratore come segue:

$\begin{aligned} (2\sqrt{3}+\imath)^3 & = 8 \cdot 3 \sqrt 3 + \imath^3 + 6 \sqrt3 \imath^2 + 3 (2 \sqrt3)^2 \imath = \\ & = 24 \sqrt3 - \imath - 6 \sqrt3 + 36 \imath = \\ & = 18 \sqrt{3} + 35 \imath. \end{aligned}$

A questo punto si procede come nel caso precedente per concludere:

$z_3 = \frac{18 \sqrt{3} + 35 \imath}{ \sqrt{3}-\imath} \cdot \frac{\sqrt{3}+\imath}{\sqrt{3}+\imath}= \frac{54+18\sqrt{3}\imath+35\sqrt{3}\imath-35}{4} = \frac{19}{4} + \frac{53 \sqrt{3}}{4} \imath.$

Svolgimento punti 4, 6 e 8.

Se $z$ è dato in forma esponenziale, ovvero $z = \mathrm{e}^w$ per qualche $w \in \mathbb C$ , allora è sufficiente scrivere $w = \alpha + \imath \beta$ e poi applicare la formula di Eulero:

$z = \mathrm{e}^{\alpha + \imath \beta} = \mathrm{e}^\alpha \left[ \cos \beta + \imath \sin \beta\right].$

Ad esempio, abbiamo

$z_6 = \mathrm{e}^{-2} \mathrm{e}^{3 \imath} = \frac{ \cos (3)}{\mathrm{e}^2} + \imath \frac{\sin(3)}{\mathrm{e}^2},$

o, analogamente, anche

$z_4 = \mathrm{e}^{2+\imath - (3-2\imath)} = \mathrm{e}^{-1+3\imath} = \frac{\cos(3)}{\mathrm{e}} + \imath \frac{\sin(3)}{\mathrm{e}} .$

Il caso di $z_8$ è leggermente diverso da trattare perché, prima di applicare la formula data sopra, bisogna calcolare esplicitamente l’esponente

$(1- \imath)^6.$

In questi casi, piuttosto che sviluppare il prodotto esplicitamente, conviene scrivere il numero complesso in forma trigonometrica/esponenziale, ovvero

$1 - \imath = \sqrt{2} \mathrm{e}^{- \frac\pi4 \imath},$

e poi prenderne la potenza richiesta:

$(1-\imath)^6 = 8 \mathrm{e}^{- \frac32 \pi \imath + 2 \pi \imath} = 8 \mathrm{e}^{\frac\pi2 \imath} = 8 \imath.$

Abbiamo aggiunto $2 \pi$ perché, per convenzione, l’argomento principale è quello contenuto nell’intervallo $[-\pi,\pi)$ . A questo punto è facile vedere che

$z_8 = \mathrm{e}^{(1-\imath)^6} = \mathrm{e}^{8 \imath} = \cos 8 + \imath \sin 8.$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi:

$z_1 = (2-3\imath)(-2+\imath)$

$z_2 = \imath^5-\dfrac{1}{\imath^3}$

$z_3 = \dfrac{1}{\imath(3+2\imath)^2}$

$z_4 = \dfrac{1+2\imath}{3-\imath}+\dfrac{2-\imath}{5\imath}$

$z_5= \dfrac{(1+\imath)^4}{3-4\imath}$

$z_6 = \dfrac{(\sqrt{3}+\imath \sqrt{2})^3}{\sqrt{2}- \imath \sqrt{3}}$

Suggerimento.

Lo stesso suggerimento dato sopra.

Svolgimento punto 1.

Per il primo sviluppiamo semplicemente il prodotto, ottenendo

$z_1 = (2-3\imath)(-2+\imath) = -4 + 2 \imath + 6 \imath - 3 \imath^2 = -1 + 8 \imath.$

Svolgimento punto 2.

Per il secondo, invece, basta osservare che le potenze di $\imath$ si possono calcolare modulo $4$ , ovvero per ogni $k \in \mathbb Z$ si ha

$\imath^{j + 4k} = \imath^j \quad \text{con } j = 0, 1,2,3.$

In particolare, abbiamo

$z_2 = \imath^5 - \imath^{-3} = \imath^{1+4} - \imath^{1-4} = \imath - \imath = 0.$

Svolgimento punto 3.

Per $z_3$ si inizia sviluppando il denominatore

$\imath(3+2\imath)^2 = \imath(9 + 12\imath - 4) = -12 + 5 \imath,$

e poi si razionalizza per ottenere la scrittura in forma algebrica:

$z_3 = \frac{1}{-12 + 5 \imath} \cdot \frac{-12-5\imath}{-12-5\imath}= \frac{-12-5\imath}{144+25} = - \frac{12}{169} - \imath \frac{5}{169}.$

Svolgimento punto 4.

Nel quarto caso si calcola il risultato dell’addizione

$\begin{aligned} z_4 & = \frac{1+2\imath}{3-\imath}+\frac{2-\imath}{5\imath} = \frac{5\imath(1+2\imath) + (3-\imath)(2-\imath)}{5\imath(3-\imath)} = \\ & = \frac{5\imath - 10 + 6 - 3\imath - 2 \imath -1}{15\imath + 5} = \\ & = \frac{-5}{15\imath + 5} = - \frac{1}{1+3\imath}, \end{aligned}$

e poi, come nel caso precedente, si razionalizza il denominatore:

$z_4 = - \frac{1}{1+3\imath}\cdot \frac{1-3\imath}{1-3\imath} = - \frac{1-3\imath}{1 + 9} = - \frac{1}{10} + \frac{3}{10} \imath.$

Svolgimento punto 5.

Per il quinto possiamo sviluppare il numeratore facendo il calcolo oppure osservando che

$1+\imath = \sqrt{2} \mathrm{e}^{\imath \frac{\pi}{4}}$

dalla formula di De Moivre

$\left( \cos \vartheta + \imath \sin \vartheta \right)^k = \cos(k\vartheta)+ \imath \sin(k\vartheta) \quad \text{per ogni } k \in \mathbb Z$

si trova

$(1+\imath)^4 = 4 \mathrm{e}^{\imath \pi} = - 4.$

Di conseguenza, razionalizzando il denominatore abbiamo

$z_5= \frac{-4}{3-4\imath} = \frac{-4(3+4\imath)}{9+16} = - \frac{12}{25} - \frac{16}{25} \imath.$

Svolgimento punto 6.

Per l’ultimo numero complesso sviluppiamo il numeratore

$(\sqrt 3 + \imath \sqrt 2)^3 = 3 \sqrt 3 + 2 \imath^3 \sqrt 2 + 9 \imath \sqrt 2 + 6 \imath^2 \sqrt 3 = -3 \sqrt 3 + 7 \imath \sqrt 2.$

Razionalizzando il denominatore si ottiene

$z_6 = \frac{-3 \sqrt 3 + 7 \imath \sqrt 2}{\sqrt 2 - \imath \sqrt 3} \cdot \frac{\sqrt 2 + \imath \sqrt 3}{\sqrt 2 + \imath \sqrt 3} = - 2 \sqrt 6 + \imath,$

e questo conclude l’esercizio.

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il modulo dei seguenti numeri complessi:

$z_1 = \frac{1}{1-\imath}+\frac{2\imath}{\imath-1},\quad z_2 = \frac{3-\imath}{(1+\imath)^2}, \quad z_3 = \left(\frac{1-3\imath}{1+\imath}-1\right)^3.$

Suggerimento.

Scrivere il numero complesso in forma algebrica $z = x + \imath y$ e poi calcolare il modulo usando la definizione, ovvero

$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.$

Introduzione.

Il primo passo è quello di scrivere i numeri complessi in forma algebrica dato che se $z = x + \imath y$ sappiamo che il modulo è dato da

$|z| = \sqrt{x^2+y^2}.$

Svolgimento punto 1.

Per il primo sviluppiamo la somma

$z_1 = \frac{1 - 2\imath}{\imath - 1} = \frac{1 - 2\imath}{\imath - 1} \cdot \frac{\imath + 1}{\imath + 1}= \frac{3 - \imath}{2} = \frac32 - \frac12 \imath.$

Svolgimento punto 2.

Anche nel secondo caso abbiamo un calcolo semplice dato che il denominatore è puramente immaginario ( $1+\imath^2=0$ ):

$z_2 = \frac{3-\imath}{1+\imath^2+ 2 \imath} = \frac{3-\imath}{2\imath} = - \frac12 - \frac32 \imath.$

Svolgimento punto 3.

Nel terzo caso facciamo prima la somma

$\frac{1-3\imath}{1+\imath} - 1 = \frac{1-3\imath - 1 - \imath}{1+\imath} = - \frac{4\imath}{1+\imath},$

da cui razionalizzando il denominatore si ottiene

$\frac{1-3\imath}{1+\imath} - 1 = - \frac{4\imath(1-\imath)}{2} = - 2 (\imath - \imath^2) = -2 (1+\imath).$

A questo punto si prende il cubo

$z_3 = -8 (1+\imath)^3 = -8(-2+2\imath) = 16(1-\imath).$

Per concludere è facile vedere che

$|z_1|=|z_2| = \sqrt{ \frac{1}{4} + \frac{9}{4} } = \frac{\sqrt{10}}{2} \quad \text{e} \quad |z_3| = \sqrt{16^2 + 16^2} = 16 \sqrt{2}.$

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi:

$z_1 = (1+\imath)^{20},\quad z_2 = (1-\imath)^{11},\quad z_3= (1+\imath \sqrt{3})^n-(1-\imath \sqrt{3})^n.$

Suggerimento.

Lo stesso suggerimento dato in precedenza.

Introduzione.

Per scrivere la forma algebrica conviene prima trovare la forma trigonometrica/esponenziale del numero tra parentesi dato che

$\left[ |z| \mathrm{e}^{(\imath \pi)/k} \right]^n = |z|^n \mathrm{e}^{(\imath n \pi)/k}.$

Svolgimento punto 1.

Nel primo caso si ha

$1 + \imath = \sqrt{2} \mathrm{e}^{(\imath \pi)/4} \implies z_1 = 2^{10} \mathrm{e}^{5 \imath \pi} = - 2^{10}$

dato che $\mathrm{e}^{5 \imath \pi} = \mathrm{e}^{\imath \pi} = -1$ .

Svolgimento punto 2.

Analogamente, per calcolare $z_2$ osserviamo che

$1 - \imath = \sqrt 2 \mathrm{e}^{- (\imath\pi)/4} \implies z_2 = 2^5 \sqrt2 \mathrm{e}^{-(3\imath\pi)/4} = -32(1+\imath).$

Svolgimento punto 3.

Nel terzo caso osserviamo che i due termini nell’addizione sono uno il coniugato dell’altro, ovvero

$\overline{1 + \imath \sqrt3} = 1 -\imath \sqrt3,$

perciò è facile verificare che:

$z_3 = \imath 2^{1 + n} \sin \frac{n \pi}{3}.$

In particolare, il risultato dipende dal resto della divisione $n/3$ :

$z_3 = \begin{cases} 0 & \text{se } n \text{ è divisibile per } 3, \\ \imath 2^n \sqrt 3 & \text{se } n = 6k + 1 \text{ o } n = 6k+2, \\ - \imath 2^n \sqrt 3 & \text{se } n = 6k + 4 \text{ o } n = 6k+5. \end{cases}$

Esercizio 5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare le potenze dei seguenti numeri complessi:

Se $z = \imath$ , calcolare $z^7$ e $z^{2002}$ .

Se $z = 1+\imath$ , calcolare $(z^{2005}+\bar{z}^{2005})/2^{1002}$ .

Se $z = \frac12 - \imath \frac{\sqrt{3}}{2}$ , calcolare $z^{8!-1}$ .

Suggerimento.

Utilizzare la forma trigonometrica o la forma esponenziale di un numero complesso.

Svolgimento punto 1.

Per il primo punto osserviamo che

$\imath^2=-1 \implies \imath^3 = - \imath \quad \text{e} \quad \imath^4 = 1.$

Di conseguenza, per calcolare $\imath^\alpha$ è sufficiente conoscere $\alpha$ modulo $4$ (ovvero, il resto della divisione per $4$ ); più precisamente, si ha

$\imath^\alpha = \begin{cases} 1 & \text{se } \alpha \text{ è divisibile per } 4, \\ \imath & \text{se } \alpha \text{ diviso } 4 \text{ ha resto } 1, \\ -1 & \text{se } \alpha \text{ diviso } 4 \text{ ha resto } 2,\\ - \imath & \text{se } \alpha \text{ diviso } 4 \text{ ha resto } 3. \end{cases}$

Svolgimento punto 2.

Per $(2)$ scriviamo $z$ e $\bar z$ in forma esponenziale, ovvero

$z = 1+\imath = \sqrt{2} \mathrm{e}^{\imath \frac\pi4} \implies \bar{z}=\sqrt{2} \mathrm{e}^{-\imath \frac\pi4},$

da cui segue immediatamente che

$\frac{z^{2005}+\bar{z}^{2005}}{2^{1002}} = \frac{2^{1002+\frac12}}{2^{1002}} \left( \mathrm{e}^{ \imath 2005 \frac\pi4}+\mathrm{e}^{- \imath 2005 \frac\pi4} \right).$

A questo punto osserviamo che

$2005 \cdot \frac\pi4 = 250 (2\pi) + \pi + \frac\pi4 \implies \mathrm{e}^{\imath 2005 \frac\pi4} = \mathrm{e}^{-\imath 3 \pi / 4},$

ed analogamente

$-2005 \cdot \frac\pi4 = -250 (2\pi) - \pi - \frac\pi4 \implies \mathrm{e}^{-\imath 2005 \frac\pi4} = \mathrm{e}^{\imath 3 \pi / 4}.$

Sostituendo tutto nell’espressione precedente si trova

$\frac{z^{2005}+\bar{z}^{2005}}{2^{1002}} = \sqrt{2} \left(\mathrm{e}^{\imath \frac34 \pi}+\mathrm{e}^{-\imath \frac34 \pi}\right)= \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = -2,$

e questo conclude il secondo punto. Notiamo che la seconda uguaglianza è dovuta al fatto che, utilizzando la formula di Eulero

$\mathrm{e}^{\imath \vartheta} = \cos \vartheta + \imath \sin \vartheta,$

si ha

$\begin{aligned}\mathrm{e}^{\imath \frac34 \pi}+\mathrm{e}^{-\imath \frac34 \pi} &= \cos \frac34 \pi + \cos \left(-\frac34 \pi\right) + \imath \left[ \sin \frac34 \pi + \sin \left(-\frac34 \pi\right) \right] = \\ & = 2 \cos \frac34 \pi + \imath \left[ \sin \frac34 \pi - \sin \frac34 \pi \right] = \\ & = 2 \cos \frac34\pi = 2 \left(- \frac{\sqrt 2}{2} \right) = -\sqrt2. \end{aligned}$

Svolgimento punto 3.

Anche per risolvere $(3)$ conviene scrivere $z$ in forma esponenziale, ovvero

$z = \frac12 - \imath \frac{\sqrt 3}{2} = \mathrm{e}^{-\imath \frac\pi3}.$

Poiché questo ha modulo unitario, bisogna soltanto capire come la potenza agisce sull’argomento principale. In particolare, dato che

$- \frac\pi3(8!-1) = \left[- 13440 + \frac13 \right]\pi = 2\pi \cdot (-6720) + \frac13 \pi,$

sostituendo e ricordando che $\mathrm{e}^{2\pi \imath}=1$ , si trova che

$z^{8!-1} = \mathrm{e}^{2\pi\imath \cdot (-6720)} \mathrm{e}^{\imath \frac\pi3} = \mathrm{e}^{\imath \frac\pi3} = \frac12 + \imath \frac{\sqrt{3}}{2},$

e questo conclude l’esercizio.

Riferimenti bibliografici

[1] S. L. Parsonson, Pure Mathematics Vol. 2, Cambridge University Press, 1970.

[2] C. Mantegazza, Problemi di Analisi I dal Corso del I Anno alla Scuola Normale Superiore di Pisa, MCM, 2016.

Scarica la teoria

Ottieni la guida concisa sulle definizioni e le proprietà fondamentali delle funzioni goniometriche.

Tutta la teoria di analisi matematica

Leggi...

Tutte le cartelle di Analisi Matematica

Leggi...

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

Document