Calcolo del dominio di una funzione in più variabili

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sul calcolo del dominio di una funzione in più variabili, in cui presentiamo 6 esercizi completamente risolti su questo importante tema dell’Analisi Matematica. L’articolo risulta quindi indicato per studenti dei corsi di Analisi Matematica 2, in quanto propedeutico a tutto lo studio delle funzioni in più variabili e argomenti correlati, come forme differenziali e campi vettoriali. Buona lettura a tutti!

Oltre all’esaustiva lista reperibile alla fine della pagina, segnaliamo le seguenti pagine su argomenti correlati:

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia

$f: A\subseteq \mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\, f(x,y)=\ln((x-2)(y-3)),$

dove $A$ è il dominio naturale della funzione. Determinare $A$ .

Svolgimento.

Ricordiamo che la funzione logaritmo è definita solamente quando il suo argomento è strettamente maggiore di zero. Dunque, il dominio è dato dall’insieme dei punti $(x,y)$

che soddisfano la seguente disequazione:

(1) $\begin{equation*} (x-2)(y-3)>0. \end{equation*}$

Studiamo il segno dei singoli fattori della disequazione: avremo che il primo sarà positivo per $x>2$ e che il secondo sarà positivo per $y>3$ , ossia possiamo schematizzare la situazione nel seguente modo:

Il dominio della funzione è:

$\boxcolorato{analisi}{A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,:\, x<2,\,y<3\quad\vee\quad x>2,\,y>3\}.}$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia

$f: A\subseteq \mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\, f(x,y)=\arcsin(x^2-y^2),$

dove $A$ è il dominio naturale della funzione. Determinare $A$ .

Svolgimento.

L’argomento dell’arcoseno può assumere valori compresi tra $-1$

e $1$

, cioè

(2) $\begin{equation*} -1\leq x^2-y^2\leq 1, \end{equation*}$

da cui

(3) $\begin{equation*} \begin{cases} x^2-y^2\geq-1\\ x^2-y^2\leq1. \end{cases} \end{equation*}$

Le due iperboli di equazione $x^2-y^2=-1$ e $x^2-y^2=1$ sono iperboli equilatere e hanno asintoti $y=x$ e $y=-x$ . I loro grafici sono noti e facili da disegnare. Per la prima disequazione del sistema si ha

mentre per la seconda si ha

Si osservi che per entrambi i grafici la zona colorata rappresenta l’insieme in cui ciascuna disequazione è verificata. Facendo l’intersezione dei due grafici si ottiene il seguente grafico

che rappresenta proprio il dominio cercato.

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia

$f: A\subseteq \mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\, f(x,y)=\sqrt{-x^2-y^2+1},$

dove $A$ è il dominio naturale della funzione. Determinare $A$ .

Svolgimento.

Si deve avere

(4) $\begin{equation*} -x^2-y^2+1\geq0\quad\Leftrightarrow\quad x^2+y^2\leq1. \end{equation*}$

Graficamente si ha

Si conclude che il dominio è

$\boxcolorato{analisi}{A=\bigg\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,:\,x^2+y^2\leq 1\bigg\}.}$

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia

$f: A\subseteq \mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\, f(x,y)=\ln(x^3+xy^2-x),$

dove $A$ è il dominio naturale della funzione. Determinare $A$ .

Svolgimento.

Si deve avere

(5) $\begin{equation*} x^3+xy^2-x>0. \end{equation*}$

Possiamo raccogliere il termine $x$ , ottenendo così:

(6) $\begin{equation*} x\left(x^2+y^2-1\right)>0, \end{equation*}$

da cui è possibile esprimere la funzione l’argomento del logaritmo come il prodotto di due funzioni $g(x,y)$ e $h(x,y)$ tali che:

(7) $\begin{equation*} g(x,y)=x,\qquad\qquad h(x,y)=x^2+y^2-1. \end{equation*}$

Per $g(x,y)$ , si vede subito che essa sarà positiva per $x>0$ indipendentemente dal valore di $y$ ; graficamente abbiamo

Per quanto riguarda $h(x,y)$ , riconosciamo che essa non è altro che l’equazione di una circonferenza di raggio unitario centrata nell’origine. Imponendo che sia $h(x,y)>0$ , troviamo:

(8) $\begin{equation*} x^2+y^2-1>0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2+y^2> 1. \end{equation*}$

Graficamente si ha

Confrontando lo studio del segno delle due funzioni, si può dedurre per quali punti il loro prodotto risulterà positivo. L’insieme di tali punti costituirà proprio il dominio di $f(x,y)$ . Procediamo ancora una volta visualizzando la situazione con uno schema:

Concludiamo che il dominio di $f(x,y)$ è:

$\boxcolorato{analisi}{A=\bigg\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,:\,x^2+y^2<1,\,\, x<0\quad\vee\quad x^2+y^2>1,\,x>0\bigg\}.}$

Esercizio 5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia

$f: A\subseteq \mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\, f(x,y)=\ln\left(\dfrac{\left(y-x^2+4x\right)\left(|y|-2x+1\right)}{\left(x+3\right)}\right),$

dove $A$ è il dominio naturale della funzione. Determinare $A$ .

Svolgimento.

Si deve avere

(9) $\begin{equation*} { g(x,y)\,h(x,y)\,s(x,y)}>0, \end{equation*}$

dove

(10) $\begin{equation*} g(x,y)=y-x^2+4x,\qquad\qquad h(x,y)=|y|-2x+1,\qquad\qquad s(x,y)=\dfrac{1}{x+3}. \end{equation*}$

Studiamo il segno di $g$ , ponendola maggiore di zero, ovvero:

(11) $\begin{equation*} g(x,y)>0\qquad\Leftrightarrow\qquad y-x^2+4x>0\qquad\Leftrightarrow\qquad y>x^2-4x. \end{equation*}$

Deduciamo quindi che i punti in cui la funzione $g(x,y)$ è positiva si possono ottenere disegnando il grafico della parabola di equazione $y=x^2-4x$ . Di seguito viene riportato il grafico dello studio del segno per $g$ .

Per la funzione $h(x,y)$ si ha

(12) $\begin{equation*} h(x,y)=\begin{cases} y-2x+1 & \text{se} \quad y\geq0;\\\\ -y-2x+1 & \text{se} \quad y<0, \end{cases} \end{equation*}$

da cui

(13) $\begin{equation*} h(x,y)>0\qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} y-2x+1>0 & \text{se} \quad y\geq0\\\\ -y-2x+1> & \text{se} \quad y<0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} y-2x+1>0 & \text{se} \quad y\geq0\\\\ y+2x-1<0 & \text{se} \quad y<0, \end{cases} \end{equation*}$

cioè

(14) $\begin{equation*} h(x,y)>0\qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} y>2x-1 & \text{se} \quad y\geq0\\\\ y<-2x+1 & \text{se} \quad y<0. \end{cases} \end{equation*}$

Riportiamo di seguito il grafico del segno per $H(x,y)>0$ .

Infine, studiamo il segno di $s(x,y)$ . Si nota, banalmente, che tale funzione è positiva per ogni valore di $y$ purché si abbia $x>-3$ .\\ A questo punto, confrontiamo i risultati ottenuti per le singole funzioni in modo da poter studiare il segno dell’argomento di $f(x,y)$ , da cui si ottiene facilmente il dominio. Di seguito il grafico dello studio del segno dell’argomento della funzione $f$ .

Per il lettore scrupoloso, per completezza, si consiglia di determinare i punti di intersezioni del grafico delle varie funzioni. Prendendo i valori positivi, rappresentati nel grafico di sopra, si ottiene la rappresentazione del dominio di $f$ .

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia

$f: A\subseteq \mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\, f(x,y)=\dfrac{\ln\left(\ln\left(\dfrac{1}{4}(x^2+y^2)-1\right)\right)}{\sin(xy)},$

dove $A$ è il dominio naturale della funzione. Determinare $A$ .

Svolgimento.

Osserviamo che il numeratore della funzione $f$

è un logaritmo avente dentro l’argomento a sua volta un logaritmo, dunque, dobbiamo imporre che l’argomento di entrambi sia maggiore di zero. Inoltre, il denominatore essendo un seno è definito per tutti i numeri reali, ad esclusione dei valori per il quale si annulla. Pertanto, la condizione di esistenza di $f$

(15) $\begin{equation*} \begin{cases} \ln\left(\ln\left(\dfrac{1}{4}(x^2+y^2)-1\right)\right)>0;\\\\ \dfrac{1}{4}(x^2+y^2)-1>0;\\\\ \sin(xy)\neq0. \end{cases} \end{equation*}$

Per la prima disequazione ha

(16) $\begin{equation*} \ln\left(\dfrac{1}{4}(x^2+y^2)-1\right)\geq0\quad\Leftrightarrow\quad \frac{1}{4}(x^2+y^2)-1\geq1\quad\Leftrightarrow\quad x^2+y^2\geq8. \end{equation*}$

Si osservi che $x^2+y^2=8$ è una circonferenza di raggio $2\sqrt{2}$ con centro nell’origine. Inoltre, tutti i punti $(x,y)$ che verificato (17) sono tutti punti esterni alla circonferenza escluso il bordo. Per la seconda disequazione si ha

(17) $\begin{equation*} \ln\left(\dfrac{1}{4}(x^2+y^2)-1\right)\geq0\quad\Leftrightarrow\quad \frac{1}{4}(x^2+y^2)-1>0\quad\Leftrightarrow\quad x^2+y^2>4. \end{equation*}$

Si osservi che $x^2+y^2=2$ è una circonferenza di raggio $2$ con centro nell’origine. Inoltre, tutti i punti $(x,y)$ che verificato (17) sono tutti punti esterni alla circonferenza escluso il bordo. Per la terza condizione si ha

(18) $\begin{equation*} \sin(xy)\neq0\quad\Leftrightarrow\quad xy\neq k\pi\quad \text{con}\quad k\in\mathbb{Z}, \end{equation*}$

ossia troviamo che i punti del dominio della funzione non possono giacere su alcuna iperbole equilatera del tipo $xy=k\pi$ con $k$ intero. In particolare, sappiamo che l’iperbole equilatera è composta da due rami e che i suoi asintoti sono proprio gli assi cartesiani. Inoltre, ciascun ramo interseca la bisettrice del primo e del terzo quadrante se $k\pi>0$ e interseca la bisettrice del secondo e quarto quadrante se $k\pi<0$ . Dal momento che $k$ può assumere infiniti valori sia positivi che negativi, avremo una simmetria di questo tipo:

Deduciamo dunque che il dominio della funzione $f(x,y)$ è:

$\boxcolorato{analisi}{A=\bigg\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,:\,\text{$x^2+y^2\geq8,\,xy\neq k\pi\,$ con $k\in\mathbb{Z}$}\bigg\}.}$

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