Verifica del limite – Richiami di teoria

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Verifica del limite – Richiami di teoria

Il nostro ambiente di lavoro è la cosiddetta retta reale estesa, ossia l’insieme $\overline{\mathbb{R}}= \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$ . Essa consiste appunto dell’insieme $\mathbb{R}$ dei numeri reali con l’aggiunta dei simboli $-\infty$ e $+\infty$ , che vengono detti rispettivamente meno infinito e più infinito e rappresentano l’idea intuitiva di numeri infinitamente grandi in modulo, rispettivamente minori e maggiori di ogni numero reale; infatti l’usuale relazione d’ordine su $\mathbb{R}$ si estende per definizione a

(1) $\begin{equation*} -\infty < x < +\infty \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Poiché per lo studio dei limiti dobbiamo formalizzare l’idea intuitiva di “avvicinarsi a un elemento di $\overline{\mathbb{R}}$ “, bisogna definire la nozione di intorno di un elemento $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ , cioè un insieme di numeri reali che “circonda” $x_0$ .

Definizione 1 (intorno)
Dato $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ , si dice intorno di $x_0$ un insieme contenente un intervallo aperto delle seguenti forme:
1. se $x_0 \in \mathbb{R}$ , $(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)$ con $\varepsilon>0$ ;
2. se $x_0=-\infty$ , $(-\infty,M)$ con $M \in \mathbb{R}$ ;
3. se $x_0=+\infty$ , $(M,+\infty)$ con $M \in \mathbb{R}$ .

Osservazione 1. Dato che un intorno è dunque un qualsiasi insieme contenente un intervallo aperto delle forme specificate nella definizione 1, vedremo che nella pratica è sufficiente lavorare con gli intervalli aperti della forma $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ , $(-\infty,M)$ e $(M,+\infty)$ . Segnaliamo infatti che alcuni testi definiscono intorni esclusivamente tali intervalli, proprio in virtù del fatto che la topologia di $\mathbb{R}$ e la teoria dei limiti che ne deriva rimane invariata.

Vogliamo ora definire il concetto di limite di una funzione. Come anticipato nell’introduzione, tale nozione è una formalizzazione della seguente idea intuitiva: se $f \colon A \to B$ è una funzione e $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ , a quale valore si avvicina $f(x)$ se $x$ si avvicina a $x_0$ ?
Per dare significato a questa idea, però, occorre che il punto $x_0$ sia “avvicinabile” da punti $x$ del dominio $A$ di $f$ , altrimenti $f(x)$ non è definita “nei dintorni” di $x_0$ . Questa nozione si formalizza mediante il concetto di punto di accumulazione.

Definizione 2 (punto di accumulazione)
Dato $A \subseteq \mathbb{R}$ e $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ , esso si dice punto di accumulazione per $A$ se ogni intorno $U$ di $x_0$ contiene punti di $A$ distinti da $x_0$ ; in formule, se

(2) $\begin{equation*} U \cap A \setminus \{x_0\} \neq \emptyset \qquad \forall \,U \,\text{ intorno di $x_0$}. \end{equation*}$

Intuitivamente parlando, $x_0$ è di accumulazione per $A$ se i punti di $A$ si “addensano” intorno a $x_0$ . Osserviamo che $x_0$ non deve necessariamente appartenere all’insieme $A$ affinché esso sia un punto di accumulazione per esso: si verifica facilmente ad esempio che $1$ è un punto di accumulazione per l’insieme $(1,3)$ , pur non appartenendo a esso.

Notiamo inoltre che $x_0$ può anche non essere un numero reale, può cioè essere pari a $-\infty$ o $+\infty$ . Si vede facilmente che $-\infty$ è un punto di accumulazione per l’insieme $A$ se e solo se $A$ è illimitato inferiormente, mentre $+\infty$ è un punto di accumulazione per l’insieme $A$ se e solo se $A$ è illimitato superiormente.

Possiamo ora enunciare la definizione di limite.

Definizione 3 (limiti di funzioni)
Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , sia $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ un punto di accumulazione per $A$ , sia $f \colon A \to \mathbb{R}$ una funzione e sia $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ . Si dice che $\ell$ è il limite di $f$ per $x$ che tende a $x_0$ se, per ogni intorno $V$ di $\ell$ , esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che

(3) $\begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}$

In tal caso si scrive

(4) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}$

La definizione di limite, per quanto possa sembrare oscura, formalizza effettivamente l’idea intuitiva presentata prima: $f$ ha limite $\ell$ in $x_0$ se $f(x)$ può essere reso arbitrariamente vicino a $\ell$ se $x$ è sufficientemente vicino a $x_0$ . Infatti, analizziamo nel dettaglio le varie parti della definizione.

Si richiede che $x_0$ sia un punto di accumulazione per $A$ perché vogliamo studiare il comportamento di $f$ nei punti di $A$ vicini a $x_0$ , escludendo però $x_0$ , come si vedrà analizzando \eqref{eq:def_limite}. $x_0$ può essere un numero reale o anche $- \infty$ o $+\infty$ ; in questi ultimi due casi, vogliamo studiare il comportamento di $f(x)$ quando $x$ diventa rispettivamente arbitrariamente piccolo o arbitrariamente grande. Ovviamente, affinché ciò sia possibile, occorre che il dominio $A$ di $f$ sia illimitato rispettivamente inferiormente o superiormente, cioè che $-\infty$ o $+\infty$ siano dei punti di accumulazione per $A$ .
La parte nella definizione 3 “per ogni intorno $V$ di $\ell$ … $f(x) \in V$ ” formalizza proprio l’idea intuitiva “ $f(x)$ può essere reso arbitrariamente vicino a $\ell$ “. Infatti, “per ogni intorno $V$ di $\ell$ ” significa proprio “per qualsiasi grado di vicinanza tra $f(x)$ e $\ell$ “.
La parte nella definizione “esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che … $\forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}$ ” significa “per $x$ abbastanza vicino a $x_0$ …”.
La parte “ $f(x) \in V$ ” significa che $f(x)$ è vicino a $\ell$ quanto desiderato.
La parte “ $\forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}$ ” significa che la condizione $f(x) \in V$ è vera per ogni $x$ sufficientemente vicino a $x_0$ (cioè $x \in U$ ) su cui si possa calcolare $f(x)$ (cioè $x \in A$ ), diverso però da $x_0$ stesso (cioè $x \notin \{x_0\}$ ).

La definizione 3 è una delle più importanti della Matematica, dunque invitiamo il lettore a riflettere su di essa e a prendersi il tempo necessario a comprenderla. Lo scopo di questa dispensa consiste proprio nell’applicazione di tale definizione in numerosi casi particolari che coprano una varietà abbastanza ampia di situazioni, proprio al fine di comprenderla meglio e verificarne l’utilità.

Come si evince dalla definizione 3, il punto $x_0$ in cui si calcola il limite di $f$ può non appartenere al dominio di $f$ , dunque il valore $f(x_0)$ potrebbe non esistere (ad esempio quando $x_0=\pm \infty$ ). Ciò fa intuire l’importanza della nozione di limite, che consente di studiare i valori di $f$ intorno a $x_0$ , anche nei casi in cui $f(x_0)$ non è definita. Vedremo numerosi esempi di tali circostanze nel corso della dispensa.

Sottolineiamo inoltre che, anche quando $x_0$ appartiene al dominio di $f$ , il valore $f(x_0)$ in generale non ha alcuna relazione con l’eventuale limite $\ell$ di $f$ in $x_0$ . Infatti, dall’equazione (3) si vede che $f(x)$ deve appartenere all’intorno $V$ di $\ell$ scelto, per ogni $x \in U \cap A$ escluso $x_0$ . Cioè, in accordo con (3), il valore $f(x_0)$ non ha alcuna influenza sul valore del limite e anzi si può vedere che, se si modifica $f$ assegnandole qualunque valore in $x_0$ , essa continua ad avere lo stesso limite.

In altre parole, nella definizione di limite, siamo interessati soltanto ai valori che $f$ assume nei punti “vicini” a $x_0$ , trascurando completamente l’eventuale valore assunto in $x_0$ , che non ha alcuna rilevanza. Anche di tali situazioni vedremo numerosi esempi nel corso della dispensa.

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 3 suddividendo le casistiche in cui $x_0 \in \mathbb{R}$ , $x_0 = -\infty$ , $x_0=+\infty$ e $\ell \in \mathbb{R}$ , $\ell = -\infty$ , $\ell=+\infty$ . Infatti, in ognuno di questi casi, gli intorni di $x_0$ e $\ell$ assumono forme diverse, come si evince dalla definizione 2. Li mostriamo nella tabella 1 fornendo per ognuno di essi più modi equivalenti per esplicitare la definizione 3. Sottolineiamo che, in virtù dell’osservazione 1, utilizziamo direttamente gli intervalli aperti contenuti negli intorni; infatti, poiché ogni intorno contiene un intervallo aperto della forma stabilita dalla definizione 2, tale posizione non è restrittiva.

Osservazione 2. Poiché la nozione di limite serve per caratterizzare il comportamento di $f$ nelle vicinanze di $x_0$ , per studiare la validità della definizione 3 è sufficiente verificarla solo per intorni “sufficientemente piccoli” di $\ell$ , cioè contenuti in un fissato intorno $V_0$ di $\ell$ . Infatti, supponiamo di sapere che per ogni intorno $V \subseteq V_0$ di $\ell$ esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che

(5) $\begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}$

Consideriamo ora un qualunque intorno $V$ di $\ell$ . Se $V \subseteq V_0$ , allora appunto sappiamo esibire un intorno $U$ di $x_0$ per cui valga (5). Se invece $V \not \subseteq V_0$ , per definizione di intorno si ha $V_0 \subseteq V$ . Poiché per $V_0$ sappiamo che esiste un intorno $U$ di $x_0$ soddisfacente (5), si ha

(6) $\begin{equation*} f(x) \in V_0 \subseteq V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}$

Dunque, i casi esplicitati dalla tabella 1 si possono modificare nelle seguenti forme.

$\ell \in \mathbb{R}$ : “Per ogni $\varepsilon \in (0,\varepsilon_0)$ …”, dove $\varepsilon_0>0$ ;
$\ell=-\infty$ : “Per ogni $M < M_0$ …”, dove $M_0 \in \mathbb{R}$ ;
$\ell=+\infty$ : “Per ogni $M > M_0$ …”, dove $M_0 \in \mathbb{R}$ .

Utilizzeremo molte volte questa semplice osservazione nelle soluzioni degli esercizi.

Un risultato che riteniamo opportuno riportare e che consente appunto di parlare del limite di una funzione in un punto, è il seguente teorema di unicità, basato sull’osservazione che elementi distinti di $\overline{\mathbb{R}}$ possiedono intorni disgiunti.

Teorema 1 (di unicità del limite)
Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , sia $f \colon A \to \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ un punto di accumulazione per $A$ . Se il limite $\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)$ esiste, allora esso è unico.

Dato $x_0 \in {\mathbb{R}}$ , può essere necessario studiare il comportamento di una funzione $f$ quando la variabile si avvicini a $x_0$ “da sinistra” o “da destra”, ossia quando $x$ si avvicini a $x_0$ assumendo però solo valori rispettivamente minori o maggiori di $x_0$ . Tale studio conduce alle nozioni di limiti sinistro e destro e, per presentarla, anteponiamo la seguente definizione di punti di accumulazione sinistri e destri di un sottoinsieme di numeri reali.

Definizione 4 (punti di accumulazione destri e sinistri)
Dato $A \subseteq \mathbb{R}$ e $x_0 \in {\mathbb{R}}$ , esso si dice punto di accumulazione sinistro per $A$ se esso è un punto di accumulazione dell’insieme $A \cap (-\infty,x_0)$ , ossia se e solo se per ogni $\delta>0$ si ha

(7) $\begin{equation*} (x_0 - \delta,x_0) \cap A \neq \emptyset. \end{equation*}$

Analogamente $x_0$ si dice punto di accumulazione destro se esso è un punto di accumulazione dell’insieme $A \cap (x_0,+\infty)$ , ovvero se e solo se per ogni $\delta>0$ si ha

(8) $\begin{equation*} (x_0, x_0 + \delta) \cap A \neq \emptyset. \end{equation*}$

Segue subito dalla definizione che, se $x_0$ è un punto di accumulazione sinistro o destro per $A$ , allora esso è un punto di accumulazione per $A$ nel senso della definizione 1. Viceversa, se $x_0$ è di accumulazione per $A$ non è detto che esso sia di accumulazione sia destro che sinistro per $A$ , ma si può mostrare che esso è di accumulazione destro o sinistro per $A$ .

Osservazione 3. Si noti inoltre che la nozione di punto di accumulazione sinistro e destro non sarebbe particolarmente significativa se $x_0=\pm \infty$ : $+\infty$ sarebbe di accumulazione destro per $A$ se e solo se è di accumulazione per $A$ , mentre $-\infty$ sarebbe di accumulazione sinistro per $A$ se e solo se è di accumulazione per $A$ . Ciò giustifica, nella definizione 4, aver assunto $x_0 \in \mathbb{R}$ .

Utilizzando questi strumenti, possiamo definire i limiti sinistro e destro di una funzione in un punto.

Definzione 5 (limiti destri e sinistri) ;
Siano $A\subseteq \mathbb{R}$ , sia $x_0 \in {\mathbb{R}}$ un punto di accumulazione sinistro per $A$ , sia $f \colon A \to \mathbb{R}$ una funzione e sia $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ .
Si dice che $\ell$ è il limite sinistro di $f$ per $x$ che tende a $x_0$ se, per ogni intorno $V$ di $\ell$ , esiste $\delta>0$ tale che

(9) $\begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in (x_0-\delta,x_0) \cap A . \end{equation*}$

In tal caso si scrive

(10) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \ell. \end{equation*}$

Analogamente si definisce il limite destro di $f$ per $x \to x_0$ ed esso si indica con $\displaystyle \lim_{x \to x_0^+} f(x)$ .

Osservazione 4. Non vengono definiti i limiti sinistri e destri nei casi in cui $x_0=-\infty$ o $x_0=+\infty$ in quanto, per l’osservazione 3, i limiti in tali punti sono soltanto destri (per $x_0=-\infty$ ) e sinistri (per $x_0=+\infty$ ).

Per i limiti sinistri e destri valgono tutte le osservazioni precedentemente effettuate per i limiti, con le dovute modifiche. Riportiamo poi il seguente risultato, utile nella soluzione di alcuni esercizi, che afferma che una funzione ha limite $\ell$ in un punto se e solo se i due limiti destro e sinistro in tale punto esistono e coincidono con $\ell$ .

Proposizione 1
Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , sia $x_0$ un punto di accumulazione sinistro e destro per $A$ , sia $f \colon A \to \mathbb{R}$ e sia $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ . Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
$\bullet$ $\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)= \ell$ ;
$\bullet$ $\displaystyle \lim_{x \to x_0^+} f(x)= \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \ell$ .

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