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Richiami teorici sui limiti notevoli

Limiti notevoli in funzioni

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Benvenuti nel nostro articolo di richiami teorici sui limiti notevoli, un sunto degli strumenti necessari alla risoluzioni degli Esercizi sui limiti notevoli.
Consigliamo anche la lettura della dispensa Teoria sui limiti per un riferimento completo di tutte le dimostrazioni.

Buona lettura!
 

 
 

Autori e revisori

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Autore: Sara Sottile.  

Revisori: Valerio Brunetti, Matteo Talluri.  


 

Unicità del limite

Ricordiamo il risultato di unicità di un limite.

Teorema 1 (Teorema di unicità del limite – [1, Teorema 4.1]). Sia f \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} e sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\} un punto di accumulazione per A. Se f ha limite \ell \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\} in x_0, tale limite è unico.

 
Ricordiamo nel seguito i limiti delle funzioni elementari:
 

Funzioni polinomiali

    \[\begin{array}{ll} \bullet \; \lim_{x\to +\infty} x^a = +\infty, \quad a>0; \qquad \qquad &\bullet \; \lim_{x\to 0^+} x^a = 0, \quad a>0;\\[10pt] \bullet \;\lim_{x\to +\infty} x^a = 0, \quad a<0; \qquad \qquad &\bullet \; \lim_{x\to 0^+} x^a = +\infty, \quad a<0;\\[6pt] \end{array}\]

    \[\begin{array}{cc} \bullet \;\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{a_n x^n + \dots a_1 x + x_0}{b_m x^m + \dots + b_1 x + b_0} =& \;\dfrac{a_n}{b_m} \lim_{x \to \pm \infty} x^{n-m}. \\ \end{array}\]

 

Funzioni esponenziale e logaritmica

    \[\begin{array}{ll} \bullet \;\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty, \quad a > 1; \qquad \qquad &\bullet \; \lim_{x \to -\infty} a^x = 0, \quad a > 1;\\[10pt] \bullet \;\lim_{x \to +\infty} a^x = 0, \quad 0 < a < 1; \qquad \qquad &\bullet \; \lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty, \quad 0 < a < 1;\\[10pt] \bullet \;\lim_{x \to 0^+}\log_a x =-\infty, \quad a > 1; \qquad \qquad &\bullet \; \lim_{x \to +\infty} \log_a(x) =+\infty, \quad a>1;\\[10pt] \bullet \;\lim_{x \to 0^+}\log_a x =+\infty, \quad 0 < a < 1; \qquad \qquad &\bullet \; \lim_{x \to +\infty} \log_a(x) =-\infty, \quad 0 < a<1. \end{array}\]

 

Funzioni trigonometriche.

    \begin{align*} \bullet \;\lim_{\left(x \to \dfrac{\pi}{2}+k\pi\right)^\pm} \tan x =\pm \infty, k \in \mathbb{N}; \qquad \qquad &\bullet \;\lim_{x \to \pm \infty}\arctan x = \pm \dfrac{\pi}{2}. \end{align*}

 

Ricordiamo inoltre che i seguenti limiti non esistono:
 

    \[\lim_{x\to \pm \infty} \sin x, \qquad \qquad \lim_{x\to \pm \infty} \cos x, \qquad\qquad \lim_{x\to \pm \infty} \tan x.\]

 

Teoremi del confronto

Nel seguito enunciamo i teoremi principali in cui si confronta il comportamento di due o più funzioni al limite. In particolare, le seguenti condizioni assicurano l’esistenza del limite di una funzione confrontandone il comportamento al limite con quello di altre funzioni di cui è noto il limite.

Il primo risultato presentato riguarda il confronto con funzioni che hanno limite finito.

 

Teorema 2 (Primo teorema del confronto (o dei carabinieri) – [1, Teorema 4.5]). Siano f,g,h \colon A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} e sia x_0\in \mathbb{R} un punto di accumulazione per A. Supponiamo inoltre che esista un intorno I di x_0 tale che

    \[f(x)\leq g(x) \leq h(x)\qquad \forall x \in I\cap A \setminus\{x_0\}\]

e che valga

    \[\lim_{x\to x_0}f(x) = \lim_{x\to x_0}h(x)=\ell\in \mathbb{R}.\]

Allora anche g ha limite per x\to x_0 e si ha

    \[\lim_{x\to x_0} g(x) = \ell.\]

 

Da questo risultato discende immediatamente il seguente corollario.

 

Corollario 3 ([1, Corollario 4.7]). Siano f,g\colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\} e sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} un punto di accumulazione per A.
Si assuma che f sia limitata in un intorno di x_0, cioè esistono un intorno I di x_0 e C>0 tali che

    \[|f(x)| \le C , \qquad \forall x \in I \cap A \setminus\{x_0\}\]

e che

    \[\lim_{x \to x_0} g(x) =0.\]

Allora

    \[\lim_{x \to x_0}( f(x) \cdot g(x)) = 0.\]

 

Il seguente risultato, invece, riguarda il confronto con funzioni che hanno limite infinito.

 

Teorema 4 (Secondo teorema del confronto – [1, Teorema 4.8]). Siano f,g\colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}, sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} un punto di accumulazione per A e si supponga che esista un intorno I di x_0 tale che

    \[f(x)\leq g(x) \qquad \forall x \in I \cap A \setminus\{x_0\}.\]

Valgono le seguenti proprietà:

  1. Se \lim_{x\to x_0} f(x) =+\infty, allora anche g ha limite in x_0 e si ha \lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty;
  2. Se \lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty, allora anche f ha limite in x_0 e si ha \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty.

 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 100 esercizi svolti sui limiti notevoli.

 

Algebra dei limiti

In questa sezione elenchiamo i risultati che ci permettono di studiare il comportamento del limite rispetto alle operazioni di somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni.

In primo luogo, riassumiamo l’estensione delle operazioni aritmetiche con i simboli +\infty e -\infty. Definiamo dunque:

 



\bullet \; +\infty + k = +\inftyse k \in \mathbb{R} o k = +\infty;\bullet \; \dfrac{k}{0^-} = \mp \inftyse k \gtrless 0 o k = \pm \infty;
\bullet \; \pm \infty \cdot k = \pm \inftyse k > 0 o k = +\infty;\bullet \; -\infty + k = -\inftyse k \in \mathbb{R} o k = -\infty;
\bullet \; \dfrac{\pm \infty}{k} = \pm \inftyse k > 0;\bullet \; \pm \infty \cdot k = \mp \inftyse k < 0 o k = -\infty;
\bullet \; \dfrac{\pm \infty}{k} = \mp \inftyse k < 0;\bullet \; \dfrac{\pm \infty}{k} = \mp \inftyse k < 0;
\bullet \; \dfrac{k}{0^+} = \pm \inftyse k \gtrless 0 o k = \pm \infty;\bullet \; \dfrac{k}{\pm \infty} = 0se k \in \mathbb{R}.

 

Le seguenti espressioni generano invece le cosiddette forme indeterminate:

 

    \[\pm \infty + (\mp \infty); \qquad \pm \infty - (\pm \infty); \qquad \pm \infty \cdot 0; \qquad \dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}; \qquad \dfrac{0}{0}.\]

 

Nel corso degli esercizi, quando dal calcolo diretto di un limite discenderà una forma indeterminata la indicheremo tra parentesi quadre (e.g. [0/0]). Il seguente risultato ci permette di estendere le operazioni algebriche ai limiti di somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni quando i limiti delle funzioni di partenza esistono.

 

Teorema 5 ([1, Teorema 4.10]). Siano f, g\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}, sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} un punto di accumulazione per A. Si assuma che

    \[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) \eqqcolon \ell_1, \qquad \exists \lim\limits_{x \to x_0} g(x)\eqqcolon \ell_2,\]

allora, ogni qualvolta l’espressione a destra non è un forma indeterminata, si ha:

    \[\begin{aligned} \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\pm g)(x) & =\ell_1 \pm \ell_2 \\ \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\cdot g)(x) & = \ell_1 \cdot \ell_2, \end{aligned}\]

Se x_0 è un punto di accumulazione per \{x \in A \colon g(x) \neq 0\}, allora si ha:

    \[\exists \; \lim\limits_{x \to x_0} \left( \dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{\ell_1}{\ell_2},\]

ogni qualvolta l’espressione a destra esiste e non è una forma indeterminata.

 

Osservazione 6. Il teorema 5 non fornisce indicazioni sul comportamento al limite di un’espressione algebrica nel caso in cui si ottiene una forma indeterminata. Nella sezione successiva presenteremo il comportamento limite di un certo numero di forme indeterminate notevoli, chiamate limiti notevoli.
 

Il teorema di sostituzione

Il seguente risultato, detto teorema di sostituzione, ci permette infine di calcolare il limite di funzioni composte sotto determinate ipotesi.
 

Teorema 7 (Teorema di sostituzione – [1, Teorema 4.15]). Sia f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} e sia x_0 \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}. Si assuma che

    \[\exists \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}.\]

Sia I(\ell) un intorno di \ell e sia g \colon I(\ell) \to \mathbb{R} tale che

  1. se \ell \in \mathbb{R}, g è continua in \ell;
  2. se \ell = \pm \infty, esiste \lim_{y \to \ell}g(y).

Allora vale

    \[\lim_{x \to x_0} g(f(x)) = \lim_{y \to \ell}g(y).\]

 
Osservazione 8. Nel teorema 7 nel caso in cui \ell \in \mathbb{R} e g è continua in \ell la tesi si può scrivere in modo equivalente come

    \[\lim_{x\to x_0} g(f(x)) = g\left(\lim_{x \to x_0} f(x)\right).\]

 

Osservazione 9. Analizziamo ora un caso particolare di applicazione del teorema 7. Ricordiamo che, ogni qual volta ci si presenta un’espressione del tipo [f(x)]^{g(x)},
essa può essere scritta equivalentemente come

    \[[f(x)]^{g(x)}= \operatorname{exp}[g(x) \log (f(x))].\]

Usando la continuità della funzione esponenziale, il teorema 7 e l’espressione precedente si ha che:

    \[\lim_{x \to x_0} [f(x)]^{g(x)} = \operatorname{exp}[ \lim_{x \to x_0} g(x)\log (f(x)) ].\]

Tale scrittura può, tuttavia dare luogo a nuove forme indeterminate del seguente tipo

    \[\boxcolorato{analisi}{\begin{aligned} 1^{\pm \infty}; \qquad \qquad 0^0; \qquad \qquad (\pm\infty)^0. \end{aligned} }\]

Quando il calcolo di limiti del tipo

    \[\lim_{x \to x_0} [f(x)]^{g(x)}\]

non genera forme indeterminate, possiamo estendere le operazioni algebriche usuali di elevamento a potenza sull’insieme \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}. Con le dovute accortezze, utilizzeremo la seguente notazione:

    \[\boxcolorato{analisi}{ \begin{aligned} &a^{+\infty} = +\infty,\qquad &a >1 ;\\ &a^{-\infty} = 0^+,\qquad &a >1; \\ &a^{+\infty} = 0^+, \qquad &0<a <1 ;\\ & a^{-\infty} = +\infty,\qquad &0<a <1. \end{aligned}}\]

Ricordando i limiti delle funzioni elementari, con lo stesso abuso di notazione scriveremo:

    \[\boxcolorato{analisi}{ \begin{aligned} &\log_a (0^+) = -\infty,\qquad &a > 1;\\ &\log_a (+\infty)=+ \infty, \qquad &a >1;\\ &\log_a (0^+) = +\infty, \qquad &0< a < 1;\\ & \log_a (+\infty) =-\infty,\qquad &0<a <1. \end{aligned}}\]

 

Limiti notevoli

Valgono i seguenti risultati sulle funzioni trigonometriche e le loro inverse:

Proposizione 10.

    \[\begin{aligned} \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1, & \qquad \qquad\quad \lim_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x} = 0, &\quad \lim_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2},\\ \lim_{x\to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1, & \qquad\qquad\quad \lim_{x\to 0} \dfrac{\cot x}{\frac{1}{x}} = 1, & \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{\arcsin x}{x} = 1, \\ \lim_{x\to 0} \dfrac{\arctan x}{x} = 1, & \qquad \qquad\quad \lim_{x\to 0} \dfrac{\dfrac{\pi}{2}-\arccos x}{x} = 1, & \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{\dfrac{\pi}{2}-\operatorname{arccot}x}{x} = 1,\\ \lim_{x\to 0} \dfrac{\sinh x}{x} = 1 , &\qquad \qquad\quad \lim_{x\to 0} \dfrac{\cosh x - 1}{x} = 0, & \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{\cosh x - 1}{x^2} = \dfrac{1}{2},\\ \lim_{x\to 0} \dfrac{\tanh x}{x} = 1, & \qquad\qquad\quad \lim_{x\to 0} \dfrac{\operatorname{settsinh} x}{x} =1, & \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{\operatorname{settanh} x}{x} = 1, \end{aligned}\]

 
Valgono i seguenti risultati che riguardano le funzioni esponenziali e logaritmica:
 

Proposizione 11.

    \[\begin{aligned} \lim_{x\to 0} \dfrac{e^{x}-1}{x} = 1, &\qquad \qquad \quad \lim_{x\to 0} \left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}=e, \\ \lim_{x\to \pm\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x}=e,&\qquad \qquad \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{a^{x}-1}{x} = \ln a, \mbox{ con } a \in \mathbb{R}^+,\\ \lim_{x\to 0} \dfrac{\log_a( 1+x)}{x} = \log_a e, \mbox{ con } a \in \mathbb{R}^+\setminus\{-1\}, &\qquad \qquad \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{ (1+x)^\alpha -1}{x} = \alpha, \mbox{ con } \alpha \in \mathbb{R}. \\ \end{aligned}\]

 

Grazie al risultato del teorema 7, i limiti notevoli possono essere scritti in forma più generale nei seguenti modi.
 

Corollario 12. Sia f\colon A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} punto di accumulazione per A tale che \lim_{x \to x_0}f(x)=\pm \infty; allora si ha:

    \[\begin{aligned} \lim_{x\to x_0} \left(1 + \dfrac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}=e. \end{aligned}\]

 

Corollario 13 . Sia f\colon A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} punto di accumulazione per A tale che \{x \in A \colon f(x) \neq 0\} tale che \lim_{x \to x_0}f(x)=0; allora si ha:

    \[\begin{aligned} \lim_{x\to x_0} \dfrac{\sin f(x)}{f(x)} = 1, \qquad & \lim_{x\to x_0} \dfrac{1-\cos f(x)}{f(x)} = 0, \\ \lim_{x\to x_0} \dfrac{1-\cos f(x)}{f(x)^2} = \dfrac{1}{2}, \qquad & \lim_{x\to x_0} \dfrac{\tan f(x)}{f(x)} = 1. \\ \lim_{x\to x_0} \dfrac{\cot f(x)}{\frac{1}{f(x)}} = 1, \qquad & \lim_{x\to x_0} \dfrac{\arcsin f(x)}{f(x)} = 1, \\ \lim_{x\to x_0} \dfrac{\arctan f(x)}{f(x)} = 1 , \qquad &\lim_{x\to x_0} \dfrac{\frac{\pi}{2}-\arccos f(x)}{f(x)} = 1, \\ \lim_{x\to x_0} \dfrac{\frac{\pi}{2}-\operatorname{arccot} f(x)}{f(x)} = 1, \qquad &\lim_{x\to x_0} \dfrac{e^{f(x)}-1}{f(x)} = 1, \\ \lim_{x\to x_0} \dfrac{a^{f(x)}-1}{f(x)} = \ln a, \mbox{ con } a \in \mathbb{R}^+ , \qquad & \lim_{x\to x_0} \dfrac{\log_a( 1+f(x))}{f(x)} = \log_a e, \mbox{ con } a \in \mathbb{R}^+\setminus\{-1\}, \\\lim_{x\to x_0} \dfrac{ (1+f(x))^\alpha -1}{f(x)} = \alpha, \mbox{ con } \alpha \in \mathbb{R}, \qquad &\lim_{x\to x_0} \left(1 + f(x)\right)^{\frac{1}{f(x)}}=e,\\ \lim_{x\to x_0} \dfrac{\sinh f(x)}{f(x)} = 1, \qquad &\lim_{x\to x_0} \dfrac{\cosh f(x) - 1}{f(x)} = 0,\\ \lim_{x\to x_0} \dfrac{\cosh f(x) - 1}{f(x)^2} = \dfrac{1}{2}, \qquad & \lim_{x\to x_0} \dfrac{\tanh f(x)}{f(x)} = 1, \\ \lim_{x\to x_0} \dfrac{\operatorname{settsinh} f(x)}{f(x)} =1, \qquad & \label{atanh} \lim_{x\to x_0} \dfrac{\operatorname{settanh} f(x)}{f(x)} = 1. \end{aligned}\]

 

Riferimenti bibliografici

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[1] Canuto, C., Tabacco, A., Analisi Matematica I, Springer, (2014).

 
 

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    2. Esercizi Serie di Fourier
  17. Trasformata di Fourier
    1. Teoria Trasformata di Fourier
    2. Esercizi Trasformata di Fourier
  18. Funzioni di più variabili
    1. Teoria Funzioni di più variabili
    2. Massimi e minimi liberi e vincolati
    3. Limiti in due variabili
    4. Integrali doppi
    5. Integrali tripli
    6. Integrali di linea di prima specie
    7. Integrali di linea di seconda specie
    8. Forme differenziali e campi vettoriali
    9. Teorema di Gauss-Green
    10. Integrali di superficie
    11. Flusso di un campo vettoriale
    12. Teorema di Stokes
    13. Teorema della divergenza
    14. Campi solenoidali
    15. Teorema del Dini
  19. Equazioni differenziali lineari e non lineari
    1. Teoria equazioni differenziali lineari e non lineari
    2. Equazioni differenziali lineari e non lineari del primo ordine omogenee
  20. Equazioni differenziali lineari
    1. Del primo ordine non omogenee
    2. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,omogenee
    3. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,non omogenee
    4. Di Eulero,di Bernoulli,di Clairaut,di Lagrange e di Abel
    5. Non omogenee avente per omogenea associata un’equazione di Eulero
    6. Sistemi di EDO
  21. Equazioni differenziali non lineari
    1. A variabili separabiliO
    2. A secondo membro omogeneo
    3. Del tipo y’=y(ax+by+c)
    4. Del tipo y’=y(ax+by+c)/(a’x+b’y+c’)
    5. Equazioni differenziali esatte
    6. Mancanti delle variabili x e y
    7. Cenni sullo studio di un’assegnata equazione differenziale non lineare
    8. Di Riccati
    9. Cambi di variabile: simmetrie di Lie
  22. Analisi complessa
    1. Fondamenti
    2. Funzioni olomorfe
    3. Integrale di Cauchy e applicazioni
    4. Teorema della curva di Jordan e teorema fondamentale dell’Algebra
    5. Teorema di inversione di Lagrange
    6. Teorema dei Residui
    7. Funzioni meromorfe
    8. Prodotti infiniti e prodotti di Weierstrass
    9. Continuazione analitica e topologia
    10. Teoremi di rigidità di funzioni olomorfe
    11. Trasformata di Mellin
  23. Equazioni alle derivate parziali
    1. Equazioni del primo ordine
    2. Equazioni del secondo ordine lineari
    3. Equazioni non-lineari
    4. Sistemi di PDE
  24. Funzioni speciali
    1. Funzione Gamma di Eulero
    2. Funzioni Beta,Digamma,Trigamma
    3. Integrali ellittici
    4. Funzioni di Bessel
    5. Funzione zeta di Riemann e funzioni L di Dirichlet
    6. Funzione polilogaritmo
    7. Funzioni ipergeometriche
  25. Analisi funzionale
    1. Misura e integrale di Lebesgue
    2. Spazi Lp,teoremi di completezza e compattezza
    3. Spazi di Hilbert,serie e trasformata di Fourier
    4. Teoria e pratica dei polinomi ortogonali
    5. Spazi di Sobolev
  26. Complementi
    1. Curiosità e approfondimenti
    2. Compiti di analisi
    3. Esercizi avanzati analisi
  27. Funzioni Convesse

 
 

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


Algebra lineare.


Geometria analitica.


Geometria differenziale.


 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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