Limiti elementari

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Limiti elementari

Sommario

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Questa dispensa raccoglie una selezione di esercizi sui limiti elementari, con un focus sugli aspetti fondamentali e pratici del concetto di limite. Non sono inclusi esercizi su forme indeterminate, poiché l’obiettivo principale è fornire allo studente una solida padronanza operativa dei limiti prima di affrontare situazioni più complesse.

La dispensa è pensata per studenti provenienti da licei classici, linguistici o, più in generale, da scuole secondarie di secondo grado dove la matematica non è sempre trattata in modo approfondito. È anche adatta a coloro che non si confrontano con la matematica da tempo e che si accostano nuovamente alla materia. In questa raccolta, anche i passaggi più semplici sono esplicitati, consentendo a chi ha meno esperienza di seguire agevolmente i ragionamenti. La parte introduttiva fornisce un insieme di nozioni essenziali non con l’intento di esporre una teoria formale, ma piuttosto come una lista di concetti chiave da ricordare per affrontare gli esercizi.

La dispensa include 53 esercizi, selezionati per essere risolti principalmente attraverso la semplice sostituzione, permettendo di giungere al risultato con pochi passaggi. La scelta di proporre un numero così ampio di esercizi nasce dalla necessità di offrire un’ampia pratica a chi si avvicina o si riavvicina ai concetti “elementari” del problem solving. Al termine di questa dispensa, lo studente sarà in grado di riprendere con sicurezza i concetti di base, preparandosi così ad affrontare al meglio gli esercizi sulle forme indeterminate.

Per ogni esercizio è fornito un grafico della funzione considerata, accompagnato da un commento che aiuta lo studente a sviluppare un’intuizione visiva del concetto di limite e a comprendere meglio le funzioni e il loro comportamento.

Per una trattazione teorica più dettagliata, si rimanda alla dispensa teorica disponibile al seguente link: teoria sui limiti. Questa raccolta di esercizi è concepita come supporto didattico per i corsi di Analisi Matematica 1, destinati agli studenti dei corsi di laurea in ingegneria, fisica e matematica.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Cesare Malagù, Silvia Lombardi, Daniele Bjørn Malesani.

Revisori: Sergio Fiorucci.

Introduzione

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In questa sezione, come indicato nel sommario, abbiamo privilegiato un approccio pragmatico piuttosto che formale. La dispensa è stata appositamente progettata per rispondere alle esigenze di quegli studenti che affrontano per la prima volta i limiti o che trovano speciali difficoltà con questo concetto. Questa introduzione non pretende di sostituire una trattazione teorica, ma si limita a richiamare brevemente alcune notazioni utili per affrontare gli esercizi proposti. Per un approfondimento teorico, si rimanda alle seguenti risorse: teoria sui limiti, la teoria funzione continue, teoria sulle funzioni, funzioni algebriche, esponenziali e logaritmiche.

La lettura di questa introduzione potrebbe far sorgere, in un lettore più esperto, dubbi riguardo alcune scelte didattiche adottate, poiché l’approccio potrebbe sembrare una semplice elencazione di nozioni da memorizzare. Tuttavia, questo non è l’intento della dispensa. Il nostro obiettivo principale è riassumere i concetti essenziali necessari per risolvere gli esercizi, basandoci sull’osservazione che, nonostante uno studio attento della teoria, molti studenti continuano a commettere errori fondamentali, come:

$\lim_{x\to 0^-}\ln(x) \quad \text{oppure} \quad \lim_{x\to -\infty}\ln(x).$

In questi casi, è privo di significato chiedersi il valore di tali limiti, poiché il logaritmo non è definito per $x \to 0^-$ o $x \to -\infty$ . Un altro errore comune è non ricordarsi che i limiti di seno o coseno per $x$ che tende a infinito non esistono. Inoltre, è frequente che alcuni studenti non ricordino risultati fondamentali come:

$\lim_{x\to 0^+}\ln x, \quad \lim_{x\to +\infty}\ln x, \quad \lim_{x\to \pm \infty}e^x,\quad \lim_{x\to \left(\frac{\pi}{2}\right)^{\pm}}\tan x,\quad \dots$

In aggiunta, si precisa che i teoremi applicati negli esercizi non verranno richiamati, poiché già trattati e dimostrati nelle dispense citate, in particolare in teoria sui limiti.

Prerequisiti

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I prerequisiti che ometteremo per leggere questa dispensa sono

$\quad$

Intorni e punti di accumulazione nella retta reale estesa
$\quad$
1. Intorni
2. Punti di accumulazione
3. Proprietà valide definitivamente

Limiti
$\quad$
1. Definizione e teorema di unicità del limite
2. Primi esempi
3. Limiti sinistri e destri

i quali possono essere consultati su teoria sui limiti sul sito Qui Si Risolve.

Qui di seguito sono elencati alcuni risultati essenziali che impiegheremo nel corso della dispensa.

Definizione 1.1 (limite). Sia $f\colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ un punto di accumulazione per $A$ . Si dice che $f$ ha limite $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ per $x$ che tende a $x_0$ se, per ogni intorno $J$ di $\ell$ , esiste un intorno $I$ di $x_0$ tale che

(1) $\begin{equation*} f(x) \in J \qquad \forall x \in I \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}$

In tal caso si scrive

(2) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x)= \ell \qquad \text{o talvolta} \qquad f(x) \xrightarrow[x \to x_0]{} \ell. \end{equation*}$

$\quad$

Intuitivamente, $f$ ha limite $\ell$ per $x \to x_0$ se, scegliendo $x$ sufficientemente vicino a $x_0$ , i valori assunti da $f(x)$ possono essere resi arbitrariamente vicini a $\ell$ . Si noti che $x_0$ può anche non appartenere al dominio $A$ di $f$ , e che il limite $\ell$ non ha alcuna relazione con l’eventuale valore $f(x_0)$ . Infatti, (1) non pone alcuna condizione su $f(x_0)$ : essa cioè richiede solo che i valori $f(x)$ assunti nell’intorno $I$ escludendo $x_0$ appartengano all’intorno $J$ di $\ell$ . In generale quindi, anche se $x_0 \in A$ , può aversi $f(x_0) \neq \ell$ , come illustrato nel grafico in alto a sinistra nella figura 1.

$\quad$

Figura 1: illustrazione di $\lim_{x \to x_0} f(x)=\ell$ : fissato un intorno $J$ (in rosso) di $\ell$ , deve esistere $I$ intorno di $x_0$ (indicato in verde) tale che $f(x) \in J$ per ogni $x \in I \setminus \{x_0\}$ . Nella prima riga riportiamo il caso $x_0 \in \mathbb{R}$ , nella seconda riga $x_0 =-\infty$ e nella terza riga il caso $x_0=+\infty$ ; nella prima colonna riportiamo i casi $\ell\in \mathbb{R}$ , mentre sulla seconda colonna riportiamo i casi $\ell=+\infty$ ; non illustriamo i casi $\ell=-\infty$ , che però si ottengono riflettendo la colonna di destra rispetto all’asse $x$ .

$\quad$

Tabella Limiti

Caso	$x_0$	$\ell$	Definizione 1.1
1	$x_0 \in \mathbb{R}$	$\ell \in \mathbb{R}$	$\bullet$ Per ogni $\varepsilon>0$ , esiste $\delta>0$ tale che $\displaystyle f(x) \in (\ell- \varepsilon,\ell+\varepsilon) \qquad \forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \cap A \setminus \{x_0\}.$ $\bullet$ Per ogni $\varepsilon>0$ , esiste $\delta>0$ tale che $\displaystyle x \in A \colon 0 < \|x-x_0\| < \delta \quad \Longrightarrow \quad \|f(x) - \ell\|< \varepsilon$ .
2	$x_0 \in \mathbb{R}$	$\ell = -\infty$	$\bullet$ Per ogni $M \in \mathbb{R}$ , esiste $\delta>0$ tale che $\displaystyle f(x) \in (-\infty, M) \qquad \forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \cap A \setminus \{x_0\}.$ $\bullet$ Per ogni $M \in \mathbb{R}$ , esiste $\delta>0$ tale che $\displaystyle x \in A \colon 0 < \|x-x_0\| < \delta \quad \Longrightarrow \quad f(x) < M$ .
3	$x_0 \in \mathbb{R}$	$\ell = +\infty$	$\bullet$ Per ogni $M \in \mathbb{R}$ , esiste $\delta>0$ tale che $\displaystyle f(x) \in (M,+\infty) \qquad \forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \cap A \setminus \{x_0\}.$ $\bullet$ Per ogni $M \in \mathbb{R}$ , esiste $\delta>0$ tale che $\displaystyle x \in A \colon 0 < \|x-x_0\| < \delta \quad \Longrightarrow \quad f(x)>M$ .
4	$x_0 = -\infty$	$\ell \in \mathbb{R}$	$\bullet$ Per ogni $\varepsilon>0$ , esiste $H \in \mathbb{R}$ tale che $\,\displaystyle f(x) \in (\ell- \varepsilon,\ell+\varepsilon) \qquad \forall x \in (-\infty,H) \cap A.$ $\bullet$ Per ogni $\varepsilon>0$ , esiste $H \in \mathbb{R}$ tale che $\displaystyle x \in A \colon x < H \quad \Longrightarrow \quad \|f(x) -\ell\|< \varepsilon$ .
5	$x_0 = -\infty$	$\ell = -\infty$	$x_0 =-\infty$ & $\ell =-\infty$ & { $\bullet$ Per ogni $M \in \mathbb{R}$ , esiste $H \in \mathbb{R}$ tale che $\,\displaystyle f(x) \in (-\infty,M) \qquad \forall x \in (-\infty,H) \cap A.$ $\bullet$ Per ogni $M \in \mathbb{R}$ , esiste $H \in \mathbb{R}$ tale che $\displaystyle x \in A \colon x < H \quad \Longrightarrow \quad f(x) < M$ .
6	$x_0 = -\infty$	$\ell = +\infty$	$\bullet$ Per ogni $M \in \mathbb{R}$ , esiste $H \in \mathbb{R}$ tale che $\,\displaystyle f(x) \in (M,+\infty) \qquad \forall x \in (-\infty,H) \cap A.$ $\bullet$ Per ogni $M \in \mathbb{R}$ , esiste $H \in \mathbb{R}$ tale che $\displaystyle x \in A \colon x < H \quad \Longrightarrow \quad f(x) > M$ .
7	$x_0 = +\infty$	$\ell \in \mathbb{R}$	$\bullet$ Per ogni $\varepsilon>0$ , esiste $H \in \mathbb{R}$ tale che $\,\displaystyle f(x) \in (\ell- \varepsilon,\ell+\varepsilon) \qquad \forall x \in (H,+\infty) \cap A.$ $\bullet$ Per ogni $\varepsilon>0$ , esiste $H \in \mathbb{R}$ tale che $\displaystyle x \in A \colon x > H \quad \Longrightarrow \quad \|f(x) -\ell\|< \varepsilon$ . }
8	$x_0 = +\infty$	$\ell = -\infty$	$\bullet$ Per ogni $M \in \mathbb{R}$ , esiste $H \in \mathbb{R}$ tale che $\,\displaystyle f(x) \in (-\infty,M) \qquad \forall x \in (H,+\infty) \cap A.$ $\bullet$ Per ogni $M \in \mathbb{R}$ , esiste $H \in \mathbb{R}$ tale che $\displaystyle x \in A \colon x > H \quad \Longrightarrow \quad f(x) < M$ .
9	$x_0 = +\infty$	$\ell = +\infty$	$\bullet$ Per ogni $M \in \mathbb{R}$ , esiste $H \in \mathbb{R}$ tale che $\,\displaystyle f(x) \in (M,+\infty) \quad \forall x \in (H,+\infty) \cap A.$ $\bullet$ Per ogni $M \in \mathbb{R}$ , esiste $H \in \mathbb{R}$ tale che $\displaystyle x \in A \colon x > H \quad \Longrightarrow \quad f(x) > M$ .

Tabella 1: versioni della definizione 1.1 distinguendo i vari casi tra $x_0$ e $\ell$ .>

$\quad$

Teorema 1.2 (algebra dei limiti in $\mathbb{R}$ ). Siano $f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ due funzioni, sia $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ un punto di accumulazione per $A$ e supponiamo che i limiti

(3) $\begin{equation*} \ell_f \coloneqq \lim_{x \to x_0} f(x), \qquad \ell_g \coloneqq \lim_{x \to x_0} g(x) \end{equation*}$

esistano e siano finiti. Allora

(4) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} \big(f(x)\pm g(x) \big) = \ell_f \pm \ell_g, \qquad \lim_{x \to x_0} f(x)\cdot g(x) = \ell_f \cdot \ell_g. \end{equation*}$

Se inoltre $\ell_g \neq 0$ , allora si ha

(5) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\ell_f}{\ell_g}. \end{equation*}$

$\quad$

Risultati analoghi a quelli del teorema 1.2 valgono anche nel caso di limiti infiniti, a volte sotto ipotesi ulteriori, altre volte in condizioni meno restrittive. Introduciamo preliminarmente una notazione con cui indichiamo che una funzione ha limite $\ell_g$ , ma assumendo definitivamente valori maggiori o minori di $\ell_g$ .

Definizione 1.3. Sia $f \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ un punto di accumulazione per $A$ . Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}$ e $f(x) > \ell$ per ogni $x \in I \cap A \setminus \{x_0\}$ , dove $I$ è un intorno di $x_0$ , allora si scrive

(6) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell^+. \end{equation*}$

Analogamente, si definisce la notazione $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell^-$ .

$\quad$

Siamo ora pronti per trattare l’algebra dei limiti in $\overline{\mathbb{R}}$ . Alla destra di ogni risultato, lo scriviamo tra parentesi quadre in una forma sintetica che estende le naturali operazioni tra numeri reali.

Si intende affermare che espressioni come $\dfrac{c}{\infty} = 0$ o $\dfrac{c}{0^+} = \infty$ sono semplicemente notazioni sintetiche utilizzate per esprimere il risultato di un teorema, e non rappresentano operazioni effettive nel contesto dei numeri reali.

Teorema 1.4 (algebra dei limiti in $\overline{\mathbb{R}}$ ). Siano $f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ due funzioni, sia $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ un punto di accumulazione per $A$ e supponiamo che esistano

(7) $\begin{equation*} \ell_f \coloneqq \lim_{x \to x_0} f(x), \qquad \ell_g \coloneqq \lim_{x \to x_0} g(x). \end{equation*}$

Sono valide le seguenti proprietà:

$\quad$

se $\ell_f= +\infty$ e se $\ell_g\neq -\infty$ , allora
$\begin{aligned} & & \lim_{x \to x_0} \big( f(x)+g(x) \big) =& +\infty; & \Big[ \infty + c=\infty \Big] \end{aligned}$

se $\ell_f =+\infty$ e se $\ell_g \neq 0$ , allora
$\begin{aligned} & & \lim_{x \to x_0} f(x)\,g(x) &= +\infty \cdot \operatorname{sgn}(\ell_g); & \Big[ \infty \cdot c=\operatorname{sgn}(c) \cdot (+\infty ) \Big] \end{aligned}$

se $\ell_f \in \mathbb{R}$ e se $\ell_g = \pm \infty$ , allora
$\begin{aligned} & & \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} &= 0; & \Big[ \frac{c}{\infty}=0 \Big] \end{aligned}$

se $\ell_f \neq 0$ e se $\ell_g = 0^+$ , allora
$\begin{aligned} & & \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} &= \operatorname{sgn}(\ell_f) \cdot (+\infty); & \left [ \frac{c}{0^+}=\operatorname{sgn}(c) \cdot (+\infty) \right ] \end{aligned}$

Valgono analoghe proprietà invertendo i segni.

$\quad$

Abbiamo finora studiato le relazioni tra l’operatore di limite e le classiche operazioni algebriche tra funzioni. Un’altra operazione di fondamentale importanza è la composizione tra funzioni. Risulta quindi naturale chiedersi come questa si comporti relativamente all’operatore di limite.

Domanda 1.5. Se $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = y_0$ e $\lim_{y \to y_0} g(x) = \ell$ , si può concludere che $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(f(x))= \ell$ ?

La risposta alla precedente domanda è affermativa sotto alcune ipotesi, come illustrato dal prossimo risultato.

Teorema 1.6 (cambio di variabile nei limiti). Siano $f \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e $g \colon B \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(A) \subseteq B$ ; si supponga che $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ sia di accumulazione per $A$ , $y_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ sia di accumulazione per $B$ e che

(8) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = y_0, \qquad \lim_{y \to y_0} g(y) = \ell \in \overline{\mathbb{R}}. \end{equation*}$

Se almeno una delle seguenti condizioni

$\quad$

$f(x) \neq y_0$ per ogni $x \in I \cap A \setminus \{x_0\}$ , dove $I$ è un opportuno intorno di $x_0$ ,

$y_0 \in B$ e $f(y_0)=\ell$ ,

è verificata, allora la composizione $g \circ f$ ha limite $\ell$ per $x \to x_0$ , ovvero si ha

(9) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} g(f(x))= \ell. \end{equation*}$

$\quad$

Date due funzioni $f,g$ , osservando che si può scrivere

(10) $\begin{equation*} f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)} \end{equation*}$

(qualora tali scritture abbiano senso), grazie al teorema sul cambio di variabili si possono studiare le relazioni tra limiti ed elevamento a potenza, come mostra il teorema seguente. In esso, ipotizziamo $f(x)>0$ affinché la potenza $f(x)^{g(x)}$ abbia senso, mentre supponiamo $g(x)>0$ in quanto il caso opposto si ottiene facilmente da

(11) $\begin{equation*} f(x)^{g(x)} = \dfrac{1}{f(x)^{-g(x)}} \end{equation*}$

e dai teoremi sull’algebra dei limiti.

Teorema 1.7 (limiti e potenze). Siano $f \colon A \subseteq \mathbb{R} \to (0,+\infty)$ e $g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ delle funzioni, sia $x_0 \in \overline{ \mathbb{R}}$ un punto di accumulazione per $A$ e supponiamo che esistano

(12) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell_f \in [0,+\infty] \qquad \lim_{x \to x_0} g(x)= \ell_g \in [0,+\infty]. \end{equation*}$

$\quad$

Se $\ell_f,\ell_g \in [0,+\infty)$ , tranne il caso $\ell_f=\ell_g=0$ , allora $\displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x)^{g(x)} = {\ell_f}^{\ell_g}.$

Se $\ell_g = +\infty$ , allora
(13) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0}f(x)^{g(x)} = \begin{cases} 0 & \text{se } \ell_f \in [0,1); \\ +\infty & \text{se } \ell_f \in (1,+\infty]. \end{cases} \end{equation*}$

$\quad$

Osservazione 1.8. Le conclusioni del punto 2 del teorema 1.7 possono essere sintetizzate come delle operazioni in $\overline{\mathbb{R}}$ , ovvero con le scritture

$\boxcolorato{analisi}{a^{+\infty} = \begin{cases} 0 & \text{se } a \in [0,1) \\ +\infty & \text{se } a \in (1, +\infty]. \end{cases}}$

Per motivi di praticità, le conclusioni di un teorema possono essere espresse in forma operativa; tuttavia, è cruciale riconoscere che tali espressioni non rappresentano operazioni rigorose nel campo dei numeri reali. Di conseguenza, queste notazioni dovrebbero essere impiegate esclusivamente come strumenti intuitivi e non dovrebbero essere utilizzate nelle soluzioni formali degli esercizi.

Si noti anche che il teorema non afferma nulla sulle “operazioni” nella retta reale estesa

(14) $\begin{equation*} [0^0], \quad [\infty^0], \quad [1^\infty]. \end{equation*}$

Tali scritture sono chiamate forme indeterminate e esulano dagli scopi di questa dispensa.

La dimostrazione di tutti i seguenti teoremi e approfondimenti vari possono essere reperite su

$\quad$

Teoremi sui limiti
$\quad$
1. Limiti e limitatezza
2. Teoremi di confronto e dei carabinieri
3. Limiti e successioni: il teorema ponte
4. Limiti di funzioni monotone

$\quad$

Operazioni con i limiti
$\quad$
1. Algebra dei limiti in $\mathbb{R}$
2. Algebra dei limiti in $\mathbb{R}$
3. Composizione e cambi di variabile
4. Limiti di funzioni inverse
5. Limiti e potenze

nell’articolo teoria sui limiti sul sito Qui Si Risolve.

Errori nei limiti e notazioni ambigue

Introduzione.

Immaginiamo di voler calcolare il seguente limite:

(15) $\begin{equation*} \lim_{x \to 3^+ } \frac{1}{x - 3}. \end{equation*}$

Per affrontare questo problema, possiamo applicare un cambio di variabile, ponendo $x - 3 = t$ . In questo modo, il limite si trasforma nel seguente:

(16) $\begin{equation*} \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{t}. \end{equation*}$

Grazie al teorema sul cambio di variabili (vedi teorema 1.6), sappiamo che il limite $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{1}{t}$ è uguale a $+\infty$ . La dimostrazione dettagliata di questo fatto si trova nell’esempio 2.1.

Questo approccio esemplifica come dovrebbero essere affrontati i limiti per evitare ambiguità e abusi di notazione, garantendo un rigoroso rispetto delle regole matematiche.

Tuttavia, è interessante notare che, nella pratica, molti studenti e matematici utilizzano, almeno mentalmente, alcune scritture non del tutto rigorose per facilitare il calcolo di limiti simili. Queste notazioni, sebbene non formalmente corrette, aiutano a intuire il comportamento della funzione nelle vicinanze del punto critico. Ecco alcuni esempi di tali scritture:

(17) $\begin{equation*} \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{x-3} = \frac{1}{3^+ - 3} = \frac{1}{0^+} = +\infty, \end{equation*}$

(18) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} e^{-x^2} = e^{-(+\infty)^2} = e^{-\infty} = 0^+. \end{equation*}$

Questi passaggi non sono rigorosi dal punto di vista formale, ma risultano utili per un calcolo mentale rapido. Pur consapevoli delle loro limitazioni, è difficile negare l’efficacia di tali notazioni nell’intuizione del comportamento limite di una funzione.

Nell’ambito dell’insegnamento liceale e universitario, capita spesso di vedere applicati passaggi simili a quelli illustrati nei limiti precedenti. Tuttavia, tali approcci possono introdurre errori formali e ambiguità nella notazione. È importante ricordare che i limiti possono essere calcolati direttamente tramite sostituzione solo se la funzione è continua nel punto considerato.

Ad esempio, la funzione $\dfrac{1}{x - 3}$ non è definita per $x = 3$ . Pertanto, non è matematicamente corretto sostituire semplicemente $x = 3$ nel limite. Inoltre, l’introduzione di notazioni come $x = 3^-$ non risolve il problema concettuale di fondo, ovvero il fatto che stiamo tentando di calcolare il limite per sostituzione in un punto in cui la funzione non è continua.

Per chiarire ulteriormente questo concetto, riportiamo un estratto tratto dal libro del professore Renato Fiorenza [4]. Nella pagina 178, viene discusso un caso simile con i relativi calcoli e considerazioni.

$\quad$

“La funzione dell’esempio precedente è composta mediante più di due funzioni, ed allora conviene sintetizzare ulteriormente l’applicazione pratica del teorema sul limite di una funzione composta. Per mostrare come si procede, consideriamo il limite:

$\lim_{x \to -\infty} \arctan \left(\left( \log \tanh 5^{ - \sinh \left( x^3 - 7x + 1 \right)}\right)^{-3} \right).$

Si ragiona (mentalmente) come segue:

$\begin{aligned} \text{per } x \to -\infty &\implies x^3 - 7x + 1 \to -\infty \implies \sinh \left( x^3 - 7x + 1 \right) \to -\infty \implies \\ &\implies -\sinh \left( x^3 - 7x + 1 \right) \to +\infty \implies 5^{ - \sinh \left( x^3 - 7x + 1 \right)} \to +\infty \implies \\ &\implies \tanh 5^{ - \sinh \left( x^3 - 7x + 1 \right)} \to 1^{-} \implies \\ &\implies \log \left(\tanh 5^{ - \sinh \left( x^3 - 7x + 1 \right)}\right) \to 0^{-} \implies \\ &\implies \left(\log \tanh 5 ^{- \sinh \left( x^3 - 7x + 1 \right)}\right)^{-3} \to -\infty \implies \\ &\implies \arctan \left( \left(\log \tanh 5^{ - \sinh \left( x^3 - 7x + 1 \right) }\right)^{-3}\right) \to -\frac{\pi}{2}'' \end{aligned}$

$\quad$

Per risolvere il limite precedentemente discusso, sono stati applicati il teorema 1.6 e il teorema 1.7. Come evidenziato, l’insegnante ha utilizzato il termine “mentalmente”, sottolineando l’utilità di eseguire una serie di passaggi mentali in determinate circostanze per arrivare rapidamente al risultato, evitando di perdersi in eccessive formalità matematiche.

A tal proposito, riteniamo utile introdurre degli abusi di notazione, che permettono di rendere tali ragionamenti “mentali” più espliciti e trasparenti, in modo che siano accessibili a tutti. La notazione presentata nella osservazione 1.8

$\boxcolorato{analisi}{a^{+\infty} = \begin{cases} 0 & \text{se } a \in [0,1) \\ +\infty & \text{se } a \in (1, +\infty]. \end{cases} }$

costituisce un primo esempio di abuso di notazione, come anche negli esempi (20) e (18).

È fondamentale comprendere che, quando si scrive:

(19) $\begin{equation*} \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{x-3} = \frac{1}{3^+ - 3} = \frac{1}{0^+} = +\infty, \end{equation*}$

non si sta eseguendo un vero calcolo di limite, bensì si fa uso di un abuso di notazione. Tale notazione viene impiegata per semplificare il ragionamento, evitando di dover applicare ogni volta la definizione formale di limite come indicato nella tabella 1 o di dover richiamare costantemente il teorema applicato. Si tratta, dunque, di un approccio informale e non rigoroso, che però non deve essere confuso con l’atto di calcolare un limite.

Ci si interroga, dunque, sul significato di questa serie di passaggi:

(20) $\begin{equation*} \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{x-3} = \frac{1}{3^+ - 3} = \frac{1}{0^+} = +\infty. \end{equation*}$

Il precedente abuso di notazione può essere interpretato come segue: avvicinandosi da destra verso il valore $3$ , cioè considerando un intorno destro sufficientemente piccolo di $3$ , l’espressione $x - 3$ tende a diventare sempre più piccola positivamente. Di conseguenza, l’espressione $\dfrac{1}{x - 3}$ , tende a crescere indefinitamente, fino a “esplodere”. Con il termine “esplodere” si intende proprio che, man mano che ci avviciniamo da destra a $3$ , il denominatore diventa sempre più piccolo, e quindi $\dfrac{1}{x - 3}$ diventa sempre più grande fino appunto ad “esplodere”, cioè a divergere a $+\infty$ . Questa è l’interpretazione sottesa all’espressione $\dfrac{1}{3^+ - 3} = \dfrac{1}{0^+}$ : avvicinandosi da destra a $3$ , la funzione $\dfrac{1}{x - 3}$ si comporta in maniera analoga alla funzione $\dfrac{1}{x}$ in un intorno destro di zero, come confermato dai risultati in (15) e (16). Un ragionamento analogo può essere applicato al limite (20) utilizzando il teorema 1.6 e sviluppando una giustificazione simile a quella precedente.

Autori di spicco come Marco Bramanti, Carlo D. Pagani e Sandro Salsa adottano notazioni simili a quella discussa. Tali notazioni possono essere trovate, ad esempio, a pagina 99 di [3]. Per completezza, riportiamo qui di seguito alcuni estratti significativi:

Quando utilizziamo l’espressione $\dfrac{1}{0}$ , non stiamo suggerendo che si tratti di una divisione di un numero per zero, ma piuttosto di una divisione per una quantità che tende a zero. È cruciale considerare anche il segno di tale quantità. Per semplificare questa idea, si può introdurre la convenzione che $x_0^{\pm}$ (con il segno $\pm$ come indice in alto) rappresenti una quantità che tende a $x_0$ rispettivamente da destra ( $+$ ) o da sinistra ( $-$ ). Questa notazione è particolarmente utile per rendere più agevole la scrittura durante i calcoli, soprattutto quando si tratta di limiti calcolati a mente.

Per esempio, quando ci riferiamo ad espressioni del tipo $\dfrac{f(0^+)}{g(0^+)}$ , non intendiamo il quoziente dei limiti di $f(x)$ e $g(x)$ separatamente, ma piuttosto il limite del quoziente della funzione $h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$ , valutata nel punto $x$ che tende a zero da destra, ossia $h(0^+)$ . Formalmente, possiamo esprimere questo concetto come:

$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0^+} h(x).$

Questo sottolinea che stiamo considerando il comportamento della funzione $h(x)$ mentre $x$ si avvicina a zero da destra, e non stiamo calcolando separatamente i limiti di $f(x)$ e $g(x)$ . Tale distinzione è fondamentale per una corretta interpretazione e applicazione dei limiti.

È essenziale comprendere che questa notazione riflette la nostra intenzione di analizzare il comportamento della funzione $h(x)$ mentre $x$ si avvicina a zero, e non semplicemente calcolare separatamente i limiti di $f(x)$ e $g(x)$ . Questo concetto può sembrare implicito, ma diventa una parte naturale del nostro ragionamento una volta che si ha piena padronanza della teoria sui limiti.

Tutti gli abusi di notazione utilizzati e le loro interpretazioni verranno ulteriormente approfonditi nelle sezioni successive, dove esamineremo questi concetti in modo più accademico, presentando i risultati anche come formule matematiche dopo una spiegazione verbale dettagliata.

Tutti gli abusi di notazione usati e le loro interpretazioni verranno presentate nelle sezioni che seguono. Le precedenti notazioni prendono il nome di l’aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito. Quindi, l’aritmetizzazione parziale dell’infinito permette di trattare l’infinito come un’entità su cui si possono fare alcune operazioni, ma con delle restrizioni per preservare la coerenza matematica.

Esempi.

Esempio 2.1. Verificare che

$\lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty.$

Dimostrazione. Dimostriamo che $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$ usando la definizione formale per $x_0 = 0^+$ e $\ell = +\infty$ , seguendo il caso 3 della tabella 1. Si ha:

$\forall M > 0, \exists \delta > 0 \text{ tale che } 0 < x < \delta \implies \dfrac{1}{x} > M.$

Consideriamo un $M > 0$ . Dobbiamo trovare $\delta > 0$ tale che:

$0 < x < \delta \implies \dfrac{1}{x} > M.$

Sappiamo che $\dfrac{1}{x} > M$ è equivalente a:

$0<x < \dfrac{1}{M}.$

Scegliamo quindi $\delta = \dfrac{1}{M}$ . Allora, se $0 < x < \delta = \dfrac{1}{M}$ , abbiamo:

$\frac{1}{x} > M.$

Questo dimostra che:

$\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty.$

Di seguito, presentiamo la proposizione 2.2 e l’esempio 2.3, che applica questa proposizione alla funzione $f(x) = \dfrac{1}{x}$ , dimostrando che il limite in $x = 0$ non esiste poiché i limiti destro e sinistro sono diversi.

Proposizione 2.2 (relazione tra limite sinistro, destro e limite). Sia $f \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , sia $x_0$ un punto di accumulazione sinistro e destro per $A$ e sia $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ . Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

$\quad$

$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)= \ell$ ;

$\displaystyle \lim_{x \to x_0^+} f(x)= \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \ell$ .

Esempio 2.3. La funzione $f \colon \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$ definita da

(21) $\begin{equation*} f(x) = \frac{1}{x} \qquad \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \end{equation*}$

non ha limite per $x \to 0$ . Infatti, come dimostrato precedentemente, sappiamo che

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty.$

Il limite

$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty,$

si dimostra in modo analogo al precedente. Poiché i limiti destro e sinistro in $0$ esistono ma sono diversi, per la proposizione 2.2 il limite di $f$ in $0$ non esiste.

Cosa sono i limiti elementari?

Introduzione.

Il termine limiti elementari si riferisce ai limiti che possono essere calcolati usando regole e tecniche di base, senza richiedere metodi avanzati o particolari strumenti di calcolo. In genere, questi limiti sono semplici e non coinvolgono forme indeterminate.

Caratteristiche dei limiti elementari.

Facilità di calcolo: i limiti elementari sono calcolabili direttamente applicando regole fondamentali di limiti, senza necessità di algebra avanzata o calcolo di forme indeterminate.

Nessuna forma Indeterminata: non presentano forme indeterminate come $\dfrac{0}{0}$ , $\dfrac{\infty}{\infty}$ , ecc..

Regole fondamentali: si basano su regole semplici come il limite di una funzione costante, la linearità dei limiti, e il limite di funzioni polinomiali e razionali in punti non problematici.

Dunque, è sufficiente passare al limite, eseguire il calcolo, e il gioco è fatto. Si tratta semplicemente di applicare le proprietà delle funzioni, come descritto nella teoria sulle funzioni, nelle funzioni trigonometriche e iperboliche, e nelle funzioni algebriche, esponenziali e logaritmiche.

Introduzione alle notazioni degli infiniti

Introduzione.

Nel calcolo dei limiti, specialmente quando si trattano limiti che tendono all’infinito, è essenziale comprendere e utilizzare correttamente alcune notazioni che, pur essendo considerate “abusi di notazione” in un contesto rigorosamente formale, risultano estremamente utili per la comprensione e la risoluzione pratica degli esercizi.

Consideriamo, ad esempio, espressioni come $+\infty + \infty = +\infty$ o $k \times (+\infty) = +\infty$ per $k > 0$ . Queste scritture possono sembrare controintuitive all’inizio, dato che l’infinito non è un numero nel senso tradizionale. Tuttavia, adottare queste notazioni permette agli studenti di affrontare e risolvere problemi di limiti in maniera più intuitiva e diretta, senza dover passare ogni volta attraverso formalismi complessi.

L’uso di queste notazioni è particolarmente utile quando si lavora con limiti che coinvolgono quantità infinitamente grandi o infinitamente piccole. Per esempio, è spesso conveniente trattare $+\infty$ come una quantità che può essere manipolata algebricamente, pur sapendo che in un contesto rigoroso tali operazioni non sono ben definite senza un’adeguata teoria di supporto, come quella degli iperreali o la teoria delle distribuzioni.

$\quad$

Somma di infiniti: $+\infty + \infty = +\infty$ e $-\infty + (-\infty) = -\infty$ .

Somma di infinito e costante: $+\infty + k = +\infty$ e $-\infty + k = -\infty$ per ogni numero finito $k$ .

Moltiplicazione di infinito per un numero positivo o negativo: $k \times (+\infty) = +\infty$ se $k > 0$ oppure $k \times (+\infty) = -\infty$ se $k < 0$ . Analogamente, $k \times (-\infty) = -\infty$ se $k > 0$ oppure $k \times (-\infty) = +\infty$ se $k < 0$ .

Questi abusi di notazioni permettono di semplificare notevolmente la risoluzione dei limiti, aiutando a concentrarsi sulla struttura fondamentale del problema piuttosto che perdersi in dettagli tecnici.

È importante sottolineare che $+\infty$ non è un numero grande, ma piuttosto un concetto che rappresenta una crescita illimitata. In altre parole, $+\infty$ non è un valore numerico che si può manipolare come un numero ordinario; non è un punto fisso nella retta dei numeri reali, ma indica un’infinità che continua a crescere senza alcun limite. Questa distinzione è cruciale per evitare fraintendimenti, specialmente quando si utilizzano notazioni come $+\infty + k = +\infty$ o $+\infty \times k = +\infty$ (per $k > 0$ ).

Queste espressioni non implicano che $+\infty$ sia un numero finito, ma riflettono piuttosto la proprietà che, quando una quantità cresce senza limiti, l’aggiunta o la moltiplicazione di una quantità finita non ne altera la crescita illimitata.

Funzione y=k/x.

Consideriamo la funzione $f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to \mathbb{R}$ , $f(x)=k/x$ , con $k\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

$\quad$

Figura 2: grafico della funzione $y = \dfrac{k}{x}$ per diversi valori di $k$ .

$\quad$

In termini di monotonia, la funzione si comporta diversamente a seconda del segno di $k$ . Per $k > 0$ , la funzione è sempre strettamente decrescente sia per $x > 0$ sia per $x < 0$ . Al contrario, per $k < 0$ , la funzione è sempre strettamente crescente sia per $x > 0$ sia per $x < 0$ .

Dal grafico rappresento in figura 2 si può osservare che

$\lim_{x\to+0^+}\dfrac{k}{x}=\begin{cases} +\infty\quad \text{se }k>0\\ -\infty\quad \text{se }k<0, \end{cases}$

$\lim_{x\to+0^-}\dfrac{k}{x}=\begin{cases} -\infty\quad \text{se }k>0\\ +\infty\quad \text{se }k<0, \end{cases}$

$\lim_{x\to\pm \infty}\dfrac{k}{x}=0,\quad \forall k \in\mathbb{R}\setminus\{0\}.$

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale definire le seguenti notazioni:

$\boxcolorato{analisi}{\dfrac{k}{0^{+}}=\begin{cases} +\infty\quad \text{se }k>0\\ -\infty\quad \text{se }k<0, \end{cases} }$

$\boxcolorato{analisi}{\dfrac{k}{0^{-}}=\begin{cases} -\infty\quad \text{se }k>0\\ +\infty\quad \text{se }k<0, \end{cases} }$

$\boxcolorato{analisi}{\dfrac{k}{\pm \infty}=0.}$

Dimostrazione del limite.

In questo caso, utilizziamo la definizione della tabella 1, caso 3.

Se $k > 0$ , vogliamo dimostrare che $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{k}{x} = +\infty$ .

Sia $M > 0$ . Dobbiamo trovare un $\delta > 0$ tale che per ogni $x \in (0, \delta)$ , si abbia $\dfrac{k}{x} > M$ .

$\frac{k}{x} > M \implies 0<x < \frac{k}{M}.$

Quindi, possiamo scegliere $\delta = \dfrac{k}{M}$ . Per questa scelta di $\delta$ , se $x \in (0, \delta)$ , allora $\dfrac{k}{x} > M$ , come richiesto.

Pertanto, per ogni $M > 0$ , esiste $\delta = \dfrac{k}{M} > 0$ tale che $\dfrac{k}{x} > M$ per $x \in (0, \delta)$ . Questo dimostra che $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{k}{x} = +\infty$ per $k > 0$ .

Dimostrazione del limite.

$k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ } In questo caso, utilizziamo la definizione della tabella1, caso 7.

Ora consideriamo il limite $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{k}{x} = 0$ .

Sia $\epsilon > 0$ . Dobbiamo dimostrare che per ogni $\epsilon > 0$ esiste un $H > 0$ tale che per $x > H$ , si ha che $\left|\dfrac{k}{x}\right| < \epsilon$ .

$\left|\frac{k}{x}\right| < \epsilon \implies x > \frac{|k|}{\epsilon}.$

Quindi, possiamo scegliere $H = \dfrac{|k|}{\epsilon}$ . Per questa scelta di $H$ , se $x > H$ , allora $\left|\dfrac{k}{x}\right| < \epsilon$ .

Pertanto, per ogni $\epsilon > 0$ , esiste $H = \dfrac{|k|}{\epsilon}$ tale che $\left|\dfrac{k}{x}\right| < \epsilon$ per $x > H$ . Questo dimostra che

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{k}{x} = 0,$

indipendentemente dal segno di $k$ .

Per gli altri limiti si procede analogamente come i precedenti utilizzando le notazioni appropriate della tabella 1.

Funzione.

Consideriamo la funzione $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ , $f(x) = a^x$ , con $a > 0 , a \neq 1$ .

$\quad$

Figura 3: grafico della funzione $y = a^x$ per diversi valori di $a$ .

$\quad$

In termini di monotonia, la funzione esponenziale $y = a^x$ si comporta diversamente a seconda del valore di $a$ :

$\quad$

per $a > 1$ , la funzione è strettamente crescente per ogni $x$ ;

per $0 < a < 1$ , la funzione è strettamente decrescente per ogni $x$ .

Dal grafico rappresentato in figura 3 si può osservare che:

$\lim_{x \to -\infty} a^x = \begin{cases} 0\quad & \text{se } a > 1, \\ +\infty & \text{se } 0 < a < 1, \end{cases}$

$\lim_{x \to +\infty} a^x = \begin{cases} +\infty & \text{se } a > 1, \\ 0 & \text{se } 0 < a < 1. \end{cases}$

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale definire le seguenti notazioni:

$\boxcolorato{analisi}{a^{-\infty} = \begin{cases} 0 & \text{se } a > 1, \\ +\infty & \text{se } 0 < a < 1, \end{cases}}$

$\boxcolorato{analisi}{a^{+\infty} = \begin{cases} +\infty & \text{se } a > 1, \\ 0 & \text{se } 0 < a < 1. \end{cases}}$

Caso.

Caso $a > 1$ In questo caso, utilizziamo la definizione della tabella 1, caso 4.

Vogliamo dimostrare che $\lim_{x \to -\infty} a^x = 0$ .

Sia $\epsilon > 0$ . Dobbiamo trovare un $H > 0$ tale che per ogni $x < -H$ , si abbia $|a^x - 0| < \epsilon$ , ovvero:

$a^x < \epsilon.$

Prendendo il logaritmo naturale di entrambi i membri, otteniamo:

$x \ln(a) < \ln(\epsilon).$

Dividendo per $\ln(a)$ , che è positivo dato che $a > 1$ , otteniamo:

$x < \frac{\ln(\epsilon)}{\ln(a)}.$

Si noti che $\dfrac{\ln(\epsilon)}{\ln(a)}$ è un numero negativo che diventa sempre più grande (in valore assoluto) quanto più $\varepsilon > 0$ è prossimo a $0$ .

Quindi, possiamo scegliere $H = -\dfrac{\ln(\epsilon)}{\ln(a)}$ . Per questa scelta di $H$ , se $x < -H$ , allora $a^x < \epsilon$ , come richiesto.

Pertanto, per ogni $\epsilon > 0$ , esiste $H > 0$ tale che $a^x < \epsilon$ per $x < -H$ . Questo dimostra che:

$\lim_{x \to -\infty} a^x = 0, \quad \text{se } a > 1.$

Caso $0 < a < 1$

In questo caso, utilizziamo la definizione della tabella 1, caso 6. Vogliamo dimostrare che $\lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty$ .

Sia $M > 0$ . Dobbiamo trovare un $H > 0$ tale che per ogni $x < -H$ , si abbia $a^x > M$ .

Consideriamo che $a = \dfrac{1}{b}$ , con $b > 1$ . Quindi, $a^x = \left(\dfrac{1}{b}\right)^x = b^{-x}$ . Vogliamo dimostrare che $b^{-x} > M$ , ovvero:

$-\ln(b) \cdot x > \ln(M).$

Dividendo per $-\ln(b)$ , che è negativo, otteniamo:

$x < -\frac{\ln(M)}{\ln(b)}.$

Quindi, possiamo scegliere $H = \dfrac{\ln(M)}{\ln(b)}$ . Per questa scelta di $H$ , se $x < -H$ , allora $a^x > M$ , come richiesto.

Pertanto, per ogni $M > 0$ , esiste $H > 0$ tale che $a^x > M$ per $x < -H$ . Questo dimostra che:

$\lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty, \quad \text{se } 0 < a < 1.$

Per gli altri limiti si procede analogamente come i precedenti utilizzando le notazioni appropriate della tabella 1.

Funzione $y = \log_a(x)$ , con $a > 0$ e $a \neq 1$

Introduzione.

Consideriamo la funzione $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ , $f(x) = \log_a(x)$ , con $a > 0$ e $a \neq 1$ .

$\quad$

Figura 4: grafico della funzione $y = \log_a(x)$ per diversi valori di $a$ .

$\quad$

In termini di monotonia, la funzione logaritmica $y = \log_a(x)$ si comporta diversamente a seconda del valore di $a$ :

$\quad$

per $a > 1$ , la funzione è strettamente crescente per ogni $x > 0$ .

per $0 < a < 1$ , la funzione è strettamente decrescente per ogni $x > 0$ .

Dal grafico rappresentato in figura 4 si può osservare che:

$\lim_{x \to 0^+} \log_a(x) = \begin{cases} -\infty & \text{se } a > 1, \\ +\infty & \text{se } 0 < a < 1, \end{cases}$

$\lim_{x \to +\infty} \log_a(x) = \begin{cases} +\infty & \text{se } a > 1, \\ -\infty & \text{se } 0 < a < 1. \end{cases}$

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale definire le seguenti notazioni:

$\boxcolorato{analisi}{\log_a(0^+) = \begin{cases} -\infty & \text{se } a > 1, \\ +\infty & \text{se } 0 < a < 1 \end{cases}}$

$\boxcolorato{analisi}{\log_a(+\infty) = \begin{cases} +\infty & \text{se } a > 1, \\ -\infty & \text{se } 0 < a < 1. \end{cases}}$

Si noti che calcolare il limite per $x \to 0^-$ e $x \to -\infty$ non ha senso, poiché la funzione logaritmo non è definita per $x < 0$ .

Dimostrazione del limite.

Caso 1: $a > 1$

In questo caso, utilizziamo la definizione della tabella 1, caso 2.

Vogliamo dimostrare che $\lim_{x \to 0^+} \log_a(x) = -\infty$ .

Sia $M > 0$ . Dobbiamo trovare un $\delta > 0$ tale che per ogni $x \in (0, \delta)$ , si abbia $\log_a(x) < -M$ .

Riscrivendo questa disuguaglianza in termini esponenziali, otteniamo:

$0<x < a^{-M}.$

Si noti che per $M \gg 0$ , $a^{-M}$ è positivo e prossimo a 0.

Quindi, possiamo scegliere $\delta = a^{-M}$ . Per questa scelta di $\delta$ , se $x \in (0, \delta)$ , allora $\log_a(x) < -M$ .

Pertanto, per ogni $M > 0$ , esiste $\delta = a^{-M}$ tale che $\log_a(x) < -M$ per $x \in (0, \delta)$ . Questo dimostra che:

$\lim_{x \to 0^+} \log_a(x) = -\infty \quad \text{se } a > 1.$

Caso 2: $0 < a < 1$

In questo caso, utilizziamo la definizione della tabella 1, caso 3.

Vogliamo dimostrare che $\lim_{x \to 0^+} \log_a(x) = +\infty$ .

Sia $M > 0$ . Dobbiamo trovare un $\delta > 0$ tale che per ogni $x \in (0, \delta)$ , si abbia $\log_a(x) > M$ .

Riscrivendo questa disuguaglianza in termini esponenziali, otteniamo:

$0<x < a^M.$

Si noti che se $0 < a < 1$ , allora per $M \gg 0$ si ha che $a^M$ è positivo e prossimo a 0.

Quindi, possiamo scegliere $\delta = a^M$ . Per questa scelta di $\delta$ , se $x \in (0, \delta)$ , allora $\log_a(x) > M$ .

Pertanto, per ogni $M > 0$ , esiste $\delta = a^M$ tale che $\log_a(x) > M$ per $x \in (0, \delta)$ . Questo dimostra che:

$\lim_{x \to 0^+} \log_a(x) = +\infty \quad \text{se } 0 < a < 1.$

Per gli altri limiti si procede analogamente ai precedenti, utilizzando le notazioni appropriate riportate nella tabella 1.

Osservazione 5.1. Spesso gli studenti sono portati a commettere i seguenti errori:

$\boxed{\lim_{x\to 0^-}\ln(x) \quad \text{oppure} \quad \lim_{x\to -\infty}\ln(x).}$

È importante sottolineare che tali espressioni non hanno senso, poiché il logaritmo naturale è definito solo per $x > 0$ .

Funzione $y = x^{1/n}$

Leggi...

Consideriamo la funzione $f : [0, \infty) \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^{1/n}$ , dove $n$ è un numero naturale diverso da zero.

$\quad$

Figura 5: grafico della funzione $y = x^{1/2}$ .

$\quad$

La funzione radice $y = x^{1/n}$ è definita solo per $x \geq 0$ quando $n$ è un numero naturale. Pertanto, non ha senso considerare limiti per $x \to 0^-$ o $x \to -\infty$ , poiché la funzione non è definita per $x < 0$ .

$\lim_{x \to +\infty} x^{1/n} = +\infty \quad \text{per ogni } n \in \mathbb{N}^+.$

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite, come nei precedenti esercizi.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale definire le seguenti notazioni:

$\boxcolorato{analisi}{(+\infty)^{1/n} = +\infty \quad \text{per ogni } n \in \mathbb{N}^+.}$

Dunque, dalla precedente notazione, si ha

$\boxed{\sqrt[2]{+\infty}=+\infty, \, \sqrt[2]{+\infty}=+\infty, \,\sqrt[3]{+\infty}=+\infty, \,\sqrt[5]{+\infty}=+\infty, \dots}$

Funzioni.

Consideriamo le funzioni $f : \mathbb{R} \to [-1, 1]$ , $f(x) = \sin(x)$ e $g : \mathbb{R} \to [-1, 1]$ , $g(x) = \cos(x)$ .

$\quad$

Figura 6: grafico delle funzioni $y = \sin(x)$ e $y = \cos(x)$ .

$\quad$

In termini di comportamento asintotico, i limiti delle funzioni seno e coseno per $x$ che tende a $+\infty$ e $-\infty$ non esistono. Questi fatti possono essere dimostrati grazie al teorema Ponte.

I limiti delle funzioni seno e coseno per $x \to \pm\infty$ possono essere quindi riassunti come segue:

$\lim_{x \to \pm \infty} \sin(x) \quad \text{non esiste},$

$\lim_{x \to \pm \infty} \cos(x) \quad \text{non esiste}.$

Funzione $t=\tan x$

Leggi...

Consideriamo la funzione $f : \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = \tan(x)$ .

$\quad$

Figura 7: grafico della funzione $y = \tan(x)$ con asintoti verticali $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ .

$\quad$

In termini di comportamento asintotico, la funzione tangente presenta asintoti verticali nelle posizioni $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ , con $k \in \mathbb{Z}$ .

Dal grafico rappresentato in figura 7 si può osservare che:

$\lim_{x \to \left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)^-} \tan(x) = -\infty,$

$\lim_{x \to \left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)^+} \tan(x) = +\infty.$

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale definire le seguenti notazioni:

$\boxcolorato{analisi}{ \tan\left(\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)^- \right)=+\infty}$

$\boxcolorato{analisi}{\tan\left(\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)^+ \right)=-\infty.}$

Funzione $t = \cot(x)$

Leggi...

Consideriamo la funzione $f : \mathbb{R} \setminus \left\{ k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \cot(x)$ .

$\quad$

Figura 8: grafico della funzione $y = \cot(x)$ con asintoti verticali in corrispondenza di $k\pi$ .

$\quad$

In termini di comportamento asintotico, la funzione cotangente presenta asintoti verticali nelle posizioni $x = k\pi$ , con $k \in \mathbb{Z}$ .

Dal grafico rappresentato in figura 8 si può osservare che:

$\lim_{x \to (k\pi)^-} \cot(x) = +\infty,$

$\lim_{x \to (k\pi)^+} \cot(x) = -\infty.$

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale definire le seguenti notazioni:

$\boxcolorato{analisi}{\cot\left( (k\pi)^- \right) = +\infty, }$

$\boxcolorato{analisi}{\cot\left( (k\pi)^+ \right) = -\infty. }$

Nella tabella 1 riepiloghiamo i limiti visti nei precedenti esempi, insieme ad altri limiti di alcune funzioni elementari di base, le cui dimostrazioni possono essere reperite in [].

Funzione $t = \text{arctan}(x)$

Leggi...

Consideriamo la funzione $f : \mathbb{R} \to \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ , $f(x) = \arctan(x)$ .

$\quad$

Figura 9: grafico della funzione $y = \arctan(x)$ con asintoti orizzontali $y = \dfrac{\pi}{2}$ e $y = -\dfrac{\pi}{2}$ .

$\quad$

In termini di monotonia, la funzione arctangente $y = \arctan(x)$ è strettamente crescente su tutto $\mathbb{R}$ e ha come asintoti orizzontali le rette $y = \dfrac{\pi}{2}$ e $y = -\dfrac{\pi}{2}$ .

Dal grafico rappresentato in figura 9 si può osservare che:

$\lim_{x \to -\infty} \arctan(x) = -\frac{\pi}{2},$

$\lim_{x \to +\infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}.$

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale definire le seguenti notazioni:

$\boxcolorato{analisi}{ \arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2},}$

$\boxcolorato{analisi}{\arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2}.}$

Funzione $y = \text{arccot}(x)$

Leggi...

Consideriamo la funzione $f : \mathbb{R} \to \left(0, \pi\right)$ , $f(x) = \text{arccot}(x)$ .

$\quad$

Figura 10: grafico della funzione $y = \text{arccot}(x)$ con asintoti orizzontali $y = 0$ e $y = \pi$ .

$\quad$

In termini di monotonia, la funzione arcocotangente $y = \text{arccot}(x)$ è strettamente decrescente su tutto $\mathbb{R}$ e ha come asintoti orizzontali le rette $y = 0$ e $y = \pi$ .

Dal grafico rappresentato in figura 10 si può osservare che:

$\lim_{x \to -\infty} \text{arccot}(x) = \pi,$

$\lim_{x \to +\infty} \text{arccot}(x) = 0.$

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale definire le seguenti notazioni:

$\boxcolorato{analisi}{\text{arccot}(-\infty) = \pi,}$

$\boxcolorato{analisi}{\text{arccot}(+\infty) = 0.}$

Funzione $y = \arcsin(x)$

Leggi...

Consideriamo la funzione $f : [-1, 1] \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ , $f(x) = \arcsin(x)$ , che è la funzione inversa del seno. La funzione inversa del seno $y = \arcsin(x)$ è definita solo sull’intervallo $[-1, 1]$ . Pertanto, non ci sono punti da indagare al di fuori di questo intervallo, e non ha senso considerare limiti per $x \to +\infty$ o $x \to -\infty$ , in quanto la funzione non è definita per tali valori.

Funzione $y = \arccos(x)$

Leggi...

Consideriamo la funzione $f : [-1, 1] \to [0, \pi]$ , $f(x) = \arccos(x)$ , che è la funzione inversa del coseno.

La funzione inversa del coseno $y = \arccos(x)$ è definita solo sull’intervallo $[-1, 1]$ . Pertanto, non ci sono punti da indagare al di fuori di questo intervallo, e non ha senso considerare limiti per $x \to +\infty$ o $x \to -\infty$ , in quanto la funzione non è definita per tali valori.

Funzione $y = \sinh(x)$

Leggi...

$\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}.$

$\quad$

Figura 11: grafico della funzione $y = \sinh(x)$ .

$\quad$

In termini di monotonia, la funzione seno iperbolico $y = \sinh(x)$ è strettamente crescente su tutto $x \in \mathbb{R}$ e non ha asintoti di alcun genere.

Dal grafico rappresentato in figura 11 si può osservare che:

$\lim_{x \to -\infty} \sinh(x) = -\infty,$

$\lim_{x \to +\infty} \sinh(x) = +\infty.$

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale definire le seguenti notazioni:

$\boxcolorato{analisi}{\sinh(-\infty) = -\infty,}$

$\boxcolorato{analisi}{\sinh(+\infty) = +\infty.}$

Funzione $y = \cosh(x)$

Leggi...

Consideriamo la funzione $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ , $f(x) = \cosh(x)$ , dove il coseno iperbolico è definito come:

$\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}.$

$\quad$

Figura 12: grafico della funzione $y = \cosh(x)$ .

$\quad$

In termini di monotonia, la funzione coseno iperbolico $y = \cosh(x)$ è strettamente crescente per $x > 0$ e strettamente decrescente per $x < 0$ . Il coseno iperbolico non ha asintoti di alcun genere, ma ha un minimo globale nel punto $x = 0$ , dove $\cosh(0) = 1$ .

Dal grafico rappresentato in figura 12 si può osservare che:

$\lim_{x \to -\infty} \cosh(x) = +\infty,$

$\lim_{x \to +\infty} \cosh(x) = +\infty.$

Il fatto che i due limiti sono uguali era deducibile anche dal fatto che la funzione è pari.

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale definire le seguenti notazioni:

$\boxcolorato{analisi}{\cosh(-\infty) = +\infty,}$

$\boxcolorato{analisi}{\cosh(+\infty) = +\infty.}$

Funzione $y = \tanh(x)$

Leggi...

Consideriamo la funzione $f : \mathbb{R} \to (-1, 1)$ , $f(x) = \tanh(x)$ , dove la tangente iperbolica è definita come:

$\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}.$

$\quad$

Figura 13: grafico della funzione $y = \tanh(x)$ con gli asintoti $y = 1$ e $y = -1$ .

$\quad$

In termini di monotonia, la funzione tangente iperbolica $y = \tanh(x)$ è strettamente crescente su tutto $\mathbb{R}$ e ha come asintoti orizzontali le rette $y = 1$ e $y = -1$ .

Dal grafico rappresentato in figura 13 si può osservare che:

$\lim_{x \to -\infty} \tanh(x) = -1,$

$\lim_{x \to +\infty} \tanh(x) = +1.$

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale introdurre le seguenti notazioni:

$\boxcolorato{analisi}{\tanh(-\infty) = -1,}$

$\boxcolorato{analisi}{\tanh(+\infty) = 1.}$

Funzione $y = \text{arsinh}(x)$

Leggi...

Consideriamo la funzione $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = \text{arsinh}(x)$ , dove la funzione inversa del seno iperbolico è definita come:

$\text{arsinh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right).$

$\quad$

Figura 14: grafico della funzione $y = \text{arsinh}(x)$ .

$\quad$

In termini di monotonia, la funzione inversa del seno iperbolico $y = \text{arsinh}(x)$ è strettamente crescente su tutto $\mathbb{R}$ , e non presenta asintoti di alcune genere.

Dal grafico rappresentato in figura 14 si può osservare che:

$\lim_{x \to -\infty} \text{arsinh}(x) = -\infty,$

$\lim_{x \to +\infty} \text{arsinh}(x) = +\infty.$

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale introdurre le seguenti notazioni:

$\boxcolorato{analisi}{\text{arsinh}(-\infty) = -\infty,}$

$\boxcolorato{analisi}{\text{arsinh}(+\infty) = +\infty.}$

Funzione $y = \text{arcosh}(x)$

Leggi...

$\text{arcosh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right).$

$\quad$

Figura 15: grafico della funzione inversa del coseno iperbolico $y = \text{arcosh}(x)$ .

$\quad$

In termini di monotonia, la funzione inversa del coseno iperbolico $y = \text{arcosh}(x)$ è strettamente crescente per $x \geq 1$ , e non presenta asintoti di alcune genere.

Dal grafico rappresentato in figura 15 si può osservare che:

$\lim_{x \to +\infty} \text{arcosh}(x) = +\infty,$

$\text{arcosh}(1) = 0.$

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale introdurre le seguenti notazioni:

$\boxcolorato{analisi}{\text{arcosh}(+\infty) = +\infty.}$

Inoltre, si osservi che

$\boxed{\text{arcosh}(1) = 0.}$

Funzione $y = \text{artanh}(x)$

Leggi...

$\text{artanh}(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right).$

$\quad$

Figura 16: grafico della funzione $y = \text{artanh}(x)$ con gli asintoti $x = -1$ e $x = 1$ .

$\quad$

In termini di monotonia, la funzione inversa della tangente iperbolica $y = \text{artanh}(x)$ è strettamente crescente su tutto l’intervallo $(-1, 1)$ , e ha asintoti verticali alle rette $x = 1$ e $x = -1$ .

Dal grafico rappresentato in figura 16 si può osservare che:

$\lim_{x \to -1^+} \text{artanh}(x) = -\infty,$

$\lim_{x \to 1^-} \text{artanh}(x) = +\infty.$

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale introdurre le seguenti notazioni:

$\boxcolorato{analisi}{\arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2},}$

$\boxcolorato{analisi}{\arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2}.}$

Tabelle dei limiti notevoli e delle notazioni utilizzate

Leggi...

La tabella 2 riassume la maggior parte dei limiti trattati in precedenza, mentre la tabella 3 riepiloga le notazioni adottate per lo svolgimento dei limiti.

$\quad$

Tabella Limiti Funzioni

Funzione	Estremo sinistro	Interno	Estremo destro
$f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ n \in \mathbb{N}$ $f(x) = x^n$	$\lim_{x \to -\infty} x^n$	$\lim_{x \to x_0} x^n = x_0^n$	$\lim_{x \to +\infty} x^n$
$f \colon [0,+\infty) \to \mathbb{R},\ \alpha > 0$ $f(x) = x^\alpha$	Se $x_0 \in [0, +\infty)$ , $\lim_{x \to x_0} x^\alpha = x_0^\alpha$		$\lim_{x \to +\infty} x^\alpha = +\infty$
$f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $f(x) = \sin x$	Non esiste	$\lim_{x \to x_0} \sin x = \sin x_0$	Non esiste
$f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $f(x) = \cos x$	Non esiste	$\lim_{x \to x_0} \cos x = \cos x_0$	Non esiste
$f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ \alpha > 0$ $f(x) = a^x$	$\lim_{x \to -\infty} a^x$	$\lim_{x \to x_0} a^x = a^{x_0}$	$\lim_{x \to +\infty} a^x$
se $x_0 \in (0,+\infty)$ , $\lim_{x \to x_0} \log_a x= \log_a {x_0}$	$\lim_{x \to 0^+} \log_a x$	$\lim_{x \to x_0} \log_a x = \log_a x_0$	$\lim_{x \to +\infty} \log_a x$
$\text{artanh}(x)$	$\lim_{x \to -1^+} \text{artanh}(x) = -\infty$	–	$\lim_{x \to 1^-} \text{artanh}(x) = +\infty$
$\text{arcosh}(x)$	–	–	$\lim_{x \to +\infty} \text{arcosh}(x) = +\infty$
$\text{arsinh}(x)$	$\lim_{x \to -\infty} \text{arsinh}(x) = -\infty$	–	$\lim_{x \to +\infty} \text{arsinh}(x) = +\infty$
$\text{tanh}(x)$	$\lim_{x \to -\infty} \text{tanh}(x) = -1$	–	$\lim_{x \to +\infty} \text{tanh}(x) = +1$
$\text{cosh}(x)$	$\lim_{x \to -\infty} \text{cosh}(x) = +\infty$	–	$\lim_{x \to +\infty} \text{cosh}(x) = +\infty$
$\text{sinh}(x)$	$\lim_{x \to -\infty} \text{sinh}(x) = -\infty$	–	$\lim_{x \to +\infty} \text{sinh}(x) = +\infty$
$\text{arctan}(x)$	$\lim_{x \to -\infty} \text{arctan}(x) = -\frac{\pi}{2}$	–	$\lim_{x \to +\infty} \text{arctan}(x) = +\frac{\pi}{2}$
$\text{tan}(x)$	$\lim_{x \to \left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)^-} \text{tan}(x) = +\infty$	–	$\lim_{x \to \left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)^+} \text{tan}(x) = -\infty$
$\text{cot}(x)$	$\lim_{x \to (k\pi)^-} \text{cot}(x) = -\infty$	–	$\lim_{x \to (k\pi)^+} \text{cot}(x) = +\infty$
$\text{arccot}(x)$	$\lim_{x \to -\infty} \text{arccot}(x) = \pi$	–	$\lim_{x \to +\infty} \text{arccot}(x) = 0$

Tabella 2: limiti degli esempi precedenti e in [8].

$\quad$

Prima colonna	Seconda colonna	Terza colonna
$\frac{k}{0^+} = \begin{cases} +\infty & \text{se } k > 0, \\ -\infty & \text{se } k < 0, \end{cases}$	$\frac{k}{0^-} = \begin{cases} -\infty & \text{se } k > 0, \\ +\infty & \text{se } k < 0, \end{cases}$	$\frac{k}{\pm\infty} = 0$
$a^{-\infty} = \begin{cases} 0 & \text{se } a > 1, \\ +\infty & \text{se } 0 < a < 1, \end{cases}$	$a^{+\infty} = \begin{cases} +\infty & \text{se } a > 1, \\ 0 & \text{se } 0 < a < 1, \end{cases}$	$\log_a(0^+) = \begin{cases} -\infty & \text{se } a > 1, \\ +\infty & \text{se } 0 < a < 1, \end{cases}$
$\log_a(+\infty) = \begin{cases} +\infty & \text{se } a > 1, \\ -\infty & \text{se } 0 < a < 1, \end{cases}$	$(+\infty)^{1/n} = +\infty \quad \forall n \in \mathbb{N}^+.$	$\tan\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)^- = +\infty$
$\tan\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)^+ = -\infty.$	$\cot\left((k\pi)^-\right) = -\infty,$	$\cot\left((k\pi)^+\right) = +\infty.$
$\arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2},$	$\arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2}.$	$\operatorname{arccot}(-\infty) = \pi,$
$\operatorname{arccot}(+\infty) = 0.$	$\sinh(-\infty) = -\infty,$	$\sinh(+\infty) = +\infty.$
$\cosh(-\infty) = +\infty,$	$\cosh(+\infty) = +\infty.$	$\tanh(-\infty) = -1,$
$\tanh(+\infty) = 1.$	$\operatorname{arsinh}(-\infty) = -\infty,$	$\operatorname{arsinh}(+\infty) = +\infty.$
$\operatorname{arcosh}(+\infty) = +\infty.$	$\arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2},$	$\arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2}.$

Tabella 3: riepilogo delle notazioni adottate per i limiti.

$\quad$

Di seguito ulteriori notazioni adottate.

$\begin{aligned} &\sin(0^+)=0^{+};\\ &\sin(0^-)=0^{-};\\ &\tan(0^+)=0^{+};\\ &\tan(0^-)=0^{-};\\ &\cos(0^+)=1^{+};\\ &\cos(0^-)=1^{-};\\ &a^{0^+}=1^{+};\\ &a^{0^{-}}=1^{-};\\ &\ln(1^{+})=0^{+};\\ &\ln(1^{-})=0^{-};\\ &x_0^+-x_0=0^+\\ &x_0^{-}-x_0=0^- \end{aligned}$

Esercizi svolti

Leggi...

Di seguito presentiamo una serie di esercizi svolti.

$\quad$

Limite di una costante:
$\lim_{x \to a} c = c,$
dove $c$ è una costante. Questo è un caso semplice e diretto.

Limite di funzioni polinomiali:
$\lim_{x \to a} (x^n + b) = a^n + b,$
dove $n \in \mathbb{N}$ . Per esempio:
$\lim_{x \to 2} (3x^2 + 4) = 3(2)^2 + 4 = 16.$

Limite di funzioni razionali:
$\lim_{x \to a} \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{p(a)}{q(a)},$
dove $p(x)$ e $q(x)$ sono polinomi e $q(a) \neq 0$ . Per esempio:
$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 2x + 1}{x - 1} = \frac{3^2 + 2 \cdot 3 + 1}{3 - 1} = \frac{16}{2} = 8.$

Limiti di funzioni esponenziali e logaritmiche:
$\lim_{x \to 0} e^x = e^0 = 1,$
e
$\lim_{x \to 1} \ln(x) = \ln(1) = 0.$

Limiti di funzioni trigonometriche:
$\lim_{x \to 0} \sin(x) = 0,$
e
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos(x) = 0.$

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to -\infty}} \left( x + \frac{5}{x} \right).$

Svolgimento.

Quando $x$ tende a $-\infty$ , abbiamo:

$\quad$

Il termine $x$ tende a $-\infty$ .

Il termine $\dfrac{5}{x}$ può essere calcolato direttamente:
$\frac{5}{x} = \frac{5}{-\infty} = 0,$
perché qualsiasi numero finito diviso per $-\infty$ dà esattamente 0.

Pertanto, il limite è:

$\lim_{{x \to -\infty}} \left( x + \frac{5}{x} \right) = -\infty + 0,$

cioè

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to -\infty}} \left( x + \frac{5}{x} \right) = -\infty.}$

Da questo primo esercizio, possiamo trarre una lezione fondamentale nel calcolo dei limiti: la prima azione da compiere è sostituire il valore a cui tende la variabile e osservare il comportamento dell’espressione. Anche quando l’espressione può sembrare complessa o controintuitiva, sostituire e semplificare è il passo iniziale che spesso chiarisce la situazione. Successivamente, è possibile valutare se il risultato ottenuto è significativo o se richiede ulteriori manipolazioni. Questo approccio sistematico è particolarmente utile, soprattutto nei limiti elementari, dove la maggior parte delle difficoltà può essere risolta semplicemente sostituendo e semplificando.

$\quad$

Figura 17: grafico della funzione $f(x) = x + \dfrac{5}{x}$ con asse $y$ in nero.

$\quad$

La figura 17 rappresenta il grafico della funzione $f(x) = x + \dfrac{5}{x}$ . La funzione mostra un comportamento asintotico per $x \to -\infty$ , dove il valore della funzione tende a $-\infty$ . La curva in blu rappresenta $f(x)$ .

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 0}} \left( \frac{1}{x^4} + \frac{1}{x^2} \right).$

Svolgimento.

Quando $x$ tende a 0 (sia da destra che da sinistra), abbiamo:

$\quad$

Figura 18: grafico della funzione $y=\dfrac{1}{x^4} + \dfrac{1}{x^2}$ .

$\quad$

Il termine $x^4$ tende a $0^+$ , e quindi $\dfrac{1}{x^4}$ tende a $+\infty$ .

Il termine $x^2$ tende a $0^+$ , e quindi $\dfrac{1}{x^2}$ tende a $+\infty$ .

Possiamo scrivere:
$\frac{1}{x^4} + \frac{1}{x^2} = \frac{1}{(0)^4} + \frac{1}{(0)^2} = \frac{1}{0^+} + \frac{1}{0^+} = +\infty + (+\infty )= +\infty,$

poiché entrambi i termini tendono a $+\infty$ quando $x$ tende a 0 (indipendentemente dal fatto che $x$ tenda a 0 da destra o da sinistra dato che entrambi gli esponenti del denominatori sono elevati ad un esponente pari), il limite è:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 0}} \left( \frac{1}{x^4} + \frac{1}{x^2} \right) = +\infty.}$

Il grafico in figura 18 rappresenta la funzione $y=\dfrac{1}{x^4} + \dfrac{1}{x^2}$ , che mostra un comportamento di divergenza mentre $x$ si avvicina a 0. In questo punto, la funzione tende a $+\infty$ , come indicato dal limite $\lim_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{x^4} + \dfrac{1}{x^2} \right) = +\infty$ .

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to +\infty}} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} \right).$

Svolgimento.

Quando $x$ tende a $+\infty$ , analizziamo i singoli termini:

$\quad$

Figura 19: grafico della funzione $y=\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^3}\right)$ .

$\quad$

$\frac{1}{x} \to \frac{1}{+\infty} = 0$

$\frac{1}{x^3} \to \frac{1}{+\infty^3} = \frac{1}{+\infty} = 0.$

Quindi

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to +\infty}} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} \right) = 0.}$

La figura 19 rappresenta il grafico della funzione $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^3}$ . In questo caso, la funzione tende a 0 per $x \to +\infty$ , come indicato dal limite $\lim_{x \to +\infty} \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^3} \right) = 0$ .

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to -\infty}} \left( -x^2 + x \right).$

Svolgimento.

Quando $x$ tende a $-\infty$ :

$\quad$

il termine $-x^2$ dato che $-(-\infty)^2=-(+\infty)=-\infty;$

il termine $x$ tende anch’esso a $-\infty$ .

In questo caso, abbiamo

$\lim_{{x \to -\infty}} \left( -x^2 + x \right) = -\infty-\infty,$

i.e.

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to -\infty}} \left( -x^2 + x \right) = -\infty.}$

$\quad$

Figura 20: grafico della funzione $y=-x^2 + x$ .

$\quad$

La figura 20 rappresenta il grafico della funzione $-x^2 + x$ , che è una parabola rivolta verso il basso. La funzione raggiunge un massimo in corrispondenza del vertice e poi decresce verso $-\infty$ man mano che $x$ tende a $\pm\infty$ . Infatti, il limite $\lim_{x \to -\infty} \left( -x^2 + x \right) = -\infty$ . Il grafico evidenzia chiaramente come la funzione decresca rapidamente mentre $x$ si allontana verso l’infinito negativo.

Esercizio 5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to -\infty}} \frac{2 - x}{3} \cdot \left( x^3 - 1 \right).$

Svolgimento.

Quando $x$ tende a $+\infty$ :

$\quad$

il termine $2 - x$ tende a $+\infty$ , dato che $x$ tende a $-\infty$ e la sottrazione di un numero finito non cambia questo risultato:
$2 - (-\infty) = +\infty.$

il termine $x^3 - 1$ tende a $-\infty$ , cioè:
$x^3 - 1 = -\infty - 1 = -\infty.$

Poiché stiamo moltiplicando un termine che tende a $-\infty$ per un termine che tende a $+\infty$ , il risultato complessivo tende a $-\infty$ :

$\lim_{{x \to +\infty}} \frac{2 - x}{3} \cdot \left( x^3 - 1 \right) = -\infty.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to +\infty}} \frac{2 - x}{3} \cdot \left( x^3 - 1 \right) = -\infty.}$

$\quad$

Figura 21: grafico della funzione $y=\frac{2 - x}{3} \cdot (x^3 - 1)$ .

$\quad$

La figura 21 rappresenta il grafico della funzione $\dfrac{2 - x}{3} \cdot (x^3 - 1)$ , che mostra un comportamento complesso con un punto di flesso e un’inversione della curvatura. Mentre $x$ tende a $+\infty$ , la funzione tende a $-\infty$ , come indicato dal limite $\lim_{x \to +\infty} \left( \dfrac{2 - x}{3} \cdot (x^3 - 1) \right) = -\infty$ . Questo avviene perché il termine $\dfrac{2 - x}{3}$ diventa negativo e il termine $(x^3 - 1)$ cresce molto rapidamente, così che la funzione tende verso $-\infty$ .

Esercizio 6 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to +\infty}} \left( 2 - x \right) \log x.$

Svolgimento.

Quando $x$ tende a $+\infty$ :

$\quad$

il termine $2 - x$ tende a $-\infty$ , poiché $x$ tende a $+\infty$ e il termine $2$ è costante e non influisce:
$2 - (+\infty) = -\infty.$

il termine $\log x$ tende a $+\infty$ , cioè:
$\log(+\infty) = +\infty.$

Moltiplicando un termine che tende a $-\infty$ per un termine che tende a $+\infty$ , il risultato complessivo tende a $-\infty$ :

$\lim_{{x \to +\infty}} \left( 2 - x \right) \log x = -\infty,$

i.e.

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to +\infty}} \left( 2 - x \right) \log x = -\infty.}$

La figura 22 rappresenta il grafico della funzione $(2 - x)\log x$ , che combina un termine lineare decrescente con un logaritmo naturale. La funzione raggiunge un massimo in un punto specifico e poi decresce rapidamente verso $-\infty$ man mano che $x$ cresce oltre questo punto. Il limite $\lim_{x \to +\infty} \left( (2 - x)\log x \right) = -\infty$ indica che, quando $x$ tende a valori molto grandi, il termine $2 - x$ diventa negativo e domina, mentre il termine $\log x$ cresce senza limiti, portando la funzione a tendere verso $-\infty$ . Il grafico evidenzia chiaramente come la funzione, dopo aver raggiunto un massimo, inizia a decrescere rapidamente verso valori negativi estremamente grandi.

$\quad$

Figura 22: grafico della funzione $y=(2 - x)\log x$ .

Esercizio 7 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to +\infty}} \left( 1 - x^2 \right) e^x.$

Svolgimento.

Quando $x$ tende a $+\infty$ :

$\quad$

il termine $1 - x^2$ tende a $-\infty$ , cioè
$1 - x^2 = 1 - (+\infty)^2 = 1-\infty=-\infty;$

il termine $e^x$ tende a $+\infty$ , ovvero
$e^{+ \infty} = +\infty.$

Moltiplicando un termine che tende a $-\infty$ per un termine che tende a $+\infty$ , il risultato complessivo tende a $-\infty$ :

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to +\infty}} \left( 1 - x^2 \right) e^x = -\infty.}$

$\quad$

Figura 23: grafico della funzione $y=(1 - x^2)e^x$ .

$\quad$

La figura 23 rappresenta il grafico della funzione $(1 - x^2)e^x$ , che combina un termine quadratico decrescente con una funzione esponenziale. Questa funzione mostra un comportamento caratteristico: Per valori grandi negativi di $x$ , il termine infinitesimo $e^x$ predomina, rendendo la funzione prossima a $0$ , nonostante $1 - x^2$ assuma valori grandi negativi.

Invece, per $x \to +\infty$ , la funzione tende a $-\infty$ perché $1 - x^2 \to -\infty$ e $e^x \to +\infty$ .

Esercizio 8 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 3}} \frac{1}{2x + 1}.$

Svolgimento.

Svolgendo il calcoli abbiamo:

$\lim_{{x \to 3}} \frac{1}{2x + 1} = \frac{1}{6 + 1} = \frac{1}{7}.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 3}} \frac{1}{2x + 1} = \frac{1}{7}.}$

$\quad$

Figura 24: grafico della funzione $y=\dfrac{1}{2x + 1}$ con il limite evidenziato.

$\quad$

La figura 24 rappresenta il grafico della funzione $\dfrac{1}{2x + 1}$ , che è una funzione razionale decrescente. Il limite $\lim_{x \to 3} \dfrac{1}{2x + 1} = \dfrac{1}{7}$ mostra come la funzione si avvicini al valore $\dfrac{1}{7}$ quando $x$ tende al valore 3.

Esercizio 9 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to -1^+}} \frac{1}{x + 1}.$

Svolgimento.

Svolgendo i calcoli, osserviamo che:

$\lim_{{x \to -1^+}} \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{-1^+ + 1} = \frac{1}{0^+} = +\infty.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to -1^+}} \frac{1}{x + 1} = +\infty.}$

$\quad$

Figura 25: grafico della funzione $y=\dfrac{1}{x+1}$ .

$\quad$

La figura 25 rappresenta la funzione $\dfrac{1}{x + 1}$ , che è una funzione razionale con un asintoto verticale in corrispondenza di $x = -1$ . L’asintoto si verifica perché il denominatore della funzione si annulla per $x = -1$ , causando una divergenza verso $+\infty$ o $-\infty$ , a seconda di come ci si avvicini a $x = -1$ . In particolare, il limite

$\lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x + 1} = +\infty$

evidenzia che, quando $x$ si avvicina a $-1$ da destra, il valore della funzione cresce illimitatamente con segno positivo. Questo comportamento è chiaramente illustrato nel grafico, dove la curva blu tende verso $+\infty$ quando $x$ si avvicina a $-1$ da destra.

Esercizio 10 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to +\infty}} \frac{1}{x - 2}.$

Svolgimento.

Svolgendo i calcoli, osserviamo che:

$\lim_{{x \to +\infty}} \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{+\infty - 2} = \frac{1}{+\infty} = 0.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to +\infty}} \frac{1}{x - 2} = 0.}$

$\quad$

Figura 26: grafico della funzione $y=\dfrac{1}{x - 2}$ con asintoto $x = 2$ .

$\quad$

La figura 26 rappresenta la funzione $y= \dfrac{1}{x - 2}$ , che è una funzione razionale caratterizzata da un asintoto verticale in corrispondenza di $x = 2$ . Questo asintoto si verifica perché il denominatore della funzione provoca una divergenza verso $+\infty$ o $-\infty$ , a seconda del lato da cui $x$ si avvicina a 2. Il limite $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x - 2} = 0$ mostra che, man mano che $x$ si avvicina a $+\infty$ , il valore della funzione si avvicina sempre di più a zero. Questo comportamento è illustrato nel grafico, dove la curva blu si avvicina progressivamente all’asse $x$ (ossia $y = 0$ ) all’aumentare di $x$ .

Esercizio 11 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 3^-}} \frac{1}{x - 3}.$

Svolgimento.

Svolgendo i calcoli, osserviamo che:

$\lim_{{x \to 3^-}} \frac{1}{x - 3} = \frac{1}{3^- - 3} = \frac{1}{0^-} = -\infty.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 3^-}} \frac{1}{x - 3} = -\infty.}$

La figura 27 rappresenta il grafico della funzione $y=\dfrac{1}{x - 3}$ , una funzione razionale con un asintoto verticale in corrispondenza di $x = 3$ . Questo asintoto si verifica perché il denominatore della funzione provoca una divergenza della funzione verso $+\infty$ o $-\infty$ , a seconda della direzione da cui $x$ si avvicina a 3. Il limite $\lim_{x \to 3^-} \dfrac{1}{x - 3} = -\infty$ indica che, quando $x$ si avvicina a $3$ da sinistra, la funzione decresce rapidamente verso $-\infty$ . Questo comportamento è chiaramente illustrato nel grafico, dove la curva blu tende rapidamente verso il basso in prossimità a sinistra dell’asintoto verticale.

$\quad$

Figura 27: grafico della funzione $y=\dfrac{1}{x - 3}$ con asintoto $x = 3$ .

Esercizio 12 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to -1}} \frac{x^2 + 2x - 1}{2}.$

Svolgimento.

Svolgendo i calcoli, abbiamo:

$\lim_{{x \to -1}} \frac{x^2 + 2x - 1}{2} = \frac{(-1)^2 + 2(-1) - 1}{2} = \frac{1 - 2 - 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1.$

$\quad$

Figura 28: grafico della funzione $y=\dfrac{x^2 + 2x - 1}{2}$ .

$\quad$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to -1}} \frac{x^2 + 2x - 1}{2} = -1.}$

L’immagine in figura 28 rappresenta il grafico della funzione $y= \dfrac{x^2 + 2x - 1}{2}$ , una funzione quadratica che descrive una parabola con la concavità rivolta verso l’alto. Il limite $\lim_{x \to -1} \dfrac{x^2 + 2x - 1}{2} = -1$ indica che, quando $x$ si avvicina a -1, il valore della funzione tende a -1.

Esercizio 13 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 0}} \frac{5}{x^2}.$

Svolgimento.

Svolgendo i calcoli, abbiamo:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{5}{x^2} = \frac{5}{0^+} = +\infty.$

$\quad$

Figura 29: grafico della funzione $y=\dfrac{5}{x^2}$ .

$\quad$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 0}} \frac{5}{x^2} = +\infty.}$

L’immagine in figura 29 rappresenta il grafico della funzione $y= \dfrac{5}{x^2}$ , che è una funzione razionale caratterizzata da un asintoto verticale in corrispondenza di $x = 0$ . La funzione diverge verso $+\infty$ sia quando $x$ si avvicina a 0 da sinistra che da destra, a causa del termine $x^2$ nel denominatore che si avvicina a zero positivamente.

Esercizio 14 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to -1}} \frac{-5}{(x + 1)^2}.$

Svolgimento.

Svolgendo i calcoli, abbiamo:

$\lim_{{x \to -1}} \frac{-5}{(x + 1)^2} = \frac{-5}{0^+} = -\infty.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to -1}} \frac{-5}{(x + 1)^2} =-\infty.}$

L’immagine in figura 30 rappresenta il grafico della funzione $y= \dfrac{-5}{(x + 1)^2}$ , una funzione razionale caratterizzata da un asintoto verticale in corrispondenza di $x = -1$ . Questa funzione ha un comportamento descritto come segue: poiché il numeratore è negativo e il denominatore è un quadrato, la funzione assume valori negativi e diverge verso $-\infty$ man mano che $x$ si avvicina a -1 da entrambi i lati.

$\quad$

Figura 30: grafico della funzione $y=\dfrac{-5}{(x+1)^2}$ .

Esercizio 15 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 1^+}} \frac{3x + 2}{x - 1}.$

Svolgimento.

Svolgendo i calcoli, osserviamo che:

$\lim_{{x \to 1^+}} \frac{3x + 2}{x - 1} = \frac{3(1^+) + 2}{1^+ - 1} = \frac{3 + 2}{0^+} = \frac{5}{0^+} = +\infty.$

$\quad$

Figura 31: grafico della funzione $y=\dfrac{3x + 2}{x - 1}$ .

$\quad$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 1^+}} \frac{3x + 2}{x - 1} = +\infty.}$

L’immagine in figura 31 rappresenta il grafico della funzione $y= \dfrac{3x + 2}{x - 1}$ , una funzione razionale caratterizzata da un asintoto verticale in corrispondenza di $x = 1$ . Quando $x$ si avvicina a 1 da destra, la funzione cresce positivamente senza limite, come indicato dal limite $\lim_{x \to 1^+} \dfrac{3x + 2}{x - 1} = +\infty$ .

Esercizio 16 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 1^-}} \ln(\arccos x).$

Svolgimento.

Sostituendo direttamente $x \to 1^-$ nel limite, abbiamo:

$\lim_{{x \to 1^-}} \ln(\arccos x) = \ln(0^+) = -\infty.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 1^-}} \ln(\arccos x) = -\infty.}$

L’immagine in figura 32 rappresenta il grafico della funzione $y = \ln(\arccos x)$ , una funzione composta che combina il logaritmo naturale con arcocoseno. La funzione è definita per $x$ nell’intervallo $[-1, 1]$ . Il limite $\lim_{x \to 1^-} \ln(\arccos x) = -\infty$ indica che, man mano che $x$ si avvicina a 1 da sinistra, l’arcocoseno di $x$ si avvicina a zero positivamente, causando la divergenza del logaritmo naturale verso $-\infty$ .

$\quad$

Figura 32: grafico della funzione $y = \ln(\arccos x)$ con retta verticale $x=1$ .

Esercizio 17 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to -1^-}} \frac{2 - x}{x + 1}.$

Svolgimento.

Svolgendo i calcoli, osserviamo che:

$\lim_{{x \to -1^-}} \frac{2 - x}{x + 1} = \frac{2 - (-1^-)}{-1^- + 1} = \frac{2 + 1}{0^-} = \frac{3}{0^-} = -\infty.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to -1^-}} \frac{2 - x}{x + 1} = -\infty.}$

L’immagine in figura 33 rappresenta il grafico della funzione $y= \dfrac{2-x}{x+1}$ , una funzione razionale con un asintoto verticale in corrispondenza di $x = -1$ . Quando $x$ si avvicina a -1 da sinistra, il valore della funzione diventa negativamente infinito, come indicato dal limite $\lim_{x \to -1^-} \dfrac{2-x}{x+1} = -\infty$ . La funzione presenta un comportamento divergente verso il basso vicino a sinistra all’asintoto verticale.

$\quad$

Figura 33: grafico della funzione $y=\dfrac{2 - x}{x + 1}$ .

Esercizio 18 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 0}} \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2}.$

Svolgimento.

Svolgendo i calcoli, osserviamo che:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2} = \frac{2}{0^+} = +\infty.$

$\quad$

Figura 34: grafico della funzione $y=\dfrac{x^2 + 3x + 2}{x^2}$ .

$\quad$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 0}} \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2} = +\infty.}$

L’immagine in figura 34 rappresenta il grafico della funzione $y= \dfrac{x^2+3x+2}{x^2}$ , una funzione razionale che mostra un comportamento divergente quando $x$ si avvicina a zero. Il limite $\lim_{x \to 0} \dfrac{x^2+3x+2}{x^2} = +\infty$ evidenzia che la funzione tende verso $+\infty$ in prossimità dell’origine. Questo è illustrato dal fatto che la curva cresce rapidamente verso l’alto su entrambi i lati dell’asintoto verticale.

Esercizio 19 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to \frac{3}{2}}} \frac{x - 2}{(2x - 3)^2}.$

Svolgimento.

Svolgendo i calcoli, osserviamo che:

$\lim_{{x \to \frac{3}{2}}} \frac{x - 2}{(2x - 3)^2} = \frac{-\dfrac{1}{2}}{0^+} = -\infty.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to \frac{3}{2}}} \frac{x - 2}{(2x - 3)^2} = -\infty.}$

L’immagine in figura 35 rappresenta il grafico della funzione $y= \dfrac{x-2}{(2x-3)^2}$ , caratterizzata da un asintoto verticale in corrispondenza di $x = \dfrac{3}{2}$ . Il grafico indica che, quando $x$ si avvicina a $\dfrac{3}{2}$ , la funzione scende rapidamente verso $-\infty$ .

$\quad$

Figura 35: grafico della funzione $y=\dfrac{x - 2}{(2x - 3)^2}$ .

Esercizio 20 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 2^-}} \frac{4x + 3}{x^2 - 4}.$

Svolgimento.

Osserviamo che il denominatore può essere scomposto:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2).$

Quindi, il limite diventa:

$\lim_{{x \to 2^-}} \frac{4x + 3}{(x - 2)(x + 2)}.$

Abbiamo dunque:

$\lim_{{x \to 2^-}} \frac{4x + 3}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{4(2^-) + 3}{(2^- - 2)(2^- + 2)} = \frac{8 - 1}{(0^-)(4)} = \frac{7}{0^- \cdot 4} = \frac{7}{0^-} = -\infty.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 2^-}} \frac{4x + 3}{x^2 - 4} = -\infty.}$

L’immagine in figura 36 rappresenta il grafico della funzione $\dfrac{4x+3}{x^2-4}$ , che ha due asintoti verticali in corrispondenza di $x = 2$ e $x = -2$ . Il limite $\lim_{x \to 2^-} \dfrac{4x+3}{x^2-4} = -\infty$ mostra che la funzione tende a $-\infty$ quando $x$ si avvicina a 2 da sinistra.

$\quad$

Figura 36: grafico della funzione $y=\dfrac{4x + 3}{x^2 - 4}$ con la rappresentazione di $x = -2$ e $x = 2$ .

Esercizio 21 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 5}} \frac{\sqrt{x + 4}}{x + 1}.$

Svolgimento.

Essendo la funzione continua in $x=5$ , sostituendo direttamente $x = 5$ , abbiamo:

$\lim_{{x \to 5}} \frac{\sqrt{x + 4}}{x + 1} = \frac{\sqrt{5 + 4}}{5 + 1} = \frac{\sqrt{9}}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.$

$\quad$

Figura 37: grafico della funzione $y=\dfrac{\sqrt{x + 4}}{x + 1}$ con evidenziazione del limite $\lim_{{x \to 5}} \dfrac{\sqrt{x + 4}}{x + 1} = \dfrac{1}{2}$ .

$\quad$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 5}} \frac{\sqrt{x + 4}}{x + 1} = \frac{1}{2}.}$

L’immagine in figura 37 rappresenta il grafico della funzione $y= \dfrac{\sqrt{x+4}}{x+1}$ , una funzione irrazionale. La funzione mostra un comportamento decrescente all’aumentare di $x$ , come illustrato nel grafico. Quando $x$ si avvicina a 5, il valore della funzione converge verso $\dfrac{1}{2}$ , come indicato dal calcolo del limite.

Esercizio 22 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to -1}} \frac{-x}{x^2 - 4\sqrt{x + 2}}.$

Svolgimento.

Poiché la funzione è continua in $x=-1$ , sostituendo abbiamo:

$\lim_{{x \to -1}} \frac{-x}{x^2 - 4\sqrt{x + 2}} = \frac{-(-1)}{(-1)^2 - 4\sqrt{-1 + 2}} = \frac{1}{1 - 4\sqrt{1}} = \frac{1}{1 - 4} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}.$

L’immagine in figura 38 rappresenta il grafico della funzione irrazionale $y= \dfrac{-x}{x^2 - 4\sqrt{x} + 2}$ , il cui denominatore si annulla per due valori $x_1 \approx -1.6$ e $x_2 \approx 2.9$ . Ciò implica la presenza di due asintoti verticali in corrispondenza di $x \approx -1.6$ e $x \approx 2.9$ .

$\quad$

Figura 38: grafico della funzione $f(x) = \dfrac{-x}{x^2 - 4\sqrt{x + 2}}$ con il punto $(-1, -\dfrac{1}{3})$ .

$\quad$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to -1}} \frac{-x}{x^2 - 4\sqrt{x + 2}} = -\frac{1}{3}.}$

Esercizio 23 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 9}} \frac{x + \sqrt{x}}{x}.$

Svolgimento.

Essendo la funzione continua in $x=9$ , sostituendo direttamente il valore $x= 9$ abbiamo:

$\lim_{{x \to 9}} \frac{x + \sqrt{x}}{x} = \frac{9 + \sqrt{9}}{9} = \frac{9 + 3}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 9}} \frac{x + \sqrt{x}}{x} = \frac{4}{3}.}$

L’immagine in figura 39 rappresenta il grafico della funzione $y=\dfrac{x+\sqrt{x}}{x}$ , che combina un termine lineare e un termine di radice quadrata al numeratore. Il comportamento della funzione è decrescente man mano che $x$ aumenta, e il limite indica che quando $x$ si avvicina a 9, il valore della funzione converge a $\dfrac{4}{3}$ .

$\quad$

Figura 39: grafico della funzione $y=\dfrac{x + \sqrt{x}}{x}$ .

Esercizio 24 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to -\infty}} \left(\frac{1}{x^6 - x^3 + 3}\right).$

Svolgimento.

Sostituendo direttamente $x \to-\infty$ nel limite, abbiamo:

$\lim_{{x \to -\infty}} \left(\frac{1}{x^6 - x^3 + 3}\right) = \frac{1}{(-\infty)^6 - (-\infty)^3 + 3} = \frac{1}{+\infty - (-\infty) + 3} = \frac{1}{+\infty} = 0.$

$\quad$

Figura 40: grafico della funzione $y=\dfrac{1}{x^6 - x^3 + 3}$ .

$\quad$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to -\infty}} \left(\frac{1}{x^6 - x^3 + 3}\right) = 0.}$

L’immagine in figura 40 rappresenta il grafico della funzione $y= \dfrac{1}{x^2 - 2x + 3}$ , una funzione razionale. La funzione ha un comportamento asintotico interessante, con la curva che si avvicina all’asse delle $x$ quando $x$ tende sia a $-\infty$ che a $+\infty$ .

Il limite conferma che la funzione tende a zero quando $x \to +\infty$ e $x \to -\infty$ .

Esercizio 25 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to \frac{\pi}{2}}} \frac{\sin x + \cos x}{2x}.$

Svolgimento.

Essendo la funzione continua nel punto, sostituendo direttamente $x = \dfrac{\pi}{2}$ , abbiamo:

$\lim_{{x \to \frac{\pi}{2}}} \frac{\sin x + \cos x}{2x} = \frac{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}{2 \cdot \dfrac{\pi}{2}} = \frac{1 + 0}{\pi} = \dfrac{1}{\pi}.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to \frac{\pi}{2}}} \frac{\sin x + \cos x}{2x} = \frac{1}{\pi}.}$

$\quad$

Figura 41: grafico della funzione $y = \dfrac{\sin x + \cos x}{2x}$ con $\dfrac{\pi}{2}$ vicino all’asse $x$ e $\dfrac{1}{\pi}$ sull’asse $y$ per $x > 0$ .

Esercizio 26 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to \pi}} \left(\sin x + 2\cos x - 1\right).$

Svolgimento.

Essendo la funzione continua nel punto, sostituendo direttamente $x= \pi$ , abbiamo:

$\lim_{{x \to \pi}} \left(\sin x + 2\cos x - 1\right) = \sin(\pi) + 2\cos(\pi) - 1 = 0 + 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to \pi}} \left(\sin x + 2\cos x - 1\right) = -3.}$

L’immagine in figura 42 rappresenta il grafico della funzione $y=\sin x + 2\cos x - 1$ , una combinazione lineare di funzioni trigonometriche. La curva mostra un comportamento oscillatorio tipico delle funzioni sinusoidali, con picchi e valli che si alternano regolarmente lungo l’asse $x$ . Il grafico evidenzia in particolare il limite della funzione quando $x$ si avvicina a $\pi$ , mostrando che la funzione tende al valore $-3$ . Le linee tratteggiate sul grafico indicano visivamente il punto esatto in cui il limite è calcolato, confermando che la funzione assume il valore $-3$ in corrispondenza di $x = \pi$ .

$\quad$

Figura 42: grafico della funzione $y=\sin x + 2\cos x - 1$ .

Esercizio 27 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to \frac{\pi}{4}}} \left(\tan x + 8x\right).$

Svolgimento.

Essendo la funzione continua nel punto, sostituendo direttamente $x =\dfrac{\pi}{4}$ , abbiamo:

$\lim_{{x \to \frac{\pi}{4}}} \left(\tan x + 8x\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + 8 \cdot \frac{\pi}{4} = 1 + 2\pi.$

$\quad$

Figura 43: grafico della funzione $y=\tan x + 8x$ .

$\quad$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to \frac{\pi}{4}}} \left(\tan x + 8x\right) = 1 + 2\pi.}$

L’immagine in figura 43 rappresenta il grafico della funzione $y=\tan x + 8x$ , con il limite evidenziato quando $x$ tende a $\dfrac{\pi}{4}$ . Due linee tratteggiate rosse indicano visivamente il punto e il corrispondente valore della funzione sul grafico.

Esercizio 28 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 0^-}} \frac{2x + 1}{\sin x}.$

Svolgimento.

Per $x \to 0^-$ , abbiamo:

$\lim_{{x \to 0^-}} \frac{2x + 1}{\sin x} = \frac{2(0^-) + 1}{\sin(0^-)} = \frac{0^- + 1}{0^-} = \frac{1}{0^-} = -\infty.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 0^-}} \frac{2x + 1}{\sin x} = -\infty.}$

$\quad$

Figura 44: grafico della funzione $y = \dfrac{2x + 1}{\sin x}$ .

Esercizio 29 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 1}} \frac{2x - 2 + 2^x}{\sqrt{1 + \log x}}.$

Svolgimento.

Essendo la funzione continua in $x=1$ , sostituendo direttamente $x = 1$ , abbiamo:

$\lim_{{x \to 1}} \frac{2x - 2 + 2^x}{\sqrt{1 + \log x}} = \frac{2(1) - 2 + 2^1}{\sqrt{1 + \log 1}} = \frac{2 - 2 + 2}{\sqrt{1 + 0}} = \frac{2}{1} = 2.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 1}} \frac{2x - 2 + 2^x}{\sqrt{1 + \log x}} = 2.}$

$\quad$

Figura 45: grafico della funzione $y= \dfrac{2x - 2 + 2^x}{\sqrt{1 + \ln x}}$ .

Esercizio 30 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 1}} \log(1 - \log x) .$

Svolgimento.

Essendo la funzione continua nel punto, sostituendo direttamente $x = 1$ , abbiamo:

$\lim_{{x \to 1}} \log(1 - \log x) = \log(1 - \log 1) = \log(1 - 0) = \log(1) = 0.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 1}} \log(1 - \log x) = 0.}$

$\quad$

Figura 46: grafico della funzione $y= \log(1 - \log x)$ .

Esercizio 31 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 2^+}} \frac{\log_3 x + \log_3\dfrac{3}{x}}{x - 2}.$

Svolgimento.

Per $x \to 2^+$ , abbiamo:

$\lim_{{x \to 2^+}} \frac{\log_3 x + \log_3\dfrac{3}{x}}{x - 2} = \frac{\log_3 2 + \log_3\dfrac{3}{2}}{ 2^+- 2} = \frac{\log_3 \left(2 \cdot\dfrac{3}{2}\right)}{0^+} = \frac{\log_3 3}{0^+} = \frac{1}{0^+}=+\infty.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 2^+}} \frac{\log_3 x + \log_3\dfrac{3}{x}}{x - 2}=+\infty.}$

$\quad$

Figura 47: grafico della funzione $y=\dfrac{\log_3 x + \log_3 \dfrac{3}{x}}{x - 2}$ .

Esercizio 32 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to +\infty}} (-x^3 \ln x)^2.$

Svolgimento.

Per $x \to +\infty$ , abbiamo:

$\lim_{{x \to +\infty}} (-x^3 \ln x)^2 = [-\infty(+\infty)]^2 = +\infty.$

$\quad$

Figura 48: grafico della funzione $y=(-x^3 \ln x)^2$ .

Esercizio 33 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to +\infty}} \left(\frac{1}{e^x} + \frac{2}{x}\right).$

Svolgimento.

Per $x\to +\infty$ , abbiamo:

$\lim_{{x \to +\infty}} \left(\frac{1}{e^x} + \frac{2}{x}\right) = \left(\frac{1}{+\infty} + \frac{2}{\infty}\right) = 0 + 0 = 0.$

$\quad$

Figura 49: grafico della funzione $y=\dfrac{1}{e^x} + \dfrac{2}{x}$ .

$\quad$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to +\infty}} \left(\frac{1}{e^x} + \frac{2}{x}\right) = 0.}$

L’immagine in figura 49 rappresenta il grafico della funzione $y=\dfrac{1}{e^x} + \dfrac{2}{x}$ . Come si può osservare, per $x>0$ la funzione decresce progressivamente verso zero man mano che $x$ aumenta. Questo comportamento è dovuto al fatto che il termine $\dfrac{1}{e^x}$ decresce molto rapidamente a zero a causa dell’esponenziale nel denominatore, come pure il termine $\dfrac{2}{x}$ tende anch’esso a zero all’aumentare di $x$ . Di conseguenza, la somma di questi due termini fa sì che la funzione complessivamente tenda a zero per $x \to +\infty$ .

Esercizio 34 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 1^-}} \left(\frac{2^x}{\ln x} + \frac{1}{x - 1}\right) .$

Svolgimento.

Per $x \to 1^-$ , abbiamo:

$\lim_{{x \to 1^-}} \left(\frac{2^x}{\ln x} + \frac{1}{x - 1}\right) = \frac{2^1}{\ln(1^-)} + \frac{1}{1^- - 1} = \frac{2}{0^-} + \frac{1}{0^-} = -\infty - \infty = -\infty.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 1^-}} \left(\frac{2^x}{\ln x} + \frac{1}{x - 1}\right) = -\infty.}$

$\quad$

Figura 50: grafico della funzione $y=\dfrac{2^x}{\ln x} + \dfrac{1}{x-1}$ con asintoto $x = 1$ .

Esercizio 35 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to +\infty}} \left(\log_{\frac{1}{3}} x - xe^x\right).$

Svolgimento.

Per $x \to +\infty$ , abbiamo:

$\lim_{{x \to +\infty}} \left(\log_{\frac{1}{3}} x - xe^x\right) = -\infty - \infty= -\infty.$

$\quad$

Figura 51: grafico della funzione $y=\log_{\frac{1}{3}} x - x e^x$ con l’asintoto verticale $x = 0$ evidenziato.

$\quad$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to +\infty}} \left(\log_{\frac{1}{3}} x - xe^x\right) = -\infty.}$

Esercizio 36 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 0^+}} \left(\frac{\sin x}{\ln x} + \frac{1}{\cos x}\right).$

Svolgimento.

Per $x\to0^+$ nel limite, abbiamo:

$\lim_{{x \to 0^+}} \left(\frac{\sin x}{\ln x} + \frac{1}{\cos x}\right) = \frac{\sin(0^+)}{\ln(0^+)} + \frac{1}{\cos(0^+)} = \frac{0^+}{-\infty} + 1 = 0 + 1 = 1.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 0^+}} \left(\frac{\sin x}{\ln x} + \frac{1}{\cos x}\right)= 1.}$

$\quad$

Figura 52: grafico della funzione $y=\dfrac{\sin x}{\ln x} + \dfrac{1}{\cos x}$ .

Esercizio 37 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 0}} \left(\frac{\arctan x + 2x}{\cos x}\right).$

Svolgimento.

Essendo la funzione continua nel punto, sostituendo $x = 0$ , abbiamo:

$\lim_{{x \to 0}} \left(\frac{\arctan x + 2x}{\cos x}\right) = \frac{\arctan(0) + 2(0)}{\cos(0)} = \frac{0 + 0}{1} = 0.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 0}} \left(\frac{\arctan x + 2x}{\cos x}\right) = 0.}$

L’immagine in figura 53 rappresenta il grafico della funzione $y=\dfrac{\arctan x + 2x}{\cos x}$ .

$\quad$

Figura 53: grafico della funzione $y=\dfrac{\arctan x + 2x}{\cos x}$ .

Esercizio 38 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to \frac{\pi}{2}^-}} e^{\frac{1}{\cos x}}.$

Svolgimento.

Per $x \to \dfrac{\pi}{2}^-$ , abbiamo:

$\lim_{{x \to \frac{\pi}{2}^-}} e^{\frac{1}{\cos x}} = e^{\frac{1}{0^+}} = e^{+\infty} = +\infty.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to \frac{\pi}{2}^-}} e^{\frac{1}{\cos x}} = +\infty.}$

L’immagine in figura 54 illustra il grafico della funzione $y = e^{\frac{1}{\cos(x)}}$ in prossimità di $x = \dfrac{\pi}{2}$ . Si osserva come la funzione aumenti rapidamente all’approssimarsi di $x$ al valore $\dfrac{\pi}{2}$ da sinistra, dove $\cos(x)$ tende a $0^+$ , determinando una crescita esponenziale del valore della funzione. Di conseguenza, il limite della funzione per $x$ che tende a $\dfrac{\pi}{2}^-$ è $+\infty$ .

$\quad$

Figura 54: grafico della funzione $y = e^{\frac{1}{\cos(x)}}$ con asintoto verticale in $x = \pi/2$ .

Esercizio 39 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 0^+}} \frac{\log_2 x}{-x}.$

Svolgimento.

Per $x \to 0^+$ , abbiamo:

$\lim_{{x \to 0^+}} \frac{\log_2 x}{-x} = \frac{-\infty}{0^-} = +\infty.$

$\quad$

Figura 55: grafico della funzione $y=\dfrac{\log_2 x}{-x}$ .

$\quad$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 0^+}} \frac{\log_2 x}{-x} = +\infty.}$

Esercizio 40 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 1^-}} \frac{\arcsin x}{x - 1}.$

Svolgimento.

Per $x\to 1^-$ , abbiamo:

$\lim_{{x \to 1^-}} \frac{\arcsin x}{x - 1} = \frac{\arcsin(1^-)}{0^-} = \frac{\dfrac{\pi}{2}}{0^-} = -\infty.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 1^-}} \frac{\arcsin x}{x - 1} = -\infty}$

L’immagine in figura 56 rappresenta il grafico della funzione $y= \dfrac{\arcsin(x)}{x-1}$ vicino a $x = 1$ , mostra un asintoto verticale in $x = 1$ e illustra come la funzione diverga negativamente mentre $x$ si avvicina a questo valore da sinistra.

$\quad$

Figura 56: grafico della funzione $y = \dfrac{\arcsin(x)}{x - 1}$ vicino a $x = 1$ .

$\quad$

Esercizio 41 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 0^+}} \arctan(\ln x).$

Svolgimento.

Per $x \to 0^+$ , abbiamo:

$\lim_{{x \to 0^+}} \arctan(\ln x) = \arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2}.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 0^+}} \arctan(\ln x) = -\frac{\pi}{2}}.$

$\quad$

Figura 57: grafico della funzione $y = \arctan(\ln x)$ .

Esercizio 42 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 0^+}}x^{\frac{1}{x}}.$

Svolgimento.

Riscriviamo l’espressione del limite in una forma più conveniente:

$\lim_{x \to 0^+} x^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \exp\left(\frac{1}{x} \ln x\right).$

Per $x\to 0^+$ , abbiamo:

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} \ln x = \frac{1}{0^+} \ln(0^+) = +\infty \cdot (-\infty) = -\infty.$

Poiché il limite dell’esponente è $-\infty$ , abbiamo:

$\lim_{x \to 0^+} x^{\frac{1}{x}} = e^{-\infty}=0,$

i.e.

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 0^+}} x^{\frac{1}{x}} = 0.}$

Il grafico in figura 58 rappresenta la funzione $y = x^{\frac{1}{x}}$ . Come si può osservare, la funzione cresce inizialmente e poi tende a decrescere dopo aver raggiunto un massimo. In particolare, quando $x$ si avvicina a zero da destra, la funzione tende a zero.

$\quad$

Figura 58: grafico della funzione $y = x^{\dfrac{1}{x}}$ .

Esercizio 43 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{x\to 0^+}(1-\cos x)^{\frac{1}{x^2}}.$

Svolgimento.

Per $x\to0^+$ , notiamo che la base $1 - \cos x$ tende a $0$ e l’esponente $\dfrac{1}{x^2}$ tende a $+\infty$ . Possiamo riscrivere il limite usando il logaritmo naturale:

$\lim_{x\to 0^+}(1-\cos x)^{\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to 0^+}\exp\left(\frac{1}{x^2} \ln(1-\cos x)\right).$

Passando al limite, abbiamo:

$\lim_{x\to 0^+}\exp\left(\frac{1}{x^2} \ln(1-\cos x)\right)=\exp\left(+\infty \ln(0^+)\right)=\exp\left( +\infty \left(-\infty \right)\right)=e^{-\infty}=0.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 0^+}} \left(1 - \cos x\right)^{\frac{1}{x^2}} = 0.}$

$\quad$

Figura 59: grafico della funzione $y=\left(1 - \cos x\right)^{\dfrac{1}{x^2}}$ .

Esercizio 44 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{1}{x-1}\right)^{x-3}.$

Svolgimento.

Riscriviamo l’espressione utilizzando la forma esponenziale:

$\left(\frac{1}{x-1}\right)^{x-3} = \exp\left((x-3) \ln\left(\frac{1}{x-1}\right)\right)\quad \text{per }x\to 1^+.$

Calcoliamo ora il limite dell’esponente:

$\lim_{x \to 1^+} (x-3) \ln\left(\frac{1}{x-1}\right).$

Quando $x \to 1^+$ , $(x-3) \to -2$ e $\ln\left(\dfrac{1}{x-1}\right) \to \ln\left(\dfrac{1}{0^+}\right) = \ln(+\infty) = +\infty$ . Pertanto, l’esponente tende a $-2 \cdot (+\infty) = -\infty$ , il che implica che l’intera espressione tende a 0, perché $e^{-\infty}=0^+$ . Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{lim_{{x \to 1^+}} \left(\frac{1}{x-1}\right)^{x-3} = 0.}$

$\quad$

Figura 60: grafico della funzione $y = \left(\dfrac{1}{x-1}\right)^{x-3}$ .

Esercizio 45 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{\sin x}\right)^{\frac{1}{\sin x}}.$

Svolgimento.

Riscriviamo l’espressione nella forma esponenziale:

$\left(\frac{1}{\sin x}\right)^{\frac{1}{\sin x}} = \exp\left(\frac{1}{\sin x} \ln\left(\frac{1}{\sin x}\right)\right).$

Il limite diventa quindi:

$\lim_{x \to 0^+} \exp\left(\frac{1}{\sin x} \ln\left(\frac{1}{\sin x}\right)\right).$

Studiamo il comportamento dell’esponente $\dfrac{1}{\sin x} \ln\left(\dfrac{1}{\sin x}\right)$ mentre $x$ tende a $0^+$ .

Quando $x \to 0^+$ , $\sin x \to 0^+$ , quindi $\dfrac{1}{\sin x} \to +\infty$ e $\ln\left(\dfrac{1}{\sin x}\right) \to +\infty$ .

Quindi l’esponente tende a:

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sin x} \ln\left(\frac{1}{\sin x}\right) = +\infty.$

Di conseguenza, il limite complessivo è:

$\lim_{x \to 0^+} \exp\left(\frac{1}{\sin x} \ln\left(\frac{1}{\sin x}\right)\right) = \exp(+\infty) = +\infty.$

Pertanto, il risultato finale è:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{\sin x}\right)^{\frac{1}{\sin x}} = +\infty.}$

$\quad$

Figura 61: grafico della funzione $y= \left(\dfrac{1}{\sin x}\right)^{\dfrac{1}{\sin x}}$ .

Esercizio 46 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to 0^+}} \left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right)^{\frac{1}{x}} .$

Svolgimento.

Riscriviamo l’espressione utilizzando la forma esponenziale:

$\left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right)^{\frac{1}{x}} = \exp\left(\frac{1}{x} \ln\left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right).$

Calcoliamo ora il limite dell’esponente:

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} \ln\left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right)=+\infty,$

perché quando $x \to 0^+$ , $1/x$ tende ad $+\infty$ , di conseguenza $\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)$ tende a $+\infty$ , e quindi $\ln\left(\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)\right)$ tende a $+\infty$ . Pertanto, l’intero esponente tende a $+\infty$ . Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 0^+}} \left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right)^{\frac{1}{x}} = +\infty.}$

$\quad$

Figura 62: grafico della funzione $y = \left(\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)\right)^{\frac{1}{x}}$ .

Esercizio 47 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{{x \to -\infty}} \left(x^2 + 1\right)^{x^2} .$

Svolgimento.

Riscriviamo l’espressione utilizzando la forma esponenziale:

$\left(x^2 + 1\right)^{x^2} = \exp\left(x^2 \ln\left(x^2 + 1\right)\right).$

Calcoliamo ora il limite dell’esponente:

$\lim_{x \to -\infty} x^2 \ln\left(x^2 + 1\right)=+\infty,$

perché quando $x \to -\infty$ , $x^2$ tende a $+\infty$ e $\ln\left(x^2 + 1\right)$ tende a $+\infty$ . Pertanto, l’intero esponente tende a $+\infty$ e si ha

$\lim_{{x \to -\infty}} \left(x^2 + 1\right)^{x^2}=e^{+\infty},$

cioè

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to -\infty}} \left(x^2 + 1\right)^{x^2} = +\infty.}$

$\quad$

Figura 63: grafico della funzione $y = (x^2 + 1)^{x^2}$ .

Esercizio 48 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{x \to 0} \sinh(x).$

Svolgimento.

La funzione $\sinh(x)$ è definita come:

$\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}.$

Per calcolare il limite $\lim_{x \to 0^+} \sinh(x)$ , sfruttando la continuità della funzione nel punto $x=0$ , sostituiamo direttamente $x = 0$ :

$\sinh(0) = \frac{e^0 - e^{-0}}{2} = \frac{1 - 1}{2} = 0.$

Pertanto, il limite è:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to 0^+} \sinh(x) = 0.}$

$\quad$

Figura 64: grafico della funzione $y = \sinh(x)$ .

$\quad$

Come si può osservare, il grafico è simmetrico rispetto all’origine, il che indica che la funzione $\sinh(x)$ è una funzione dispari. In altre parole, per ogni valore di $x$ , vale l’identità $\sinh(-x) = -\sinh(x)$ . Questa proprietà è chiaramente visibile nel grafico, dove la curva nel quadrante inferiore sinistro è il riflesso negativo della curva nel quadrante superiore destro rispetto all’origine. La funzione $\sinh(x)$ attraversa l’origine, e il suo valore cresce rapidamente in magnitudine sia per $x > 0$ che per $x < 0$ , ma con segno opposto.

Esercizio 49 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{x \to +\infty} \cosh(x).$

Svolgimento.

Poiché $\cosh(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$ è continua, valutiamo direttamente il limite:

$\lim_{x \to +\infty} \cosh(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + e^{-x}}{2} = +\infty.$

Pertanto, il limite è:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to +\infty} \cosh(x) = +\infty.}$

L’immagine in figura 65 mostra il grafico della funzione coseno iperbolico $y = \cosh(x)$ , caratterizzata, essendo pari, dalla sua simmetria rispetto all’asse $y$ . La funzione ha un minimo globale all’origine, dove $y = 1$ per $x = 0$ , e cresce esponenzialmente verso l’infinito man mano che $|x|$ aumenta. Il grafico rappresenta una curva a forma di U aperta verso l’alto, tipica delle funzioni $\cosh(x)$ , con un andamento regolare e senza cambiamenti di concavità.

$\quad$

Figura 65: grafico della funzione $y = \cosh(x)$ .

Esercizio 50 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{x \to 0^+} \tanh(x).$

Svolgimento.

Poiché la funzione è continua, si ha:

$\lim_{x \to 0^+} \tanh(x) = \tanh(0) = 0$

Pertanto, il limite è:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to 0^+} \tanh(x) = 0.}$

$\quad$

Figura 66: grafico della funzione $y = \tanh(x)$ .

$\quad$

L’immagine in figura 66 mostra il grafico della funzione $y = \tanh(x)$ , che rappresenta una curva sigmoide tipica delle funzioni tangenti iperboliche. Il grafico attraversa l’origine, con $y = 0$ quando $x = 0$ , e si avvicina asintoticamente ai valori $y = 1$ per $x \to +\infty$ e $y = -1$ per $x \to -\infty$ . La curva cresce rapidamente per valori positivi di $x$ e decresce simmetricamente per valori negativi, mantenendo un andamento regolare e liscio. Inoltre, la funzione $\tanh(x)$ è dispari, il che significa che $\tanh(-x) = -\tanh(x)$ , conferendo al grafico una simmetria rispetto all’origine.

Una curva “sigmoide” è un tipo di curva a forma di “S” che si trova spesso in matematica e nelle scienze naturali, specialmente in contesti come la statistica, la biologia, la psicologia, e le reti neurali. Il termine “sigmoide” deriva dalla parola greca “sigma”, che indica la forma della lettera “S”.

Esercizio 51 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{x \to 0^+} \cosh(2x).$

Svolgimento.

Poiché $\cosh(2x) = \dfrac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}$ è continua in $x=0$ , valutiamo direttamente il limite:

$\lim_{x \to 0^+} \cosh(2x) = \cosh(0) = 1.$

Pertanto, il limite è:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to 0^+} \cosh(2x) = 1.}$

$\quad$

Figura 67: grafico della funzione $y = \cosh(2x)$ .

$\quad$

L’immagine in figura 67 mostra il grafico della funzione $y = \cosh(2x)$ , che ha la caratteristica forma a U tipica della funzione coseno iperbolico. Il grafico si apre verso l’alto e cresce rapidamente man mano che $x$ si allontana da zero, sia verso valori positivi che negativi. La funzione $\cosh(2x)$ è pari, il che significa che $\cosh(2(-x)) = \cosh(2x)$ , conferendo simmetria rispetto all’asse $y$ .

Esercizio 52 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{x \to +\infty} \sinh\left(\frac{1}{x}\right).$

Svolgimento.

Poiché $\dfrac{1}{x} \to 0^+$ per $x \to +\infty$ , sfruttando la continuità della funzione, valutiamo direttamente il limite:

$\lim_{x \to +\infty} \sinh\left(\frac{1}{x}\right) = \sinh(0) = 0$

Pertanto, il limite è:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to +\infty} \sinh\left(\frac{1}{x}\right) = 0.}$

\end{center} L’immagine in figura 68 mostra il grafico della funzione $y = \sinh\left(\dfrac{1}{x}\right)$ con due rami distinti.

$\quad$

Figura 68: grafico della funzione $y = \sinh\left(\dfrac{1}{x}\right)$ .

Esercizio 53 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite

$\lim_{x \to 0^+} \tanh(3x).$

Svolgimento.

Poiché la funzione è continua in $x=0$ , valutiamo direttamente il limite:

$\lim_{x \to 0^+} \tanh(3x) = \tanh(0) = 0$

Pertanto, il limite è:

$\lim_{x \to 0^+} \tanh(3x) = 0$

$\quad$

Figura 69: grafico della funzione $y = \tanh(3x)$ con gli asintoti orizzontali $y = 1$ e $y = -1$ .

$\quad$

L’immagine in figura 69 mostra il grafico della funzione tangente iperbolica, $y = \tanh(3x)$ , nel piano cartesiano. La funzione cresce in tutto il dominio dal valore asintotico $-1$ al valore asintotico $1$ , annullandosi nell’origine.

Riferimenti bibliografici

[1] Abate, M., Geometria, McGraw-Hill, 1996.

[2] Acerbi, E. & Buttazzo, G., Primo corso di Analisi Matematica,
Pitagora Editrice, 1997.

[3] Bramanti, M., Pagani, C. D., & Salsa, S., Analisi matematica 1, Zanichelli Editore, Bologna, Prima edizione italiana, 2008.

[4] Fiorenza, R., Esercitazioni di Analisi Matematica, Volume Primo, Liguori Editore, Napoli, Prima edizione italiana, 1989.

[5] Giusti, E., Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, 1988.

[6] Pallino, P., Titolo del libro, Editore, 1900.

[7] Rossi, M. & Verdi, G., Titolo del libro, Editore, 1900.

[8] Qui Si Risolve, Esercizi sulla verifica dei limiti.

[9] Qui Si Risolve, Il teorema di Bolzano-Weierstrass.

[10] Qui Si Risolve, Funzioni continue.

[11] Qui Si Risolve, Funzioni elementari: algebriche, esponenziali e logaritmiche.

[12] Qui Si Risolve, Funzioni goniometriche: la guida essenziale.

[13] Qui Si Risolve, Guida sull’applicazione dei polinomi di Taylor nel calcolo dei limiti.

[14] Qui Si Risolve, Il teorema ponte.

[15] Qui Si Risolve, Simboli di Landau.

[16] Qui Si Risolve, Teoria sulle funzioni.

[17] Qui Si Risolve, Teoria sulle successioni.

Tutta la teoria di analisi matematica

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Tutte le cartelle di Analisi Matematica

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Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

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Limiti elementari

Limiti elementari

Sommario

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Autori e revisori

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Introduzione

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Prerequisiti

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Errori nei limiti e notazioni ambigue

Introduzione.

Esempi.

Cosa sono i limiti elementari?

Introduzione.

Caratteristiche dei limiti elementari.

Introduzione alle notazioni degli infiniti

Introduzione.

Funzione y=k/x.

Dimostrazione del limite.

Dimostrazione del limite.

Funzione.

Caso.

Funzione , con e

Introduzione.

Dimostrazione del limite.

Funzione

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Funzioni.

Funzione

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Funzione

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Funzione

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Funzione

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Funzione

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Funzione

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Funzione

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Funzione

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Funzione

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Funzione

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Funzione

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Funzione

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Tabelle dei limiti notevoli e delle notazioni utilizzate

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Esercizi svolti

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Esercizi

Svolgimento.

Svolgimento.

Svolgimento.

Svolgimento.

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Svolgimento.

Svolgimento.

Svolgimento.

Svolgimento.

Svolgimento.

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Svolgimento.

Svolgimento.

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Svolgimento.

Svolgimento.

Svolgimento.

Svolgimento.

Svolgimento.

Svolgimento.

Svolgimento.

Svolgimento.

Funzione $y = \log_a(x)$ , con $a > 0$ e $a \neq 1$

Funzione $y = x^{1/n}$

Funzione $t=\tan x$

Funzione $t = \cot(x)$

Funzione $t = \text{arctan}(x)$

Funzione $y = \text{arccot}(x)$

Funzione $y = \arcsin(x)$

Funzione $y = \arccos(x)$

Funzione $y = \sinh(x)$

Funzione $y = \cosh(x)$

Funzione $y = \tanh(x)$

Funzione $y = \text{arsinh}(x)$

Funzione $y = \text{arcosh}(x)$

Funzione $y = \text{artanh}(x)$