Simboli di Landau

Teoria sulle Funzioni: Concetti Fondamentali e Proprietà

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In questo articolo esploriamo i simboli di Landau, notazioni che indicano un confronto asintotico tra due funzioni. Date due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ e un punto $x_0$ , le nozioni di O-grande e o-piccolo esprimono infatti le rispettive idee intuitive:

$f(x)$ è “confrontabile con” $g(x)$ per $x$ “vicino” a $x_0$ ;
$f(x)$ è “trascurabile rispetto a” $g(x)$ per $x$ “vicino” a $x_0$ .

Questo articolo spiega le basi di queste notazioni, offrendo anche uno sguardo al contesto storico che ha condotto al loro sviluppo, nei lavori di Edmund Landau all’inizio del XX secolo. Le notazioni di Landau, note anche come notazioni di Bachmann-Landau, includono i concetti di ‘O-grande’ e ‘o-piccolo’. Dopo aver delineato e chiarito i concetti fondamentali, verranno esplorate le applicazioni immediate di queste notazioni, nonché alcune delle loro proprietà algebriche.

Tali idee continuano ad influenzare la matematica contemporanea. Se vuoi approfondire la tua comprensione di queste nozioni, è necessario avere una solida comprensione della topologia dell’insieme dei numeri reali, della definizione di funzioni reali a variabili reali, e dei concetti legati al limite di funzione. Se desideri prendere parte a questo viaggio, questo articolo è quello che fa per te.

Consigliamo la lettura dei seguenti articoli sulla teoria correlata:

Buona lettura!

Autori e revisori dell’articolo: simboli di Landau

Leggi...

Autori: Gaetano Cantisani

Revisori: Davide La Manna.

Definizioni

Definizione di O-grande.

Definizione 1. Sia $X\subseteq\mathbb{R}$ un insieme non vuoto e sia $x_0\in\mathbb{R}.$ Si supponga $x_0$ sia punto di accumulazione per $X.$ Si considerino

$f,g:X-\{x_0\}\to\mathbb{R}$

due funzioni. Si dice che $f(x)$ è “O-grande” di $g(x),$ per $x\to x_0$ se esiste $c\in \mathbb{R}$ ed esiste $U$ un intorno di $x_0$ tale per cui valga

$|f(x)|\le c|g(x)|$

per ogni $x\in U-\{x_0\}.$

$\quad$

Notazione 1. Si denota con $f(x)=\mathcal{O}(g(x))$ la proposizione: $f(x)$ è “O-grande” di $g(x).$

Sarebbe più coerente una scrittura del tipo $f(x)\in \mathcal{O}(g(x)),$ intendendo con $\mathcal{O}(g(x))$ l’insieme delle funzioni maggiorate da $c|g(x)|,$ in opportuni intorni di $x_0:$ non vale la proprietà transitiva dell’uguaglianza: se $f(x)=\mathcal{O}(g(x))$ e $l(x)=\mathcal{O}(g(x)),$ non è detto che sia $f(x)=l(x):$ tuttavia si vedrà nel seguito che la simbologia di Landau soddisfa specifiche proprietà di transitività. A rigore, inoltre, per quanto definito, non ha senso neppure scrivere $\mathcal{O}(g(x))=f(x):$ nemmeno la proprietà simmetrica (soddisfatta dal simbolo di eguaglianza) è verificata.

Osservazione 1. Le osservazioni esposte spingono a suggerire una notazione alternativa, ma che sarebbe più coerente:

$f(x)\le \mathcal{O}(g(x)).$

Definizione di o-piccolo.

Definizione 2. Sia $X\subseteq\mathbb{R}$ un insieme non vuoto e sia $x_0\in\mathbb{R}.$ Si supponga $x_0$ sia punto di accumulazione per $X.$ Si considerino

$f,g:X-\{x_0\}\to\mathbb{R}$

due funzioni. Si dice che $f(x)$ è “o-piccolo” di $g(x),$ per $x\to x_0$ se per ogni $c\in \mathbb{R}^+$ esiste $U$ un intorno di $x_0$ tale per cui valga

$|f(x)|\le c|g(x)|$

per ogni $x\in U-\{x_0\}.$

$\quad$

Notazione 2. Si denota con $f(x)=o(g(x))$ la proposizione: $f(x)$ è “o-piccolo” di $g(x).$

Le medesime considerazioni sull’abuso di notazione valgono per l'”o-piccolo.”

Osservazione 2. Si osservi che “O-grande” ed “o-piccolo” sono un’abbreviazione dell’ “esiste una costante” nel primo caso e di un “per ogni costante” nel secondo.

Osservazione 3. Dalle definizioni, inoltre, segue immediatamente che se $f(x)=o(g(x))$ allora necessariamente $f(x)=\mathcal{O}(g(x)).$

Nel prosieguo del lavoro ci si concentrerà sull'”o-piccolo,” in quanto concetto più utile nelle varie applicazioni. Si forniscono delle definizioni equivalenti.

$\quad$

Proposizione 1. Sia $X\subseteq \mathbb{R}$ un insieme non vuoto e sia $x_0\in \mathbb{R}$ un suo punto di accumulazione. Si considerino

$f,g:X-\{x_0\}\to \mathbb{R}$

due funzioni, con $g(x)\neq 0$ per ogni $x$ in un certo intorno¹ di $x_0.$ Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:

$f(x)=o(g(x))$ per $x\to x_0;$

per ogni $c\in\mathbb{R}$ positivo esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale per cui
$\left| \frac{f(x)}{g(x)} \right|\le c,$

per ogni $x\in U-\{x_0\};$

Vale
$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=0;$

esiste
$\omega:X-\{x_0\}\to \mathbb{R}$

una funzione tale per cui
- esiste un intorno $U'$ di $x_0$ tale per cui $f(x)=\omega(x)g(x)$ per ogni $x\in U'-\{x_0\};$
- $\lim_{x\to x_0}\omega(x)=0.$

È una proprietà locale, per cui richiedere che sia non nullo in ogni punto del dominio è superfluo. ↩

$\quad$

Dimostrazione. $1.\Rightarrow2.$

Immediata.

$2.\Leftrightarrow 3.$

È la definizione di limite.

$2.\Rightarrow4.$

Bisogna definire una funzione che soddisfi entrambe le richieste:

$\begin{matrix} \omega:&X-\{x_0\}&\to&\mathbb{R}\\ &x &\to& \frac{f(x)}{g(x)}. \end{matrix}$

Si verifica che, ponendo $U'=U,$ si ha che

$f(x)=\omega(x)g(x)$

per ogni $x\in (U'-\{x_0\}).$ Inoltre l’ipotesi che per ogni $c$ reale positivo esista un intorno $U$ di $x_0$ tale per cui valga

$\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|\le c$

per ogni $x\in U-\{x_0\}$ equivale ad affermare che

$\lim_{x\to x_0}|\omega(x)|=0,$

che implica la seconda parte della tesi, per via della proprietà del limite del valore assoluto.²

$4.\Rightarrow 1.$

Segue dalla definizione di limite e da idee simili a quelle già esposte.

Si intendono sottolineare degli aspetti: l’ipotesi aggiuntiva sulla nullità di $g(x)$ si rende necessaria per l’esistenza della funzione fratta, mentre non è necessaria nelle definizioni $1.$ e $4.$ : in questo senso, tali definizioni sono le più generali. Infine l’ipotesi sull’essere $x_0$ punto di accumulazione permette il calcolo dei limiti, dove necessario.³

Negli esempi e nella pratica le definizioni sono utilizzabili indistintamente.

Si consideri $A\subseteq\mathbb{R}$ e sia $x_0\in \mathbb{R}$ un punto di accumulazione per $A.$ Si consideri $f:A\to\mathbb{R}$ una funzione. Allora vale che

$\lim_{x\to x_0}|f(x)|=0$

se e solo se

$\lim_{x\to x_0}f(x)=0.$

Tale proprietà è conseguenza immediata delle definizioni. ↩

Si noti, tuttavia, l’ubiquità della condizione di essere punto di accumulazione richiesta a $x_0.$ ↩

Definizione o-piccolo all'infinito.

Sinora ci si è limitati a considerare $x_0$ un numero reale; la definizione, tuttavia, può essere estesa anche a $x_0=\pm\infty$ nel modo che segue.

$\quad$

Definizione 3. Sia $X\subseteq\mathbb{R}$ un insieme non vuoto, non superioremente limitato.

Si considerino

$f,g:X\to\mathbb{R}$

due funzioni.

Si dice che $f(x)$ è “o-piccolo” di $g(x),$ per $x\to +\infty$ se per ogni $c\in \mathbb{R}^+$ esiste $U$ un intervallo della forma $[a,+\infty),$ con $a$ reale, tale per cui valga

$|f(x)|\le c|g(x)|$

per ogni $x\ge a.$

$\quad$

Al lettore il compito della simile definizione che coinvolge $-\infty$ e l’adattamento della proposizione sull’equivalenza delle definizioni, oltre all’adattamento della definzione di “O-grande” a questo caso.

Esempi e sviluppini

Introduzione.

Si forniscono funzioni esemplificatrici.

Esempio 1.

(Riscrittura delle funzioni infinitesime) Sia $A\subseteq \mathbb{R}$ un insieme non vuoto e sia $x_0\in\mathbb{R}$ un suo punto di accumulazione. Si supponga che $f:A\to \mathbb{R}$ sia una funzione e che valga

$\lim_{x\to x_0}f(x)=0.$

Ciò equivale ad asserire che per ogni $\epsilon$ reale positivo esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale per cui

$|f(x)|\le \epsilon$

per ogni $x\in U-\{x_0\}.$

Segue immediatamente dalla definizione di “o-piccolo” che

$f(x)=o(1)$

per $x\to x_0,$

ove $g(x):=1.$

Il precedente esempio può essere verificato anche mediante l’utilizzo della terza definizione, mediante l’eguaglianza

$f(x)=f(x)\cdot 1:$

in tal caso $\omega(x):=f(x)$ e rispetta la condizione $\lim_{x\to x_0}\omega(x)=0.$

Esempio 2.

Si consideri $n\in \mathbb{N}$ e sia

$\begin{matrix} f:&\mathbb{R}&\to&\mathbb{R}\\ & x &\to& x^n. \end{matrix}$

Si asserisce che $x^n=o(x^t)$ per $x\to 0$ e per ogni $t\in\mathbb{N}$ tale per cui $n>t.$ Infatti esiste una funzione $\omega:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ che rispetta le condizioni: infatti ponendo

$\omega(w):=x^{n-t}$

vale

$x^n=\omega(x)x^t,$

$\lim_{x\to 0}\omega(x)=0.$

Nello specifico, per esempio, vale $x^{23}=o(x^6)$ per $x\to 0;$ tuttavia $x^6\neq o(x^{23})$ per $x\to 0,$ intendendo le due funzioni ad incognite reali e valori reali.

Osservazione 4. Quanto appena esposto fornisce lo spunto per evidenziare uno dei rischi dell’abuso di notazione permesso: infatti vale

$o(x^n)=o(x^t)$

per $x\to 0$ e per ogni naturale $t$ tale per cui $n\ge t,$ intendendo

$o(x^n)\subset o(x^t).$

Nonostante l’uso dell’uguale, non è lecito un uso equivalente dei due membri. Con tali rischi connessi all’uso di questo simbolismo, ci si può chiedere perchè si continua ad usarlo: la risposta sta nella comodità di alcune applicazioni, tipicamente gli sviluppi in serie, nei quali si ottengono scritture del tipo $f(x)=P(x)+o(x^n).$

Una riscrittura rigorosa richiederebbe una notazione simile a $f(x)=P(x)+g(x)$ con $g(x)\in o(x^n);$ per evitare la pedanteria, si preferisce abbreviare le notazioni.

Esempio 3.

Si consideri $n\in \mathbb{N}$ e sia

$\begin{matrix} f:&\mathbb{R}^+&\to&\mathbb{R}\\ & x &\to& \frac{1}{x^n}. \end{matrix}$

Si asserisce che

$\frac{1}{x^n}=o\left( \frac{1}{x^p} \right)$

per $x\to +\infty$ e per ogni $p\in \mathbb{N}$ tale per cui $n>p.$

Sulla scia dell’esempio precedente si definisce $\omega:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ in modo che sia

$\omega(x):=\frac{1}{x^{n-p}}:$

in tale modo

$\frac{1}{x^n}=\omega(x)\frac{1}{x^p}$

$\lim_{x\to+\infty}\omega(x)=0.$

Sviluppini delle funzioni elementari.

Il seguente esempio introduce dei risultati utili nella pratica, oltre a costituire degli esempi interessanti.

Proposizione 2 (sviluppini delle funzioni elementari). Valgono le seguenti eguaglianze, sottointendendo che ognuna vale per $x\to 0$ e considerando per ogni funzione coinvolta il dominio naturale:

$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x +o(x),$ con $\alpha\in\mathbb{R};$

$\sin(x)=x+o(x);$

$\cos(x)=1+o(x);$

$\cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2);$

$\tan(x)=x+o(x);$

$e^x=1+x+o(x);$

$\ln(1+x)=x+o(x).$

$\quad$

La denominazione di sviluppino deriva dalla parentela con lo sviluppo in serie di Taylor, che permette di esprimere in termini di serie una funzione data, se quest’ultima rispetta specifiche condizioni.

Seguono le dimostrazioni.

Dimostrazione.

Bisogna che si verifichi che
$(1+x)^{\alpha}-\alpha x-1 =o(x).$

Dunque va esibita una funzione $\omega:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tale per cui

$(1+x)^{\alpha}-\alpha x-1=\omega(x)x,$

per ogni $x$ in un intorno di $0$ e tale per cui valga

$\lim_{x\to 0}\omega(x)=0.$

Si definisce

$\omega(x):= \frac{(1+x)^{\alpha}-\alpha x-1}{x},$

osservando immediatamente che verifica la prima richiesta. Ora si calcoli

$\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^{\alpha}-\alpha x-1}{x}:$

mediante una manipolazione si giunge alla forma equivalente

$\lim_{x\to 0} \left( \frac{e^{\alpha\ln(1+x)}-1}{\alpha\ln(1+x)} \cdot \frac{\ln(1+x)}{x}\alpha-\alpha \right):$

riconoscendo nel primo fattore il limite notevole

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$

e nel secondo

$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.$

In tal modo si può giungere alla seguente conclusione

$\begin{aligned} \lim_{x\to 0} \left( \frac{e^{\alpha\ln(1+x)}-1}{\alpha\ln(1+x)} \cdot \frac{\ln(1+x)}{x}\alpha -\alpha \right) &= \lim_{x\to 0} \left( \frac{e^{\alpha\ln(1+x)}-1}{\alpha\ln(1+x)} \cdot \frac{\ln(1+x)}{x}\alpha \right) -\alpha \\ &= \alpha-\alpha \\ &= 0 \end{aligned}$
Bisogna che si verifichi che
$\sin(x)-x=o(x);$

va trovata una funzione $\omega:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tale per cui

$\sin(x)-x=\omega(x)x$

per ogni $x$ reale e

$\lim_{x\to 0}\omega(x)=0.$

Una tale funzione è

$\omega(x):=\frac{\sin(x)-x}{x};$

in particolare il valore nullo del limite è conseguenza del limite notevole

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1.$
Bisogna che si verifichi che
$\cos(x)-1=o(x):$

va trovata una funzione $\omega:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

tale per cui

$\cos(x)-1=\omega(x)x$

per ogni $x$ reale e

$\lim_{x\to 0}\omega(x)=0:$

una tale funzione è

$\omega(x):=\frac{\cos(x)-1}{x};$

in particolare il valore nullo del limite si ottiene dalle seguenti manipolazioni:

$\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}= \lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}\frac{\cos(x)+1}{\cos(x)+1}$

che è eguale a

$\lim_{x\to 0}\frac{-\sin^2(x)}{x(\cos(x)+1)} .$

Infine la seguente riscrittura evidenzia la presenza del limite notevole usato al punto precedente:

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} \cdot\frac{-\sin(x)}{\cos(x)+1}$

che permette di concludere che

$\lim_{x\to 0}\omega(x)=0.$
L’eguaglianza si può verificare direttamente mediante l’uso dei limiti notevoli, seguendo le tracce già esposte.
Un modo alternativo potrebbe sembrare dimostrare che

$-\frac{x^2}{2}+o(x^2)=o(x)$

ed operare una sostituzione.

Tuttavia tale metodo conduce a conclusioni errate per le considerazioni fatte sull’abuso di notazione: ad esempio, poichè $x^2+o(x^2)$ è “o-piccolo” di $x,$ si otterrebbe che

$\cos(x)=1-x^2+o(x^2),$

che è falso.
La funzione
$\omega(x):=\frac{\tan(x)-x}{x}$

soddisfa entrambi i requisiti.

Il lettore, in particolare, verifichi la nullità del limite, utilizzando l’eguaglianza derivante dalla definizione di tangente e dallo sviluppo della somma

$\omega(x)=\frac{\sin(x)-x\cos(x)}{x\cos(x)}= \frac{\sin(x)}{x\cos(x)}-1$

e sfruttando il limite notevole usato in precedenza.
La funzione
$\omega(x):=\frac{e^x-1-x}{x}$

soddisfa entrambi i requisiti.

Il lettore, in particolare, verifichi la nullità del limite, sfruttando il limite notevole:

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1.$
La funzione
$\omega(x):=\frac{\ln(1+x)-x}{x}$

soddisfa entrambi i requisiti.

Il lettore, in particolare, verifichi la nullità del limite, sfruttando il limite notevole:

$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.$

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Proprietà algebriche

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In questa sezione si intende verificare l’esistenza di proprietà algebriche e di transitività, in modo che i calcoli possano essere compiuti in maniera più efficiente.

$\quad$

Proposizione 3. Sia $X\subseteq \mathbb{R}$ un insieme non vuoto e sia $x_0\in \bar{\mathbb{R}}$ un suo punto di accumulazione.

Si considerino

$f_1,f_2,g:X-\{x_0\}\to\mathbb{R}$

tre funzioni tali per cui valga

$f_1(x)=o(g(x))$ per $x\to x_0;$

$f_2(x)=o(g(x))$ per $x\to x_0.$

Allora vale

$f_1(x)+f_2(x)=o(g(x))$

$f_1(x)-f_2(x)=o(g(x)),$

per $x\to x_0.$

$\quad$

Dimostrazione. Le due ipotesi equivalgono ad affermare l’esistenza di due funzioni

$\omega_1,\omega_2:X-\{x_0\}\to \mathbb{R}$

tali per cui

$f_1(x)=\omega_1(x)g(x)$ per ogni $x$ in un intorno di $x_0$ ;

$f_2(x)=\omega_2(x)g(x)$ per ogni $x$ in un intorno di $x_0$ ;

$\lim_{x\to x_0}\omega_1(x)=\lim_{x\to x_0}\omega_2(x)=0.$

Ci si concentri sulla somma di funzioni, la differenza è analoga. È possibile scrivere

$f_1(x)+ f_2(x)=(\omega_1(x)+\omega_2(x))g(x):$

la funzione definita da

$\omega(x):=\omega_1(x)+\omega_2(x):$

allora soddisfa entrambe le richieste.

$\quad$

Proposizione 4. Sia $X\subseteq \mathbb{R}$ un insieme non vuoto e sia $x_0\in \bar{\mathbb{R}}$ un suo punto di accumulazione.

Si considerino

$f_1,f_2,g:X-\{x_0\}\to\mathbb{R}$

tre funzioni tali per cui valga

$f_1(x)=o(g(x))$ per $x\to x_0;$

$f_2(x)=o(g(x))$ per $x\to x_0.$

Allora

$f_1(x)\cdot f_2(x)=o(g^2(x)),$

per $x\to x_0.$

$\quad$

La dimostrazione è simile alla precedente, per cui si omette.

$\quad$

Osservazione 5. Sia $X\subseteq \mathbb{R}$ un insieme non vuoto e sia $x_0\in \bar{\mathbb{R}}$ un suo punto di accumulazione.

Si considerino

$f_1,f_2,g:X-\{x_0\}\to\mathbb{R}$

tre funzioni tali per cui valga

$f_1(x)=o(g(x))$ per $x\to x_0;$

$f_2(x)=o(g(x))$ per $x\to x_0.$

Allora

$\frac{f_1(x)}{f_2(x)}$

non è -a priori- $o(g(x)),$ per $x\to x_0.$ La solita sostituzione permette di scrivere

$\frac{f_1(x)}{f_2(x)}=\frac{\omega_1(x)}{\omega_2(x)},$

il cui limite, per $x$ che tende a $0,$ è indeterminato.

Seguono due risultati sui multipli di funzione.

$\quad$

Proposizione 5. Sia $X\subseteq \mathbb{R}$ un insieme non vuoto, sia $x_0\in \mathbb{R}$ un suo punto di accumulazione e sia $\alpha\in \mathbb{R}.$

Si considerino

$f,g:X-\{x_0\}\to\mathbb{R}$

due funzioni tali per cui valga $f(x)=o(g(x))$ per $x\to x_0.$

Allora vale

$\alpha f(x)=o(g(x)),$

per $x\to x_0.$

$\quad$

Anche questa dimostrazione si omette, essendo simile alle precedenti.

Si osservi che $\alpha$ può essere anche $0$ perchè la funzione nulla è “o-piccolo” di ogni funzione $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},$ considerando $\omega(x)=0,$ per ogni $x$ reale.

$\quad$

Proposizione 6. Sia $X\subseteq \mathbb{R}$ un insieme non vuoto e sia $x_0\in \mathbb{R}$ un suo punto di accumulazione. Si supponga, inoltre, che $\alpha$ sia un reale non nullo.

Si considerino

$f,g:X-\{x_0\}\to\mathbb{R}$

due funzioni tali per cui valga $f(x)=o(\alpha g(x))$ per $x\to x_0.$

Allora segue che $f(x)=o(g(x)),$ per $x\to x_0.$

$\quad$

Dimostrazione. Le ipotesi equivalgono ad affermare che esiste una funzione

$\omega:X-\{x_0\}\to\mathbb{R}$ tale per cui

$f(x)=\omega(x)(\alpha g(x))$ per ogni $x$ in un intorno di $x_0$ ;

$\lim_{x\to x_0}\omega(x)=0.$

Tuttavia la prima condizione può essere riscritta nel modo che segue,

$f(x)=(\alpha\omega(x))g(x),$

per cui la funzione richiesta, che soddisfa entrambe le richieste della definizione, è

$\omega'(x)=\alpha\omega(x).$

$\quad$

Ora una proposizione sulla transitività.

Proposizione 7. Sia $X\subseteq \mathbb{R}$ un insieme non vuoto e sia $x_0\in \mathbb{R}$ un suo punto di accumulazione.

Si considerino

$f,h,g:X-\{x_0\}\to\mathbb{R}$

tre funzioni tali per cui valga

$f(x)=o(g(x))$ per $x\to x_0;$

$g(x)=o(h(x))$ per $x\to x_0.$

Allora segue che

$f(x)=o(h(x)),$

per $x\to x_0.$

$\quad$

Dimostrazione. Le ipotesi si traducono nell’esistenza di due funzioni

$\omega_1,\omega_2:X-\{x_0\}\to\mathbb{R}$

tali per cui valgano

$f(x)=\omega_1(x)g(x)$ per ogni $x$ in un intorno di $x_0$ ;

$g(x)=\omega_2(x)h(x),$ per ogni $x$ in un intorno di $x_0$ ;

$\lim_{x\to x_0}\omega_1(x) =\lim_{x\to x_0}\omega_2(x)=0.$

Le ipotesi permettono, dunque, di scrivere

$f(x)=\omega_1(x)\omega_2(x)h(x)$

per ogni $x$ in un intorno di $x_0$ ; per cui la funzione

$\omega(x):=\omega_1(x)\omega_2(x)$

soddisfa i due requisiti richiesti, da cui la tesi.

$\quad$

L’elenco esposto in questa sezione è da intendere come una vetrina dei metodi, per cui non si creda di aver letto una lista esaustiva delle molteplici proprietà dimostrabili.

Tutta la teoria di analisi matematica

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Tutte le cartelle di Analisi Matematica

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Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

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Simboli di Landau

Autori e revisori dell’articolo: simboli di Landau

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Definizioni

Definizione di O-grande.

Definizione di o-piccolo.

Definizione o-piccolo all'infinito.

Esempi e sviluppini

Introduzione.

Esempio 1.

Esempio 2.

Esempio 3.

Sviluppini delle funzioni elementari.

Scarica la teoria

Proprietà algebriche

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Strutture algebriche.

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Geometria analitica.

Geometria differenziale.

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