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Esercizi misti limiti 11

Esercizi misti sui Limiti

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Richiamiamo di seguito solo i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Per i richiami teorici più completi si rimanda alle dispense di teoria sui limiti notevoli , alla dispensa sui simboli di Landau e a quella sulle forme indeterminate.

Teorema 1. 

Siano f, g\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}, sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} un punto di accumulazione per A. Si assuma che

    \[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) =: \ell_1, \qquad \exists \lim\limits_{x \to x_0} g(x) =: \ell_2,\]

allora, ogni qualvolta l’espressione a destra non è un forma indeterminata, si ha:

    \[\begin{aligned} \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\pm g)(x) & =\ell_1 \pm \ell_2 \\ \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\cdot g)(x) & = \ell_1 \cdot \ell_2, \end{aligned}\]

Se x_0 è un punto di accumulazione per \{x \in A \colon g(x) \neq 0\}, allora si ha:

    \[\exists \; \lim\limits_{x \to x_0} \left( \dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{\ell_1}{\ell_2},\]

ogni qualvolta l’espressione a destra esiste e non è una forma indeterminata.

 

Teorema 2 – Teorema di sostituzione. 

Sia f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} e sia x_0 \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}. Si assuma che

    \[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}.\]

Sia I(\ell) un intorno di \ell e sia g \colon I(\ell) \to \mathbb{R} tale che

  1. se \ell \in \mathbb{R}, g è continua in \ell;
  2. se \ell = \pm \infty, allora esiste \lim\limits_{y \to \ell}g(y).

Allora,

    \[\lim\limits_{x \to x_0} g(f(x)) = \lim\limits_{y \to \ell}g(y).\]

 

 

Teorema 3 – Teorema di L’Hôpital. 

Siano A\subset \mathbb{R} e x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm\infty\} punto di accumulazione per A. Siano f,g:A\setminus \{x_0\}\rightarrow \mathbb{R} derivabili nel loro dominio e inoltre si supponga g^\prime(x)\neq0 \, \, \forall x \in I \setminus \{x_0\} . Se f,g sono entrambe infinitesime o infinite per x \rightarrow x_0 e se esiste il seguente limite

    \[\lim_{x \rightarrow x_0}\dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}=\ell \in \mathbb{R}\cup \{\pm\infty\},\]

allora

    \[\lim_{x \rightarrow x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\ell.\]

 

Definizione 

Siano f,g\colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} e sia x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\} un punto di accumulazione per A. Si assuma che g(x)\neq 0 in un intorno di x_0 e che esiste

    \[\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} \eqcolon \ell \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}.\]

\bullet Se \ell \in \mathbb{R} si dice che f è un O-grande di g per x che tende ad x_0, e si denota con f=\mathcal{O}(g). In particolare, si possono distinguere i seguenti casi:

1. se \ell \neq 0, allora f ha lo stesso ordine di g e si denota con

    \[f \asymp g, \qquad x \to x_0;\]

2. se \ell = 1, allora f è equivalente g e si denota con

    \[f \sim g, \qquad x \to x_0;\]

3. se \ell = 0, allora f è trascurabile rispetto a g e si denota con

    \[f = o(g), \qquad x \to x_0.\]

In questo caso si dice anche che f è un o-piccolo di g.

Inoltre, se \ell = \pm \infty si dirà che g=o(f).

I simboli definiti precedentemente predono il nome di \textbf{simboli di Landau} e tra le proprietà fondamentali ricordiamo la seguente:

    \[f \sim g \Longleftrightarrow f = g + o(g).\]

Utilizzando i simboli di Landau i limiti notevoli possono essere riscritti nel modo seguente.

(1)   \begin{equation*} \sin x = x + o(x), \qquad & x \to 0,\end{equation*}

(2)   \begin{equation*}\cos x = 1 - \dfrac{1}{2}x^2 + o(x^2), \qquad & x \to 0, \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} \tan x = x +o(x), \qquad & x \to 0, \end{equation*}

(4)   \begin{equation*} \log(1 + x) = x + o(x), \qquad & x \to 0,\end{equation*}

(5)   \begin{equation*} a^x =1+ \log a x + o(x), \qquad & x \to 0,\end{equation*}

(6)   \begin{equation*}(1 + x)^\alpha =1+ \alpha x + o(x), \qquad & x \to 0. \end{equation*}

 

Testi degli esercizi

Esercizio 11 (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare i seguenti limiti con il metodo del confronto locale:

    \[\begin{aligned} &1.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{e^{\cos^2 x-1}-\sin x-1}{\tan x(1+\cos x)};\\[10pt] & 2.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\log(\cos x)}{x^2};\\[10pt] &3.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^2+3\sin 2x}{x-2\sin 3x};\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{\tan^3 x}-1}{x\left(\cos x-e^{x^2}\right)};\\[10pt] &5.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin(\pi\cos x)}{x\sin x}. \end{aligned}\]

Svolgimento.

1. Utilizzando l’identità \sin^2 x + \cos^2 x = 1, si ha

    \[\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{\cos^2 x-1}-\sin x-1}{\tan x(1+\cos x)}&\overset{\spadesuit}{=}\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{-\sin^2 x}-x+o(x)-1}{\tan x + \sin x }\\ &\overset{\star}{=}\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\sin^2 x + o(\sin^2 x)-x+o(x)-1 }{2x + o(x) )}\\ &\overset{\spadesuit}{=} \lim_{x\rightarrow0}\frac{-x^2-x + o(x^2)}{2x+o(x)}\\&=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x(-1-x+o(x))}{x(2+o(1))}=-\frac{1}{2}. \end{aligned}\]

dove in \star abbiamo utilizzato (1)-(3)-(6) e in \spadesuit è stato utilizzato (1).

2. Si ha:

    \[\lim_{x\rightarrow0}\frac{\log(\cos x)}{x^2}\overset{\star}{=}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\displaystyle\log\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)}{x^2}\overset{\spadesuit}{=} \lim_{x\rightarrow0}\frac{\displaystyle-\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2}=-\frac{1}{2}.\]

dove in \star abbiamo utilizzato (2) e in \spadesuit (4).

3. Poiché da (1) segue che \sin kx\sim kx + o(x), per ogni k \in \mathbb{R}, per x\rightarrow 0 si ha

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2+3\sin 2x}{x-2\sin 3x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2+3\cdot 2x + o(x)}{x-2\cdot 3x +o(x)} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2+6x + o(x)}{x-6x+o(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(x+6 +o(1))}{-5x + o(x)}=-\frac{6}{5}.\]

4. Riscriviamo numeratore e denominatore separatamente. Per il numeratore si ha

    \[e^{\tan^3 x}-1 \overset{\star}{=} e^{x^3+o(x^3)}-1 \overset{\spadesuit}{=} x^3+o(x^3),\]

dove in \star si utilizza (3) e in \spadesuit (5); per il denominatore otteniamo

    \[x\left(\cos x-e^{x^2}\right) \overset{\clubsuit}{=} x\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)-1-x^2+o(x^2)\right)=-\frac{3}{2} x^3+o(x^3),\]

dove in \clubsuit sono stati utilizzati (2)-(5). Ne segue che

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\tan^3 x}-1}{x\left(\cos x-e^{x^2}\right)}= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^3+o(x^3)}{\displaystyle -\frac{3x^3}{2}+o(x^3)}=-\frac{2}{3}.\]

5. Si ricordi che \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha, da cui si ha:

    \[\sin(\pi\cos x)=\sin[\pi(1-\cos x)] \overset{\star}{=} \pi(1-\cos x)+o(1-\cos x) \overset{\spadesuit}{=} \dfrac{\pi}{2}x^2 + o(x^2),\]

dove in \star si utilizza (1) e in \spadesuit (2). Allora

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(\pi\cos x)}{x\sin x}= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\dfrac{\pi}{2}x^2 + o(x^2)}{x^2}=\frac{\pi}{2}.\]

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