Dominio di una funzione

Home » Dominio di una funzione – Guida al calcolo

Questo articolo è una guida al calcolo degli insiemi di definizione (o “dominio”) di funzioni di cui sono date le espressioni che le definiscono. L’argomento è di estrema importanza per gli studenti delle scuole superiori e dei corsi universitari di Analisi Matematica, risultando propedeutico a numerosi altri. L’articolo contiene una raccolta sintetica dei principi di base, da utilizzare come guida quando ci si cimenta in questo compito, e presenta 22 esercizi completamente risolti, per consentire al lettore di mettere in pratica le idee apprese.
Auguriamo pertanto una buona e piacevole lettura.

Segnaliamo la nostra cartella di esercizi sul dominio di una funzione e, oltre all’esaustiva lista in fondo alla pagina, i seguenti articoli sulla teoria collegata:

Sommario

Leggi...

Questo documento è rivolto agli studenti dell’ultimo anno di liceo scientifico e agli studenti universitari che si trovano ad affrontare il concetto di dominio, basilare per comprendere in pieno le funzioni e saperle rappresentare. Questa guida comprende sia una parte teorica che un utile e breve eserciziario, racchiudendo i casi più frequenti fino a quelli più particolari.

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Introduzione

Leggi...

Prima di addentrarci nel concetto di dominio e di come si determina, facciamo un brevissimo ripasso di cosa è e di come si presenta una funzione.

Definizione 1. Siano $A,B$ due insiemi e sia $f$ un sottoinsieme del prodotto cartesiano $A\times B$ . Se per ogni $a\in A$ esiste un unico $b\in B$ tale per cui $(a,b)\in f$ , allora $f$ è detta funzione tra $A$ e $B$ .

Quindi una funzione è una relazione tra due insiemi tale per cui ad ogni elemento dello spazio di partenza è associato uno ed un solo elemento dello spazio di arrivo. Graficamente si possono dare più versioni, noi scegliamo quella insiemistica di facile visione e comprensione:

Rendered by QuickLaTeX.com

Gli insiemi $A$ e $B$ sono anche denominati, rispettivamente, spazio di arrivo e spazio di partenza.

Definizione 2. Siano $A$ e $B$ due insiemi non vuoti e sia $f:A\to B$ una funzione. L’insieme $A$ è detto dominio di $f$ , mentre l’insieme $B$ è detto codominio della funzione.

Quindi l’insieme $A$ , spazio di partenza, prende il nome di dominio mentre l’insieme $B$ , spazio di arrivo, prende il nome di codominio.

Definizione 3. Siano $A$ e $B$ due insiemi non vuoti e sia $f:A\to B$ una funzione. Si definisce immagine di $A$ mediante $f$ l’insieme

$f(A)\:=\left\{b\in B:\text{ esiste } x\in A, f(x)=b\right\}.$

Graficamente rappresentiamo l’immagine della funzione

Rendered by QuickLaTeX.com

Quindi in “teoria” quando si parla di una funzione bisogna sempre dare sempre un dominio e un codominio e la legge che lega il dominio e il codominio.

Una funzione si denota come segue

$f: A \to B \qquad \text{tale che } \, x \mapsto y = f(x)$

dove $x$ è detta variabile indipendente e $y$ variabile dipendente; infatti il valore di $y$ dipende dal valore di $x$ .

Si vuole far notare al lettore la differenza tra dominio e dominio naturale: Il dominio naturale è l’insieme più ampio dei valori reali che si possono assegnare alla variabile indipendente affinchè esista il corrispondente valore della variabile dipendente mentre con il termine dominio può essere il dominio naturale o un sottoinsieme di quest’ultimo.

Classificazione delle funzioni

Leggi...

Per poter ricavarsi il dominio è necessario saper riconoscere la funzione con cui si ha a che fare. Tale classificazione gioca un ruolo fondamentale nello svolgimento degli esercizi, in quanto permette di poter determinare il dominio. Le funzioni si dividono in due macrogruppi: algebriche e trascendenti.

La algebriche possono essere:

Razionali intere: sono le funzioni polinomiali ovvero le funzioni la cui legge è un monomio o un polinomio, ad esempio
$f(x) = x^3+2x-1 \quad \text{oppure} \quad f(x)=7x.$

Banalmente il dominio coincide con $\mathbb{R}$ , sempre.
Razionali fratte: sono le funzioni la cui variabile indipendente compare a denominatore (non necessariamente deve comparire anche a numeratore), ad esempio
$f(x) = \dfrac{x-1}{x^2-5x+6} \quad \text{oppure} \quad f(x) = \dfrac{5}{x^2-9}.$

Il dominio si trova ponendo il denominatore diverso da zero¹
Irrazionali: la variabile indipendente compare sotto radice. In questo tipo di funzione è fondamentale tenere in considerazione l’indice² della radice.
1. Con indice pari
  (1) $\begin{align*} & f(x) = \sqrt{x^2-9} \quad \text{oppure} \quad f(x)=\sqrt{\dfrac{5x-1}{4+x}} \quad \\ & \text{oppure} \quad f(x) = \dfrac{3}{\sqrt{x^2+10x+1}} \end{align*}$
  
  nei primi due esempi basta porre l’argomento maggiore o uguale a zero mentre nel terzo esempio, siccome il radicale è al denominatore, bisogna porre l’argomento solo maggiore di zero.
2. Con indice dispari
  (2) $\begin{align*} & f(x) = \sqrt[3]{x^2-4} \quad \text{oppure} \quad f(x)=\sqrt[3]{\dfrac{2x^2-7x}{5x+9}} \\ & \quad \text{oppure} \quad f(x) = \dfrac{3}{\sqrt[3]{x^2-7x}} \end{align*}$
  
  i primi due esempi hanno dominio $\mathbb{R}$ mentre per il terzo, dato che la radice è al denominatore, bisogna porre il l’argomento della radice diverso da zero.

Le trascendenti possono essere

Logaritmiche: la variabile indipendente compare nell’argomento del logaritmo, ad esempio
$y = \ln(x+3) \quad \text{oppure} \quad y=\ln\left(\dfrac{3-x}{x^2-1}\right).$

In questo caso, è sufficiente porre l’argomento del logaritmo maggiore di zero.
Esponenziali: la variabile indipendente compare nell’esponente della potenza.
$y=5^x \qquad y=3^{\frac{x}{x-1}} \qquad y= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\sqrt{x-2}}.$

In questo caso si studia il dominio dell’esponente. Nel primo esempio dominio è $\mathbb{R}$ , nel secondo caso bisogna porre $x\neq 1$ e infine nel terzo caso bisogna porre $x\geq 2$ .

C’è anche un altro caso dell’esponenziale dove la variabile compare sia nella base che nell’esponente

$y=3x^{2x-1} \quad \text{oppure} \quad y=\left(\dfrac{4}{3x+1}\right)^{8x+6}.$

in questo caso si deve porre la base positiva a sistema con il dominio dell’esponente.
Goniometriche: la variabile indipendente compare nell’argomento della funzione goniometrica.
$y = \sin(5x-7) \qquad y=\cos(3x+1) \qquad y=\tan(x-3) \qquad y = \arcsin(7x^2-6).$

Per determinare il dominio, nel caso delle funzioni seno e coseno, come ad esempio $\cos(A(x))$ o $\sin(A(x))$ è sufficiente fare il dominio dell’argomento, nel caso della tangente $\tan(A(x))$ bisogna porre

$\begin{cases} A(x) \neq \frac{\pi}{2}+k\pi\\ \text{dominio di } A(x) \end{cases}$

mentre nel caso della cotangente si imposta il seguente sistema

$\begin{cases} A(x) \neq k\pi\\ \text{dominio di } A(x). \end{cases}$

Infine nel caso di $\arcsin(A(x))$ o $\arccos(A(x))$ bisogna assicurarsi che l’argomento sia compreso tra $-1$ e $1$ ovvero

$\begin{cases} -1\le A(x) \le 1\\ \text{dominio di } A(x). \end{cases}$

Analogo discorso delle funzioni seno e coseno per $\arctan(A(x))$ o $\text{arccot}(A(x))$ .

Andando a discutere gli esempi sopra proposti, nel primo e secondo caso, il dominio risulta tutto $\mathbb{R}$ essendo gli argomenti del seno e del coseno dei polinomi, nel terzo caso bisogna porre $x-3\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$ con $k\in\mathbb{Z}$ ed infine per il quarto caso abbiamo $-1\leq 7x^2-6\leq 1$ .

Infine possiamo avere delle combinazioni delle funzioni precedenti con le operazioni usuali ovvero somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione. In questo caso è sufficiente mettere a sistema tutte le condizioni necessarie. Si vuole far notare al lettore che quando viene datta la scrittura $f(x)$ non si sta dando la funzione ma la legge che lega gli elementi al dominio al codominio, infatti formalmente quando si parla di funzione si deve sempre specificare dominio, codominio e la legge che lega i due insiemi tale che ad ogni elementi dell’insieme del dominio corrisponde uno ed un solo elemento dell’insieme di arrivo ovvero il codominio. Inoltre quando viene richiesto di determinare il dominio di $f(x)$ si da sempre per scontato di determinare di trovare il dominio naturale o il campo di esistenza ovvero il più grande dominio per il quale è definita la funzione.

$\[\]$

Ricordate che il denominatore di funzione non puo’ essere zero! ↩

Sia $\sqrt[n]{x}$ allora si dice $n$ indice della radice ed $x$ radicando. ↩

Tabella riassuntiva

Leggi...

Proponiamo una tabella riassuntiva nel caso in cui $A(x)$ e $B(x)$ siano due funzioni polinomiali. Allora vale quanto segue

Rendered by QuickLaTeX.com

E’ importante osservare che nel caso di combinazioni di funzioni, i diversi domini possono essere posti a sistema.

Come rappresentare il dominio

Leggi...

Il modo più comune di rappresentare un dominio è sottoforma di intervallo, di seguito riportiamo le tre rappresentazioni più comuni: intervallo, tramite variabile e graficamente.

Rendered by QuickLaTeX.com

Più formalmente, siano $a,b \in \mathbb{R}$ supponendo, senza perdita di generalità, che $a<b$ .

Definiamo gli intervalli limitati di estremi $a$ e $b$ come segue:

$[a,b]=\{x\in\mathbb{R} \; \vert \; a\le x\le b\}$ intervallo chiuso;
$(a,b)=\{x\in \mathbb{R}\; \vert \; a<x<b\}$ intervallo aperto;
$[a,b)=\{x\in\mathbb{R}\; \vert \; a\le x <b\}$ intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra;
$(a,b] =\{x\in\mathbb{R}\; \vert \; a<x\le b\}$ intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra.

Gli intervalli illimitati sono invece determinati da un solo estremo $a \in \mathbb{R}$ . Anche per essi si distinguono quattro casi:

$[a,+\infty\mbox{[}=\{x\in\mathbb{R}\; \vert \; x \ge a\}$ intervallo chiuso illimitato superiormente;
$(a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\; \vert \; x>a\}$ intervallo aperto illimitato superiormente;
$(-\infty,a]=\{x\in\mathbb{R}\; \vert\; x\le a\}$ intervallo chiuso illimitato inferiormente;
$(-\infty,a)=\{x\in \mathbb{R} \; \vert \; x<a\}$ intervallo aperto illimitato inferiormente.

Esercizi svolti

Domini di funzioni fratte

Esercizio 4. Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

(3) $\begin{equation*} f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2-5x+6}, \end{equation*}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Il dominio è dato da tutti i valori reali che rendono il denominatore diverso da zero, precisamente³

(4) $\begin{align*} x^2-5x+6 \neq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \neq 2, x \neq 3. \end{align*}$

Quindi

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = (-\infty,2) \cup (2,3) \cup (3,+\infty).}$

Esercizio 5. Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

(5) $\begin{equation*} f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2-2x}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Il dominio è dato da tutti i valori reali che rendono il denominatore diverso da zero, precisamente⁴

(6) $\begin{align*} x^2-2x \neq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \neq 0, x \neq 2. \end{align*}$

Quindi

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = (-\infty,0) \cup (0,2) \cup (2,+\infty).}$

$\[\]$

Abbiamo un’equazione completa: $Ax^2+Bx+C=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-B\pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A}$ . ↩

Abbiamo un’equazione spuria: $Ax^2+Bx=0 \Leftrightarrow x(Ax+B)=0 \Leftrightarrow x=0, x=-B/A$ . ↩

Domini di funzioni irrazionali: indice pari

Esercizio 6. Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

(7) $\begin{equation*} f(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2-4}}, \end{equation*}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Il dominio è dato da tutti i valori reali che rendono l’argomento della radice positivo. Infatti la radice ha argomento non negativo ed essendo a denominatore deve essere anche diverso da zero, quindi

(8) $\begin{align*} x^2-4 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 > 4 \quad \Leftrightarrow \quad x<- 2 \, \vee \, x>2. \end{align*}$

Quindi il dominio è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} =(-\infty,-2) \cup (2,+\infty) .}$

Esercizio 7. Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

(9) $\begin{equation*} f(x)=\sqrt{\dfrac{x^2-1}{x^2-7x+13}}, \end{equation*}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Il dominio è dato da tutti i valori reali che rendono l’argomento della funzione non negativo

(10) $\begin{align*} \dfrac{x^2-1}{x^2-7x+13} \ge 0 \end{align*}$

quindi

(11) $\begin{align*} & x^2-1 \ge 0 \quad \Leftrightarrow \quad x\le -1 \; \vee \; x \ge 1\\ & x^2-7x+13 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad \forall \; x \in \mathbb{R} \end{align*}$

da cui con la regola dei segni risulta

(12) $\begin{align*} x\le -1 \; \vee \; x \ge 1. \end{align*}$

Concludiamo

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = (-\infty,-1] \, \cup \, [1,+\infty).}$

Esercizio 8. Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

(13) $\begin{equation*} f(x)=\sqrt{x^3-2x^2+2x-4}, \end{equation*}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Il dominio è dato da tutti i valori reali che rendono l’argomento della funzione non negativo

(14) $\begin{align*} & x^3-2x^2+2x-4 \ge 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2(x-2)-2(x-2)\ge0 \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad (x^2-2)(x-2)\ge0 \quad \Leftrightarrow \quad -\sqrt{2}\leq x \leq \sqrt{2}\vee x \geq 2. \end{align*}$

Quindi concludiamo che

$\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{D} = [-\sqrt{2},\sqrt{2}] \, \cup \, [2,+\infty).}$

Domini di funzioni irrazionali: indice dispari

Esercizio 9. Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

(15) $\begin{equation*} f(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt[3]{x^2-4}}, \end{equation*}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Il dominio è dato da tutti i valori reali che rendono l’argomento diverso da zero⁵

(16) $\begin{align*} x^2-4 \neq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \neq \pm 2. \end{align*}$

Quindi concludiamo che

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = (-\infty,-2) \, \cup \, (-2, 2) \, \cup \, (2,+\infty).}$

$\[\]$

In questo caso non ci dobbiamo preoccupare della positività del radicando perchè l’indice è dispari. ↩

Esercizio 10. Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

(17) $\begin{equation*} f(x)=\sqrt[3]{\dfrac{x^2-1}{x^2-7x+12}}, \end{equation*}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Il radicando è una frazione, quindi si deve porre il denominatore diverso da zero

(18) $\begin{align*} x^2-7x+12\neq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x\neq 3, x \neq 4. \end{align*}$

Quindi concludiamo che

$\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{D} = (-\infty,3) \, \cup \, (3,4) \, \cup \, (4,+\infty).}$

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni la guida contenente 22 esercizi risolti sul calcolo del dominio di una funzione.

Esercizio 11. Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

(19) $\begin{equation*} f(x)=\sqrt[3]{x^3-2x^2+2x-4}, \end{equation*}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Il radicando è un polinomio quindi concludiamo che

$\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{D} = \mathbb{R}.}$

Domini di funzioni esponenziali

Esercizio 12. Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

(20) $\begin{equation*} f(x)=3^{x^3+2x-1}, \end{equation*}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

La funzione esponenziale ha come esponente un polinomio quindi concludiamo che

$\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{D} = \mathbb{R}.}$

Esercizio 13. Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

(21) $\begin{equation*} f(x) = e^{\frac{x+1}{x-2}}, \end{equation*}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

La funzione esponenziale ha come esponente una frazione quindi dobbiamo imporre che il denominatore sia diverso da zero

(22) $\begin{align*} x-2 \neq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \neq 2. \end{align*}$

Quindi concludiamo che

$\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{D} = (-\infty,2) \, \cup \, (2, +\infty).}$

Esercizio 14. Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

(23) $\begin{equation*} f(x) = e^{\sqrt{2x^2-7x+5}}, \end{equation*}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

La funzione esponenziale ha come esponente una radice di indice pari, dunque bisogna impostare che il radicando sia non negativo⁶

(24) $\begin{align*} 2x^2-7x+5 \ge 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \le 1 \, \vee \, x \geq \dfrac{5}{2}. \end{align*}$

Quindi concludiamo che

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = (-\infty,1] \, \cup \, \left[\dfrac{5}{2}, +\infty\right).}$

$\[\]$

$2x^2-7x+5 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x = \dfrac{7\pm3}{4} \quad \Leftrightarrow \quad x=\dfrac{5}{2},x=1$

↩

Esercizio 15. Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

(25) $\begin{equation*} f(x) = \left(\dfrac{4}{3x+1}\right)^{8x+6}, \end{equation*}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

La funzione esponenziale ha come base una frazione e come esponente un polinomio dunque è sufficiente impostare

(26) $\begin{align*} \dfrac{4}{3x+1}>0 \quad \Leftrightarrow \quad 3x+1>0 \quad \Leftrightarrow \quad x>-\dfrac{1}{3} \end{align*}$

in quanto l’esponente è un polinomio è definito su $\mathbb{R}$ .

Quindi concludiamo che

$\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{D} = \left(-\dfrac{1}{3}, +\infty\right).}$

Domini di funzioni logaritmiche

Esercizio 16. Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

(27) $\begin{equation*} f(x)=\ln\left(\dfrac{x^3-x^2-x+1}{x^2}\right), \end{equation*}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Osserviamo che $f$ è definita se e solo se l’argomento del logaritmo è maggiore di zero.

Procediamo pertanto con lo studio del segno dell’argomento del logaritmo

(28) $\begin{equation*} \begin{cases} x^3+x^2-x-1>0\\\\ x^2>0\ \end{cases} \end{equation*}$

risolviamo la prima disequazione del sistema

(29) $\begin{equation*} x^3+x^2-x-1>0 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2-1)(x-1)>0\quad \Leftrightarrow \quad (x-1)^2(x+1)>0 \end{equation*}$

che ha come soluzione

(30) $\begin{equation*} x>-1\wedge x\neq 1 \end{equation*}$

e la seconda equazione del sistema che ha come soluzione

(31) $\begin{equation*} \mathbb{R}\setminus\{0\}. \end{equation*}$

Pertanto si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{D} = \left(-1, 0\right)\,\cup\, (0,1)\,\cup\,(1,+\infty).}$

Esercizio 17. Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

(32) $\begin{equation*} f(x)=\dfrac{\ln\left(e^x-1\right)}{\vert x - 1 \vert}, \end{equation*}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento del logaritmo positivo e il denominatore non nullo.

Dunque abbiamo

(33) $\begin{align*} &\begin{cases} e^x-1>0\\ \vert x -1 \vert \neq 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} e^x>1\\ x -1 \neq 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad\begin{cases} e^x>e^0\\ x \neq 1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x>0\\ x \neq 1 \end{cases} \end{align*}$

che ha soluzione

(34) $\begin{equation*} \{x\in\mathbb{R}:\,x>0 \,\wedge\, x \neq 1\}. \end{equation*}$

Pertanto il dominio naturale di $f$ è

$\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x>0 \mbox{ con } x \neq 1 \right\}.}$

Domini di funzioni goniometriche

Esercizio 18. Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

(35) $\begin{equation*} f(x)=\dfrac{2}{\cos x-1}, \end{equation*}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Gli argomenti delle funzioni goniometriche non danno problemi essendo monomi, in questo caso è sufficiente impostare che il denominatore sia diverso da zero

(36) $\begin{equation*} \cos x - 1 \neq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \neq 2k\pi, \qquad \text{con } k \in \mathbb{Z} \end{equation*}$

Quindi concludiamo che

$\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{D}=\left\{x\in \mathbb{R}:x\neq 2k\pi , \,\, \text{con } k \in \mathbb{Z}\right\}.}$

Esercizio 19. Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

(37) $\begin{equation*} f(x)= \dfrac{1}{1+\cos^2x-\sin x}, \end{equation*}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Per calcolare il dominio della funzione imponiamo il denominatore diverso da zero

(38) $\begin{equation*} \begin{aligned} &1+\cos^2x-\sin x\neq 0 \quad \Leftrightarrow \quad 1+1-\sin^2 x-\sin x \neq 0 \quad \Leftrightarrow \quad \\ &\Leftrightarrow \quad \sin^2 x+\sin x -2 \neq 0\quad \Leftrightarrow \quad \left(\sin x +2\right)\left(\sin x -1\right)\neq 0 \end{aligned} \end{equation*}$

da cui

(39) $\begin{equation*} \sin x \neq 1 \quad \Leftrightarrow \quad x \neq \dfrac{\pi}{2}+2k\pi \quad \text{con}\,\, k \in \mathbb{Z}. \end{equation*}$

Dunque il dominio della funzione è

$\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{D}=\left\{x\in \mathbb{R}:x \neq \dfrac{\pi}{2}+2k\pi \quad \text{con}\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}.}$

Esercizio 20. Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

(40) $\begin{equation*} f(x)=\dfrac{e^x}{\cos^2(x)-\sin^2(x)+\cos^2(2x)}, \end{equation*}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Riscriviamo la funzione come segue⁷

(41) $\begin{equation*} f(x)=\dfrac{e^x}{\cos\left(2x\right)+\cos^2\left(2x\right)}. \end{equation*}$

Il dominio naturale di $f$ è da tutti i numeri reali che rendono il denominatore diverso da zero

(42) $\begin{equation*} \cos\left(2x\right)+\cos^2\left(2x\right) \neq 0. \end{equation*}$

Dunque

(43) $\begin{align*} \cos\left(2x\right)+\cos^2\left(2x\right) \neq 0 & \quad \Leftrightarrow \quad (\cos(2x)+1)\cos(2x)\ne0 \quad \Leftrightarrow \\ & \quad \Leftrightarrow \quad \cos(2x) \neq 0 \vee \cos(2x)+1 \neq 0\quad \Leftrightarrow \quad\\ &\quad \Leftrightarrow \quad 2x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi \vee 2x \neq \pi+2k\pi \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad x\ne\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\vee x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\quad \text{con}\,\, k\in \mathbb{Z}. \end{align*}$

Pertanto il dominio naturale di $f$ è:

$\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{D}=\left\{x\in\mathbb{R} \vert \; x \neq \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\vee x \ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z} \right\} .}$

$\[\]$

Si ricorda che $\cos\left(2x\right)=\cos^2\left(x\right)-\sin^2\left(x\right)$ . ↩

Dominio di funzioni definite con moduli.

Esercizio 21. Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

(44) $\begin{equation*} f(x)=\sqrt{4-\vert x \vert}, \end{equation*}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione.

Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento del radicale non negativo ovvero maggiore o uguale a zero.

Dunque andiamo a trovare i valori reali di $x$ tali che

(45) $\begin{equation*} 4-\vert x \vert \ge 0 \Leftrightarrow \vert x \vert \le 4 \Leftrightarrow -4 \le x \le 4 \end{equation*}$

Pertanto il dominio naturale di $f$ è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, -4 \le x \le 4 \right\}}$

Dominio di combinazioni di funzioni

Esercizio 22. Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

(46) $\begin{equation*} f(x)=\dfrac{3x^2-2}{\vert x+1 \vert -5}, \end{equation*}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali eccetto quelli che annullano il denominatore.

Dunque andiamo a trovare i numeri reali che annullano il denominatore

(47) $\begin{equation*} \vert x+1 \vert -5=0 \quad \Leftrightarrow \quad \vert x+1 \vert = 5 \quad \Leftrightarrow \quad x = 4 \, \vee \, x = -6 \end{equation*}$

Pertanto il dominio naturale di $f$ è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x \neq 4 \, \vee \, x \neq -6\right\}}$

Esercizio 23. Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

(48) $\begin{equation*} f(x)=\ln\left(x^2-2x+1\right) + \sqrt[3]{\dfrac{5-x}{x^3+8}}, \end{equation*}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione.

Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Osserviamo che $f$ è definita se e solo se l’argomento del logaritmo è maggiore di zero e il denominatore della frazione è diverso da zero⁸.

Procediamo pertanto con i calcoli mettendo le condizioni a sistema in quanto devono verificarsi contemporaneamente

(49) $\begin{align*} \begin{cases} x^2-2x+1>0 \\ x^3+8\neq 0 \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\neq 1\\x \neq -2 \end{cases} \end{align*}$

ottenendo quindi

$\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{D} = (-\infty,-2) \cup (-2,1) \cup (1,+\infty) . }$

$\[\]$

Essendo la radice di indice dispari, essa non pone alcuna condizione in più sul suo argomento, dunque, essendo l’argomento una frazione, è sufficiente che il denominatore sia diverso da zero. ↩

Esercizio 24. Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

(50) $\begin{equation*} f(x)=\dfrac{\sqrt{(x^2-9)(x^2-4)}}{\ln(x-2)}, \end{equation*}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione.

Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento della radice maggiore non negativo, l’argomento del logaritmo positivo e il logaritmo stesso diverso da zero. Dunque

(51) $\begin{equation*} \begin{cases} (x^2-9)(x^2-4)\geq0\\ \ln(x-2)\ne0\\ x-2>0 \end{cases} \end{equation*}$

dalla (51) $_1$ ponendo maggiore uguale a zero la prima parentesi si ha

(52) $\begin{equation*} x^2-9\geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad \left \vert x \right \vert \geq 3 \quad \Leftrightarrow \quad x \leq -3 \vee x \geq 3 \end{equation*}$

e facendo lo stesso con la seconda parentesi si ha

(53) $\begin{equation*} x^2-4\geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad \left \vert x \right \vert \geq 2 \quad \Leftrightarrow \quad x \leq -2 \vee x \geq 2 \end{equation*}$

dalle quali viene il seguente studio del segno

Rendered by QuickLaTeX.com

da cui concludiamo che il risultato di (51) $_1$ è:

$\{x\in\mathbb{R}:x\le -3 \, \vee \, -2\le x \le 2 \, \vee \, x \ge 3\}.$

La (51) $_2$ ha come soluzione

(54) $\begin{equation*} \ln\left(x-2\right)\neq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x-2\neq1 \quad \Leftrightarrow \quad x\neq3. \end{equation*}$

La (51) $_3$ è banale e ha come soluzione

(55) $\begin{equation*} \{x\in\mathbb{R}:x>2\}. \end{equation*}$

Pertanto (51) diventa

(56) $\begin{equation*} \begin{cases} x\le -3 \, \vee \, -2\le x \le 2 \, \vee \, x \ge 3\\ x \ne 3\\ x>2 \end{cases} \end{equation*}$

da cui si osserva immediatamente che il risultato è:

(57) $\begin{equation*} \{x\in \mathbb{R}:x>3\}. \end{equation*}$

Pertanto il dominio naturale di $f$ è:

$\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x>3 \right\}.}$

Esercizio 25. Calcolare il dominio naturale della seguente funzione:

(58) $\begin{equation*} f(x)=\dfrac{\arcsin(x^2-1)}{\sqrt{x-7}} \end{equation*}$

Svolgimento.

Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento dell’arcoseno compreso tra $-1$ e $1$ e l’argomento del denominatore positivo⁹. Dunque

(59) $\begin{align*} &\begin{cases} -1\leq x^2-1\leq1\\ x-7>0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x^2-1\geq-1\\x^2-1\leq1\\x>7 \end{cases}\\ \Leftrightarrow \quad &\begin{cases} x^2\geq 0\\ x^2\leq 2\\ x>7 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \forall x \in \mathbb{R}\\ \left \vert x \right \vert \leq \sqrt{2}\\ x>7 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \forall x \in \mathbb{R}\\ -\sqrt{2}\leq x \leq \sqrt{2}\\ x>7 \end{cases} \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

Pertanto il dominio naturale di $f$ è vuoto.

$\[\]$

Essendo al denominatore è necessario che sia diverso da zero. ↩

Tutta la teoria di analisi matematica

Leggi...

Tutte le cartelle di Analisi Matematica

Leggi...

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

Document