Domini – Batteria 1

Dominio di una funzione

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Esercizio 1. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

    \[f(x)=\dfrac{2x-1}{7-x^2}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

Soluzione. Il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali eccetto quelli che annullano il denominatore.
Determiniamo i valori di x \in \mathbb{R} che annullano il denominatore di f:

    \[7-x^2 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 7 \quad \Leftrightarrow \quad x = \pm \sqrt{7}.\]

Dunque il dominio naturale di f è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x \neq \pm \sqrt{7} \right\}.}\]

 

Esercizio 2. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

    \[f(x)=x^3-2x^2-3x-2\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

Soluzione. Il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali essendo un polinomio. Pertanto possiamo scrivere

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \mathbb{R}.}\]

 

Esercizio 3. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

    \[f(x)=\dfrac{1-x^2}{x^2+x+3}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

Soluzione. Il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali eccetto quelli che annullano il denominatore.
Determiniamo i valori di x \in \mathbb{R} che annullano il denominatore di f:

    \[x^2+x+3 = 0\]

ma ci accorgiamo che x^2+x+3 è irriducibile in \mathbb{R} (ha \Delta = -11 < 0).
Allora non esistono numeri reali che annullano il denominatore e il dominio naturale di f è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \mathbb{R}.}\]

 

Esercizio 4. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

    \[f(x)=\sqrt{x^2-2x-2}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

Soluzione. Il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali che rendono il radicando non negativo.
Dunque dobbiamo porre

    \[x^2-2x-2 \ge 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \le 1-\sqrt{3} \, \vee \, x \ge 1+\sqrt{3}\]

e il dominio naturale di f è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x \le 1-\sqrt{3} \, \vee \, x \ge 1+\sqrt{3} \right\}.}\]

 

Esercizio 5. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

    \[f(x)=\dfrac{x\sqrt{x-3}}{x^2-16}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

Soluzione. Il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali che rendono il radicando al numeratore non negativo e che non annullano il denominatore.
Dunque abbiamo

    \[\begin{cases} x-3 \ge 0\\ x^2-16 \neq 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\ge 3\\ \vert x \vert \neq 4 \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\ge 3\\ x \neq \pm 4 \end{cases}\]

da cui abbiamo soluzione

    \[x\ge 3 \, \mbox{ con } x \neq 4\]

Pertanto il dominio naturale di f è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x\ge 3 \, \mbox{ con } x \neq 4 \right\}.}\]

 


Fonte: Matematika