Dominio di una funzione

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In questo articolo presentiamo 5 esercizi sulla determinazione dell’insieme di definizione (o “dominio”) di una funzione definita da un’espressione. Gli esercizi sono completamente risolti, al fine di consentire una comprensione completa dell’argomento nei suoi dettagli. Segnaliamo anche la successiva raccolta Dominio di una funzione – Esercizi 2 per ulteriore materiale sull’argomento.

Ricordiamo che, oltre all’esauriente lista presente alla fine dell’articolo, è possibile consultare il seguente materiale teorico di riferimento:

Buona lettura!

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\dfrac{2x-1}{7-x^2}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento

Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali eccetto quelli che annullano il denominatore. Determiniamo i valori di $x \in \mathbb{R}$ che annullano il denominatore di $f$ :

$7-x^2 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 7 \quad \Leftrightarrow \quad x = \pm \sqrt{7}.$

Dunque il dominio naturale di $f$ è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x \neq \pm \sqrt{7} \right\}.}$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=x^3-2x^2-3x-2$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento

Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali essendo un polinomio. Pertanto possiamo scrivere

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \mathbb{R}.}$

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\dfrac{1-x^2}{x^2+x+3}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

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