Domini – Batteria 1

Home » Domini – Batteria 1

More results...

Esercizio 1. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\dfrac{2x-1}{7-x^2}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Soluzione. Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali eccetto quelli che annullano il denominatore.
Determiniamo i valori di $x \in \mathbb{R}$ che annullano il denominatore di $f$ :

$7-x^2 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 7 \quad \Leftrightarrow \quad x = \pm \sqrt{7}.$

Dunque il dominio naturale di $f$ è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x \neq \pm \sqrt{7} \right\}.}$

Esercizio 2. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=x^3-2x^2-3x-2$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Soluzione. Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali essendo un polinomio. Pertanto possiamo scrivere

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \mathbb{R}.}$

Esercizio 3. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\dfrac{1-x^2}{x^2+x+3}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

$x^2+x+3 = 0$

ma ci accorgiamo che $x^2+x+3$ è irriducibile in $\mathbb{R}$ (ha $\Delta = -11 < 0$ ).
Allora non esistono numeri reali che annullano il denominatore e il dominio naturale di $f$ è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \mathbb{R}.}$

Esercizio 4. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\sqrt{x^2-2x-2}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Soluzione. Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali che rendono il radicando non negativo.
Dunque dobbiamo porre

$x^2-2x-2 \ge 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \le 1-\sqrt{3} \, \vee \, x \ge 1+\sqrt{3}$

e il dominio naturale di $f$ è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x \le 1-\sqrt{3} \, \vee \, x \ge 1+\sqrt{3} \right\}.}$

Esercizio 5. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\dfrac{x\sqrt{x-3}}{x^2-16}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Soluzione. Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali che rendono il radicando al numeratore non negativo e che non annullano il denominatore.
Dunque abbiamo

$\begin{cases} x-3 \ge 0\\ x^2-16 \neq 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\ge 3\\ \vert x \vert \neq 4 \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\ge 3\\ x \neq \pm 4 \end{cases}$

da cui abbiamo soluzione

$x\ge 3 \, \mbox{ con } x \neq 4$

Pertanto il dominio naturale di $f$ è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x\ge 3 \, \mbox{ con } x \neq 4 \right\}.}$

Fonte: Matematika