Login Abbonati
Accedi ai contenuti scaricabili
a

Menu

M

Chiudi

Determinazione degli asintoti di una funzione

Calcolo asintoti

Home » Determinazione degli asintoti di una funzione

Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi dedicati allo studio degli asintoti di funzioni reali di variabile reale. In questo articolo troverete 7 problemi sulla determinazione del campo di esistenza e dei vari asintoti di espressioni di funzioni. Essi sono dettagliatamente svolti, per consentire al lettore di comprendere in maniera chiara e profonda le tecniche risolutive e le strategie adottate. La raccolta risulta quindi di valido aiuto agli studenti degli istituti superiori e dei corsi di Analisi Matematica 1, per approfondire la loro preparazione pratica sull’argomento.

Consigliamo la seguente teoria di riferimento:

Segnaliamo inoltre le seguenti raccolte di esercizi su argomenti affini:

 

Sommario

Leggi...

Questo file contiene una serie di esercizi mirati a rafforzare la comprensione e l’applicazione pratica del concetto di asintoti nelle funzioni matematiche. Gli esercizi coprono i tre tipi principali di asintoti: orizzontali, obliqui e verticali. Ogni esercizio è accompagnato da una soluzione dettagliata che illustra il processo di calcolo e ragionamento per determinare l’esistenza e l’equazione degli asintoti.

 
 

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Donato Ciampa

Revisori: Francesco Paolo Maiale, Matteo Talluri, Giulio Binosi.


 
 

Esercizi

 

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare dominio e asintoti della funzione

    \[ f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2-1}{x^3-x}. \]

Svolgimento.

La funzione è data dal rapporto tra due polinomi, perciò per determinare il dominio è sufficiente studiare gli zeri del denominatore. In particolare, osserviamo che

    \[ x^3-x=0 \iff x(x^2-1) = 0, \]

e questa ha come soluzioni x_1=0 ed x_{2,3}=\pm 1. Il dominio di f è dunque dato da

    \[ D = (-\infty,-1) \cup (-1,0) \cup (0,1) \cup (1,+\infty). \]

Dato che il dominio è simmetrico rispetto all’origine, verifichiamo se la funzione f ha qualche simmetria:

    \[\begin{aligned} f(-x) & = \frac{(-x)^4 - (-x)^3 + (-x)^2 - 1}{(-x)^3 - (-x)} = \frac{(-x)^4 - (-x)^3 + (-x)^2 - 1}{(-x)^3 - (-x)} \\ & = \frac{x^4 + x^3 - x^2 - 1}{-x^3 +x} \neq \pm f(x), \end{aligned}\]

ovvero f non è pari o dispari. Valutiamo ora l’esistenza di asintoti orizzontali, obliqui e verticali:

    \[\quad\]

  • Asintoti orizzontali. I limiti a \pm \infty, ovvero

        \[ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^4 - x^3+x^2-1}{x^3-x}, \]

    si possono risolvere facilmente raccogliendo i termini di grado maggiore a numeratore e denominatore:

        \[ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^4}{x^3} \frac{1-1/x + 1/x^2-1/x^4}{1 - 1/x^2} = \lim_{x \to \pm \infty} x = \pm \infty. \]

    In particolare, non ci sono asintoti orizzontali.

    •  

  • Asintoti obliqui. Iniziamo con il calcolo dei coefficienti angolari, ovvero:

        \[ m_\pm = \lim_{x\to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^4}{x^4} \frac{1-1/x + 1/x^2-1/x^4}{1 - 1/x^2} = \lim_{x \to \pm \infty} 1 = 1. \]

    Per quanto riguarda il termine noto, abbiamo, invece

        \[\begin{aligned} q_\pm & = \lim_{x\to \pm \infty} \left( f(x) - m_\pm x \right) = \lim_{x\to \pm \infty}\left( f(x) - x \right) \\ & = \lim_{x\to \pm \infty} \frac{x^4 - x^3 + x^2 - 1 - x(x^3-x)}{x^3-x} \\ & = \lim_{x\to \pm \infty} \frac{- x^3 + 2x^2 - 1}{x^3-x} = - 1, \end{aligned}\]

    da cui segue che la retta y = x - 1 è un asintoto obliquo sia per x \to + \infty che per x \to - \infty.

    •  

  • Asintoti verticali. Calcoliamo i limiti da destra e sinistra nei punti di discontinuità, ovvero in x=\pm 1 ed in x = 0. Nel primo caso, si ha

        \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{2}{x(x^2-1)} = \frac{2}{- 0^+} = - \infty, \]

    mentre

        \[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{2}{x(x^2-1)} = \frac{2}{- 0^-} = + \infty, \]

    perciò x=-1 è un asintoto verticale. In x=0, si ha

        \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-1}{x(x^2-1)} = \frac{-1}{-0^-} = - \infty, \]

    mentre

        \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{-1}{x(x^2-1)} = \frac{-1}{- 0^+} = + \infty, \]

    perciò anche x=0 è un asintoto verticale. Tuttavia, un ragionamento analogo non vale in x=1 perché anche il numeratore si annulla; infatti, si ha

        \[ x^4-x^3+x^2-1 = (x-1)(x^3+x+1) \]

    perciò

        \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{ (x-1)(x^3+x+1)}{x(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^3+x+1}{x(x+1)} = \frac32, \]

    ovvero la funzione è continua in x=1.

Riepilogo degli Asintoti

Riepilogo degli Asintoti
    • Asintoti orizzontali: Non ci sono asintoti orizzontali, poiché il limite per x \to \pm \infty di f(x) tende a infinito.

      •  

    • Asintoti obliqui: Esiste un asintoto obliquo dato dalla retta y = x - 1 sia per x \to + \infty sia per x \to - \infty.

      •  

    • Asintoti verticali: Ci sono due asintoti verticali:

        \[\quad\]

    1. In x = -1, con \lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty e \lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty.

      2.  

    2. In x = 0, con \lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty e \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty.

    Non vi è asintoto verticale in x = 1, poiché la funzione risulta continua in quel punto.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare dominio e asintoti della funzione

    \[ f(x)=\arctan\frac{x^2}{x+1}. \]

Svolgimento.

L’argomento dell’arcotangente è dato dal rapporto tra due polinomi, perciò cerchiamo gli zeri del denominatore. In particolare, osserviamo che

    \[ x+1=0 \iff x = -1. \]

Il dominio di f è dunque dato da

    \[ D = (-\infty,-1) \cup (-1,+\infty). \]

Dato che questo non risulta simmetrico rispetto all’origine, non ha senso chiedersi se f abbia qualche simmetria. Passiamo allo studio dell’esistenza di asintoti orizzontali, obliqui e verticali:

    \[\quad\]

  • Asintoti orizzontali. Osserviamo immediatamente che il limite

        \[ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \arctan \frac{x^2}{x+1} \]

    si può risolvere sfruttando la continuità della funzione \arctan(x) e il fatto che

        \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2}{x+1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to \pm \infty}x = \pm \infty. \]

    Si ha dunque

        \[ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \arctan x = \pm \frac \pi2. \]

    In particolare, y=\pi/2 è un asintoto orizzontale a destra e y = - \pi/2 a sinistra.

    •  

  • Asintoti verticali. Controlliamo i limiti destri e sinistri nel punto di discontinuità x=-1. Si ha

        \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \arctan \frac{x^2}{x+1} = \arctan \frac{1}{0^-} = - \frac\pi2 \]

    mentre

        \[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \arctan \frac{x^2}{x+1} = \arctan \frac{1}{0^+} = \frac\pi2, \]

    dunque x=-1 è una discontinuità con salto (o di prima specie). Di conseguenza, la funzione non ammette asintoti verticali.

Riepilogo degli Asintoti
    • Asintoti orizzontali: y = \dfrac{\pi}{2} è un asintoto orizzontale per x \to +\infty e y = -\dfrac{\pi}{2} è un asintoto orizzontale per x \to -\infty.

      •  

    • Asintoti verticali: La funzione non ammette asintoti verticali; in x = -1 si presenta invece una discontinuità di prima specie (salto).


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare dominio e asintoti della funzione

    \[ f(x)=\arcsin \left( {\frac {x-1}{{x}^{2}-2}} \right). \]

Svolgimento.

Il dominio della funzione \arcsin(x) consiste nell’intervallo chiuso [-1,1], perciò ci concentriamo sul risolvere la disequazione associata:

    \[ -1 \le \frac{x-1}{x^2-2} \le 1 \]

e, successivamente, escludiamo dal dominio i punti in cui si annulla il denominatore (x=\pm \sqrt 2). La disequazione in esame è equivalente al sistema

    \[ \begin{cases} \dfrac{x-1}{x^2-2} \le 1 \\[8pt] \dfrac{x-1}{x^2-2} \ge -1 \end{cases} \]

Risolviamo dettagliatamente la prima e lasciamo la seconda come esercizio per il lettore. Si ha

    \[ \frac{x-1}{x^2-2} \le 1 \iff \frac{x-1 - (x^2-2)}{x^2-2} \le 0 \iff \frac{-x^2 + x +1}{x^2-2} \le 0. \]

Il denominatore è negativo quando x \in (-\sqrt 2, \sqrt 2) e positivo altrimenti, mentre il numeratore soddisfa

    \[ -x^2 + x + 1 = 0 \iff x_{1,2} = \frac12 \pm \frac{\sqrt 5}{2} \]

perciò, tenendo conto del segno - davanti al termine di secondo grado, è positivo in

    \[ \left(\frac12 - \frac{\sqrt 5}{2}, \frac12 + \frac{\sqrt 5}{2} \right) \]

e negativo altrove. Un rapporto è negativo quando i segni di numeratore e denominatore sono opposti, perciò troviamo che (\pm \sqrt 2 sono già esclusi perché annullano il denominatore):

    \[ \frac{x-1}{x^2-2} \le 1 \iff x \in (-\infty,-\sqrt 2) \cup \left[ \frac12 \pm \frac{\sqrt 5}{2}, \sqrt 2 \right) \cup \left[\frac12 + \frac{\sqrt 5}{2}, + \infty \right) \]

Risolvendo analogamente l’altra disequazione e intersecando gli insiemi, si trova il dominio

    \[ D = \left(-\infty, - \frac12 \left(1 + \sqrt{13} \right) \right] \cup \left[ \frac12 \left(1-\sqrt 5\right), \frac12 \left(\sqrt{13}-1\right) \right] \cup \left[\frac12 \left( 1 + \sqrt 5\right) + \infty \right). \]

Valutiamo ora l’esistenza di asintoti orizzontali, verticali ed obliqui:

    \[\quad\]

  • Asintoti orizzontali. Il limite

        \[ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \arcsin \frac{x-1}{x^2-2} \]

    si può risolvere facilmente grazie alla continuità della funzione \arcsin(x) e il fatto che

        \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x-1}{x^2-2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to \pm \infty}\frac1x = 0. \]

    Si ha dunque

        \[ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \arcsin 0 = 0. \]

    In particolare, y=0 è un asintoto orizzontale sia per x \to + \infty che per x \to - \infty.

    •  

  • Asintoti verticali. Controlliamo i limiti nei punti di discontinuità. In questo caso, tuttavia, i limiti sono ben definiti soltanto da una direzione in ognuno dei quattro punti. Ad esempio,

        \[ \lim_{x \to (- 1/2 - \sqrt{13}/2)^-} f(x) = - \frac\pi2. \]

    Anche negli altri punti si verifica facilmente che il limite è \pi/2 o -\pi/2; in ogni caso, non ci sono asintoti verticali.

Riepilogo degli Asintoti
      • Asintoti orizzontali: y = 0 è un asintoto orizzontale sia per x \to +\infty che per x \to -\infty.

        •  

      • Asintoti verticali: La funzione non ammette asintoti verticali, ma presenta discontinuità di prima specie in alcuni punti, ad esempio in x = - \dfrac12 \left(1 + \sqrt{13}\right), con limite \lim_{x \to (- 1/2 - \sqrt{13}/2)^-} f(x) = - \dfrac\pi2.


 
 

Esercizio 4 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare dominio e asintoti della funzione

    \[ f(x)=\frac{\cos x-1}{x}. \]

Svolgimento.

Il numeratore è dato da una funzione continua, perciò è sufficiente escludere il punto in cui si annulla il denominatore. Ne segue che:

    \[ D = (-\infty,0) \cup (0,+\infty). \]

Il dominio è simmetrico rispetto l’origine e il coseno è una funzione pari (\cos (-x) = \cos x), perciò osserviamo che

    \[ f(-x) = \frac{\cos(-x) - 1}{-x} = - \frac{\cos x - 1}{x} = - f(x), \]

dunque la funzione è dispari. In particolare, nello studio degli asintoti possiamo limitarci alla semiretta positiva (0,\infty) del dominio:

    \[\quad\]

  • Asintoti orizzontali. La funzione \cos x è limitata in [-1,1], perciò

        \[ \cos x - 1 \in [-2, 0] \qquad \text{per ogni } x \in D. \]

    Di conseguenza, al limite a + \infty il denominatore determina il risultato:

        \[ \lim_{x \to + \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\cos x - 1}{x} = 0. \]

    In particolare, y=0 è un asintoto orizzontale sia destro che (per simmetria) sinistro.

    •  

  • Asintoti verticali. La funzione ha un unico punto di discontinuità, x=0. Ricordando che

        \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = - \frac12, \]

    si deduce facilmente che

        \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{- x^2/2}{x} = \lim_{x \to 0^+} - \frac x2 = 0. \]

    Inoltre, per simmetria anche il limite da sinistra ha lo stesso valore: ne segue che la funzione f non ammette asintoti verticali.

    Riepilogo degli Asintoti
        • Asintoti orizzontali: y = 0 è un asintoto orizzontale sia per x \to +\infty che per x \to -\infty.

          •  

        • Asintoti verticali: La funzione non ammette asintoti verticali, poiché il limite \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 e, per simmetria, anche \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0.


 
 

Esercizio 5 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare dominio e asintoti della funzione

    \[ f(x)=\sqrt{x^2-4}. \]

Svolgimento.

Per il dominio è sufficiente imporre l’argomento della radice maggiore di o uguale a zero:

    \[ x^2 - 4 \ge 0 \iff (x-2)(x+2) \ge 0, \]

che ha come soluzione

    \[ D = (- \infty, -2] \cup [2, + \infty). \]

La funzione è chiaramente pari (f(x)=f(-x)) dato che l’unico termine che appare è x^2. Di conseguenza, ci concentriamo a studiare la funzione su

    \[ D_+ := [2,+\infty). \]

E’ facile vedere che

    \[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = 0, \]

perciò la funzione non ammette asintoti verticali. Calcoliamo dunque il limite a + \infty; si ha

    \[ \lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty, \]

perciò non ci sono asintoti orizzontali (per simmetria, anche a - \infty il limite ha lo stesso valore). Infine, passiamo allo studio dell’esistenza di asintoti obliqui a partire dal coefficiente angolare:

    \[ m_+ = \lim_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to + \infty} \sqrt{1 - \frac4{x^2}} = 1. \]

Ovviamente, dato che la funzione f(x) è pari, il rapporto f(x)/x è dispari:

    \[ \frac{f(-x)}{-x} = - \frac{f(-x)}{x} \stackrel{\text{f pari}}{=}- \frac{f(x)}{x}. \]

Di conseguenza, il coefficiente angolare m_- soddisfa m_- = - m_+ = -1. Il termine noto, invece, è dato da

    \[ q_+ = \lim_{x \to + \infty} f(x) - m_+ x = \lim_{x \to + \infty} \sqrt{x^2-4} - x. \]

Per risolvere questo limite possiamo razionalizzare moltiplicando e dividendo:

    \[ \sqrt{x^2-4} - x = \left( \sqrt{x^2-4}- x \right) \frac{\sqrt{x^2-4}+ x}{ \sqrt{x^2-4} + x} = \frac{x^2-4 - x^2}{\sqrt{x^2-4}+x} = - \frac{4}{ \sqrt{x^2-4}+ x}, \]

da cui segue che

    \[ q_+ = - \lim_{x \to + \infty}\frac{4}{ \sqrt{x^2-4}+ x} = 0. \]

Analogamente, si mostra che q_- = 0. Pertanto, la retta y=x è un asintoto obliquo per x\to + \infty mentre y=-x è un asintoto obliquo per x \to - \infty.

Riepilogo degli Asintoti
      • Asintoti orizzontali: Non ci sono asintoti orizzontali, poiché \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = + \infty.

        •  

      • Asintoti verticali: La funzione non ammette asintoti verticali, poiché \lim_{x \to 2^+} f(x) = 0 e \lim_{x \to -2^-} f(x) = 0.

       

    • Asintoti obliqui: Esistono due asintoti obliqui:

          \[\quad\]

      1. y = x per x \to + \infty.

        2.  

      2. y = -x per x \to - \infty.


 
 

Esercizio 6 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare dominio e asintoti della funzione

    \[ f(x)=x e^{-1/|x|}. \]

Svolgimento.

La funzione è ben definita ovunque tranne che nel punto in cui si annulla il denominatore dell’esponente, ovvero in x=0. Il dominio è dunque:

    \[ D = (-\infty,0) \cup (0,+ \infty). \]

Inoltre, è data dal prodotto di una funzione dispari (-x) con una funzione pari e^{-1/|x|}, perciò f(-x)=-f(x) e possiamo studiarla sulla sola semiretta positiva:

    \[ D_+ = (0,+\infty). \]

Il vantaggio è che possiamo sviluppare il modulo |x|=x dato che in D_+ si ha x>0. Inoltre, dato che

    \[ \lim_{x \to 0^+} - \frac1x = - \infty, \]

sfruttando la continuità della funzione esponenziale si trova il limite in 0^+:

    \[ \lim_{x \to 0^+} - x e^{-1/x} = 0. \]

In particolare, non ci sono asintoti verticali ed x=0 risulta essere una discontinuità eliminabile per f. Per quanto riguarda gli asintoti orizzontali, ricordando che

    \[ \lim_{x \to + \infty} e^{-1/x} = 1, \]

è facile vedere che

    \[ \lim_{x \to + \infty} x e^{-1/x} = + \infty, \]

ovvero la funzione non ammette asintoti orizzontali a destra o a sinistra (per simmetria). Infine, calcolando i coefficienti angolari di eventuali asintoti obliqui otteniamo:

    \[ m_+ = \lim_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to + \infty} e^{-1/x} = 1. \]

Il coefficiente angolare m_- coincide con m_+ per simmetria; infatti, se la funzione f(x) è dispari, allora il rapporto f(x)/x è pari:

    \[ \frac{f(-x)}{-x} = \frac{-f(x)}{-x} = \frac{f(x)}{x}. \]

Il termine noto è dato da

    \[ q_+ = \lim_{x \to + \infty} f(x) - m_+ x = \lim_{x \to + \infty} x ( e^{-1/x} - 1) = -1 \]

usando opportunamente il limite notevole \lim_{y \to 0} (e^y-1)/y = 1. Pertanto, usando la simmetria, la retta y=x-1 è un asintoto obliquo sia destro che sinistro per f(x).

Riepilogo degli Asintoti
    • Asintoti orizzontali: Non ci sono asintoti orizzontali, poiché \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty.

      •  

    • Asintoti verticali: La funzione non ammette asintoti verticali; x=0 è una discontinuità eliminabile.

      •  

    • Asintoti obliqui: La retta y = x - 1 è un asintoto obliquo sia per x \to + \infty che per x \to - \infty.


 
 

Esercizio 7 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare dominio e asintoti della funzione

    \[ f(x)=\frac{\sqrt[3]{x} \log|x|}{\log|x+1|}. \]

Svolgimento.

Il dominio della funzione è determinato dagli argomenti dei logaritmi (che devono essere strettamente positivi) e dal termine a denominatore. In particolare, vediamo che

    \[ |x| > 0 \quad \text{e} \quad |x+1| > 0 \]

sono sempre soddisfatte (grazie al modulo) tranne che nei punti x = 0 e x = -1. Inoltre, il denominatore si annulla se e solo se l’argomento del logaritmo è uno:

    \[ \log |x+1| = 0 \iff |x+1| = 1 \iff x = -2 \text{ oppure } x = 0. \]

In particolare, il dominio della funzione risulta essere:

    \[ D = (- \infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (-1,0) \cup (0, +\infty). \]

Il dominio non è simmetrico rispetto l’origine, perciò non ha senso chiedersi se f sia pari o dispari. Valutiamo ora l’esistenza di asintoti orizzontali, verticali ed obliqui:

    \[\quad\]

  • Asintoti orizzontali. Per x \to \pm \infty, il logaritmo di |x| e quello di |x+1| si comportano allo stesso modo, perciò la radice cubica determina il valore dei limiti:

        \[ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \sqrt[3]{x} = \pm \infty. \]

    Di conseguenza, la funzione non ammette asintoti orizzontali.

    •  

  • Asintoti obliqui: Iniziamo con il calcolo dei coefficienti angolari, ovvero:

        \[ m_\pm = \lim_{x\to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\sqrt[3]{x}}{x} \frac{\log |x|}{\log|x+1|} = \lim_{x \to \pm \infty} x^{-2/3} = 0. \]

    In particolare, la funzione non ammette neanche asintoti obliqui.

    •  

  • Asintoti verticali. Controlliamo i limiti destri e sinistri nei punti della retta reale in cui f non è definita. Ad esempio, in x=-2 il limite sinistro è dato da

        \[ \lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^-} \frac{- \sqrt[3]{2} \log 2}{0^+} = - \infty, \]

    ed analogamente

        \[ \lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} \frac{- \sqrt[3]{2} \log 2}{0^-} = +\infty. \]

    Possiamo svolgere lo stesso calcolo in x=-1, per cui si vede facilmente che

        \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = 0 \]

    dato che il termine \log 1^\pm appare al numeratore e, di conseguenza, il fatto che vada a zero da destra o sinistra non influenza il risultato finale. Infine, in x=0 abbiamo

        \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = - \infty. \]

    Un’idea per svolgerli formalmente è quella di, ad esempio, sviluppare in Taylor il logaritmo in x=0 come segue (dopo aver rimosso il modulo dato che x+1>0 in un intorno di x=0):

        \[ \log|x+1| = \log(x+1) = x + \mathcal O(x^2). \]

    Si ha

        \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{ \sqrt[3]{x} }{x} \log|x|, \]

    e dato che entrambi i termini divergono basta osservare che il primo è positivo ed il secondo negativo per stabilire che il risultato sia -\infty. Il limite destro si fa in maniera del tutto analoga.

    In conclusione, la retta x=0 e la retta x=-2 sono asintoti verticali, mentre x=-1 è un punto di discontinuità eliminabile per f.

    Riepilogo degli Asintoti
      • Asintoti orizzontali: Non ci sono asintoti orizzontali, poiché \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty.

        •  

      • Asintoti obliqui: La funzione non ammette asintoti obliqui, poiché il coefficiente angolare m_\pm = 0.

        •  

      • Asintoti verticali: Esistono due asintoti verticali:

          \[\quad\]

      1. x = 0, con \lim_{x \to 0^\pm} f(x) = - \infty.

        2.  

      2. x = -2, con \lim_{x \to -2^-} f(x) = - \infty e \lim_{x \to -2^+} f(x) = + \infty.

      Il punto x = -1 è una discontinuità eliminabile.


 
 

Riferimenti bibliografici

Leggi...

[1] Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed., Cengage Learning, 2015. Chapter 3.5: Limits at Infinity and Horizontal Asymptotes.

[2] Thomas, George B., Weir, Maurice D., and Hass, Joel. Thomas’ Calculus. 14th ed., Pearson, 2017. Section 2.6: Limits at Infinity; Asymptotes of Graphs.

[3] Larson, Ron, and Edwards, Bruce H. Calculus. 11th ed., Cengage Learning, 2017. Chapter 2: Limits and Derivatives.

[4] OpenStax. Calculus Volume 1. OpenStax, 2016. Chapter 3.5: Asymptotes and Unbounded Behavior.

[5] Spivak, Michael. Calculus. 4th ed., Publish or Perish, 2008.

[6] Qui Si Risolve, Funzioni elementari.

[7] Qui Si Risolve, Funzioni elementari – volume 1.

[8] Qui Si Risolve, Funzioni elementari – volume 2.

[9] Qui Si Risolve, Funzioni goniometriche.

[10] Qui Si Risolve, La teoria delle funzioni continue.

[11] Qui Si Risolve, Teoria sui limiti.

[12] Qui Si Risolve, I teoremi di de l’Hôpital.

[13] Qui Si Risolve, Polinomi di Taylor nei limiti: istruzioni per l’uso.

[14] Qui Si Risolve, Espansione di Taylor: teoria, esempi e applicazioni pratiche.


 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 7 esercizi svolti sulla determinazione degli asintoti di una funzione.

 

Tutta la teoria di analisi matematica

Leggi...

  1. Teoria Insiemi
  2. Il metodo della diagonale di Cantor
  3. Logica elementare
  4. Densità dei numeri razionali nei numeri reali
  5. Insiemi Numerici \left(\mathbb{N},\, \mathbb{Z},\, \mathbb{Q}\right)
  6. Il principio di induzione
  7. Gli assiomi di Peano
  8. L’insieme dei numeri reali: costruzione e applicazioni
  9. Concetti Fondamentali della Retta Reale: Sintesi Teorica
  10. Costruzioni alternative di \mathbb{R}
  11. Binomio di Newton
  12. Spazi metrici, un’introduzione
  13. Disuguaglianza di Bernoulli
  14. Disuguaglianza triangolare
  15. Teoria sulle funzioni
  16. Funzioni elementari: algebriche, esponenziali e logaritmiche
  17. Funzioni elementari: trigonometriche e iperboliche
  18. Funzioni goniometriche: la guida essenziale
  19. Teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni
  20. Criterio del rapporto per le successioni
  21. Definizione e proprietà del numero di Nepero
  22. Limite di una successione monotona
  23. Successioni di Cauchy
  24. Il teorema ponte
  25. Teoria sui limiti
  26. Simboli di Landau
  27. Funzioni continue – Teoria
  28. Il teorema di Weierstrass
  29. Il teorema dei valori intermedi
  30. Il teorema della permanenza del segno
  31. Il teorema di Heine-Cantor
  32. Il teorema di esistenza degli zeri
  33. Il metodo di bisezione
  34. Teorema ponte versione per le funzioni continue
  35. Discontinuità di funzioni monotone
  36. Continuità della funzione inversa
  37. Teorema delle contrazioni o Teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli
  38. Teoria sulle derivate
  39. Calcolo delle derivate: la guida pratica
  40. Teoria sulle funzioni convesse
  41. Il teorema di Darboux
  42. I teoremi di de l’Hôpital
  43. Teorema di Fermat
  44. Teoremi di Rolle e Lagrange
  45. Il teorema di Cauchy
  46. Espansione di Taylor: teoria, esempi e applicazioni pratiche
  47. Polinomi di Taylor nei limiti: istruzioni per l’uso
  48. Integrali definiti e indefiniti
  49. Teorema fondamentale del calcolo integrale (approfondimento)
  50. Integrali ricorsivi
  51. Formule del trapezio, rettangolo e Cavalieri-Simpson
  52. Teoria sugli integrali impropri
  53. Funzioni integrali – Teoria
  54. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di ingegneria — versione semplificata)
  55. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di matematica o fisica)
  56. Serie numeriche: la guida completa
  57. Successioni di funzioni – Teoria
  58. Teoremi sulle successioni di funzioni
    1. 58a. Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme
    2. 58b. Limite uniforme di funzioni continue
    3. 58c. Passaggio al limite sotto il segno di integrale
    4. 58d. Limite uniforme di funzioni derivabili
    5. 58e. Piccolo teorema del Dini
    6. 58f. Procedura diagonale e teorema di Ascoli-Arzela
  59. Serie di funzioni – Teoria
  60. Serie di potenze – Teoria
  61. Serie di Fourier – Teoria e applicazioni
  62. Integrali multipli — Parte 1 (teoria)
  63. Integrali multipli — Parte 2 (teoria e esercizi misti)
  64. Regola della Catena — Teoria ed esempi.
  65. Jacobiano associato al cambiamento di coordinate sferiche
  66. Guida ai Massimi e Minimi: Tecniche e Teoria nelle Funzioni Multivariabili
  67. Operatore di Laplace o Laplaciano
  68. Teoria equazioni differenziali
  69. Equazione di Eulero
  70. Teoria ed esercizi sulla funzione Gamma di Eulero
  71. Teoria ed esercizi sulla funzione Beta
  72. Approfondimento numeri complessi
  73. Diverse formulazioni dell’assioma di completezza
  74. Numeri di Delannoy centrali
  75. Esercizi avanzati analisi

 
 

Tutte le cartelle di Analisi Matematica

Leggi...

  1. Prerequisiti di Analisi
    1. Ripasso algebra biennio liceo
    2. Ripasso geometria analitica
    3. Ripasso goniometria e trigonometria
    4. Errori tipici da evitare
    5. Insiemi numerici N,Z,Q,R
    6. Funzioni elementari
    7. Logica elementare
    8. Insiemi
  2. Successioni
    1. Teoria sulle Successioni
    2. Estremo superiore e inferiore
    3. Limiti base
    4. Forme indeterminate
    5. Limiti notevoli
    6. Esercizi misti Successioni
    7. Successioni per ricorrenza
  3. Funzioni
    1. Teoria sulle funzioni
    2. Verifica del limite in funzioni
    3. Limite base in funzioni
    4. Forme indeterminate in funzioni
    5. Limiti notevoli in funzioni
    6. Calcolo asintoti
    7. Studio di funzione senza derivate
    8. Dominio di una funzione
    9. Esercizi misti Funzioni
    10. Esercizi misti sui Limiti
  4. Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
    1. Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
    2. Continuità delle funzioni
    3. Continuità uniforme
    4. Teorema degli zeri
    5. Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate
  5. Calcolo differenziale
    1. Derivate
    2. Calcolo delle derivate
    3. Retta tangente nel calcolo differenziale
    4. Punti di non derivabilità nel calcolo differenziale
    5. Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate
    6. Studio di funzione completo nel calcolo differenziale
    7. Esercizi teorici nel calcolo differenziale
    8. Metodo di bisezione
    9. Metodo di Newton
  6. Teoremi del calcolo differenziale
    1. Teoria sui Teoremi del calcolo differenziale
    2. Teorema di Rolle
    3. Teorema di Lagrange
    4. Teorema di Cauchy
    5. Teorema di De L’Hôpital
  7. Calcolo integrale
    1. Integrale di Riemann
    2. Integrali immediati
    3. Integrale di funzione composta
    4. Integrali per sostituzione
    5. Integrali per parti
    6. Integrali di funzione razionale
    7. Calcolo delle aree
    8. Metodo dei rettangoli e dei trapezi
    9. Esercizi Misti Integrali Indefiniti
    10. Esercizi Misti Integrali Definiti
  8. Integrali impropri
    1. Teoria Integrali impropri
    2. Carattere di un integrale improprio
    3. Calcolo di un integrale improprio
  9. Espansione di Taylor
    1. Teoria Espansione di Taylor
    2. Limiti di funzione con Taylor
    3. Limiti di successione con Taylor
    4. Stime del resto
  10. Funzioni integrali (Approfondimento)
    1. Teoria Funzioni integrali (Approfondimento)
    2. Studio di funzione integrale
    3. Limiti con Taylor e De L’Hôpital
    4. Derivazione di integrali parametrici (Tecnica di Feynmann)
  11. Numeri Complessi
    1. Teoria Numeri complessi
    2. Espressioni con i numeri complessi
    3. Radice di un numero complesso
    4. Equazioni con i numeri complessi
    5. Disequazioni con i numeri complessi
    6. Esercizi misti Numeri complessi
  12. Serie numeriche
    1. Teoria Serie numeriche
    2. Esercizi Serie a termini positivi
    3. Esercizi Serie a termini di segno variabile
    4. Esercizi Serie geometriche e telescopiche
  13. Successioni di funzioni
    1. Teoria Successioni di funzioni
    2. Esercizi Successioni di funzioni
  14. Serie di funzioni
    1. Teoria Serie di funzioni
    2. Esercizi Serie di funzioni
  15. Serie di potenze
    1. Teoria Serie di potenze
    2. Esercizi Serie di potenze
  16. Serie di Fourier
    1. Teoria Serie di Fourier
    2. Esercizi Serie di Fourier
  17. Trasformata di Fourier
    1. Teoria Trasformata di Fourier
    2. Esercizi Trasformata di Fourier
  18. Funzioni di più variabili
    1. Teoria Funzioni di più variabili
    2. Massimi e minimi liberi e vincolati
    3. Limiti in due variabili
    4. Integrali doppi
    5. Integrali tripli
    6. Integrali di linea di prima specie
    7. Integrali di linea di seconda specie
    8. Forme differenziali e campi vettoriali
    9. Teorema di Gauss-Green
    10. Integrali di superficie
    11. Flusso di un campo vettoriale
    12. Teorema di Stokes
    13. Teorema della divergenza
    14. Campi solenoidali
    15. Teorema del Dini
  19. Equazioni differenziali lineari e non lineari
    1. Teoria equazioni differenziali lineari e non lineari
    2. Equazioni differenziali lineari e non lineari del primo ordine omogenee
  20. Equazioni differenziali lineari
    1. Del primo ordine non omogenee
    2. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,omogenee
    3. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,non omogenee
    4. Di Eulero,di Bernoulli,di Clairaut,di Lagrange e di Abel
    5. Non omogenee avente per omogenea associata un’equazione di Eulero
    6. Sistemi di EDO
  21. Equazioni differenziali non lineari
    1. A variabili separabiliO
    2. A secondo membro omogeneo
    3. Del tipo y’=y(ax+by+c)
    4. Del tipo y’=y(ax+by+c)/(a’x+b’y+c’)
    5. Equazioni differenziali esatte
    6. Mancanti delle variabili x e y
    7. Cenni sullo studio di un’assegnata equazione differenziale non lineare
    8. Di Riccati
    9. Cambi di variabile: simmetrie di Lie
  22. Analisi complessa
    1. Fondamenti
    2. Funzioni olomorfe
    3. Integrale di Cauchy e applicazioni
    4. Teorema della curva di Jordan e teorema fondamentale dell’Algebra
    5. Teorema di inversione di Lagrange
    6. Teorema dei Residui
    7. Funzioni meromorfe
    8. Prodotti infiniti e prodotti di Weierstrass
    9. Continuazione analitica e topologia
    10. Teoremi di rigidità di funzioni olomorfe
    11. Trasformata di Mellin
  23. Equazioni alle derivate parziali
    1. Equazioni del primo ordine
    2. Equazioni del secondo ordine lineari
    3. Equazioni non-lineari
    4. Sistemi di PDE
  24. Funzioni speciali
    1. Funzione Gamma di Eulero
    2. Funzioni Beta,Digamma,Trigamma
    3. Integrali ellittici
    4. Funzioni di Bessel
    5. Funzione zeta di Riemann e funzioni L di Dirichlet
    6. Funzione polilogaritmo
    7. Funzioni ipergeometriche
  25. Analisi funzionale
    1. Misura e integrale di Lebesgue
    2. Spazi Lp,teoremi di completezza e compattezza
    3. Spazi di Hilbert,serie e trasformata di Fourier
    4. Teoria e pratica dei polinomi ortogonali
    5. Spazi di Sobolev
  26. Complementi
    1. Curiosità e approfondimenti
    2. Compiti di analisi
    3. Esercizi avanzati analisi
  27. Funzioni Convesse

 
 

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


Algebra lineare.


Geometria analitica.


Geometria differenziale.


 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






Document









Document