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Esercizio su massimo del prodotto di coseni

Curiosità e approfondimenti matematici, Esercizi avanzati analisi

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In questo articolo presentiamo un esercizio sulla determinazione del massimo del prodotto di coseni, risolto con tecniche elementari.
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Buona lettura!

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Siano \alpha_1,\dots,\alpha_n \in \left [0,\frac{\pi}{2}\right ] degli archi tali che

(1)   \begin{equation*} \alpha_1 + \cdots + \alpha_n = \frac{\pi}{2}. \end{equation*}

Determinare per quale scelta di \alpha_1,\dots,\alpha_n la quantità

(2)   \begin{equation*} \cos^2 (\alpha_1) \cdot \cos^2 (\alpha_2) \cdots \cos^2 (\alpha_n) \end{equation*}

è massima.

 
Prima di presentare la soluzione, ricordiamo brevemente alcuni concetti teorici che utilizzeremo. Il lettore può utilizzare tali richiami come suggerimento, nel caso desiderasse sapere quali strumenti usare nello svolgimento.

Richiami teorici

Definizione 2 (media aritmetica e geometrica). Siano x_1,\dots,x_n n numeri reali non negativi. Si definisce media aritmetica di x_1,\dots,x_n la quantità

(3)   \begin{equation*} \frac{x_1 + \dots + x_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i. \end{equation*}

Si definisce invece media geometrica di x_1,\dots,x_n la quantità

(4)   \begin{equation*} \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n}. \end{equation*}

Sussiste la seguente notevole disuguaglianza tra le medie aritmetica e geometrica.

Proposizione 3 (disuguaglianza AM-GM). Dati n numeri reali positivi x_1,\dots,x_n, vale la disuguaglianza

(5)   \begin{equation*} \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n} \leq \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}. \end{equation*}

Inoltre, l’uguaglianza vale se e solo se x_1=x_2= \cdots=x_n.

Definiamo ora i concetti di funzione convessa e concava.

Definizione 4 (funzioni convesse e concave). Sia I \subseteq \mathbb{R} un intervallo e sia f \colon I \to \mathbb{R} una funzione. f si dice convessa se vale

(6)   \begin{equation*} f\big( t x + (1-t)y\big) \leq \alpha f(x) + (1-t)f(y) \qquad \forall x,y \in I,\,\,\,\forall t \in [0,1]. \end{equation*}

f si dice strettamente convessa se

(7)   \begin{equation*} f\big( t x + (1-t)y\big) < \alpha f(x) + (1-t)f(y) \qquad \forall x,y \in I \text{ con $x \neq y$},\,\,\,\forall t \in (0,1). \end{equation*}

La funzione f si dice concava o strettamente concava, se valgono rispettivamente (6) e (7) con le disuguaglianze invertite.

La definizione significa che una funzione è convessa se il suo grafico è “curvato” verso l’alto, ossia se esso giace al di sotto della retta passante per due suoi punti. Analogamente, una funzione è concava se il suo grafico è “curvato” verso il basso, ossia se esso giace al di sopra della retta passante per due suoi punti. Si vede facilmente che f è convessa se e solo se -f è concava e similmente per la stretta convessità e concavità.

Osservazione 5. Una funzione f derivabile due volte è concava se e solo se f'' \leq 0; inoltre, se f''<0, essa è strettamente concava.

Per le funzioni convesse e concave vale la seguente notevole disuguaglianza, detta di Jensen. La scriviamo per le funzioni concave, ma dall’osservazione appena compiuta risulta evidente che vale la disuguaglianza opposta per funzioni convesse.

Proposizione 6 (disuguaglianza di Jensen). Sia I \subseteq \mathbb{R} un intervallo, sia f \colon I \to \mathbb{R} una funzione concava, siano x_1,\dots,x_n \in I e t_1,\dots,t_n \in [0,1] tali che t_1+t_2+\cdots + t_n=1. Allora si ha

(8)   \begin{equation*} f\big( t_1 x_1 + \cdots + t_n x_n \big) \geq t_1 f(x_1) + \cdots + t_n f(x_n). \end{equation*}

Se f è strettamente concava, l’uguaglianza è verificata se e solo se x_1=x_2=\cdots=x_n oppure se i t_i sono tutti nulli tranne uno, che è pari a 1.

Possiamo ora presentare la soluzione dell’esercizio.

Clicca qui per la soluzione

Svolgimento dell’esercizio 1.

Cominciamo osservando che, per l’ipotesi che \alpha_1,\dots,\alpha_n \in \left [0,\frac{\pi}{2}\right ], tutti i coseni di tali archi sono numeri positivi. Si ha dunque

(9)   \begin{equation*} \sqrt[n]{\cos (\alpha_1) \cdots \cos(\alpha_n)} \leq \frac{\cos (\alpha_1) + \cdots + \cos (\alpha_n) }{n} \leq \cos \left ( \frac{\alpha_1+\cdots+\alpha_n}{n} \right ) = \cos \left ( \frac{\pi}{2n} \right ), \end{equation*}

dove la prima disuguaglianza segue dalla disuguaglianza tra media geometrica e aritmetica data dalla proposizione 3, mentre la seconda disuguaglianza segue dalla disuguaglianza di Jensen data dalla proposizione 6 con t_1=t_2=\cdots=t_n=\frac{1}{n}, in quanto la funzione coseno è concava nell’intervallo \left [0, \frac{\pi}{2} \right ]: infatti la sua derivata seconda è ovunque minore o uguale a 0.

Elevando alla potenza 2n il primo e l’ultimo membro di \(ref{eq:sol_1}), si ottiene dunque

(10)   \begin{equation*} \cos^2 (\alpha_1) \cdots \cos^2(\alpha_n) \leq \cos^{2n} \left ( \frac{\pi}{2n} \right ), \end{equation*}

che limita dall’alto i valori possibili dell’espressione che desideriamo studiare.

Poiché però, scegliendo \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_n= \frac{\pi}{2n}, si ottiene

(11)   \begin{equation*} \cos^2 (\alpha_1) \cdots \cos^2(\alpha_n) = \cos^{2n} \left ( \frac{\pi}{2n} \right ), \end{equation*}

cioè l’uguaglianza in (10), ciò assicura che il valore \cos^{2n} \left ( \frac{\pi}{2n} \right ) è effettivamente raggiunto e quindi il massimo valore dell’espressione che volevamo studiare è \cos^{2n} \left ( \frac{\pi}{2n} \right ).

Come considerazione finale osserviamo che tale valore massimo è ottenuto solo per la scelta \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_n= \frac{\pi}{2n}. Infatti, le uguaglianze nella disuguaglianza AM-GM e nella disuguaglianza di Jensen (poiché il coseno è strettamente concavo in \left [0,\frac{\pi}{2}\right ]) valgono solo se i numeri di cui si calcola la media sono tutti uguali. Ciò prova che la disuguaglianza in (10) è sempre stretta, se gli \alpha_i non sono tutti uguali.

 
 

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