Numeri complessi – approfondimento

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In questo articolo presentiamo un approfondimento sui numeri complessi pensato per essere letto in seguito agli altri articoli presenti su Teoria Numeri complessi. I numeri complessi, storicamente introdotti soltanto come utili artifici nei calcoli, hanno ben presto conquistato l’intera Matematica, entrando di diritto nei campi dell’Analisi Matematica, della Geometria e persino della Teoria dei Numeri interi.

Alcuni degli approfondimenti relativi a questo importante argomento presenti in questo articolo sono:

Definizioni alternative dei numeri complessi;
Teorema fondamentale dell’algebra;
Formula di Eulero sull’esponenziale complesso e applicazioni;
Radici dell’unità, polinomi ciclotomici e loro applicazioni ai poligoni costruibili con riga e compasso;
Esempi misti di utilizzo dei numeri complessi nella soluzione di problemi pratici.

Il testo offre dunque una visione particolare e di difficile reperibilità su questo tema, coniugando rigore, astrazione e applicazioni pratiche. Inizia un viaggio affascinante alla scoperta dei numeri complessi e comincia pure la lettura!

Autori e revisor

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Autore: Jack D’Aurizio.

Revisore: Valerio Brunetti.

Sommario

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In queste note introdurremo il campo $\mathbb{C}$

dei numeri complessi sottolineandone l’importanza dal punto di vista teorico ed applicativo.

Prerequisiti: definizione e proprietà di $\mathbb{R}$ , definizioni e proprietà di base di anelli e campi, algebra dei polinomi, definizione e proprietà di base delle funzioni trigonometriche elementari.

Introduzione e definizione

Introduzione

Il processo di costruzione dei principali insiemi numerici può essere visto come rispondente ad alcune necessità concrete: $\mathbb{Z}$

è la più piccola estensione di $\mathbb{N}$

che risulta chiusa rispetto all’operazione inversa dell’addizione; $\mathbb{Q}$

è la più piccola estensione di $\mathbb{Z}$

che risulta chiusa rispetto all’operazione inversa della moltiplicazione (fatta eccezione per il caso patologico della divisione per zero). $\mathbb{Q}$

è un campo totalmente ordinato e archimedeo, ma l’umanità ha presto maturato la consapevolezza che $\mathbb{Q}$

non è sufficiente a codificare tutte le possibili lunghezze orientate: già soltanto in un quadrato di lato unitario, le diagonali non hanno lunghezza razionale. Dal completamento metrico di $\mathbb{Q}$

nasce l’insieme $\mathbb{R}$

dei numeri reali, che è certamente possibile ottenere anche attraverso altre costruzioni, come quella di Dedekind. Riguardo i polinomi a coefficienti reali, è spontaneo chiedersi quante siano le radici, come possano essere determinate algoritmicamente e che relazioni abbiano con i coefficienti del polinomio di partenza. Il Teorema di Ruffini assicura che un polinomio $p(x)\in\mathbb{R}[x]$

di grado $d\geq 1$

non può avere più di $d$

radici distinte, e la teoria dei discriminanti ha presto fornito formule esplicite per la determinazione delle radici di polinomi di grado $2,3$

o $4$

. La genesi storica dei numeri complessi è riconducibile ai primi anni del sedicesimo secolo, ed è legata alla seguente “paradossale evidenza”.

Problema 1. Si provi che il polinomio $x^3-3x+1$

ha tre radici reali distinte, e che una di queste è $\sqrt[3]{\eta}+\frac{1}{\sqrt[3]{\eta}}$

con $\eta = \frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right)$

Ciò che si verifica nei casi come quello appena evidenziato (polinomio di terzo grado con discriminante positivo, dunque con tre radici reali distinte) è che la formula risolutiva deve condurre a quantità reali, ma in essa figurano formalmente radici quadrate di quantità negative. È questo che ha portato ad intuire che ci debba essere modo di dare un significato rigoroso ad espressioni quali $\sqrt{-3}$ o $\sqrt{-1}$ , che evidentemente non corrispondono ad alcun numero reale.

Definizione 1.

$\mathbb{C}=\mathbb{R}[x]/(x^2+1).$

Il membro destro può essere letto come “quoziente dell’anello dei polinomi a coefficienti reali attraverso l’ideale generato da $x^2+1$ ”. Il senso dell’espressione è il seguente: consideriamo l’insieme dei polinomi a coefficienti reali e identifichiamo tra loro polinomi che differiscono di un multiplo di $x^2+1$ . $x^2+1$ è un polinomio irriducibile su $\mathbb{R}$ e nella struttura appena creata ogni elemento può essere rappresentato (in modo unico!) come $a+bx$ per opportuni valori di $a,b\in\mathbb{R}$ . Ad esempio

$x^2+6x+4 = -1+6x+4 = 6x+3,$

$x^3+x+1 = -x+x+1 = 1.$

Se ad ogni elemento di questa struttura associamo l’unica coppia $(a,b)$ che lo rappresenta abbiamo che $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ , oltre ad essere un anello commutativo con identità, è uno spazio vettoriale di dimensione $2$ su $\mathbb{R}$ , vale a dire un piano.

In termini equivalenti possiamo affermare che i numeri complessi ci permettono di munire il piano cartesiano, oltre che dell’usuale operazione di somma tra punti/vettori, anche di un’operazione di prodotto. L’elemento $x$ nella struttura appena creata, che è soluzione di $x^2=-1$ , è usualmente indicato con $i$ ed è detto unità immaginaria.

Preso $z\in\mathbb{C}$ per cui $z=a+bi$ , $a$ è detta parte reale di $z$ , $a=\text{Re}(z)$ , $b$ è detta parte immaginaria di $z$ , $b=\text{Im}(z)$ . Nell’isomorfismo di spazi vettoriali tra $\mathbb{C}$ ed $\mathbb{R}^2$ abbiamo dunque che la parte reale corrisponde all’ascissa (prima coordinata) e la parte immaginaria corrisponde all’ordinata (seconda coordinata).

Vediamo qual è la meccanica delle operazioni di somma e prodotto su $\mathbb{C}$ , supponendo $z=a+bi$ e $w=c+di$ :

$z+w = a+bi+c+di = (a+c)+(b+d)i,$

$zw = (a+bi)(c+di) = ac+(bc+ad)i+ bd i^2 = (ac-bd)+(bc+ad)i.$

È inoltre importante considerare l’azione del coniugio: il coniugato di $z=a+bi$ è quel numero complesso che si indica con $\overline{z}$ e che ha la medesima parte reale di $z$ e l’opposta parte immaginaria. Vale a dire, riferendoci all’isomorfismo con $\mathbb{R}^2$ , il simmetrico di $z$ rispetto all’asse delle ascisse:

$\overline{z}=a-bi.$

È immediato verificare che il coniugio è involutivo, ossia che il coniugato del coniugato è il numero complesso di partenza, e che il coniugio commuta sia con l’addizione che con la moltiplicazione:

$\overline{z}+\overline{w} = \overline{z+w},\quad \overline{z}\cdot \overline{w} = \overline{zw}.$

Siamo pronti a servire i due “piatti forti” che concludono questa sezione introduttiva.

Proposizione 1. $\mathbb{C}$

è un campo.

Dimostrazione. Dalla definizione come quoziente di $\mathbb{R}[x]$ abbiamo gratuitamente che $\mathbb{C}$ è un anello commutativo con identità, è dunque sufficiente provare che tutti gli elementi di $\mathbb{C}$ eccetto $0$ sono invertibili. Preso $z=a+bi\neq 0$ possiamo osservare che

$z\cdot \overline{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2+b^2 \in\mathbb{R}^+$

e dedurne

$z^{-1} = \frac{a-bi}{a^2+b^2} = \frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}\,i.$

$\[\]$

Proposizione 2. (Teorema fondamentale dell’algebra) $\mathbb{C}$

è un campo algebricamente chiuso, ossia ogni polinomio non costante in $\mathbb{C}[x]$

ha almeno una radice in $\mathbb{C}$

Questo risultato è tutt’altro che banale e quasi tutte le sue dimostrazioni (tra cui la prima dovuta a Gauss) sono di natura analitica/topologica. Esso può essere dedotto dal principio del massimo modulo, dal principio di Liouville per le funzioni olomorfe o dal Teorema del residuo, per cui rimandiamo ad un primo corso di Analisi complessa.

Al momento ci limitiamo ad enunciare quello che, attraverso il Teorema di Ruffini e le proprietà del coniugio, ne è un importante corollario: se $p(x)\in\mathbb{R}[x]$ è un polinomio di grado $d\geq 1$ , $p(x)$ ha esattamente $d$ radici in $\mathbb{C}$ contate con molteplicità, e se $\zeta$ è una radice non reale lo è anche $\overline{\zeta}$ .

Definizione e proprietà del modulo

Dato $z=a+bi\in\mathbb{C}$ e l’isomorfismo canonico tra $\mathbb{C}$ ed $\mathbb{R}^2$ , che manda $z$ in $(a,b)$ , definiamo il modulo di $z$ come la distanza tra $(a,b)$ e l’origine:

$|z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{z\overline{z}}.$

Proposizione 3. Comunque presi $z,w\in\mathbb{C}$

si ha che

$|zw|=|z||w|;$
$|z+w|\le |z|+|w|.$

Dimostrazione. Supponendo $z=a+bi$ e $w=c+di$ abbiamo che la prima proprietà, ossia la moltiplicatività del modulo, è equivalente alla seguente identità, nota come identità di Lagrange:

$(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2.$

Essa è di immediata verifica: più avanti vedremo come la moltiplicatività del modulo possa anche essere dedotta dalle proprietà della rappresentazione polare/esponenziale. La seconda proprietà è la disuguaglianza triangolare, che ricordiamo essere una conseguenza della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz¹

. Detto $\theta$ l’angolo tra i vettori $\vec{z}=(a,b)$ e $\vec{w}=(c,d)$ , dal Teorema del coseno abbiamo

$\|\vec{z}+\vec{w}\|^2 = \|\vec{z}\|^2+\|\vec{w}\|+2\|\vec{z}\|\|\vec{w}\|\cos\theta = \|\vec{z}\|^2+\|\vec{w}\|+2\langle\vec{z},\vec{w}\rangle$

e poiché $|\cos\theta|\leq 1$ vale

$\langle \vec{z},\vec{w} \rangle^2 \leq \|\vec{z}\|^2 \|\vec{w}\|^2$

con uguaglianza realizzata solo se $\vec{w}$ e $\vec{z}$ sono paralleli. D’altra parte la seconda proprietà è equivalente ad una qualunque delle seguenti disuguaglianze:

$\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}\leq \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2} ,$

$(a+c)^2+(b+d)^2-(a^2+b^2+c^2+d^2) \leq 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)},$

$ac+bd \leq \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}$

e dunque segue da $\langle \vec{z},\vec{w} \rangle \leq \|\vec{z}\|\|\vec{w}\|$ come preannunciato.

$\[\]$

La prima proprietà è cruciale nel provare che alcuni anelli come $\mathbb{Z}[i]$ (interi di Gauss) e $\mathbb{Z}[\omega]$ (interi di Eisenstein) sono a fattorizzazione unica, questione intimamente correlata a celebri problemi di Teoria dei Numeri come il seguente:

Problema 2. Diciamo che $n\in\mathbb{N}$

è gradevole se è possibile esprimerlo come $n=a^2+b^2$

con $a,b\in\mathbb{Z}$

. Si provi che

il prodotto di due numeri gradevoli è gradevole;
se $n\geq 2$ è gradevole e libero da quadrati, sono gradevoli tutti i suoi fattori primi.

La seconda proprietà rende $\mathbb{C}$ uno spazio di Banach, permettendo ad esempio di trattare serie di potenze a coefficienti complessi in maniera analoga al caso reale. Vedremo a breve come questo sia essenziale nel dimostrare la formula di Eulero/De Moivre.

$\[\]$

È altresì possibile mostrare che il caso-base della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz segue dalla disuguaglianza triangolare nel piano. La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz può essere di fatto intesa come “ponte” tra la definizione di segmento come inviluppo convesso di due punti e la definizione di segmento come geodetica. ↩

Definizione dei complessi: un'altra possibilità

Nello studio di alcune successioni definite per ricorrenza può essere talvolta pratico rammentare il seguente risultato:

Proposizione 4. L’insieme delle matrici reali $2\times 2$

con la seguente struttura

$\begin{pmatrix} a &b \\ -b & a \end{pmatrix}$

munito delle usuali operazioni di somma e prodotto risulta isomorfo a $\mathbb{C}$ .

Dimostrazione. È sufficiente verificare che il morfismo

$z=a+bi\longrightarrow M(z)=\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}$

soddisfa $M(z+w)=M(z)+M(w)$ e $M(zw)=M(z)M(w)$ .

In alternativa è sufficiente realizzare che $M(z)$ ha colonne ortogonali con lo stesso modulo, dunque la moltiplicazione tra $M(z)$ e un vettore $v\in\mathbb{R}^2$ corrisponde alla composizione tra una dilatazione di fattore $\sqrt{a^2+b^2}=|z|$ e una rotazione attorno all’origine.

$\[\]$

Rappresentazioni dei complessi e formula di Eulero/De Moivre

La rappresentazione grafica nel piano Argand-Gauss

L’isomorfismo di spazi vettoriali tra $\mathbb{C}$ ed $\mathbb{R}^2$ fornisce lo spunto per la rappresentazione grafica canonica dei numeri complessi. Si definisce piano di Argand-Gauss un diagramma cartesiano avente come asse delle ascisse la retta reale, mentre la retta dei numeri immaginari (nella forma $i b$ ) quale asse delle ordinate.

$\text{Figura 1: Il piano di Argand-Gauss, con i due complessi $1$ e $\imath$ }$

$\[\]$

Al numero complesso $z=a+ib$ corrisponde il punto $(a,b)$ nel piano di Argand-Gauss:

$\text{Figura 2: La rappresentazione addittiva dei complessi}$

$\[\]$

All’unità immaginaria è associato il punto $(0,1)$ e come già sottolineato c’è perfetta corrispondenza tra somme di numeri complessi e somme dei relativi punti/vettori del piano associati.

Rappresentazione polare e proprietà

Preso un numero complesso $z=a+ib\neq 0$

, si è soliti indicare con $\rho$

il suo modulo $\rho= |z|=\sqrt{a^2+b^2}$

e con $\theta=\text{arg}(z)$

il suo argomento, ossia l’angolo (definito a meno di multipli dell’angolo giro) tra il vettore $(a,b)$

e il semiasse positivo delle ascisse. Per la definizione delle funzioni trigonometriche elementari in termini di una parametrizzazione per lunghezza d’arco della circonferenza unitaria si ha

$z = a+bi = \rho (\cos\theta + i \sin\theta )$

dunque ogni numero complesso non nullo è univocamente identificato da una coppia $(\rho,\theta)$ dove $\rho\in\mathbb{R}^+$ e $\theta\in [0,2\pi)$ (Un’altra scelta possibile e diffusa per il range canonico dell’argomento è $(-\pi,\pi]$ .)

$\text{Figura 3: La rappresentazione polare dei complessi}$

$\[\]$

Relativamente alla rappresentazione polare, la moltiplicazione di numeri complessi presenta delle evidenti peculiarità. Supponiamo infatti di avere $z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$ e $w=\lambda(\cos\phi+i\sin\phi)$ . Per le formule di addizione di seno e coseno risulta

$zw = \rho\lambda(\cos(\theta+\phi)+i\sin(\theta+\phi))$

dunque possiamo affermare che nella moltiplicazione di numeri complessi

il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli;
l’argomento del prodotto è la somma degli argomenti.

La moltiplicazione per $z=a+bi$ ha dunque come effetto quello di moltiplicare un modulo per $|z|$ (dilatazione) e incrementare un argomento di $\text{arg}(z)$ (rotazione). Relativamente ai versori, queste osservazioni permettono facilmente di realizzare che

$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$

per ogni $\theta\in\mathbb{R}$ e $n\in\mathbb{N}$ , dunque anche ricavare le formule di moltiplicazione del seno e del coseno, come ad esempio $\cos(3\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ , via

$\cos(3\theta) = \text{Re}((\cos\theta+i\sin\theta)^3)$

e il binomio di Newton. A tal proposito di veda anche la teoria dei polinomi di Chebyshev del primo e del secondo tipo.

Formula di Eulero/De Moivre e conseguenze

Teorema 1. Per ogni $\theta\in\mathbb{R}$

si ha

$e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta.$

Una delle conseguenze più celebri di questo risultato è l’identità $e^{i\pi}+1=0$ , dove figurano cinque costanti essenziali della Matematica. Prima di avventurarci nella dimostrazione dobbiamo però chiarire qual è il significato del termine sinistro.

In ambito reale la funzione esponenziale può essere definita attraverso una serie di potenze:

$e^x = \exp(x) = \sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{n!}.$

Poiché $n!$ cresce molto rapidamente, la serie risulta convergere uniformemente su ogni compatto di $\mathbb{R}$ assieme a qualunque sua derivata formale, dando luogo ad una funzione analitica che soddisfa $\frac{d}{dx}e^x = e^x$ e $e^0=1$ . Per il binomio di Newton la funzione appena definita gode anche della proprietà $e^x\cdot e^y = e^{x+y}$ . Per il prodotto di Cauchy tra serie abbiamo infatti

$\sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{n!}\sum_{m\geq 0}\frac{y^m}{m!}=\sum_{s\geq 0}\sum_{n=0}^{s}\frac{x^n y^{s-n}}{n!(s-n)!}=\sum_{s\geq 0}\frac{1}{s!}\sum_{n=0}^{s}\binom{s}{n} x^n y^{s-n}=\sum_{s\geq 0}\frac{(x+y)^s}{s!}.$

Sfruttando il fatto che $\mathbb{C}$ è uno spazio di Banach, possiamo estendere la definizione della funzione esponenziale anche al caso in cui l’argomento sia complesso, semplicemente ponendo

$\forall z\in\mathbb{C},\quad e^z=\exp(z)=\sum_{n\geq 0}\frac{z^n}{n!}$

e realizzando che la serie nel membro destro è uniformemente convergente su ogni compatto di $\mathbb{C}$ e dà luogo ad una funzione continua. La proprietà $e^z\cdot e^w=e^{z+w}$ continua ad essere verificata anche nel caso $z,w\in\mathbb{C}$ , sempre per prodotto di Cauchy e binomio di Newton. Possiamo ora facilmente provare la formula di Eulero/De Moivre.

Dimostrazione. Le funzioni seno e coseno sono funzioni analitiche che per ogni $\theta\in\mathbb{R}$ soddisfano

$\sin\theta=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n \theta^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos\theta = \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n \theta^{2n}}{(2n)!},$

ad esempio in quanto soluzioni della medesima equazione differenziale $f''(\theta)+f(\theta)=0$ con differenti condizioni iniziali. Per la definizione di esponenziale complesso si ha

$e^{i\theta} = \sum_{n\geq 0}\frac{i^n \theta^n}{n!}$

e le potenze di $i$ seguono il pattern di periodo quattro $1,i,-1,-i$ . La presenza dei fattoriali a denominatore assicura la possibilità di riarrangiare i termini della serie, da cui

$e^{i\theta} = \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n\theta^{2n}}{(2n)!}+i\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n \theta^{2n+1}}{(2n+1)!} = \cos\theta+i\sin\theta$

come volevasi dimostrare.

$\[\]$

Per quanto appena provato la mappa $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ data da $f(\theta)=\exp(i\theta)$ è una parametrizzazione per lunghezza d’arco della circonferenza unitaria.

Una buffa dimostrazione del Teorema di Pitagora. In virtù della formula di Eulero/DeMoivre, per ogni $\theta\in\mathbb{R}$

abbiamo

$e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta,\qquad e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta.$

Moltiplicando termine a termine le due identità e sfruttando la proprietà fondamentale dell’esponenziale $e^z\cdot e^w=e^{z+w}$ otteniamo

$\cos^2\theta+\sin^2\theta = (\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\theta-i\sin\theta) = e^{i\theta}e^{-i\theta} = e^0 = 1.$

La formula di Eulero/De Moivre permette altresì di esprimere seno e coseno in termini dell’esponenziale complesso:

$\cos\theta = \text{Re}(e^{i\theta}) = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\quad \sin\theta = \text{Im}(e^{i\theta}) = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i},$

relazioni spesso utili nell’integrazione di potenze del seno o del coseno, specie congiuntamente al seguente risultato, pietra miliare della teoria di Fourier:

$\forall k\in\mathbb{Z},\quad \int_{-\pi}^{\pi}e^{ki\theta}\,d\theta = \left\{\begin{array}{rcl}0 &\text{se}& k\neq 0 \\ 2\pi &\text{se}& k=0.\end{array}\right.$

Radici dell’unità, polinomi ciclotomici e poligoni costruibili

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Definizione 2. Un numero complesso $z$

è detto radice k-esima dell’unità se soddisfa $z^k=1$

con $k\in\mathbb{N}^+$

Per ogni $n\in\mathbb{N}^+$ il polinomio $z^n-1$ risulta coprimo con la sua derivata. In virtù del Teorema fondamentale dell’Algebra esso ha dunque esattamente $n$ radici distinte in $\mathbb{C}$ . Poiché $z^n=1$ comporta $|z|^n=1$ e $|z|=1$ , tutte le sue radici si trovano sulla circonferenza unitaria, dunque sono della forma $e^{i\theta}$ per qualche $\theta\in\mathbb{R}$ . Al variare di $k$ tra $0$ e $n-1$ abbiamo che i numeri complessi

$\exp\left(\frac{2\pi i k}{n}\right) = \cos\frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}$

sono tutti distinti (poiché l’esponenziale complesso è una parametrizzazione per lunghezza d’arco della circonferenza unitaria) e sono radici di $z^n-1$ , poiché

$\exp\left(\frac{2\pi i k}{n}\right)^n = \exp(2\pi i k) = \exp(2\pi i)^k = 1^k = 1.$

Abbiamo pertanto che per ogni $n\geq 3$ le radici di $z^n-1$ , rappresentate nel piano di Argand-Gauss, costituiscono i vertici di un $n$ -agono regolare inscritto nella circonferenza unitaria. Uno di questi vertici è il punto $(1,0)$ , corrispondente al numero complesso $1$ . Questo discorso conduce all’identità

$z^n-1 = \prod_{k=0}^{n-1}\left(z-\exp\left(\frac{2\pi i k}{n}\right)\right).$

Nel caso in cui $n$ sia dispari abbiamo che $z=1$ è l’unica radice reale, in quanto $z^n-1$ è una funzione crescente su $\mathbb{R}$ . Rimuovendo il fattore $z-1$ e accoppiando tra loro i contributi forniti da radici coniugate abbiamo dunque che

$\frac{z^{2m+1}-1}{z-1}= \prod_{k=1}^{m}\left(z-\exp\left(\frac{2\pi i k}{2m+1}\right)\right)\left(z-\exp\left(\frac{-2\pi i k}{2m+1}\right)\right)$

da cui segue

$z^{2m}+z^{2m-1}+\ldots+1 = \prod_{k=1}^{m}\left(z^2-2z\cos\frac{2\pi k}{2m+1}+1\right).$

Definizione 3. Un numero complesso $z\neq 1$

è detto radice primitiva k-esima dell’unità se è una radice $k$

-esima dell’unità e non è una radice $j$

-esima dell’unità per alcun $j<k$

A titolo esemplificativo, consideriamo il caso del polinomio $z^6-1$ . Per quanto illustrato nel precedente paragrafo, le sue radici complesse sono

$1, \exp\left(\frac{2\pi i}{6}\right),\exp\left(\frac{2\pi i}{3}\right),\exp\left(\frac{2\pi i}{2}\right),\exp\left(\frac{4\pi i}{3}\right),\exp\left(\frac{10\pi i}{6}\right).$

Di queste sei radici, la prima è già una radice di $z-1$ . La terza e la quinta radice sono già radici di $z^3-1$ . La quarta radice è già una radice di $z^2-1$ . Posto $\zeta=\exp\left(\frac{2\pi i}{6}\right)$ , realizziamo che le radici primitive seste dell’unità sono soltanto due, ossia $\zeta$ e $\zeta^5$ . Con considerazioni analoghe, nel caso generale vale quanto segue:

Proposizione 5. Per ogni $n\geq 2$

, posto $\zeta=\exp\left(\frac{2\pi i}{n}\right)$

abbiamo che le radici primitive $n$

-esime dell’unità sono i numeri complessi della forma $\zeta^m$

, dove $m\in[1,n]$

è coprimo con $n$

. In particolare le radici primitive $n$

-esime dell’unità sono esattamente $\varphi(n)$

, dove $\varphi$

è la funzione totient di Eulero:

$\varphi(n) = n\prod_{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right).$

Tornando all’esempio di $z^6-1$ , possiamo osservare che tutte le sue radici diverse da $1$ sono radici primitive $j$ -esime dell’unità per $j\in\{2,3,6\}$ . Analogamente una radice di $z^n-1$ può essere una radice primitiva $d$ -esima dell’unità soltanto se $d$ divide $n$ . Rammentiamo ora i concetti di polinomio minimo e coniugato algebrico su $\mathbb{Q}$ : $p\in\mathbb{Q}[x]$ è detto polinomio minimo di $\alpha\in\mathbb{C}$ se tra tutti i polinomi monici che soddisfano $p(\alpha)=0$ esso ha grado minimo; due numeri complessi sono detti coniugati algebrici se hanno lo stesso polinomio minimo. Un semplice risultato di Teoria di Galois

Proposizione 6. Le radici primitive $n$

-esime dell’unità sono tra loro algebricamente coniugate.

fa luce su una fondamentale classe di polinomi, i polinomi ciclotomici:

Definizione 4. L’ $n$

-esimo polinomio ciclotomico $\Phi_n(x)$

è il polinomio minimo su $\mathbb{Q}$

di $\exp\frac{2\pi i}{n}$

. Le sue radici sono le radici primitive $n$

-esime dell’unità:

$\Phi_n(x) = \prod_{\substack{k\in[1,n]\\ \gcd(k,n)=1}}\left(x-\exp\left(\frac{2\pi i k}{n}\right)\right).$

Poiché ogni radice complessa di $z^n-1$ è una radice primitiva $d$ -esima per qualche $d\mid n$ , vale il seguente risultato di fattorizzazione:

$z^n-1 = \prod_{d\mid n}\Phi_d(z).$

Considerando il grado dei termini coinvolti otteniamo un’interessante identità aritmetica:

$n = \sum_{d\mid n}\varphi(d).$

Tornando all’esempio di $z^6-1$ , la sua fattorizzazione in termini di polinomi ciclotomici è data da

$z^6-1 = \Phi_1(z)\Phi_2(z)\Phi_3(z)\Phi_6(z) = (z-1)(z+1)(z^2+z+1)(z^2-z+1).$

I polinomi ciclotomici hanno svariate altre proprietà interessanti:

sono sempre irriducibili su $\mathbb{Q}$ ;
i loro coefficienti sono sempre interi;
eccetto che nel caso di $\Phi_1(x)=x-1$ , la lista dei coefficienti è palindroma;
possono essere ricavati dai polinomi della forma $z^n-1$ attraverso il principio di inclusione-esclusione. Vale in particolare
$\[\]$

$\Phi_n(x) = \prod_{d\mid n}(z^d-1)^{\mu(n/d)}$

dove $\mu$ è la funzione di Moebius. $\mu$ vale zero al di fuori degli interi liberi da quadrati; sugli interi liberi da quadrati vale $1$ o $-1$ a seconda della parità del numero di fattori primi.

I polinomi ciclotomici sono di fondamentale importanza nella Teoria algebrica dei Numeri (anche contemporanea) e hanno permesso facilmente di dimostrare alcuni casi del Teorema di Dirichlet riguardo i primi nelle successioni aritmetiche. In queste note non ne investigheremo le piene potenzialità, ma ce ne serviremo in un contesto molto classico, che è quello di discutere la costruibilità con riga e compasso dei poligoni regolari.

Per quelle che sono le possibilità offerte dalla riga e dal compasso (operazioni di campo ed estrazione di radice quadrata), condizione necessaria²

affinché un poligono regolare di $n$ lati sia costruibile con riga e compasso è che il polinomio minimo su $\mathbb{Q}$ di $\cos\frac{2\pi}{n}$ abbia come grado una potenza di $2$ . Ci apprestiamo a provare il seguente risultato

Proposizione 7. Per ogni $n\geq 3$

il polinomio minimo su $\mathbb{Q}$

di $\cos\frac{2\pi}{n}$

ha grado $\frac{\varphi(n)}{2}$

da cui segue immediatamente che né l’ettagono né l’ennagono regolare sono costruibili con riga e compasso, poiché $\varphi(7)=\varphi(9)=6$ . Partiamo esplicitamente dal caso dell’ettagono, illustrando come non sia difficile produrre un polinomio a coefficienti razionali che si annulla in $\cos\frac{2\pi}{7}$ . Tutte le radici di

$\Phi_7(x) = \frac{x^7-1}{x-1}=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

sono anche radici della funzione razionale

$1+\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right).$

D’altra parte, posto $z=x+\frac{1}{x}$ , qualunque termine della forma $x^n+\frac{1}{x^n}$ può essere espresso come polinomio in $z$ , poiché $x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^n+\frac{1}{x^n}\right)-\left(x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}}\right)$ . Poiché $\Phi_7(x)$ si annulla in corrispondenza di $\zeta=\exp\frac{2\pi i}{7}$ , otteniamo che

$z^3+z^2-2z-1$

si annulla in corrispondenza di $\zeta+\zeta^{-1}=2\cos\frac{2\pi}{7}$ , dunque

$p(z) = z^3+\frac{1}{2}z^2-\frac{1}{2}z-\frac{1}{8}$

si annulla in corrispondenza di $z=\cos\frac{2\pi}{7}$ . Il punto-chiave del discorso è che il polinomio appena prodotto è certamente irriducibile, dunque è proprio il polinomio minimo su $\mathbb{Q}$ di $\cos\frac{2\pi}{7}$ . Infatti se questo avesse grado $\leq 2$ allora il numero complesso

$\zeta = \cos\frac{2\pi}{7}+i\sqrt{1-\cos^2\frac{2\pi}{7}}$

avrebbe un polinomio minimo di grado al più $4$ . Tuttavia $\zeta$ è una radice primitiva settima, dunque il suo polinomio minimo su $\mathbb{Q}$ ha grado $6$ .

Il discorso appena esposto si adatta con minime modifiche al caso dell’ennagono regolare, dove a partire da

$\Phi_9(x) = \frac{(x^9-1)}{(x^3-1)}=x^6+x^3+1$

si ottiene che il polinomio minimo su $\mathbb{Q}$ di $\cos\frac{2\pi}{9}$ è $8x^3-6x+1$ . Con riferimento ad un polinomio già menzionato nell’introduzione, questo ci dà che le radici di $x^3-3x+1$ sono esattamente $2\cos\frac{2\pi}{9},2\cos\frac{4\pi}{9}$ e $2\cos\frac{8\pi}{9}$ .

Nel caso generale, il fatto che $\Phi_n(x)$ sia palindromo e di grado $\varphi(n)$ assicura che il polinomio minimo di $\cos\frac{2\pi}{n}$ su $\mathbb{Q}$ abbia grado $\varphi(n)/2$ come voluto.

$\[\]$

2. Gauss ha provato che se $n$ è primo la condizione esposta è anche sufficiente, ma noi ci limiteremo a considerare solo casi di manifesta impossibilità, senza curarci di come sia possibile, con riga e compasso, costruire poligoni regolari con $17$ o $257$ lati. Wantzel ha successivamente provato, nel 1837, che un $n$ -agono regolare è costruibile se e solo se $n$ è il prodotto tra una potenza di $2$ e un qualunque numero di primi di Fermat, ovvero primi della forma $2^{2^k}+1$ . È tuttora un problema aperto se i primi di Fermat siano finiti o infiniti. ↩

Applicazioni notevoli dei numeri complessi

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In quest’ultima sezione esporremo una miscellanea di problemi, volti a sottolineare le grandi potenzialità dei numeri complessi, senza neppure entrare nello sterminato ambito dell’Analisi complessa e delle funzioni olomorfe, cui dedicheremo ampio spazio a sé stante.

Problema 3. Si provi che $\arctan\frac{1}{2}$

non è un multiplo razionale di $\pi$

Dimostrazione. Come è usuale nelle dimostrazioni d’irrazionalità, supponiamo per assurdo che si abbia $\arctan\frac{1}{2}\in\pi\mathbb{Q}$ . Poiché $\arctan\frac{1}{2}=\text{arg}(2+i)$ , in tali ipotesi il numero complesso di modulo $1$ dato da

$z = \frac{2+i}{\sqrt{5}}$

dovrebbe essere una radice dell’unità. Il polinomio minimo di $z$ su $\mathbb{Q}$ è

$x^4-\frac{6}{5}x^2+1.$

Non tutti i coefficienti di questo polinomio sono interi, dunque esso non può essere un polinomio ciclotomico e $\frac{2+i}{\sqrt{5}}$ non può essere una radice dell’unità. Segue $\arctan\frac{1}{2}\not\in\pi\mathbb{Q}$ come voluto.

$\[\]$

Problema 4. (Formula di Machin) Si provi che $\dfrac{\pi}{4}=4\arctan\dfrac{1}{5}-\arctan\dfrac{1}{239}$

Formule come quella esposta sono state per lungo tempo identità di riferimento per la determinazione delle cifre di $\pi$ , prima dell’avvento di metodi più efficienti dovuti a Gosper e agli studiosi delle relazioni tra integrali ellittici e media aritmo-geometrica.

Dimostrazione. È sufficiente constatare che $\frac{(5+i)^4}{(239+i)}=2(1+i)$ e passare agli argomenti in ambo i membri.

$\[\]$

Problema 5. (DFT, trasformata discreta di Fourier) Dato l’insieme $\{1,2,\ldots,n\}$

con $n\geq 0$

, si procede a contare separatamente

il numero $S_0$ di sottoinsiemi con $3k$ elementi (per qualche $k\in\mathbb{N}$ );
il numero $S_1$ di sottoinsiemi con $3k+1$ elementi (per qualche $k\in\mathbb{N}$ );
il numero $S_2$ di sottoinsiemi con $3k+2$ elementi (per qualche $k\in\mathbb{N}$ ).

Si provi che indipendentemente da $n$ si ha $\max(S_0,S_1,S_2)-\min(S_0,S_1,S_2)\leq 2$ .

Posto $\omega=\exp\left(\frac{2\pi i}{3}\right) = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ possiamo osservare che la funzione $f(n)=1^n+\omega^n+\omega^{2n}$ restituisce $3$ oppure $0$ a seconda che $n\in\mathbb{N}$ sia un multiplo di $3$ oppure no. Abbiamo in particolare che il numero di sottoinsiemi con cardinalità $\in 3\mathbb{N}$ è dato da

$S_0 = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1^k+\omega^k+\omega^{2k}}{3} = \frac{2^n + (1+\omega)^n+(1+\omega^2)^n}{3}$

dove $1+\omega$ e $1+\omega^2$ sono radici dell’unità coniugate. Vale in particolare

$(1+\omega)^n+(1+\omega^2)^n = 2\cos\frac{2\pi n}{3}$

e analogamente è possibile ricostruire una semplice espressione esplicita per

$S_1 = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1^k+\omega^2\omega^k+\omega\omega^{2k}}{3},\qquad S_2 = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1^k+\omega\omega^k+\omega^2\omega^{2k}}{3}$

da cui ricavare quanto desiderato, ossia che i sottoinsiemi di $\{1,2,\ldots,n\}$ si distribuiscono circa uniformemente tra $S_0,S_1$ ed $S_2$ .

Problema 6. (Somme di Gauss) Un ettagono regolare $ABCDEFG$

è inscritto in una circonferenza di raggio $1$

. Si provi che l’area del triangolo $ABD$

è esattamente $\frac{1}{4}\sqrt{7}$

Dimostrazione. Le lunghezze dei lati di $ABD$ sono date da $2\sin\frac{\pi}{7},2\sin\frac{2\pi}{7}$ e $2\sin\frac{3\pi}{7}$ . Per la relazione di Eulero $S=\frac{abd}{4R}$ è sufficiente provare che vale

$\sin\frac{\pi}{7}\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{3\pi}{7} = \frac{\sqrt{7}}{8}$

oppure (via $\sin\theta = \sin(\pi-\theta)$ )

$2\sin\frac{2\pi}{7}\cdot \sin\frac{4\pi}{7}\cdot 2\sin\frac{6\pi}{7} = \sqrt{7}.$

Il membro sinistro è evidentemente positivo e posto $\zeta=\exp\frac{2\pi i}{7}$ possiamo ridurre il problema alla verifica di

$(\zeta-\zeta^6)^2 (\zeta^2-\zeta^5)^2 (\zeta^3-\zeta^4)^2 = -7.$

Espandendo il termine sinistro e facendo ricorso a $\zeta^7=1$ e $1+\zeta+\zeta^2+\zeta^3+\zeta^4+\zeta^5+\zeta^6=0$ la verifica è immediata.

$\[\]$

Problema 7. (Teorema di Napoleone) Dato un triangolo $ABC$

nel piano, costruiamo sui suoi lati, esternamente ad $ABC$

, tre triangoli equilateri $ABC',BCA',CAB'$

. Detti $A'',B'',C''$

i centri di questi triangoli equilateri, si provi che $A''B''C''$

è sempre equilatero.

Dimostrazione. Possiamo supporre senza perdita di generalità che i vertici di $ABC$ siano etichettati in verso positivo (antiorario) e immergere la costruzione in $\mathbb{C}$ . Posto $\omega=\exp\frac{2\pi i}{6}=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$ abbiamo che la trasformazione $P\to \omega P$ ruota $P$ attorno all’origine di $60^\circ$ in verso antiorario. Abbiamo che $A'$ è l’immagine di $B$ secondo una rotazione di $60^\circ$ attorno a $C$ , ossia $A'=\omega(B-C)+C$ . $A''$ è il baricentro di $BCA'$ , dunque $3A''=B+C+A' = (1+\omega)B+(2-\omega)C$ . Analogamente possiamo descrivere $B''$ e $C''$ e verificare successivamente che $B''$ e $C''$ si corrispondono attraverso una rotazione di $60^\circ$ attorno ad $A''$ , provando la tesi.

$\[\]$

Problema 8. Si provi che la successione $\{a_n\}_{n\geq 1}$

data da

$a_n = \sin(1)+\sin(2)+\ldots+\sin(n)$

è limitata e se ne determinino $\inf$ e $\sup$ .

Dimostrazione. Per ogni $n\geq 1$ abbiamo

$\begin{aligned} a_n & = \text{Im}(e^i+e^{2i}+\ldots+e^{ni})= \\ &= \text{Im}\left(\frac{e^{i(n+1)}-e^i}{e^{i}-1}\right)= \\ &= \text{Im}\left(\frac{e^{i(n+1/2)}-e^{i/2}}{e^{i/2}-e^{-i/2}}\right)= \\ &= \text{Im}\left(\frac{e^{i(n+1/2)}-e^{i/2}}{2i\sin(1/2)}\right)= \\ &= -\frac{1}{2\sin(1/2)}\text{Re}\left(e^{i(n+1/2)}-e^{i/2}\right)= \\ &= \frac{\cos(1/2)-\cos(n+1/2)}{2\sin(1/2)}. \end{aligned}$

Per densità di $\cos(n+1/2)$ in $[-1,1]$ abbiamo che

$\sup a_n = \frac{1+\cos(1/2)}{2\sin(1/2)}=\frac{1}{2\tan(1/4)},\quad \inf a_n = \frac{\cos(1/2)-1}{2\sin(1/2)} = -\frac{\tan(1/4)}{2}.$

$\[\]$

Problema 9. Si provi che il polinomio $p(x)=x^{14}+x^7+1$

è riducibile su $\mathbb{Q}$

Dimostrazione.

$x^{14}+x^7+1=\frac{x^{21}-1}{x^7-1}=\frac{\Phi_{21}(x)\Phi_{7}(x)\Phi_3(x)\Phi_1(x)}{\Phi_7(x)\Phi_1(x)}=\Phi_{21}(x)\Phi_3(x)$

è il prodotto tra un polinomio irriducibile di grado $2$ ( $\Phi_3(x)=x^2+x+1$ ) e un polinomio irriducibile di grado $\varphi(21)=12$ .

$\[\]$

Problema 10. Senza far ricorso alla formula di integrazione per parti, si provi che per ogni $n\in\mathbb{N}$

vale

$\int_{0}^{\pi/2}\left(\cos\theta\right)^{2n}d\theta = \frac{\pi}{2\cdot 4^n}\binom{2n}{n}.$

Dimostrazione. Per la parità della funzione coseno e le relazioni tra $\cos\theta$ e $\exp(i\theta)$ abbiamo che l’integrale a membro sinistro coincide con

$\frac{1}{2\cdot 4^n}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta})^{2n}\,d\theta=\frac{1}{2\cdot 4^n}\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{(2n-k)i\theta}e^{-ki\theta}\,d\theta.$

In virtù di $\int_{-\pi}^{\pi}e^{ki\theta}\,d\theta = \pi\delta(k)$ tutti i termini dell’ultima somma sono nulli, eccetto quello relativo a $k=n$ che conduce immediatamente alla tesi.

$\[\]$

Problema 11. Si provi che per ogni numero naturale $n\geq 2$

si ha

$\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi k}{n} = \frac{2n}{2^n}.$

Dimostrazione. Poniamo $\zeta=\exp\frac{\pi i}{n}$ . Possiamo esprimere il membro sinistro come

$\frac{1}{2^{n-1}i^{n-1}}\prod_{k=1}^{n-1}(\zeta^k-\zeta^{-k})=\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}i^{n-1}}\prod_{k=1}^{n-1}\zeta^{-k}\prod_{k=1}^{n-1}(1-\zeta^{2k})$

dove

$\prod_{k=1}^{n-1}\zeta^{-k} = \zeta^{-\frac{n(n-1)}{2}} = i^{n-1}$

$\frac{z^n-1}{z-1}=\prod_{k=1}^{n-1}(z-\zeta^{2k}).$

Considerando nell’ultima identità il limite per $z\to 1$ otteniamo $\prod_{k=1}^{n-1}(1-\zeta^{2k})=n$ e da lì facilmente la tesi. Il passaggio ai logaritmi e alle somme di Riemann ha come conseguenza

$\int_{0}^{\pi}\log\sin(x)\,dx = -\pi\log(2).$

$\[\]$

Problema 12. Si provi che il polinomio

$p(x)=x^5 - 3 x^4 + 5 x^3 + 10 x^2 - 1$

ha almeno due radici in $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ .

Dimostrazione. Il polinomio in questione ha coefficienti reali, è dunque sufficiente mostrare che esso ha almeno una radice propriamente complessa per avere gratuitamente una coppia di radici complesse e coniugate. Se il polinomio avesse unicamente radici reali $a,b,c,d,e$ , la quantità

$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 = (a+b+c+d+e)^2-2(ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de)$

dovrebbe risultare non negativa, ma per le relazioni tra radici e coefficienti (formule di Viète) essa coincide con $3^2-2\cdot 5<0$ . Questa osservazione è sufficiente a concludere.

$\[\]$

Problema 13. Al variare di $a\in(-1,1)$

si determini il valore del seguente integrale:

$\int_0^{2\pi}\frac{\cos^3\theta}{1-2a \cos\theta+a^2}\,d\theta.$

Dimostrazione. Possiamo notare che $1-2a\cos\theta+a^2 = (1-ae^{i\theta})(1-ae^{-i\theta})$ , dunque

$\frac{1}{1-2a\cos\theta+a^2}=\sum_{j\geq 0}a^j e^{ji\theta}\sum_{k\geq 0}a^k e^{-ki\theta}$

ammette una semplice scrittura come serie di Fourier. Lo stesso vale per $\cos^3\theta$ :

$\cos^3\theta = \frac{3}{4}\cos(x)+\frac{1}{4}\cos(3x)$

e poiché $\int_{0}^{2\pi}\cos(n\theta)\cos(m\theta)\,d\theta=\pi\,\delta(m,n)$ otteniamo

$\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos^3\theta}{1-2a\cos\theta+a^2}\,d\theta=\pi\left[\frac{3}{4}\sum_{|j-k|=1}a^{j+k}+\frac{1}{4}\sum_{|j-k|=3}a^{j+k}\right]$

che possiamo semplificare nel modo seguente

$\pi\left[\frac{3}{4}\sum_{j\geq 0}a^{2j+1}+\frac{3}{4}\sum_{j\geq 1}a^{2j-1}+\frac{1}{4}\sum_{j\geq 0}a^{2j+3}+\frac{1}{4}\sum_{j\geq 3}a^{2j-3}\right]$

ottenendo infine

$\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos^3\theta}{1-2a\cos\theta+a^2}\,d\theta = \frac{a(3+a^2)}{1-a^2}\cdot\frac{\pi}{2}.$

$\[\]$

Problema 14. Si provi che con riga e compasso è possibile costruire un poligono regolare con $15$

lati.

Dimostrazione. Con riga e compasso è certamente possibile costruire sia un triangolo equilatero che un pentagono regolare, dunque costruire un angolo di ampiezza $\frac{2\pi}{3}-\frac{2\pi}{5}=\frac{4\pi}{15}$ e per bisezione ottenere un angolo di ampiezza $\frac{2\pi}{15}=24^\circ$ . Dalla costruzione del polinomio minimo di $\cos\frac{2\pi}{15}$ su $\mathbb{Q}$ , che è $x^4-\frac{1}{2}x^3-x^2+\frac{x}{2}+\frac{1}{16}$ , o dalle formule di addizione e bisezione del coseno, otteniamo

$\cos(24^\circ) = \frac{1}{8}\left(1+\sqrt{5}+\sqrt{6(5-\sqrt{5})}\right).$

$\[\]$

Problema 15. Dato un numero complesso $z\neq 0$

, indichiamo con $\sqrt[3]{z}$

la determinazione principale della sua radice cubica, ossia l’unica soluzione di $t^3=z$

che soddisfa $\text{arg}(t)\in\left(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right]$

. Si provi che si ha

$\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i} = 4.$

Dimostrazione. È sufficiente osservare che $(2\pm i)^3 = 2\pm 11i$ .

$\[\]$

Problema 16. Dimostrare che

$\begin{equation*}\label{testo} I=\int_{0}^{+\infty}\dfrac{x \sinh x}{3+4 \sinh^2x}\,dx=\dfrac{\pi^2}{24}. \end{equation*}$

Dimostrazione. In virtù della formula di integrazione per parti

$\int_{0}^{+\infty}\frac{\sinh(x)}{3+4\sinh^2(x)}\,dx=\frac{1}{4}\int_{0}^{+\infty}\log\left(\frac{2\cosh x+1}{2\cosh x-1}\right)\,dx$

e il membro destro può anche essere espresso come

$\frac{1}{4}\int_{0}^{+\infty}\log\left(\frac{e^{2x}+e^x+1}{e^{2x}-e^x+1}\right)\,dx$

oppure come

$\frac{1}{4}\int_{1}^{+\infty} \frac{\log(t^2+t+1)-\log(t^2-t+1)}{t}\,dt$

$=\frac{1}{4}\int_{0}^{1}\frac{\log(t^2+t+1)-\log(t^2-t+1)}{t}\,dt.$

Poiché sia $t^2+t+1$ che $t^2-t+1$ sono polinomi ciclotomici (rispettivamente $\Phi_3(t)$ e $\Phi_6(t)$ ) il risultato è immediata conseguenza della seguente identità:

$\int_{0}^{1}\frac{-\log(1-t^k)}{t}\,dt = \sum_{n\geq 1}\int_{0}^{1}\frac{t^{nk-1}}{n}=\sum_{n\geq 1}\frac{1}{kn^2}=\frac{\pi^2}{6k}.$

In particolare si ha

$\int_{0}^{+\infty}\frac{\sinh(x)}{3+4\sinh^2(x)}\,dx=\frac{\pi^2}{24}.$

$\[\]$

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