Formule del trapezio, rettangolo e Cavalieri-Simpson

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L’integrazione definita presenta notevoli difficoltà di calcolo, rispetto alla derivazione. Ciò è principalmente dovuto alla mancanza di una formula per l’integrale del prodotto e del quoziente di due funzioni, che invece è disponibile per le derivate. Ciò si può tradurre nell’impossibilità di applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale (pagina 21) al fine di ottenere il risultato. È quindi naturale cercare altri metodi per determinare i valori degli integrali definiti, anche in maniera approssimata. Tale branca dell’Analisi Matematica viene detta integrazione numerica e in questo articolo ne descriviamo i principali metodi (formule del trapezio, dei rettangoli e Cavalieri-Simpson), ponendo attenzione al background teorico che giustifica e motiva tali approssimazioni e fornendo esempi pratici di applicazione.

Se desideri conoscere queste tecniche di integrazione numerica, prosegui con la lettura!

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Sommario

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In questo lavoro si intende introdurre il problema dell’integrazione numerica, concentrandosi poi sui dettagli delle formule del rettangolo, del trapezio e di Cavalieri-Simpson.

Autori e revisori

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Autori: Gaetano Cantisani.

Prerequisiti

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Operazioni matriciali, conoscenza degli integrali.

Introduzione al problema

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Problema 1. Sia data una funzione continua a valori reali

$f:[a,b]\to \mathbb{R}.$

Il problema che ci si pone è di studiare un’approssimazione dell’integrale

$S(f):=\int_a^{b}f(x)\,dx.$

$\quad$

Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale stabilisce che esiste una funzione

$F:[a,b]\to \mathbb{R}$

detta primitiva della funzione $f,$ tale per cui valga

$\int_a^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$

Tuttavia tale esistenza teorica non ci preserva dai problemi derivanti da funzioni che non possiedono primitive esprimibili in termini di funzioni elementari. Inoltre, qualora si stabilisse che la primitiva sia costituita da funzioni elementari, la difficoltà del calcolo potrebbe far desiderare la conoscenza di un approccio differente¹. Ponendoci in un contesto più generale, la funzione integranda potrebbe presentare punti di discontinuità ovvero essere definita su un intervallo illimitato.

Le tecniche di integrazione approssimata contribuiscono ad ampliare le conoscenze e i metodi di calcolo di integrali.

Si pensi ad una primitiva della semplice funzione

$\dfrac{x^2}{1+x^4}.$

↩

Definizioni iniziali

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Si considerano le formule di integrazione approssimata (dette anche formule di quadratura) della forma

$S_{n+1}(f)=\sum_{i=0}^nw_if(x_i),$

dove $n\in\mathbb{N}$ è un numero naturale non nullo, i punti

$\{x_i\} \subseteq[a,b]$

sono detti nodi della formula e

$\{w_i\}\subseteq \mathbb{R}$

sono detti coefficienti, o pesi, della formula, entrambi questi insiemi indicizzati sull’intero $i\in\{0,\dots,n\}.$ Nella trattazione presente si supporranno fissati i nodi; si discuterà nel seguito la scelta di tali punti.

Definizione 1. Si consideri una funzione continua

$f:[a,b]\to\mathbb{R};$

considerati l’integrale $S(f)$ e una formula di quadratura $S_{n+1}(f),$ con $n$ un intero non nullo, si dice errore la quantità

$r_{n+1}(f)=S(f)-S_{n+1}(f).$

$\quad$

Strettamente correlato al concetto di errore, è il concetto di precisione: intuitivamente, maggiore è la precisione di una formula di quadratura, minore è l’errore rispetto all’integrale esatto.

Definizione 2. Si consideri una formula di quadratura e sia $r_{n+1}(f)$

l’errore. Allora si dice che la formula ha grado di precisione $k,$

con $k\in\mathbb{N},$

$r_{n+1}(1)={\dots}=r_{n+1}(x^k)=0$

$r_{n+1}(x^{k+1})\neq 0.$

$\quad$

Una formula di quadratura, inoltre, si dirà esatta se l’errore $r_{n+1}(f)$ è nullo. Si osserva immediatamente che data una formula avente grado di precisione $k,$ sarà esatta se applicata ai polinomi di grado al più $k:$ infatti dalla linearità dell’integrale e della sommatoria, segue che, dato

$p(x)=a_kx^k+{\dots}+a_0$

un polinomio reale, risulta

$r_{k+1}\left(p(x)\right) = a_kr_{k+1}(x^k)+{\dots}+ a_0r_{k+1}(1),$

i cui addendi sono tutti nulli per ipotesi, verificando quanto sostenuto. Si supponga, ora, che siano fissati $n$ nodi distinti. Calcolare una formula di quadratura significa calcolare esplicitamente i pesi $w_i:$ fissato un grado di precisione eguale a $k,$ si ricavano permettendo di ricavare i pesi $w_i$ i quali sono le soluzioni del sistema lineare

$\begin{cases} \sum_{i=0}^{n}w_i&=\int_a^b1\,dx\\ &\vdots\\ \sum_{i=0}^{n}w_ix_i^k&=\int_a^bx^k\,dx \end{cases}$

Si osservi che le eguaglianze equivalgono all’ipotesi che la quadratura abbia precisione $k:$ se l’errore è nullo, quadratura ed integrale esatto coincidono. Si può riscrivere il sistema, esplicitando anche la sommatoria

$\begin{cases} w_0+{\dots}+w_n&=m_0\\ &\vdots\\ w_0x_0^k+{\dots}+w_nx_n^k&=m_k\\ \end{cases}$

ove tutti gli integrali sono delle costanti:

$m_i:=\int_a^bx^i\,dx.$

Con l’ipotesi aggiuntiva che sia $k=n,$ si ottiene una nota forma del sistema lineare, riscritto in forma matriciale:

$\begin{bmatrix} 1&\dots&1\\ x_0&\dots&x_n\\ \vdots&&\vdots\\ x_0^{n-1}&\dots&x_n^{n-1}\\ x_0^n&\dots&x_n^n\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_0\\ w_1\\ \vdots\\ w_{n-1}\\ w_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} m_0\\ m_1\\ \vdots\\ m_{n-1}\\ m_n \end{bmatrix}.$

La matrice dei coefficienti è una matrice quadrata detta di Vandermonde, il cui determinante è notoriamente

$\det(V_{n+1})=\prod_{0\le i< j\le n}(x_i-x_j).$

Giacché i nodi sono tutti distinti, la matrice di Vamdermonde ha determinante non nullo, dunque (per risultati dell’Algebra lineare, che si suppongono noti al lettore) il sistema ammette un’unica soluzione; tale esistenza ed unicità si traduce nell’esistenza ed unicità di un’unica formula di quadratura di grado di precisione $n.$ Stabilita l’unicità, si procede ad esaminare uno dei possibili modi² di costruzione esplicita delle formule di quadratura.

In linea teorica si potrebbe ricavare la formula di quadratura risolvendo il sistema lineare scritto; tuttavia per motivi di instabilità numerica tale approccio non è percorribile. ↩

Interpolazione e costruzione esplicita della quadratura

Introduzione.

Il problema dell’interpolazione è strettamente connesso al problema più generale dell’approssimazione di funzioni.

Problema 2. Si consideri una funzione

$f:[a,b]\to\mathbb{R}.$

Si considerino $n$ punti distinti $x_i\in[a,b]$ e $n$ valori reali $y_i=f(x_i).$ Si considerino, inoltre, $n$ funzioni a valori reali

$\phi_i:[a,b]\to\mathbb{R}.$

Si richiede il calcolo di coefficienti $a_0,\dots,a_n$ in modo che la funzione

$T(x):= \sum_{i=0}^na_i\phi_i(x)$

soddisfi

$T(x_i)=y_i.$

$\quad$

Parafrasando il testo del problema, data una funzione $f$ e date delle funzioni $\phi_i,$ si richiede di individuare dei coefficienti in modo che combinazioni lineari di quest’ultime funzioni coincidano con la funzione iniziale nei punti $x_i$ . Tipicamente la prima è una funzione difficile da maneggiare, mentre le seconde sono funzioni più semplici. In questo contesto ci si limita a considerare funzioni $\phi_i(x)$ in forma polinomiale: in tal modo l’interpolazione si dice polinomiale³. Senza scendere nel dettaglio, una scelta naturale come

$\phi_i(x):=x^i$

conduce a tradurre le uguaglianze da soddisfare, in un sistema lineare nella forma di Vandermonde, per il quale valgono le considerazioni fatte in precedenza (ci si riferisce all’instabilità numerica della risoluzione). Lo sforzo che si richiede è di una scelta più accurata: è necessaria, allora, una definizione.

Definizione 3. Sia $n\in\mathbb{N}$

un naturale non nullo. Si definisce $i$

-esimo polinomio di Lagrange, con $0\le i\le n,$

un polinomio della forma

$L_i(x)= \prod_{\substack{j=0\\j\neq i}}^n \frac{ x-x_j}{ x_i-x_j }.$

$\quad$

Una semplice, ma fondamentale, osservazione è che

$L_i(x_i)=1$

mentre, se $j\neq i,$ s’ha

$L_i(x_j)=0.$

Posto dunque

$\phi_i(x)=L_i(x),$

segue immediatamente che

$a_i=y_i,$

per cui il polinomio interpolante $T(x)$ ha la forma

$T(x)=\sum_{i=0}^ny_iL_i(x).$

Tanti sono i pregi di una tale espressione esplicita, tra i quali il calcolo efficiente, in termini di quantità di operazioni aritmetiche, di $T(\xi),$ con $\xi\in [a,b];$ tuttavia altri sono i luoghi per l’approfondimento. Ora è necessario tornare al problema originario della quadratura, per raccordare al vecchio le nuove conoscenze. I coefficienti $y_i$ sono i valori noti $f(x_i),$ per cui il polinomio interpolante la funzione integranda $f(x)$ diventa

$T(x)= \sum_{i=0}^nf(x_i)L_i(x) .$

Ponendo

$S_{n+1}(f)=\int_a^b T(x)\,dx,$

riscrivibile anche come

$S_{n+1}(f)= \int_a^b \sum_{i=0}^nf(x_i)L_i(x)\, dx .$

che conduce alla forma richiesta ad una formula di quadratura: dalla linearità dell’integrale segue che

$S_{n+1}(f)= \sum_{i=0}^n f(x_i) \int_a^b L_i(x)\, dx .$

Si verifica esplicitamente che una tale formula di quadratura ha precisione $n:$ si vuol mostrare che $r_{n+1}(x^k)=0$ per $0\le k\le n$ e che $r_{n+1}(x^{n+1})\neq 0.$ Tale risultato seguirà da un Teorema più generale, riguardante le funzioni aventi $n+1$ derivate continue.

Teorema 1. Sia $f\in C^{n+1}[a,b]$

e siano $a\le x_0<{\dots}<x_n\le b,$

nodi. Allora per ogni $x\in [a,b]$

esiste $\xi\in(a,b)$

tale per cui

$r_{n+1}(x)= \prod_{i=0}^n(x-x_i)\frac{f^{(n+1)}(\xi)} {(n+1)!}.$

$\quad$

La dimostrazione si omette. Segue quale Corollario la proprietà del grado di precisione.

Proposizione 1. Si consideri $f\in C^{n+1}[a,b];$

sia

$S_{n+1}(f)=\int_a^b \sum_{i=0}^nf(x_i)L_i(x)\,dx$

la formula di quadratura dell’integrale

$\int_a^bf(x)\, dx.$

Allora tale formula ha grado di precisione almeno $n.$

$\quad$

Dimostrazione. Ciò che si vuole stimare è il resto $r_{n+1}(x^k).$ Dalle definizioni si ha che

$r_{n+1}(f)= \int_a^bf(x)\, dx- \int_a^b \sum_{i=0}^nf(x_i)L_i(x)\, dx,$

per linerarità dell’integrale, eguale a

$r_{n+1}(f)= \int_a^bf(x)- \sum_{i=0}^nf(x_i)L_i(x) \, dx.$

Giacché

$\sum_{i=0}^nf(x_i)L_i(x)$

è un polinomio di interpolazione di $f(x),$ dal Teorema precedente è possibile stabilire che esiste $\xi \in(a,b)$ tale per cui valga

$r_{n+1}(f)=\int_a^b \prod_{i=0}^n(x-x_i)\frac{f^{(n+1)}(\xi)} {(n+1)!}\, dx.$

L’ultima espressione equivale, per la solita linearità, a scrivere

$r_{n+1}(f)=\frac{1}{(n+1)!}\int_a^b \prod_{i=0}^n(x-x_i)f^{(n+1)}(\xi) \, dx.$

Si conclude osservando che la derivata

$\left(x^k\right)^{(n+1)}=0$

per $k\le n:$ equivale a dimostrare quanto voluto.

È saggio evidenziare la caratterizzazione esplicita del resto, che si è utilizzata nella dimostrazione: vale

$r_{n+1}(f)=\frac{1}{(n+1)!}\int_a^b \prod_{i=0}^n(x-x_i)f^{(n+1)}(\xi) \, dx.$

Esplicitata un’unica formula di quadr la validità del metodo, si procede all’esplicita costruzione delle formule. I varii metodi differiranno per la scelta del numero di nodi.

Anche altre scelte sono possibili, ad esempio nel caso dell’interpolazione trigonometrica. ↩

Formula del rettangolo: n=0.

Fissare $n=0$

equivale a scegliere un solo nodo: la scelta è arbitraria, scegliere il punto medio non ha maggiori controindicazioni di altre scelte. Si tenga mente che anche nelle costruzioni che seguiranno si opereranno scelte dei nodi volte a semplificare i conti. Sia $x_0=\dfrac{a+b}{2},$

le formule diventano

$S_{1}(f)= \int_a^b \sum_{i=0}^0f(x_i)L_i(x)\, dx= \int_a^b f(x_0)L_0(x)\, dx,$

il quale, infine, corrisponde a

$S_{1}(f)= \int_a^b f(x_0)\, dx.$

Si osservi che il polinomio di Lagrange utilizzato è il polinomio $L_0=1,$ poiché non esistono due elementi distinti $x_j\neq x_i.$ Il calcolo esplicito dell’integrale conduce, infine, alla formula detta del rettangolo, poiché approssima l’area sottesa alla funzione, con l’area sottesa al quadrato di base $b-a$ e di altezza $f(x_0):$

$\quad$

Formula 1.

$S_1(f)=(b-a)f(x_0)=(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right).$

$\quad$

Graficamente tale risultato si può interpretare in maniera semplice.

$\quad$

Figura 1: Formula di quadratura del rettangolo.

Formula del trapezio: n=1.

Fissare $n=1$

equivale a scegliere due nodi: il primo nell’estremo $a,$

il secondo in $b:$

$x_0=a$

e $x_1=b.$

Allora la quadratura diventa

$S_2(f)=\int_a^b\sum_{i=0}^1f(x_i)L_i(x)\, dx,$

la quale si esplicita in

$S_2(f)=\int_a^bf(x_0)L_0(x)+f(x_1)L_1(x)\, dx,$

ulteriormente equivalente a

$S_2(f)= \int_a^bf(x_0) \frac{x-x_1}{x_0-x_1}+f(x_1) \frac{x-x_0}{x_1-x_0}\, dx.$

Anzittutto, dalle scelte effettuate, si riscrive il tutto

$S_2(f)= \int_a^bf(a) \frac{x-b}{a-b}+f(b) \frac{x-a}{b-a}\, dx,$

da cui segue

$S_2(f)= \int_a^b\frac{f(b)(x-a)-f(a)(x-b)}{b-a}\,dx.$

Ciò è come scrivere

$S_2(f)= \int_a^b\frac{\left(f(b)-f(a)\right)x+f(a)b-f(b)a} {b-a}\,dx.$

Questo integrale è equivalente, per linearità, a

$S_2(f)= \frac{f(b)-f(a)} {b-a}\int_a^b x\, dx +\int_a^b\frac{f(a)b-f(b)a} {b-a}\,dx.$

Il calcolo delle due semplici primitive conduce all’espressione finale

$S_2(f)= \frac{f(b)-f(a)} {b-a}\frac{b^2-a^2}{2} +\frac{f(a)b-f(b)a} {b-a}(b-a).$

Semplificazioni e minimi comun denominatori portano alla forma

$S_2(f)= \frac{-f(b)a+f(b)b-f(a)a+f(a)b}{2}.$

Un raccoglimento parziale permette di ottenere, infine, la formula nota come formula dei due punti o del trapezio⁴.

$\quad$

Formula 2.

$S_2(f)=\frac{b-a}{2}\left(f(a)+f(b)\right).$

$\quad$

L’intepretazione grafica alla pagina seguente chiarisce il nome della formula.

$\quad$

Figura 2: Formula di quadratura del trapezio.

L’area del sottografico è appossimata dall’area del trapezio rettangolo avente basi $f(a),f(b)$ ed altezza $b-a.$ ↩

Formula di Cavalieri-Simposon: n=2.

Riciclando le idee precedenti, è possibile fissare $n=2,$

che equivale a scegliere i $3$

nodi: $x_0=a, x_1=\dfrac{a+b}{2},x_2=b.$

Segue la formula di quadratura:

$S_3(f)=\int_{x_0}^{x_2}\sum_{i=0}^2f(x_i)L_i(x)\, dx.$

Utilizzando le definizioni di polinomio di Lagrange, s’ottiene

$\begin{multline*} S_3(f)= \int_{x_0}^{x_2} f(x_0) \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} +\\ f(x_1) \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} +\\ f(x_2) \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} \, dx. \end{multline*}$

Per semplicità espositiva, si definiscono

$w_0:= \int_{x_0}^{x_2} \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} \, dx,$

$w_1:= \int_{x_0}^{x_2} \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} \, dx$

ed infine

$w_2:= \int_{x_0}^{x_2} \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} \, dx,$

per cui la quadratura diventa

$S_3(f)=w_0f(x_0)+w_1f(x_1)+w_2f(x_2).$

Anzitutto la simmetria del problema conduce ad ipotizzare una relazione tra $w_0$ ed $w_2:$ si mostra una proprietà più generale.

Proposizione 2. Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$

una funzione. Si consideri la formula di quadratura

$S_{n+1}=\sum_{i=0}^nw_if(x_i),$

ove

$w_i:=\int_a^b L_i(x)\, dx.$

Si supponga che i nodi siano disposti in maniera simmetrica rispetto al punto medio dell’intervallo $[a,b].$ Allora

$w_i=w_{n-i},$

per ogni $0\le i \le n.$

$\quad$

Dimostrazione. Si ha, per definizione,

$L_i(x)= \prod_{\substack{j=0\\j\neq i}}^n \frac{ x-x_j}{ x_i-x_j }.$

L’ipotesi sulla simmetria dei punti equivale ad asserire che

$x_j=a+b-x_{n-j}:$

infatti $x_j+x_{n-j}=a+b$ se e solo se i due nodi sono simmetrici rispetto al punto medio. Sono, dunque, possibili le sostituzioni

$L_i(x)= \prod_{\substack{j=0\\j\neq i}}^n \frac{ x-(a+b-x_{n-j})}{ (a+b-x_{n-i})-(a+b-x_{n-j}) } ,$

che equivale ad affermare che

$L_i(x)= \prod_{\substack{j=0\\j\neq i}}^n \frac{ x-(a+b-x_{n-j})}{ x_{n-j}- x_{n-i} },$

infine eguale a

$L_i(x)= \prod_{\substack{j=0\\j\neq i}}^n \frac{ (a+b-x)-x_{n-j})}{ x_{n-i}- x_{n-j} },$

mediante un cambio di segno. Posto $k=n-j,$ risulta

$L_i(x)= \prod_{\substack{k=0\\k\neq n-i}}^n \frac{ (a+b-x)-x_{k}}{ x_{n-i}- x_{k} },$

che è formalmente eguale a

$L_{n-i}(a+b-x).$

Si è ottenuto, dunque, che

$w_i=\int_a^b L_{n-i}(a+b-x) \, dx$

che diviene, mediante la trasformazione di variabile $y=a+b-x,$

$-\int_b^aL_{n-i}(y)\, dy,$

infine uguale a

$\int_a^bL_{n-i}(y)\, dy.$

Giacché, per definizione, questa ultima quantità è $w_{n-i},$ s’ha la tesi:

$w_i=w_{n-i}.$

La Proposizione ci assicura che $w_0=w_2:$ sono due gli integrali da calcolare, $w_0$ e $w_1.$ Si studino gli integrali della forma

$\int_a^b\frac{(x-t)(x-b)}{(a-t)(a-b)}\, dx,$

ai quali appartiene $w_0$ ponendo $a=x_0,b=x_2,t=x_1.$ Tale integrale è eguale a

$\frac{(b-a)(2a+b-3t)}{6(a-t)}.$

La sostituzione di cui sopra conduce a

$\int_{x_0}^{x_2}\frac{\left(x-\dfrac{x_0+x_2}{2}\right)(x-x_2)} {\left(x_0-\dfrac{x_0+x_2}{2}\right)(x_0-x_2)}\, dx= \frac{(x_2-x_0)\left(2x_0+x_2-3\dfrac{x_0+x_2}{2}\right)} {6\left(x_0-\dfrac{x_0+x_2}{2}\right)};$

semplici conti conducono a concludere che

$w_0=w_2= \frac{1}{6}(x_2-x_0) .$

Allo stesso modo si vadano a calcolare gli integrali della forma

$\int_a^b\frac{(x-a)(x-b)}{(t-a)(t-b)}\, dx,$

cui appartiene $w_1,$ mediante le medesime sostituzioni. Vale

$\int_a^b\frac{(x-a)(x-b)}{(t-a)(t-b)}\, dx= \frac{(a-b)^3}{6(t-a)(t-b)}.$

Sostituendo si ottiene

$\int_{x_0}^{x_2}\frac{(x-x_0)(x-x_2)} {(\dfrac{x_0+x_2}{2}-x_0)\left(\dfrac{x_0+x_2}{2}-x_2\right)}\, dx= \dfrac{(x_0-x_2)^3}{6\left(\dfrac{x_0+x_2}{2}-x_0\right) \left(\dfrac{x_0+x_2}{2}-x_2\right)},$

quantità che conduce, come si verifica con pochi passaggi algebrici, all’eguaglianza

$w_1= \frac{2}{3}(x_2-x_0) .$

Non resta che mettere assieme i valori ottenuti,

$S_3(f)= \frac{1}{6}(x_2-x_0) f(x_0)+ \frac{2}{3}(x_2-x_0)f(x_1)+ \frac{1}{6}(x_2-x_0)f(x_2),$

eguale, infine, Cavalieri-Simpson o dei tre punti, se ai nodi $x_i$ si sostituiscono i valori iniziali del problema:

$\quad$

Formula 3.

$S_3(f)= \frac{b-a} {6}\left(f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right).$

$\quad$

L’interpretazione grafica della formula di Cavalieri-Simpson evidenzia l’uso di una funzione approssimante quadratica.

$\quad$

Figura 3: Formula di quadratura di Cavalieri-Simpson.

Esempi di applicazione

Introduzione.

Quanto detto in una nota nelle prime pagine, indica che la primitiva della funzione dell’Esempio che segue sia complicata da calcolare e maneggiare, sebbene tale calcolo sia possibile⁵.

Si esorta il lettore volenteroso a calcolarla. ↩

Esempio 1. Si consideri

$\begin{matrix} f:&\mathbb{R}&\to&\mathbb{R}\\ & x &\to&\dfrac{x^2}{1+x^4} \end{matrix}$

Si richiede il calcolo approssimato di

$\int_1^3f(x)\, dx.$

Soluzione.

Sviluppate le formule, non resta che applicarle; anzitutto la formula del rettangolo:

$S_1(f)=(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right),$

che nel nostro caso equivale a

$S_1(f)=2f(2)=2\, \frac{2^2}{1+2^4} =\frac{8}{17}.$

Applichiamo ora la formula del trapezio:

$S_2(f)=\frac{b-a}{2}(f(a)+f(b)),$

che conduce a

$S_2(f)=f(1)+f(3)=\left( \frac{1^2}{1+1^4} + \frac{3^2}{1+3^4} \right)= \frac{50}{82}.$

Infine, si applica la formula di Cavalieri-Simpson:

$S_3(f)= \frac{b-a}{6}\left(f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right),$

che conduce, nel caso in esame, a

$S_3(f)= \frac{2}{6}\,(f(1)+4f(2)+f(3))= \frac{2}{6}\left( \frac{1^2}{1+1^4} + 4\, \frac{2^2}{1+2^4} + \frac{3^2}{1+3^4} \right);$

i calcoli restituiscono

$S_3(f)=\frac{2}{6}\left(\frac{50}{82}+ \frac{16}{17}\right)=\frac{2126}{4182}.$

Problema 3. Utilizzando le formule di quadratura, si forniscano approssimazioni di $\pi.$

Soluzione.

Le formule di quadratura hanno il pregio di richiedere la valutazione della funzione integranda in certi punti. Ne segue che se la funzione integranda è razionale, tali calcoli sono semplici, per cui il problema si riduce ad individuare una funzione integranda razionale che abbia primitiva in forma trigonometrica. Un integrale siffatto è

$\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\, dx,$

giacché vale la relazione

$\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\, dx=\arctan(1),$

che è equivalente ad affermare che

$\pi=4 \int_0^1\frac{1}{1+x^2}\, dx.$

Ora non resta che applicare le formule trovate:

$\pi\approx 4\left( \frac{1}{1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2} \right)= \frac{16}{5},$

usando la formula del rettangolo.

$\pi\approx 4\, \dfrac{1}{2}\left( \frac{1}{1+0^2} +\frac{1}{1+1^2} \right)= 3$

con la formula del trapezio. Infine la formula di Cavalieri-Simpson conduce a

$\pi\approx 4\, \frac{1}{6}\left( \frac{1}{1+0^2}+ 4\,\frac{1}{1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2} +\frac{1}{1+1^2} \right)=\frac{47}{15}.$

I valori approssimati sono, ordinatamente,

$\pi\approx 3.2,$

$\pi\approx 3,$

$\pi\approx 3,1\bar{3}.$

Le formule composte

Leggi...

La proposizione 1 stabilisce che una formula di quadratura che coinvolga $n+1$

nodi ha un grado di precisione almeno $n.$

Ne segue che volendo aumentare l’accuratezza della formula di quadratura, devono aumentare i nodi, con conseguente aumento della complessità dei calcoli⁶. Per ovviare a tali complicazioni si ricorre all’aspediente di suddividere in tanti intervalli (uguali per comodità di calcolo) l’intervallo $[a,b].$

Su ognuno di questi si applicherà una delle formule note: in tal modo, aumentando il numero di sottointervalli individuati, può aumentarsi la precisione, mantenendo il numero di nodi ragionevolmente basso. Qui si accenna solamente a questa idea, lasciando il compito dell’approfondimento a lavori futuri (e alla curiosità del lettore).

Esistono, tuttavia, motivazioni più profonde, che esulano dagli scopi di questo testo, che rendono le formule con $n\ge 8$ intrattabili. ↩

Tutta la teoria di analisi matematica

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Tutte le cartelle di Analisi Matematica

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Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

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Formule del trapezio, rettangolo e Cavalieri-Simpson

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Sommario

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Autori e revisori

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Prerequisiti

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Introduzione al problema

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Definizioni iniziali

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Interpolazione e costruzione esplicita della quadratura

Introduzione.

Formula del rettangolo: n=0.

Formula del trapezio: n=1.

Formula di Cavalieri-Simposon: n=2.

Esempi di applicazione

Introduzione.

Soluzione.

Soluzione.

Le formule composte

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