Esercizio sulle somme di Riemann

Analisi matematica, Calcolo integrale, Esercizi misti integrali indefiniti

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In questo articolo presentiamo un esercizio relativo alle somme di Riemann, che determinano il valore approssimato di un integrale. Tale proprietà può essere sfruttata per determinare il limite esatto di serie numeriche, in virtù della sua coincidenza col valore di un integrale definito, calcolabile con altri metodi.

Segnaliamo il materiale di teoria correlato:

Buona lettura!

Esercizio 1. $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$
Calcolare il seguente limite:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\sqrt{(k+n)(k+n+1)}}}$

Svolgimento.

La serie è a termini positivi. Osserviamo che

(1) $\begin{align*} n+k+1\ge n+k \end{align*}$

da cui

(2) $\begin{align*} (n+k)(n+k+1)\ge (n+k)(n+k)=(n+k)^2 \end{align*}$

Facendo i reciproci, cambiando verso della disequazione, troviamo

(3) $\begin{align*} \frac{1}{(n+k)(n+k+1)}\le \frac{1}{(n+k)^2} \end{align*}$

Applicando la radice quadrata ambo i membri della disequazione, tenendo conto che la quantità $k+n$ è sempre positiva, si ottiene

(4) $\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{(n+k)(n+k+1)}}\le \frac{1}{(n+k)} \end{align*}$

Valutiamo la somma parziale della serie. Abbiamo:

$\sum_{k=0}^n\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$

Applichiamo la definizione della somma di Riemann modificando gli indici della serie in modo da ricongiungere al calcolo di un integrale definito. Dalla serie

(5) $\begin{align*} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}} \end{align*}$

è equivalente a calcolare la serie

(6) $\begin{align*} \frac{1}{n}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}-\frac{1}{2}\right) \end{align*}$

dove abbiamo considerato i primi $n-1$ termini del termine generale e tolto il termine ennesimo, dove ponendo $k=n$ si ha

$\frac{1}{1+\frac{k}{n}}=\frac{1}{1+\frac{n}{n}}=\frac{1}{2}$

Utilizzando la definizione di integrale di Riemann, passando al limite per $n \to +\infty$ , l’uguaglianza (6) diventa:

$\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}-\frac{1}{2n}\right)=\int_0^1 \frac{1}{1+x}dx=\ln(2)$

da cui si trova

(7) $\begin{align*}\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\sqrt{(k+n)(k+n+1)}}\le \ln(2)\end{align*}$

Ora osserviamo che si ha pure

$k+n\le k+n+1$

quindi

$(k+n)(k+n+1)\le (k+n+1)(k+n+1)=(k+n+1)^2$

Applicando le radici quadrate ambo i membri della disequazione otteniamo

$\sqrt{(k+n)(k+n+1)} \le (k+n+1)$

Facendo i reciproci otteniamo

$\frac{1}{\sqrt{(k+n)(k+n+1)}} \ge \frac{1}{k+n+1}$

Valutiamo la somma della serie

$\sum_{k=0}^n\frac{1}{n+k+1}$

La serie, facendo una piccola modifica degli indici senza alterare il valore, possiamo scrivere

$\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{n+k}$

dove, quest’ultima serie, aggiungendo il termine per $k=0$ e togliendo i termini per $k=n$ e $k=n+1$ si trova tra i termini ottenuti di nuovo la serie gia calcolata in precedenza. Infatti:

$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n+k}=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{n+k}+\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}$

Mettendo in evidenza il fattore $\frac{1}{n}$ davanti alla serie, si può applicare la definizione di integrale di Riemann dove l’1 al numeratore non è altro che la differenza tra gli estremi superiore e inferiore dell’integrale. Da cui:

$\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}-\frac{1}{n}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}$

dove già sappiamo che

$\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}=\ln(2)$

Quindi si ottiene:

$\lim_{n \to +\infty}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{n+k}=\lim_{n \to +\infty}\left(\ln(2)+\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}\right)=\ln(2)$

da cui abbiamo

$\lim_{n \to +\infty}\sum_{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{(k+n)(k+n+1)}} \ge \ln(2)$

Dai risultati ottenuti, dal teorema del confronto abbiamo ottenuto che

$\ln(2)\le \lim_{n \to +\infty}\sum_{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{(k+n)(k+n+1)}} \le \ln(2)$

Quindi il limite richiesto vale

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{n \to +\infty}\sum_{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{(k+n)(k+n+1)}}=\ln(2)}$

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