Esercizio sulle somme di Riemann

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Esercizio 1. (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)
Calcolare il seguente limite:

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\sqrt{(k+n)(k+n+1)}}}\]

Svolgimento

La serie è a termini positivi. Osserviamo che

(1)   \begin{align*} n+k+1\ge n+k \end{align*}

da cui

(2)   \begin{align*} (n+k)(n+k+1)\ge (n+k)(n+k)=(n+k)^2 \end{align*}

Facendo i reciproci, cambiando verso della disequazione, troviamo

(3)   \begin{align*} \frac{1}{(n+k)(n+k+1)}\le \frac{1}{(n+k)^2} \end{align*}

Applicando la radice quadrata ambo i membri della disequazione, tenendo conto che la quantità k+n è sempre positiva, si ottiene

(4)   \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{(n+k)(n+k+1)}}\le \frac{1}{(n+k)} \end{align*}

Valutiamo la somma parziale della serie. Abbiamo:

    \[\sum_{k=0}^n\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\]

Applichiamo la definizione della somma di Riemann modificando gli indici della serie in modo da ricongiungere al calcolo di un integrale definito. Dalla serie

(5)   \begin{align*} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}} \end{align*}

è equivalente a calcolare la serie

(6)   \begin{align*} \frac{1}{n}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}-\frac{1}{2}\right) \end{align*}

dove abbiamo considerato i primi n-1 termini del termine generale e tolto il termine ennesimo, dove ponendo k=n si ha

    \[\frac{1}{1+\frac{k}{n}}=\frac{1}{1+\frac{n}{n}}=\frac{1}{2}\]

.

Utilizzando la definizione di integrale di Riemann, passando al limite per n \to +\infty, l’uguaglianza (6) diventa:

    \[\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}-\frac{1}{2n}\right)=\int_0^1 \frac{1}{1+x}dx=\ln(2)\]

da cui si trova

(7)   \begin{align*}\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\sqrt{(k+n)(k+n+1)}}\le \ln(2)\end{align*}

Ora osserviamo che si ha pure

    \[k+n\le k+n+1\]

quindi

    \[(k+n)(k+n+1)\le (k+n+1)(k+n+1)=(k+n+1)^2\]

Applicando le radici quadrate ambo i membri della disequazione otteniamo

    \[\sqrt{(k+n)(k+n+1)} \le (k+n+1)\]

Facendo i reciproci otteniamo

    \[\frac{1}{\sqrt{(k+n)(k+n+1)}} \ge \frac{1}{k+n+1}\]

Valutiamo la somma della serie

    \[\sum_{k=0}^n\frac{1}{n+k+1}\]

La serie, facendo una piccola modifica degli indici senza alterare il valore, possiamo scrivere

    \[\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{n+k}\]

dove, quest’ultima serie, aggiungendo il termine per k=0 e togliendo i termini per k=n e k=n+1 si trova tra i termini ottenuti di nuovo la serie gia calcolata in precedenza. Infatti:

    \[\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{n+k}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n+k}+\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n-1}\]

mettiamo in evidenza il fattore \frac{1}{n} davanti alla serie in modo da applicare la definizione di integrale di Riemann dove l’1 al numeratore non è altro che la differenza tra gli estremi superiore e inferiore dell’integrale. Da cui:

    \[\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}+\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n-1}\]

dove già sappiamo che

    \[\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}=\ln(2)\]

Quindi si ottiene:

    \[\lim_{n \to +\infty}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{n+k}=\lim_{n \to +\infty}\left(\ln(2)+\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n-1}\right)=\ln(2)\]

da cui abbiamo

    \[\lim_{n \to +\infty}\sum_{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{(k+n)(k+n+1)}} \ge \ln(2)\]

Dai risultati ottenuti, dal teorema del confronto abbiamo ottenuto che

    \[\ln(2)\le \lim_{n \to +\infty}\sum_{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{(k+n)(k+n+1)}} \le \ln(2)\]

Quindi il limite richiesto vale

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{n \to +\infty}\sum_{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{(k+n)(k+n+1)}}=\ln(2)}\]