Esercizi sulle funzioni – 1

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In questa pagina presentiamo 30 esercizi sulle funzioni di carattere misto. Gli esercizi sono corredati di soluzione completa, così da consentire al lettore il confronto della soluzione da egli reperita con quella fornita. Essi sono quindi particolarmente adatti a studenti dei corsi di Analisi Matematica 1 per testare e approdondire la loro preparazione a 360° su questo importante e affascinante argomento.

Oltre alla raccolta Esercizi sulle funzioni – 2, segnaliamo anche le seguenti risorse teoriche necessarie per la risoluzione di questi esercizi sulle funzioni:

Buona lettura!

Sommario

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Questa dispensa offre una raccolta di esercizi volti a esplorare le proprietà generali delle funzioni matematiche. I primi tre esercizi si concentrano sulla ricostruzione di una funzione a partire da specifici vincoli e ipotesi date. Successivamente, il secondo blocco di esercizi richiede di determinare il dominio naturale di funzioni via via più complesse, che sono il risultato di composizioni di funzioni elementari. Il dominio di queste funzioni è discusso nei richiami teorici forniti all’inizio della dispensa.

Il terzo gruppo di esercizi si focalizza sull’analisi delle simmetrie delle funzioni, in particolare sulla verifica della loro parità o disparità. Le simmetrie continuano ad essere studiate negli esercizi successivi, in cui viene analizzata la periodicità delle funzioni, con l’obiettivo di individuare il minimo intervallo in cui la funzione si ripete, se esiste.

Vi sono poi esercizi dedicati alla composizione di funzioni, utili per consolidare la comprensione di come le funzioni interagiscono tra loro e al calcolo dell’immagine di punti specifici. Infine, l’ultimo blocco di esercizi si concentra sull’invertibilità delle funzioni proposte, richiedendo di trovare l’espressione esplicita e il dominio delle funzioni inverse.

Autori e revisori

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Autori: Donato Ciampa, Valerio Brunetti

Revisori: Matteo Talluri, Giulio Binosi.

Introduzione

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Questa dispensa è dedicata a una serie di esercizi focalizzati sulle proprietà delle funzioni, includendo aspetti come la determinazione del dominio, l’analisi della periodicità e la verifica della simmetria. All’inizio, vi è un richiamo alla teoria essenziale, che fornisce le basi necessarie per affrontare e risolvere gli esercizi proposti. Per coloro che desiderano un approfondimento ulteriore, sono disponibili link aggiuntivi (teoria delle funzioni, guida sul calcolo del dominio di una funzione), che offrono risorse e spiegazioni più dettagliate sui temi trattati.

Richiami di teoria

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Definizione 1.1. Dati due insiemi $E,F$ , una funzione $f:E\to F$ è una relazione tra gli insiemi $E$ e $F$ , tale che ad ogni elemento $x\in E$ si associa uno e un solo elemento $y\coloneqq f(x)\in F$ , detto immagine di $x$ tramite $f$ .

Formalmente, una funzione $f:E\to F$ si definisce come un sottoinsieme $f \subset E \times F$ , tale che

(1) $\begin{equation*} \forall \, x \in E \quad \exists \,! y \in F \; \mbox{ tale che } (x,y) \in f. \end{equation*}$

Tramite la proprietà (1), dato $x \in E$ , l’unico elemento $y\in F$ tale che $(x,y)\in f$ è l’immagine di $x$ tramite $f$ , che indicheremo $y=f(x)$ .

L’insieme $E$ è detto dominio di $f$ e si denota a volte con ${\rm Dom}(f)$ , mentre l’insieme $F$ è detto codominio di $f$ .

Se $f$ è una funzione da $E$ a $F$ , si scrive

(2) $\begin{equation*} f \colon E\to F, \qquad \text{oppure} \qquad f \colon x \in E \mapsto f(x) \in F, \end{equation*}$

se si vuole indicare anche come $f$ agisce sugli elementi del dominio.

Definizione 1.2 (immagine). Sia $f:E\to F$ una funzione e sia $A \subseteq E$ . L’immagine di $A$ è il sottoinsieme $f(A)$ di $F$ dato da

$f(A)\coloneqq \{y\in F: \exists \,x\in A: y=f(x) \}= \{ f(x): x \in A \}\subseteq F.$

L’insieme $f(E)$ è detto l’immagine di $f$ , e si denota anche con $\operatorname{Im}(f)$ .

Definizione 1.3 (controimmagine). Sia $f \colon E \to F$ una funzione e sia $B \subseteq F$ . Si dice controimmagine (o preimmagine) di $B$ tramite $f$ il sottoinsieme di $E$ definito da

(3) $\begin{equation*} f^{-1}(B) \coloneqq \{ x \in E \colon f(x) \in B \}\subseteq E. \end{equation*}$

Definizione 1.4. Siano $E,F$ due insiemi. Una funzione $f:E\to F$ si dice

$\quad$

iniettiva se, per ogni $x, y \in E$ , $f(x)=f(y)$ implica $x=y$ (oppure, equivalentemente $x\neq y$ implica $f(x)\neq f(y)$ ).

suriettiva se l’immagine di $f$ è tutto il codominio, ovvero ${\rm Im}(f)=F$ (oppure, equivalentemente $\forall \,y\in F$ $\exists \, x\in E$ tale che $y=f(x)$ ).

biettiva (o biunivoca) se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva.

Definizione 1.5 (invertibilità). Siano $E,F$ due insiemi. Una funzione $f:E\to F$ si dice invertibile se esiste una funzione $g:F\to E$ tale che

(4) $\begin{equation*} g \circ f = \operatorname{Id}_E \quad \mbox{e} \quad f \circ g =\operatorname{Id}_F. \end{equation*}$

Una funzione $g$ che soddisfa l’equazione di sinistra nella (4) si chiama una inversa sinistra di $f$ , mentre una funzione $g$ che soddisfa l’equazione di destra nella (4) si chiama una inversa destra di $f$ .

Proposizione 1.6 (condizioni equivalenti all’invertibilità). Siano $E,F$ due insiemi tale che $E$ sia non vuoto, e sia $f:E\to F$ una funzione. Allora,

$\quad$

la funzione $f$ ammette un’inversa sinistra se e solo se è iniettiva;

la funzione $f$ ammette un’inversa destra se e solo se è suriettiva;

la funzione $f$ è invertibile se e solo se è biettiva.

Definizione 1.7. Una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ si dice

$\quad$

pari se, per ogni $x\in \mathbb{R}, \quad f(x)=f(-x)$ ;

dispari se, per ogni $x\in \mathbb{R}, \quad f(x)=-f(-x)$ .

Definizione 1.8. Una funzione $f:E\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ si dice periodica in $E$ se esiste $T >0$ tale che

$\quad$

Il dominio $E$ è invariante per traslazione di $T$ , i.e.
$E=E+T\coloneqq \{x+T \mid x\in E\}$

$f$ è invariante per traslazione di $T$ , i.e.
$f(x+T)=f(x), \qquad \forall x \in E.$

Un tale $T$ , se esiste, viene detto un periodo di $f$ , e $f$ è detta $T$ -periodica.

Definizione 1.9 (insieme di definizione). Data un’operazione $f(x)$ sul numero reale $x$ , si dice insieme di definizione, o campo di esistenza, o dominio massimale di $f(x)$ , il massimo sottoinsieme $D$ di $\mathbb{R}$ , rispetto all’ordinamento per inclusione, per cui esista la funzione $f: D \to \mathbb{R}$ definita da

(5) $\begin{equation*} f: x \in D \mapsto f(x) \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Con un abuso di notazione, la funzione $f:D \to \mathbb{R}$ , detta funzione determinata da $f(x)$ , si indica con lo stesso simbolo usato per l’operazione che la determina.

$\quad$

Di seguito riportiamo i metodi pratici per determinare i domini delle funzioni. Si osservi che, quando si deve determinare il dominio di una funzione composta, è necessario procedere determinando via via i domini delle funzioni dalla più interna fino alla più esterna e mettere tutto a sistema. Ad esempio, se la funzione è

$f(x)=\sqrt{\log\left(\arcsin(g(x))\right)},$

bisogna imporre (come si può dedurre dalle regole riportate di seguito)

$\left\{\begin{array}{l} -1\leq g(x)\leq 1\\\\ \arcsin[g(x)]>0\\\\ \log\left(\arcsin(g(x))\right)\geq 0. \end{array}\right.$

$(1)$ Le funzioni polinomiali hanno dominio coincidente con tutto l’asse reale.

$(2)$ Per le funzioni razionali fratte $f(x)=P(x)/Q(x)$ si pone

(6) $\begin{equation*} Q(x)\neq 0. \end{equation*}$

$(3)$ Per le funzioni irrazionali di indice dispari $f(x)=\sqrt[2n+1]{g(x)}$ ci si riconduce alla determinazione del dominio della funzione $g(x)$ . Per le funzioni irrazionali di indice pari $f(x)=\sqrt[2n]{g(x)}$ si impone la condizione

(7) $\begin{equation*} g(x)\geq 0. \end{equation*}$

$(4)$ Le funzioni trigonometriche $f(x)=\sin\left(g(x)\right)$ , $f(x)=\cos\left(g(x)\right)$ hanno dominio coincidente con quello della funzione $g(x)$ . Per la funzione trigonometrica $f(x)=\tan\left(g(x)\right)$ bisogna invece imporre anche la condizione

(8) $\begin{equation*} g(x)\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}. \end{equation*}$

$(5)$ Per le funzioni trigonometriche inverse $f(x)=\arcsin\left(g(x)\right)$ , $f(x)=\arccos\left(g(x)\right)$ va imposta anche la condizione

(9) $\begin{equation*} -1\leq g(x)\leq 1 \end{equation*}$

mentre la funzione $f(x)=\arctan\left(g(x)\right)$ ha dominio coincidente con quello della funzione $g(x)$ .

$(6)$ Per la funzione esponenziale $f(x)=e^{g(x)}$ il dominio coincide con quello della funzione $g(x)$ . Per la funzione esponenziale $f(x)=[h(x)]^{g(x)}$ si impone la condizione

(10) $\begin{equation*} h(x)>0, \end{equation*}$

oltre alla ricerca dei punti in cui sono definite le funzioni $g(x)$ e $h(x)$ .

$(7)$ Per la funzione logaritmo $f(x)=\log_a g(x)$ si impone la condizione

(11) $\begin{equation*} g(x)>0, \end{equation*}$

mentre per la funzione logaritmo $f(x)=\log_{g(x)}\left(g(x)\right)$ si impone il sistema

(12) $\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} g(x)>0\quad \wedge \quad g(x)\neq 1\\ h(x)>0. \end{array}\right. \end{equation*}$

$(8)$ Le funzioni iperboliche $f(x)=\sinh\left(g(x)\right)$ , $f(x)=\cosh\left(g(x)\right)$ , $f(x)=\tanh\left(g(x)\right)$ hanno dominio coincidente con quello della funzione $g(x)$ .

$(9)$ La funzione iperbolica inversa $f(x)=\mathrm{arcsinh}\left(g(x)\right)$ ha dominio coincidente con quello della funzione $g(x)$ . Per la funzione iperbolica inversa $f(x)=\text{arcosh}\left(g(x)\right)$ bisogna imporre la condizione

(13) $\begin{equation*} g(x)\geq 1. \end{equation*}$

Per la funzione iperbolica inversa $f(x)=\mathrm{arctanh}\left(g(x)\right)$ si impone la condizione

(14) $\begin{equation*} -1<g(x)<1. \end{equation*}$

Proponiamo una tabella riassuntiva nel caso in cui $A(x)$ e $B(x)$ siano due funzioni polinomiali. Allora vale quanto segue

$\quad$

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$\quad$

E’ importante osservare che nel caso di combinazioni di funzioni, i diversi domini possono essere posti a sistema.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f(x)$ una funzione polinomiale di primo grado. Determinare tale funzione sapendo che

$f(-1)=2,\qquad f(2)=-3.$

Svolgimento.

Una funzione lineare ha la forma $f(x)=ax+b$ , con $a,b\in\mathbb{R}$ . Allora si ha

$\left\{\begin{array}{l} 2=f(-1)=-a+b\\ -3=f(2)=2a+b \end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l} -a+b=2\\ 2a+b=-3 \end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l} b=2+a\\ 3a+2=-3 \end{array}\right.$

la cui soluzione è $a=-5/3,b=1/3$ , e quindi la funzione cercata è

$f(x)=-\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}.$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare una funzione polinomiale $f(x)$ di secondo grado, tale che

$f(0)=1,\qquad f(1)=0,\qquad f(3)=5.$

Svolgimento.

Cerchiamo una funzione della forma

$f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a,b,c\in\mathbb{R}.$

Imponendo le condizioni troviamo

$\left\{\begin{array}{l} c=1\\ a+b+c=0\\ 9a+3b+c=5 \end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l} c=1\\ a+b+1=0\\ 9a+3b-4=0 \end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l} c=1\\ b=-a-1\\ 6a-7=0 \end{array}\right.$

la cui soluzione è $a=7/6,b=-13/6,c=1$ , e quindi la funzione cercata è

$f(x)=\frac{7}{6}x^2-\frac{13}{6}x+1.$

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Utilizzando la funzione valore assoluto,
esprimere la funzione

$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} 0 & & x\leq 0\\ x & & x>0 \end{array}\right.$

mediante una sola formula.

Svolgimento.

Si osservi che, se $x\leq 0$ , abbiamo

$0=x-x=x+|x|,$

per definizione di valore assoluto. D’altra parte, se $x>0$ , si ha

$x=\frac{1}{2}(x+x)=\frac{1}{2}(x+|x|).$

Ne segue l’espressione cercata per $f$ :

$f(x)=\frac{1}{2}(x+|x|).$

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il dominio della seguente funzione:

(15) $\begin{equation*} y(x)=\sqrt{x+1}. \end{equation*}$

Svolgimento.

La funzione è definita per

$x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq-1,$

per cui $\text{Dom}(f)=[-1,+\infty)$ .

Esercizio 5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il dominio della seguente funzione:

(16) $\begin{equation*} y(x)=\sqrt{x^2-2}. \end{equation*}$

Svolgimento.

La funzione è definita per

$x^2-2\geq0\Leftrightarrow x\leq-\sqrt{2}\textrm{ e }x\geq\sqrt{2},$

per cui $\text{Dom}(f)=(-\infty,-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2},+\infty)$ .

Esercizio 6 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il dominio della seguente funzione:

(17) $\begin{equation*} y(x)=\sqrt{-x}+\frac{1}{\sqrt{2+x}}. \end{equation*}$

Svolgimento.

La funzione è definita per

$\left\{\begin{array}{l} -x\geq 0\\ x+2>0 \end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x\leq 0\\ x>-2 \end{array}\right.,$

per cui $\text{Dom}(f)=(-2,0]$ .

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il dominio della seguente funzione:

(18) $\begin{equation*} y(x)=\log\frac{2+x}{x-2}. \end{equation*}$

Svolgimento.

La funzione è definita per

$\frac{2+x}{x-2}>0.$

Ora si ha, per il numeratore

$2+x>0\Leftrightarrow x>-2$

mentre per il denominatore

$2-x>0\Leftrightarrow x<2.$

Ne segue che

$\quad$

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$\quad$

e quindi $\text{Dom}(f)=(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$ .

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il dominio della seguente funzione:

(19) $\begin{equation*} y(x)=\arccos\frac{2x}{1+x}. \end{equation*}$

Svolgimento.

La funzione $\arccos$ è definita sull’intervallo $[-1,1]$ . Allora

$-1\leq\frac{2x}{x+1}\leq 1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\frac{2x}{x+1}+1\geq 0\\ \\ \displaystyle\frac{2x}{x+1}-1\leq 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\frac{3x+1}{x+1}\geq 0\\ \\ \displaystyle\frac{x-1}{x+1}\leq 0 \end{array}\right..$

Per la prima disequazione abbiamo:

$\quad$

numeratore: $3x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq-1/3$ ,

denominatore: $x+1>0\Leftrightarrow x>-1$ ,

quindi

$\quad$

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$\quad$

da cui la soluzione della prima disequazione: $A=(-\infty,-1)\cup[-1/3,+\infty)$ . Per la seconda disequazione abbiamo:

$\quad$

numeratore: $x-1\geq 0\Leftrightarrow x\geq 1$ ,

denominatore: $x+1>0\Leftrightarrow x>-1$ ,

quindi

$\quad$

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$\quad$

da cui la soluzione della seconda disequazione: $B=(-1,1]$ . Ne deduciamo che $\text{Dom}(f)=A\cap B=[-1/3,1]$ .

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il dominio della seguente funzione:

(20) $\begin{equation*} y(x)=\sqrt{\sin 2x}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Abbiamo, restringendo l’intervallo di definizione a $[-\pi,\pi]$ ,

$\sin 2x\geq 0\Leftrightarrow 0\leq 2x\leq \pi.$

A causa della periodicità, si ha poi

$2k\pi\leq 2x\leq(2k+1)\pi\Leftrightarrow k\pi\leq x\leq \pi/2+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},$

e quindi: $\displaystyle \text{Dom}(f)=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left[k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right]$ .

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 37 esercizi svolti misti sulle funzioni.

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il dominio della seguente funzione:

(21) $\begin{equation*} y(x)=\sqrt{x+1-\sqrt{1-x^2}}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Abbiamo

$x+1-\sqrt{1-x^2}\geq 0\Longleftrightarrow \sqrt{1-x^2}\leq x+1,$

e quindi il sistema

$\left\{\begin{array}{l} x+1\geq 0\\ 1-x^2\geq 0\\ 1-x^2\leq x^2+2x+1 \end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x\geq -1\\ x^2-1\leq 0\\ 2x^2+2x\geq 0 \end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x\geq -1\\ -1\leq x\leq 1\\ x\leq-1,\ x\geq 0 \end{array}\right.$

da cui

$\quad$

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$\quad$

e quindi il dominio risulta $\text{Dom}(f)=[0,1]$ .

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il dominio della seguente funzione:

(22) $\begin{equation*} y(x)=(2^{2x}-2^{x+2}+3)^{1/x^2}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Essendo la funzione esponenziale, dobbiamo porre

$2^{2x}-4\cdot 2^x+3>0,\quad x\neq 0.$

Posto $t=2^x$ abbiamo la disequazione

$t^2-4t+3>0\Longleftrightarrow t_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}\Longleftrightarrow t_1=1, t_2=3,$

e quindi la soluzione

$t<1,\ t>3\Longleftrightarrow 2^x<1,\ 2^x>3\Longleftrightarrow x<0,\ x>\log_2 3.$

Quindi: $\text{Dom}(f)=(-\infty,0)\cup(\log_2 3,+\infty)$ .

Esercizio 12 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare se la seguente funzione è pari o dispari:

(23) $\begin{equation*} f(x)=\frac{1}{2}(a^x+a^{-x}). \end{equation*}$

Svolgimento.

Abbiamo

$f(-x)=\frac{1}{2}(a^{-x}+a^{x})=f(x),$

per cui la funzione è pari.

Esercizio 13 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare se la seguente funzione è pari o dispari:

(24) $\begin{equation*} f(x)=\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Abbiamo

$f(-x)=\sqrt{1-x+x^2}-\sqrt{1+x+x^2}=-f(x),$

per cui la funzione è dispari.

Esercizio 14 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare se la seguente funzione è pari o dispari:

(25) $\begin{equation*} f(x)=\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{(x-1)^2}, \end{equation*}$

Svolgimento.

Abbiamo

$\begin{aligned} f(-x) &= \sqrt[3]{(-x + 1)^2} + \sqrt[3]{(-x - 1)^2} \\ &= \sqrt[3]{(x - 1)^2} + \sqrt[3]{(x + 1)^2} \\ &= f(x), \end{aligned}$

per cui la funzione è pari.

Esercizio 15 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare se la seguente funzione è pari o dispari:

(26) $\begin{equation*} f(x)=\log\frac{1+x}{1-x}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Abbiamo

$\begin{aligned} f(-x) &= \log \frac{1 - x}{1 + x} \\ &= \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)^{-1} \\ &= -\log \frac{1 + x}{1 - x} \\ &= -f(x), \end{aligned}$

per cui la funzione è dispari.

Esercizio 16 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare se la seguente funzione è pari o dispari:

(27) $\begin{equation*} f(x)=\log\left(x+\sqrt{1+x^2}\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Abbiamo

$\begin{aligned} f(-x) &= \log\left(-x + \sqrt{1 + x^2}\right) \\ &= \log\left[\frac{(-x + \sqrt{1 + x^2})(x + \sqrt{1 + x^2})}{x + \sqrt{1 + x^2}}\right] \\ &= \log\left(\frac{-x^2 + 1 + x^2}{x + \sqrt{1 + x^2}}\right) \\ &= \log\left(\frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}}\right) \\ &= -\log\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) \\ &= -f(x), \end{aligned}$

per cui la funzione è dispari.

Esercizio 17 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare un periodo della seguente funzione:

(28) $\begin{equation*} f(x)=10\sin 3x. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo in $T$ l’equazione

$f(x+T)=f(x)\Leftrightarrow 10\sin 3(x+T)=10\sin 3x.$

Poiché il periodo della funzione seno è $2\pi$ , abbiamo dalla precedente equazione $3T=2\pi$ , e quindi $T=2\pi/3$ .

Esercizio 18 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare un periodo della seguente funzione:

(29) $\begin{equation*} f(x)=a\sin\lambda x+b\cos\lambda x. \end{equation*}$

Svolgimento.

Si osservi che, essendo le funzioni seno e coseno periodiche di periodo $2\pi$ , necessariamente anche la loro somma sarà periodica con lo stesso periodo. Inoltre, dall’esercizio precedente ricaviamo immediatamente che $T=2\pi/\lambda$ .

Esercizio 19 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare un periodo della seguente funzione:

(30) $\begin{equation*} f(x)=\sqrt{\tan x}. \end{equation*}$

Svolgimento.

La funzione tangente è periodica di periodo $\pi$ . Inoltre la funzione è definita solo per i valori di $x$ per cui $\tan x\geq 0$ , e quindi in $[0,\pi/2)$ . Non essendoci ulteriori restrizioni, la funzione data è periodica di periodo $\pi$ .

Esercizio 20 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare un periodo della seguente funzione:

(31) $\begin{equation*} f(x)=\sin^2 x. \end{equation*}$

Svolgimento.

La funzione seno ha periodicità pari a $2\pi$ . Tuttavia, prendendo il quadrato, la funzione assume lo stesso valore per $x$ e $-x$ . Ne segue che sugli intervalli $[-\pi,0]$ e $[0,\pi]$ la $f(x)$ assume gli stessi valori e quindi il suo periodo si riduce a $T=\pi$ .

Esercizio 21 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare un periodo della seguente funzione:

(32) $\begin{equation*} f(x)=\sin\sqrt{x}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo anche in questo caso l’equazione in $T$

$\sin\sqrt{x+T}=\sin\sqrt{x}.$

Otteniamo

$\sqrt{x+T}=\sqrt{x}+2\pi\Rightarrow x+T=x+4\pi\sqrt{x}+4\pi^2.$

Ora tale equazione ha come soluzione

$T=4\pi^2+4\pi\sqrt{x},$

che dipende da $x$ . Ne segue che la funzione data non è periodica.

Esercizio 22 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Trovare $\phi\left(\psi(x)\right)$ e $\psi\left(\phi(x)\right)$ se $\phi(x)=x^2$ e $\psi(x)=2^x$ .

Svolgimento.

Abbiamo

$\phi\left(\psi(x)\right)=\phi(2^x)=(2^x)^2=2^{2x}$

$\psi\left(\phi(x)\right)=\psi(x^2)=2^{x^2}.$

Esercizio 23 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Trovare $f\{f[f(x)]\}$ se

$f(x)=\frac{1}{1-x}.$

Svolgimento.

Abbiamo

$\begin{aligned} f\{f[f(x)]\} &= f\left\{f\left[\frac{1}{1-x}\right]\right\} = f\left\{\frac{1}{\displaystyle 1 - \frac{1}{1 - x}}\right\} \\ &= f\left\{\frac{1 - x}{-x}\right\}= \frac{1}{\displaystyle 1 - \frac{1 - x}{-x}} \\ &= \frac{-x}{-1} = x. \end{aligned}$

da cui otteniamo $f\{f[f(x)]\}=x$ .

Esercizio 24 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare $f(-1),\ f(0),\ f(1)$ se

$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} \arcsin x & & -1\leq x\leq 0\\ & & \\ \arctan x & & x>0 \end{array}\right..$

Svolgimento.

Si ha immediatamente

$f(-1)=\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2},\quad f(0)=\arcsin 0=0,$

$f(1)=\arctan 1=\frac{\pi}{4}.$

Esercizio 25 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Mostrare che la seguente espressione definisce una funzione invertibile e determinarne l’inversa con relativo dominio:

(33) $\begin{equation*} y(x)=2x+3. \end{equation*}$

Svolgimento.

L’immagine della funzione è $\mathbb{R}$ . Allora

$y=2x+3\Leftrightarrow 2x=y-3\Leftrightarrow x=\frac{y-3}{2},$

il cui dominio è tutto $\mathbb{R}$ .

Esercizio 26 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Mostrare che la seguente espressione non definisce una funzione invertibile, ma che la sua restrizione a $[0,+\infty)$ lo fa:

(34) $\begin{equation*} y(x)=x^2-1. \end{equation*}$

Svolgimento.

L’immagine di questa funzione è $[-1,+\infty)$ . Allora

$y=x^2-1\Leftrightarrow x^2=y+1\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{y+1}.$

Dunque la funzione non è invertibile, in quanto non è iniettiva. Tuttavia, restringendo il dominio a $[0,+\infty)$ , la funzione è iniettiva, dunque invertibile. La funzione inversa è

$x=\sqrt{y+1}.$

Esercizio 27 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Mostrare che la seguente espressione definisce una funzione invertibile e determinarne l’inversa con relativo dominio:

(35) $\begin{equation*} y(x)=\sqrt[3]{1-x^3}. \end{equation*}$

Svolgimento.

L’immagine di questa funzione è tutto $\mathbb{R}$ , e

$y=\sqrt[3]{1-x^3}\Leftrightarrow y^3=1-x^3\Leftrightarrow x^3=1-y^3\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{1-y^3},$

che coincide con la funzione di partenza.

Esercizio 28 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Mostrare che la seguente espressione definisce una funzione invertibile e determinarne l’inversa con relativo dominio:

(36) $\begin{equation*} y(x)=\log\frac{x}{2} \end{equation*}$

Svolgimento.

L’immagine della funzione è l’intervallo $(-\infty,+\infty)$ . Abbiamo

$y=\log\frac{x}{2}\Leftrightarrow\frac{x}{2}=e^y\Leftrightarrow x=2e^y,$

il cui dominio coincide con tutto $\mathbb{R}$ .

Esercizio 29 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Mostrare che la seguente espressione definisce una funzione invertibile e determinarne l’inversa con relativo dominio:

(37) $\begin{equation*} y(x)=\arctan 3x \end{equation*}$

Svolgimento.

L’immagine della funzione è l’intervallo $(-\pi/2,\pi/2)$ . Si ha

$y=\arctan 3x\Leftrightarrow 3x=\tan y\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\tan y,$

il cui dominio è l’intervallo $(-\pi/2,\pi/2)$ .

Esercizio 30 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia data la funzione definita da

$y(x)=\left\{\begin{array}{lcl} x & & x\leq 0\\ & & \\ x^2 & & x>0 \end{array}\right..$

Mostrare che è invertibile.

Svolgimento.

Sull’intervallo dei numeri non positivi, l’inversa della funzione è, come ovvio, $x=y$ . Sull’asse $x$ positivo, essa invece è data da $x=\sqrt{y}$ , la quale è ben definita in quanto tutte le $x$ sono positive. Abbiamo allora

$x=\left\{\begin{array}{lcl} y & & y\leq 0\\ & & \\ \sqrt{y} & & y>0 \end{array}\right..$

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In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.

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Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

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