Logica elementare

Autori e revisori

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Revisori: Valerio Brunetti, Jacopo Garofali.

Introduzione

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In questo lavoro introdurremo brevemente i concetti elementari di logica. Daremo per noti la simbologia di base riguardante gli insiemi, quindi si suppone che il lettore conosca: il concetto di insieme; i principali insiemi numerici; il simbolo $\in$ . L’obiettivo è quello di prendere familiarità con le nozioni di base della logica quindi ci aiuteremo con esempi semplici e di facile comprensione. Cominciamo osservando che è possibile fare una distinzione tra vari tipi di frasi del linguaggio comune, ad esempio

la frase “Il cielo è azzurro” è ritenuta vera da tutti
la frase “Gli orsi hanno le ali” è ritenuta falsa da tutti
la frase “Gli spinaci sono buoni” è ritenuta vera da alcuni e falsa da altri

Risulta quindi chiaro che esistono frasi la cui veridicità è oggettiva e quindi possono essere identificate come vere o false ed esistono frasi aventi veridicità soggettive. Esistono poi frasi come “Vai a vedere se tuo fratello dorme ancora” o “Domani nevicherà” ed è chiaro che non ha senso discutere se esse siano vere o false. In matematica non si ha interesse nel discutere frasi che non possono essere identificate come vere o false in maniera oggettiva. Siamo perciò spinti a formulare la seguente definizione

Definizione 1. Si definisce proposizione, o enunciato, ogni affermazione che assume uno e un solo valore tra vero e falso.

È importante notare che per definire una proposizione bisogna dire quando essa è vera e quando essa è falsa

Connettivi logici e tavole di verità

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Molto spesso le proposizioni vengono collegate tra loro attraverso alcune parole che prendono il nome di connettivi logici. Ad esempio la proposizione

(1) $\begin{equation*} \text{``la neve è fredda e i gatti abbaiano''} \end{equation*}$

è formata da due proposizioni collegate dal connettivo “e” mentre la proposizione

(2) $\begin{equation*} \text{``la neve è fredda o i gatti abbaiano''} \end{equation*}$

è formata da due proposizioni collegate dal connettivo “o”. È importante notare che la frase (1) è falsa mentre la frase (2) è vera, infatti una proposizione formata da due enunciati collegati con il connettivo “e” è vera se entrambi gli enunciati che lo compongono sono veri mentre una proposizione formata da due enunciati collegati con il connettivo “o” è vera se almeno uno degli gli enunciati che lo compongono è vero. Per evitare fraintendimenti, solitamente dovuti al fatto che nel linguaggio comune si attribuiscono più significati alla stessa parola, è preferibile utilizzare dei simboli per rendere il tutto più formale e privo di ambiguità. Ora vedremo i connettivi logici maggiormente utilizzati e simboli con cui essi vengono rappresentati. Poiché i connettivi “operano” sulle proposizioni, essi sono detti anche operatori. Dato un connettivo è possibile rappresentare, tramite quelle che vengono chiamate tavola di verità, il suo effetto sulle proposizioni su cui si applica. Per fare questo si elencano gli effetti del connettivo logico al variare di tutti i possibili valori di verità delle proposizioni a cui è applicato. Qui di seguito mostriamo i più comuni operatori logici e le loro tavola di verità.

Definizione 2. Sia $\mathscr{P}$ una proposizione. Si definisce negazione, e si indica con il simbolo $\neg$ , l’operatore tale che

$\neg\mathscr{P} \text{ è vera se e solo se } \mathscr{P} \text{ è falsa}$

$\neg\mathscr{P} \text{ è falsa se e solo se } \mathscr{P} \text{ è vera}$

$\quad$

La scrittura $\neg\mathscr{P}$ si legge “non $\mathscr{P}$ ”. Osserviamo subito che si ha $\neg\left(\neg\mathscr{P}\right)=\mathscr{P}$ . Un esempio di utilizzo è il seguente: sia $\mathscr{P}$ la proposizione “ il cielo è azzurro”, di conseguenza $\neg\mathscr{P}$ è la proposizione “il cielo non è azzurro”. La negazione è un connettivo che si applica a una sola proposizione e ne cambia il valore di verità. In Tabella 1 riportiamo la semplicissima tavola di verità di $\neg\mathscr{P}$ al variare dei possibili valori di verità della proposizione $\mathscr{P}$ .

$\mathscr{P}$	$\neg\mathscr{P}$
V	F
F	V

Tabella 1: Tavola di verità dell’operatore negazione.

Definizione 3. Siano $\mathscr{P}$ e $\mathscr{Q}$ due proposizioni. Si definisce congiunzione, e si indica con il simbolo $\land$ , l’operatore tale che

$\mathscr{P} \land\mathscr{Q}\text{ è vera se e solo se } \mathscr{P} \text{ e } \mathscr{Q} \text{ sono entrambe vere}$

$\mathscr{P} \land\mathscr{Q}\text{ è falsa se e solo se almeno una tra } \mathscr{P} \text{ e } \mathscr{Q} \text{ è falsa}$

$\quad$

La scrittura $\mathscr{P} \land\mathscr{Q}$ si legge “ $\mathscr{P}$ e $\mathscr{Q}$ ”. Abbiamo visto un esempio con la frase (1), rivediamolo precisando un po’ l’utilizzo della notazione simbolica. Sia $\mathscr{P}$ la proposizione “la neve è fredda” e $\mathscr{Q}$ l’enunciato “i gatti abbaiano”, di conseguenza $\mathscr{P} \land\mathscr{Q}$ è la frase (1) ed è falsa poiché $\mathscr{Q}$ è falsa.

La congiunzione è un connettivo che si applica a due proposizioni per crearne una nuova che risulta vera solo quando entrambe le proposizioni di partenza sono vere. In Tabella 2 riportiamo la sua tavola di verità di $\mathscr{P} \land\mathscr{Q}$ al variare dei possibili valori di verità delle proposizione $\mathscr{P}$ e $\mathscr{Q}$ .


$\mathscr{P}$	$\mathscr{Q}$	$\mathscr{P}$ $\land$ $\mathscr{Q}$
V	V	V
F	V	F
V	F	F
F	F	F

Tabella 2: Tavola di verità dell’operatore congiunzione.

Definizione 4. Siano $\mathscr{P}$ e $\mathscr{Q}$ due proposizioni. Si definisce disgiunzione, e si indica con il simbolo $\lor$ , l’operatore tale che

$\mathscr{P}\lor\mathscr{Q}\text{ è vera se e solo se almeno una tra } \mathscr{P}\text{ e }\mathscr{Q}\text{ è vera}$

$\mathscr{P}\lor\mathscr{Q}\text{ è falsa se e solo se }\mathscr{P}\text{ e }\mathscr{Q}\text{ sono entrambe false}$

$\quad$

La scrittura $\mathscr{P}\lor\mathscr{Q}$ si legge “ $\mathscr{P}$ o/oppure $\mathscr{Q}$ ”. Anche per quanto riguarda la disgiunzione abbiamo visto un esempio, ossia la frase (2). Infatti, sempre indicando con $\mathscr{P}$ la proposizione “la neve è fredda” e con $\mathscr{Q}$ la frase “i gatti abbaiano”, si ha che $\mathscr{P}\lor\mathscr{Q}$ è esattamente la frase (2) ed è vera poiché $\mathscr{P}$ è vera, nonostante la proposizione $\mathscr{Q}$ sia falsa

La disgiunzione è un connettivo che si applica a due proposizioni per crearne una nuova che risulta falsa solo quando enteambe le proposizioni di partenza sono falsa. In Tabella 3 riportiamo la sua tavola di verità di $\mathscr{P} \land\mathscr{Q}$ al variare dei possibili valori di verità delle proposizione $\mathscr{P}$ e $\mathscr{Q}$ .


$\mathscr{P}$	$\mathscr{Q}$	$\mathscr{P} \lor\mathscr{Q}$
V	V	V
F	V	V
V	F	V
F	F	F

$\quad$

Tabella 3: Tavola di verità dell’operatore disgiunzione.

Le operazioni di congiunzione e di disgiunzione possono essere legate attraverso l’operazione di negazione. In particolare vale il seguente risultato

$\quad$

Teorema 1. (Leggi di De Morgan) Siano $\mathscr{P}$ e $\mathscr{Q}$ due proposizioni. Valgono le seguenti identità

$\quad$

$\neg\left(\mathscr{P} \land\mathscr{Q}\right)= \left(\neg\mathscr{P}\right) \lor\left(\neg\mathscr{Q}\right)$

$\neg\left(\mathscr{P} \lor\mathscr{Q}\right)= \left(\neg\mathscr{P}\right) \land\left(\neg\mathscr{Q}\right)\,$ .

$\quad$

Dimostrazione. Mostriamo soltanto la prima identità. Dobbiamo mostrare che

$\neg\left(\mathscr{P} \land\mathscr{Q}\right)\text{ è vera se e solo se } \left(\neg\mathscr{P}\right) \lor\left(\neg\mathscr{Q}\right) \text{ è vera}$

Per definizione di negazione si ha che $\neg\left(\mathscr{P} \land\mathscr{Q}\right)$ è vera se e solo se $\mathscr{P}\land\mathscr{Q}$ è falsa ossia se e solo se almeno una tra $\mathscr{P}$ e $\mathscr{Q}$ è falsa. Ciò equivale a dire che almeno una tra $\neg\mathscr{P}$ e $\neg\mathscr{Q}$ è vera che ha la medesima validità di affermare che $\left(\neg\mathscr{P}\right) \lor\left(\neg\mathscr{Q}\right)$ è vera.

Possiamo applicare questo risultato ai precedenti esempi: la negazione della frase (1) è la frase “la neve non è fredda o i gatti non abbaiano” mentre la negazione della frase (2) è “la neve non è fredda e i gatti non abbaiano”.

Osservazione. È interessante notare che le Leggi di De Morgan ci permettono di definire l’operazione di congiunzione in funzione della negazione e della disgiunzione ponendo

$\mathscr{P} \land\mathscr{Q}=\neg\left(\left(\neg\mathscr{P}\right) \lor\left(\neg\mathscr{Q}\right)\right)$

e analogamente si potrebbe definire

$\mathscr{P} \lor\mathscr{Q}=\neg\left(\left(\neg\mathscr{P}\right) \land\left(\neg\mathscr{Q}\right)\right)$

Un altro modo di mostrare che

$\neg\left(\mathscr{P} \land\mathscr{Q}\right)= \left(\neg\mathscr{P}\right) \lor\left(\neg\mathscr{Q}\right)$

è costruire la tavola di verità della proposizione a sinistra e a destra del simbolo di uguaglianza. L’uguaglianza è dimostrata se le tavole di verità sono identiche ovvero per lo stesso valore di verità delle proposizione iniziali abbiamo lo stesso valore di verità di $\neg\left(\mathscr{P} \land\mathscr{Q}\right)$ e di $\left(\neg\mathscr{P}\right) \lor\left(\neg\mathscr{Q}\right)$ .

Costruiamo la tavola di verità di $\neg\left(\mathscr{P} \land\mathscr{Q}\right)$ in due passi intermedi: prima ci costruiamo la colonna relativa alla proposizione $\left(\mathscr{P} \land\mathscr{Q}\right)$ e poi quella relativa a $\neg\left(\mathscr{P} \land\mathscr{Q}\right)$ ottenuta semplicemente cambiando il valore di verità scritto nella colonna in cui ci siamo calcolati $\left(\mathscr{P} \land\mathscr{Q}\right)$ :

$\quad$


$\mathscr{P}$	$\mathscr{Q}$	$\mathscr{P} \land\mathscr{Q}$	$\neg\left(\mathscr{P} \land\mathscr{Q}\right)$
V	V	V	F
F	V	F	V
V	F	F	V
F	F	F	V

$\quad$

Tabella 4: Tavola di verità dell’operatore $\neg\left(\mathscr{P} \land\mathscr{Q}\right)$ .

$\quad$

Similmente costruiamo la tavola di verità di $\left(\neg\mathscr{P}\right) \lor\left(\neg\mathscr{Q}\right)$ in due passi intermedi: prima costruiamo le colonne relative alle proposizioni $\neg \mathscr{P}$ $\neg\mathscr{Q}$ cambiando valore di verità alle proposizioni di partenza e poi la colonna relativa a $\left(\neg\mathscr{P}\right) \lor\left(\neg\mathscr{Q}\right)$ ottenuta guardando la tabella relativa alla disgiunzione (Tabella 3 ):

$\quad$


$\mathscr{P}$	$\mathscr{Q}$	$\neg \mathscr{P}$	$\neg \mathscr{Q}$	$\left(\neg\mathscr{P}\right) \lor\left(\neg\mathscr{Q}\right)$
V	V	F	F	F
F	V	V	F	V
V	F	F	V	V
F	F	V	V	V

$\quad$

Tabella 5: Tavola di verità dell’operatore $\left(\neg\mathscr{P}\right) \lor\left(\neg\mathscr{Q}\right)$ .

$\quad$

Per finire osserviamo che la Tabella 4 e la Tabella 5 hanno lo stesso valore di verità nella colonna finale fissato lo stesso valore di verità iniziale delle proposizioni $\mathscr{P}$ e $\mathscr{Q}$ . Notiamo come questo esempio ci mostra come ricavare le tavole di verità di proposizioni ottenute combinando insieme diversi operatori: per passi elementari. Si invita il lettore interessato a cimentarsi nella risoluzione dell’esercizio (1).

$\quad$

Esercizio 1. Siano $\mathscr{P}$ , $\mathscr{Q}$ e $\mathscr{R}$ tre proposizioni. Mostrare che

$\neg\left(\mathscr{P} \land\left(\neg\mathscr{Q}\right) \lor \mathscr{R}\right)= \left(\neg\mathscr{P}\right) \lor\mathscr{Q} \land \left(\neg\mathscr{R}\right)$

$\quad$

Passiamo ora ad introdurre nuovi connettivi, questi sono molto usati in matematica. In particolare nella formulazione di teoremi

$\quad$

Definizione 5. Siano $\mathscr{P}$ e $\mathscr{Q}$ due proposizioni. Si definisce implicazione, e si indica con il simbolo ⇒ , l’operatore tale che

$\mathscr{P} \Rightarrow\mathscr{Q}\text{ è falsa se e solo se } \mathscr{P} \text{ è vera e } \mathscr{Q} \text{ è falsa} .$

$\quad$

La scrittura $\mathscr{P} \Rightarrow\mathscr{Q}$ si legge “ $\mathscr{P}$ implica $\mathscr{Q}$ ” oppure “se $\mathscr{P}$ allora $\mathscr{Q}$ ”. Notiamo che abbiamo definito solo quando l’enunciato è falso poiché per ottenere quando è vero basta utilizzare la legge di De Morgan. Applicando tale legge si ottiene

$\mathscr{P} \Rightarrow\mathscr{Q}\text{ è vera se e solo se } \mathscr{P} \text{ è falsa o } \mathscr{Q} \text{ è vera}$

Possiamo quindi affermare che vale la seguente identità

(3) $\begin{equation*} \mathscr{P}\Rightarrow\mathscr{Q}=\left(\neg\mathscr{P}\right)\lor\mathscr{Q}. \end{equation*}$

In particolare la proposizione $\mathscr{P} \Rightarrow\mathscr{Q}$ è sempre vera quando $\mathscr{P}$ è falsa, indipendentemente dalla veridicità di $\mathscr{Q}$ . Come abbiamo detto questo connettivo si utilizza spesso nella formulazione di teoremi; infatti, se $\mathscr{P}$ e $\mathscr{Q}$ rappresentano rispettivamente l’ipotesi e la tesi del teorema del teorema allora quest’ultimo corrisponde alla proposizione $\mathscr{P}\Rightarrow\mathscr{Q}$ . In Tabella 6 riportiamo la sua tavola di verità di $\mathscr{P} \Rightarrow\mathscr{Q}$ al variare dei possibili valori di verità delle proposizioni $\mathscr{P}$ e $\mathscr{Q}$ .


$\mathscr{P}$	$\mathscr{Q}$	$\mathscr{P} \Rightarrow\mathscr{Q}$
V	V	V
F	V	V
V	F	F
F	F	V

$\quad$

Tabella 6: Tavola di verità dell’operatore congiunzione.

$\quad$

Definizione 6. Siano $\mathscr{P}$ e $\mathscr{Q}$ due proposizioni. Si definisce equivalenza, e si indica con il simbolo ⇔ , l’operatore tale che

$\mathscr{P} \Leftrightarrow\mathscr{Q} \text{ è vera se e solo se } \mathscr{P} \text{ e } \mathscr{Q} \text{ sono entrambe vere o entrambe false}$

$\quad$

La scrittura $\mathscr{P} \Leftrightarrow\mathscr{Q}$ si legge “ $\mathscr{P}$ se e solo se $\mathscr{Q}$ ” oppure “ $\mathscr{P}$ è equivalente a $\mathscr{Q}$ ”. Lasciamo dimostrare per esercizio che si ha la seguente naturale identità

$\mathscr{P} \Leftrightarrow\mathscr{Q}=\left(\mathscr{P}\Rightarrow\mathscr{Q}\right)\land\left(\mathscr{Q}\Rightarrow\mathscr{P}\right).$

Da essa e dalle identità (3) segue immediatamente che

$\mathscr{P} \Leftrightarrow\mathscr{Q}=\left(\left(\neg\mathscr{P}\right)\lor\mathscr{Q}\right)\land\left(\left(\neg\mathscr{Q}\right)\lor\mathscr{P}\right).$

In Tabella 7 riportiamo la sua tavola di verità di $\mathscr{P} \Rightarrow\mathscr{Q}$ al variare dei possibili valori di verità delle proposizioni $\mathscr{P}$ e $\mathscr{Q}$ .


$\mathscr{P}$	$\mathscr{Q}$	$\mathscr{P} \Leftrightarrow\mathscr{Q}$
V	V	V
F	V	F
V	F	F
F	F	V

$\quad$

Tabella 7: Tavola di verità dell’operatore congiunzione.

$\quad$

Esercizio 2. Siano $\mathscr{P}$ e $\mathscr{Q}$ due proposizioni. Scrivere formalmente la negazione di $\mathscr{P}\Rightarrow\mathscr{Q}$

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Ottieni il documento che presenta un’analisi dettagliata della logica elementare, distribuita su otto pagine, per approfondire la vostra comprensione della logica matematica.

Predicati

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È noto che “il numero $1$ è minore del numero $3$ ”, ossia “ $1<3$ ”, è un esempio di proposizione. Ora vogliamo inserire una variabile in quanto spesso si ha a che fare con oggetti, o quantità, generici che variano in un determinato insieme, ad esempio al variare di $x$ che rappresenta un generico numero reale si può discutere la veridicità della proposizione “ $x>1$ ”. Perciò intuitivamente si ha che per ogni numero reale $x$ possiamo costruire una proposizione $\mathscr{P}(x)$ . Formalizziamo questo concetto

$\quad$

Definizione 7. Sia $X$ un insieme. Si definisce predicato $\mathscr{P}$ su $X$ una affermazione che dipende da una variabile $x$ che appartiene all’insieme $X$

$\quad$

Nota Se il lettore conosce già i concetti di relazione, funzione e operazione tra insiemi è possibile dare una definizione più formale di predicato e di connettivi logici. Infatti indicando con $P$ l’insieme di tutte le proposizioni, si ha che un predicato su un insieme $X$ è una qualsiasi funzione $\mathscr{P}:X\rightarrow P$ . Invece la negazione è una operazione unaria su $P$ e tutti gli altri connettivi visti sono operazioni binarie su $P$ . In particolare il connettivo ⇔ è una relazione di equivalenza su $P$ .

Intuitivamente un predicato possiamo pensarlo come un insieme di proposizioni indicizzate dagli elementi di un certo insieme $X$ . Dobbiamo notare che un predicato non è una proposizione, bisogna fissare un elemento di $X$ per ottenere una proposizione, quindi non ha senso discutere la veridicità di un predicato. Facciamo un esempio: sia $X$ l’insieme dei colori e sia $x$ un elemento di $X$ , ossia un colore generico. Un predicato è $\mathscr{P}(x)=$ “il cielo è $x$ ”. Ora fissato un valore di $x$ , ad esempio $x=\text{rosso}$ , si ottiene la proposizione $\mathscr{P}(\text{rosso})=$ “il cielo è rosso” e quindi si può discutere la veridicità di $\mathscr{P}(\text{rosso})$ . In generale un predicato può dipendere da un numero qualsiasi di variabili. Se dipende da una sola variabile spesso si usa il termine proprietà al posto di predicato mentre se dipende da più di una variabile si usa il termine relazione.

Quantificatori

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Quando si lavora con un predicato $\mathscr{P}$ su un insieme $X$ emerge naturalmente il problema di capire per quali elementi $x$ dell’insieme $X$ la proposizione $\mathscr{P}(x)$ è vera. Consideriamo i seguenti esempi:

consideriamo il predicato $\mathscr{P}(x)=$ “ $x-1=0$ ” dove $x$ è un numero reale. Chiaramente la proposizione $\mathscr{P}(x)$ è vera per $x=1$ , quindi si può affermare che

(4) $\begin{equation*} \text{``\textit{esiste} almeno un numero reale }x\text{ tale che } x-1=0 \end{equation*}$

consideriamo il predicato $\mathscr{P}(x)=$ “ $x^2\ge0$ ” dove $x$ è un numero reale. Chiaramente la proposizione $\mathscr{P}(x)$ è vera per $x=0$ , quindi anche in tal caso si può affermare che “esiste un numero reale $x$ tale che $\mathscr{P}(x)$ è vera” ma stavolta si può dire di più. Infatti, scegliendo un qualsiasi numero reale $x$ la proposizione $\mathscr{P}(x)$ è vera, ossia si può affermare che

(5) $\begin{equation*} \text{``\textit{per ogni} numero reale } x \text{ si ha } x^2\ge0\text{''}. \end{equation*}$

Alla luce di tali esempi vogliamo introdurre due nuovi simboli logici

$\quad$

Definizione 8. Si definisce quantificatore universale il simbolo logico $\forall$ e si legge “per ogni”.

$\quad$

Definizione 9. Si definisce quantificatore esistenziale il simbolo logico $\exists$ e si legge “esiste almeno”.

$\quad$

Dalla frase (4) si può notare che il quantificatore esistenziale è accompagnato dal “tale che”. Questo è un fatto generale: il quantificatore esistenziale è sempre accompagnanto dal “tale che”. A motivo di ciò si introduce un simbolo anche per indicare il “tale che”. Notare bene che esso non è un quantificatore bensì un semplice simbolo logico

$\quad$

Definizione 10. Il simbolo logico $:$ oppure | si legge “tale che”.

$\quad$

Ora abbiamo tutto ciò di cui abbiamo bisogno per formalizzare le precedenti proposizioni. La frase (4) può formalizzata con

$\exists x\in\mathbb{R}:x-1=0$

mentre la frase (5) diventa

$\forall x\in\mathbb{R},x^2\ge0$

che si può scrivere anche

$x^2\ge0 \,\forall x\in\mathbb{R}.$

Riassumendo, dato un predicato $\mathscr{P}$ su insieme $X$ possiamo considerare due proposizioni:

“esiste almeno un $x$ in $X$ tale che $\mathscr{P}(x)$ è vera” che si scrive $\exists x\in X:\mathscr{P}(x)$
“ $\mathscr{P}(x)$ è vera per ogni $x$ in $X$ ” che si scrive $\forall x\in X, \,\mathscr{P}(x)$

Trattandosi di proposizioni possiamo chiederci quale sia la negazione di ciascuna di esse chiaramente si ha

$\neg\left(\exists x\in X:\mathscr{P}(x)\right)= \forall x\in X,\neg\left(\mathscr{P}(x)\right)$
$\neg\left(\forall x\in X,\mathscr{P}(x)\right)= \exists x\in X:\neg\left(\mathscr{P}(x)\right)$

Ciò è naturale: infatti, soffermandoci ad esempio su $(\text{1.})$ , la negazione della proposizione “esiste almeno un elemento $x$ in $X$ tale che $\mathscr{P}(x)$ è vera” è “tutti gli elementi elementi $x$ in $X$ sono tali che $\mathscr{P}(x)$ è falsa” ossia “ $\mathscr{P}(x)$ è falsa per ogni elemento $x$ in $X$ ”

$\quad$

Esercizio 3. Scrivere formalmente le seguenti proposizioni specificando se esse sono vere o false. Scrivere inoltre la loro negazione.

esiste un numero reale più piccolo del suo cubo;
il quadrato di un qualsiasi numero razionale è razionale;
il quadrato di qualche numero irrazionale è razionale;
ogni numero intero è differenza di due numeri naturali.

Prima di introdurre un altro quantificatore soffermiamoci su un problema derivante dall’imprecisione del linguaggio comune. Spesso si utilizza l’articolo “un” intendendo “ogni”. Un esempio semplice possiamo vederlo con la proposozione “in un triangolo la somma degli angoli interni è un angolo piano”. La frase potrebbe risultare ambigua. La sua formulazione corretta è “in ogni triangolo la somma degli angoli interni è un angolo piano”.

Terminiamo la teoria di questo articolo introducendo un ultimo quantificatore.

$\quad$

Definizione 11. Il quantificatore $\exists !$ è il simbolo logico che si legge “esiste ed è unico” oppure “esiste uno e un solo”.

$\quad$

Dato un predicato $\mathscr{P}$ su un insieme $X$ , dire che esiste un unico elemento $x$ in $X$ tale che $\mathscr{P}(x)$ è vera vuol dire che esiste un elemento $x$ in $X$ tale che $\mathscr{P}(x)$ è vera e non esiste nessun $y$ in $X$ diverso da $x$ tale che $\mathscr{P}(y)$ è vera. In simboli si hanno le seguenti formulazioni tutte equivalenti

$\begin{equation*} \begin{split} \exists !x\in X : \mathscr{P}(x) & =\exists x\in X :\mathscr{P}(x)\land\neg\left(\exists y\in X:\mathscr{P}(y)\land\left(y\neq x\right)\right) \\ & =\exists x\in X :\mathscr{P}(x)\land\left(\forall y\in X,\neg\mathscr{P}(y)\lor\neg\left(y \neq x\right)\right) \\ & =\exists x\in X :\mathscr{P}(x)\land\left(\forall y\in X,\neg\mathscr{P}(y)\lor\left(y = x\right)\right) \\ & =\exists x\in X :\mathscr{P}(x)\land\left(\forall y\in X,\mathscr{P}(y)\Rightarrow\left(y = x\right)\right) \end{split} \end{equation*}$

Sebbene formalmente possa sembrare complicato il significato è molto semplice, vediamo un esempio. Sappiamo che esiste almeno un numero intero $k$ tale che $k^2=1$ tuttavia esso non è unico, infatti sia $k=1$ che $k=-1$ sono soluzioni. Invece esiste uno e un solo un numero naturale $n$ tale che $n^2=1$ , ossia il numero $n=1$ . Quindi nel primo caso si ha la proposizione

$\exists k\in\mathbb{Z}:k^2=1$

mentre nel secondo

$\exists ! n\in\mathbb{N}:n^2=1$

Soluzione esercizi

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Esercizio 1. Innanzitutto si noti che la scrittura $\mathscr{P} \land\left(\neg\mathscr{Q}\right) \lor \mathscr{R}$ ha senso in quanto $\left(\mathscr{P} \land\left(\neg\mathscr{Q}\right)\right) \lor \mathscr{R}=\mathscr{P} \land\left(\left(\neg\mathscr{Q}\right) \lor \mathscr{R}\right)$ . Ora possiamo svolgere l’esercizio applicando due volte la legge di De Morgan

$\begin{equation*} \begin{split} \neg\left(\mathscr{P} \land\left(\neg\mathscr{Q}\right) \lor \mathscr{R}\right) & = \neg\left(\left(\mathscr{P} \land\left(\neg\mathscr{Q}\right)\right) \lor \mathscr{R}\right) \\ & = \left(\neg\left(\mathscr{P} \land\left(\neg\mathscr{Q}\right)\right)\right) \land \left(\neg\mathscr{R}\right) \\ & = \left(\left(\neg\mathscr{P}\right) \lor \mathscr{Q}\right) \land \left(\neg\mathscr{R}\right) \\ & = \left(\neg\mathscr{P}\right) \lor \mathscr{Q} \land \left(\neg\mathscr{R}\right) \end{split} \end{equation*}$

Esercizio 2. Basta ricorda l’identità (3), infatti si ha

$\neg\left(\mathscr{P}\Rightarrow\mathscr{Q}\right)=\neg\left(\left(\neg\mathscr{P}\right)\lor\mathscr{Q}\right)=\mathscr{P}\land\left(\neg\mathscr{Q}\right)$

Esercizio 3. Consideriamo singolarmente le varie proposizioni

$\quad$

chiaramente la proposizione è vera, basta considerare un qualsiasi numero maggiore di $1$ . La scrittura formale è ovviamente
$\exists x \in \mathbb{R}:x<x^3$

e quindi la sua negazione è $\forall x \in \mathbb{R}, \neg\left(x<x^3\right)$ ossia

$\forall x \in \mathbb{R}, x\ge x^3$
chiaramente la proposizione è vera e la sua scrittura formale è
$\forall x\in\mathbb{Q},\, x^2\in\mathbb{Q}$

Di conseguenza la sua negazione è

$\begin{equation*} \begin{split} \neg\left(\forall x\in\mathbb{Q},\, x^2\in\mathbb{Q}\right) & = \exists x\in\mathbb{Q} : \neg\left( x^2\in\mathbb{Q}\right) \\ & = \exists x\in\mathbb{Q} : x^2\notin\mathbb{Q} \end{split} \end{equation*}$
anche questa proposizione è vera infatti $\sqrt{2}$ è irrazionale e il suo quadrato è $2$ che è un numero razionale. Per quanto riguarda la scrittura formale si ha
$\exists x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} : x^2\in\mathbb{Q}$

Di conseguenza la sua negazione è

$\begin{equation*} \begin{split} \neg\left(\exists x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} : x^2\in\mathbb{Q}\right) & = \forall x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},\neg\left(x^2\in\mathbb{Q}\right) \\ & = \forall x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},\,x^2\notin\mathbb{Q} \end{split} \end{equation*}$
la proposizione è vera, infatti se $k$ è un numero intero allora $n_1=k^2+k$ e $n_2=k^2$ sono due numeri naturali tali che $n_1-n_2=k$ . La scrittura formale è
$\forall k\in\mathbb{Z}\,\exists n_1,n_2\in \mathbb{N}:k=n_1-n_2$

Per quanto riguarda la negazione si ha

$\begin{equation*} \begin{split} \neg\left(\forall k\in\mathbb{Z}\exists n_1,n_2\in\mathbb{N}:k=n_1-n_2\right) & = \exists k\in\mathbb{Z}:\neg\left(\exists n_1,n_2\in \mathbb{N}:k=n_1-n_2\right) \\ & = \exists k\in\mathbb{Z}:\forall n_1,n_2\in \mathbb{N},\,\neg\left(k=n_1-n_2\right) \\ & = \exists k\in\mathbb{Z}:\forall n_1,n_2\in \mathbb{N},\, k\neq n_1-n_2 \end{split} \end{equation*}$

Riferimenti bibliografici

[1] Giusti Enrico, Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, Torino, 1998.

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

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