La congettura dei primi gemelli e il bug del processore Pentium

Due numeri primi sono detti “gemelli” se differiscono di 2. Per esempio: le coppie (3, 5), (5, 7), (11, 13) (17, 19). Una congettura tuttora non dimostrata, enunciata originariamente da Alphonse de Polignac nel 1849, sancisce che esistono infiniti numeri primi gemelli. La più grande coppia nota oggigiorno è formata da (si tratta di due numeri di 388 342 cifre!).

Nel 1915, il matematico norvegese Viggo Brun dimostrò che la somma dei reciproci dei primi gemelli è finita. Questo purtroppo non permette di distinguere se le coppie di primi gemelli siano finite o infinite, solo che la loro “densità” tra i numeri naturali è relativamente piccola. La costante di Brun viene definita così, dove la somma è estesa a tutte le coppie di primi gemelli:

   

Per stimarla numericamente, si devono determinare quante più coppie possibili di primi gemelli (oltre ad utilizzare alcuni trucchi per “accelerare” l’avvicinamento al risultato). Compilando la lista di tutti i primi fino a , si arriva al valore .

Nel corso degli anni, molti ricercatori si sono cimentati con questo calcolo, per raggiungere una precisione sempre maggiore. Tra questi, compare il matematico americano Thomas Nicely (non trovate che avesse un nome adorabile?), che negli anni ’90 scrisse del software in C per calcolare la costante di Brun. Adoperò semplici computer da tavolo, quelli che i meno giovani di noi hanno usato qualche decennio fa, con processori Intel x86, che funzionavano con i sistemi operativi MS-DOS e Windows 3.1!

Nicely era un ricercatore molto accurato e rigoroso (si definisce lui stesso “paranoico”), e cercò sempre di replicare i calcoli su computer diversi e su sistemi diversi, per assicurarsi che non venissero commessi errori (stava letteralmente spingendo al limite le macchine dell’epoca). Nicely racconta di aver scoperto dapprima molti errori e bug nel suo stesso codice, cosa del tutto normale in un progetto di questo tipo, e dopo averli corretti l’uno dopo l’altro, ne trovò uno addirittura nel compilatore C della Borland, che dovette essere modificato!

Nel frattempo al suo gruppo di computer si aggiunse un nuovo Pentium, che prometteva una velocità maggiore rispetto ai “vecchi” 486. Per scrupolo, continuò però a ripetere il calcolo sia su un 486 che sul nuovo Pentium. Sorprendentemente, si accorse di alcune discrepanze. Dopo qualche mese speso arrovellandosi sul problema, si convinse che l’errore era insito direttamente nella logica aritmetica del processore! E in effetti, il Pentium commetteva un piccolo errore di calcolo, sbagliando alla decima cifra decimale il reciproco dei due primi 824 633 702 442 ± 1. Nicely cercò di contattare la Intel, ma non ricevette risposta esauriente, per cui informò altri ricercatori del possibile bug.

Era in realtà un problema già noto alla Intel, ma era stato considerato di impatto troppo infimo per ricevere attenzione. In pratica, in rare occasioni, il processore Pentium effettuava un errore nelle divisioni con dei denominatori “inusuali” (all’incirca in un caso ogni miliardo). Solo che Nicely aveva in effetti effettuato più di un miliardo di divisioni, per cui il problema era saltato fuori. L’errore era presente nella quasi totalità dei processori Pentium prodotti e venduti fino a quel momento, circa un milione di esemplari!

Negli Stati Uniti, Internet stava cominciando in quegli anni la sua grande esplosione, e questo fu sufficiente a suscitare una campagna mediatica di cattiva pubblicità nei confronti della Intel. Alla fine, decisero a sostituire l’intero parco chip prodotto fino a quel momento! Il costo di questa operazione fu stimato di 475 milioni di dollari dell’epoca! A Nicely, che era involontariamente diventato un personaggio di spicco, intervistato anche da televisioni e giornali, fu chiesto di partecipare più attivamente al testaggio dei processori.

Questa storia illustra la simbiosi che la matematica moderna ha con l’informatica: i calcolatori sono spesso utilizzati per risolvere problemi, ma allo stesso tempo necessitano di una guida e di un controllo umani. Mostra anche un eccellente esempio in cui la matematica pura, apparentemente del tutto astratta, ha contribuito a scovare (e quindi correggere) un errore le cui sottili conseguenze si stavano propagando in molti ambiti diversi, scientifici, finanziari, spesso non riconosciute immediatamente. Oggigiorno, problemi di teoria dei numeri vengono spesso utilizzati come banco di prova per i computer di ogni capacità e potenza (un esempio famoso è la pazza corsa a calcolare sempre più cifre decimali di ).

 

 

Nella foto, Thomas Nicely (nel 1984) – non vi dà proprio l’impressione di un personaggio metodico, scrupoloso, determinato?

Riferimenti

• Riferimento 1;
• Riferimento 2;
• Riferimento 3.

 
 

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