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Funzioni elementari: algebriche, esponenziali e logaritmiche

Funzioni elementari, Teoria sulle Funzioni: Concetti Fondamentali e Proprietà

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Questo articolo offre un’immersione nel mondo delle funzioni reali elementari, essenziali nei programmi della scuola secondaria e in preparazione ai corsi universitari di Analisi Matematica. La dispensa si propone di studiare le seguenti funzioni:

  • Funzioni costanti, lineari, affini, quadratiche e polinomiali;
  • Radicali e funzioni irrazionali;
  • Potenza con esponente intero e razionale;
  • Funzioni razionali;
  • Valore assoluto, parte intera e frazionaria;
  • Potenza a esponente reale e funzioni esponenziali;
  • Funzioni logaritmiche.

Il testo spiega questi argomenti in maniera chiara e accessibile tramite esempi pratici e grafici esplicativi. Un must per chi desidera un manuale completo e facilmente consultabile sulla teoria e la pratica delle funzioni elementari.

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Buona lettura!

 
 

Sommario

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Questa dispensa è una gentile introduzione alla teoria delle funzioni reali di variabile reale.

In teoria delle funzioni abbiamo definito in maniera ampia il concetto di funzione, e ne abbiamo studiato le proprietà generali. Queste note sono dedicate allo studio delle principali funzioni trattate nei corsi universitari di analisi matematica, note come funzioni elementari. Il lettore avrà modo di familiarizzare con la teoria attraverso numerosi esempi, grafici ed esercizi guidati.

Una volta definite le funzioni elementari, ne studiamo le proprietà principali, preparando il lettore verso uno studio autonomo delle funzioni.


 
 

Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Jacopo Garofali

Revisori: Valerio Brunetti, Matteo Talluri, Sara Sottile.


 
 

Prerequisiti

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Questo testo è pensato per un ampio pubblico e prevede i seguenti requisiti minimi: la logica elementare (implicazione, equivalenza), la definizione di insieme, le operazioni tra insiemi (unione, intersezione, prodotto cartesiano), e infine la definizione e le proprietà degli insiemi numerici.

Per leggere con profitto questo volume, il lettore dovrebbe anche conoscere le definizioni fondamentali della teoria delle funzioni, così come le proprietà generali delle funzioni contenute in teoria delle funzioni: definizione di funzione, immagine, controimmagine, iniettività, suriettività, biettività, limitatezza, massimi, minimi, monotonia, periodicità. Invitiamo il lettore a consultare tale volume in modo da avere una panoramica degli argomenti in esso contenuti.


 
 

Notazioni

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\emptyset insieme vuoto.
\mathbb{N}\coloneqq \{ 1,2, \dots \} insieme dei numeri naturali;
\mathbb{Z} insieme dei numeri interi relativi;
\mathbb{N}_0=\mathbb{N}\cup \{0\} insieme dei numeri interi non negativi;
\mathbb{Z}^*=\mathbb{Z}\setminus\{0\} insieme dei numeri interi non nulli;
\mathbb{Q} insieme dei numeri razionali;
\mathbb{R} insieme dei numeri reali;
\mathbb{C} insieme dei numeri complessi;
\mathbb{R}^+\coloneqq \{x \in \mathbb{R} : x>0\} insieme dei numeri reali positivi, cf. [4, Definizione 2.62];
\mathbb{R}^+_0\coloneqq \{x\in \mathbb{R} : x \ge 0\} insieme dei numeri reali non negativi, cf. [4, Definizione 2.62];
\mathbb{R}^-\coloneqq \{x \in \mathbb{R} : x<0\} insieme dei numeri reali negativi, cf. [4, Definizione 2.62];
\mathbb{R}^-_0\coloneqq \{x\in \mathbb{R} : x \le 0\} insieme dei numeri reali non positivi, cf. [4, Definizione 2.62];
\mathbb{R}^*\coloneqq \{x \in \mathbb{R} : x \neq 0\} insieme dei numeri reali non nulli;
A \times B prodotto cartesiano degli insiemi A e B;
A^c\coloneqq U\setminus A complementare di A nell’insieme ambiente U;
\mathbb{R}^2\coloneqq \mathbb{R} \times \mathbb{R} piano cartesiano, i.e. prodotto cartesiano di \mathbb{R} con sè stesso;
\mathbb{R}[x] insieme dei polinomi a coefficienti reali;
f \colon E \to F funzione da E a F, cf. [4, Definizione 1.1];
f \colon x \in E\mapsto f(x) \in F funzione da E a F, cf. [4, Definizione 1.1];
{\rm Dom} f dominio della funzione f, cf. [4, Definizione 1.1];
\Gamma_f grafico della funzione f, cf. [4, Definizione 1.2];
f(A) immagine dell’insieme A tramite f, cf. [4, Definizione 1.6];
{\rm Im} f immagine della funzione f, cf. [4, Definizione 1.6];
f^{-1}(B) controimmagine dell’insieme B tramite f, cf. [4, Definizione 1.11];
g \circ f composizione delle funzioni g e f, cf. [4, Definizione 2.16];
{\rm Id}_E funzione identità di E, cf. [4, Definizione 2.18];
f|_{E'}, f|^{F'}, f|_{E'}^{F'} restrizioni di f, cf. [4, Definizione 2.29];
f^{-1} funzione inversa di f, cf. [4, Definizione 2.22];
f+g, fg rispettivamente somma e prodotto delle funzioni f,g, cf. [4, Definizione 2.10, 2.13];
\max E, \min E rispettivamente massimo e minimo dell’insieme E, cf. [4, Definizione 2.69];
\sup E, \inf E rispettivamente estremo superiore ed estremo inferiore dell’insieme E, cf. [4, Definizione 2.76];
\max f, \min f rispettivamente massimo e minimo della funzione f, cf. [4, Definizione 2.82];
\sup f, \inf f rispettivamente estremo superiore ed estremo inferiore della funzione f, cf. [4, Definizione 2.82];
\overset{\rightarrow}{AB} vettore di estremo iniziale A ed estremo finale B;
AB segmento di estremi A e B;
\overline{AB} misura del segmento di estremi A e B;
\angle ABC angolo di vertice B, ottenuto facendo ruotare \overset{\rightarrow}{BA} in senso antiorario verso \overset{\rightarrow}{BC};
\triangle ABC triangolo di vertici A, B, C.


 
 

Introduzione

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Lo scopo di queste note è fornire gli strumenti minimi necessari alla comprensione del concetto di funzione reale di variabile reale.

In particolare, in teoria delle funzioni , cf. [4], abbiamo presentato il concetto di funzione, le proprietà principali delle funzioni reali di variabile reale e abbiamo introdotto i primi elementi per lo studio del grafico di tali funzioni.

In questo volume, introduciamo alcune delle funzioni elementari maggiormente usate: funzioni polinomiali, razionali, radicali, valore assoluto, esponenziali e logaritmi. Di esse trattiamo le principali proprietà e mostriamo alcuni esempi di utilizzo, oltre a presentare dei problemi che coinvolgono equazioni e disequazioni relative. Per esplicitare le proprietà di una funzione, in accordo con la scaletta riportata in [4, Sezione 3.5], abbiamo esplicitato, nell’ordine: Dominio, Simmetrie, Periodicità, Intersezione con gli assi, Segno, Intervalli di monotonia, Immagine, Invertibilità.

Concludiamo questa introduzione con un breve sommario della dispensa:

\[\quad\]

  • Nella sezione 1 introduciamo la funzione caratteristica di un insieme e in generale le funzioni definite a tratti, facendo alcuni esempi tra cui la funzione parte intera e parte frazionaria. Presentiamo inoltre il concetto di valore assoluto di un numero e di una funzione, attraverso numerosi esempi. Infine, definiamo la funzione distanza su \mathbb{R}.

    •  

  • Nella sezione 2 presentiamo due classi di funzioni molto importanti: le funzioni monomiali, ovvero potenze di esponente naturale, e le funzioni radicali, loro inverse. Studiamo le proprietà di queste funzioni, anche attraverso esempi e grafici.

    •  

  • Nella sezione 3 studiamo i polinomi e le funzioni polinomiali, indagando nello specifico i polinomi di grado 0, 1, 2.

    •  

  • Nella sezione 4 studiamo le frazioni tra polinomi e le funzioni razionali, indagando nello specifico le funzioni omografiche, ovvero le funzioni razionali di grado 1.

    •  

  • Nella sezione 5 introduciamo formalmente le funzioni esponenziale e logaritmo. In 5.1 definiamo l’esponenziale di un numero reale, e studiamo le proprietà delle funzioni esponenziali. Infine, in 5.2, definiamo il logaritmo di un numero positivo e studiamo le proprietà delle funzioni logaritmiche.

 

Primi esempi

Funzioni definite per casi.

Cominciamo con l’introdurre le cosiddette funzioni definite per casi, ossia funzioni in cui l’espressione che le definisce cambia in base al valore assunto dalla variabile indipendente. Facciamo subito un esempio, prima di analizzare alcune delle funzioni definite per casi maggiormente utilizzate.

Esempio 1.1. Sia f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} la funzione definita da

(1) \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 2, & \text{se } x <1;\\ -1, & \text{se } x =1;\\[4pt] \dfrac{1}{2}, & \text{se } x >1. \end{cases} \end{equation*}

Ad esempio, quindi, f soddisfa f(-5)=2 e f(2)=\dfrac{1}{2}. Il grafico di f è rappresentato in figura 1.

\[\quad\]

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 1: grafico della funzione f definita da (1).

\[\quad\]

\[\quad\]

Funzione indicatrice

Alcune tra le funzioni definite per casi di maggiore importanza sono le cosiddette funzioni indicatrici o caratteristiche di sottoinsiemi A di \mathbb{R}. Tali funzioni assumono valori in un insieme di due elementi1, i.e. \left\{ 0,1 \right\}, e il nome è dovuto al fatto che il valore assunto dalla funzione in un punto x indica se x appartiene o meno all’insieme A.

Definizione 1.2 (funzione indicatrice). Se A \subseteq \mathbb{R}, allora la funzione indicatrice o funzione caratteristica dell’insieme A è la funzione 1_A \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da:

\[ 1_A(x)=\begin{cases} 1, &\text{se } x\in A;\\ 0, &\text{se } x\notin A. \end{cases} \]

\[\quad\]

In altre parole, la funzione indicatrice 1_A di un insieme A vale 1 in A e 0 fuori da A.

Sottolineiamo che l’utilizzo del termine funzione indicatrice di un insieme A (denotata, come abbiamo fatto, con 1_A, oppure del termine funzione caratteristica di A (denotata spesso con 1_A) dipende dal contento in cui viene utilizzata. Facciamo qualche esempio.

Esempio 1.3. Sia A=[-1,2). Allora la funzione 1_{[-1,2)} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} è definita da

(2) \begin{equation*} 1_{[-1,2)}(x) = \begin{cases} 1, &\text{se } x\in [-1,2);\\ 0, &\text{se } x\notin [-1,2). \end{cases} \end{equation*}

Il suo grafico è rappresentato in figura 2.

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 2: grafico della funzione 1_{[-1,2)} definita da (2).

\[\quad\]

Osservazione 1.4. Le funzioni indicatrici costituiscono in un certo modo una base per tutte le funzioni definite per casi, nel senso che ogni funzione definita per casi può essere scritta come somma di funzioni moltiplicate per funzioni indicatrici, ovvero

\[ f(x)=\sum_{i=1}^n \alpha_i (x)1_{A_i}(x)\qquad \forall x \in {\rm Dom}(f), \]

per qualche n\geq 1. Ad esempio, il lettore può verificare per esercizio che la funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita (1) si può scrivere come

(3) \begin{equation*} f = 2 \cdot 1_{(-\infty,1)} - 1_{\{1\}} + \frac{1}{2} 1_{(1,+\infty)}. \end{equation*}

Lemma 1.5. Si ha

\[\quad\]

  1. 1_{\emptyset}(x)= 0, \quad 1_{\mathbb{R}}(x)= 1 \qquad \forall \, x\in \mathbb{R};

    2.  

  2. Dati A, B \subseteq \mathbb{R}, si ha A \subseteq B se e soltanto se

    \[1_{A}(x) \leq 1_{B}(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R};\]

    3.  

  3. 1_{A \cup B}=1_{A} + 1_{B} - 1_{A \cap B}, \qquad \forall\, A,B \subseteq \mathbb{R};

    4.  

  4. 1_{A}(x)=1-1_{A^c}(x), \qquad \forall\, A \subseteq \mathbb{R}, \; x \in \mathbb{R};

    5.  

  5. 1_{A \cap B}=1_{A} \cdot 1_{B}, \qquad \forall\, A, B \subseteq \mathbb{R}.

\[\quad\]

Dimostrazione.

  1. Segue immediatamente dalla definizione;

    2.  

  2. Siano A, B \subseteq \mathbb{R}. Siccome la funzione indicatrice assume solo valori nell’insieme \left\{ 0,1 \right\}, è chiaro che

    \[\begin{gathered} 1_{A} \leq 1_{B} \quad \iff \quad \left( \forall\, x \in \mathbb{R} \quad 1_{A}(x)=1 \implies 1_{B}(x)=1\right) \quad \iff\\ \iff \quad \left( \forall\, x \in \mathbb{R} \quad x \in A \implies x \in B\right) \quad \iff A \subseteq B. \end{gathered}\]

    3.  

  3. Sia x \in \mathbb{R}. Abbiamo tre possibilità

    \[\quad\]

    • x \notin A \cup B. In questo caso 1_{A \cup B}(x)=0, ma anche 1_{A }(x)=1_{B}(x)= 1_{A\cap B}(x)= 0. La tesi segue da un calcolo diretto;

      •  

    • x \in A \setminus B. In questo caso 1_{A \cup B}(x)=1_{A }(x)=1, ma 1_{B}(x)=1_{A\cap B}(x)= 0. La tesi segue da un calcolo diretto;

      •  

    • x \in B \setminus A. Questo caso è analogo al precedente, e si ottiene da questo scambiando i ruoli di A e B.

    4.  

  4. Segue dal punto 3. e dal punto 1.

    5.  

  5. Segue immediatamente dalla definizione, osservando che, per ogni x \in \mathbb{R}, si ha

    \[1_{A}(x) \cdot 1_{B}(x) =1 \quad \iff \quad 1_{A}(x)= 1_{B}(x)=1 \quad \iff \quad x \in A \cap B.\]

In figura 3 riportiamo un esempio famoso di una funzione indicatrice, ovvero 1_A(x) con A=\mathbb{R}^+, detta funzione gradino di Heaviside, e denotata spesso con H.

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 3: grafico della funzione 1_A, dove A=\mathbb{R}^+, detta funzione gradino di Heaviside.

Funzione segno

Con il termine funzione segno indichiamo la funzione che, come suggerisce il nome, restituisce il segno del numero reale che ha per argomento.

Definizione 1.6 (funzione segno). Si definisce funzione segno la funzione \operatorname{sgn} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da

(4) \begin{equation*} \operatorname{sgn} (x)= \begin{cases} -1, &\text{se } x<0;\\ 0, &\text{se } x=0;\\ 1, &\text{se } x>0. \end{cases} \end{equation*}

\[\quad\]

Il grafico della funzione \operatorname{sgn} è rappresentato in figura 4.

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 4: grafico della funzione \operatorname{sgn}.

\[\quad\]

\[\quad\]

In virtù dell’osservazione 1.4, si può scrivere la funzione \operatorname{sgn} come combinazione di funzioni pesate con funzioni caratteristiche; infatti si ha

(5) \begin{equation*} \operatorname{sgn} = 1_{[0,+\infty)}- 1_{(-\infty,0]}. \end{equation*}

Osservazione 1.7. Notiamo che il segno del numero reale 0 non è ben definito. Per questo motivo, alcuni autori preferiscono definire la funzione segno su \mathbb{R} \setminus \{0\} invece che su \mathbb{R}, mentre altri utilizzano la convenzione che \operatorname{sgn} (0)=1. Noi abbiamo scelto di utilizzare la convenzione \operatorname{sgn}(0)=0 per ragioni di simmetria e semplicità.

La funzione segno può essere utilizzata nei calcoli per ottenere un’espressione che cambia segno in base al valore di un parametro; ad esempio si ha

(6) \begin{equation*} f(x)=x^2 \operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} x^2, & \text{se } x \geq 0;\\ -x^2, & \text{se } x < 0. \end{cases} \end{equation*}

Dalla regola dei segni, segue immediatamente il prossimo risultato.

Lemma 1.8. Siano f,g: A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} due funzioni. Allora, vale che

(7) \begin{equation*} \operatorname{sgn}(f\cdot g)= \operatorname{sgn}(f)\cdot \operatorname{sgn}(g). \end{equation*}

\[\quad\]

Infine, segue dal lemma precedente che la funzione segno è idempotente, ovvero

(8) \begin{equation*} \operatorname{sgn}(\operatorname{sgn} x)=\operatorname{sgn} x \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Proprietà della funzione segno

Enunciamo ora delle semplici proprietà della funzione definita da (4) e del suo grafico, cf. figura 4.

\[\quad\]

  • (Dominio.) Il dominio della funzione segno è \mathbb{R}, cf. definizione 1.6.

    •  

  • (Simmetrie.) La funzione segno è una funzione dispari: segue dal lemma 1.8 che

    (9) \begin{equation*} \operatorname{sgn}(-x) = -\operatorname{sgn}(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

    In particolare, il grafico della funzione segno è simmetrico rispetto all’origine.

    •  

  • (Periodicità.) La funzione segno non è periodica.

    •  

  • (Intersezione con gli assi.) La funzione segno ha un’unica intersezione con l’asse x nel punto P=(0,0). Tale punto rappresenta anche l’intersezione con l’asse y.

    •  

  • (Segno.) La funzione segno, come suggerisce la parola stessa, ha lo stesso segno del suo argomento

    \[\operatorname{sgn}(x)\geq 0 \quad \iff \quad x \geq 0.\]

    •  

  • (Intervalli di monotonia.) La funzione segno è una funzione monotona non decrescente in tutto il suo dominio.

    •  

  • (Immagine.) L’immagine della funzione segno è pari all’insieme \{-1,0,1\}. In particolare, segue che la funzione segno è limitata superiormente e inferiormente e si ha

    \[ \inf_{x\in \mathbb{R}} \operatorname{sgn} x= \min_{x \in \mathbb{R}} \operatorname{sgn}(x)=-1, \qquad \sup_{x\in \mathbb{R}}\operatorname{sgn} x = \max_{x \in \mathbb{R}}\operatorname{sgn}(x)=1. \]

    •  

  • (Invertibilità.) La funzione segno non è invertibile, in quanto non iniettiva. Infatti, ad esempio, \operatorname{sgn}(1)=\operatorname{sgn}(2).

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