Funzioni elementari: algebriche, esponenziali e logaritmiche

Funzioni elementari, Teoria sulle Funzioni: Concetti Fondamentali e Proprietà

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Questo articolo offre un’immersione nel mondo delle funzioni reali elementari, essenziali nei programmi della scuola secondaria e in preparazione ai corsi universitari di Analisi Matematica. La dispensa si propone di studiare le seguenti funzioni:

Funzioni costanti, lineari, affini, quadratiche e polinomiali;
Radicali e funzioni irrazionali;
Potenza con esponente intero e razionale;
Funzioni razionali;
Valore assoluto, parte intera e frazionaria;
Potenza a esponente reale e funzioni esponenziali;
Funzioni logaritmiche.

Il testo spiega questi argomenti in maniera chiara e accessibile tramite esempi pratici e grafici esplicativi. Un must per chi desidera un manuale completo e facilmente consultabile sulla teoria e la pratica delle funzioni elementari.

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Ottieni il documento contenente la teoria su funzioni razionali, irrazionali, esponenziali e logaritmi. File di 70 pagine, 1 volume di una collana di 2.

Sommario

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Questa dispensa è una gentile introduzione alla teoria delle funzioni reali di variabile reale.

In teoria delle funzioni abbiamo definito in maniera ampia il concetto di funzione, e ne abbiamo studiato le proprietà generali. Queste note sono dedicate allo studio delle principali funzioni trattate nei corsi universitari di analisi matematica, note come funzioni elementari. Il lettore avrà modo di familiarizzare con la teoria attraverso numerosi esempi, grafici ed esercizi guidati.

Una volta definite le funzioni elementari, ne studiamo le proprietà principali, preparando il lettore verso uno studio autonomo delle funzioni.

Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Jacopo Garofali

Revisori: Valerio Brunetti, Matteo Talluri, Sara Sottile.

Prerequisiti

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Questo testo è pensato per un ampio pubblico e prevede i seguenti requisiti minimi: la logica elementare (implicazione, equivalenza), la definizione di insieme, le operazioni tra insiemi (unione, intersezione, prodotto cartesiano), e infine la definizione e le proprietà degli insiemi numerici.

Per leggere con profitto questo volume, il lettore dovrebbe anche conoscere le definizioni fondamentali della teoria delle funzioni, così come le proprietà generali delle funzioni contenute in teoria delle funzioni: definizione di funzione, immagine, controimmagine, iniettività, suriettività, biettività, limitatezza, massimi, minimi, monotonia, periodicità. Invitiamo il lettore a consultare tale volume in modo da avere una panoramica degli argomenti in esso contenuti.

Notazioni

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$\emptyset$	insieme vuoto.
$\mathbb{N}\coloneqq \{ 1,2, \dots \}$	insieme dei numeri naturali;
$\mathbb{Z}$	insieme dei numeri interi relativi;
$\mathbb{N}_0=\mathbb{N}\cup \{0\}$	insieme dei numeri interi non negativi;
$\mathbb{Z}^*=\mathbb{Z}\setminus\{0\}$	insieme dei numeri interi non nulli;
$\mathbb{Q}$	insieme dei numeri razionali;
$\mathbb{R}$	insieme dei numeri reali;
$\mathbb{C}$	insieme dei numeri complessi;
$\mathbb{R}^+\coloneqq \{x \in \mathbb{R} : x>0\}$	insieme dei numeri reali positivi, cf. [4, Definizione 2.62];
$\mathbb{R}^+_0\coloneqq \{x\in \mathbb{R} : x \ge 0\}$	insieme dei numeri reali non negativi, cf. [4, Definizione 2.62];
$\mathbb{R}^-\coloneqq \{x \in \mathbb{R} : x<0\}$	insieme dei numeri reali negativi, cf. [4, Definizione 2.62];
$\mathbb{R}^-_0\coloneqq \{x\in \mathbb{R} : x \le 0\}$	insieme dei numeri reali non positivi, cf. [4, Definizione 2.62];
$\mathbb{R}^*\coloneqq \{x \in \mathbb{R} : x \neq 0\}$	insieme dei numeri reali non nulli;
$A \times B$	prodotto cartesiano degli insiemi $A$ e $B$ ;
$A^c\coloneqq U\setminus A$	complementare di $A$ nell’insieme ambiente $U$ ;
$\mathbb{R}^2\coloneqq \mathbb{R} \times \mathbb{R}$	piano cartesiano, i.e. prodotto cartesiano di $\mathbb{R}$ con sè stesso;
$\mathbb{R}[x]$	insieme dei polinomi a coefficienti reali;
$f \colon E \to F$	funzione da $E$ a $F$ , cf. [4, Definizione 1.1];
$f \colon x \in E\mapsto f(x) \in F$	funzione da $E$ a $F$ , cf. [4, Definizione 1.1];
${\rm Dom} f$	dominio della funzione $f$ , cf. [4, Definizione 1.1];
$\Gamma_f$	grafico della funzione $f$ , cf. [4, Definizione 1.2];
$f(A)$	immagine dell’insieme $A$ tramite $f$ , cf. [4, Definizione 1.6];
${\rm Im} f$	immagine della funzione $f$ , cf. [4, Definizione 1.6];
$f^{-1}(B)$	controimmagine dell’insieme $B$ tramite $f$ , cf. [4, Definizione 1.11];
$g \circ f$	composizione delle funzioni $g$ e $f$ , cf. [4, Definizione 2.16];
${\rm Id}_E$	funzione identità di $E$ , cf. [4, Definizione 2.18];
$f\|_{E'}, f\|^{F'}, f\|_{E'}^{F'}$	restrizioni di $f$ , cf. [4, Definizione 2.29];
$f^{-1}$	funzione inversa di $f$ , cf. [4, Definizione 2.22];
$f+g, fg$	rispettivamente somma e prodotto delle funzioni $f,g$ , cf. [4, Definizione 2.10, 2.13];
$\max E, \min E$	rispettivamente massimo e minimo dell’insieme $E$ , cf. [4, Definizione 2.69];
$\sup E, \inf E$	rispettivamente estremo superiore ed estremo inferiore dell’insieme $E$ , cf. [4, Definizione 2.76];
$\max f, \min f$	rispettivamente massimo e minimo della funzione $f$ , cf. [4, Definizione 2.82];
$\sup f, \inf f$	rispettivamente estremo superiore ed estremo inferiore della funzione $f$ , cf. [4, Definizione 2.82];
$\overset{\rightarrow}{AB}$	vettore di estremo iniziale $A$ ed estremo finale $B$ ;
$AB$	segmento di estremi $A$ e $B$ ;
$\overline{AB}$	misura del segmento di estremi $A$ e $B$ ;
$\angle ABC$	angolo di vertice $B$ , ottenuto facendo ruotare $\overset{\rightarrow}{BA}$ in senso antiorario verso $\overset{\rightarrow}{BC}$ ;
$\triangle ABC$	triangolo di vertici $A$ , $B$ , $C$ .

Introduzione

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Lo scopo di queste note è fornire gli strumenti minimi necessari alla comprensione del concetto di funzione reale di variabile reale.

In particolare, in teoria delle funzioni , cf. [4], abbiamo presentato il concetto di funzione, le proprietà principali delle funzioni reali di variabile reale e abbiamo introdotto i primi elementi per lo studio del grafico di tali funzioni.

In questo volume, introduciamo alcune delle funzioni elementari maggiormente usate: funzioni polinomiali, razionali, radicali, valore assoluto, esponenziali e logaritmi. Di esse trattiamo le principali proprietà e mostriamo alcuni esempi di utilizzo, oltre a presentare dei problemi che coinvolgono equazioni e disequazioni relative. Per esplicitare le proprietà di una funzione, in accordo con la scaletta riportata in [4, Sezione 3.5], abbiamo esplicitato, nell’ordine: Dominio, Simmetrie, Periodicità, Intersezione con gli assi, Segno, Intervalli di monotonia, Immagine, Invertibilità.

Concludiamo questa introduzione con un breve sommario della dispensa:

$\quad$

Nella sezione 1 introduciamo la funzione caratteristica di un insieme e in generale le funzioni definite a tratti, facendo alcuni esempi tra cui la funzione parte intera e parte frazionaria. Presentiamo inoltre il concetto di valore assoluto di un numero e di una funzione, attraverso numerosi esempi. Infine, definiamo la funzione distanza su $\mathbb{R}$ .

Nella sezione 2 presentiamo due classi di funzioni molto importanti: le funzioni monomiali, ovvero potenze di esponente naturale, e le funzioni radicali, loro inverse. Studiamo le proprietà di queste funzioni, anche attraverso esempi e grafici.

Nella sezione 3 studiamo i polinomi e le funzioni polinomiali, indagando nello specifico i polinomi di grado 0, 1, 2.

Nella sezione 4 studiamo le frazioni tra polinomi e le funzioni razionali, indagando nello specifico le funzioni omografiche, ovvero le funzioni razionali di grado 1.

Nella sezione 5 introduciamo formalmente le funzioni esponenziale e logaritmo. In 5.1 definiamo l’esponenziale di un numero reale, e studiamo le proprietà delle funzioni esponenziali. Infine, in 5.2, definiamo il logaritmo di un numero positivo e studiamo le proprietà delle funzioni logaritmiche.

Primi esempi

Funzioni definite per casi.

Cominciamo con l’introdurre le cosiddette funzioni definite per casi, ossia funzioni in cui l’espressione che le definisce cambia in base al valore assunto dalla variabile indipendente. Facciamo subito un esempio, prima di analizzare alcune delle funzioni definite per casi maggiormente utilizzate.

Esempio 1.1. Sia $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la funzione definita da

(1) $\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 2, & \text{se } x <1;\\ -1, & \text{se } x =1;\\[4pt] \dfrac{1}{2}, & \text{se } x >1. \end{cases} \end{equation*}$

Ad esempio, quindi, $f$ soddisfa $f(-5)=2$ e $f(2)=\dfrac{1}{2}$ . Il grafico di $f$ è rappresentato in figura 1.

$\quad$

Figura 1: grafico della funzione $f$ definita da (1).

$\quad$

Funzione indicatrice

Alcune tra le funzioni definite per casi di maggiore importanza sono le cosiddette funzioni indicatrici o caratteristiche di sottoinsiemi $A$ di $\mathbb{R}$ . Tali funzioni assumono valori in un insieme di due elementi¹, i.e. $\left\{ 0,1 \right\}$ , e il nome è dovuto al fatto che il valore assunto dalla funzione in un punto $x$ indica se $x$ appartiene o meno all’insieme $A$ .

Definizione 1.2 (funzione indicatrice). Se $A \subseteq \mathbb{R}$

, allora la funzione indicatrice o funzione caratteristica dell’insieme $A$

è la funzione $1_A \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

definita da:

$1_A(x)=\begin{cases} 1, &\text{se } x\in A;\\ 0, &\text{se } x\notin A. \end{cases}$

$\quad$

In altre parole, la funzione indicatrice $1_A$ di un insieme $A$ vale $1$ in $A$ e $0$ fuori da $A$ .

Sottolineiamo che l’utilizzo del termine funzione indicatrice di un insieme $A$ (denotata, come abbiamo fatto, con $1_A$ , oppure del termine funzione caratteristica di $A$ (denotata spesso con $1_A$ ) dipende dal contento in cui viene utilizzata. Facciamo qualche esempio.

Esempio 1.3. Sia $A=[-1,2)$ . Allora la funzione $1_{[-1,2)} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è definita da

(2) $\begin{equation*} 1_{[-1,2)}(x) = \begin{cases} 1, &\text{se } x\in [-1,2);\\ 0, &\text{se } x\notin [-1,2). \end{cases} \end{equation*}$

Il suo grafico è rappresentato in figura 2.

$\quad$

Figura 2: grafico della funzione $1_{[-1,2)}$ definita da (2).

$\quad$

Osservazione 1.4. Le funzioni indicatrici costituiscono in un certo modo una base per tutte le funzioni definite per casi, nel senso che ogni funzione definita per casi può essere scritta come somma di funzioni moltiplicate per funzioni indicatrici, ovvero

$f(x)=\sum_{i=1}^n \alpha_i (x)1_{A_i}(x)\qquad \forall x \in {\rm Dom}(f),$

per qualche $n\geq 1$ . Ad esempio, il lettore può verificare per esercizio che la funzione $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita (1) si può scrivere come

(3) $\begin{equation*} f = 2 \cdot 1_{(-\infty,1)} - 1_{\{1\}} + \frac{1}{2} 1_{(1,+\infty)}. \end{equation*}$

Lemma 1.5. Si ha

$\quad$

$1_{\emptyset}(x)= 0, \quad 1_{\mathbb{R}}(x)= 1 \qquad \forall \, x\in \mathbb{R}$ ;

Dati $A, B \subseteq \mathbb{R}$ , si ha $A \subseteq B$ se e soltanto se
$1_{A}(x) \leq 1_{B}(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R};$

$1_{A \cup B}=1_{A} + 1_{B} - 1_{A \cap B}, \qquad \forall\, A,B \subseteq \mathbb{R}$ ;

$1_{A}(x)=1-1_{A^c}(x), \qquad \forall\, A \subseteq \mathbb{R}, \; x \in \mathbb{R}$ ;

$1_{A \cap B}=1_{A} \cdot 1_{B}, \qquad \forall\, A, B \subseteq \mathbb{R}$ .

$\quad$

Dimostrazione.

Segue immediatamente dalla definizione;

Siano $A, B \subseteq \mathbb{R}$ . Siccome la funzione indicatrice assume solo valori nell’insieme $\left\{ 0,1 \right\}$ , è chiaro che
$\begin{gathered} 1_{A} \leq 1_{B} \quad \iff \quad \left( \forall\, x \in \mathbb{R} \quad 1_{A}(x)=1 \implies 1_{B}(x)=1\right) \quad \iff\\ \iff \quad \left( \forall\, x \in \mathbb{R} \quad x \in A \implies x \in B\right) \quad \iff A \subseteq B. \end{gathered}$

Sia . Abbiamo tre possibilità
$\quad$
- $x \notin A \cup B$ . In questo caso $1_{A \cup B}(x)=0$ , ma anche $1_{A }(x)=1_{B}(x)= 1_{A\cap B}(x)= 0$ . La tesi segue da un calcolo diretto;
- $x \in A \setminus B$ . In questo caso $1_{A \cup B}(x)=1_{A }(x)=1$ , ma $1_{B}(x)=1_{A\cap B}(x)= 0$ . La tesi segue da un calcolo diretto;
- $x \in B \setminus A$ . Questo caso è analogo al precedente, e si ottiene da questo scambiando i ruoli di $A$ e $B$ .

Segue dal punto 3. e dal punto 1.

Segue immediatamente dalla definizione, osservando che, per ogni $x \in \mathbb{R}$ , si ha
$1_{A}(x) \cdot 1_{B}(x) =1 \quad \iff \quad 1_{A}(x)= 1_{B}(x)=1 \quad \iff \quad x \in A \cap B.$

In figura 3 riportiamo un esempio famoso di una funzione indicatrice, ovvero $1_A(x)$ con $A=\mathbb{R}^+$ , detta funzione gradino di Heaviside, e denotata spesso con $H$ .

$\quad$

Figura 3: grafico della funzione $1_A$ , dove $A=\mathbb{R}^+$ , detta funzione gradino di Heaviside.

Funzione segno

Con il termine funzione segno indichiamo la funzione che, come suggerisce il nome, restituisce il segno del numero reale che ha per argomento.

Definizione 1.6 (funzione segno). Si definisce funzione segno la funzione $\operatorname{sgn} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

definita da

(4) $\begin{equation*} \operatorname{sgn} (x)= \begin{cases} -1, &\text{se } x<0;\\ 0, &\text{se } x=0;\\ 1, &\text{se } x>0. \end{cases} \end{equation*}$

$\quad$

Il grafico della funzione $\operatorname{sgn}$ è rappresentato in figura 4.

$\quad$

Figura 4: grafico della funzione $\operatorname{sgn}$ .

$\quad$

In virtù dell’osservazione 1.4, si può scrivere la funzione $\operatorname{sgn}$ come combinazione di funzioni pesate con funzioni caratteristiche; infatti si ha

(5) $\begin{equation*} \operatorname{sgn} = 1_{[0,+\infty)}- 1_{(-\infty,0]}. \end{equation*}$

Osservazione 1.7. Notiamo che il segno del numero reale $0$ non è ben definito. Per questo motivo, alcuni autori preferiscono definire la funzione segno su $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ invece che su $\mathbb{R}$ , mentre altri utilizzano la convenzione che $\operatorname{sgn} (0)=1$ . Noi abbiamo scelto di utilizzare la convenzione $\operatorname{sgn}(0)=0$ per ragioni di simmetria e semplicità.

La funzione segno può essere utilizzata nei calcoli per ottenere un’espressione che cambia segno in base al valore di un parametro; ad esempio si ha

(6) $\begin{equation*} f(x)=x^2 \operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} x^2, & \text{se } x \geq 0;\\ -x^2, & \text{se } x < 0. \end{cases} \end{equation*}$

Dalla regola dei segni, segue immediatamente il prossimo risultato.

Lemma 1.8. Siano $f,g: A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

due funzioni. Allora, vale che

(7) $\begin{equation*} \operatorname{sgn}(f\cdot g)= \operatorname{sgn}(f)\cdot \operatorname{sgn}(g). \end{equation*}$

$\quad$

Infine, segue dal lemma precedente che la funzione segno è idempotente, ovvero

(8) $\begin{equation*} \operatorname{sgn}(\operatorname{sgn} x)=\operatorname{sgn} x \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Proprietà della funzione segno

Enunciamo ora delle semplici proprietà della funzione definita da (4) e del suo grafico, cf. figura 4.

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione segno è $\mathbb{R}$ , cf. definizione 1.6.

(Simmetrie.) La funzione segno è una funzione dispari: segue dal lemma 1.8 che
(9) $\begin{equation*} \operatorname{sgn}(-x) = -\operatorname{sgn}(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

In particolare, il grafico della funzione segno è simmetrico rispetto all’origine.

(Periodicità.) La funzione segno non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) La funzione segno ha un’unica intersezione con l’asse $x$ nel punto $P=(0,0)$ . Tale punto rappresenta anche l’intersezione con l’asse $y$ .

(Segno.) La funzione segno, come suggerisce la parola stessa, ha lo stesso segno del suo argomento
$\operatorname{sgn}(x)\geq 0 \quad \iff \quad x \geq 0.$

(Intervalli di monotonia.) La funzione segno è una funzione monotona non decrescente in tutto il suo dominio.

(Immagine.) L’immagine della funzione segno è pari all’insieme $\{-1,0,1\}$ . In particolare, segue che la funzione segno è limitata superiormente e inferiormente e si ha
$\inf_{x\in \mathbb{R}} \operatorname{sgn} x= \min_{x \in \mathbb{R}} \operatorname{sgn}(x)=-1, \qquad \sup_{x\in \mathbb{R}}\operatorname{sgn} x = \max_{x \in \mathbb{R}}\operatorname{sgn}(x)=1.$

(Invertibilità.) La funzione segno non è invertibile, in quanto non iniettiva. Infatti, ad esempio, $\operatorname{sgn}(1)=\operatorname{sgn}(2)$ .

Funzione valore assoluto.

Un’altra funzione elementare definita per casi, importantissima per le applicazioni e per il seguito della dispensa, è il valore assoluto o modulo.

Definizione 1.9 (valore assoluto). Si definisce valore assoluto o modulo la funzione $|\cdot| \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

definita da

(10) $\begin{equation*} |x|\coloneqq \operatorname{sgn}(x)x= \begin{cases} x, &{\text{se }}x\ge 0;\\ -x, & {\text{se }} x<0. \end{cases} \end{equation*}$

$\quad$

Segue subito dalla definizione che la funzione valore assoluto è sempre non negativa. Ad esempio, dal lemma 1.8 si ha

(11) $\begin{equation*} \operatorname{sgn} (|x|)= \operatorname{sgn}(\operatorname{sgn} (x)x)=\operatorname{sgn}(\operatorname{sgn} x)\operatorname{sgn}(x)= \operatorname{sgn}^2(x)\geq 0\qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Il grafico di $|x|$ è mostrato in figura 5.

$\quad$

Figura 5: grafico della funzione $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; f(x)=|x|$ .

$\quad$

Osservazione 1.10. La funzione valore assoluto poteva essere definita in maniera equivalente (e forse più elegante) nel seguente modo.

$|x| \coloneqq \max\left\{ x,-x \right\}\qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

Si vede facilmente che le due definizioni coincidono.

Proprietà della funzione valore assoluto

Elenchiamo alcune proprietà fondamentali della funzione modulo, che si possono dedurre dalla definizione 1.9 e dal grafico in figura 5.

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione valore assoluto è $\mathbb{R}$ , cf. definizione 1.9.

(Simmetrie.) La funzione valore assoluto è una funzione pari, infatti:
(12) $\begin{equation*} |-x|= \begin{cases} -x , &{\text{se }}-x\ge 0;\\ x, & {\text{se }} -x<0 \end{cases} = \begin{cases} -x , &{\text{se }}x\leq 0;\\ x, & {\text{se }} x>0 \end{cases} \,\,\, = |x| \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

In particolare, il grafico della funzione valore assoluto è simmetrico rispetto all’asse $y$ .

(Periodicità.) La funzione valore assoluto non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) La funzione valore assoluto ha un’unica intersezione con l’asse $x$ nel punto $P=(0,0)$ . Tale punto rappresenta anche l’intersezione con l’asse $y$ .

(Segno.) La funzione valore assoluto è sempre non negativa, cf. (11):
$|x|\geq0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

(Intervalli di monotonia.) La funzione valore assoluto è una funzione crescente in $[0,+\infty)$ e decrescente in $(-\infty,0]$ .

(Immagine.) L’immagine tramite la funzione valore assoluto è
(13) $\begin{equation*} \operatorname{Im} |\cdot| = [0,+\infty). \end{equation*}$

Infatti, l’immagine di un numero non negativo è pari a sé stesso, mentre l’immagine tramite la funzione valore assoluto di ogni numero negativo è pari al suo opposto. Da ciò segue che l’immagine è contenuta in $[0,+\infty)$ . Infine, poiché $|x|=x$ per ogni $x \geq 0$ , si ha anche l’inclusione opposta. In particolare, la funzione valore assoluto è limitata inferiormente e illimitata superiormente, e si ha

(14) $\begin{equation*} \inf_{x \in \mathbb{R}}|x| = \min_{x \in \mathbb{R}}|x| = |0| = 0, \qquad \sup_{x \in \mathbb{R}}|x|= +\infty. \end{equation*}$

(Invertibilità.) La funzione valore assoluto non è invertibile, in quanto non iniettiva. Ad esempio, $|1|=|-1|$ .

Notiamo che il grafico della funzione valore assoluto è stato ottenuto a partire dalla bisettrice del primo e terzo quadrante, i.e. il grafico della funzione $\Id_{\mathbb{R}}$ , cf. [4, Definizione 2.18], operando una riflessione rispetto l’asse $x$ della parte negativa di $f$ . Questa proprietà rimane vera precomponendo la funzione valore assoluto definita da (10) con una funzione $f:E\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ qualunque. In questo modo, otteniamo la definizione di valore assoluto di una funzione.

Esercizio 1.11 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Sia $f:E \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

una funzione. Chiamiamo funzione valore assoluto di $\bm{f}$

o modulo di $\bm{f}$

, indicata con $|f|$

, la funzione data dalla composizione di (10) con $f$

, definita da

(15) $\begin{equation*} |f|(x)=|f(x)|\qquad \forall x \in E. \end{equation*}$

Dimostrare che il grafico di $|f|$ si ottiene dal grafico $\Gamma_f$ di $f$ riflettendo la parte negativa di $f$ rispetto all’asse delle ascisse.

$\quad$

Un esempio è dato dalla seguente figura.

$\quad$

Figura 6: grafico della funzione $|f|$ (in blu, in basso), cf. (15), ottenuto da quello di $f$ (in rosso, in alto) ribaltando la parte negativa rispetto l’asse $x$ .

$\quad$

Esercizio 1.12 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Sia $f:E \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

una funzione e sia $g:E \to\mathbb{R}$

la funzione data dalla composizione di $f$

con (10), definita da

(16) $\begin{equation*} g(x)=f(|x|)\qquad \forall x \in E. \end{equation*}$

Dimostrare che il grafico di $g$ si ottiene dal grafico $\Gamma_f$ di $f$ riflettendo la porzione del grafico di $f$ contenuta nel primo e quarto quadrante rispetto all’asse delle ordinate.

$\quad$

Un esempio è dato dalla seguente figura.

$\quad$

Figura 7: grafico dela funzione $g$ (in blu, in basso), cf. (16), ottenuto da quello di $f$ (in rosso, in alto) ribaltando la parte di grafico di $f$ a destra dell’asse $y$ rispetto l’asse $y$ .

$\quad$

La funzione valore assoluto può essere utilizzata per misurare la distanza tra due numeri reali $a,b$ con $a<b$ , intesa come la lunghezza dell’intervallo $[a,b]$ .

Definizione 1.13 (distanza in $\mathbb{R}$

). Dati $x,y \in \mathbb{R}$

, si definisce distanza tra $x$

e $y$

la quantità

(17) $\begin{equation*} \operatorname{dist}(x,y)\coloneqq |x-y|. \end{equation*}$

$\quad$

Poiché

(18) $\begin{equation*} |x-y| = \begin{cases} x-y, & \text{se } x \geq y;\\ y-x, & \text{se } y > x, \end{cases} \end{equation*}$

la quantità $|x-y|$ corrisponde proprio all’ampiezza dell’intervallo di estremi $x$ e $y$ , pertanto coincide con l’idea intuitiva di distanza.

In generale, si noti che una qualunque funzione che ha per immagine un insieme di due elementi può essere vista come una funzione caratteristica, basta fissare una volta per tutte una corrispondenza biunivoca tra l’insieme di due elementi e $\left\{ 0,1 \right\}$ . ↩

Funzioni parte intera e frazionaria.

In questa sezione ci occupiamo di definire la funzione parte intera di un numero reale.

Parte intera inferiore

La funzione parte intera inferiore si definisce come segue.

Definizione 1.14 (parte intera inferiore). Si definisce parte intera o, più precisamente, parte intera inferiore, la funzione $\lfloor \cdot \rfloor \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

definita da

(19) $\begin{equation*} {\lfloor x \rfloor\coloneqq \max\{k \in \mathbb{Z}: k \le x\} \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

$\quad$

La definizione è ben posta in quanto l’insieme dato da (19) è un sottoinsieme dei numeri interi superiormente limitato, e quindi ha un massimo²

La funzione $\lfloor \cdot \rfloor$ , valutata in $x \in \mathbb{R}$ , assume il valore del più grande numero intero $k \in \mathbb{Z}$ minore o uguale a $x$ . Dalla definizione segue quindi che

(20) $\begin{equation*} \lfloor x \rfloor=k \qquad \forall x \in [k,k+1), \,\,\,\forall k \in \mathbb{Z}, \end{equation*}$

cioè che $\lfloor \cdot \rfloor$ è costantemente pari a $k$ nell’intervallo $[k,k+1)$ con $k \in \mathbb{Z}$ . Ad esempio si ha

(21) $\begin{equation*} \lfloor\frac 12\rfloor=0, \qquad \lfloor\pi\rfloor=3, \qquad \lfloor e \rfloor=2, \qquad \lfloor2\rfloor=2, \qquad \lfloor-\frac{3}{2}\rfloor=-2. \end{equation*}$

Pertanto, il suo grafico è quello rappresentato in figura 8.

$\quad$

Figura 8: grafico della funzione $\lfloor \cdot \rfloor$ definita da (19).

$\quad$

Nonostante dalla definizione possa non apparire evidente, anche la funzione $\lfloor \cdot \rfloor$ può essere scritta come somma pesata di funzioni caratteristiche:

(22) $\begin{equation*} $\lfloor x \rfloor$ = \dots -2 \cdot 1_{[-2,-1)}(x) -1 \cdot 1_{[-1,-0)}(x) + 0 \cdot 1_{[0,1)}(x) + 1 \cdot 1_{[1,2)}(x) + \dots = \sum_{k \in \mathbb{Z}} k \cdot 1_{[k,k+1)}(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Proprietà della funzione parte intera inferiore

Riportiamo ora alcune semplici proprietà di $\lfloor \cdot \rfloor$ deducibili facilmente dalla definizione 1.14 e dal grafico di figura 8:

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione parte intera inferiore è $\mathbb{R}$ , cf. definizione 1.14.

(Simmetrie.) La funzione parte intera inferiore non è né pari né dispari. Infatti, si ha
(23) $\begin{equation*} \lfloor -x \rfloor = \begin{cases} - \lfloor x \rfloor , & \text{se } x \in \mathbb{Z};\\ -\lfloor x\rfloor-1, & \text{se } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}. \end{cases} \end{equation*}$

Per esempio:

$\lfloor-2.5\rfloor=-3=-2-1=-\lfloor 2.5 \rfloor-1.$

(Periodicità.) La funzione parte intera inferiore non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $x$ è costituita da tutti i punti
$P_x=(x,0) \qquad \forall x\in [0,1).$

Segue che l’intersezione con l’asse $y$ è data dal punto $P_0=(0,0)$ .

(Segno.) La funzione parte intera inferiore ha il seguente segno
$\lfloor x\rfloor \geq 0 \quad \iff \quad x\geq 0.$

(Intervalli di monotonia.) La funzione parte intera inferiore è monotona non decrescente ed è costante a tratti, sugli intervalli del tipo $[n,n+1)$ con $n \in \mathbb{Z}$ .

(Immagine.) L’immagine della funzione parte intera inferiore è $\mathbb{Z}$ . In particolare, $\lfloor x \rfloor$ è illimitata superiormente e inferiormente.

(Invertibilità.) La funzione parte intera inferiore non è invertibile, in quanto non iniettiva. Ad esempio, $|0|=|0.5|$ .

Si hanno inoltre le seguenti proprietà:

$\quad$

La funzione $\lfloor \cdot \rfloor$ è additiva quando almeno uno dei numeri a cui si applica è intero; in formule

(24) $\begin{equation*} \lfloor k+x\rfloor=k+\lfloor x\rfloor \qquad \forall x \in \mathbb{R},\,\,\,\forall k \in \mathbb{Z}. \end{equation*}$

Ad esempio,

(25) $\begin{equation*} \lfloor 7+\pi\rfloor=\lfloor 10,141592...\rfloor =10=7+3=7+\lfloor \pi\rfloor. \end{equation*}$

Ciò non vero è in generale vero se $k \notin \mathbb{Z}$ , ad esempio

(26) $\begin{equation*} \lfloor{\frac{3}{2}+ \frac{3}{2}\rfloor = 3 \neq 1+1 = \lfloor{\frac{3}{2}\rfloor+ \lfloor{\frac{3}{2}\rfloor. \end{equation*}$

La funzione $\lfloor \cdot \rfloor$ è una funzione idempotente, cioè
(27) $\begin{equation*} \lfloor\lfloor x\rfloor\rfloor=\lfloor x\rfloor \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Per esempio:

$\lfloor\lfloor \sqrt 2 \rfloor \rfloor=\lfloor 1 \rfloor=1=\lfloor \sqrt 2 \rfloor.$

Si ha
(28) $\begin{equation*} \lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor+1 \quad \forall x \in \mathbb{R} \qquad \text{e} \qquad x= \lfloor x\rfloor \iff x \in \mathbb{Z}. \end{equation*}$

Parte intera superiore

Similmente alla funzione parte intera si può definire la funzione parte intera superiore.

Definizione 1.15 (parte intera superiore). Si definisce parte intera superiore, la funzione $\lceil \cdot \rceil \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

definita da

(29) $\begin{equation*} \lceil x \rceil=\min\{k \in \mathbb{Z}: k \geq x\} \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

$\quad$

La funzione $\lceil \cdot \rceil$ , valutata in $x \in \mathbb{R}$ , assume il valore del più piccolo numero intero $k \in \mathbb{Z}$ maggiore o uguale a $x$ . Ad esempio si ha

(30) $\begin{equation*} \lceil\dfrac 12\rceil=1, \qquad \lceil\pi\rceil=4, \qquad \lceil e \rceil=3, \qquad \lceil2\rceil=2, \qquad \lceil-\frac{3}{2}\rceil=-1. \end{equation*}$

Dalla definizione segue quindi che

(31) $\begin{equation*} \lceil x \rceil=k \qquad \forall x \in (k-1,k], \,\,\,\forall k \in \mathbb{Z}, \end{equation*}$

cioè che $\lceil \cdot \rceil$ è costantemente pari a $k$ nell’intervallo $(k-1,k]$ con $k \in \mathbb{Z}$ . Pertanto, il suo grafico è quello rappresentato in figura 9.

$\quad$

Figura 9: il grafico della funzione $\lceil \cdot\rceil$ .

$\quad$

Analogamente alla funzione $\lfloor \cdot \rfloor$ , anche la funzione $\lceil \cdot \rceil$ può essere scritta come somma pesata di funzioni caratteristiche:

(32) $\begin{equation*} \lceil x \rceil = \sum_{k \in \mathbb{Z}} k \cdot \ind{(k-1,k]}(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

La funzione $\lceil \cdot \rceil$ soddisfa delle proprietà analoghe a quelle della funzione $\lfloor \cdot \rfloor$ ; invitiamo il lettore a scriverle per esercizio, facendo anche qualche esempio.

Esplicitiamo di seguito alcune relazioni tra la funzione parte intera e la funzione parte intera superiore e invitiamo il lettore a verificarle.

Esercizio 1.16 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Dimostrare le seguenti identità

$\quad$

(33) $\begin{equation*} \lceil x\rceil=-\lfloor-x\rfloor \quad \forall x \in \mathbb{R}; \end{equation*}$

(34) $\begin{equation*} \lfloor k / 2\rfloor+\lceil k / 2\rceil=k \quad \forall k \in \mathbb{Z}; \end{equation*}$

(35) $\begin{equation*} \lceil x\rceil = \begin{cases} \lfloor x\rfloor, & \text{se } x \in \mathbb{Z};\\ \lfloor x\rfloor+1 , & \text{se } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}. \end{cases} \end{equation*}$

$\quad$

Parte frazionaria

Un’altra funzione interessante è quella data dalla parte frazionaria definita come la differenza tra un numero reale e la sua parte intera.

Definizione 1.17 (parte frazionaria). Si definisce parte frazionaria o mantissa, la funzione $\{\cdot\} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

definita da

(36) $\begin{equation*} \{{x}\}= x-\lfloor x \rfloor \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

$\quad$

Rappresentando i numero reali in forma decimale, la parte frazionaria di un numero si ottiene evidentemente lasciando inalterate le cifre dopo la virgola, la mantissa appunto, e ponendo a zero le cifre prima della virgola.

Facciamo qualche esempio per chiarire la definizione:

(37) $\begin{equation*} \{k\}=0 \quad \forall k \in \mathbb{Z}, \qquad \{\pi\}=\pi-[\pi]=3,1415{\dots} -3=0,1415{\dots} \end{equation*}$

Il grafico della funzione $\{\cdot\}$ è rappresentato in figura 10.

$\quad$

Figura 10: il grafico della funzione $\{ \cdot\}$ .

$\quad$

Proprietà della funzione parte frazionaria

Le proprietà della funzione parte frazionaria sono facilmente ricavabili dalla definizione 1.17 e dal grafico di figura 10:

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione parte frazionaria è $\mathbb{R}$ , cf. definizione 1.17.

(Simmetrie.) La funzione parte frazionaria non è né pari né dispari. Infatti, si ha
(38) $\begin{equation*} \left\{ -x \right\} = -x- \lfloor -x \rfloor = \begin{cases} -x- \lfloor x \rfloor , & \text{se } x \in \mathbb{Z};\\ -x -\lfloor x\rfloor-1 , & \text{se } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}. \end{cases} \end{equation*}$

Per esempio,

$\left\{ -2.4 \right\}=-2.4-(-3)=0.6\neq \begin{cases} \left\{ 2.4 \right\}=0.4; \\ - \left\{ 2.4 \right\}=-0.4. \end{cases}$

(Periodicità.) La funzione parte frazionaria è periodica di periodo minimo $1$ . Infatti si ha
(39) $\begin{equation*} \{x+1\} = x+1-\lfloor x +1\rfloor = x+1-\lfloor x \rfloor-1 = x-\lfloor x \rfloor = \{x\} \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

dove nella seconda uguaglianza si è usata (24). Ciò mostra che $\{\cdot\}$ è periodica di periodo $1$ . Per mostrare che $1$ è il periodo minimo di $\{\cdot\}$ , osserviamo che si ha

(40) $\begin{equation*} \{0+T\}=T \neq \{0\} \qquad \forall T \in (0,1), \end{equation*}$

da cui segue che nessun $T \in (0,1)$ è un periodo per $\{\cdot\}$ .

(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $x$ è costituita da tutti i punti
$P_k=(k,0) \qquad \forall k\in \mathbb{Z}.$

Segue che l’intersezione con l’asse $x$ è data dal punto $P_0=(0,0)$ .

(Segno.) La funzione parte frazionaria è non negativa, ovvero
$\left\{ x \right\}\geq 0 \qquad \forall x\in \mathbb{R}.$

(Intervalli di monotonia.) La funzione parte frazionaria è monotona strettamente crescente in ogni intervallo del tipo $[k,k+1)$ con $k\in \mathbb{Z}$ .

(Immagine.) L’immagine della funzione parte frazionaria è l’intervallo $[0,1)$ ; in particolare, $\{\cdot\}$ è limitata inferiormente e superiormente e si ha
(41) $\begin{equation*} \inf_{x\in \mathbb{R}} \{x\}=\min_{x\in \mathbb{R}} \{x\}=0; \qquad \sup_{x\in \mathbb{R}} \{x\}=1\notin \operatorname{Im} \{\cdot\}. \end{equation*}$

(Invertibilità.) La funzione parte frazionaria non è invertibile, in quanto non iniettiva. Ad esempio, $\left\{ 0.5 \right\}=\left\{ 1.5 \right\}$ .

Tale affermazione si può dimostrare rigorosamente a partire dal principio di induzione, e ne è ad esso equivalente. Invitiamo il lettore a dimostrarlo per esercizio. ↩

Funzioni monomiali e funzioni irrazionali

Introduzione.

In questa sezione ci proponiamo di studiare le funzioni monomiali $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

definite da

$f(x)=a x^n, \qquad x \in \mathbb{R},$

dove $n\in \mathbb{N}$ e $a \in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ sono parametri. Fissando il valore del parametro $a=1$ , troviamo le funzioni potenza. Le loro inverse, dette funzioni radicali vengono studiate successivamente. Il numero $n$ è detto grado della funzione monomiale, e il parametro $a$ è detto coefficiente del monomio $x^n$ .

Monomi.

Suddividiamo lo studio per gradi.

Funzione potenza di esponente 1: funzioni lineari.

Definizione 2.1 (funzione lineare). Una funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

si dice lineare se

(42) $\begin{equation*} f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x)+ \beta f(y) \qquad \forall \alpha,\beta,x,y\in \mathbb{R}. \end{equation*}$

$\quad$

Nella prossima proposizione familiarizziamo con il concetto di funzione lineare.

Proposizione 2.2 (proprietà delle funzioni lineari su $\mathbb{R}$

). Sia $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

una funzione lineare. Allora, vale che

$\quad$

$f(0)=0;$

se $f(x_0)=0$ per qualche $x_0 \neq 0$ , allora $f$ è identicamente nulla.

$\quad$

Dimostrazione. La dimostrazione è una semplice applicazione della formula (42).

$\quad$

Ponendo $x=y=0$ e $\alpha=\beta=1$ in (42), troviamo
$f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) \implies f(0)=0.$

Da (42), troviamo
$f(x)=f\left( \frac{x}{x_0} x_0 \right)=\frac{x}{x_0}f(x_0)=0,$

dove abbiamo posto $\alpha=0$ , $y=x_0$ e $\beta = \dfrac{x}{x_0}$ .

Il collegamento tra funzioni lineari e le funzioni potenza di primo grado è evidenziato nella proposizione seguente.

Proposizione 2.3 (caratterizzazione delle funzioni lineari su $\mathbb{R}$

). Una funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

è lineare se e solo se esiste $m \in \mathbb{R}$

tale che

(43) $\begin{equation*} f(x)=mx \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Se $f$ è della forma (43), allora si vede immediatamente che soddisfa (42):

$f(\alpha x + \beta y) = m(\alpha x + \beta y)= m\alpha x + m\beta y= \alpha mx + \beta my= \alpha f(x)+ \beta f(y) \qquad \forall \alpha,\beta,x,y\in \mathbb{R},$

dove abbiamo usato la proprietà distributiva del prodotto sulla somma e la proprietà commutativa del prodotto.

Viceversa, se $f$ è lineare, ponendo $m\coloneqq f(1)$ , da (42) con $\alpha=0, \beta=x, y=1$ si ha

(44) $\begin{equation*} f(x) = f(x \cdot 1) = x f(1) = m x \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Per una funzione lineare $f$ , quindi, è sufficiente conoscere il valore $f(1)$ per determinare il valore $f(x)$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ ³. Ci proponiamo ora di capire come sono fatti i grafici di funzioni lineari.

Grafici di funzioni lineari

Per ottenere informazioni sul grafico delle funzioni lineari, cominciamo con l’esempio rappresentato in figura 11.

$\quad$

Figura 11: i punti $O,P,Q$ appartengono al grafico di una funzione lineare. I triangoli $OPH$ e $OQK$ sono simili, quindi i punti $O,P,Q$ sono allineati.

$\quad$

Esempio 2.4. In figura 11 abbiamo riportato 3 punti (in blu) appartenenti al grafico di una funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ lineare, definita da $f(x)=mx$ con $m>0$ : il punto $O=(0,0)$ , l’origine degli assi, e due punti generici $P$ e $Q$ appartenenti al grafico di $f$ , di ascisse $x_1$ e $x_2$ rispettivamente. I punti $H,K$ sono le proiezioni rispettivamente di $P,Q$ sull’asse $x$ .

Osserviamo che i triangoli $OPH$ e $OQK$ sono rettangoli rispettivamente in $H$ e $K$ . Poiché $f(x)=mx$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ , si ha

(45) $\begin{equation*} \overline{PH} = m \cdot \overline{OH}, \qquad \overline{QK} = m \cdot \overline{OK}. \end{equation*}$

In altre parole, abbiamo

(46) $\begin{equation*} \dfrac{{OH}}{{PH}} = \dfrac{{OK}}{{QK}} = m, \end{equation*}$

cioè i rapporti tra le lunghezze dei cateti dei due triangoli rettangoli $\triangle OPH$ e $\triangle OQK$ sono uguali. Ciò dimostra che i due triangoli sono simili, e dunque i due angoli in $O$ sono uguali:

(47) $\begin{equation*} \angle HOP=\angle{K{O}Q}, \end{equation*}$

da cui segue che i punti $O,P,Q$ sono allineati. Per l’arbitrarietà dei punti considerati, tutti i punti di $\Gamma_f$ giacciono sulla stessa retta passante per l’origine, e quindi $\Gamma_f$ è costituito da tale retta.

Se il coefficiente angolare $m$ fosse stato negativo, allora la retta sarebbe stata contenuta nel secondo e nel quarto quadrante, ossia nella parte di piano in cui $x$ e $y$ hanno segno opposto, come mostrato in figura 12.

$\quad$

Figura 12: grafico (in blu) di una funzione lineare definita da $f(x)=mx$ con $m>0$ e il grafico (in arancio) di una funzione lineare definita da $f(x)=mx$ con $m<0$ .

$\quad$

Proprietà delle funzioni lineari

Sia $m\in \mathbb{R}\setminus \left\{ 0 \right\}$ e sia

$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; f(x)=mx.$

La funzione lineare $f$ soddisfa le seguenti proprietà.

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione lineare $f$ è $\mathbb{R}$ .

(Simmetrie.) La funzione lineare $f$ è dispari. Infatti,
$f(-x)=m(-x)=-mx=-f(x).$

In particolare, il grafico della funzione $f$ è simmetrico rispetto all’origine.

(Periodicità.) La funzione lineare $f$ non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) La funzione lineare $f$ ha come unica intersezione con l’asse $x$ il punto $O=(0,0)$ , il quale è anche l’intersezione con l’asse $y.$

(Segno.) Il segno della funzione lineare $f$ è il seguente.
$f(x)=mx\geq 0 \quad \iff \quad \begin{cases} x \geq 0, & \mbox{ se } m>0;\\ x\leq 0, & \mbox{ se } m<0. \end{cases}$

(Intervalli di monotonia.) La funzione lineare $f$ è monotona strettamente crescente se $m>0$ (risp. monotona strettamente decrescente se $m<0$ ).

(Immagine.) La funzione lineare $f$ ha come immagine
$\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}.$

(Invertibilità.) La funzione lineare $f$ è invertibile, e l’inversa è data da
$f^{-1}(x)=\frac{x}{m}.$

Infatti,

$y=mx \quad \iff \quad x=\frac{y}{m}.$

Ruolo del coefficiente angolare $m$

Come abbiamo visto in figura 12, il segno del coefficiente angolare di una funzione lineare determina se la parte del grafico della funzione relativa al semipiano delle $x$ positive si trova al di sopra o al di sotto dell’asse $x$ .

Data una funzione lineare $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=mx$ , possiamo però dedurre delle informazioni più quantitative dalla figura 11 e in particolare dall’equazione (46): il coefficiente angolare $m$ rappresenta il rapporto tra le lunghezze del cateto verticale $Q_iP_i$ e del cateto orizzontale $O,Q_i$ .

Notiamo che la retta grafico della funzione $f$ è sempre più “inclinata in verticale” al crescere di $m$ . Se invece $m$ è molto vicino a $0$ , il cateto verticale è di lunghezza “piccola” rispetto al cateto orizzontale, pertanto la retta grafico di $f$ tende ad avere un inclinazione quasi orizzontale.

Viceversa, se $m<0$ , queste considerazioni sono speculari rispetto all’asse $x$ .

In conclusione, il valore del coefficiente angolare determina l’angolo che il grafico della funzione lineare forma col semiasse positivo dell’asse $x$ . In figura abbiamo rappresentato i grafici di alcune funzioni lineari al variare del coefficiente angolare $m$ , ottenendo così il cosiddetto fascio proprio di rette passante per il punto $(0,0)$ .

$\quad$

Figura 13: alcune delle rette appartenenti al fascio proprio di rette di equazione $y=mx$ .

$\quad$

Riassumiamo di seguito quanto appena discusso.

$\quad$

Consideriamo il caso in cui $0<m_1<m_2$ . Per entrambi i valori di $m$ , $f$ risulta crescente in $[0,+\infty)$ ; si vede però che
(48) $\begin{equation*} m_1 x < m_2 x \qquad \forall x \in (0,+\infty), \end{equation*}$

ossia la funzione lineare avente parametro $m_2$ “cresce più rapidamente” di quella avente come parametro $m_1$ .

Analogamente si vede , se $m_2<m_1<0$ , la funzione avente come parametro $m_2$ “decresce più rapidamente” in $[0,+\infty)$ di quella avente come parametro $m_1$ .

Funzione potenza di esponente 2: funzioni quadratiche.

In questa sezione analizziamo le funzioni polinomiali $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

definite da

(49) $\begin{equation*} f(x) = ax^2 \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

con $a \neq 0$ . Il grafico di una tale funzione può essere ottenuto determinando alcuni punti ad esso appartenenti del tipo $(x,ax^2)$ al variare di $x \in \mathbb{R}$ .

$\quad$

Figura 14: grafici di funzioni quadratiche definite da $f(x)=ax^2$ per $a=1$ (sopra) e per $a=1$ (sotto).

$\quad$

Proprietà delle funzioni quadratiche

Sia $a \in \mathbb{R}\setminus \left\{ 0 \right\}$ e sia $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la funzione quadratica definita da

(50) $\begin{equation*} f(x) = ax^2 \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

La funzione quadratica $f$ soddisfa le seguenti proprietà.

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione quadratica $f$ è $\mathbb{R}$ .

(Simmetrie.) La funzione quadratica $f$ è pari. Infatti,
(51) $\begin{equation*} f(-x) = a\cdot (-x)^2 = ax^2 = f(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

In particolare, il grafico della funzione $f$ è simmetrico rispetto all’asse $y$ .

(Periodicità.) La funzione quadratica $f$ non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) La funzione quadratica $f$ ha come unica intersezione con l’asse $x$ il punto $O=(0,0)$ , il quale rappresenta anche l’intersezione con l’asse $y$ .

(Segno.) La funzione quadratica $f$ ha il seguente segno.
$f(x)=ax^2\geq 0 \quad \begin{cases} \forall x \in \mathbb{R}, & \mbox{ se } a>0;\\ \iff x=0, & \mbox{ se } a<0. \end{cases}$

(Intervalli di monotonia.) La funzione quadratica $f$ è monotona strettamente crescente in $[0,+\infty)$ e monotona strettamente decrescente in $(-\infty,0]$ se $a>0$ (risp. monotona strettamente crescente in $(-\infty,0]$ e monotona strettamente decrescente in $[0,+\infty)$ se $a<0$ )
Dimostriamo soltanto l’affermazione relativa al caso $a>0$ , in quanto l’altro è analogo e si ottiene da questo applicandolo alla funzione $-f$ . Se $a>0$ , si ha

(52) $\begin{equation*} 0 \leq x_1 < x_2 \quad \Longrightarrow \quad 0 \leq x_1^2< x_1x_2 < x_2^2, \end{equation*}$

in quanto la moltiplicazione per numeri positivi conserva il verso delle disuguaglianze. Quindi $f$ è strettamente crescente in $[0,+\infty)$ . Analogamente si vede che $f$ è strettamente decrescente in $(-\infty,0]$ .

(Immagine.) L’immagine della funzione quadratica $f$ è
(53) $\begin{equation*} \operatorname{Im} f = [0,+\infty) \quad \text{se } a >0, \qquad \operatorname{Im} f = (-\infty,0] \quad \text{se } a <0. \end{equation*}$

In particolare, se $a>0$ l’unico punto di minimo per $f$ è $x=0$ , mentre se $a<0$ l’unico punto di massimo per $f$ è $x=0$ .

Per fissare le idee consideriamo il caso in cui $a>0$ , in quanto il caso $a<0$ si ottiene da questo applicandolo alla funzione $-f$ . Osserviamo innanzitutto che, poiché $a>0$ e $x^2 \geq 0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ , si ha $f(x)\geq 0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ , quindi

(54) $\begin{equation*} \operatorname{Im} f \subseteq [0,+\infty) \end{equation*}$

L’inclusione opposta è meno banale, e per dimostrarla rigorosamente abbiamo bisogno della completezza dei reali. Tale inclusione sarà ottenuta come corollario della proposizione 2.10.

(Invertibilità.) Se $a>0$ , le restrizioni $f|_{[0,+\infty)}^{[0,+\infty)}$ e $f|_{(-\infty,0]}^{[0,+\infty)}$ sono invertibili. Analogamente, se $a<0$ , le restrizioni $f|_{[0,+\infty)}^{(-\infty,0]}$ e $f|_{(-\infty,0]}^{(-\infty,0]}$ sono invertibili. Questo è il contenuto della proposizione 2.10.

Ruolo del parametro $a$

Sia $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la funzione definita da $f(x)=ax^2$ , per qualche $a \in \mathbb{R}$ . Abbiamo visto, cf. figura 14, che il segno del coefficiente del termine quadratico $a$ determina il segno e la monotonia di $f$ . Vogliamo ora analizzare maggiormente il ruolo di questo parametro, e più precisamente come cambia il grafico di $f$ al variare di $a \in \mathbb{R}$ .

$\quad$

Consideriamo il caso in cui $0<a_1<a_2$ . Per entrambi i valori di $a$ , $f$ risulta crescente in $[0,+\infty)$ ; si vede però che
(55) $\begin{equation*} a_1 x^2 < a_2 x^2 \qquad \forall x \in (0,+\infty), \end{equation*}$

ossia la funzione quadratica avente parametro $a_2$ “cresce più rapidamente” di quella avente come parametro $a_1$ .

Analogamente si vede , se $a_2<a_1<0$ , la funzione avente come parametro $a_2$ “decresce più rapidamente” in $[0,+\infty)$ di quella avente come parametro $a_1$ .

Osserviamo nella figura 15 i grafici di alcune delle funzioni del tipo $f(x)=ax^2$ al variare di $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ . Vediamo che, se $a>0$ è sempre più grande, la funzione cresce sempre più rapidamente, mentre se $a>0$ diventa piccolo, il grafico “si appiattisce” verso l’asse $x$ .

$\quad$

Figura 15: grafici di alcune funzioni del tipo $f(x)=ax^2$ per dei valori $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ .

$\quad$

Parabola e grafico di una funzione quadratica

Introduciamo qui la parabola. Essa è una cosiddetta sezione conica, cioè una figura che si ottiene dall’intersezione di un cono e di un piano nello spazio tridimensionale. Di seguito diamo la definizione di una parabola in un piano cartesiano, utilizzando le proprietà metriche, i.e. l’esistenza di una funzione distanza nel piano, che ricordiamo di seguito.

Definizione 2.5 (distanza in $\mathbb{R}^2$

). Dati $P=(x_1,y_1 ), \;Q=(x_2,y_2 )\in \mathbb{R}^2$

, si definisce distanza tra $P$

e $Q$

la quantità

(56) $\begin{equation*} \operatorname{dist}(P,Q)\coloneqq \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. \end{equation*}$

$\quad$

In altri termini, la distanza nel piano è la distanza euclidea, e la formula (56) è il contenuto del teorema di Pitagora.

Definizione 2.6 (parabola). Dato un punto $F$

del piano cartesiano $\mathbb{R}^2$

e una retta $r \subset \mathbb{R}^2$

non passante per $F$

, si dice parabola $\Gamma$

di fuoco $F$

e direttrice $r$

il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da $F$

e da $r$

. Il punto $F$

è detto fuoco della parabola, mentre la retta $r$

è detta direttrice della parabola.

Definizione 2.7 (asse e vertice di una parabola). Data una parabola $\Gamma \subset \mathbb{R}^2$

di fuoco $F$

e direttrice $r$

, la retta $s$

perpendicolare a $r$

e passante per $F$

è detta asse di $\Gamma$

ed è l’unico asse di simmetria di $\Gamma$

. Il punto $V$

di intersezione tra $r$

e $\Gamma$

è detto vertice di $\Gamma$

ed è il punto di $\Gamma$

avente minima distanza da $r$

$\quad$

La parabola è strettamente legata alle funzioni quadratiche, in quanto vale il seguente risultato, che afferma che il grafico di una funzione quadratica è una parabola.

Teorema 2.8. Sia $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$

e sia $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

la funzione definita da $f(x)=ax^2$

. Allora il grafico $\Gamma_ f$

di $f$

è una parabola $\Gamma$

avente fuoco

$F=\left( 0,\dfrac{1}{4a} \right)$

e direttrice

$r: \quad y=-\dfrac{1}{4a}.$

L’asse $s$ della parabola coincide con l’asse $y$ e il vertice $V$ coincide con l’origine $(0,0)$ degli assi.

$\quad$

Dimostrazione. Consideriamo il generico punto $P=(x,y) \in \mathbb{R}^2$ . Dal teorema di Pitagora, si ha

(57) $\begin{equation*} \overline{PF}^2 = (x-x_F)^2 + (y-y_F)^2 = x^2 + \left( y - \frac{1}{4a} \right)^2 \end{equation*}$

D’altra parte, poiché la retta $y=-\dfrac{1}{4a}$ è parallela all’asse $x$ , la proiezione di $P$ su tale retta è costituita dal punto $H=\left(x,-\dfrac{1}{4a}\right)$ . Pertanto si ha

(58) $\begin{equation*} \operatorname{dist}^2(P,r) = \overline{PH}^2 = \left( y+ \frac{1}{4a}\right)^2. \end{equation*}$

Condizione necessaria e sufficiente affinché $P$ appartenga alla parabola $\Gamma$ è che le due quantità in (57) e in (58) siano uguali, ossia se e solo se

(59) $\begin{equation*} x^2 + \left( y - \frac{1}{4a} \right)^2 = \left( y+ \frac{1}{4a}\right)^2 \iff x^2 - \frac{y}{2a} = \frac{y}{2a} \iff y = ax^2. \end{equation*}$

Dalla figura si nota che $\Gamma$ è simmetrica rispetto alla retta $s$ , infatti, se $(x,y) \in \Gamma$ , dal teorema 2.8, poiché ciò è equivalente all’equazione $y=ax^2$ , si vede che anche $(-x,y) \in \Gamma$ . Ciò può essere anche facilmente essere provato per via geometrica dalla definizione 2.6 di parabola, direttrice e fuoco. In virtù di tale simmetria, la retta $s$ è detta asse di $\Gamma$ .

Il punto di intersezione $V$ tra la retta $s$ e la parabola $\Gamma$ coincide col punto di $\Gamma$ avente minima distanza da $r$ (e quindi da $F$ ) e viene detto vertice di $\Gamma$ .

$\quad$

Figura 16: rappresentazione di una parabola come luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto e da una retta: in questo caso l’asse della parabola coincide con l’asse $y$ , il fuoco $F$ è sul semiasse positivo delle ordinate, dunque la prima coordinata è nulla e la seconda è $y_0>0$ , e la direttrice ha equazione $y=-y_0$ , cf. dimostrazione del teorema 2.8 con $a>0$ .

$\quad$

Funzione potenza con esponente n maggiore uguale di 3.

Per $n\geq 3$

generico, ci limitiamo a studiare il caso in cui $a=1$

. In analogia con i casi $n=1$

e $n=2$

già discussi, il lettore può verificare che valgono considerazioni del tutto analoghe nel caso $a\neq 1$

Sia $n\in \mathbb{N}$ . La funzione potenza $n$ -esima $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , definita da

(60) $\begin{equation*} f(x)=x^n, \qquad \forall x\in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Di seguito alcune proprietà importanti che possiamo riscontare nei grafici riportati in figura 17:

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $\mathbb{R}$ .

(Simmetrie.) Si ha che $f$ è pari se $n$ è pari, ed è dispari se $n$ è dispari. Infatti
$f(-x)=(-x)^n=(-1)^n x^n=(-1)^n f(x).$

Ovvero

$f(-x)= \begin{cases} f(x), &\quad \text{se} \quad n \; \text{è pari};\\ -f(x), &\quad \text{se} \quad n \; \text{è dispari}.\\ \end{cases}$

In particolare, se $n$ è pari il grafico di $f$ è simmetrico rispetto all’asse $y$ , e se $n$ è dispari lo è rispetto all’origine degli assi.

(Periodicità.) La funzione potenza $n$ -esima non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) È immediato verificare che $f(x)=0$ se e solo se $x=0$ per qualsiasi $n$ . Dunque il grafico di $f$ interseca gli assi solo nell’origine.

(Segno.) Segue subito che $f(x)\ge 0$ per ogni $x$ se $n$ è pari, mentre se $n$ è dispari, $f(x)\ge 0$ per $x \ge 0$ e $f(x)<0$ se $x<0$ .

(Intervalli di monotonia.) Siano $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ tali che $0\le x_1<x_2$ . Allora, se $n$ è pari:
$\begin{split} f(x_1) = x_1^n < x_2^n = f(x_2). \end{split}$

Ovvero $f$ è crescente in $[0,+\infty)$ . D’altra parte, poiché $f$ è pari e crescente in $[0,\infty)$ , allora è decrescente in $(-\infty,0]$ . Se $n$ è dispari:

$\begin{split} x_1,x_2\ge 0 \Rightarrow \quad f(x_1)=x_1^n < x_2^n=f(x_2). \end{split}$

Dunque, se $n$ è dispari, $f(x)$ è strettamente crescente in $[0, +\infty)$ e (poiché è dispari) è crescente anche su $(-\infty,0]$ . Nel caso $x_1<0$ e $x_2 \ge 0$ è ovvio dal segno della funzione che si ha $f(x_1)<f(x_2)$ . In conclusione, se $n$ è dispari allora $f$ è crescente in $\mathbb{R}$ .

(Immagine.) L’immagine della funzione $f$ è
$\operatorname{Im}(f)= \begin{cases} [0,+\infty), & \mbox{ se } n \mbox{ è pari};\\ \mathbb{R}, & \mbox{ se } n \mbox{ è dispari}. \end{cases}$

L’inclusione $``\subseteq''$ è ovvia, in quanto $x^n\geq 0$ per $n$ pari. L’inclusione opposta è meno banale, e per dimostrarla rigorosamente abbiamo bisogno della completezza dei reali. Tale inclusione sarà ottenuta come corollario della proposizione 2.10.

(Invertibilità.) Se $n$ è dispari, è invertibile, mentre se $n$ è pari le restrizioni $f|_{[0,+\infty)}^{[0,+\infty)}$ e $f|_{(-\infty,0]}^{[0,+\infty)}$ sono invertibili. Questo fatto è il contenuto del teorema 2.10.

$\quad$

Figura 17: il grafico di $f(x)=x^n$ per i valori $n=2, 5, 10, 15$ . Osservare come il grafico delle funzioni in un intorno di $0$ (diciamo in $(-1,1)$ ) approssima sempre meglio la retta tangente nel punto $(0,0)$ mano a mano che prendiamo valori più grandi di $n$ .

$\quad$

Più in generale, $f$ è determinata da un qualunque valore $f(x)$ per $x \neq 0$ , in quanto $m=f(1)=\dfrac{f(x)}{x}$ . ↩

Radicali.

In questa sezione introduciamo le cosiddette funzioni irrazionali, ovvero funzioni le cui espressioni contengono radicali.

Definizione 2.9. (radicale). Sia $n\in \mathbb{N}$

un numero dispari. Un radicale di indice $n\in \mathbb{N}$

su una variabile libera $y\in \mathbb{R}$

è un’espressione algebrica della forma

$f(y)=\sqrt[n]{y}$

che restituisce, se esiste, la soluzione $x\in \mathbb{R}$ dell’equazione

(61) $\begin{equation*} x^n=y. \end{equation*}$

Analogamente, dato $n\in \mathbb{N}$ un numero pari, un radicale di indice $n\in \mathbb{N}$ su una variabile libera $y\in \mathbb{R}_0^+$ è un’espressione algebrica della forma

$f(y)=\sqrt[n]{y}$

che restituisce, se esiste, la soluzione $x\in \mathbb{R}_0^+$ dell’equazione

(62) $\begin{equation*} x^n=y. \end{equation*}$

$\quad$

In questa sezione dimostriamo l’esistenza dei radicali, cf. teorema 2.10, ovvero mostriamo l’esistenza di una funzione ben definita

(63) $\begin{equation*} \sqrt[n]{\cdot} : x \in E \to \sqrt[n]{x} \in E, \end{equation*}$

dove

(64) $\begin{equation*} E= \begin{cases} \mathbb{R} ,& \mbox{ se } n \mbox{ è dispari};\\ [0,+\infty) , & \mbox{ se } n \mbox{ è pari}.\\ \end{cases} \end{equation*}$

che è, per definizione, l’inversa della funzione potenza di esponente $n$ , cf. (65), data da

(65) $\begin{equation*} (\cdot)^n: x \in E\to x^n \in E. \end{equation*}$

Per convenienza del lettore, è stato già anticipato nel corso della dispensa il fatto che le funzioni potenza, ristrette su opportuni intervalli, sono invertibili. D’altronde, sappiamo già che (65) è monotona e dunque iniettiva, cf. [4, Teorema 2.91], dunque per dimostrarne l’invertibilità è sufficiente dimostrare che è anche suriettiva.

Solitamente, per dimostrare l’invertiblità di (65), si introduce il concetto di continuità e si utilizza per dimostrare che una funzione continua e monotona $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ ha come immagine un intervallo, ovvero

(66) $\begin{equation*} f([a,b])=[f(a),f(b)]. \end{equation*}$

Questo fatto è noto come teorema dei valori intermedi, cf. [6, Teorema 4.23], e tramite questo argomento, è facile verificare che la funzione potenza (65) è suriettiva.

Trattare formalmente limiti e continuità esula dallo scopo di queste note. Per la dimostrazione del prossimo teorema, contenuta in Appendice, scegliamo un approccio alternativo, più elementare, ma equivalente, che si basa solo sulle conoscenze basilari apprese in [4], e in particolare sull’assioma di completezza, cf. [4, Assioma 2.78].

Teorema 2.10 (funzione radice $n$

-esima). Sia $n \in \mathbb{N}$

e sia $E$

l’insieme definito da (64). Allora, la funzione potenza $n-$

esima (65) è invertibile e la sua inversa, denotata con

(67) $\begin{equation*} \sqrt[n]{\cdot} : x \in E \to \sqrt[n]{x} \in E, \end{equation*}$

è detta funzione radice $\bm{n-}$ esima.

$\quad$

Clicca qui per la dimostrazione (nell’appendice “Radicali”).

$\quad$

Figura 18: il grafico di $f(x)=\sqrt[n]{x}$ per i valori $n=2,3,6,9$ . Si noti che, per $n$ dispari, il grafico ha come dominio tutto $\mathbb{R}$ , poiché in tal caso $x^n$ è invertibile. Per $n$ pari, abbiamo riportato i grafici delle inverse di $x^n$ ristretta a $\mathbb{R}_0^+$ .

$\quad$

Funzione radice quadrata

Rappresentiamo nel dettaglio le proprietà della funzione radice quadrata, i.e. la (217) con $n=2$ . Se $y \in [0,+\infty)$ , la radice quadrata $\sqrt{y}$ di $y$ è quindi l’unico numero reale $x \in [0,+\infty)$ tale che $x^2=y$ . Come visto nella proposizione 2.10, questo definisce una funzione

$\sqrt{\cdot} \colon [0,+\infty) \to [0,+\infty),$

detta funzione radice quadrata, il cui grafico è rappresentato in figura 19.

$\quad$

Figura 19: grafico della funzione radice quadrata, inversa della funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=x^2$ .

$\quad$

Proprietà della funzione radice quadrata

Elenchiamo di seguito le proprietà della funzione radice quadrata.

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione radice quadrata è $[0,+\infty)$ .

(Simmetrie.) Non ha senso chiedersi se la funzione radice quadrata sia pari o dispari, in quanto il suo dominio non è simmetrico rispetto l’origine.

(Periodicità.) Non ha senso chiedersi se la funzione radice quadrata sia periodica, in quanto il suo dominio non è invariante per traslazioni.

(Intersezione con gli assi.) L’unica intersezione con l’asse $x$ è costituita dal’origine degli assi $O=(0,0)$ , che coincide anche con l’intersezione con l’asse $y$ .

(Segno.) La funzione radice quadrata è sempre non negativa nel suo dominio:
$\sqrt{x} \geq 0 \qquad \forall x \in [0,+\infty).$

(Intervalli di monotonia.) La funzione radice quadrata è strettamente crescente su $[0,+\infty)$ .

(Immagine.) L’immagine della funzione radice quadrata è $[0,+\infty)$ . In particolare, è limitata inferiormente e illimitata superiormente e
$\inf_{x \in \mathbb{R}}\sqrt{x}=0, \qquad \sup_{x \in \mathbb{R}}\sqrt{x}=+\infty.$

(Invertibilità.) La funzione radice quadrata è invertibile nel suo dominio, cf. proposizione 2.10.

Funzione radice cubica

Se $y \in \mathbb{R}$ , la radice cubica $\sqrt[3]{y}$ di $y$ è quindi l’unico numero reale $x \in \mathbb{R}$ tale che $x^3=y$ . Il grafico della funzione $\sqrt[3]{•} \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ è rappresentato in figura 20.

$\quad$

Figura 20: il grafico della funzione $\sqrt[3]{\cdot}$ , inversa della funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=x^3$ .

$\quad$

Proprietà della funzione radice cubica

Elenchiamo di seguito le proprietà della funzione radice cubica.

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione radice cubica è $\mathbb{R}$ .

(Simmetrie.) La funzione radice cubica è dispari. Infatti, per ogni $x \in \mathbb{R}$
$(\sqrt[3]{-x})^3=-x \quad \mbox{ e } \quad (-\sqrt[3]{x})^3=(-1)^3(\sqrt[3]{x})^3=-x,$

quindi, per definizione di radice cubica, si ha necessariamente

$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x} \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

(Periodicità.) La funzione radice cubica non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) L’unica intersezione con l’asse $x$ è costituita dal’origine degli assi $O=(0,0)$ , che coincide anche con l’intersezione con l’asse $y$ .

(Segno.) La funzione radice cubica ha il seguente segno:
$\sqrt[3]{x} \geq 0 \quad \iff \quad x \geq 0.$

(Intervalli di monotonia.) La funzione radice cubica è strettamente crescente su $\mathbb{R}$ .

(Immagine.) L’immagine della funzione radice cubica è $\mathbb{R}$ . In particolare, è illimitata inferiormente e illimitata superiormente:
$\inf_{x \in \mathbb{R}}\sqrt[3]{x}=-\infty, \qquad \sup_{x \in \mathbb{R}}\sqrt[3]{x}=+\infty.$

(Invertibilità.) La funzione radice cubica è invertibile nel suo dominio, cf. proposizione 2.10.

Funzioni polinomiali

Introduzione.

Una classe di funzioni elementari estremamente importante è quella delle funzioni polinomiali, ossia delle funzioni generate dalla valutazione di un polinomio.

Polinomi.

Definizione 3.1 (polinomi in una variabile). Sia $n \in \mathbb{N}$

un numero naturale. Un polinomio non nullo $P(x)$

a coefficienti reali nella variabile $x$

è un’espressione del tipo

(68) $\begin{equation*} P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\dots + a_n x^n, \quad \{a_k\}_{k=0}^n \in \mathbb{R}, \quad a_n \neq 0. \end{equation*}$

Il numero naturale $n$ è detto grado del polinomio $P(x)$ e viene indicato con $\deg P(x)$ . Dato $k=1, \dots, n$ diciamo che il numero reale $a_k$ è il coefficiente di $P(x)$ di grado $k$ . Il polinomio che ha tutti i coefficienti nulli, anche quello di grado massimo, è detto polinomio nullo e si indica con $P(x)=0$ . Un polinomio del tipo $a_kx^k$ è detto un monomio. L’insieme dei polinomi a coefficienti reali nella variabile $x$ viene indicato col simbolo $\mathbb{R}[x]$ .

$\quad$

A un polinomio $P \in \mathbb{R}[x]$ può essere associata una funzione polinomiale $P \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , che associa a ogni $x \in \mathbb{R}$ il valore ottenuto dall’espressione $P(x)$ .

Un numero reale $x_0$ viene detto radice o zero di $P(x)$ se esso annulla la funzione $P$ , ossia se $P(x_0)=0$ . Le funzioni polinomiali sono ben definite, in quanto per ogni polinomio $P$ e per ogni $x \in \mathbb{R}$ il valore $P(x)$ esiste ed è unico. Quanto appena osservato dimostra che la prossima definizione è ben posta.

Definizione 3.2 (funzione polinomiale). Sia $P(x)$

un polinomio a coefficienti reali nella variabile $x$

. La funzione $P \colon x \in \mathbb{R} \to P(x) \in\mathbb{R}$

, è detta funzione polinomiale associata al polinomio $P(x)$

$\quad$

Spesso, per indicare un polinomio, si utilizza il simbolo di sommatoria:

(69) $\begin{equation*} P(x)= \sum_{k=0}^n a_k x^k. \end{equation*}$

L’insieme dei polinomi è dotato di una somma e di un prodotto:

Definizione 3.3 (somma e prodotto di polinomi). Dati due polinomi $A(x)= a_nx^n+\dots,a_1x+a_0$

e \mbox{ $B(x)= b_mx^m + \dots + b_1 x + b_0$

}, con $n \geq m$

, si definisce

$\quad$

somma di $A(x)$ e $B(x)$ il polinomio $A(x)+B(x)$ definito da

(70) $\begin{equation*} \begin{split} A(x)+B(x)&= (a_0+b_0) + (a_1+b_1)x + \dots + (a_m+b_m)x^m + a_{m+1}x^{m+1} + \dots + a_n x^n \\ & = \sum_{k=0}^m (a_k+b_k)x^k+ \sum_{k=m+1}^n a_kx^k. \end{split} \end{equation*}$

prodotto di $A(x)$ e $B(x)$ il polinomio $A(x)B(x)$ ottenuto effettuando il prodotto termine a termine di $A(x)$ e $B(x)$ e applicando la proprietà distributiva del prodotto sulla somma, ossia il polinomio definito da

(71) $\begin{equation*} \begin{split} A(x)B(x) = & \, a_0b_0 + (a_0b_1+a_1b_0)x + \dots + (a_{n-1}b_m+ a_nb_{m-1})x^{n+m-1} + a_nb_m x^{n+m} \\ = & \sum_{k=0}^{n+m} \left(\sum_{\substack{i+j= k \vspace*{0.2 em} \\ i, \,j \geq 0}}a_i b_{j} \right)x^k. \end{split} \end{equation*}$

$\quad$

Le operazioni di somma e prodotto di polinomi possiedono tutte le proprietà della somma e del prodotto di funzioni reali: proprietà commutativa, associativa, distributiva del prodotto rispetto alla somma, etc…

Racchiudiamo alcune delle proprietà relative al comportamento del grado rispetto alla somma e al prodotto nella seguente proposizione.

Proposizione 3.4 (operazioni tra polinomi e grado). Sia $A(x)= a_nx^n+\dots,a_1x+a_0$

un polinomio di grado $n$

e sia $B(x)= b_mx^m + \dots + b_1 x + b_0$

un polinomio di grado $m$

. Allora si ha

$\quad$

$\deg(A(x)+B(x)) \begin{cases} \leq n, & \text{se } m=n;\\ = \max\{m,n\}, & \text{se } m \neq n. \end{cases}$

$\deg(A(x)B(x)) = n+m.$

$\quad$

Dimostrazione. Da (70) si vede che, se $n \neq m$ e supponendo senza perdita di generalità $n >m$ , allora il coefficiente di grado $n$ di $A(x)+B(x)$ è dato da $a_n$ , che è diverso da $0$ poiché $\deg A(x)=n$ . Quindi $\deg(A(x)+B(x))=\max\{n,m\}$ .

Se invece $n=m$ , chiaramente in $A(x)+B(x)$ non compaiono monomi di grado maggiore di $n$ , da cui $\deg(A(x)+B(x)) \leq n$ . È importante notare che la disuguaglianza può essere stretta, come mostra l’esempio di $A(x)=x^2$ e $B(x)=-x^2 + 3x$ ; si ha $\deg A(x)=\deg B(x)=2$ , ma

(72) $\begin{equation*} \deg (A(x)+B(x)) = \deg( 3x) = 1 < 2. \end{equation*}$

Dall’esempio precedente si deduce facilmente che, in generale, la disuguaglianza è stretta se e soltanto se $a_n=-b_n$ .

Riguardo al prodotto, poiché $a_n \neq 0$ e $b_m \neq 0$ per ipotesi, il monomio di grado $n+m$ in (71) è non nullo, da cui

(73) $\begin{equation*} \deg(A(x)B(x))= n+m. \end{equation*}$

Per come sono state definiti somma e prodotto di funzioni, cf. [4, Definizione 2.10], è naturale aspettarsi il prossimo risultato

Proposizione 3.5 (somma e prodotto di funzioni polinomiali). La somma e il prodotto di due funzioni polinomiali è ancora una funzione polinomiale. In particolare, dati $A, B \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

due funzioni polinomiali, associate ai polinomi $A(x)$

e $B(x)$

, rispettivamente, si ha

(74) $\begin{equation*} (A+B)(x)=A(x)+B(x), \qquad (AB)(x)=A(x)B(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Segue immediatamente dalla definizione di somma e prodotto di funzioni, cf. [4, Definizione 2.10], e dalla definizione 3.3.

Proprietà algebriche dei polinomi

Una importante proprietà dei polinomi è il cosiddetto principio di identità dei polinomi: due polinomi (risp. due funzioni polinomiali) sono uguali (risp. assumono gli stessi valori negli stessi punti) se e solo se i loro coefficienti sono uguali. Tale proprietà è un corollario del seguente teorema, dovuto al matematico italiano Paolo Ruffini (1765-1822), che afferma che un numero reale $\alpha$ è una radice di un polinomio $A(x)$ se e solo se $A(x)$ si può scrivere come prodotto del polinomio di primo grado $x-\alpha$ e di un altro polinomio $Q(x)$ .

Teorema 3.6 (teorema di Ruffini). Sia $P(x)= a_nx^n+\dots,a_1x+a_0$

un polinomio di grado $n \geq 1$

. Allora $\alpha \in \mathbb{R}$

è una radice di $P(x)$

se e solo se $P(x)$

è divisibile per $x-\alpha$

, ovvero se esiste un polinomio $Q(x)$

di grado $n-1$

tale che

(75) $\begin{equation*} P(x)=(x-\alpha)Q(x) \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Se $P(x)=(x-\alpha)Q(x)$ , allora

(76) $\begin{equation*} P(\alpha) = (\alpha - \alpha) Q(\alpha) = 0. \end{equation*}$

Per mostrare il viceversa, osserviamo innanzitutto che, se $\alpha=0$ è una radice di un polinomio

$B(x)=b_nx^n+\dots+b_1 x + b_0,$

questo implica che

(77) $\begin{equation*} 0= B(0) = b_0. \end{equation*}$

Da ciò segue che

(78) $\begin{equation*} B(x) = b_1 x + \dots + b_n x^n = x \big( b_1 + \dots + b_n x^{n-1} \big). \end{equation*}$

Ciò mostra che un polinomio che abbia $0$ come radice può essere scritto nella forma $(x-0)P(x)$ .

Supponiamo ora che $\alpha \in \mathbb{R}$ sia una radice $P(x)$ , e definiamo il polinomio $B(x)$ come $B(x)=P(x+\alpha)$ , ossia

(79) $\begin{equation*} B(x) = P(x +\alpha) = a_0 + a_1 (x+\alpha) + \dots + a_n (x+\alpha)^n = b_0 + b_1 x + \dots + b_n x^n, \end{equation*}$

dove l’ultima uguaglianza si è ottenuta svolgendo le potenze dei binomi $(x-\alpha)^k$ .

Poiché $B(0)=P(0+\alpha)=0$ , per il ragionamento precedente si ha $B(x)= x A(x)$ per qualche polinomio $A(x)$ . Da ciò, e dalla definizione di $B$ si ha

(80) $\begin{equation*} P(x) = B(x-\alpha) = (x-\alpha) A(x-\alpha) = (x-\alpha) Q(x), \end{equation*}$

dove si è definito $Q(x) \coloneqq A(x-\alpha)$ . Ciò conclude la dimostrazione.

Utilizziamo ora questo risultato per mostrare che un polinomio di grado $n$ possiede al più $n$ radici.

Corollario 3.7. Sia $P(x)= a_nx^n+\dots,a_1x+a_0$

un polinomio di grado $n \geq 1$

. Allora $P(x)$

possiede al più $n$

radici distinte.

$\quad$

Dimostrazione. Dimostriamo il risultato per induzione sul grado $n$ di $P(x)$ .

$\quad$

Se $n=1$ , allora $P(x)=a_0+a_1 x$ . Si ha
(81) $\begin{equation*} P(x) = 0 \iff x= - \frac{a_0}{a_1}, \end{equation*}$

che è ben definito in quanto $a_1 \neq 0$ . Quindi $P(x)$ possiede esattamente una radice.

Supponiamo che il risultato sia vero per $n$ e proviamolo per $n+1$ .
Sia quindi $P(x)=a_0 + \dots + a_{n+1}x^{n+1}$ un polinomio di grado $n+1$ . Se $P(x)$ non possiede radici, abbiamo concluso; altrimenti, supponiamo che $\alpha \in \mathbb{R}$ sia una radice di $P(x)$ ; allora, per il teorema 3.6, esiste $Q(x)$ di grado $n$ tale che

(82) $\begin{equation*} P(x) = (x-\alpha) Q(x). \end{equation*}$

Poiché $x - \alpha$ si annulla solo per $x=\alpha$ , per la legge di annullamento del prodotto ogni altra radice di $P(x)$ è anche una radice di $Q(x)$ . Per l’ipotesi induttiva, $Q(x)$ possiede al più $n$ radici. Da ciò segue quindi che $P(x)$ possiede al più $n+1$ radici.

Il principio di induzione assicura quindi che l’enunciato del teorema è vero per ogni $n \in \mathbb{N}$ .

Osservazione 3.8. Sottolineiamo che, in virtù del corollario precedente, il numero delle radici reali di un polinomio di grado $n$ è superiormente limitato da $n$ , ma è generalmente inferiore, come mostra l’esempio di $P(x)=x^2 + 1$ , che ha grado $2$ ma non possiede alcuna radice reale, in quanto $x^2 \geq 0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ .

Utilizziamo ora il corollario precedente per provare il principio di identità dei polinomi.

Teorema 3.9 (principio di identità dei polinomi). Sia $P(x)= a_nx^n+\dots,a_1x+a_0$

un polinomio tale che $P(x)=0$

per ogni $x \in \mathbb{R}$

. Allora

(83) $\begin{equation*} a_0=a_1= \dots = a_n = 0. \end{equation*}$

In particolare, se

$P(x)= a_nx^n+\dots,a_1x+a_0$

è un polinomio di grado $n$ e

$Q(x)= b_mx^m + \dots + b_1 x + b_0$

è un polinomio di grado $m$ , allora si ha $P(x)=Q(x)$ se e solo se $n=m$ e

(84) $\begin{equation*} a_k=b_k \qquad \forall k \in \{1,\dots,n\}. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. L’ipotesi $P(x)=0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ implica che ogni numero reale è una radice di $P(x)$ , quindi il polinomio $P(x)$ possiede infinite radici reali. Allora, per il corollario 3.7, $P(x)$ non può avere grado $n \geq 1$ , da cui segue che $P(x)=a_0$ . Poiché $P(x)=0$ per ogni $x \in \R$ , si ha $a_0=0$ .

La seconda parte del teorema si ottiene applicando la prima parte al polinomio $P(x) - Q(x)$ che è nullo. Da ciò segue che i coefficienti di $P(x)-Q(x)$ sono tutti nulli, da cui si ricava la conclusione.

Teorema 3.10 (divisione con resto di polinomi). Dati $P(x), Q(x) \in \mathbb{R}[x]$

, esistono unici polinomi $Z(x)$

e $R(x)$

tali che

(85) $\begin{equation*} P(x)=Z(x)Q(x) + R(x) \qquad \mbox{ con } \deg R(x) < \deg Q(x). \end{equation*}$

I polinomi $Z(x)$ e $R(x)$ sono detti rispettivamente quoziente e resto della divisione di $P(x)$ per $Q(x)$ .

$\quad$

Dimostrazione.

(Esistenza.) Il caso $\deg P(x) <\deg Q(x)$ è banale, in quanto si ha

(86) $\begin{equation*} P(x)=0\cdot Q(x) + P(x) \qquad \mbox{ con } \deg P(x) < \deg Q(x). \end{equation*}$

Supponiamo quindi $\deg P(x ) \geq \deg Q(x)$ . Partendo dall’identità (86), denotiamo con $n=\deg P(x)$ , $m=\deg Q(x)$ e scriviamo $P(x)=a_nx^n+\dots+a_0$ e $Q(x)=b_mx^m+\dots+b_0$ . Posto

(87) $\begin{equation*} Z_1(x)\coloneqq \frac{a_n}{b_m}x^{n-m}, \qquad R_1(x)= P(x)-Z_1(x)Q(x) \end{equation*}$

notiamo che

(88) $\begin{equation*} P(x)=(Z_1(x))Q(x)+ R_1(x) \qquad \mbox{ con } \deg R_1(x) < \deg P(x). \end{equation*}$

Infatti, il coefficiente di grado $n$ del polinomio $P(x)-Z_1(x)Q(x)$ risulta uguale a

$a_n-\frac{a_n}{b_m}b_m=0,$

dunque abbiamo $\deg R_1(x)< \deg P(x)$ , ovvero il grado è sceso. Iteriamo quindi il procedimento illustrato, sostituendo prima $P(x)$ con $R_1(x)$ e definendo $Z_2(x)$ e $R_2(x)$ analogamente a (87); poi di nuovo sostituendo $R_1(x)$ con $R_2(x)$ e così via. Per induzione, dunque, troviamo una successione di resti

$R_1(x), R_2(x), \dots, R_k(x)$

tali che ad ogni passo, il grado è sceso. Allora, dopo al più $k=n-m$ passi, avremo

$\deg R_k(x)<\deg Q(x).$

(Unicità.) Supponiamo che

(89) $\begin{equation*} \begin{aligned} & P(x)=Z(x)Q(x) + R(x) \qquad \mbox{ con } \deg R(x) < \deg Q(x),\\ & P(x)=\tilde Z(x)Q(x) + \tilde R(x) \qquad \mbox{ con } \deg \tilde R(x) < \deg Q(x). \end{aligned} \end{equation*}$

e dimostriamo che

$Z(x) =\tilde Z(x) \qquad R(x) =\tilde R(x).$

Dalla (89) otteniamo che

$(Z(x)-\tilde Z(x))Q(x) = \tilde R(x)- R(x).$

Poiché, cf. proposizione 3.4, vale che $\deg ( \tilde R(x)- R(x)) <\deg Q(x)$ , mentre $\deg ((Z(x)-\tilde Z(x))Q(x)) \geq \deg Q(x)$ , si ha necessariamente $(Z(x)-\tilde Z(x))=0$ , il che implica $(\tilde R(x)-R(x))=0$ .

La dimostrazione del teorema 3.10 è costruttiva, e fornisce un metodo di calcolo del quoziente e del resto della divisione tra polinomi.

Esempio 3.11. Calcoliamo la divisione con resto di $P(x)$ per $Q(x)$ , dove

$P(x)=2x^4+5x^2+x-1, \quad Q(x)=x^2+2.$

Dividendo i monomi di grado massimo, troviamo $\dfrac{2x^4}{x^2}=2x^2$ , che è quindi il monomio di grado massimo del quoziente $Z(x)$ . Ponendo $Z_1(x)=2x^2$ , troviamo che $Z_1(x)Q(x)=2x^4+4x^2$ , quindi otteniamo

$R_1(x)\coloneqq P(x)-Z_1(x)Q(x)=x^2+x-1.$

Poiché abbiamo ottenuto un polinomio di secondo grado, rimane un ultimo step: il rapporto tra i coefficienti di grado massimo di $P_1(x)$ e $Q(x)$ è 1 e dunque il resto è

$R(x)\coloneqq P_1(x)-Q(x)=x-3.$

Riassumiamo il calcolo con lo schema seguente:

$\begin{tabular}{l|c} $ \phantom{-(}2x^4+5x^2+x-1$ & $x^2+2$ \\ \hline $\textcolor{red}{-(2x^4+4x^2)}$ & $\textcolor{blue}{2x^2+1}$ \\ $ \phantom{-(2x^4+}\textcolor{blue}{=x^2+x-1}$ & \\ $\phantom{2x^4+5}\textcolor{red}{-(x^2\phantom{+x(}+2)}$ & \\ $ \phantom{-(2x^4+5x^2)}\textcolor{blue}{=x-3}$ & \\ \end{tabular}$

Enunciamo di seguito alcune proprietà generali delle funzioni polinomiali.

Proposizione 3.12 (simmetrie e periodicità dei polinomi). Sia $P(x)= a_nx^n+\dots,a_1x+a_0$

un polinomio di grado $n$

e sia $P$

la funzione polinomiale associata. Allora:

$\quad$

$P$ è una funzione pari se e solo se $a_k=0$ per ogni $k$ dispari; analogamente, $P$ è una funzione dispari se e solo se $a_k=0$ per ogni $k$ pari;

Se $P$ è una funzione periodica, allora è costante.

$\quad$

Dimostrazione. Dimostriamo entrambe le affermazioni.

$\quad$

Proviamo innanzitutto che i polinomi del tipo $Q(x)=a x^{2m}$ , con $m \in \mathbb{N}$ sono funzioni pari. Infatti, si ha
(90) $\begin{equation*} Q(-x) = a (-x)^{2m} = a x^{2m} = Q(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

dove la seconda uguaglianza segue dal fatto che $(-1)^{2m}=1$ , dato che $2m$ è un numero pari. Poiché la somma di funzioni pari è una funzione pari, ciò dimostra che, se $a_k=0$ per ogni $k$ dispari, allora $P$ è somma di funzioni pari e quindi è pari.

Reciprocamente, se $P$ è una funzione pari, deve aversi $P(x)=P(-x)$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ , ossia

(91) $\begin{equation*} \begin{split} 0 = & P(x)-P(-x) \\ = & a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0 - \Big(a_n (-x)^n + \dots + a_1 (-x) + a_0 \Big) \\ = & \sum_{\substack{k=1\\ k \text{ dispari}}}^{n} 2 a_k x^k \end{split} \end{equation*}$

Per il teorema 3.9, ogni $a_k$ con $k$ dispari nella sommatoria precedente è nullo.

La parte dell’enunciato relativa a funzioni dispari si dimostra in modo analogo.

Supponiamo per assurdo che $P$ sia una funzione periodica non costante, ovvero il grado del polinomio è positivo ed esiste $T>0$ tale che $P(x+T)=P(x)$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ . Si ha, cf. [4, (2.25)], che
(92) $\begin{equation*} P(kT) = P(0) \qquad \forall k \in \mathbb{Z}. \end{equation*}$

Allora, il polinomio dato da $Q(x)=P(x)-P(0)$ pos

(93) $\begin{equation*} Q(kT) = P(kT)-P(0) = 0 \qquad \forall k \in \mathbb{Z}, \end{equation*}$

ossia $Q$ possiederebbe infinite radici reali. Ciò contraddice il teorema 3.9.

Nelle rimanenti sottosezioni, analizziamo le caratteristiche specifiche di polinomi aventi particolari gradi e forme.

Grado 0: funzioni costanti.

Se $P(x)=a_0$

è un polinomio di grado $0$

, allora esso determina una funzione costante, di valore costantemente pari a $a_0$

Il grafico di un tale polinomio è rappresentato in figura 21.

$\quad$

Figura 21: il grafico della funzione polinomiale data da $P(x)=a_0$ .

$\quad$

Le proprietà di tali funzioni costanti si deducono facilmente dalla definizione.

$\quad$

$\operatorname{Im} P=\{a_0\}$ ;

$P$ è una funzione pari, ed è anche dispari se e solo se $a_0=0$ .

$P$ è monotona non decrescente e monotona non crescente;

$P$ è periodica e il suo insieme di periodi $\mathbb{T}(P)= \mathbb{R}$ .

Grado 1: funzioni affini.

Un polinomio di grado $1$

ha la forma $P(x) = mx + q$

, dove per convenzione abbiamo indicato con $m \neq 0$

il coefficiente del termine di grado $1$

e con $q$

il coefficiente del termine di grado $0$

Definizione 3.13 (funzione affine). Una funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

è detta affine se esistono $m,q \in \mathbb{R}$

con $m \neq 0$

tali che

(94) $\begin{equation*} f(x) = mx+q \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Il numero reale $m$ viene detto coefficiente angolare o pendenza, mentre il numero reale $q$ viene detto termine noto.

$\quad$

In particolare, le costanti, cf. sezione 3.2, e le funzioni lineari, cf. definizione 2.1, sono particolari funzioni affini.

Grafici di funzioni affini

Per le considerazioni svolte in [4, sezione 3.4.1, esempio 3.17] il grafico delle funzioni affini del tipo $f(x)=mx + q$ si ottiene traslando verso l’alto o verso il basso (a seconda del segno di $q$ ) il grafico delle corrispondenti funzioni lineari di equazione $f(x)=mx$ . Conviene pertanto studiare prima queste funzioni, in quanto i risultati ottenuti per esse si trasferiranno facilmente al caso di funzioni affini.

Consideriamo una funzione affine $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $g(x)=mx + q$ . Il grafico di $g$ si ottiene traslando quello della funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=mx$ di un vettore $(0,q)$ . Le rette $\Gamma_g$ e $\Gamma_f$ sono quindi parallele, come mostrato in figura 22.

$\quad$

Figura 22: il grafico della funzione affine $g$ definita da $g(x)=mx+q$ si ottiene traslando il grafico della rispettiva funzione lineare di un vettore $(0,q);$ esso quindi risulta essere la retta parallela al grafico della funzione definita da $f(x)=mx$ e passante per il punto $(0,q)$ .

$\quad$

Notiamo che questa osservazione dimostra la seguente proprietà.

Proposizione 3.14. Sia $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

una funzione affine definita da $f(x)=mx + q$

. Allora il grafico di $f$

è una retta passante per il punto $(0,q)$

$\quad$

Ruolo del termine noto

Rivolgiamo ora la nostra attenzione al termine noto $q$ . Dalla discussione relativa alla figura 22, segue che il grafico di una funzione affine $g$ definita da $g(x)=mx+q$ è una retta parallela al grafico della funzione $f$ definita da $f(x)=mx$ e passante per il punto $(0,q)$ . Pertanto il termine noto $q$ determina il punto di intersezione tra la $\Gamma_g$ e l’asse $y$ .

Fissando $m \in \mathbb{R}$ e al variare di $q \in \mathbb{R}$ , si ottiene quindi un cosiddetto fascio improprio di rette, costituito dalle rette parallele al grafico della funzione lineare definita da $f(x)=mx$ .

$\quad$

Figura 23: alcune delle rette appartenenti al fascio improprio di rette di equazione $y=2x + q$ .

$\quad$

Proprietà delle funzioni affini

Grazie alle osservazioni precedenti, possiamo ricavare le proprietà generali delle funzioni affini. Siano $m,q \in \mathbb{R},$ e consideriamo quindi una funzione affine $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

$f(x)=mx+q \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

Nel caso in cui $m=0$ , la funzione è costante, quindi poiché tale caso è già stato studiato nella sezione 3.2, assumiamo $m \neq 0$ .

$\quad$

(Dominio.) Il dominio di $f$ è $\mathbb{R}$ .

(Simmetrie.) Per la proposizione 3.12, $f$ è una funzione dispari se e solo se $q=0$ ossia se e solo se $f$ è lineare, mentre $f$ non è né pari né dispari se $q \neq 0$ . Tali proprietà possono anche essere facilmente dedotte dalla figura 22 e/o da un’analisi del valore $f(-x)$ per $x \in \mathbb{R}$ , in analogia con quanto visto nella dimostrazione della proposizione 3.12.

(Periodicità.) La funzione $f$ non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ è il punto $P=(0,q)$ , mentre l’intersezione con l’asse $x$ è unica ed è costituita dal punto $Q=\left(-\dfrac q m,0\right)$ .

(Intervalli di monotonia.) La funzione $f$ è monotona strettamente crescente se $m>0$ , ed è monotona strettamente decrescente se $m<0$ . Infatti, se ad esempio $m>0$ si ha
(95) $\begin{equation*} x_1 < x_2 \quad \iff \quad mx_1 +q < mx_2 + q \quad \iff \quad f(x_1) < f(x_2), \end{equation*}$

da cui $f$ è strettamente crescente. Analogamente si vede che $f$ è strettamente decrescente se $m<0$ .

(Immagine.) Poiché il grafico di $f$ è una retta obliqua, si ha
(96) $\begin{equation*} \operatorname{Im} f = \mathbb{R}. \end{equation*}$

Infatti, sia $y_0 \in \mathbb{R}$ ; risolvendo l’equazione $y_0=m x + q$ rispetto a $x$ , si ottiene

(97) $\begin{equation*} y_0 = m x + q \qquad \iff \qquad x = \frac{y_0-q}{m}, \end{equation*}$

dunque

(98) $\begin{equation*} y_0 = m \frac{y_0-q}{m} + q \qquad \iff \qquad y_0 = f \left( \frac{y_0-q}{m} \right), \end{equation*}$

ovvero $f$ è una funzione suriettiva.

(Invertibilità.) Per (97), si ha che $f$ è invertibile ed esiste quindi la sua inversa $f^{-1} \colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ . Dalla definizione di funzione inversa, per ogni $y \in \mathbb{R}$ si ha che $f^{-1}(y)$ coincide con l’unico numero reale $x$ tale che $f(x)=y$ . Quindi l’espressione di $f^{-1}$ si ottiene ricavando $x$ in funzione di $y$ nell’espressione di $g$ :

(99) $\begin{equation*} y= mx+q \iff x=\frac{y-q}{m}. \end{equation*}$

Da ciò si ottiene che $f^{-1} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è la funzione definita da

(100) $\begin{equation*} f^{-1}(y) = \frac{1}{m} y - \frac{q}{m} \qquad \forall y \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Da tale espressione si evince che anche $f^{-1}$ è una funzione affine, avente coefficiente angolare e termine noto rispettivamente pari a $\dfrac{1}{m}$ e $-\dfrac{q}{m}$ .

Inoltre, vogliamo far notare al lettore che la composizione di di due funzioni affini è una funzione affine. Siano infatti $f,g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ due funzioni affini definite rispettivamente da

(101) $\begin{equation*} f(x) = mx+q, \quad g(x) = m'x + q' \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Si ha che $g \circ f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è la funzione definita da

(102) $\begin{equation*} (g \circ f)(x) = g(f(x)) = m' \cdot f(x) + q' = m' (mx + q) + q' = (m'm) x + (m'q + q') \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

che è quindi affine avente coefficiente angolare e termine noto rispettivamente pari a $m'm$ e $m'q + q'$ .

Grado 2: funzioni quadratiche.

Studiamo ora in particolare il caso di polinomi di secondo grado, ossia funzioni del tipo $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

definite da

(103) $\begin{equation*} f(x) =ax^2 + bx + c \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

con i coefficienti⁴ $a,b,c \in \mathbb{R}$ fissati e $a \neq 0$ . Le funzioni determinate da polinomi di secondo grado, per la presenza del termina $ax^2$ , vengono appunto dette funzioni quadratiche, in quanto dipendono da potenze di ordine $2$ della variabile indipendente $x$ .

Teorema 3.15. Siano $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$

e $b,c\in \mathbb{R}$

e sia $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

la funzione definita da

$f(x)=ax^2+bx+c.$

Allora il grafico $\Gamma_ f$ di $f$ è una parabola $\Gamma$ avente fuoco $F=\left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2 - 1}{4a} \right)$ e direttrice $r$ di equazione $y=-\dfrac{b}{2a}-\dfrac{1}{4a}$ . L’asse $s$ della parabola coincide con la retta di equazione $x=-\dfrac{b}{2a}$ e il vertice $V=\left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} \right)$ .

$\quad$

Dimostrazione. Per comprendere quali sono le proprietà di queste funzioni nel caso generale, cerchiamo di ricondurci al caso studiato precedentemente.

(104) $\begin{equation*} g(x) = ax^2+bx+c = a \left( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right) = a \left ( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \right) = a \left( x + \frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2}{4a}+ c \end{equation*}$

Consideriamo quindi la funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=ax^2$ . Per (104), si ha che

(105) $\begin{equation*} g(x) = f\left( x + \frac{b}{2a}\right) + \left(c - \frac{b^2}{4a} \right) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Per le considerazioni svolte in [4, sezione 3.4 1, esempio 3.15], il grafico di $g$ corrisponde al grafico di $f$ traslato nella direzione $x$ di una quantità pari a $-\dfrac{b}{2a}$ e nella direzione $y$ di una quantità pari a $c - \dfrac{b^2}{4a}$ .

In altre parole, definendo la traslazione $T \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ di vettore $\left(-\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} \right)$ definita da

(106) $\begin{equation*} T(x,y)= \left( x -\frac{b}{2a}, y + c - \frac{b^2}{4a} \right) \qquad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \end{equation*}$

si ha

(107) $\begin{equation*} \Gamma_g = T(\Gamma_f). \end{equation*}$

Poiché $\Gamma_f$ è una parabola avente asse pari all’asse $y$ e vertice nell’origine degli assi, da queste considerazioni segue che $\Gamma_g$ è costituito da una parabola di asse di equazione $x= -\dfrac{b}{2a}$ e vertice $V=\left(-\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$ .

La situazione è rappresentata in figura 24.

$\quad$

Figura 24: grafico di una funzione quadratica $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $g(x)=ax^2+bx+c$ e confronto col grafico della funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=ax^2$ . Tratteggiato in verticale, l’asse della parabola costituita da $\Gamma_g$ , il cui vertice $V$ ha ordinata pari a $c - \dfrac{b^2}{4a}$ .

$\quad$

Le proprietà di tali funzioni costanti si deducono facilmente dalla definizione.

$\quad$

Proprietà delle funzioni quadratiche

Si consideri una funzione polinomiale di secondo grado $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

$g(x)=ax^2+bx+c \qquad \forall x \in \mathbb{R},$

con $a,b,c \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$ .

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $\mathbb{R}$ .

(Simmetrie.) Per la Proposizione 3.12, se $b=0$ la funzione $f$ è pari, altrimenti non è né pari né dispari.

(Periodicità.) La funzione $f$ non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) L’intersezione di $\Gamma_g$ con l’asse $y$ consiste nel punto $(0,g(0))= (0,c)$ . Riguardo alle intersezioni con l’asse $x$ , si ha

$\quad$

– Se $\Delta=b^2-4ac<0$ , $\Gamma_g$ non interseca l’asse $x$ ;

– Se $\Delta=b^2-4ac=0$ , $\Gamma_g$ interseca l’asse $x$ nell’unico punto $\left(- \dfrac{b}{2a},0\right)$ ;

– Se $\Delta=b^2-4ac>0$ , $\Gamma_g$ interseca l’asse $x$ nei due punti

(108) $\begin{equation*} P_1= \left(\dfrac{- b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},0 \right), \qquad P_2= \left(\dfrac{- b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},0 \right). \end{equation*}$

Infatti, le intersezioni di $\Gamma_g$ con l’asse $x$ sono costituite dai punti aventi ordinata pari a $0$ e ascissa pari alle soluzioni dell’equazione $g(x)=0$ . Per determinarle, usiamo l’espressione di $g$ ricavata in (104):

(109) $\begin{equation*} g(x) = ax^2 + bx + c = 0 \iff b^2 - 4ac = 4a^2 \left( x + \frac{b}{2a}\right)^2 \end{equation*}$

Per stabilire se l’equazione $g(x)=ax^2+bx+c=0$ possiede o meno soluzioni, occorre considerare il segno della quantità $\Delta \coloneqq b^2 - 4ac$ . Per tale motivo, essa viene detta discriminante dell’equazione di secondo grado $ax^2+bx+c=0$ . Otteniamo quindi i seguenti casi:

$\quad$

– Se $\Delta = b^2 - 4ac<0$ , l’equazione $g(x)=0$ non ha soluzioni, in quanto $4a^2 \left( x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 \geq 0$ , essendo il quadrato di un numero reale. In tal caso, $\Gamma_g$ si trova al di sopra o al di sotto dell’asse $x$ in base al fatto se rispettivamente $a>0$ oppure $a<0$ .

– Se $\Delta = b^2 - 4ac=0$ , $g(x)=4a^2 \left( x + \dfrac{b}{2a}\right)^2$ e l’equazione (109) diventa

(110) $\begin{equation*} 4a^2 \left( x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = 0 \iff x= - \dfrac{b}{2a}. \end{equation*}$

In tal caso, $\Gamma_f$ si trova al di sopra o al di sotto dell’asse $x$ , ma il vertice è l’unico punto di $\Gamma_f$ appartenente all’asse $x$ e ha coordinate $\left( - \dfrac{b}{2a},0\right)$ .

– Se $\Delta = b^2 - 4ac>0$ , l’equazione (109) ha soluzioni e diventa equivalente a

(111) $\begin{equation*} 2a\left( x + \frac{b}{2a}\right) = \pm \sqrt{b^2 - 4ac} \iff x = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \end{equation*}$

Quindi, se $\Delta = b^2 - 4ac>0$ , i punti di intersezione tra $\Gamma_f$ e l’asse $x$ sono

(112) $\begin{equation*} P_1= \left(\frac{- b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},0 \right), \qquad P_2= \left(\frac{- b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},0 \right). \end{equation*}$

(Segno.) La funzione ha il seguente segno:
$\quad$

– Se $\Delta=b^2-4ac<0$ , allora

$f(x) >0\qquad \forall x \in \mathbb{R} \mbox{ se } a>0 \quad (\mbox{risp. } f(x) <0 \qquad\forall x \in \mathbb{R} \mbox{ se } a<0).$

– Se $\Delta=b^2-4ac=0$ , allora

$f(x) \geq0 \qquad\forall x \in \mathbb{R} \mbox{ se } a>0 \quad (\mbox{risp. } f(x) \leq0 \qquad\forall x \in \mathbb{R} \mbox{ se } a<0).$

e il grafico di $f$ interseca l’asse $x$ nell’unico punto $P=\left(- \dfrac{b}{2a},0\right)$ ;

– Se $\Delta=b^2-4ac>0$ , allora distinguiamo due casi:

$\quad$
1. Se $a>0$ , allora
  $f(x)=ax^2+bx+c \geq 0 \quad \iff \quad x \leq \frac{- b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \vee x \geq \frac{- b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$
2. Se $a<0$ , allora
  $f(x)=ax^2+bx+c \geq 0 \quad \iff \quad \frac{- b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \leq x \leq \frac{- b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$

(Intervalli di monotonia.) se $a>0$ , allora $g$ è strettamente crescente in $\left[-\dfrac{b}{2a},+\infty\right)$ e strettamente decrescente in $\left(-\infty,-\dfrac{b}{2a}\right]$ . Se $a<0$ , allora $g$ è strettamente decrescente in $\left[-\dfrac{b}{2a},+\infty\right)$ e strettamente crescente in $\left(-\infty,-\dfrac{b}{2a}\right]$ .

(Immagine.) Si ha
(113) $\begin{equation*} \operatorname{Im} g = \left[c - \frac{b^2}{4a},+\infty \right) \quad \text{se } a >0, \qquad \operatorname{Im} g = \left(-\infty,c - \frac{b^2}{4a} \right] \quad \text{se } a <0. \end{equation*}$

In particolare, se $a>0$ l’unico punto di minimo per $g$ è $x=-\dfrac{b}{2a}$ , mentre se $a<0$ l’unico punto di massimo per $g$ è $x=-\dfrac{b}{2a}$ .

(Invertibilità.) Dalla monotonia discussa sopra, deduciamo da [4, Teorema 2.91] che $f$ è invertibile se ristretta agli intervalli $\left(-\infty, -\dfrac{b}{2a}\right]$ oppure $\left[-\dfrac{b}{2a}, +\infty \right)$ .

$\quad$

Figura 25.

$\quad$

Per familiarizzare con i concetti esposti, facciamo qualche esempio.

Esempio 3.16. Studiamo le funzioni quadratiche $f_1,f_2,f_2 \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e tracciamone un grafico qualitativo:

$\quad$

$f_1(x)=2x^2+3x$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ ;

$f_2(x)=-x^{2}+5x- \dfrac{25}{4}$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ ;

$f_3(x)=-\dfrac14 x^{2}-2x-5$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ .

$\quad$

è la funzione quadratica di parametri . Dallo studio precedente, otteniamo
$\quad$
- Poiché $a>0$ la parabola $\Gamma_{f_1}$ ha concavità rivolta verso l’alto; inoltre essa ha asse $s$ e vertice $V$ aventi rispettivamente equazioni
  (114) $\begin{equation*} s \colon x= -\frac{b}{2a}= -\dfrac{3}{4}, \qquad V=\left(-\frac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a}\right) = \left(-\frac{3}{4}, - \dfrac{9}{8}\right). \end{equation*}$
- Poiché $c=0$ , $\Gamma_{f_1}$ interseca l’asse $y$ nell’origine $(0,0)$ (e quindi anche l’asse $x$ ).
- Poiché $\Delta=b^2-4ac=9>0$ , le intersezioni di $\Gamma_{ f_1}$ con l’asse $x$ sono i punti
  (115) $\begin{equation*} P_1= \left(\frac{- b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},0 \right) = \left(-\frac{3}{2},0 \right) , \qquad P_2= \left(\frac{- b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},0 \right) = (0,0). \end{equation*}$
Il grafico di $f_1$ è rappresentato in blu in figura 26.

$\quad$

$\quad$

Figura 26: grafici delle funzioni $f_1,f_2,f_3$ dell’esempio 3.16, rispettivamente in blu, arancio e verde.

$\quad$

$\quad$

è la funzione quadratica di parametri . Si vede che
(116) $\begin{equation*} f_2(x) = - \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

pertanto il grafico di $f_2$ si può ottenere da quello di $g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definito da $g(x)=x^2$ riflettendolo rispetto all’asse $x$ (poiché $a<0$ ) e traslandolo di un vettore pari a $\left(\dfrac{5}{2},0\right)$ . Alternativamente, dallo studio fatto in precedenza, otteniamo:

$\quad$
- Poiché $a<0$ la parabola $\Gamma_{ f_2}$ ha concavità rivolta verso il basso; inoltre essa ha asse $s$ e vertice $V$ aventi rispettivamente equazioni
  (117) $\begin{equation*} s \colon x= -\frac{b}{2a}= \frac{5}{2}, \qquad V=\left(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a}\right) = \left(\frac{5}{2}, -\frac{25}{4} + \frac{25}{4}\right) = \left(\frac{5}{2}, 0\right). \end{equation*}$
- Poiché $c=-\dfrac{25}{4}$ , $\Gamma_{f_2}$ interseca l’asse $y$ nel punto $\left(0,-\dfrac{25}{4}\right).$
- Poiché $\Delta=b^2-4ac=0$ , $\Gamma_{f_2}$ interseca l’asse $x$ in un unico punto, coincidente col vertice della parabola e avente quindi coordinate $\left(\dfrac{5}{2}, 0\right)$ .
Il grafico di $f_2$ è rappresentato in arancio in figura 26.

è la funzione quadratica di parametri . Si vede che
(118) $\begin{equation*} f_2(x) = - \frac{1}{4}\left( x + 4 \right)^2 - 1 \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

pertanto il grafico di $f_3$ si può ottenere da quello della funzione $g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $g(x)=\dfrac14 x^2$ riflettendolo rispetto all’asse $x$ (poiché $a<0$ ) e traslandolo di un vettore pari a $(-4,-1)$ . Alternativamente, dallo studio fatto in precedenza, otteniamo:

$\quad$
- Poiché $a<0$ la parabola $\Gamma_{ f_3}$ ha concavità rivolta verso il basso; inoltre essa ha asse $s$ e vertice $V$ aventi rispettivamente equazioni
  (119) $\begin{equation*} s \colon x= -\frac{b}{2a}= -4, \qquad V=\left(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a}\right) = \left(-4, -5 +{4} \right) = \left(-4,-1\right). \end{equation*}$
- Poiché $c=-5$ , $\Gamma_{f_3}$ interseca l’asse $y$ nel punto $(0,-5).$
- Poiché $\Delta=b^2-4ac= 4-5=-1<0$ , $\Gamma_{f_3}$ non interseca interseca l’asse $x.$
Il grafico di $f_3$ è rappresentato in verde in figura 26.

Come per le funzioni affini, è consuetudine indicare i coefficienti del polinomio di secondo grado con le lettere $a,b,c$ invece che con i rispettivi $a_2,a_1,a_0$ utilizzati nella notazione generale presentata all’inizio della sezione 3. ↩

Funzioni razionali

Introduzione.

Una funzione a valori reali di variabile reale è detta funzione razionale se è ottenuta come quoziente di due funzioni polinomiali. Se consideriamo l’espressione formale

(120) $\begin{equation*} f(x)= \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad P(x),Q(x)\in \mathbb{R}[x], \end{equation*}$

ottenuta a partire da due polinomi $P(x), Q(x)$ , possiamo definire una funzione

$x \in E \mapsto \frac{P(x)}{Q(x)} \in \mathbb{R},$

per qualunque $E\subseteq \mathbb{R}$ tale che $E$ non contenga zeri di $Q(x)$ . Notiamo che i polinomi $P(x)$ e $Q(x)$ che definiscono una funzione razionale, detti rispettivamente il numeratore e il denominatore di $f$ , non sono unici. Se $P(x)$ e $Q(x)$ non hanno fattori in comune, diciamo che l’espressione $f(x)$ è ridotta ai minimi termini. Studiamo ora la funzione determinata dall’espressione (120), cf. [4, Definizione 3.1].

Frazioni algebriche razionali.

Definizione 4.1 (frazione algebrica razionale). Siano $P(x),Q(x) \in \mathbb{R}[x]$

due polinomi. Chiamiamo frazione algebrica razionale un’espressione formale

(121) $\begin{equation*} f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}, \end{equation*}$

Il polinomio $P(x)$ è detto numeratore, mentre il polinomio $Q(x)$ è detto denominatore. Diremo che $f$ è ridotta ai minimi termini se $P(x)$ e $Q(x)$ non hanno fattori in comune. Il grado di una frazione algebrica si definisce come il massimo tra i gradi del numeratore e denominatore:

(122) $\begin{equation*} \deg f(x)\coloneqq \max\left\{ \deg P(x), \deg P(x)\right\}. \end{equation*}$

L’insieme delle frazioni algebriche ridotte ai minimi termini si denota con $\mathbb{R}(x)$ . Una frazione è detta propria se $\deg P(x) <\deg Q(x)$ e impropria altrimenti.

$\quad$

Una frazione algebrica $f(x)\in \mathbb{R}(x)$ come in (121) determina la funzione

$f: \operatorname{Dom}(f) \to \v, \; f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)},$

dove

$\operatorname{Dom}(f)= \left\{ x \in\mathbb{R} \colon Q(x)\neq 0\right\}.$

La funzione così definita è detta funzione razionale.

Definizione 4.2 (somma e prodotto di frazioni algebriche razionali). Siano $f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$

e $\tilde f(x)=\dfrac{\tilde P(x)}{\tilde Q(x)}$

due frazioni algebriche razionali. Si definisce

$\quad$

somma di $f(x)$ e $\tilde f(x)$ la frazione

(123) $\begin{equation*} f(x)+\tilde f(x)= \dfrac{P(x)\tilde Q(x)+\tilde P(x) Q(x)}{Q(x)\tilde Q(x)}, \end{equation*}$

prodotto di $f(x)$ e $\tilde f(x)$ la frazione

(124) $\begin{equation*} f(x)\tilde f(x)= \dfrac{P(x)\tilde P(x) }{Q(x)\tilde Q(x)}, \end{equation*}$

$\quad$

Teorema 4.3 (proprietà delle frazioni algebriche razionali). Valgono le seguenti proprietà:

$\quad$

L’insieme dei polinomi $\mathbb{R}[x]$ può essere identificato con il sottoinsieme di $\mathbb{R}(x)$ costituito dalle frazioni avente per denominatore un polinomio di grado 0.

Una frazione algebrica impropria può essere scritta in maniera unica come somma di un polinomio e di una frazione algebrica propria.

$\quad$

Dimostrazione. Dimostriamo le proprietà enunciate.

$\quad$

È chiaro che la funzione
$\iota \colon P(x)\in \mathbb{R}[x] \to\dfrac{P(x)}{1}\in \mathbb{R}(x),$

è iniettiva e a valori nel sottoinsieme specificato dall’enunciato. L’inclusione opposta segue dalla distributività del prodotto sulla somma.

La tesi segue dalla divisione euclidea, cf. teorema 3.10. Infatti Dati $P(x), Q(x) \in \mathbb{R}[x]$ con $\deg P(x)\geq \deg Q(x)$ , esistono unici polinomi $Z(x)$ e $R(x)$ , tale che $\deg R(x) < \deg Q(x)$ e

(125) $\begin{equation*} P(x)=Z(x)Q(x) + R(x). \end{equation*}$

Segue da (125) e dalla definizione (123), che

$\frac{P(x)}{Q(x)}= \frac{Z(x)Q(x) + R(x)}{Q(x)}= Z(x)+ \frac{ R(x)}{Q(x)}.$

Proposizione 4.4 (somma e prodotto di funzioni razionali). La somma (risp. il prodotto) di due funzioni razionali è ancora una funzione razionale, e coincide con la funzione definita dall’espressione (123) (risp. (124) di somma (risp. prodotto) di frazioni algebriche.

Funzione potenza con esponente intero negativo.

Sia $n\in \mathbb{N}$

. La funzione potenza di esponente $-n$

è la funzione $f\colon \mathbb{R}\setminus\left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R}$

, definita da

(126) $\begin{equation*} $ f(x) = x^{-n} \coloneqq \dfrac{1}{x^n}, \qquad \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}. $ \end{equation*}$

Di seguito alcune proprietà importanti che possiamo riscontare nei grafici riportati in figura 27:

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $\mathbb{R}\setminus\left\{ 0 \right\}$ .

(Simmetrie.) Si ha che $f$ è pari se $n$ è pari, ed è dispari se $n$ è dispari. Infatti
(127) $\begin{equation*} f(-x) = (-x)^{-n} = (-1)^n x^{-n} = (-1)^n f(x). \end{equation*}$

Ovvero

(128) $\begin{equation*} f(-x) = \begin{cases} f(x), &\quad \text{se} \quad n \; \text{è pari}; \\ -f(x), &\quad \text{se} \quad n \; \text{è dispari}. \end{cases} \end{equation*}$

In particolare, se $n$ è pari il grafico di $f$ è simmetrico rispetto all’asse $y$ , e se $n$ è dispari lo è rispetto all’origine degli assi.

(Periodicità.) La funzione potenza di esponente $-n$ non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ non esiste perché 0 è escluso dal dominio. Inoltre, è immediato verificare che $f(x)=0$ non ha soluzione per nessun $n$ . Dunque il grafico di $f$ non interseca gli assi.

(Segno.) Segue subito che $f(x)> 0$ per ogni $x$ nel dominio, se $n$ è pari, mentre se $n$ è dispari, $f(x)> 0$ se e soltanto se $x > 0$ .

(Intervalli di monotonia.) Siano $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ tali che $0\le x_1<x_2$ . Allora, se $n$ è pari:
(129) $\begin{equation*} \begin{split} f(x_1) = x_1^{-n} > x_2^{-n} = f(x_2). \end{split} \end{equation*}$

Ovvero $f$ è decrescente in $(0,+\infty)$ . D’altra parte, poiché $f$ è pari e decrescente in $(0,\infty)$ , allora è crescente in $(-\infty,0)$ . Se $n$ è dispari,

(130) $\begin{equation*} \begin{split} x_1, x_2 \ge 0 \Rightarrow \quad f(x_1) = x_1^{-n} > x_2^{-n} = f(x_2). \end{split} \end{equation*}$

Dunque, se $n$ è dispari, $f(x)$ è strettamente decrescente in $(0, +\infty)$ e (poiché è dispari) è decrescente anche su $(-\infty,0)$ . Non è però decrescente su $\mathbb{R}\setminus\left\{ 0 \right\}$ .

(Immagine.) L’immagine della funzione $f$ è
$\operatorname{Im}(f)= \begin{cases} (0,+\infty), & \mbox{ se } n \mbox{ è pari};\\ \mathbb{R}\setminus\left\{ 0 \right\}, & \mbox{ se } n \mbox{ è dispari}. \end{cases}$

L’inclusione $``\subseteq''$ è ovvia, in quanto $\dfrac{1}{x^n}\geq 0$ per $n$ pari. L’inclusione opposta è meno banale, ed è un corollario del teorema 2.10. Infatti, se $n$ è pari (risp. dispari) dato $y_0\in (0,+\infty)$ (risp. $y_0\in \mathbb{R}\setminus \left\{ 0 \right\}$ ), esso è immagine di qualche $x_0$ , come mostra il seguente calcolo:

(131) $\begin{equation*} y_0=\frac{1}{x_0^n} \iff x_0^n=\frac{ 1}{ y_0} \iff x_0= \frac{1}{\sqrt[n]{y_0}}. \end{equation*}$

(Invertibilità.) Se $n$ è dispari, è invertibile nel suo dominio, mentre se $n$ è pari le restrizioni $f|_{(0,+\infty)}^{(0,+\infty)}$ e $f|_{(-\infty,0)}^{(0,+\infty)}$ sono invertibili. Questo fatto è un corollario del teorema 2.10 e di (131).

$\quad$

Figura 27: il grafico di $f(x)=x^{-n}$ per i valori $n=1,2, 3, 10$ .

$\quad$

Funzioni razionali di grado 1: Funzioni omografiche.

In questa sezione incontriamo un’altra conica non degenere che prende il nome di iperbole, cf. definizione 4.8. In questa dispensa non entriamo nel dettaglio di tutte le proprietà geometriche dell’iperbole, e rimandiamo a [7] per ulteriori dettagli. Ci limitiamo a discutere soltanto un caso speciale di iperbole, ovvero quando essa è data dal grafico di una funzione. Una tale funzione risulta essere una funzione razionale di grado 1, detta anche funzione omografica.

Definizione 4.5 (funzione omografica). Siano $a,b,c,d \in \mathbb{R}$

tali che

(132) $\begin{equation*} c \neq 0, \qquad \delta\coloneqq ad-bc \neq 0. \end{equation*}$

Chiamiamo funzione omografica la funzione $f: \mathbb{R} \setminus \left\{ -\dfrac{d}{c} \right\} \to \mathbb{R}$ definita da

(133) $\begin{equation*} f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} \qquad \forall\, x \neq -\dfrac{d}{c}. \end{equation*}$

$\quad$

Abbiamo escluso tali valori poiché: se $c=0$ allora l’espressione ha senso se e solo se $d\neq 0$ e in questo caso $f$ è la retta $y=\dfrac{ax+b}{d}$ ; infine, se $b=\dfrac{ad}{c}$ notiamo che

(134) $\begin{equation*} f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{ax+\left( \dfrac{ad}{c} \right)}{cx+d}=\frac{a\left(x+\dfrac{d}{c}\right)}{c\left( x+\dfrac dc\right)}= \frac ac, \end{equation*}$

e quindi otteniamo una retta orizzontale. Per evitare questi casi degeneri, dunque, per funzione omografica intenderemo sempre una funzione del tipo (133) soddisfacente la condizione (132).

Proprietà delle funzioni omografiche

Consideriamo una funzione omografica $f: \mathbb{R} \setminus \left\{ -\dfrac{d}{c} \right\} \to \mathbb{R}$ definita da

(135) $\begin{equation*} f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} \qquad \forall\, x \neq -\dfrac{d}{c}. \end{equation*}$

Elenchiamo di seguito le sue proprietà.

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione omografica $f$ è
$\text{Dom}(f)=\{x\in \mathbb{R}: cx+d \neq 0\}=\mathbb{R}\setminus \left\{ - \frac{d}{c}\right\}.$

(Simmetrie.) Le funzione omografica $f$ non è mai pari, ed è dispari se e solo se

$a=d=0.$

Infatti, il dominio è simmetrico rispetto all’origine se e solo se coincide con $\mathbb{R}\setminus \left\{ 0 \right\}$ , il che è equivalente a richiedere

$-\frac d c =0 \iff d=0.$

In questo caso otteniamo la condizione

(136) $\begin{equation*} f(-x)=\pm f(x) \quad \forall x \neq 0 \quad \iff \quad \frac{-ax+b}{-cx}= \pm \frac{ax+b}{cx}\quad \forall x \neq - \frac{d}{c} . \end{equation*}$

Se $d=0$ allora la condizione (132) è soddisfatta se e solo se $b\neq 0$ . In questo caso, l’equazione (136) è risolta con il segno meno se e solo se $a =0$ .

(Periodicità.) La funzione omografica $f$ non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) Studiamo l’intersezione con l’asse $y$ : Se $d\neq 0$ si ha
(137) $\begin{equation*} f(0)=\frac{b}{d}, \end{equation*}$

e dunque troviamo il punto $\left(0, \dfrac bd \right)$ , altrimenti non ci sono intersezioni con l’asse delle $y$ .

Studiamo le intersezioni con l’asse $x$ : dobbiamo trovare le $x$ tali che $f(x)=0$ :

(138) $\begin{equation*} f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}=0 \iff ax+b=0, \end{equation*}$

e dunque, se $a=0$ , allora per le nostre condizioni $b\neq 0$ e l’iperbole non interseca l’asse delle $x$ . Se $a\neq 0$ troviamo il punto $\left( -\dfrac ba,0 \right)$ .

(Segno.) Il segno della funzione omografica $f$ dipende dai valori dei paramentri e per studiare il segno in maniera esaustiva dobbiamo dividere lo studio per casi:
– Caso $a=0$ . In questo caso abbiamo

$f(x)=\frac{b}{cx+d}\geq 0 \quad \iff \quad \begin{cases} x \geq -\dfrac dc, &\mbox{ se } bc>0;\\ x \leq -\dfrac dc, &\mbox{ se } bc<0. \end{cases}$

– Caso $ac>0$ . In questo caso abbiamo

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\geq 0 \quad \iff \quad x \leq \min\left\{ -\dfrac cd, -\dfrac ba, \right\} \vee x \geq \max\left\{ -\dfrac cd, -\dfrac ba, \right\}.$

– Caso $ac<0$ . In questo caso abbiamo

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\geq 0 \quad \iff \quad \min\left\{ -\dfrac cd, -\dfrac ba, \right\} \leq x \leq \max\left\{ -\dfrac cd, -\dfrac ba, \right\}.$

(Intervalli di monotonia.) La funzione omografica $f$ è strettamente monotona sui due intervalli disgiunti che compongono il dominio, ma non sulla loro unione.
In particolare, detti

(139) $\begin{equation*} D^- \coloneqq \left( -\infty, -\dfrac dc \right) \quad \mbox{ e } \quad D^+\coloneqq \left( -\dfrac d c , +\infty \right) \end{equation*}$

si ha

(140) $\begin{equation*} f \mbox{ è } \begin{cases} \mbox{ è strettamente crescente } , & \mbox{ se } \delta>0;\\ \mbox{ è strettamente decrescente } , & \mbox{ se } \delta<0, \end{cases} \mbox{ su } D^- \mbox{ e su } D^+, \end{equation*}$

ma non è monotona su $\operatorname{Dom}(f)=D^-\cup D^+$ .

(Immagine.) L’immagine della funzione omografica $f$ è

$\operatorname{Im} (f)= \left( -\infty, \dfrac ac \right) \cup \left( \dfrac a c , +\infty \right).$

Inoltre, le immagini degli intervalli $D^-$ e $D^+$ , cf. (139), sono disgiunte, in quanto uno di essi viene mandato nell’insieme dei numeri reali maggiori di $\dfrac ac$ , l’altro nell’insieme dei numeri reali minori di $\dfrac ac$ . Infatti, la disequazione

$\frac{ax+b}{cx+d}> \frac{a}{c}$

è equivalente a

(141) $\begin{equation*} \frac{bc-ad}{c(cx+d)}> 0, \end{equation*}$

la quale ha come soluzione $D^-$ oppure $D^+$ . Inoltre, si deduce da (141) che

(142) $\begin{equation*} \frac{ax+b}{cx+d}\neq \frac{a}{c} \qquad \forall x \in \operatorname{Dom}(f). \end{equation*}$

Abbiamo dimostrato così che

$\operatorname{Im} (f)\subseteq \left( -\infty, \dfrac ac \right) \cup \left( \dfrac a c , +\infty \right).$

Per concludere, occorre dimostrare che ogni $y \neq \dfrac ac$ è immagine di qualche $x$ nel dominio:

(143) $\begin{equation*} y=\dfrac{ax+b}{cx+d} \iff y(cx+d)=ax+b \iff x(a-cy)=dy-b, \end{equation*}$

dunque se $y\neq \dfrac ac$ , si ha

(144) $\begin{equation*} x=\frac{dy-b}{-cy+a}. \end{equation*}$

(Invertibilità.) Osserviamo che $f$ è iniettiva in quanto è monotona sui due intervalli disgiunti che composngono il dominio, cf. (140), e inoltre le immagini di questi due intervalli sono disgiunte, cf. (141). Osserviamo inoltre che (144) implica che l’inversa della funzione omografica $f$ è la funzione

$f^{-1}: \operatorname{Im}(f) = \mathbb{R} \setminus \left\{ -\dfrac ac \right\} \to \operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R} \setminus \left\{ -\dfrac dc \right\}$

definita da

$f^{-1}(y) =\frac{dy-b}{-cy+a}.$

Si noti che tale funzione è ancora una funzione omografica, e può essere studiata analogamente a quanto fatto in precedenza.

Nella prossima sezione vedremo che il grafico di una funzione omografica è dato da un’iperbole equilatera in un piano cartesiano, avente gli asintoti (ovvero le rette alle quali la funzione si avvicina sempre di più senza mai intersecare) paralleli agli assi cartesiani. Il grafico di una tale iperbole è mostrato in figura 28.

Se vogliamo disegnare un grafico qualitativo di un’iperbole si può partire dalle seguenti informazioni:

$\quad$

le intersezioni con gli assi,

gli asintoti, ovvero le rette (verticale e orizzontale) alle quali la funzione si avvicina sempre di più senza mai intersecare. La loro intersezione è detta centro dell’iperbole ed è un centro di simmetria per l’iperbole.

Da queste due informazioni e dal fatto che l’iperbole è simmetrica rispetto al suo centro, possiamo facilmente dedurne un grafico approssimativo.

$\quad$

Figura 28: il grafico di $f(x)= \dfrac{ax+b}{cx+d}$ e dei suoi asintoti verticale (in rosso) e orizzontale (in viola). Notiamo che il grafico è simmetrico rispetto al centro dell’iperbole.

$\quad$

Per chiarire il significato degli asintoti, consideriamo il prossimo esempio.

Esempio 4.6. Un caso speciale di funzione omografica è data dalla funzione

$f\colon \mathbb{R}\setminus \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R}, \; f(x)=\dfrac 1x,$

ottenuta in (133) ponendo $a=0, b=c=1, d=0$ . Abbiamo già osservato in precedenza, cf. [4, Esempio 3.13], che se $x$ è molto vicino al valore 0, escluso dal dominio, il modulo di $f(x)$ diventa molto grande; il grafico di $f$ , dunque, si avvicina alla retta verticale di equazione $x=0$ , che risulta quindi essere un asintoto dell’iperbole.

Analogamente, se si scelgono valori di $x$ molto grandi in modulo, si vede che $f(x)$ assume valori sempre più vicini a 0; il grafico della funzione, dunque, si avvicina alla retta orizzontale di equazione $y=0$ , che risulta quindi un asintoto orizzontale.

Il ragionamento intuitivo fatto nell’esempio precedente, pur non rigoroso, suggerisce un modo per determinare le equazioni delle rette che descrivono gli asintoti. Per determinare l’equazione dell’asintoto verticale, dunque, occorre determinare il punto escluso dal dominio della funzione. Per determinare l’asintoto orizzontale, invece, occorre determinare il valore a cui si avvicina $f(x)$ al crescere del modulo di $x$ .

Riassumiamo di seguito quanto discusso euristicamente.

$\quad$

(Asintoto verticale) È possibile calcolare il valore di $f$ per gli $x$ reali per cui il denominatore non si annulla
(145) $\begin{equation*} \text{Dom}(f)=\{x\in \mathbb{R}: cx+d \neq 0\}=\mathbb{R}\setminus \left\{ - \frac{d}{c}\right\}. \end{equation*}$

Dunque, la retta di equazione

(146) $\begin{equation*} x=-\dfrac dc \end{equation*}$

è il nostro asintoto verticale.

(Asintoto orizzontale) Per determinare l’asintoto orizzontale basta determinare il valore a cui si avvicina $f(x)$ al crescere del modulo di $x$ . Per ogni $x \neq 0$ ,

(147) $\begin{equation*} f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}= \frac{\cancel{x}\left(a+\frac bx \right)}{\cancel{x}\left(c+\frac dx \right)}=\frac{\left(a+\frac bx \right)}{\left(c+\frac dx \right)}. \end{equation*}$

Per $x \gg 0$ molto grande in modulo, (ad esempio, di qualche ordine di grandezza superiore a $a,b,c,d$ ), le quantità $\dfrac{b}{x}$ e $\dfrac{d}{x}$ diventano trascurabili rispetto al resto. Dunque, si ha

$f(x)=\dfrac{\left(a+\frac{b}{x} \right)}{\left(c+\frac{d}{x} \right)}\simeq \frac ac \qquad\forall x \gg 0,$

e l’approssimazione migliora al crescere del valore assoluto di $x$ . Ciò suggerisce l’intuizione che l’asintoto verticale abbia equazione

(148) $\begin{equation*} y = \frac{a}{c}. \end{equation*}$

Nella prossima sezione daremo una definizione diversa, di natura geometrica, di un asintoto di un’iperbole.

Concludiamo questa sezione dedicata alle funzioni omografiche con un esempio concreto.

Esempio 4.7.Consideriamo la funzione omografica

(149) $\begin{equation*} f(x)=\frac{2x-1}{3x+2}. \end{equation*}$

Le intersezioni con gli assi sono nei punti $\left( \dfrac 12, 0 \right)$ e $\left( 0, -\dfrac 12 \right)$ .

Il dominio di $f$ è dato dagli $x\in \mathbb{R}$ tali che $3x+2 \neq 0$ , dunque la retta $x=-\dfrac 23$ è un asintoto verticale. L’asintoto orizzontale è dato da $y=\dfrac 23$ . Il grafico di $f$ è dunque riportato in figura 29.

$\quad$

Figura 29: il grafico di $f(x)= \dfrac{2x-1}{3x+2}$ e dei suoi asintoti $x=-\dfrac 23$ e $y=\dfrac 23$ .

$\quad$

Iperbole e grafico della funzione omografica

Definizione 4.8 (iperbole). Dati due punti distinti $F_1$

e $F_2$

del piano cartesiano $\R^2$

, si dice iperbole $\Gamma$

di fuochi $F_1$

e $F_2$

il luogo geometrico dei punti del piano la cui differenza tra le distanze da $F_1$

e $F_2$

, in modulo, è costante.

Definizione 4.9 (assi e vertici di un’iperbole). Data un’iperbole $\Gamma \subset \mathbb{R}^2$

di fuochi $F_1$

e $F_2$

, la retta $r$

passante per $F_1$

e $F_2$

viene detta asse traverso dell’iperbole, mentre l’asse $s$

del segmento $F_1F_2$

(ovvero la retta $s$

perpendicolare a $r$

e passante per il punto medio di $F_1$

e $F_2$

) è detta asse coniugato di $\Gamma$

. Entrambi gli assi, traverso e coniugato, sono assi di simmetria di $\Gamma$

. Per questo motivo il punto medio del segmento $F_1F_2$

è detto centro di simmetria di $\Gamma$

. I punti $V_1$

e $V_2$

di intersezione tra l’asse traverso $r$

e l’iperbole, sono detti vertici di $\Gamma$

; essi sono i punti di $\Gamma$

aventi minima distanza da $s$

$\quad$

Un’iperbole possiede sempre degli asintoti. Il concetto di asintoto di una funzione esula dallo scopo di queste note, in quanto la sua definizione prevede l’utilizzo del concetto di limite. Nel contesto delle iperboli, però, c’è una definizione più semplice, che fa uso solo dei concetti visti finora. Lo scopo di questa definizione alternativa è quello di formalizzare il ragionamento intuitivo che ha portato alle formule degli asintoti (146) e (148), cf. teorema 4.12.

Definizione 4.10 (asintoti di un’iperbole). Data un’iperbole $\Gamma \subset \f\mathbb{R}^2$

, una retta $t$

passante per il centro di simmetria di $\Gamma$

viene detta asintoto dell’iperbole se essa non interseca l’iperbole. Si può dimostrare che un’iperbole possiede esattamente due asintoti e che, se $t$

è un asintoto, allora

(150) $\begin{equation*} \operatorname{dist}(\Gamma,t) \coloneqq \inf \left\{ \operatorname{dist}(x,y) \colon x \in \Gamma, y \in t \right\}=0. \end{equation*}$

$\quad$

Figura 30: esempio di iperbole con assi coincidenti con gli assi coordinati, con rappresentazione degli asintoti (tratteggiati in rosso).

$\quad$

Definizione 4.11 (iperbole equilatere). Un’iperbole $\Gamma \subset \mathbb{R}^2$

viene detta equilatera se i suoi asintoti sono perpendicolari.

$\quad$

Si può intuire, dai grafici precedentemente illustrati, che i grafici delle funzioni omografiche sono iperboli equilatere. La prossima proposizione formalizza tale intuizione.

Teorema 4.12 (grafico di una funzione omografica). Siano $a,b,c,d\in \mathbb{R}$

dei parametri soddisfacenti alla condizione (132) e sia $f:$

la funzione omografica (133) di parametri $a,b,c,d$

. Allora, il grafico $\Gamma_f$

di $f$

è un’iperbole $\Gamma$

avente fuochi

$F_{\pm}=\left(\dfrac ac \pm \sqrt{ \dfrac{2|\delta|}{c^2}}, -\left( \dfrac dc \pm \operatorname{sgn}( \delta )\sqrt{ \dfrac{2|\delta|}{c^2}} \right) \right)$

e asintoti paralleli agli assi coordinati, cf. (146), (148), di equazione

$\quad$

$x=-\dfrac dc$ (Asintoto verticale);

$y=\dfrac a c$ (Asintoto orizzontale) +.

$\quad$

Dimostrazione. Notiamo innanzitutto che è sufficiente provare l’asserto per la funzione $g:\mathbb{R}\setminus\left\{ 0 \right\}\to \mathbb{R}$ definita da

(151) $\begin{equation*} g(x)=\dfrac{bc-ad}{c^2x}=-\dfrac{\delta}{c^2x}. \end{equation*}$

Infatti, si ha

(152) $\begin{equation*} f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}=\frac{a}{c}+\dfrac{bc-ad}{c^2\left(x+\dfrac{d}{c}\right)}, \end{equation*}$

dunque, per la [4, Proposizione 2.42] il grafico della funzione $f$ si ottiene dal grafico della funzione traslando del vettore $\left( -\dfrac dc, \dfrac a c \right)$ . In altri termini, abbiamo

$\Gamma_f=T(\Gamma_g)$

dove $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ è la traslazione definita da

$T(x,y)=\left( x-\dfrac dc, y+\dfrac ac \right).$

Poiché la traslazione è un movimento rigido, la tesi è equivalente a quella dove sostituiamo $f$ con $g$ e qualunque punto $P$ (risp. retta $r$ ) dell’enunciato nella sua traslata tramite l’inversa di $T$ , ovvero $T^{-1}(P)$ (risp. $T^{-1}r$ ). Rimane da provare dunque che il grafico di $g$ è un’iperbole equilatera avente fuochi

(153) $\begin{equation*} F_{\pm}=\left( \pm \sqrt{ \dfrac{2|\delta|}{c^2}}, \mp \operatorname{sgn}( \delta )\sqrt{ \dfrac{2|\delta|}{c^2}}\right) \end{equation*}$

e asintoti gli assi coordinati. Supponiamo ora $\delta<0$ ; il caso $\delta>0$ è analogo e viene lasciato al lettore. Definiamo

$D\coloneqq -\dfrac{\delta}{c^2}>0,$

così il grafico di $g$ , cf. (151),

$\Gamma_g=\left\{ (x,y) \in\mathbb{R}^2 \colon xy=D\right\},$

è un’iperbole di fuochi

$(\pm \sqrt{2D}, \mp \sqrt{2D}).$

Si calcola che

(154) $\begin{equation*} \Gamma_g=\left\{ P=(x,y) \in\mathbb{R}^2 \colon |\operatorname{dist}(P, F_-)-\operatorname{dist}(P,F+)|=2\sqrt{2D}\right\} \end{equation*}$

Per semplificare tale calcolo potrebbe convenire rinominare le quantità in gioco nel seguente modo:

$\quad$

(155) $\begin{equation*}A=\operatorname{dist}^2(P,F_-)=\left( x+\sqrt{2D} \right)^2+\left( y-\sqrt{2D} \right)^2;\end{equation*}$

(156) $\begin{equation*}B=\operatorname{dist}^2(P,F_+)=\left( x-\sqrt{2D} \right)^2+\left( y+\sqrt{2D} \right)^2;\end{equation*}$

(157) $\begin{equation*}C=2\sqrt{2D}.\end{equation*}$

Con queste sostituzioni, la (154) è equivalente a

(158) $\begin{equation*} \begin{aligned} \sqrt{A}-\sqrt{B}=\pm C &\quad \iff \quad \sqrt{A}=\sqrt{B}\pm C \quad \iff \quad A=B+C^2\pm 2\sqrt{B}C\\ & \quad \iff \quad A-B-C^2=\pm 2\sqrt{B}C \quad \iff \quad ( A-B-C^2)^2=4BC^2 \\ & \quad \iff \quad (A-B)^2+C^4-2(A-B)C^2=4BC^2\\ & \quad \iff \quad (A-B)^2+C^4-2(A+B)C^2=0. \end{aligned} \end{equation*}$

Notiamo che nella somma $A+B$ (risp. nella differenza $A-B$ ), cf. (156), sopravvivono solo i quadrati di $x,y$ e dei termini noti (risp. il doppio prodotto):

$\quad$

(159) $\begin{equation*}A+B=2x^2+2y^2+8D;\end{equation*}$

(160) $\begin{equation*}A-B=4\sqrt{2D}(x-y);\end{equation*}$

Sostituendo (160) nell’ultima equazione di (158), otteniamo

(161) $\begin{equation*} \begin{aligned} & (4\sqrt{2D}(x-y) )^2+(2\sqrt{2D})^4-2(2x^2+2y^2+4D)(2\sqrt{2D})^2=0 \quad \iff \quad\\ &\iff \quad 32D(x^2+y^2-2xy) +64D^2-16(2D)^2(x^2+y^2+4D) =0\quad \iff \quad\\ &\iff \quad -32Dxy+64^2D^2-32D^2=0\quad \iff \quad xy=D. \end{aligned} \end{equation*}$

Abbiamo così dimostrato che il grafico di $f$ è un’iperbole. Per concludere la dimostrazione, dobbiamo verificare che le rette date sono asintoti: poiché le rette (146) e (148) passano per il centro di simmetria dell’iperbole, dobbiamo soltanto dimostrare che essse non intersecano il grafico di $g$ . Infatti, siccome

(162) $\begin{equation*} \text{Dom}(f)=\{x\in \mathbb{R}: cx+d \neq 0\}=\mathbb{R}\setminus \left\{ - \frac{d}{c}\right\}, \end{equation*}$

la retta (146) non interseca $\Gamma_g$ . Inoltre, segue da (142) che la retta (148) non interseca $\Gamma_g$ . Equivalentemente, detti $P=(x,f(x))$ il relativo punto sul grafico di $f$ , $Q=\left(x,\dfrac{a}{c}\right)$ il punto sulla retta $r$ di equazione $y = \dfrac{a}{c}$ , si ha

$\operatorname{dist}(P, Q) \simeq 0$

e l’approssimazione migliora al crescere del valore assoluto di $x$ . Ciò suggerisce l’intuizione che $r$ sia un asintoto, in quanto soddisfa (150). Questo approccio sarà generalizzato con l’introduzione del concetto di limite.

Funzioni esponenziali e funzioni logaritmiche

Esponenziali.

In questa sezione ci occupiamo dello studio della funzione esponenziale $f\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

definita da

(163) $\begin{equation*} f(x)= a^x\qquad \forall x\in \mathbb{R}, \end{equation*}$

dove $a$ è un parametro che soddisfa

$a>0, \quad a\neq 1$

detto base dell’esponenziale. Ci occupiamo innanzitutto di dare un senso all’espressione (163); vediamo prima il caso in cui $x$ è un numero intero, poi un numero razionale, e infine un numero reale.

Ricordiamo la seguente definizione.

Definizione 5.1 (esponenziale di esponente naturale). Sia $a\in\mathbb{R}$

. Per ogni $n\in \mathbb{N}$

, definiamo

(164) $\begin{equation*} a^{n} \coloneqq \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{\text {$n$ volte }}, \end{equation*}$

$\quad$

mentre definiamo $a^0=1, \;\forall a \neq 0$ , ovvero il prodotto vuoto è per convenzione pari ad 1. Le proprietà riassunte nella seguente proposizione sono note come proprietà delle potenze.

Proposizione 5.2. Si hanno le seguenti propietà:

$\quad$

$a^{n+m}=a^{n} \cdot a^{m}, \qquad \forall n,m \in \mathbb{N}$ .

$(a^{n})^m=a^{n m},\qquad \forall n,m \in \mathbb{N}.$

$(a b)^{n} =a^{n} b^{n}$ e $\left(\dfrac ab \right)^n=\left(\dfrac{a^n}{b^n} \right)$ , per ogni $n,m \in \mathbb{N}$ .

Per ogni $n,m \in \mathbb{N}$ si ha
(165) $\begin{equation*} \frac{a^{n}}{a^{m}}= \begin{cases} a^{n-m}, &\quad\text{se}\quad n>m;\\ 1, &\quad\text{se}\quad n=m;\\ \left( \dfrac{1}{a} \right)^{m-n}, &\quad\text{se}\quad n<m.\\ \end{cases} \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione.

Proviamo che $a^{n+m}=a^{n} \cdot a^{m},$ per ogni $n,m \in \mathbb{N}$ . Per la proprietà associativa del prodotto in $\mathbb{R}$ si ha
(166) $\begin{equation*} \begin{split} a^{n+m} &=\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{{n}+{m} \text { volte }}=(\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \cdots a}_{\text {$n$ volte }})(\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{\text {$m$ volte }})=a^{n} \cdot a^{m} \end{split} \end{equation*}$

Proviamo che $(a^{n})^m=a^{n \cdot m},$ per ogni $n,m \in \mathbb{N}$ . Si ha
(167) $\begin{equation*} \begin{split} \left(a^{n}\right)^{m} &=(\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{{n} \text { volte }})^{m} \\ &=\underbrace{(\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{{n} \text { volte }}) \cdot(\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{{n} \text { volte }}) \cdots(\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{{n} \text { volte }})}_{{m} \text { volte }} =\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{{n}\cdot {m} \text { volte }}=a^{n m} \end{split} \end{equation*}$

Proviamo che $(a b)^{n} =a^{n} b^{n}$ e $\left(\dfrac ab \right)^n=\left(\dfrac{a^n}{b^n} \right)$ , per ogni $n,m \in \mathbb{N}$ .
Dalla proprietà commutativa del prodotto in $\mathbb{R}$ si ha

(168) $\begin{equation*} \begin{split} (a b)^{n} &=\underbrace{a b \cdot a b \cdots a b}_{{n} \text { volte }} =(\underbrace{a \cdot a \cdots a}_{{n} \text { volte }}) \cdot(\underbrace{b \cdot b \cdots b}_{{n} \text { volte }}) =a^{n} b^{n}. \end{split} \end{equation*}$

La seconda affermazione segue dalla prima sostituendo $b$ con $\dfrac{1}{b}$ .

Proviamo che per ogni $n,m \in \f\mathbb{N}$ si ha
(169) $\begin{equation*} \frac{a^{n}}{a^{m}}= \begin{cases} a^{n-m}, &\quad\text{se}\quad n>m;\\ 1, &\quad\text{se}\quad n=m;\\ \left( \dfrac{1}{a} \right)^{m-n}, &\quad\text{se}\quad n<m.\\ \end{cases} \end{equation*}$

Se $n>m$ allora

(170) $\begin{equation*} \frac{a^{n}}{a^{m}}=\frac{\cancel{\overbrace{a \cdot a \cdots a}^{\text {$m$ volte }}} \cdot \overbrace{a \cdot a \cdot \cdots a}^{\text {$n-m$ volte }}}{\cancel{\underbrace{a \cdot a \cdots a}_{{m} \text { volte }}}}=a^{n-m}. \end{equation*}$

Se $n=m$ chiaramente $\dfrac{a^n}{a^m}=1$ . Se $n<m$ allora

(171) $\begin{equation*} \frac{a^{n}}{a^{m}}=\frac{\cancel{\overbrace{a \cdot a \cdots a}^{\text {$m$ volte }}}}{\cancel{\underbrace{a \cdot a \cdots a}_{{m} \text { volte }}}\cdot \underbrace{a \cdot a \cdot \cdots a}_{\text {$m-n$ volte }}}=\frac{1}{a^{m-n}}. \end{equation*}$

Infine, utilizzando la proprietà 3 e il fatto che $1^n=1$ per ogni $n$ , abbiamo

$\frac{1}{a^{m-n}}= \left( \dfrac{1}{a} \right)^{m-n}.$

Definizione 5.3 (esponenziale di esponente intero relativo). Sia $a\neq 0$

e $n\in \mathbb{N}$

. Definiamo $a^{-n} \coloneqq \dfrac{1}{a^{n}}$

$\quad$

Osservazione 5.4. Osserviamo che la definizione 5.3 ci permette di definire anche $a^n$ con $n \in \mathbb{Z}$ ed estendere la regola $a^n/a^m= a^{n-m}$ anche al caso $n \leq m$ .

Vogliamo ora definire le potenze frazionarie. È naturale chiedersi come poter dare senso all’espressione $a^r$ per un numero razionale $r$ . Poiché la definizione deve essere coerenete con le proprietà delle potenze, cf. proposizione 5.2, avremo

$(a^{\frac 1 n})^n = a^{\frac 1 n \cdot n}=a^1=a,$

dunque poiché la quantità $a^{\frac 1 n}$ deve essere una radice $n$ -esima di $a$ , cf. 2.9, l’unica scelta coerente è quella di porre

(172) $\begin{equation*} a^{\frac 1n}\coloneqq \sqrt[n]{a}. \end{equation*}$

Questo giustifica la seguente:

Definizione 5.5 (esponenziale di esponente razionale). Sia $a>0$

un numero reale. Dato un numero razionale $r \in \mathbb{Q}$

, siano $m \in \mathbb{Z}, \; n \in \mathbb{N}_0$

interi senza fattori in comune tali che

$r=\frac{m}{n}.$

Definiamo l’esponenziale di $a$ di esponente $r$ la quantità

(173) $\begin{equation*} a^{\frac mn}\coloneqq \sqrt[n]{a^{m}}. \end{equation*}$

$\quad$

Il prossimo risultato ci mostra che la definizione appena data è ben posta.

Proposizione 5.6. Dato $a>0$

, consideriamo la funzione $g_a\colon \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$

definita da

(174) $\begin{equation*} g_a(m/n)\coloneqq \sqrt[n]{a^m}. \end{equation*}$

allora, la funzione $g_a\colon \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ è l’unica funzione definita su $\Q$ e avente le seguenti proprietà:

$\quad$

$g_a(1)=a$

Per ogni $r,s\in \mathbb{Q}$ ,

(175) $\begin{equation*} g_a(r+s)=g_a(r)g_a(s). \end{equation*}$

La funzione $g_a$ è crescente e inoltre vale la seguente identità:

(176) $\begin{equation*} g_a(r\cdot s)=g_{a^r}(s)=g_{a^s}(r) \qquad \forall s,t \in \mathbb{Q}. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Fissato $a>0$ , supponiamo che esista una funzione $G\colon\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$ tale che

$\quad$

$G(1)=a$

Per ogni $q,s\in \mathbb{Q}$ ,
$G(q+s)=G(q)G(s),$

e mostriamo che $G$ e $g_a$ devono coincidere. Osserviamo che

(177) $\begin{equation*} G(0)a=G(0)G(1)=G(0+1)=G(1)=a, \end{equation*}$

dunque, siccome $a >0$ , troviamo

(178) $\begin{equation*} G(0)=1. \end{equation*}$

Inoltre, si ha

(179) $\begin{equation*} G(1/n)^n=\underbrace{G(1/n) \cdot G(1/n) \cdots G(1/n)}_{{n} \text { volte }}=G(1/n+..+1/n)=G(1)=a, \end{equation*}$

che implica

(180) $\begin{equation*} G(1/n)=a^{\frac 1n}=\sqrt[n]{a}. \end{equation*}$

Usando questo fatto, vediamo che, se $m>0$ ,

(181) $\begin{equation*} G(1/n)^m=\underbrace{G(1/n) \cdot G(1/n) \cdots G(1/n)}_{{m} \text { volte }}=\underbrace{1/n +1/n \cdots + 1/n}_{{m} \text { volte }}=G(m/n), \end{equation*}$

da cui, per la (180),

(182) $\begin{equation*} G(m/n)=\sqrt[n]{a^m}. \end{equation*}$

Se $m<0$ abbiamo

(183) $\begin{equation*} 1=G(0)=G(-m/n+m/n)=G(-m/n)G(m/n)=G(m/n)\sqrt[n]{a^{-m}} \Rightarrow G(m/n)=(\sqrt[n]{a^{-m}})^{-1}=\sqrt[n]{a^{m}}. \end{equation*}$

Questo implica che, per ogni $r \in \mathbb{Q}$ , $G(r)=g_a(r)$ .

Per dimostrare l’ultima identità, notiamo che

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}\phantom{.}}=\sqrt[n m]{a},$

che segue dal fatto che

$\left( \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}\phantom{.}} \right)^{nm}=\left( \left( \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}\phantom{.}} \right)^{n} \right)^m=\left( \sqrt[m]{a} \right)^m=a,$

cf. punto (b) della proposizione 5.2, e dall’unicità della soluzione di $x^{nm}=a, \; x>0$ . Similmente, si mostra che l’estrazione di radice commuta con l’elevamento a potenza, ovvero

$\sqrt[n]{a^m}=\left( \sqrt[n]{a} \right)^m.$

Dunque, per quanto visto abbiamo che

$\begin{aligned} a^{\frac{p}{q}\cdot\frac{n}{m}}&= a^{\frac{pn}{qm}}= \sqrt[pn]{a^{qm}}== \sqrt[p]{\sqrt[n]{(a^m)^q}}= \sqrt[p]{\left( \sqrt[n]{a^m }\right)^q}=\left( a^{\frac{n}{m}} \right)^{\frac p q}. \end{aligned}$

Per finire, notiamo che la proprietà (2) implica facilmente la crescenza di $g_a$ .

L’estensione al caso in cui l’esponente $x$ è reale, in (163), è una conseguenza del fatto, più profondo, e che non dimostriamo, che l’insieme dei numeri razionali $\mathbb{Q}$ è denso in $\mathbb{R}$ , ovvero qualsiasi numero reale si può approssimare con una successione di numeri razionali. In altre parole, fissato $x\in \mathbb{R}$ , c’è una successione di numeri $q_n\in \mathbb{Q}$ tale per cui per ogni $\varepsilon>0$ esiste $n_\varepsilon\in \N$ tale che $q_n \in (x- \varepsilon,x+ \varepsilon)$ per ogni $n>n_\varepsilon$ . Illustriamo questa idea con un esempio.

Esempio 5.7. Supponiamo di voler definire il numero $2^{\sqrt 2}$ . Sappiamo che possiamo approssimare $\sqrt 2$ per difetto dalla successione crescente di numeri razionali

(184) $\begin{equation*} a_n\coloneqq \{a_1,a_2,..\}= \{1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ... \} \end{equation*}$

e per eccesso dalla successione decrescente di numeri razionali

(185) $\begin{equation*} b_n\coloneqq \{b_1,b_2,..\}= \{1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, ... \} \end{equation*}$

che ovviamente soddisfano $a_n < b_n$ per ogni $n \in \N$ . Osserviamo che i termini delle due successioni sono sempre più vicini. Formalmente, per ogni $\varepsilon \in \mathbb{R}^+$ esiste $n_\varepsilon$ tale che

(186) $\begin{equation*} b_n-a_n<\varepsilon, \quad \forall n>n_\varepsilon, \end{equation*}$

ovvero le due successioni sono arbitrariamente vicine per $n$ sempre più grande. A questo punto possiamo finalmente definire $2^{\sqrt 2}$ approssimandolo, con precisione infinita, dall’alto e dal basso con le precedenti successioni:

(187) $\begin{equation*} 2^{1.4}<2^{1.41}<2^{1.414}<...<2^{\sqrt 2}<...<2^{1.415}<2^{1.42}<2^{1.5}. \end{equation*}$

Un modo per rendere la discussione formale è quelllo di introdurre il concetto di limite, e riformulare quanto appena visto come segue:

(188) $\begin{equation*} \forall \, x \in \mathbb{R} \quad \exists\, \{ q_n \}_{n\in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{Q} \; \text{ tale che }\; \lim_{n \to +\infty}q_n=x. \end{equation*}$

Dunque, per $n$ sufficientemente grande, $q_n \in \mathbb{Q}$ è arbitrariamente vicino a $x\in \mathbb{R}$ , quindi è naturale aspettarsi che per $n$ sufficientemente grande, $a^{q_n}$ è è arbitrariamente vicino a $a^x$ . Solitamente, si definisce l’esponenziale di un numero reale $x$ utillzzando il risultato (188), tramite la formula

$a^x \coloneqq \lim_{n \to + \infty}a^{q_n}.$

Si dimostra che questa definizione è ben posta, ovvero che comunque scegliamo la successione di razionali approssimante $x$ , il limite di destra è lo stesso, cf. [3, pag. 81].

Per un approccio alternativo, e più costruttivo, alla definizione di esponenziale rimandiamo alla lettura di [6, pag. 178].

Una definizione altrettanto rigorosa dell’esponenziale di un numero reale, che non fa uso della teoria dei limiti, ma sfrutta la crescenza della funzione esponenziale definita in (174), è la seguente.

Definizione 5.8 (esponenziale di esponente reale). Sia $a>1$

. Per ogni $x \in \mathbb{R}$

, definiamo

(189) $\begin{equation*} a^x\coloneqq \sup \left\{ a^{q} : q\in \mathbb{Q}, \,q\leq x\right\}. \end{equation*}$

Sia $0<a<1$ . Per ogni $x \in \mathbb{R}$ , possiamo definire l’esponenziale di $x$ di base $a$ tramite la formula

(190) $\begin{equation*} a^x\coloneqq \frac{1}{(1/a)^x}, \end{equation*}$

che è ben posta in quanto in tal caso $1/a>1$ .

$\quad$

Osservazione 5.9. La definizione appena data risulta chiaramente coerente con la definizione 5.5. Nel caso in cui $a>1$ e $x \in \mathbb{Q}$ , infatti, per la crescenza della funzione esponenziale su $\mathbb{Q}$ , cf. proposizione 5.6, l’estremo superiore di $\left\{ a^{q} : q\in \mathbb{Q}, \,q\leq x \right\}$ è un massimo, raggiunto per $q=x$ .

Osservazione 5.10. Osserviamo che nel caso $a < 0$ non possiamo definire la funzione $a^x$ in $\mathbb{R}$ per il semplice fatto che le radici di indice pari di numeri negativi non sono numeri reali. Per esempio, per $a=-1$ e $x=\dfrac 12$ la funzione restituirebbe $\sqrt{-1}$ che non appartiene all’insieme $\mathbb{R}$ .

Proposizione 5.11 Sia $a>1$

. L’espressione (189) determina una funzione $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

definita da

(191) $\begin{equation*} f(x)= a^x \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

detta funzione esponenziale di base $a$ . Analogamente, per $0<a<1$ , l’espressione (190) definisce una funzione $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ come in (191).

$\quad$

Dimostrazione. Sia $a>1$ . Dobbiamo mostrare che per ogni $x \in \mathbb{R}$ l’insieme

$P_x\coloneqq \left\{ a^{q} : q\in \mathbb{Q}, \,q\leq x \right\}$

è non vuoto e superiormente limitato. Esso è non vuoto in quanto, dato $x \in \mathbb{R}$ esistono sicuramente $q\in \mathbb{Q}$ tali che

$q \leq x.$

Inoltre, dalla crescenza della funzione della funzione esponenziale su $\mathbb{Q}$ , cf. proposizione 5.6, si ha che $a^{q}$ è un maggiorante di $P_x$ per ogni $q \in \mathbb{Q}$ tale che $q>x$ .

Proposizione 5.12 (proprietà dell’esponenziale). Sia $a>0, \;a \neq 1$

. Allora, valgono le seguenti proprietà

$\quad$

$a^{x+y}=a^xa^y \qquad \forall x,y \in\ \mathbb{R}$ ;

$a^{xy}=(a^x)^y\qquad \forall x,y \in\ \mathbb{R}$ ;

La funzione esponenziale, cf. (191) di base $a>1$ (risp. $0<a<1$ ) è crescente (risp. decrescente).

$\quad$

Clicca qui per la dimostrazione (in appendice “Esponenziali”).

Osservazione 5.13. Una funzione esponenziale degna di nota è quella con base uguale a

(192) $\begin{equation*} e\coloneqq \sup\left\{ \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n: n \in \mathbb{N}\right\}=2.71828182845904523536028747135266249..%77572470936999595749669676...%277240766303535475945713821785251664274... \end{equation*}$

Quest’ultimo numero, noto come Numero di Nepero, oppure come Costante di Eulero, può essere definito rigorosamente in vari modi, segnaliamo ad esempio [6, pag. 63]. Esso è un numero irrazionale trascendente che emerge in modo naturale in innumerevoli situazioni e applicazioni, la cui scoperta e prime analisi sono attribuite a Jakob Bernoulli $(1654-1705)$ , che la nominò in onore dei matematici John Napier (tradotto Giovanni Nepero) $(1550-1617)$ , e Leonhard Euler $(1707-1783)$ , tra il diciassettesimo e il diciottesimo secolo. Il grafico di $f(x)=e^x$ è ovviamente simile a quelli dipinti in figura 31, visto che la base è maggiore di $1$ , inoltre esso è compreso tra il grafico della funzione in verde ( $a=3$ ) e di quella in blu ( $a=2$ ).

Proprietà della funzione esponenziale

Consideriamo una funzione esponenziale $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

$f(x)=a^x\qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

dove $a \in (0,1)\cup (1,+\infty)$ è fissato. Distinguiamo due casi

Caso $a>1$ .

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione esponenziale $f$ è $\mathbb{R}$ .

(Simmetrie.) La funzione $f$ non è né pari né dispari. Infatti,
$f(-x)=a^{-x}=\frac{1}{a^x} \begin{cases} \neq f(x),\\ \neq -f(x). \end{cases}$

(Periodicità.) La funzione $f$ non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) Il grafico di $f$ interseca l’asse delle ordinate nel punto $P=(0,1)$ , in quanto $f(0)=a^0=1$ e non ha intersezioni con l’asse delle ascisse, in quanto
$f(x)=a^x \neq 0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

.

(Segno.) La funzione $f$ è sempre positiva:
$f(x)=a^x>0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

(Intervalli di monotonia.) La funzione $f$ è monotona strettamente crescente (stiamo assumendo $a>1$ ), cf. proposizione 5.12. In particolare,

(193) $\begin{equation*} a^x>1\qquad \forall x >1. \end{equation*}$

(Immagine.) L’immagine di $f$ è

(194) $\begin{equation*} \operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}^+. \end{equation*}$

Questo fatto è non banale e per dimostrarlo rigorosamente abbiamo bisogno della completezza dei reali. Segue dal teorema 5.16. In particolare $f$ è limitata inferiormente (risp. illimitata superiormente) e si ha

(195) $\begin{equation*} \inf_{x\in \mathbb{R}} f(x)=0 \qquad (\text{risp.} \qquad \sup_{x\in \mathbb{R}} f(x)=+\infty.) \end{equation*}$

(Invertibilità.) Segue dalla monotonia, cf. (230), che la funzione esponenziale $f$ è iniettiva, cf. [4, Teorema 2.91]. Inoltre, da (194) segue che $f^{\mathbb{R}^+}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ è invertibile. Questo è il contenuto del o del teorema 5.16.

Grafico di $a^x$ per $a>1$

Dalle proprietà presentate precedentemente, sappiamo che $a^x$ è una funzione crescente, limitata inferiormente ma non superiormente e che il suo estremo inferiore è $0$ . Graficamente, per valori maggiori di $x$ si ottengono valori sempre più grandi di $f(x)$ e con una crescita molto rapida, detta appunto {\it crescita esponenziale}. Per valori grandi negativamente di $x$ i valori assunti da $f(x)$ si avvicinano a zero, senza mai raggiungerlo, in quanto $a^x\neq 0$ per ogni $x\in \R$ . Tracciamo il grafico di $a^x$ per alcuni valori fissati di $a>1$ . Tracciamo il grafico di $a^x$ per alcuni valori di $a>1$ .

$\quad$

Figura 31: il grafico di $f(x)= a^x$ per alcuni valori di $a>1$ .

$\quad$

Figura 32: il grafico di $f(x)= e^x$ , dove $e$ è il numero di Nepero, cf. (192).

$\quad$

Caso $0<a<1$ .

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione esponenziale $f$ è $\mathbb{R}$ .

(Simmetrie.) La funzione $f$ non è né pari né dispari.

(Periodicità.) La funzione $f$ non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) Il grafico di $f$ interseca l’asse delle ordinate nel punto $P=(0,1)$ , e non ha intersezioni con l’asse delle ascisse.

(Segno.) La funzione $f$ è sempre positiva.

(Intervalli di monotonia.) La funzione $f$ è monotona strettamente decrescente (stiamo assumendo $0<a<1$ ). Infatti, dati $x, y \in \mathbb{R}$ , per le proprietà delle potenze si ha

(196) $\begin{equation*} f(y)=a^y<a^x=f(x) \quad \forall x<y \quad \iff \quad a^{x-y}>1 \quad \forall x<y \quad \iff \quad\left( \frac 1 a \right)^{y-x}>1 \quad \forall x<y, \end{equation*}$

che è equivalente a (193)

(Immagine.) L’immagine di $f$ è

(197) $\begin{equation*} \operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}^+. \end{equation*}$

(Invertibilità.) Segue dal teorema 5.16 che $f|^{\mathbb{R}^+}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ è invertibile.

Grafico di $a^x$ per $0<a<1$

Possiamo inoltre notare che il grafico di $f(x)=a^x$ con $0<a<1$ è simmetrico, rispetto all’asse $y$ , al grafico di $g(x)=(a^{-1})^{x}$ , dove $a^{-1}>1$ . Infatti

$f(-x)=a^{-x}=(a^{-1})^x=g(x).$

Dunque tutte le proprietà che abbiamo studiato nel caso precedente, in cui la la base $a$ era maggiore di $1$ , si applicano in modo simmetrico. Graficamente, per alcuni valori fissati di $0<a<1$ , si ha:

$\quad$

Figura 33: il grafico di $f(x)= a^x$ per alcuni valori di $0<a<1$ .

$\quad$

Logaritmi.

In questa sezione trattiamo le funzioni logaritmiche, ovvero le funzione in cui l’espressione $f(x)$

contiene logaritmi. In vista del precedente risultato, ha senso dare la seguente definizione.

Definizione 5.14 (logaritmi). Dati $y\in \mathbb{R}^+$

e $a>0, \, a \neq 1$

, si dice logaritmo in base $a$ di $y$ , se esiste, l’ esponente $x\in \mathbb{R}$

che bisogna assegnare ad $a$

(detta base) per ottenere $y$

(detto argomento), ovvero l’unica soluzione $x$

dell’equazione

(198) $\begin{equation*} a^x= y. \end{equation*}$

$\quad$

L’unicità della soluzione di (198) segue dall’iniettività della funzione esponenziale, in quanto monotona, cf. [4, Teorema 2.91]. In questa sezione dimostreremo l’esistenza della soluzione dell’equazione (198) per ogni $y>0$ .

Poiché per definizione, per $a>0, \, a \neq 1$ , si ha

(199) $\begin{equation*} x=\log_a y \quad \iff \quad a^x= y, \end{equation*}$

quando questo ha senso, quella che stiamo definendo è la funzione inversa della funzione esponenziale $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^+$ definita da

(200) $\begin{equation*} f(x)=a^x\qquad\forall x \in \mathbb{R} \end{equation*}$

Per convenienza del lettore, è stato già anticipato nel corso della dispensa il fatto che essa è invertibile in $\mathbb{R}$ ; in questa sezione mostriamo formalmente l’esistenza della funzione

(201) $\begin{equation*} \log_a(\cdot) \colon \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} \end{equation*}$

inversa della funzione esponenziale di base $a$ , data da (200).

Teorema 5.15 (funzione logaritmo). Sia $a>0, \, a \neq 1$

e sia $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$

la funzione esponenziale di base $a$

, cf. (200), è invertibile e la sua inversa, denotata con

(202) $\begin{equation*} \log_a (\cdot)\colon x \in \mathbb{R}^+ \to \log_a {x} \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

è detta funzione logaritmo in base $\bm{a}$ .

$\quad$

Clicca qui per la dimostrazione (nell’appendice “Logaritmi”).

Prima di analizzare il grafico di $\log_a x$ , introduciamo e dimostriamo le proprietà fondamentali dei logaritmi.

Proposizione 5.16 (proprietà dei logaritmi). Sia $a>0$

tale che $a\neq 1$

. Valgono le seguenti proprietà:

$\quad$

$\log_a 1=0$ ;

$\log_a a=1$ ;

(Prodotto)

(203) $\begin{equation*} \log_a(b\cdot c)=\log_a b+\log_a c, \qquad \forall b,c>0; \end{equation*}$

(Potenza)

(204) $\begin{equation*} \log_a(b^c)=c\log_a b, \qquad \forall b,c>0;; \end{equation*}$

(Quoziente)

(205) $\begin{equation*} \log_a\left( \frac bc \right)=\log_a b-\log_a c, \qquad \forall b,c>0;; \end{equation*}$

(Cambiamento di base)

(206) $\begin{equation*} \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}, \qquad \forall b,c>0;. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. 1-2. Seguono banalmente dalla definizione in quanto $a^0=1$ e $a^1=a$ .

3. Per la definizione di logaritmo si ha

$a^{\log_a b}=b\qquad \text{e} \qquad a^{\log_a c}=c.$

Inoltre, per le proprietà delle potenze,

(207) $\begin{equation*} a^{{\log_a b}+\log_a c}=a^{\log_a b}a^{\log_a c}=bc. \end{equation*}$

Applicando ancora la definizione di logaritmo nell’equazione sopra abbiamo

(208) $\begin{equation*} {\log_a b}+\log_a c=\log_a (bc) \end{equation*}$

che è esattamente (203).

4. Poiché $a^ {\log_a b}=b$ , per le proprietà delle potenze

(209) $\begin{equation*} a^{c \, {\log_a b}}=(a^ {\log_a b})^c=b^c. \end{equation*}$

Per la definizione di logaritmo nella precedente equazione

(210) $\begin{equation*} c\,{\log_a b}=\log_a(b^c) \end{equation*}$

da cui (204).

5. Si ha

(211) $\begin{equation*} \log_a\left( \frac bc \right)=\log_a \left( bc^{-1} \right)= \log_a b+\log_a \left( c ^{-1}\right)=\log_a b-\log_a c., \end{equation*}$

dove nella seconda equazione abbiamo usato la (203) e nella terza equazione la (204).

6. Dall’equazione $a^ {\log_a b}=b$ abbiamo

(212) $\begin{equation*} \log_c a^ {\log_a b}=\log_c b. \end{equation*}$

Per la (204) l’equazione sopra equivale a

(213) $\begin{equation*} {\log_a b}\log_c a=\log_c b. \end{equation*}$

Otteniamo così la (206) dividendo per $\log_c a \neq 0$ essendo $a\neq 1$ . Nel seguito scriviamo $\log_a x$ sottointendendo che

$\quad$

la base $a$ soddisfa $a \in (0,1) \cup (1,+\infty)$ ;

l’argomento $x$ soddisfa $x>0$ .

Grafico della funzione logaritmo

Siamo pronti a studiare qualitativamente il grafico della funzione $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}$ data da

$f(x)=\log_ax, \quad a\in \mathbb{R}^+\setminus\{1\}.$

Abbiamo visto che se una funzione è invertibile, il grafico della sua inversa è simmetrico a quello della funzione stessa rispetto alla bisettrice $y=x$ , cf. [4, Lemma 2.24]. Dunque possiamo già dedurre il grafico di $\log_a x$ : basta tracciare il grafico simmetrico, rispetto alla bisettrice, di quello della funzione $a^x$ .

Vediamo i due casi separatamente.

Caso $a>1$ .

Osserviamo preliminarmente che:

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione logaritmica $f$ è $\mathbb{R}^+=(0,+\infty)$ .

(Simmetrie.) Non ha senso chiedersi se la funzione $f$ sia pari o dispari, perché il dominio non è simmetrico rispetto lo 0.

(Periodicità.) Non ha senso chiedersi se la funzione $f$ sia periodica, in quanto il dominio non è invariante per traslazione.

(Intersezione con gli assi.) Il grafico di $f$ interseca l’asse delle ascisse nel punto $P=(1,0)$ , in quanto
$f(x)=\log_a x=0 \iff x=1$

Infine, $f$ non ha intersezioni con l’asse delle ordinate, in quanto $0 \notin \operatorname{Dom}(f)$ .

(Intervalli di monotonia.) La funzione $f$ è monotona strettamente crescente (stiamo assumendo $a>1$ ), in quanto l’inversa di una funzione crescente è crescente, cf. [4, Teorema 2.91]. In alternativa, si può calcolare direttamente che, dati $x< y \in \mathbb{R}$ , per le proprietà dei logaritmi, cf. proposizione 5.13, si ha

(214) $\begin{equation*} \begin{gathered} f(y)=\log_a y>\log_a x=f(x) \quad \forall x<y\quad \iff \quad \log_a y-\log_a x>0 \quad \forall x<y \quad \iff \\ \iff \quad \log_a\left( \frac y x \right)>0 \quad \forall x<y \quad \iff \log_a(x)>0 \quad \forall x >1, \end{gathered} \end{equation*}$

che è equivalente alla (193).

(Immagine.) L’immagine di $f$ è

(215) $\begin{equation*} \operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}, \end{equation*}$

in quanto inversa della funzione esponenziale. In particolare $f$ è illimitata inferiormente e illimitata superiormente e si ha

$\inf_{x\in \mathbb{R}} f(x)=-\infty \qquad \text{ e }\qquad \sup_{x\in \mathbb{R}} f(x)=+\infty.$

(Invertibilità.) La funzione logaritmica è invertibile e la sua inversa è la funzione esponenziale, cf. teorema 5.16.

Notiamo infine, con una tabella e con un grafico comparativo nel caso $a=10$ , come la crescita della funzione sia particolarmente lenta. I valori $a=10$ e $a=e$ per la base sono quelli più frequentemente usati. Convenzionalmente, per essi si usano i simboli⁵

$\log\coloneqq \log_{10}\quad ; \quad \ln\coloneqq \log_e.$

$\begin{tabular}{|l|c|r|} \hline $x$ & $f(x)= \log x$ \\ \hline 0,2 & $\sim -0,698$ \\ \hline 0,5 & $\sim -0,301$ \\ \hline 25 & $\sim1,397$ \\ \hline 50 & $\sim1,698$ \\ \hline 100 & 2 \\ \hline 1000 & 3 \\ \hline 2000 & $\sim 3,301$ \\ \hline $42^{42}$ & $\sim 68,176$ \\ \hline \end{tabular}$

$\quad$

Figura 34: la funzione $\log_a x$ per $a=10$ (in blu), ottenuta come simmetrica di $10^x$ (tratteggiata in verde) rispetto alla retta $y=x$ (tratteggiata in rosso).

$\quad$

Figura 35: la funzione $y=\log_{10} x$ paragonata ai grafici delle funzioni $y=\sqrt[8]{x},y=\sqrt x, y=x,y=x^2$ per evidenziare la lenta crescita logaritmica.

$\quad$

Caso $0<a<1$ .

Se $a\in (0,1)$ , il grafico di $\log_a x$ è simmetrico al grafico della funzione $a^x$ rispetto alla bisettrice $y=x$ , cf. [4, Teorema 2.24].

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione logaritmica $f$ è $\mathbb{R}^+=(0,+\infty)$ .

(Simmetrie.) Non ha senso chiedersi se la funzione $f$ sia pari o dispari, perché il dominio non è simmetrico rispetto lo 0.

(Periodicità.) Non ha senso chiedersi se la funzione $f$ sia periodica, in quanto il dominio non è invariante per traslazione.

(Intersezione con gli assi) Il grafico di $f$ interseca l’asse delle ascisse nel punto $P=(1,0)$ , in quanto
$f(x)=\log_a x=0 \iff x=1$

Infine, $f$ non ha intersezioni con l’asse delle ordinate, in quanto $0 \notin \operatorname{Dom}(f)$ .

(Intervalli di monotonia.) La funzione $f$ è monotona strettamente decrescente (stiamo assumendo $0<a<1$ ), poiché abbiamo visto che $a^x$ è decrescente se $0<a<1$ e dunque la sua inversa è una funzione decrescente, cf. [4, Teorema 2.91].

(Immagine.) L’immagine di $f$ è

(216) $\begin{equation*} \operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}, \end{equation*}$

in quanto inversa della funzione esponenziale. In particolare $f$ è illimitata inferiormente e illimitata superiormente e si ha

$\inf_{x\in \mathbb{R}} f(x)=-\infty \qquad \text{ e }\qquad \sup_{x\in \mathbb{R}} f(x)=+\infty.$

(Invertibilità.) La funzione logaritmica è invertibile e la sua inversa è la funzione esponenziale, cf. teorema 5.16.

$\quad$

Figura 36: la funzione $\log_a x$ per $a=\dfrac 1 2$ (in blu), ottenuta come simmetrica di $\left( \dfrac 1 2 \right)^x$ (tratteggiata in verde) rispetto alla retta $y=x$ (tratteggiata in rosso).

$\quad$

Osservazione 5.17. Per completezza abbiamo elencato tutte le caratteristiche di $\log_a x$ per $0<a<1$ . Tuttavia, si poteva anche osservare che, per la (206), si ha

$\log_{a} x = - \log_{a^{-1}}x$

e dunque il grafico e le proprietà dell’una possono essere dedotte direttamente dall’altra.

$\ln$ sta per logaritmo naturale. ↩

Appendice

Sulla definizione di radicali, esponenziali, logaritmi.

In questa sezione dimostriamo l’esistenza dei radicali, dell’esponenziale di esponente reale e dei logaritmi. I metodi utilizzati per l’esistenza delle funzioni radicali (inverse delle funzioni potenza) e delle funzioni logaritmiche (inverse delle funzioni esponenziali) differiscono da quello generalmente utilizzato nei testi didattici, che si basa sul concetto di continuità di una funzione. Quest’ultimo argomento esula dallo scopo di queste note, e dunque abbiamo scelto di utilizzare un metodo più elementare che, seppur equivalente, fa uso soltanto dei concetti esposti in [4]. In particolare, utilizziamo il concetto di estremo superiore e inferiore, cf. [4, Definizione 2.76].

Radicali.

Ricordiamo un’uguaglianza che risulterà utile in seguito.

Lemma 5.18. Sia $n\geq 2$

un numero naturale e siano $x,y\in \mathbb{R}$

. Si ha

$x^n-y^n= (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y + \dots + xy^{n-2}+y^{n-1}).$

$\quad$

La dimostrazione del lemma precedente è un semplice esercizio di calcolo e viene lasciata al lettore. Nel seguito utilizzeremo la notazione più compatta

$x^n-y^n= (x-y) \sum_{i+j=n-1}x^iy^j,$

dove la sommatoria di destra è da intendersi su tutti gli indici $i,j\geq 0$ che soddisfano il vincolo $i+j=n-1$ .

Teorema 2.10 (funzione radice $n$

-esima). Sia $n \in \mathbb{N}$

e sia $E$

l’insieme definito da (64). Allora, la funzione potenza $n-$

esima (65) è invertibile e la sua inversa, denotata con

(217) $\begin{equation*} \sqrt[n]{\cdot} : x \in E \to \sqrt[n]{x} \in E, \end{equation*}$

è detta funzione radice $\bm{n-}$ esima.

$\quad$

Dimostrazione. Osserviamo in primo luogo che è sufficiente dimostrare l’esistenza di una funzione

(218) $\begin{equation*} g \colon [0,+\infty) \to [0,+\infty) \end{equation*}$

che sia inversa della funzione

$x \in [0,+\infty) \mapsto x^n \in [0,+\infty).$

Infatti, per $n$ pari questo coincide banalmente con la tesi; per $n$ dispari ragioniamo nel modo seguente: a partire da $g$ come in (218), si può costruire un’inversa globale sfruttando la disparità della funzione potenza di esponente dispari, ovvero tramite la formula

$g(-x)\coloneqq -g(x) \qquad \forall x \geq 0.$

Questa definizione estende la funzione $g$ a una funzione $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ che è inversa della funzione

$(\cdot)^n \colon x \in \mathbb{R} \mapsto x^n \in \mathbb{R}.$

Dato $x \geq 0$ , definiamo la quantità

(219) $\begin{equation*} u(x) \coloneqq \begin{cases} 0, & \mbox{ se } x=0;\\ \sup \left\{ t >0 \colon t^n<x \right\}, & \mbox{ se } x >0. \end{cases} \end{equation*}$

L’insieme

(220) $\begin{equation*} A_x\coloneqq \left\{ t >0 \colon t^n<x \right\}, \end{equation*}$

è non vuoto per ogni $x>0$ . Infatti, se $0<x< 1$ , abbiamo ad esempio $x \in A_x$ , in quanto si dimostra facilmente che

$x^n<x <1 \qquad \forall \,0<x<1$

Inoltre, poiché vale che per ogni $x \leq y$ si ha

(221) $\begin{equation*} A_x \subseteq A_y, \end{equation*}$

otteniamo che $A_x$ è non vuoto per ogni $x>0$ . Inoltre, per ogni $x>0$ , $A_x$ è superiormente limitato. Ad esempio, è facile dimostrare, utilizzando la crescenza della funzione potenza $n$ -esima, che $\max\left\{ 1,x \right\}$ è un maggiorante di $A_x$ , per ogni $x>0$ . Di conseguenza, la (219) definisce una funzione

$u(\cdot) \colon x \in E \mapsto u({x}) \in E.$

Mostriamo ora che la funzione $u$ definita in (219) coincide con il radicale, nel senso della definizione (62), ovvero soddisfa le seguenti identità:

(222) $\begin{equation*} \begin{split} \big(u(x)\big)^n=x \qquad \forall x \in E \end{split} \end{equation*}$

(223) $\begin{equation*} \begin{split} u(x^n)=x \qquad \forall x \in E \end{split} \end{equation*}$

Mostriamo innanzitutto che vale la (222). Supponiamo per assurdo che si abbia

$\big(u(x)\big)^n < x,$

ovvero che $u(x)$ sia un elemento dell’insieme $A_x$ . Poiché, per definizione, tale quantità ne è l’estremo superiore, sarebbe il massimo dell’insieme $A_x$ . L’assurdo segue dal fatto che per ogni $x>0$ l’insieme $A_x$ non ha massimo: fissiamo $t>0$ tale che $t^n<x$ , e dimostriamo che esiste $\bar{t}>t$ tale che

$\bar{t}^n<x.$

Osserviamo innanzitutto che esiste $M>0$ che soddisfa

(224) $\begin{equation*} \forall s,r \in A_x \qquad \sum_{i+j=n-1}s^ir^j \leq M. \end{equation*}$

Ad esempio, possiamo prendere $M=n\big(u(x)\big)^{n-1}$ . Allora, preso $h>0$ tale che

(225) $\begin{equation*} h< \frac{x-t^n}{M}, \end{equation*}$

e posto $\bar{t} \coloneqq t+h$ , si ha

(226) $\begin{equation*} \bar{t}^n -t^n=(\bar{t}-t)\sum_{i+j=n-1}\bar{t}^it^j= h \sum_{i+j=n-1}\bar{t}^it^j \leq h M < x-t^n, \end{equation*}$

dove abbiamo utilizzato il lemma 5.18 e le stime (224), (225). Abbiamo così ottenuto $\bar{t}^n < x$ . Per terminare la dimostrazione della (222), supponiamo per assurdo che si abbia

$\big(u(x)\big)^n > x,$

e poniamo $\varepsilon \coloneqq\big(u(x)\big)^n -x>0$ . Notiamo che la stima (224) vale ancora se poniamo

$s\coloneqq \big(u(x)\big),$

ovvero esiste $M >0$ tale che

$\forall t \in A_x \qquad \sum_{i+j=n-1}s^it^j \leq M.$

Inoltre, per la proprietà caratterizzante dell’estremo superiore, cf. [4, Proposizione 2.79], esiste $t \in A_x$ tale che

$s-t< \frac{\varepsilon}{M}.$

L’assurdo segue dal fatto che

$\varepsilon= s^n-x<s^n-t^n=(s-t)\sum_{i+j=n-1}s^it^j<\frac{\varepsilon}{M}\cdot M=\varepsilon.$

Per concludere la dimostrazione, è sufficiente osservare che la (219) definisce una funzione che, per quanto appena dimostrato, cf. (222), è inversa a destra della funzione potenza $n$ -esima (65). Poiché tale funzione ammette anche un’inversa a sinistra in quanto iniettiva, cf. [4, Proposizione 2.27], per quanto visto in [4, Proposizione 2.23], la (219) definisce la funzione inversa della (65), ovvero anche l’equazione (223) è soddisfatta. Ciò mostra che $u(x)$ coincide con la radice $n$ -esima di $x$ . Torna al testo.

Esponenziali.

Proposizione 5.12 (proprietà dell’esponenziale). Sia $a>0, \;a \neq 1$

. Allora, valgono le seguenti proprietà

$\quad$

$a^{x+y}=a^xa^y \qquad \forall x,y \in\ \mathbb{R}$ ;

$a^{xy}=(a^x)^y\qquad \forall x,y \in\ \mathbb{R}$ ;

La funzione esponenziale, cf. (191) di base $a>1$ (risp. $0<a<1$ ) è crescente (risp. decrescente).

$\quad$

Dimostrazione. Supponiamo $a>1$ . L’altro caso è analogo e la dimostrazione viene lasciata per esercizio al lettore.

$\quad$

Dati $x,y\in \mathbb{R}$ , si ha

(227) $\begin{equation*} \left\{ q\in \mathbb{Q} \colon q<x+y\right\}= \left\{ q_1+q_2 :q_1,q_2\in \mathbb{Q}, \, q_1<x, q_2<y\right\}, \end{equation*}$

Abbiamo

(228) $\begin{equation*} \begin{aligned} a^{x+y}&=\sup \left\{ a^q\colon q\in \mathbb{Q}, \,q<x+y \right\}=\\ &= \sup \left\{ a^{q_1+q_2}\colon q_1,q_2\in \mathbb{Q}, \, q_1<x, q_2<y \right\}= \\ &= \sup \left\{ a^{q_1}a^{q_2}\colon q_1,q_2\in \mathbb{Q}, \, q_1<x, q_2<y \right\}= \\ &= a^xa^y, \end{aligned} \end{equation*}$

dove nella prima uguaglianza abbiamo sfruttato la definizione (189), nella seconda uguagliana abbiamo utilizzato (227), nella terza uguaglianza le proprietà delle potenze, cf. proposizione 5.6, e infine nell’ultima uguaglianza abbiamo usato il seguente fatto: dati $A,B\subset \mathbb{R}^+$ , si ha

$\sup (A\cdot B)=\sup(A)\sup(B).$

Inoltre, dati $x,y>0$ si ha

(229) $\begin{equation*} \left\{ q\in \mathbb{Q} \colon q<xy\right\}= \left\{ q_1q_2 :q_1,q_2\in \mathbb{Q}, \, q_1<x, q_2<y\right\}, \end{equation*}$

$\begin{aligned} a^{xy}&= \sup\left\{ a^q:q<xy,\,q\in\mathbb{Q} \right\}= \sup\left\{ a^{q_1q_2}:q_1<x,\,q_2<y,\,q_1,q_2\in\mathbb{Q} \right\}=\\ &=\sup\left\{ \left( a^{q_1} \right)^{q_2}:q_1<x,\,q_2<y,\,q_1,q_2\in\mathbb{Q} \right\}=(a^x)^y, \end{aligned}$

dove nella prima uguaglianza abbiamo sfruttato la definizione (189), nella seconda uguagliana abbiamo utilizzato (229), nella terza uguaglianza le proprietà delle potenze, cf. proposizione 5.6, e infine nell’ultima uguaglianza abbiamo usato il seguente fatto: dati due insiemi $A,B$ e una funzione

$f: (x,y)\in A\times B \to f(x,y)\in \mathbb{R},$

si ha

$\sup \left\{ f(x,y): (x,y)\in A\times B \right\}=\sup\left\{ \sup\left\{ f(x,y):y\in B \right\} \colon x \in A\right\}$

Dati $x<y \in \mathbb{R}$ , per le proprietà delle potenze, cf. punto a), si ha

(230) $\begin{equation*} f(y)=a^y>a^x=f(x) \quad \forall x<y\quad \iff \quad \frac{a^y}{a^x}>1 \quad \forall x<y \quad \iff \quad a^{y-x}>1 \quad \forall x<y , \end{equation*}$

che è equivalente al fatto che

(231) $\begin{equation*} a^x>1\qquad \forall x >1. \end{equation*}$

Quest’ultima disuguaglianza segue direttamente dalla definizione. Infatti, osserviamo che $a^q>1$ per ogni numero razionale $q>0$ , cf. definizione 5.5. Inoltre, per densità dei razionali in $\mathbb{R}$ , cf. (188), si ha che per ogni $x\in \mathbb{R}^+$ , esiste $q\in \mathbb{Q}^+$ t.c. $q<x$ . Per definizione di esponenziale, cf. definizione 5.8, si ha

$0< q<x \implies 1<a^q\leq a^x.$

Torna al testo.

Logaritmi.

Come già accennato, ci sono vari modi per dimostrare l’invertiblità della funzione esponenziale di base $a$

, cf. (200). Solitamente, si introduce il concetto di continuità, si dimostra che (200) è continua e si utilizza il Teorema dei valori intermedi, cf. [6, Teorema 4.23], che riguarda la teoria delle funzioni continue, per mostrare la suriettività di (200), cf. (66).

Noi scegliamo un approccio differente, che ne è equivalente da un punto di vista formale, ma che in qualche modo è più elementare, in quanto non richiede la conoscenza dei concetti di limite, continuità e i risultati connessi a tali nozioni.

Tra i diversi approcci alla definizione del logaritmo, segnaliamo inoltre quello che fa uso della teoria dell’integrazione, cf. [1, pag. 229].

Ricordiamo una disuguaglianza che risulterà utile in seguito.

Lemma 5.19. (disuguaglianza di Bernoulli). Sia $n\geq 1$

un numero naturale e sia $h\in [ -1, +\infty)$

. Si ha

(232) $\begin{equation*} (1+h)^n \geq 1+nh. \end{equation*}$

$\quad$

Il lemma precedente può essere dimostrato facilmente per induzione, cf. [5].

Teorema 5.15 (funzione logaritmo). Sia $a>0, \, a \neq 1$

e sia $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$

la funzione esponenziale di base $a$

, cf. (200), è invertibile e la sua inversa, denotata con

(233) $\begin{equation*} \log_a (\cdot)\colon x \in \mathbb{R}^+ \to \log_a {x} \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

è detta funzione logaritmo in base $\bm{a}$ .

$\quad$

Dimostrazione. Costruiamo la funzione logaritmo solo nel caso $a>1$ . Nel caso $0<a<1$ , la tesi si può dedurre dal caso $a>1$ ; infatti, poiché si ha

$a^x=\left( \frac{1}{a} \right)^{-x}\forall a>0, \,x \in \mathbb{R},$

allora, per definizione di logaritmo, cf. definizione 5.14, si deve avere

(234) $\begin{equation*} \log_a x =-\log_{1/a}x. \end{equation*}$

Una volta dimostrata l’esistenza della funzione logaritmo in base $a$ nel caso $a>1$ , la formula (234) permette di ricavarla anche nel caso $0<a<1$ . Sia dunque $a>1$ , e fissiamo $x >0$ . Definiamo la quantità

(235) $\begin{equation*} v(x) \coloneqq \sup \left\{ t \in \mathbb{R} \colon a^t<x \right\}, \end{equation*}$

La definizione è ben posta in quanto l’esistenza dell’estremo superiore è garantita dall’assioma di completezza, cf. [4, 2.78]. Infatti, dimostriamo

(236) $\begin{equation*} A_x\coloneqq \left\{ t \in \mathbb{R} \colon a^t<x \right\} \end{equation*}$

è non vuoto per ogni $x>0$ . Infatti, se $0<x< 1$ , la disequazione è equivalente a

(237) $\begin{equation*} a^t<x\quad \iff \quad \left(a \right)^{-t}>\frac 1 x>1, \end{equation*}$

ovvero, equivale a mostrare che, dato un qualunque $x>1$ , esiste un $t_0\in \mathbb{R}$ tale che

(238) $\begin{equation*} a^{t_0}>x. \end{equation*}$

Ponendo

$h \coloneqq a-1>0$

nella (232), otteniamo che

(239) $\begin{equation*} \forall n \in \mathbb{N}, \qquad a^n\geq 1+n\left( a-1 \right). \end{equation*}$

Per la proprietà archimedea, esiste $t_0 \in \mathbb{N}$ tale che $t_0>\dfrac{x-1}{a-1}$ , dunque da (239) otteniamo

$a^{t_0}\geq 1+t_0(a-1)>x,$

ovvero la (238). Abbiamo così dimostrato che $A_x$ è non vuoto per ogni $0<x<1$ . Siccome si ha che

$\forall \, x<y \qquad A_x\subseteq A_y,$

otteniamo che $A_x$ è non vuoto per ogni $x>0$ . Inoltre, per quanto appena visto, $A_x$ è anche superiormente limitato per ogni $x >0$ . Di conseguenza, la (235) definisce una funzione

(240) $\begin{equation*} v \colon x \in \mathbb{R}^+ \mapsto v(x) \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Dobbiamo ora mostrare che effettivamente la definizione (235) coincide con il logaritmo, nel senso della definizione 5.14, ovvero soddisfa le seguenti identità:

(241) $\begin{equation*} \begin{split} a^{v(x)}=x \qquad \forall x >0 \end{split} \end{equation*}$

(242) $\begin{equation*} \begin{split} v({a^x})=x \qquad \forall x \in \mathbb{R} \end{split} \end{equation*}$

Mostriamo innanzitutto che vale la (241). Supponiamo per assurdo che si abbia

$a^{v(x)} < x,$

ovvero che $\log_a{x}$ sia un elemento dell’insieme $A_x$ . Poiché, per definizione, tale quantità ne è l’estremo superiore, sarebbe il massimo dell’insieme $A_x$ . L’assurdo segue dal fatto che per ogni $x>0$ l’insieme $A_x$ non ha massimo. Per dimostrarlo, utilizziamo il seguente fatto:

(243) $\begin{equation*} \forall x >1 \quad \exists t_0>0 :\quad a^{t_0}<x. \end{equation*}$

Per dimostrare la (243), utilizziamo ancora una volta la (232), ponendo

$h \coloneqq \frac{a-1}{n}>0.$

Otteniamo

(244) $\begin{equation*} a \leq \left( 1+ \dfrac{a-1}{n} \right)^n \quad \iff \quad \sqrt[n]{a} \leq 1+ \dfrac{a-1}{n}, \end{equation*}$

dove nella doppia implicazione utilizziamo la crescenza della funzione radice $n$ -esima. Dato $x>1$ , per la proprietà archimedea esiste $n_0\in \mathbb{N}$ tale che

$1+ \dfrac{a-1}{n_0} <x,$

dunque, ponendo $t_0 \coloneqq \dfrac{1}{n_0}$ , otteniamo da (244) che

$a^{t_0} <x,$

ovvero abbiamo dimostrato la proprietà (243). Per concludere la dimostrazione che l’insieme $A_x$ non ha massimo, dobbiamo mostrare che per ogni $x>0$ , e per ogni $t\in \mathbb{R}$ tale che $a^t<x$ , esiste $\bar{t}>t$ tale che

$a^{\bar{t}}<x.$

Notiamo che, per la (243), esiste $t_0>0$ tale che

(245) $\begin{equation*} a^{t_0} <1+\frac{x-a^t}{a^t}. \end{equation*}$

Posto

$\bar{t}\coloneqq t+t_0>t,$

abbiamo

$a^{\bar{t}}= a^ta^{t_0}< a^t\left( 1+\frac{x-a^t}{a^t} \right)=x,$

dove abbiamo usato prima le proprietà delle potenze, cf. proposizione 5.12, e poi la disuguaglianza (245). Per terminare la dimostrazione della (241), supponiamo per assurdo che si abbia

$a^{v(x)} > x.$

e poniamo $\varepsilon \coloneqq a^{v(x)} -x > 0$ . Notiamo che, posto

$s \coloneqq v(x),$

per la (243) esiste $t_0>0$ tale che

(246) $\begin{equation*} a^{t_0} < 1+ \frac{\varepsilon}{a^s}. \end{equation*}$

Inoltre, per la proprietà caratterizzante dell’estremo superiore, cf. [4, Proposizione 2.79], esiste $t\in A_x$ tale che

(247) $\begin{equation*} s-t< t_0. \end{equation*}$

L’assurdo segue dal fatto che

$\varepsilon = a^s-x < a^s-a^t= a^t(a^{s-t}-1) < a^t\frac{\varepsilon}{a^s} <\varepsilon,$

dove abbiamo utilizzato le proprietà dell’esponenziale e le stime (246), (247).

Abbiamo dunque dimostrato, cf. (241), che la funzione definita da (235) è un’inversa a destra della funzione esponenziale (200). Questo è tutto ciò che occorre dimostrare, in quanto l’esponenziale essendo monotona, è iniettiva, e dunque ha anche un’inversa a sinistra, cf. [4, Proposizione 2.27]. Per [4, Proposizione 2.23], concludiamo che la funzione (235) è l’inversa di (200), ovvero vale anche la (242). Ciò mostra che $v(x)$ è effettivamente il logaritmo in base $a$ di $x$ , concludendo la dimostrazione.

Riferimenti bibliografici

[1] Apostol, T. M., Calculus, Volume I: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra, John Wiley & Sons 1967.

[2] Dedekind R., Essays on the Theory of Numbers: I. Continuity and Irrational Numbers, II. The Nature and Meaning of Numbers (translated by W.W. Beman), Chicago, Open Court Publishing, 1901.

[3] Giusti, E., Analisi matematica 1, I Programma di matematica fisica elettronica, Bollati Boringhieri 1992.

[4] Qui Si Risolve, teoria delle funzioni.

[5] Qui Si Risolve, disuguaglianza di Bernoulli.

[6] Rudin, W., Principles of mathematical analysis, International series in pure and applied mathematics, McGraw-Hill 1976.

[7] Sernesi, E., Geometria 1, Programma di Matematica, Fisica, Elettronica, Bollati Boringhieri, 1989.

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